Definition. Das Vektorprodukt eines Vektors a (Multiplikator) mit einem nicht kollinearen Vektor (Multiplikator) ist der dritte Vektor c (Produkt), der wie folgt aufgebaut ist:

1) sein Modul ist numerisch gleich Fläche Parallelogramm in Abb. 155), auf Vektoren aufgebaut, d.h. es ist gleich der Richtung senkrecht zur Ebene des erwähnten Parallelogramms;

3) In diesem Fall wird die Richtung des Vektors c (aus zwei möglichen) so gewählt, dass die Vektoren c ein rechtshändiges System bilden (§ 110).

Bezeichnung: bzw

Ergänzung zur Definition. Wenn die Vektoren kollinear sind und die Figur als (bedingtes) Parallelogramm betrachtet wird, ist es natürlich, eine Nullfläche zuzuweisen. Daher wird das Vektorprodukt kollinearer Vektoren als gleich dem Nullvektor betrachtet.

Da dem Nullvektor jede Richtung zugeordnet werden kann, widerspricht diese Konvention nicht den Punkten 2 und 3 der Definition.

Bemerkung 1. Im Begriff "Vektorprodukt" zeigt das erste Wort an, dass das Ergebnis einer Aktion ein Vektor ist (im Gegensatz zu Skalarprodukt; vgl. § 104, Anm. 1).

Beispiel 1. Finden Sie das Vektorprodukt, wo die Hauptvektoren des rechten Koordinatensystems (Abb. 156).

1. Da die Längen der Hauptvektoren gleich der Skaleneinheit sind, ist die Fläche des Parallelogramms (Quadrat) numerisch gleich eins. Daher ist der Modul des Vektorprodukts gleich eins.

2. Da die Senkrechte zur Ebene die Achse ist, ist das gesuchte Vektorprodukt ein Vektor, Kollinearer Vektor zu; und da beide Modul 1 haben, ist das erforderliche Kreuzprodukt entweder k oder -k.

3. Von diesen beiden möglichen Vektoren muss der erste gewählt werden, da die Vektoren k ein rechtes System bilden (und die Vektoren ein linkes).

Beispiel 2. Finden Sie das Kreuzprodukt

Entscheidung. Wie in Beispiel 1 schließen wir daraus, dass der Vektor entweder k oder -k ist. Aber jetzt müssen wir -k wählen, da die Vektoren das rechte System bilden (und die Vektoren das linke). So,

Beispiel 3 Die Vektoren haben eine Länge von 80 bzw. 50 cm und bilden einen Winkel von 30°. Nimm einen Meter als Längeneinheit und bestimme die Länge des Vektorprodukts a

Entscheidung. Die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich Die Länge des gewünschten Vektorprodukts ist gleich

Beispiel 4. Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts derselben Vektoren, indem Sie einen Zentimeter als Längeneinheit nehmen.

Entscheidung. Da die Fläche des auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms gleich der Länge des Vektorprodukts ist, beträgt 2000 cm, d.h.

Der Vergleich der Beispiele 3 und 4 zeigt, dass die Länge des Vektors nicht nur von den Längen der Faktoren abhängt, sondern auch von der Wahl der Längeneinheit.

Die physikalische Bedeutung des Vektorprodukts. Von den zahlreichen physikalische Quantitäten, dargestellt durch ein Vektorprodukt, betrachten nur das Kraftmoment.

Sei A der Angriffspunkt der Kraft. Das Kraftmoment relativ zum Punkt O wird als Vektorprodukt bezeichnet. Da das Modul dieses Vektorprodukts numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist (Abb. 157), Der Momentenmodul ist gleich dem Produkt aus der Basis und der Höhe, d. h. der Kraft multipliziert mit dem Abstand vom Punkt O zur geraden Linie, entlang der die Kraft wirkt.

In der Mechanik ist das für das Gleichgewicht bewiesen Festkörper Es ist notwendig, dass nicht nur die Summe der Vektoren, die die auf den Körper ausgeübten Kräfte darstellen, gleich Null ist, sondern auch die Summe der Momente der Kräfte. Wenn alle Kräfte parallel zu derselben Ebene sind, kann die Addition der Vektoren, die die Momente darstellen, durch die Addition und Subtraktion ihrer Beträge ersetzt werden. Aber für beliebige Kraftrichtungen ist eine solche Ersetzung unmöglich. Dementsprechend ist das Kreuzprodukt genau als Vektor und nicht als Zahl definiert.

7.1. Definition von Kreuzprodukt

Drei nicht koplanare Vektoren a , b und c , in der angegebenen Reihenfolge genommen, bilden ein rechtes Tripel, wenn vom Ende des dritten Vektors c aus gesehen wird, dass die kürzeste Drehung vom ersten Vektor a zum zweiten Vektor b gegen den Uhrzeigersinn verläuft, und eine linke im Uhrzeigersinn (siehe Abb. 16).

Das Vektorprodukt eines Vektors a und eines Vektors b heißt Vektor c, der:

1. Senkrecht zu den Vektoren a und b, also c ^ a und c ^ b;

2. Es hat eine Länge, die numerisch gleich der Fläche des Parallelogramms ist, das auf den Vektoren a und aufgebaut istb wie an den Seiten (siehe Abb. 17), d.h.

3. Die Vektoren a , b und c bilden ein rechtes Tripel.

Vektorprodukt mit a x b oder [a,b] bezeichnet. Aus der Definition eines Vektorprodukts folgen die folgenden Beziehungen zwischen den Orten i direkt, j und k(siehe Abb. 18):

ich x j \u003d k, j x k \u003d ich, k x ich \u003d j.
Lassen Sie uns zum Beispiel das beweisen ich xj \u003d k.

1) k ^ ich , k ^ j;

2) |k |=1, aber | ich x j| = |i | |J| sin(90°)=1;

3) Vektoren i , j und k ein rechtes Tripel bilden (siehe Abb. 16).

7.2. Produktübergreifende Eigenschaften

1. Wenn die Faktoren umgestellt werden, ändert das Vektorprodukt das Vorzeichen, d. h. und xb \u003d (b xa) (siehe Abb. 19).

Die Vektoren a xb und b xa sind kollinear, haben die gleichen Module (die Fläche des Parallelogramms bleibt unverändert), sind aber entgegengesetzt gerichtet (Tripel a, b und xb und a, b, b x a mit entgegengesetzter Orientierung). Das ist axb = -(bxa).

2. Das Vektorprodukt hat assoziative Eigenschaft in Bezug auf einen Skalarfaktor, d.h. l ​​(a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Sei l > 0. Der Vektor l (a xb) steht senkrecht auf den Vektoren a und b. Vektor ( l a) x b steht auch senkrecht auf den Vektoren a und b(Vektoren a, l aber in der gleichen Ebene liegen). Also die Vektoren l(a xb) und ( l a) x b kollinear. Es ist offensichtlich, dass ihre Richtungen übereinstimmen. Sie haben die gleiche Länge:

So l(ein xb)= l ein xb. Es wird ähnlich bewiesen für l<0.

3. Zwei Nicht-Null-Vektoren a und b sind genau dann kollinear, wenn ihr Vektorprodukt gleich dem Nullvektor ist, d.h. und ||b<=>und xb \u003d 0.

Insbesondere gilt i *i =j *j =k *k =0 .

4. Das Vektorprodukt hat eine Verteilungseigenschaft:

(a+b) xs = ein xs + b xs .

Akzeptiere ohne Beweis.

7.3. Kreuzproduktausdruck in Bezug auf Koordinaten

Wir verwenden die Vektorkreuzprodukttabelle i , j und k:

Wenn die Richtung des kürzesten Weges vom ersten zum zweiten Vektor mit der Pfeilrichtung übereinstimmt, ist das Produkt gleich dem dritten Vektor, wenn es nicht übereinstimmt, wird der dritte Vektor mit einem Minuszeichen genommen.

Seien zwei Vektoren a = a x i + a y j+az k und b=bx ich+durch j+bz k. Lassen Sie uns das Vektorprodukt dieser Vektoren finden, indem wir sie als Polynome multiplizieren (gemäß den Eigenschaften des Vektorprodukts):

Die resultierende Formel kann noch kürzer geschrieben werden:

da die rechte Seite von Gleichheit (7.1) der Erweiterung der Determinante dritter Ordnung in Bezug auf die Elemente der ersten Reihe entspricht, ist Gleichheit (7.2) leicht zu merken.

7.4. Einige Anwendungen des Kreuzprodukts

Kollinearität von Vektoren feststellen

Finden der Fläche eines Parallelogramms und eines Dreiecks

Gemäß der Definition des Kreuzprodukts von Vektoren a und B |a xb | =| ein | * |b |sing , d. h. Spar = |a x b |. Und daher D S \u003d 1/2 | a x b |.

Bestimmung des Kraftmoments um einen Punkt

An Punkt A soll eine Kraft aufgebracht werden F = AB Loslassen Ö- Irgendein Punkt im Raum (siehe Abb. 20).

Das ist aus der Physik bekannt Drehmoment F relativ zum Punkt Ö Vektor genannt M , die durch den Punkt geht Ö und:

1) senkrecht zur Ebene, die durch die Punkte geht O, A, B;

2) numerisch gleich dem Produkt aus Kraft und Arm

3) bildet mit den Vektoren OA und A B ein rechtes Tripel.

Daher M \u003d OA x F.

Bestimmung der linearen Rotationsgeschwindigkeit

Geschwindigkeit v Punkt M eines mit Winkelgeschwindigkeit rotierenden starren Körpers w um eine feste Achse wird durch die Euler-Formel v \u003d w x r bestimmt, wobei r \u003d OM, wobei O ein fester Punkt der Achse ist (siehe Abb. 21).

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Kreuzprodukt von Vektoren und Mischprodukt von Vektoren (direkter Link für diejenigen, die es brauchen). Es ist okay, es passiert manchmal, dass für das vollkommene Glück zusätzlich dazu Skalarprodukt von Vektoren, es wird immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Man könnte den Eindruck gewinnen, dass wir uns in den Dschungel der analytischen Geometrie begeben. Es ist nicht so. In diesem Bereich der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Brennholz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr verbreitet und einfach – kaum schwieriger als das Gleiche Skalarprodukt, auch wird es weniger typische Aufgaben geben. Die Hauptsache in der analytischen Geometrie ist, wie viele sehen werden oder bereits gesehen haben, BERECHNUNGEN NICHT ZU FEHLEN. Wiederholen Sie wie ein Zauber, und Sie werden glücklich sein =)

Wenn die Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, spielt es keine Rolle, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Bereitere Leser können sich selektiv mit den Informationen vertraut machen, ich habe versucht, eine möglichst vollständige Sammlung von Beispielen zu sammeln, die häufig in der praktischen Arbeit zu finden sind

Was wird dich glücklich machen? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt brauchen wir überhaupt nicht mehr zu jonglieren, da wir überlegen werden nur Raumvektoren, und flache Vektoren mit zwei Koordinaten werden weggelassen. Wieso den? So wurden diese Aktionen geboren - der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und funktionieren im dreidimensionalen Raum. Schon einfacher!

Bei dieser Operation gilt wie beim Skalarprodukt zwei Vektoren. Lass es unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet auf die folgende Weise: . Es gibt andere Möglichkeiten, aber ich bin es gewohnt, das Kreuzprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und sofort Frage: wenn drin Skalarprodukt von Vektoren es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Ein deutlicher Unterschied zunächst im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist eine ZAHL:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist ein VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Verein. Eigentlich daher der Name der Operation. In verschiedener pädagogischer Literatur können die Bezeichnungen auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst wird es eine Definition mit einem Bild geben, dann Kommentare.

Definition: Kreuzprodukt nicht kollinear Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, heißt VEKTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, aufgebaut auf diesen Vektoren; Vektor orthogonal zu Vektoren, und ist so ausgerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Wir analysieren die Definition nach Knochen, es gibt viele interessante Dinge!

Daher können wir die folgenden wichtigen Punkte hervorheben:

1) Quellvektoren, gekennzeichnet durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Es wird angebracht sein, den Fall kollinearer Vektoren etwas später zu betrachten.

2) Vektoren genommen in strenger Reihenfolge: – "a" wird mit "be" multipliziert, nicht "sein" zu "ein". Das Ergebnis der Vektormultiplikation VECTOR ist, was blau dargestellt ist. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor mit gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (rote Farbe). Das heißt, die Gleichberechtigung .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Dies ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und daher des purpurroten Vektors ) ist numerisch gleich der FLÄCHE des Parallelogramms, das auf den Vektoren aufgebaut ist. In der Figur ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Kreuzprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Wir erinnern uns an eine der geometrischen Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Daher gilt auf der Grundlage des Vorstehenden die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass wir in der Formel über die LÄNGE des Vektors sprechen und nicht über den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist so, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms häufig durch das Konzept eines Vektorprodukts gefunden wird:

Wir erhalten die zweite wichtige Formel. Die Diagonale des Parallelogramms (rot gepunktete Linie) teilt es in zwei gleiche Dreiecke. Daher kann die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) durch die Formel gefunden werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist, das heißt . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (roter Pfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren .

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In einer Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich darüber gesprochen Ebenenorientierung, und jetzt werden wir herausfinden, wie die Ausrichtung des Raums ist. Ich werde es an deinen Fingern erklären rechte Hand. Kombiniere gedanklich Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger in deine Handfläche drücken. Ergebend Daumen- Das Vektorprodukt wird nach oben schauen. Dies ist die rechtsorientierte Basis (sie ist in der Abbildung). Vertausche nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an einigen Stellen dreht sich der Daumen daher um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Vielleicht haben Sie eine Frage: Welche Basis hat eine linke Orientierung? „Ordnen“ Sie dieselben Finger zu linke Hand vectors und erhalten die linke Basis und die linke Raumorientierung (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Bildlich gesprochen „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum in verschiedene Richtungen. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt angesehen werden - zum Beispiel ändert der gewöhnlichste Spiegel die Ausrichtung des Raums, und wenn Sie „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel ziehen“, ist dies im Allgemeinen nicht möglich Kombiniere es mit dem „Original“. Übrigens, drei Finger zum Spiegel bringen und die Spiegelung analysieren ;-)

... wie gut es ist, dass Sie jetzt Bescheid wissen rechts und links orientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zum Orientierungswechsel sind furchtbar =)

Vektorprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde im Detail ausgearbeitet, es bleibt herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, dann können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich solcher, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist Null. Das Gleiche folgt aus der Formel - der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann . Genau genommen ist das Kreuzprodukt selbst gleich dem Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

Ein Sonderfall ist das Vektorprodukt eines Vektors und sich selbst:

Mit dem Kreuzprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, kann es notwendig sein trigonometrische Tabelle daraus die Werte der Sinus zu finden.

Nun, lass uns ein Feuer machen:

Beispiel 1

a) Finden Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines Parallelogramms, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Entscheidung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Anfangsdaten in den Konditionspositionen absichtlich gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Länge Vektor (Vektorprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antworten:

Da nach der Länge gefragt wurde, geben wir in der Antwort die Dimension - Einheiten an.

b) Gemäß der Bedingung ist es erforderlich, zu finden Quadrat Parallelogramm, das auf Vektoren aufgebaut ist. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Kreuzprodukts:

Antworten:

Bitte beachten Sie, dass in der Antwort über das Vektorprodukt überhaupt nicht die Rede ist, nach der wir gefragt wurden Figurenbereich, die Dimension ist jeweils Quadrateinheiten.

Wir schauen immer, WAS von der Bedingung gefunden werden soll und formulieren darauf aufbauend klar Antworten. Es mag wie Wörtlichkeit erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es genügend Literalisten, und die Aufgabe mit guten Chancen wird zur Überarbeitung zurückgegeben. Das ist zwar kein besonders angestrengter Spitzbub – ist die Antwort falsch, dann hat man den Eindruck, dass die Person einfache Dinge nicht versteht und/oder sich nicht mit dem Kern der Aufgabe beschäftigt hat. Dieser Moment sollte immer unter Kontrolle gehalten werden, um jedes Problem in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern zu lösen.

Wo ist der große Buchstabe "en" geblieben? Im Prinzip könnte man die Lösung zusätzlich ankleben, aber um die Aufzeichnung zu verkürzen, habe ich das nicht gemacht. Ich hoffe jeder versteht das und ist die Bezeichnung gleich.

Ein beliebtes Beispiel für eine Do-it-yourself-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt ist in den Kommentaren zur Definition angegeben. Lösung und Antwort am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr verbreitet, Dreiecke können generell gequält werden.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Kreuzprodukts von Vektoren

Wir haben bereits einige Eigenschaften des Vektorprodukts betrachtet, aber ich werde sie in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht ausgezeichnet, ist aber praktisch sehr wichtig. So lass es sein.

2) - Die Eigenschaft wird auch oben besprochen, manchmal wird sie genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten, die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) - Kombination oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Die Konstanten lassen sich leicht aus den Grenzen des Vektorprodukts herausnehmen. Wirklich, was machen die da?

4) - Verteilung oder Verteilung Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen von Klammern gibt es keine Probleme.

Betrachten Sie zur Demonstration ein kurzes Beispiel:

Beispiel 3

Finde wenn

Entscheidung: Als Bedingung ist es wieder erforderlich, die Länge des Vektorprodukts zu finden. Malen wir unsere Miniatur:

(1) Gemäß den Assoziativgesetzen entfernen wir die Konstanten jenseits der Grenzen des Vektorprodukts.

(2) Wir nehmen die Konstante aus dem Modul heraus, während das Modul das Minuszeichen „frisst“. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Das Folgende ist klar.

Antworten:

Es ist Zeit, Holz ins Feuer zu werfen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines Dreiecks, das auf Vektoren aufgebaut ist, wenn

Entscheidung: Finden Sie die Fläche eines Dreiecks mit der Formel . Der Haken ist, dass die Vektoren "ce" und "te" selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert etwas an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion. Skalarprodukt von Vektoren. Lassen Sie es uns zur Verdeutlichung in drei Schritte unterteilen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt durch das Vektorprodukt aus, tatsächlich Drücken Sie den Vektor durch den Vektor aus. Noch kein Wort zur Länge!

(1) Wir ersetzen Ausdrücke von Vektoren .

(2) Unter Verwendung der Verteilungsgesetze öffnen Sie die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Unter Verwendung der Assoziativgesetze entfernen wir alle Konstanten jenseits der Vektorprodukte. Mit wenig Erfahrung können die Aktionen 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der angenehmen Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Bedingungen.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt finden wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Schritte 2-3 der Lösung könnten in einer Zeile angeordnet werden.

Antworten:

Das betrachtete Problem kommt in Tests recht häufig vor, hier ein Beispiel für eine eigenständige Lösung:

Beispiel 5

Finde wenn

Kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, gegeben in der orthonormalen Basis , wird durch die Formel ausgedrückt:

Die Formel ist ganz einfach: Wir schreiben die Koordinatenvektoren in die oberste Zeile der Determinante, wir „packen“ die Koordinaten der Vektoren in die zweite und dritte Zeile und wir setzen in strenger Reihenfolge- zuerst die Koordinaten des Vektors "ve", dann die Koordinaten des Vektors "double-ve". Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten auch die Linien vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
a)
b)

Entscheidung: Der Test basiert auf einer der Aussagen in dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Kreuzprodukt Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Die Vektoren sind also nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antworten: a) nicht kollinear, b)

Hier sind vielleicht alle grundlegenden Informationen über das Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es wenige Probleme gibt, wo das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles auf der Definition, der geometrischen Bedeutung und einigen Arbeitsformeln beruhen.

Das Mischprodukt von Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

So stellen sie sich wie ein Zug an und warten, sie können es kaum erwarten, bis sie berechnet werden.

Erstmal nochmal Definition und Bild:

Definition: Mischprodukt nicht koplanar Vektoren , in dieser Reihenfolge aufgenommen, wird genannt Volumen des Parallelepipeds, die auf diesen Vektoren aufgebaut sind, versehen mit einem "+"-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem "-"-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind durch eine gepunktete Linie gezeichnet:

Tauchen wir ein in die Definition:

2) Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Permutation von Vektoren im Produkt bleibt, wie Sie sich vielleicht denken können, nicht ohne Folgen.

3) Bevor ich die geometrische Bedeutung kommentiere, werde ich die offensichtliche Tatsache anmerken: das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der pädagogischen Literatur mag die Gestaltung etwas anders sein, ich habe früher ein Mischprodukt durch und das Rechenergebnis mit dem Buchstaben „pe“ bezeichnet.

A-Priorat das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Figur ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl ist gleich dem Volumen des gegebenen Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Lassen Sie uns nicht noch einmal mit dem Konzept der Ausrichtung der Basis und des Raums weitermachen. Der letzte Teil hat die Bedeutung, dass der Lautstärke ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. Vereinfacht ausgedrückt kann das Mischprodukt negativ sein: .

Die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds folgt direkt aus der Definition.

In diesem Artikel werden wir uns mit dem Konzept des Kreuzprodukts zweier Vektoren befassen. Wir werden die notwendigen Definitionen geben, eine Formel zum Auffinden der Koordinaten eines Vektorprodukts aufschreiben, seine Eigenschaften auflisten und begründen. Danach werden wir uns mit der geometrischen Bedeutung des Kreuzprodukts zweier Vektoren befassen und die Lösungen verschiedener typischer Beispiele betrachten.

Seitennavigation.

Definition eines Vektorprodukts.

Bevor wir eine Definition eines Kreuzprodukts geben, wollen wir uns mit der Orientierung eines geordneten Vektortripels im dreidimensionalen Raum befassen.

Lassen Sie uns Vektoren von einem Punkt verschieben. Je nach Richtung des Vektors kann das Tripel rechts oder links sein. Schauen wir uns vom Ende des Vektors aus an, wie die kürzeste Abzweigung vom Vektor zu . Wenn die kürzeste Drehung gegen den Uhrzeigersinn erfolgt, wird das Vektortripel aufgerufen Rechts, sonst - links.

Nehmen wir nun zwei nicht kollineare Vektoren und . Vektoren beiseite legen und von Punkt A. Lassen Sie uns einen Vektor konstruieren, der senkrecht zu und gleichzeitig ist. Offensichtlich können wir beim Konstruieren eines Vektors zwei Dinge tun, indem wir ihm entweder eine Richtung oder die entgegengesetzte geben (siehe Abbildung).

Abhängig von der Richtung des Vektors kann das geordnete Vektortripel rechts oder links sein.

Damit kamen wir der Definition eines Vektorprodukts nahe. Sie ist für zwei Vektoren gegeben, die in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums gegeben sind.

Definition.

Vektorprodukt zweier Vektoren und , gegeben in einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums, wird ein solcher Vektor genannt

Das Kreuzprodukt der Vektoren und wird als bezeichnet.

Vektorproduktkoordinaten.

Jetzt geben wir die zweite Definition eines Vektorprodukts, die es uns erlaubt, seine Koordinaten aus den Koordinaten der gegebenen Vektoren und zu finden.

Definition.

In einem rechtwinkligen Koordinatensystem des dreidimensionalen Raums Kreuzprodukt zweier Vektoren und ist ein Vektor , wobei Koordinatenvektoren sind.

Diese Definition gibt uns das Kreuzprodukt in Koordinatenform.

Das Vektorprodukt wird zweckmäßigerweise als Determinante einer quadratischen Matrix dritter Ordnung dargestellt, deren erste Zeile die Orte sind, die zweite Zeile die Koordinaten des Vektors enthält und die dritte Zeile die Koordinaten des Vektors in einem gegebenen enthält rechtwinkliges Koordinatensystem:

Wenn wir diese Determinante um die Elemente der ersten Zeile erweitern, erhalten wir Gleichheit aus der Definition des Vektorprodukts in Koordinaten (ggf. siehe Artikel):

Es sollte beachtet werden, dass die Koordinatenform des Kreuzprodukts vollständig mit der im ersten Absatz dieses Artikels gegebenen Definition übereinstimmt. Darüber hinaus sind diese beiden Definitionen eines Kreuzprodukts äquivalent. Der Beweis für diese Tatsache ist in dem am Ende des Artikels angegebenen Buch zu finden.

Vektorprodukteigenschaften.

Da das Vektorprodukt in Koordinaten als Determinante der Matrix dargestellt werden kann, lässt sich anhand dessen folgendes leicht begründen Vektorprodukteigenschaften:

Als Beispiel wollen wir die Antikommutativitätseigenschaft eines Vektorprodukts beweisen.

A-Priorat und . Wir wissen, dass sich der Wert der Determinante einer Matrix umkehrt, wenn zwei Zeilen vertauscht werden, also , was die Antikommutativitätseigenschaft des Vektorprodukts beweist.

Vektorprodukt - Beispiele und Lösungen.

Grundsätzlich gibt es drei Arten von Aufgaben.

Bei Problemen des ersten Typs sind die Längen zweier Vektoren und der Winkel zwischen ihnen gegeben, und es ist erforderlich, die Länge des Kreuzprodukts zu finden. In diesem Fall wird die Formel verwendet .

Beispiel.

Finden Sie die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren und falls bekannt .

Entscheidung.

Wir wissen aus der Definition, dass die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren und gleich dem Produkt der Längen von Vektoren und mal dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist, daher .

Antworten:

.

Aufgaben des zweiten Typs sind mit den Koordinaten von Vektoren verbunden, bei denen das Vektorprodukt, seine Länge oder etwas anderes durch die Koordinaten der gegebenen Vektoren gesucht wird und .

Hier stehen viele verschiedene Möglichkeiten zur Verfügung. Beispielsweise nicht die Koordinaten der Vektoren und , sondern deren Erweiterungen in Koordinatenvektoren der Form und , oder Vektoren und können durch die Koordinaten ihrer Start- und Endpunkte angegeben werden.

Betrachten wir typische Beispiele.

Beispiel.

Zwei Vektoren sind in einem rechtwinkligen Koordinatensystem angegeben . Finden Sie ihr Vektorprodukt.

Entscheidung.

Nach der zweiten Definition wird das Kreuzprodukt zweier Vektoren in Koordinaten geschrieben als:

Wir wären zum gleichen Ergebnis gekommen, wenn wir das Vektorprodukt durch die Determinante geschrieben hätten

Antworten:

.

Beispiel.

Ermitteln Sie die Länge des Kreuzprodukts der Vektoren und , wobei die Orte des rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystems sind.

Entscheidung.

Finden Sie zuerst die Koordinaten des Vektorprodukts in einem gegebenen rechtwinkligen Koordinatensystem.

Da die Vektoren und Koordinaten bzw. haben (siehe ggf. Artikelkoordinaten eines Vektors in einem rechtwinkligen Koordinatensystem), dann haben wir nach der zweiten Definition ein Kreuzprodukt

Also das Vektorprodukt hat Koordinaten im gegebenen Koordinatensystem.

Wir finden die Länge eines Vektorprodukts als Quadratwurzel der Summe der Quadrate seiner Koordinaten (diese Formel für die Länge eines Vektors haben wir im Abschnitt über die Bestimmung der Länge eines Vektors erhalten):

Antworten:

.

Beispiel.

Die Koordinaten von drei Punkten werden in einem rechtwinkligen kartesischen Koordinatensystem angegeben. Finden Sie einen Vektor, der senkrecht zu und gleichzeitig ist.

Entscheidung.

Vektoren und haben Koordinaten bzw. (siehe den Artikel, der die Koordinaten eines Vektors durch die Koordinaten von Punkten ermittelt). Wenn wir das Kreuzprodukt der Vektoren und finden, dann ist es per Definition ein Vektor, der sowohl zu als auch zu senkrecht steht, das heißt, es ist die Lösung unseres Problems. Lassen Sie uns ihn finden

Antworten:

ist einer der senkrechten Vektoren.

Bei Aufgaben des dritten Typs wird die Fähigkeit geprüft, die Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren zu verwenden. Nachdem die Eigenschaften angewendet wurden, werden die entsprechenden Formeln angewendet.

Beispiel.

Die Vektoren und sind senkrecht und ihre Längen sind 3 bzw. 4. Berechne die Länge des Vektorprodukts .

Entscheidung.

Durch die Distributivitätseigenschaft des Vektorprodukts können wir schreiben

Aufgrund der Assoziationseigenschaft nehmen wir im letzten Ausdruck die numerischen Koeffizienten für das Vorzeichen von Vektorprodukten heraus:

Vektorprodukte und sind gleich Null, da und , dann .

Da das Vektorprodukt antikommutativ ist, gilt .

Unter Verwendung der Eigenschaften des Vektorprodukts sind wir also zur Gleichheit gekommen .

Bedingungsgemäß sind die Vektoren und senkrecht zueinander, das heißt, der Winkel zwischen ihnen ist gleich . Das heißt, wir haben alle Daten, um die benötigte Länge zu finden

Antworten:

.

Die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Per Definition ist die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren . Und aus dem Geometriekurs der High School wissen wir, dass die Fläche eines Dreiecks gleich dem halben Produkt aus den Längen der beiden Seiten des Dreiecks und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen ist. Daher ist die Länge des Kreuzprodukts gleich der doppelten Fläche eines Dreiecks mit den Seiten der Vektoren und , wenn sie von einem Punkt verschoben werden. Mit anderen Worten, die Länge des Kreuzprodukts von Vektoren und ist gleich der Fläche eines Parallelogramms mit Seiten und und einem Winkel zwischen ihnen gleich . Dies ist die geometrische Bedeutung des Vektorprodukts.

Einheitsvektor- Das Vektor, dessen Absolutwert (Modul) gleich eins ist. Um einen Einheitsvektor zu bezeichnen, verwenden wir den Index e. Also, wenn ein Vektor gegeben ist a, dann ist sein Einheitsvektor der Vektor a e) Dieser Einheitsvektor zeigt in dieselbe Richtung wie der Vektor selbst a, und sein Modul ist gleich eins, dh a e \u003d 1.

Offensichtlich, a= ein a e (ein - Vektormodul a). Dies folgt aus der Regel, nach der die Operation des Multiplizierens eines Skalars mit einem Vektor durchgeführt wird.

Einheitsvektoren oft mit den Koordinatenachsen des Koordinatensystems verbunden (insbesondere mit den Achsen des kartesischen Koordinatensystems). Anfahrt von diesen Vektoren stimmen mit den Richtungen der entsprechenden Achsen überein, und ihre Ursprünge werden oft mit dem Ursprung des Koordinatensystems kombiniert.

Daran möchte ich Sie erinnern Kartesisches Koordinatensystem im Raum wird traditionell ein Tripel von zueinander senkrechten Achsen genannt, die sich an einem Punkt schneiden, der als Ursprung bezeichnet wird. Die Koordinatenachsen werden üblicherweise mit den Buchstaben X, Y, Z bezeichnet und als Abszissenachse, Ordinatenachse bzw. Anwendungsachse bezeichnet. Descartes selbst verwendete nur eine Achse, auf der die Abszissen aufgetragen wurden. Verdienst der Verwendung SystemeÄxte gehören seinen Schülern. Daher der Satz Kartesisches Koordinatensystem historisch falsch. Besser reden rechteckig Koordinatensystem oder orthogonales Koordinatensystem. Trotzdem werden wir die Traditionen nicht ändern und in Zukunft davon ausgehen, dass das kartesische und das rechteckige (orthogonale) Koordinatensystem ein und dasselbe sind.

Einheitsvektor, entlang der X-Achse gerichtet, bezeichnet ich, Einheitsvektor, entlang der Y-Achse gerichtet, bezeichnet j, a Einheitsvektor, entlang der Z-Achse gerichtet, bezeichnet k. Vektoren ich, j, k namens Ort(Abb. 12, links), sie haben also Einzelmodule
i = 1, j = 1, k = 1.

Achsen u Ort rechtwinkliges Koordinatensystem teilweise haben sie andere Namen und Bezeichnungen. Die Abszissenachse X kann also als Tangentenachse bezeichnet werden, und ihr Einheitsvektor wird bezeichnet τ (griechischer Kleinbuchstabe Tau), die y-Achse ist die Normalachse, ihr Einheitsvektor ist bezeichnet n, die Anwendungsachse ist die Achse der Binormalen, ihr Einheitsvektor ist bezeichnet b. Warum die Namen ändern, wenn die Essenz gleich bleibt?

Tatsache ist, dass beispielsweise in der Mechanik bei der Untersuchung der Bewegung von Körpern sehr häufig ein rechtwinkliges Koordinatensystem verwendet wird. Wenn also das Koordinatensystem selbst bewegungslos ist und die Änderung der Koordinaten eines sich bewegenden Objekts in diesem bewegungslosen System verfolgt wird, dann bezeichnen die Achsen normalerweise X, Y, Z und ihre Ort bzw. ich, j, k.

Wenn sich ein Objekt jedoch entlang einer Art krummliniger Bahn bewegt (z. B. entlang eines Kreises), ist es häufig bequemer, mechanische Prozesse in einem Koordinatensystem zu betrachten, das sich mit diesem Objekt bewegt. Für ein solches bewegliches Koordinatensystem werden andere Namen der Achsen und ihrer Einheitsvektoren verwendet. Es wird einfach akzeptiert. In diesem Fall ist die X-Achse tangential zur Trajektorie an der Stelle ausgerichtet, an der sich dieses Objekt gerade befindet. Und dann heißt diese Achse nicht mehr X-Achse, sondern Tangentialachse, und ihr Einheitsvektor wird nicht mehr bezeichnet ich, a τ . Die Y-Achse ist entlang des Krümmungsradius der Trajektorie ausgerichtet (bei Bewegung in einem Kreis - zum Mittelpunkt des Kreises). Und da der Radius senkrecht zur Tangente steht, heißt die Achse die Achse der Normalen (Senkrechte und Normale sind dasselbe). Der Ort dieser Achse ist nicht mehr angegeben j, a n. Die dritte Achse (das frühere Z) steht senkrecht auf den beiden vorherigen. Dies ist eine Binormale mit einem Vektor b(Abb. 12, rechts). Übrigens in diesem Fall rechtwinkliges Koordinatensystem oft als "natürlich" oder natürlich bezeichnet.