Андрей Николаевич Колмогоров - (1903-87), российский математик, основатель научных школ по теории вероятностей и теории функций, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963).

Фундаментальные труды Андрея Колмогорова по теории функций, математической логике, топологии, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и особенно по теории вероятностей (аксиоматическое обоснование, теория случайных процессов) и теории информации. Ленинская премия (1965), Государственная премия СССР (1941).

Мать Колмогорова - Мария Яковлевна Колмогорова (1871-1903) умерла при родах. Отец - Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном (окончил Петровскую (Тимирязевскую) академию), погиб в 1919 году во время деникинского наступления. Мальчик был усыновлён и воспитывался сестрой матери, Верой Яковлевной Колмогоровой.

Тетушки Андрея в своем доме организовали школу для детей разного возраста, которые жили поблизости, занимались с ними - десятком ребятишек - по рецептам новейшей педагогики. Для ребят издавался рукописный журнал «Весенние ласточки». В нем публиковались творческие работы учеников - рисунки, стихи, рассказы. В нем же появлялись и «научные работы» Андрея - придуманные им арифметические задачи. Здесь же мальчик опубликовал в пять лет свою первую научную работу по математике. Правда, это была всего-навсего известная алгебраическая закономерность, но ведь мальчик сам ее подметил без посторонней помощи!

Когда в 1920 г. Андрей Колмогоров стал думать о поступлении в институт, перед ним возник вечный вопрос: чему себя посвятить, какому делу? Влечет его на математическое отделение университета, но есть и сомнение: здесь чистая наука, а техника - дело, пожалуй, более серьёзное. Вот, допустим, металлургический факультет Менделеевского института! Настоящее мужское дело, кроме того, перспективное. Андрей решает поступать и туда и сюда. Но вскоре ему становится ясно, что чистая наука тоже очень актуальна, и он делает выбор в её пользу.

В 1920 г. Андрей поступил на математическое отделение Московского университета. «Задумав заниматься серьёзной наукой, я, конечно, стремился учиться у лучших математиков, - вспоминал позднее учёный. - Мне посчастливилось заниматься у П. С. Урысона, П. С. Александрова, В. В. Степанова и Н. Н. Лузина, которого, по-видимому, следует считать по преимуществу моим учителем в математике. Но они "находили" меня лишь в том смысле, что оценивали приносимые мною работы. "Цель жизни" подросток или юноша должен, мне кажется, найти себе сам. Старшие могут этому лишь помочь.

В первые же месяцы Андрей Колмогоров сдал экзамены за курс. А как студент второго курса он получает право на «стипендию»: «…я получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие.» Теперь есть и свободное время. Оно отдаётся попыткам решить уже поставленные математические задачи. Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина, по свидетельству современников, были выдающимся явлением. У Лузина никогда не было заранее предписанной формы изложения. И его лекции ни в коем случае не могли служить образцом для подражания. У него было редкое чувство аудитории. Он, как настоящий актёр, выступающий на театральной сцене и прекрасно чувствующий реакцию зрительного зала, имел постоянный контакт со студентами.

Профессор умел приводить студентов в соприкосновение с собственной математической мыслью, открывая таинства своей научной лаборатории. Приглашал к совместной духовной деятельности, к сотворчеству. А какой это был праздник, когда Лузин приглашал учеников к себе домой на знаменитые «среды»! Беседы за чашкой чая о научных проблемах… Впрочем, почему обязательно о научных? Тем для разговора было предостаточно. Он умел зажечь молодёжь желанием научного подвига, привить веру в собственные силы, и через это чувство приходило другое - понимание необходимости полной отдачи любимому делу. Колмогоров впервые обратил на себя внимание профессора на одной лекции. Лузин, как всегда, вёл занятия, постоянно обращаясь к слушателям с вопросами, заданиями. И когда он сказал: «Давайте строить доказательство теоремы, исходя из следующего предположения…» - в аудитории поднялась рука Андрея Колмогорова: «Профессор, оно ошибочно…» За вопросом «почему» последовал краткий ответ первокурсника. Довольный Лузин кивнул: «Что ж, приходите на кружок, доложите нам свои соображения более развернуто». "Хотя моё достижение было довольно детским, оно сделало меня известным в «Лузитании», - вспоминал Андрей Николаевич.

Но через год серьёзные результаты, полученные восемнадцатилетним второкурсником Андреем Колмогоровым, обратили на себя настоящее внимание «патриарха». С некоторой торжественностью Николай Николаевич предлагает Колмогорову приходить в определённый день и час недели, предназначенный для учеников его курса. Подобное приглашение, по понятиям «Лузитании», следовало расценивать как присвоение почётного звания ученика. Как признание способностей. Со временем отношение Колмогорова к Лузину поменялось. Под влиянием Павла Сергеевича Александрова, также бывшего ученика Лузина, он принял участие в политическом преследовании их общего учителя, так называемом деле Лузина, которое едва не закончилось репрессиями против Лузина. С самим Александровым Колмогоров был связан дружескими узами до конца жизни.

Андрей Колмогоров – величайший русский математик ХХ столетия, создатель современной теории вероятностей, автор классических результатов в теории функций, в математической логике, топологии, теории дифференциальных уравнений, функциональном анализе, в теории турбулентности, теории гамильтоновых систем.

Созданные Колмогоровым школы в теории вероятностей, теории функций, функциональном анализе и теории гамильтоновых систем определили развитие этих направлений математики в ХХ столетии. В истории российской науки его имя стоит рядом с именами , - ученых, всей своей жизнью прославивших Россию.

Андрей Николаевич родился 25 апреля 1903 в Тамбове. C 1920г. по 1925 г. он учится в Московском университете. Еще будучи студентом, в 1922 г. он построил ряд Фурье, расходящийся почти всюду, что приносит ему мировую известность.

В 1931 г. Андрей Колмогоров становится профессором МГУ. В 1933 г. он назначается директором Института математики и механики при МГУ. В 1935 г. на механико-математическом факультете МГУ он основал кафедру теории вероятностей (которой заведовал до 1966 г.).

В 1939 г. А.Н. Колмогоров избирается действительным членом Академии наук СССР и он становится (по 1942 г.) академиком-секретарем Отделения физико-математических наук. В конце 30-х и начале 40-х годов Андрей Колмогоров начинает интересоваться проблемами турбулентности и в 1946 г. организует лабораторию атмосферной турбулентности Института теоретической геофизики АН СССР. С 1936 г. Андрей Николаевич много сил отдает работе по созданию Большой и Малой Советских Энциклопедий. Он возглавляет математический отдел и сам пишет для энциклопедий много статей.

В 1960 г. Колмогоров создает межфакультетскую лабораторию вероятностных и статистических методов (которой заведовал с 1966 г. по 1976 г.), одной из основных задач которой было широкое использование современных методов теории вероятностей и математической статистики в естественно-научных и гуманитарных исследованиях. Решение о создании данной лаборатории А.Н. Колмогоров принял после своего возвращения из Индии, где он был поражен размахом работ в области прикладной статистики в разнообразных отраслях знания. В то время в Индии, в институте, руководимом Махаланобисом, работало около 2000 человек! Ничего подобного не было в то время (да и сейчас тоже!) в нашей стране. Первоначально в лаборатории работало около 20 сотрудников, а к моменту ее закрытия после смерти ректора МГУ И.Г. Петровского, было уже более 130 человек.

Весьма интересно об этом периоде жизни А. Колмогорова пишет в книге "Канатоходец" В.В. Налимов, долгие годы работавший его заместителем в данной лаборатории. Приведем одну цитату из этой книги. "Поставленный выше вопрос можно было бы переформулировать так: какова должна быть математическая подготовленность нематематика, желающего использовать в своей работе вероятностно-статистические методы? Этот вопрос приобретает особую остроту в связи с тем, что широкое развитие вычислительной техники позволяет обращаться к программам и совсем не подготовленным пользователям. Опасность такого рода деятельности состоит в том, что прикладная математика все же всегда остается дедуктивной наукой. Модель нельзя получить непосредственно из экспериментальных данных, не опираясь на предпосылки, привносимые исследователем. Скажем, нужно отчетливо понимать, что результаты кластер-анализа всегда несут в себе некоторую неопределенность - они зависят от метрики пространства, сконструированного исследователем (т. е. от выбора шкал, в которых представляются измерения).

Или другой пример: нужно четко осознавать, что оценки коэффициентов регрессии в реальных задачах так называемого пассивного (т. е. непланируемого) эксперимента всегда все же оказываются смещенными в силу того обстоятельства, что никогда нельзя включить в рассмотрение все независимые переменные, ответственные за изучаемое явление. Можно поставить задачу и шире: всегда ли адекватны изучаемой ситуации исходные положения фишеровской концепции математической статистики? Эту тему я многократно обсуждал с Андреем Николаевичем (дискуссии по этой теме время от времени вспыхивают в научных журналах). Рассматривая эту тему, я предложил ввести новую междисциплинарную специализацию. Речь здесь шла о подготовке в Университете выпускников смешанного профиля - скажем, математически ориентированных биологов, психологов и пр. Соотношение изучаемых дисциплин - математических и предметных могло бы быть 1:1. Специалист такого профиля мог бы выступать в роли консультанта, поддерживающего на должном уровне процесс математизации таких научных дисциплин, которые традиционно развивались, не опираясь на математические знания. Во многих зарубежных странах такой процесс давно начался. Там обрела право на существование такая специальность, как биометрика (В 1985 г. в Венгрии состоялась первая Европейская конференция по биометрике, организованная Международным биометрическим обществом.

В это Общество входит более 6500 членов из 70 стран. Наша страна до сих пор не входит в него (ничего не изменилось и по состоянию на 2003 г. - В.Л.). На упомянутой выше конференции от нас было два представителя, а от ГДР - около тридцати). Специалисты этого профиля выступают не только в роли консультантов, но и в роли организаторов больших межклинических и межлабораторных исследований. Несколько лет назад подготовка специалистов по биометрике началась в бывшей ГДР (Ростокский университет, руководитель программы - профессор Д. Раш). В те годы Андрей Николаевич поддержал мое предложение. Сохранилось его письмо, содержащее детальное обсуждение математической составляющей такой программы. Но реализовать этот замысел все же не удалось. Не поддержал его ректор - И. Г. Петровский. Резко отрицательно к нему отнеслись в тогдашнем Минвузе. Одна из руководящих сотрудниц этого Министерства раздраженно заметила: «А что же мы тогда напишем в дипломе?» Жесткая регламентация довлела надо всем, и в том числе над структурой университетского образования. Теперь стало ясно, что подготовка специалистов междисциплинарного профиля может быть обоснована и с других, пожалуй, более, серьезных позиций. Опыт показывает, что приложение математики в таких науках, как биология, психология, языкознание и социология, не должно ограничиваться решением только внешних задач операторного характера (обработка данных, планирование эксперимента). Здесь назревает задача создания своего собственного математизированного языка для построения аксиоматизированных теорий по аналогии с тем, как это произошло в физике.

Существенно математизированным, как это мне представляется, должен стать язык для создания теории смыслов, так же как, скажем, язык, на котором могла бы быть построена теория проявления живого. Понимая роль полевых представлений в современной физике, хочется думать о возможности введения аксиоматизированных представлений о биологических (морфофизиологических) и семантических полях. Но трудно заранее представить себе, на какие разделы математики будут опираться эти представления. Можно сказать только одно - здесь нужны мыслители, знающие как предметную область, так и математику в широком раскрытии. Но работать в междисциплинарной области опасно - всегда можно попасть под удар со стороны представителей монодисциплинарного знания: их локальная эрудиция будет выше эрудиции полидисциплинарного исследователя. Опыт моей более чем 40-летней работы в прикладной вероятностно ориентированной математике показал мне, что как математики, так и представители конкретных наук стараются не уходить далеко за пределы их исходного образования.

Мысленно обращаясь к прошлым беседам с Андреем Колмогоровым, он включился бы в поиски путей подготовки ученых широкого я думаю, что в наши дни - дни становления нового – он включился бы в поиски путей подготовки ученых широкого профиля. Сам А. Н. не раз говорил, что он не только математик, но и естествоиспытатель. В 1976 г. в МГУ была открыта кафедра математической статистики, которой А.Н. Колмогоров заведовал до 1979 г. С 1980 г. и до конца своей жизни Андрей Николаевич заведовал кафедрой математической логики.

В 1953 г. Андрей Колмогоров был избран почетным членом Московского математического общества, а в период с 1964 по 1966 и с 1973 по 1985 г. он являлся его Президентом.

В разные годы Андрей Колмогоров был членом редколлегий журналов "Матемагический сборник", "Доклады АН СССР", "Успехи математических наук". С 1946 по 1954 г. и с 1983 г. по день кончины Андрей Николаевич был главным редактором "Успехов математических наук".

В 1956 г. Колмогоров основывает журнал "Теория вероятностей и ее применения" и, с первого выпуска 1956 г. являлся главным редактором этого журнала, будучи инициатором создания физико-математического журнала для юношества "Квант", он с момента его возникновения (1970 г.) и до конца своих дней являлся первым заместителем главного редактора и руководил математическим разделом этого журнала.

Андрей Колмогоров был основателем и первым главой редакции математики и механики в Издательстве иностранной литературы (ныне - издательство "Мир"). В 1931 г. выходит в свет его фундаментальная статья "Об аналитических методах в теории вероятностей", а в 1933 г.- монография "Основные понятия теории вероятностей". Здесь завершается задача построения теории вероятностей как целостной математической теории. А.Н.Колмогоров внес существенный вклад в разработку алгебраической топологии (здесь ему принадлежит введение одного из центральных понятий этой теории - понятия когомологии), теории динамических систем (где им введен новый инвариант "энтропия"), теории сложности конструктивных объектов, где предложенные им идеи измерения сложности объекта нашли многообразные применения в теории информации, теории вероятностей и теории алгоритмов.

Андрей Колмогоров был одним из самых выдающихся представителей современной математики в самом широком смысле этого слова, включающем и прикладную математику. Его имя стоит рядом с именами Пуанкаре и Гильберта. Это положение Андрея Николаевича в науке пользуется бесспорным признанием в международном научном мире, и оно находит свое внешнее выражение, в частности, в том, что А.Н. Колмогорову принадлежит первое место среди всех советских математиков по числу иностранных академий и научных сообществ, избравших его своим сочленом, а также университетов, сделавших его своим почетным доктором.

Андрей Колмогоров был членом практически всех наиболее авторитетных научных сообществ мира:

Почетный доктор Парижского университета (1955)
- иностранный член Польской академии наук (1956)
- почетный член Королевского статистического общества (Великобритания, 1956)
- член Международного статистического института (1957)
- почетный член Американской академии искусств и наук в Бостоне (1959)
- член Германской академии естествоиспытателей "Леопольдина" (1959)
- почетный доктор Стокгольмского университета (1960)
- иностранный член Американского философского общества в Филадельфии (1961)
- почетный член Индийского статистического общества в Калькутте (1962)
- почетный член Американского метеорологического общества (1962)
- почетный член Индийского математического общества (1962)
- иностранный член Нидерландской королевской академии наук (1963)
- иностранный член Лондонского королевского общества (1964)
- почетный член Румынской академии (1965)
- почетный член Венгерской академии наук (1965)
- иностранный член Национальной академии наук США (1967)
- иностранный член Парижской академии наук (1968)
- почетный член Международной академии истории науки (1977)
- иностранный член Академии наук ГДР (1977)
- иностранный член Общества ордена "Пур ля Мерит" ФРГ (1977)
- член Академии наук Финляндии (1985).

В мировой науке, чтобы отметить достижения в тех областях, которые не охватываются Нобелевскими премиями, были учреждены Бальцановские премии. В 1963 г. состоялось первое присуждение Бальцановской премии по математике, и ее лауреатом стал А. Н. Колмогоров. Это была высшая оценка вклада А. Н. Колмогорова в мировую науку.

Международная премия имени Н.И.Лобачевского Академии наук СССР присуждена в 1986 году. Андрей Колмогоров был лауреатом Ленинской премии (1965 г., за работы по классической механике), Государственной (Сталинской) премии (1941 г., за работы по теории случайных процессов), премии им. Чебышева АН СССР (1949г.). Ему было присвоено звание Героя Социалистического Труда (1963 г.), он был награжден семью орденами Ленина, другими орденами и медалями СССР, а также венгерским орденом Знамени, медалью им. Гельмгольца Академии наук ГДР, золотой медалью Американского метеорологического общества.

Многие ученики Андрея Колмогорова стали крупными учеными в разных областях науки, среди них - В. И. Арнольд, И. М. Гельфанд, М. Д. Миллионщиков, Ю. В. Прохоров, А. М. Обухов, А. С. Монин, А. Н. Ширяев. Сам А. Колмогоров говорил: «Мне повезло на талантливых учеников. Многие из них, начав работу вместе со мной в какой-нибудь области, потом переходили на новую тематику и уже совершенно независимо от меня получали замечательные результаты. Скажу в виде шутки, что в настоящее время один из моих учеников управляет земной атмосферой (А. М. Обухов), а другой - океанами (А. С. Монин)».

Андрей Николаевич Колмогоров - цитаты

Я всегда считал, что истина - главное.

Занимаясь с некоторым успехом, а иногда и с пользой, довольно широким кругом практических приложений математики, я остаюсь, в основном, чистым математиком. Восхищаясь математиками, которые превратились в крупных представителей нашей техники, вполне оценивая значение для будущего человечества вычислительных машин и кибернетики, я все же думаю, что чистая математика в ее традиционном аспекте еще не потеряла своего почетного места среди других наук. Гибельным для нее могло бы оказаться только чрезмерно резкое расслоение математиков на два течения: одни культивируют абстрактные новейшие разделы математики, не ориентируясь отчетливо в их связях с породившим их реальным миром, другие заняты "приложениями", не восходя до исчерпывающего анализа их теоретических основ. Поэтому мне хочется подчеркнуть законность и достоинство позиции математика, понимающего место и роль своей науки в развитии естественных наук, техники, да и всей человеческой культуры, но спокойно продолжающего развивать "чистую математику" в соответствии с внутренней логикой ее развития.

Математика велика. Один человек не в состоянии изучить все ее разветвления. В этом смысле специализация неизбежна. Но в то же время математика - единая наука. Всё новые и новые связи возникают между ее разделами, иногда самым непредвиденным образом. Одни разделы служат инструментами для других разделов. Поэтому замыкание математиков в слишком узких предлах должно быть гибельно для нашей науки. Положение облегчается тем, что работа в области математики, в принципе, коллективна. Должно быть некоторое количество математиков, которые понимают взаимные связи между самыми различными областями математики. С другой стороны, можно работать с большим успехом и в какой-нибудь совсем узкой ветви математики. Но в этом случае надо еще, хотя бы в общих чертах, понимать связи между своей специальной областью исследования и областями смежными, понимать, что, по существу, научная работа в математике - коллективная работа.

Человечество всегда мне представлялось в виде множества блуждающих в тумане огоньков, которые лишь смутно чувствуют сияние, рассеиваемое всеми другими, но связаны сетью ясных огненных нитей, каждый в одном, двух, трех... направлениях. И возникновение таких прорывов через туман к другому огоньку вполне разумно называть "ЧУДОМ".

Андрей Николаевич Колмогоров

Колмогоров Андрей Николаевич (1903-1987), российский математик, основатель научных школ по теории вероятностей и теории функций, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963). Фундаментальные труды по теории функций, математической логике, топологии, дифференциальным уравнениям, функциональному анализу и особенно по теории вероятностей (аксиоматическое обоснование, теория случайных процессов) и теории информации. Ленинская премия (1965), Государственная премия СССР (1941).

КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич (12/25.04.1903-20.10.1987), русский математик. Автор ряда мировых открытий. Создатель научной школы по теории вероятностей и теории функций. Автор фундаментальных трудов по механике (теория турбулентности), информатике, математической логике, топологии (теория верхних гомологий), дифференциальным уравнениям, функциональному анализу, теории функций и, особенно, по теории вероятностей (аксиоматическое обоснование, теория случайных процессов).

Исторический словарь:

КОЛМОГОРОВ Андрей Николаевич (1903-1987) - советский ученый, математик, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963), лауреат Сталинской (1941) и Ленинской премий (1965).

Профессор Московского университета с 1931 г. Научную деятельность начал в области теории функций переменного, создав фундаментальные труды по тригонометрическим рядам, теории меры, теории множеств , теории интеграла, теории приближения функций. Его работы в области теории вероятностей имеют основополагающее значение. Развил теорию стационарных случайных процессов, процессов со стационарными приращениями, ветвящихся процессов. Внес важный вклад в теорию информации, в исследования по теории стрельбы, статистическим методам контроля массовой продукции, применениям математических методов в биологии, математической лингвистике.

Создал научные школы в области теории вероятностей и теории функций, из которых вышли многие советские ученые - академики АН СССР. Член Парижской АН, Лондонского королевского общества и ряда других зарубежных академий и научных обществ.

Орлов А.С., Георгиева Н.Г., Георгиев В.А. Исторический словарь. 2-е изд. М., 2012, с. 229-230.

Колмогоров Андрей Николаевич [р. 12(25). 4.1903, Тамбов], советский математик, академик АН СССР (1939), Герой Социалистического Труда (1963). Окончил Моск. гос. ун-т (1925), с 1931 профессор ун-та. Внёс большой вклад в развитие математики и её приложений. Его труды оказали большое влияние на развитие таких разделов математики, как теория функций действительного переменного, конструктивная логика, теория дифференциальных уравнений, функциональный анализ и др. Особенно велико значение работ К. по теории вероятностей. В годы Великой Отечеств, войны К. уделял большое внимание разработке проблем, имеющих непосредств. отношение к обороне страны. Ему принадлежат исследования по теории стрельбы, по статистич. методам контроля массовой продукции. К. создал большую научную школу в области теории вероятностей и теории функций. Среди его учеников такие крупные учёные, как А. И. Мальцев, М. Д. Миллионщиков, С. М. Никольский, Ю. В. Прохоров, А. М. Обухов и др. К. проделал большую работу в области развития высшего образования в стране, популяризации матем. науки и совершенствования матем. образования в средней школе. Был редактором матем. отдела 1-го издания БСЭ, чл. главной редакции 2-го издания БСЭ. Чл. ряда зарубежных академий, ун-тов, науч. учреждений и обществ. К.- лауреат Гос. пр. СССР (1941), Ленинской пр. (1965), Междунар. премии Бальзана (1963). Награждён 6 орденами Ленина, орденом Трудового Красного Знамени, медалями.

Использованы материалы Советской военной энциклопедии в 8-ми томах, том 4.

Специалист по теории вероятности

В семь лет Колмогорова определили в частную гимназию. Она была организована кружком московской прогрессивной интеллигенции и все время находилась под угрозой закрытия.

В 1920 году он поступил на математическое отделение Московского университета.

В первые же месяцы Андрей сдал экзамены за курс.

Лекции профессора Московского университета Николая Николаевича Лузина, по свидетельству современников, были выдающимся явлением.

Первые публикации Колмогорова были посвящены проблемам дескриптивной и метрической теории функций. Наиболее ранняя из них появилась в 1923 году. Обсуждавшиеся в середине двадцатых годов повсюду, в том числе в Москве, вопросы оснований математического анализа и тесно с ними связанные исследования по математической логике привлекли внимание Колмогорова почти в самом начале его творчества. Он принял участие в дискуссиях между двумя основными противостоявшими тогда методологическими школами - формально-аксиоматической (Д. Гильберт) и интуиционистской (Л.Э.Я. Броуэр и Г. Вейль). При этом он получил совершенно неожиданный первоклассный результат, доказав в 1925 году, что все известные предложения классической формальной логики при определенной интерпретации переходят в предложения интуиционистской логики. Глубокий интерес к философии математики Колмогоров сохранил навсегда.

Многие годы тесного и плодотворного сотрудничества связывали его с А.Я. Хинчиным, который в то время начал разработку вопросов теории вероятностей. Она и стала областью совместной деятельности ученых.

Наука "о случае" еще со времен Чебышева являлась как бы русской национальной наукой. Ее успехи преумножили советские математики. Особое значение для приложения математических методов к естествознанию и практическим наукам имел закон больших чисел. Разыскать необходимые и достаточные условия, при которых он имеет место, - вот в чем заключался искомый результат. Крупнейшие математики многих стран на протяжении десятилетий безуспешно старались его получить. В 1926 году эти условия были получены аспирантом Колмогоровым.

Андрей Николаевич до конца своих дней считал теорию вероятностей главной своей специальностью, хотя областей математики, в которых он работал, можно насчитать добрых два десятка.

В 1930 году Колмогоров стал профессором МГУ, с 1933 по 1939 год был ректором Института математики и механики МГУ, многие годы руководил кафедрой теории вероятностей и лабораторией статистических методов. В 1935 году Колмогорову была присвоена степень доктора физико-математических наук, в 1939 году он был избран членом АН СССР. Незадолго до начала Великой Отечественной войны Колмогорову и Хинчину за работы по теории вероятностей была присуждена Государственная премия.

А Академик Колмогоров - почетный член многих иностранных академий и научных обществ. В марте 1963 года ученый был удостоен международной премии Больцано, которую называют "Нобелевской премией математиков". В том же году Андрею Николаевичу присвоили звание Героя Социалистического Труда. В 1965 году ему присуждена Ленинская премия. В последние годы Колмогоров заведовал кафедрой математической логики.

Умер Колмогоров в 1987 году.

Использован материал сайт http://100top.ru/encyclopedia/

Колмогоров Андрей Николаевич (12/25 апреля 1903, Тамбов - 20 октября 1997, Москва) - российский ученый, оказавший влияние на развитие ряда разделов математики (в т. ч. математической логики), ее философии, методологии, истории и преподавания, а также внесший значительный вклад в кибернетику, информатику, логику, лингвистику, историческую науку, гидродинамику, небесную механику, метеорологию, теорию стрельбы и теорию стиха. Действительный член Академии наук СССР (1939) и многих др. иностранных академий.

Колмогоров окончил физико-математический факультет Московского университета (1925) и аспирантуру там же (1929); во время обучения был учеником Н. Н. Лузина. Первые научные работы - одну по истории Новгорода (опубликована в 1994) и другую математическую (опубликована в 1987) - выполнил в январе 1921. Первая научная публикация - в 1923. С1931 состоял профессором Московского университета и внес выдающийся вклад в организацию математического образования. В МГУ Колмогоров создал и первым возглавил кафедру теории вероятностей (1935), лабораторию статистических методов (1963), кафедру математической статистики (1976); с 1980 и до конца жизни заведовал кафедрой математической логики. В Математическом институте им. Стеклова АН СССР Колмогоров с 1939 по 1960 возглавлял отдел теории вероятностей, а с 1983 - отдел математической статистики и теории информации.

Центральным для методологической позиции Колмогорова был вопрос о соотношении математических представлений с реальной действительностью. Подход Колмогорова к решению этого вопроса нашел отражение в его статье «Математика», опубликованной во всех изданиях БСЭ. Эта статья содержит оригинальную периодизацию истории математики, анализ предмета и метода математики и ее места в системе наук, а также специальный раздел, посвященный вопросам обоснования математики. В трудах Колмогорова вскрыты как внешние, так и внутриматематические мотивы возникновения новых математических понятий и теорий. Колмогоров отстаивал ту точку зрения, что восхождение к более высоким ступенях абстракции имеет практический смысл, и потому настаивал на более широком внедрении метода абстракции в преподавание. В 1933 Колмогоров предложил общепринятую ныне систему аксиоматического обоснования теории вероятностей. Для Колмогорова характерно повышенное внимание к различению в объектах и процессах конструктивного и неконструктивного. Конструктивными объектами с необходимостью являются объекты, участвующие в конструктивных процессах, а также выражения какого-либо языка. При этом выражение языка служит, как правило, именем неконструктивного объекта. Последнее наблюдение естественно приводит к понятию нумерации, служащему математическим выражением общей идеи соответствия между именами (в математической терминологии - «номерами») и их денотатами в рамках какой-либо системы имен (в математической терминологии - «нумерации»); основы теории нумераций были сформулированы Колмогоровым в 1954. Интерес к конструктивным процессам привел его к алгоритмической проблематике. В частности, в 60-х гг. он предложил новые, алгоритмические подходы к обоснованию теории вероятностей, что позволило в конечном счете дать строгое определение понятию случайности для индивидуального объекта (что недоступно традиционной теории вероятностей). В кибернетике Колмогоров проанализировал роль дискретного (в противопоставлении непрерывному) и отстаивал принципиальную возможность возникновения у машин мышления, эмоций, целенаправленной деятельности и способности конструировать еще более сложные машины. В информатике в 50-х гг. он предложил общее определение понятия алгоритма, а в 60-х гг., опираясь на алгоритмические представления, создал теорию сложности конструктивных объектов. Эта теория в свою очередь была применена им для построения нового обоснования теории информации. Выдающуюся роль в логике играют две статьи Колмогорова: «О принципе tertium non datur» (Математический сборник, 1925, т. 32, № 4, с. 668-677) и «Zur Deutung der intuitionistischen Logik» (Mathematische Zeitschrift, 1932, Bd. 35, S. 58 - 65); обе перепечатаны в его кн. «Избранные труды. Математика и механика» (вторая - в рус. пер.: «К толкованию интуиционистской логики»). Обе объединены общей идеей - на-вести мост между интуиционистской логикой и традиционной, или «классической», логикой, причем сделать это средствами, свободными как от идеологии интуиционизма, так и от крайностей теоретико-множественного догматизма. В статье 1925 предлагается такая интерпретация «классической логики, которая приемлема с точки зрения интуиционизма; напротив, в статье 1932 предлагается такая интерпретация интуиционистской логики, которая приемлема с классических позиций.

В статье «О принципе...» ученый принимает предпринятую главой интуиционизма Брауэром критику традиционной логики, при этом обнаруживая в последней еще один уязвимый, но обойденный критикой Брауэра логический принцип, а именно принцип, выражаемый аксиомой А -> (-> А->В). Как указывает Колмогоров, эта аксиома «не имеет и не может иметь интуитивных оснований как утверждающая нечто о последствиях невозможного». Он выдвигает два вопроса: 1) почему незаконное, с интуиционистской точки зрения, применение исключенного третьего принципа часто остается незамеченным? 2) почему оно не привело до сих пор к противоречию? На оба вопроса в статье даются ответы. На 1-й вопрос - потому что применения закона исключенного третьего оправданы, коль скоро возникающее в результате таких применений суждение носит финитный характер; действительно, в этом случае оно может быть доказано и без использования указанного закона (это открытие опровергло точку зрения Брауэра о том, что при получении финитных результатов должны быть запрещены нефинитные умозаключения). На 2-й вопрос - потому что если бы противоречие было получено при использовании закона исключенного третьего, то оно могло бы быть получено и без него; здесь впервые в истории логики произошло (предвосхитившее последующие работы Гёделя 30-х гг.) доказательство относительной непротиворечивости формальной аксиоматической системы, т. е. такое доказательство непротиворечивости, которое использует презумпцию о непротиворечивости другой системы. Колмогоров точно очертил круг тех суждений, для которых составленные из них тавтологии классической логики высказываний являются интуиционистски обоснованными: это суть те и только те суждения, для которых выполняется двойного отрицания закон. В этой же статье Колмогоров впервые предложил позитивный анализ обоснованности с точки зрения интуиционизма, традиционной, или. «классической», математики. Одновременно он впервые сделал интуиционистскую логику объектом строгого математического анализа. В статье была предложена первая система аксиом для этой логики, ныне известная как минимальное исчисление для отрицания и импликации.

В 1-м разделе статьи «Zur Deutung...» («К толкованию...») Колмогоров наполняет формулы интуиционистской пропозициональной логики новым содержанием, свободным от философских предпосылок интуиционизма. Он предлагает рассматривать каждую такую формулу не как утверждение, а как проблему (т. е. как требование указать или построить объект, подчиненный тем или иным заранее заданным условиям). Понятие проблемы, или задачи, есть одно из фундаментальных понятий логики; Колмогоров был первым, кто включил это понятие в логико-математический дискурс, предвосхитив т. н. семантику реализуемости (Клини-Нельсона). Предложенная Колмогоровым интерпретация интуиционистской логики близка к концепции Гейтинга, однако у последнего отсутствует четкое различение между суждением и проблемой. Существенным этапом в становлении логического мышления явилось предложенное Колмогоровым уточнение представления о сводимости одной проблемы к другой. Сам Колмогоров впоследствии так определял цель статьи: «Работа писалась в надежде на то, что логика решения задач сделается со временем постоянным разделом курса логики. Предполагалось создание единого логического аппарата, имеющего дело с объектами двух типов - высказываниями и задачами». Во 2-м разделе статьи выдвигается и обосновывается следующий взгляд: с интуиционистской точки зрения нельзя, вообще говоря, рассматривать отрицание общего суждения в качестве содержательного суждения. «Но тогда, - указывает Колмогоров, - исчезает предмет интуиционистской логики, поскольку теперь принцип исключенного третьего оказывается справедливым для всех суждений, для которых отрицание вообще имеет смысл. Возникает, однако, новый вопрос: какие логические законы справедливы для суждений, отрицание которых не имеет смысла?»

В. А. Успенский

Новая философская энциклопедия. В четырех томах. / Ин-т философии РАН. Научно-ред. совет: В.С. Степин, А.А. Гусейнов, Г.Ю. Семигин. М., Мысль, 2010, т. II, Е – М, с. 272-274.

Сочинения:

Элементы теории функций и функционального анализа. Изд. 3-е. М., 1972. Библиогр.: с. 488- 489.

Основные понятия теории вероятностей. М., 1974;

Введение в математическую логику. М., 1982 (соавтор Драгалин А. Г.)\

Математическая логика: Дополнительные главы. М., 19S4 (соавтор Драгалин А. Г.);

Избр. труды. Математика и механика. М., 1985; Теория вероятностей и математическая статистика. М., 1986; Теория информации и теория алгоритмов. М., 1987; Математика - наука и профессия. М., 1988; Математика в ее историческом развитии. М., 1991; Новгородское землевладение XV века. М., 1994; Современные споры о природе математики. - «Научное слово», 1929, № 6; Современная математика. - Сб. статей по философии математики. М., 1936; Предисловие. - В кн.: Гейтинг А. Обзор исследований по основаниям математики. М., 1936; Предисловие редактора перевода. - В кн.: Петер Р. Рекурсивные функции. М., 1954; Предисловие. - В кн.: Эшби У. Р. Введение в кибернетику. М., 1958; Жизнь и мышление как особые формы существования материи. - В кн.: О сущности жизни. М., 1965; Письма А. Н. Колмогорова к А. Рейтингу. - «Успехи математических наук», 1988, т. 43, вып. 6; Семиотические послания. - «Новое литературное обозрение», 1997, № 24.

Соавт.: С. В. Фомин; Основные понятия теории вероятностей. Изд. 2-е. М., 1074.

Литература:

Гнеденко Б. В. Андрей Николаевич Колмогоров (К 70-летию со дня рождения). - «Успехи мат. наук», 1973, т. 28, вып. 5 (173), с. 5-15.

Успенский В: А. Наш великий современник Колмогоров. - В кн.: Колмогоров А. Математика в ее историческом развитии. М., 1991;

Колмогоров в воспоминаниях. М., 1993;

Uspensky V. A. Kolmogorov and mathematical logic. - «The Journal of Symbolic Logic», 1992, vol. 57. N 2, P. 385-412;

Youshckmtch A. P. A. N. Kolmogorov: Historian and Philosopher of Mathematics. - «Historia mathematica», 1983, vol. 10, N 4, R 383-395.

Жизнь в поисках истины

К 100-летию со дня рождения
Андрея Николаевича Колмогорова

Член-корреспондент РАН А.Н. Ширяев

Человек, которому было суждено одарить мир хотя бы одной великой созидательной идеей, не нуждается в похвале потомства. Его творчество даровало ему более значительное благо.

Альберт Эйнштейн

Великий русский ученый, один из крупнейших математиков 20-го столетия, достойно признанный едва ли не всеми авторитетными научными сообществами мира, - член Национальной академии наук США и американской Академии искусств и наук, член Нидерландской королевской академии наук и Академии наук Финляндии, член Академии наук Франции и Германской академии естествоиспытателей “Леопольдина”, член Международной академии истории наук и национальных академий Румынии, Венгрии и Польши, почетный член Королевского статистического общества Великобритании и Лондонского математического общества, почетный член Международного статистического института и Математического общества Индии, иностранный член Американского философского и Американского метеорологического обществ; лауреат самых почетных научных премий: премии П.Л.Чебышева и Н.И.Лобачевского Академии наук СССР, Международной премии Фонда Бальцана и Международной премии Фонда Вольфа, а также Ленинской и Государственной премий, награжденный семью орденами Ленина и золотой медалью Героя Социалистического Труда - академик Андрей Николаевич Колмогоров сам себя называл “просто профессором Московского университета”.

Андрей Николаевич Колмогоров
(1903-1987)

С университетом связана вся жизнь Андрея Николаевича начиная с 1920 г., когда 17-летним юношей он пришел на физико-математический факультет, и до самого последнего своего дня - 20 октября 1987 г., когда его не стало. От первой научной статьи “Доклад математическому кружку о квадрильяже”, датированной 1921 г., и до “Избранных трудов”, для первых трех томов которых, вышедших в 1985-1987 гг., он еще сам отобрал работы. Между этими двумя датами 65 лет - огромная жизнь. Эта жизнь вместила в себя столько творческих свершений, что за время, прошедшее со дня его кончины, не удается даже приблизиться к сколько-нибудь полному их описанию.

Заведомо нет возможности, да вряд ли и есть необходимость, стараться представить здесь математическое творчество Колмогорова. “Андрей Николаевич Колмогоров занимает уникальное место в современной математике, да и в мировой науке в целом. По широте и разнообразию своих научных занятий он напоминает классиков естествознания прошлых веков”, - свидетельствуют Н.Н.Боголюбов, Б.В.Гнеденко и С.Л.Соболев в своей юбилейной статье к 80-летию Колмогорова [1 ]. Работы по теории тригонометрических рядов, теории меры и теории множеств; исследования по теории дифференцирования и интегрирования, теории приближений, конструктивной логике, топологии, теории суперпозиций функций и знаменитой 13-й проблеме Гильберта; труды по классической механике, эргодической теории и теории турбулентности, диффузии и моделям динамики популяций; работы по основаниям теории вероятностей, предельным теоремам, общей теории случайных процессов, теории марковских, стационарных и ветвящихся процессов, математической статистике, теории автоматов и применениям математических методов в гуманитарных науках (в том числе, работы по теории стиха и статистике текста); исследования по истории и методологии математики - вот неполный перечень областей, в которых Колмогоровым получены основополагающие результаты, выработаны принципиально важные концепции, определившие лицо и пути развития многих разделов математики ХХ в. и других ветвей науки и знаний. Почти треть своей жизни Андрей Николаевич посвятил школьному математическому образованию, он оставил огромное число работ о содержании и методах обучения математике в средних учебных заведениях, научно-популярные статьи для учащихся и учителей и непосредственно учебники для средней школы.

За время, прошедшее после кончины Андрея Николаевича, вышли три больших сборника воспоминаний о нем (“Колмогоров в воспоминаниях” [2 ], “Явление чрезвычайное. Книга о Колмогорове” [3 ], и “KOLMogorov in Perspective” [4 ]) и огромное число иных публикаций по всему миру. Достаточно сказать, что раздел “О Колмогорове” в его библиографии уже содержит более 150 позиций. Эта обновленная, пополненная и выверенная библиография войдет в первую биобиблиографическую книгу юбилейного издания “Колмогоров”, посвященного 100-летию со дня рождения великого ученого. Книга включает также большой очерк о жизни и творчестве Колмогорова и некоторые другие материалы к его биографии. Во второй книге публикуется избранная переписка Колмогорова с другом всей его жизни и одним из первых учителей, выдающимся математиком, топологом и геометром Павлом Сергеевичем Александровым. В третьей книге впервые увидят свет некоторые дневники Андрея Николаевича.

Из писем и дневников для публикации отобраны относящиеся к довоенному и военному периодам, уже отдаленным от нас и нашего времени, но таким ярким и насыщенным творческими свершениями и дружбой. Эти три книги под общим названием “Колмогоров” должны выйти к международной юбилейной конференции “Колмогоров и современная математика”, которая пройдет в Москве под эгидой Российской академии наук и Московского университета с 16 по 21 июня 2003 г.

“Начало было так далёко, так робок первый интерес…”

Отодвинемся мысленно на эти 100 лет назад, в апрель 1903-го, когда в Тамбове, по пути из Крыма, оказалась младшая из шести дочерей предводителя угличского дворянства и почетного попечителя народных училищ Ярославской губернии, зажиточного помещика либеральных взглядов Якова Степановича Колмогорова. Там, в Тамбове, Мария Яковлевна родила сына. Она не перенесла родов, и в дом ее отца, в имение Туношна под Ярославлем пришла тревожная телеграмма:

ОЧЕНЬ НЕБЛАГОПОЛУЧНО. ПРИЕЗЖАЙТЕ НЕМЕДЛЕННО.

Эта телеграмма, записанная от руки на почтовом бланке, и сейчас хранится в колмогоровском доме. За маленьким выехала старшая из дочерей, Софья Яковлевна, и в десятидневном возрасте он был привезен в дом деда и наречен Андреем (будто бы в честь князя Андрея Болконского, любимого литературного героя его матери). Все заботы о младенце взяли на себя его тетушки, и позднее одна из них, Вера Яковлевна, усыновила его и прожила с ним всю жизнь до самой своей кончины в 1951 г. Крестным отцом Андрея стал его единственный дядя, Степан Яковлевич Колмогоров. Родители мальчика не были венчаны, и при крещении, по правилам того времени, он должен был получить, по имени своего крестного, отчество Степанович и фамилию Степанов. Но тут было разрешено сделать отступление от правил: Андрей получил фамилию матери - Колмогоров, а отчество по отцу - Николаевич.

Отец Андрея Николаевича, Николай Матвеевич Катаев, по образованию агроном, окончивший Петровско-Разумовский сельскохозяйственный институт (ныне - Тимирязевская академия), оказался в Ярославле в ссылке за участие в народнической организации, работал земским статистиком. Он был практически отстранен от участия в воспитании маленького сына хлопотавшими вокруг него тетушками, хотя, как свидетельствуют его недавно найденные письма, очень печалился об этом и не оставлял надежды со временем стать ему ближе. Но время распорядилось по-другому - Николай Матвеевич погиб в гражданскую войну, в 1919 г.

Теперь невозможно судить, что было оставлено Андрею Николаевичу его отцом и что - его матерью. Однако в Свидетельстве об окончании Марией Яковлевной Колмогоровой в 1893 г. Ярославской гимназии читаем: “…с отличием и особыми успехами по выбранному специальному предмету - математика”. А агрономом, точнее лесоводом, Андрей Николаевич мечтал стать с самого детства.

У Якова Степановича Колмогорова был дом в Ярославле на Пробойной улице, доставшийся ему от отца Степана Петровича, который, по словам Андрея Николаевича, “разбогател и получил дворянство благодаря личной предприимчивости”. В Календаре Ярославской губернии на 1877 год говорится: “Пробойная улица. От площади Ильинской до площади Семеновской казенное здание Присутственных мест. Рядом дом Степана Петровича Колмогорова”. Из переписки Андрея Николаевича с автором Путеводителя по памятникам истории и культуры Ярославля узнаем, что Пробойная улица переименована в Советскую, в здании Присутственных мест расположился Облисполком, а на колмогоровском доме - мемориальная доска памяти выдающегося русского театрального деятеля Ф.Г.Волкова (1729-1763), основавшего в 1750 г. в Ярославле первую русскую профессиональную труппу. Каким образом дом перешел во владение Колмогоровых, Андрей Николаевич не знал, и ярославский краевед не смог ему объяснить. “В городском доме я бывал в гостях по нескольку дней или недель (хозяйство там вела моя тетка Варвара Яковлевна). Кроме городского дома в Ярославле Якову Степановичу принадлежал еще дом в Угличе и загородный дом в Туношне, в восемнадцати верстах от Ярославля вниз по Волге. В этом загородном доме я провел свое раннее детство” *.

* Эту и другие цитаты из высказываний А.Н.Колмогорова мы берем из разных опубликованных [ 2 ] - [ 9 ] или рукописных источников, не ссылаясь всякий раз на точный адрес.

Сестры Колмогоровы были свободомыслящими женщинами с высокими общественными идеалами. В туношенском доме размещался подпольный гектограф, и, как сообщил Андрей Николаевич, даже ему в младенческом возрасте удалось поучаствовать в революционном движении - во время очередного обыска нелегальная литература была спасена, будучи подложена под его колыбель. “Жандармы вошли, но не решились меня поднять. Они все-таки, конечно, тоже знали, что эти злокозненные молодые женщины, как-никак, являются дочерьми местного предводителя дворянства, так что у них были сложные задачи”, - заключил Андрей Николаевич, посмеиваясь.

Имение в Туношне,
где прошло его детство.

Единственная сохранившаяся
фотография отца и матери.

С тетушкой Верой Яковлевной (1863-1951),
усыновившей Андрея Николаевича.

Радость математического открытия

В туношненском доме тетушки Андрея Николаевича “устроили маленькую школу, в которой занимались с десятком детей разного возраста по новейшим рецептам того времени” (позднее в Туношне “на средства Варвары Яковлевны Колмогоровой было отстроено здание школы из пустотелых кирпичей, бывшее тогда технической новинкой” ). В школе “издавался” журнал “Весенние ласточки”, в котором А.Н. “публиковал” придуманные им арифметические задачки. Среди них была, например, такая: “Имеется пуговица с четырьмя дырочками. Для ее закрепления достаточно протянуть нить, по крайней мере, через две дырочки. Сколькими способами можно закрепить пуговицу?”

В статье “Как я стал математиком”, откуда мы процитировали эти строки, читаем:

“Радость математического открытия я познал рано, подметив в возрасте пяти-шести лет закономерность:

1 = 1 2

1 + 3 = 2 2

1 + 3 + 5 = 3 2

1 + 3 + 5 + 7 = 4 2 , и так далее”.

В Москве, куда в 1910 г. Андрей Николаевич прибыл с Верой Яковлевной для получения образования, он определяется в частную гимназию Е.А.Репман, основанную кружком демократической интеллигенции, одну из немногих с совместным обучением мальчиков и девочек и из самых умеренных в отношении платы за обучение. Андрей Николаевич вспоминал:

“В гимназии классы были маленькие (15 - 20 учеников). Значительная часть учителей сама увлекалась наукой. Иногда это были преподаватели университета, наша преподавательница географии сама участвовала в интересных экспедициях. Многие школьники состязались между собой в самостоятельном изучении дополнительного материала, иногда даже с коварными замыслами посрамить своими знаниями менее опытных учителей. Делался опыт ввести в традицию публичную защиту кончающими учащимися выпускного сочинения. По математике я был одним из первых в своем классе, но первыми более серьезными научными увлечениями в школьное время для меня были сначала биология, а потом русская история”.

“В детские годы мечты о будущей деятельности законно переплетаются с игрой. В 11-12 лет я затратил немало труда на собирание подробных сведений о необитаемых островах южных океанов, так как собирался навербовать выходцев из разных стран и организовать на этих островах некое идеальное государство, для которого даже написал конституцию. Был предусмотрен и военный флот для защиты от возможных посягательств на нашу свободу. Но в 13-14 лет такие занятия были бы уже дурашливостью. К тому же наступил 1917 год, и мы все, товарищи по школе, вдруг стали взрослыми.

Первым серьезным планом дальнейшей жизни и работы было намерение заняться лесным хозяйством - стать лесничим, сажать леса, растить их и охранять. Увлекала, конечно, и романтика жизни в лесу.

Мои способности к математике к этому времени уже в значительной мере проявились. Я решал трудные задачи, а в теории ушел много дальше школьных программ. Высшую математику изучал по статьям в Энциклопедическом словаре Брокгауза и Ефрона, что не слишком легко, так как статьи эти имели не учебный характер, а скорее справочный. Но оформленная мысль стать математиком, исследователем, самому делать в математике серьезные открытия, продвигать математическую науку вперед, пришла не сразу. Скорее всего, в шестнадцать лет”.

Если революционные события 1905 г. пришлись на очень ранний возраст Андрея Николаевича, то обе революции 1917 г. застали его уже 14-летним. Мы не знаем доподлинно, как отнесся юный Колмогоров к этим потрясениям - знаем только, что как раз в этом возрасте он стал самостоятельно двигаться в математике и пришел в университет с довольно значительными познаниями. Одновременно он поступил и на математическое отделение Химико-технологического института им. Д.И.Менделеева. “Техника тогда воспринималась как что-то более серьезное и необходимое, чем чистая наука”, - так он объясняет этот свой шаг. Обучение сразу пошло успешно: “Сдав в первые же месяцы экзамены за первый курс, я получил право на 16 килограммов хлеба и 1 килограмм масла в месяц, что, по представлениям того времени, обозначало уже полное материальное благополучие. Одежда у меня была, а туфли на деревянной подошве я изготовил себе сам”.

“В первые студенческие годы, кроме математики, я занимался самым серьезным образом в семинаре по древнерусской истории профессора С.В.Бахрушина”. В этом семинаре в 1920 г. Колмогоров сделал свой первый научный доклад о земельных отношениях в Новгороде на основе анализа писцовых книг XV-XVI вв. “с использованием некоторых приемов математической теории”. Долгое время считалось, что рукописи первых работ Колмогорова по истории не сохранились. Найденные недавно, они опубликованы его учеником Л.А.Бассалыго [10 ]. “Будь работа Андрея Николаевича издана вскоре после ее написания, наши знания сегодня были бы много полнее и, главное, точнее… История потеряла гениального исследователя, математика навсегда приобрела его”, - так оценивает сегодня эту работу историк академик В.Л.Янин во вступлении к ее публикации.

В стране Лузитания

Андрей же Николаевич делает окончательный выбор в пользу математики. Он становится учеником Н.Н.Лузина, одним из Лузитании. Вот как описывает свои первые встречи с Лузиным другой “лузитанин”, Павел Сергеевич Александров:

“Я впервые встретился с Николаем Николаевичем Лузиным, будучи студентом 2-го курса. Впечатление от этой встречи было, можно сказать, потрясающим, и я запомнил его на всю жизнь. Обратившись к нему после лекции за советом, как мне заниматься математикой дальше, я был, прежде всего, поражен внимательностью и, не могу найти другого слова, уважением к собеседнику, как ни странно звучит это, когда речь идет о беседе уже знаменитого, хотя и молодого еще ученого, с 18-летним студентом. Выслушав меня, Лузин умело поставленными вопросами очень скоро разобрался в характере моих математических склонностей и сразу же в доступной форме обрисовал основные направления, которые он мог мне предложить для дальнейших занятий; он сам меня склонил к выбору одного из этих направлений, причем все это было сделано очень тонко, без всякого нажима и - как я теперь могу сказать - очень правильно. Я стал тогда же учеником Лузина, и это было в эпоху его наивысшего творческого подъема. Лузин жил тогда совершенно один в меблированных комнатах, жил только наукой. Мне запомнилась его фраза, сказанная в одну из многочисленных наших встреч: «Я дни и ночи думаю над аксиомой Цермело (такая есть в математике знаменитая аксиома, которая была тогда - и еще много лет спустя - в центре исследований по логическим основаниям математики). Если бы только кто-нибудь знал, что это за вещь!»” [11 ].

Вхождение сначала Александрова, а затем и Колмогорова в Лузитанию (так называли свою страну ученики Лузина) пришлось на время, в котором Николай Николаевич получил все самые значительные свои результаты. “В нем в эти годы ярко проявлялось то, что может называться вдохновенным отношением к науке, и его ученики не только учились у него математике, но и получали урок того, что такое настоящий ученый, а также и того, чем может и должен быть профессор университета. Им становилось зримо понятным, что наука и приобщение к ней новых молодых людей - две стороны одной и той же деятельности - деятельности ученого”, - продолжим мы цитату Александрова.

“Возможность общаться с Н.Н.Лузиным, рассказывать ему еще не полностью завершенные результаты была очень важна”, - вторит ему Колмогоров. Среди недолгих, но ярких учителей молодого Колмогорова следует назвать еще одного “лузитанина”, П.С.Урысона, лекции которого слушал Андрей Николаевич на самых первых курсах. “На одной из лекций Урысона Андрей Николаевич заметил ошибку в сложных построениях Павла Самуиловича в его доказательстве теоремы о размерности трехмерного пространства. Ошибку эту Урысон на другой же день исправил, но острота математического восприятия, проявленная восемнадцатилетним студентом Колмогоровым, произвела на него большое впечатление”, - свидетельствует Павел Сергеевич. Андрей же Николаевич пишет: “Московская математика того времени была богата яркими и талантливыми индивидуальностями, но П.С.Урысон и на этом фоне выделялся универсальностью интересов в соединении с целеустремленностью в выборе предмета собственных занятий, отчетливостью постановки задач, ясной оценкой своих и чужих достижений в соединении с доброжелательством в применении к достижениям совсем маленьким”.

Эти слова, сказанные Колмогоровым о своем очень рано и нелепо погибшем (во время купания в шторм) учителе, любой из его учеников мог бы сказать о нем самом.

К 1929 г. студенчество и аспирантура позади. Колмогоров - автор уже более двух десятков работ, среди которых и выдающиеся: самый знаменитый результат в области тригонометрических рядов - пример ряда Фурье-Лебега, расходящегося почти всюду; первая статья по теории вероятностей “О сходимости рядов, члены которых определяются случаем” (совместно с другим учеником Лузина - А.Я.Хинчиным); первая работа по интуиционистской логике “О принципе «tertium non datur»”. Об этой работе Андрей Николаевич говорил: “Работа мыслилась мною как вводная часть более широкого замысла. Построение в рамках интуиционистской математики моделей различных разделов классической математики должно было служить для обоснования их непротиворечивости”. Осенью 1929 г. Колмогоров становится научным сотрудником Института математики Московского университета (этот Институт объединял математиков, отделяя их от физиков тогда еще общего физико-математического факультета).

Всего через два года Андрей Николаевич становится профессором, еще через два - директором (!) этого Института. И дальше каждые два года какой-нибудь серьезный шаг: в 1935 г. Колмогоров основывает в университете кафедру теории вероятностей (и становится ее заведующим), затем открывает и тоже возглавляет отдел теории вероятностей в Математическом институте им.В.А.Стеклова АН СССР и, наконец, в 1939 г. избирается (минуя член-корреспондентство) действительным членом Академии наук, членом президиума и академиком-секретарем Отделения физико-математических наук.

“Души высокая свобода, что дружбою наречена”

А между окончанием аспирантуры и началом работы, летом 1929 г., состоялось лодочное путешествие, неожиданно ставшее вехой в жизни Колмогорова. В это путешествие по Волге, куда собирались Андрей Николаевич и его гимназический друг, был приглашен Павел Сергеевич Александров. “Мне до сих пор не совсем ясно, как я решился предложить Павлу Сергеевичу быть нашим компаньоном. Однако он сразу согласился… Со дня отплытия - 16 июня - мы с Павлом Сергеевичем и исчисляем нашу дружбу”.

И дальше Андрей Николаевич свидетельствует: “Наверное, математиком я стал бы и самостоятельно, но мои человеческие качества сложились в значительной мере под влиянием Павла Сергеевича. Он действительно был изумительнейший человек по богатству и широте взглядов. Его знание музыки, живописи, его душевное отношение к людям - необычайны”.

Из этого первого путешествия Александров и Колмогоров вернулись уже с твердым намерением поселиться вместе где-нибудь под Москвой, тем более что не только у выпускника аспирантуры Андрея Николаевича, но и у профессора Московского университета Павла Сергеевича своего жилья в Москве не было, - еще долгие годы, до самой войны, они занимали две комнаты в квартире Л.С.Нейман, сестры П.С.Урысона, ближайшего друга Александрова. Некоторое время всерьез рассматривалась перспектива уехать вместе куда-нибудь из Москвы - вплотную обсуждались планы переселения в Киев или в Тбилиси…

Первым совместным пристанищем Павла Сергеевича и Андрея Николаевича и первой пробой жизни такой “математической коммуной” был дом в поселке Клязьма по Северной железной дороге, принадлежавший семье Александровых. Потом в этом же поселке снималась половина дома, нехитрое хозяйство вела Вера Яковлевна.

В июне 1935 г. после долгих поисков и юридических сложностей, на паях с несколькими покупщиками, был приобретен дом на берегу Клязьмы в небольшой деревушке Комаровка. Этот старинный дом когда-то принадлежал семье известного мецената, текстильного промышленника С.В.Алексеева, отца К.С.Станиславского. Алексеев открыл в нем на свои средства бесплатную лечебницу и назвал ее Елисаветинской, по имени жены, матери основателя Московского художественного театра. К 1935 г. владение перешло дочери Алексеева Анне Сергеевне. Лечебницы, конечно, уже не было, и дом фактически пустовал. “Дом в Комаровке удовлетворял всем нашим потребностям, давая возможность разместить большую библиотеку и помещать в отдельных комнатах наших гостей”, - пишет Колмогоров. Гостями - добавим от себя - чаще всего бывали ученики того и другого.

С Павлом Сергеевичем Александровым.
Германия. 1931 г.

Комаровский дом.

С интересом читаем мы в письмах Павла Сергеевича и Андрея Николаевича историю приобретения комаровского дома. 1935-й. Андрею Николаевичу 32 года, Павлу Сергеевичу без году 40. Понятно, что все заботы и хлопоты, связанные с поиском и покупкой (а в дальнейшем и ремонтом) подходящего дома, взял на себя Александров. Он вообще относился с отеческой снисходительностью к некоторой беспомощности Колмогорова в житейских делах и в ответственные моменты все брал на себя. Рассматривался вариант покупки приличного дома, предназначенного на снос (их продавалось немало - ожидалось, что многие мелкие деревушки в округе уйдут под воду с приближением строящегося канала Москва-Волга), перевозки его на Клязьму. Дом в Комаровке казался просто осуществимой мечтой, хотя стоил он так дорого, что осуществимость эта была весьма призрачной. Но Александрову удалось сколотить “кооператив покупщиков”, который на паях выкупил дом у прежних владельцев. Денег на первый взнос ссудил Михаил Сергеевич, старший брат Александрова, известный московский хирург. В дальнейшем в течение многих лет Александров с Колмогоровым выкупали доли, принадлежавшие другим “покупщикам”, пока, наконец, в 1950 г. не сделались полновластными хозяевами своей мечты.

Всю дальнейшую жизнь, уже и после обретения Андреем Николаевичем и Павлом Сергеевичем комфортабельного московского жилья (после войны им были предоставлены квартиры в известном доме академиков на Б.Калужской, 13, а в 1953 г. они вместе с Московским университетом переехали на Ленинские горы и поселились в профессорской башне “Л”, в соседних квартирах - № 9 и 10), часть недели, обычно с вечера пятницы до утра вторника, они проводили в своем комаровском доме. В дневнике Андрея Николаевича есть календарики, которые он составлял на каждый месяц, и все недели в них начинались с пятницы.

Жизнь в Комаровке не была, конечно, праздной. Более того, она была очень организованной. Сохранился рисунок Андрея Николаевича (он вообще очень любил рисовать пером, его письма и особенно дневники напоминают этим пушкинские черновые рукописи), где в веселых картинках изображен распорядок в комаровском доме - исполнялся же он как раз вполне серьезно и непреложно. В этой комаровской жизни было немало хозяйственных забот, которых и не могло не быть, - дрова, печи, ремонт… Но эта жизнь была творческой, а значит, свободной, вольной. Книги и музыка, путешествия и спортивные занятия, встречи и беседы с учениками и, конечно, прежде всего их собственное творчество - математика.

Е. Н. Филинов

Создание и применение электронных цифровых вычислительных машин базировалось на мощном фундаменте разработок отечественных математических школ, сделавших значительный вклад в мировую науку. Стремительный старт ядерной и космической программ, выполнение которых обеспечило СССР стратегический паритет в 50-60-х годах XX в., стал возможен благодаря важнейшим результатам, полученным математиками в течение предвоенного десятилетия.

С другой стороны, развитие самой математики после появления и начала применения компьютеров для решения вычислительных и невычислительных задач получило новые стимулы.

Среди многих выдающихся представителей московской математической школы выдающуюся роль сыграл академик А.Н. Колмогоров , которому принадлежат фундаментальные результаты в большинстве разделов математики.

Андрей Николаевич Колмогоров родился 12 (25) апреля 1903 г. в г. Тамбове. В 1925 г. он окончил Московский университет . А.Н. Колмогоров принадлежал к московской математической школе, возглавлявшейся академиком Н.Н. Лузиным . Первые студенческие работы Андрея Николаевича были опубликованы в 1923-1925 гг. в журнале Fundamenta mathematicae, что говорило об их высоком научном уровне.

В звании профессора А.Н. Колмогоров был утвержден в 1930 г., а ученую степень доктора физико-математических наук получил в 1935 г. В январе 1939 г. А.Н. Колмогоров был избран действительным членом АН СССР по Отделению математических и естественных наук (математика).

В теории множеств, продолжая работы Н.Н. Лузина, А.Н. Колмогоров заложил основы построения систем операций над множествами, опубликованные им в Математическом сборнике еще в 1928 г.

В теории функций студенческая работа 1923 г., устанавливающая существование почти всюду расходящегося ряда Фурье, сделала А.Н. Колмогорова известным всему миру.

В топологии А. Н. Колмогоров (параллельно с американским ученым Дж. У. Александером) предложил фундаментальные основы теории когомологий.

Вклад А. Н. Колмогорова в общую теорию динамических систем и классическую механику был охарактеризован на Международном математическом конгрессе в 1954 г. в Амстердаме как важная историческая веха в развитии науки. В области теории динамических систем А.Н. Колмогоров открыл новый метод, позволяющий описывать возмущения условно-периодических движений, который считается одним из крупнейших достижений математики ХХ века. Метод Колмогорова-Арнольда-Мозера (КАМ) играет важную роль в нелинейной механике.

В теории алгоритмов А.Н. Колмогорову принадлежат определение общего понятия алгоритма и создание теории сложности конструктивных объектов. Результаты, связанные с дискретными автоматами и конечными алгоритмами, были доложены А.Н. Колмогоровым на Четвертом Всесоюзном математическом съезде в 1963 г. и во многом определили дальнейшее развитие в этой области. Он продолжил исследование марковской теории нормальных алгоритмов, а именно тех алгоритмов, которые подлежат реализации с помощью цифровых вычислительных машин.

В теории вероятностей А.Н. Колмогоров был признанным главой науки во всем мире. В 1933 г. он написал работу «Основные понятия теории вероятностей », которая была издана в Берлине на немецком языке, а затем переведена на русский язык в 1936 г. Она определила пути развития теории вероятностей. Классическая монография А.Н. Колмогорова «Теория вероятностей и математическая статистика », в которой он изложил современное состояние этого раздела математики, была издана в 1986 г.

В математической логике А.Н. Колмогоров одним из первых изучал интуиционистскую логику как предмет математического исследования. А.Н. Колмогоров оказал огромное влияние на развитие российских школ математической логики.

При исследовании знаменитой тринадцатой проблемы Гильберта о суперпозициях Андрей Николаевич установил в 1956 г. возможность представления любой непрерывной функции (от сколь угодно большого числа переменных) в виде суперпозиции непрерывных функций трех переменных. Одновременно он выдвинул идеи, позволившие его ученику В.И. Арнольду (тогда студенту-третьекурснику) понизить в этом результате число переменных с трех до двух и тем самым окончательно решить 13-ю проблему Гильберта. При этом ответ оказался противоположным тому, который ожидался Д. Гильбертом в 1900 г. при постановке проблемы. Как известно, Д. Гильберт предложил доказать, что конкретная непрерывная, даже алгебраическая функция, не представима в виде суперпозиции непрерывных же функций двух переменных. В 1957 г. А.Н. Колмогоров усилил результат В.И. Арнольда, показав, что любую непрерывную функцию от произвольного числа переменных можно представить в виде суперпозиции непрерывных функций одного переменного и единственной функции двух переменных — функции сложения.

Наконец, А. Н. Колмогорову принадлежат важнейшие результаты в теории информации, связанные с подходами к определению понятия количества информации и энтропии и позволяющие превратить её в строгую математическую науку (а не только техническую дисциплину, изучающую проблемы передачи информации). А.Н. Колмогоров совместно с И.М. Гельфандом и А.М. Ягломом сделал на Третьем Всесоюзном математическом съезде в 1956 г. фундаментальный доклад «Количество информации и энтропия для непрерывных распределений ». В отличие от шенноновской теории информации, опирающейся на понятие вероятности, колмогоровская теория не использует этого понятия. Напротив, она сама позволяет изложить на новом языке основные законы теории вероятностей и даже дать строгое математическое определение индивидуального случайного объекта (чего не в состоянии сделать традиционная теория вероятностей). Определение случайности индивидуального объекта дается А.Н. Колмогоровым в терминах алгоритмов. В своей знаменитой статье «К логическим основам теории информации и теории вероятностей» 1969 г. А.Н. Колмогоров указывал, что:

• основные понятия теории информации должны и могут быть обоснованы без помощи обращения к теории вероятностей и так, что понятия «энтропия» и «количество информации» оказываются применимы к индивидуальным объектам;
• введенные таким образом понятия теории информации могут лечь в основу концепции случайного, соответствующей естественной мысли о том, что случайность есть отсутствие закономерности.

А.Н. Колмогоров принимал непосредственное участие в решении ряда практических задач. Так, Институт физики атмосферы РАН вырос из небольшой лаборатории турбулентности, созданной в 1946 г. по инициативе А.Н. Колмогорова в составе Института теоретической геофизики АН СССР и до 1949 г. им возглавляемой. Директором Института океанологии АН СССР был ученик А.Н. Колмогорова член-корреспондент АН СССР А.С. Модин .

Еще в 1936 г. по инициативе А. Н. Колмогорова его ученик занялся статической обработкой опытных данных по расщеплению гибридов. Это на долгие годы определило применение математических методов для решения задач генетики, как во времена гонений на генетику в 40-х годах, так и позже, во время действительно серьезных событий в науке, связанных с открытием генетического кода.

А. Н. Колмогоров был примером редкого сочетания математика и естествоиспытателя, теоретика и практика. Одновременно он был философом науки (философии математики) и ее популяризатором.

Андрей Николаевич внес неоценимый вклад в методологию и историю математики, в теорию и практику ее преподавания. На эти темы он опубликовал ряд блестящих статей, например, в сборнике «Математика — наука и профессия», выпущенном в 1988 г. в библиотечке «Квант» для юношества.

На механико-математическом факультете МГУ А.Н. Колмогоров заведовал кафедрами теории вероятностей (с 1935 г.), математической статистики (с 1976 г.), математической логики (с 1980 г.). В 1954-1958 гг. А.Н. Колмогоров был деканом механико-математического факультета МГУ.

В 1963 г. по инициативе А. Н. Колмогорова при МГУ была создана физико-математическая школа-интернат , куда принимались одаренные дети из всех республик бывшего СССР. С 1989 г. эта школа носит его имя. Для детей и юношества А.Н. Колмогоров совместно с физиком академиком И.К. Кикоиным организовал выпуск популярного физико-математического журнала «Квант» .

Публичные лекции для широкой аудитории на темы кибернетики, которые А.Н. Колмогоров читал в Политехническом музее, Дворце Культуры МГУ в начале 60-х годов, вызывали огромный интерес среди специалистов самых разных профессий. В 1961 г. А.Н. Колмогоров опубликовал статью «Автоматы и жизнь» в журнале «Техника — молодежи», в которой популярно изложил содержание своего знаменитого доклада на методологическом семинаре механико-математического факультета МГУ.

А.Н. Колмогоров, будучи ученым энциклопедических познаний, сыграл решающую роль в формировании математических разделов Большой Советской Энциклопедии в первом (начиная с 1936 г.) и во втором (с 1954 г.) изданиях БСЭ. Кроме статьи «Математика» и других математических статей, написанных лично А.Н. Колмогоровым для БСЭ, он в 1958 г. подготовил для БСЭ статью «Кибернетика», в которой изложил фундаментальные понятия этой области, основанные на тщательной проработке тезисов о кибернетике, которые были сформулированы им в 1957 г. вместе со своими учениками Вяч.Вс. Ивановым, М.К. Поливановым, В.А. Успенским .

Основной тезис А.Н. Колмогорова состоял в том, что кибернетика — это не наука, а научное направление. В составе этого направления он рассматривал математическую лингвистику, указывая, что возможны два понимания этой области математики. Первая — это теория абстрактного формирования языка, близкая к математической логике и теории алгоритмов. Вторая — применение математических методов в обычной (традиционной) лингвистике. Вклад А.Н. Колмогорова в развитие семиотики, как одной из составляющих кибернетического направления, а в настоящее время — информатики, обогатил оба указанных выше подхода.

В мировой науке, чтобы отметить достижения в тех областях, которые не охватываются Нобелевскими премиями, были учреждены Бальцановские премии. В 1963 г. состоялось первое присуждение Бальцановской премии по математике , и ее лауреатом стал А.Н. Колмогоров . Это была высшая оценка вклада А.Н. Колмогорова в мировую науку.

Его имя стоит в истории российской науки рядом с именами М.В. Ломоносова , Д.И. Менделеева , И.В. Курчатова , С.П. Королева , Л.С. Понтрягина — ученых, подвигом своей жизни прославивших Россию. Статья В.А. Успенского в книге «Очерки истории информатики в России» так и называется — «Андрей Николаевич Колмогоров — великий ученый России ».

О жизни и деятельности А. Н. Колмогорова имеются воспоминания его учеников и коллег:

1. Колмогоров в воспоминаниях. Ред.-сост. А.Н. Ширяев. М., Наука, 1993. 734 с.
2. Новиков С. П. Воспоминания об А. Н. Колмогорове. Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6. с. 35-36.
3. Янин В. Л. Колмогоров как историк. Успехи математических наук, 1988, т. 43, вып. 6, с. 189-195.

«Я жил, всегда руководствуясь тем тезисом,
что истина - благо, что наш долг - её находить и отстаивать»

А.Н. Колмогоров

Русский математик, создатель своей математической школы. Инициатор создания системы физико-математического образования для одарённых школьников.

«Сам Колмогоров вырос в богатой семье, ещё до революции основавшей в Ярославле собственную школу, - он рос практически при ней, с пяти лет придумывал математические задачки. Студентом Колмогоров преподавал в экспериментальной школе в Москве, которая была построена по принципу Дальтоновской школы - самой знаменитой школы Америки. Потом он успел пожить в Берлине во время культурного расцвета тридцатых годов».

Алещёнок С., В поисках ответа (интервью с Машей Гессен), журнал «Сноб», 2009 г., N 10, с. 148.

После окончаниия МГУ «…на протяжении пятнадцати лет примерно раз в два года Колмогоров либо получает классический результат, либо открывает новое научное направление».

Тихомиров В.М., Андрей Николаевич Колмогоров, М., «Наука», 2006 г., с. 51.

«В возрасте примерно сорока лет он составил «Конкретный план того, как сделаться великим человеком, если на то хватит охоты и усердия». Согласно этому плану, Колмогоров должен был к шестидесяти годам прекратить занятия наукой и посвятить оставшуюся жизнь преподаванию в средней школе. Он действовал в соответствии с планом. В 1950-х Колмогоров испытал новый творческий подъём и публиковался почти так же активно, как тогда, когда был тридцатилетним (это очень необычно для математика), а после остановился и обратил все свое внимание на школьное образование.

Весной 1935 года Колмогоров и Александров организовали в Москве первую математическую олимпиаду для детей. Это помогло заложить фундамент международных математических олимпиад. Четверть века спустя Колмогоров объединил усилия с Исааком Кикоиным, неофициальным лидером советской ядерной физики, с подачи которого в СССР начали проводить школьные олимпиады по физике. Поскольку единственной ценностью, которую государство видело в математике и физике, было их военное применение, Колмогоров и Кикоин решили убедить советских лидеров в том, что элитарные физико-математические спецшколы обеспечат страну мозгами, необходимыми для победы в гонке вооружений. Проект поддержал член ЦК КПСС Леонид Ильич Брежнев , который спустя пять лет станет главой государства. В августе 1963 года Совет министров СССР издал постановление об учреждении математических школ-интернатов, и в декабре они открылись в Москве, Киеве, Ленинграде и Новосибирске. Большинством их руководили ученики Колмогорова, который лично наблюдал за составлением учебных планов. В августе Колмогоров организовал в подмосковном поселке Красновидово летнюю математическую школу. Были отобраны 46 победителей и призёров Всероссийской математической олимпиады. Колмогоров и его аспиранты вели занятия, читали лекции по математике и водили учеников в походы по окрестным лесам. Наконец, 19 юношей были отобраны для учебы в новой физико-математической школе-интернате при МГУ».

Гессен М.А., Совершенная строгость. Григорий Перельман: гений и задача тысячелетия, М., «Астрель», 2011 г., с. 54.

Профессор Г.И. Баренблатт сообщает мнение А.Н. Колмогорова о составе и функционировании Академий наук: «В период промышленной революции и географических открытий правители нуждались в советах людей, которые превыше всего ставили свою репутацию. Поэтому одной из главных задач академий является избрание новых членов - удостоверение их как экспертов. Для устойчивого существования академии нужно, чтобы по крайней мере треть её членов составляли те, кого по их заслугам нельзя не избрать, каковы бы ни были их личные свойства, иначе это ослабит Академию наук. Ещё 40% членов могут составлять учёные, которые, если их избрать, будут хорошими академиками, но если их не избрать - катастрофы не будет. И только при этих условиях на оставшиеся места можно выбирать тех, кого нельзя выбирать »

Цитируется по: Горобец Б.С., Советские физики шутят… Хотя бывало не до шуток, М., «Урсс», 2010 г., с. 197.

«Объективное изучение в терминах кибернетики некоторых наиболее тонких видов творческой деятельности человека может уже в ближайшем будущем получить большое практическое значение. Вот пример, наиболее близкий математикам. Общеизвестно, что карандаш и бумага необходимы математику в процессе интуитивных творческих поисков. Вместо полностью выписанных формул иногда на бумаге появляются их предположительные схемы с незаполненными местами, несколько линий и точек изображают фигуры в многомерном или бесконечномерном пространстве, иногда знаками обозначается ход перебора вариантов, сгруппированных по принципам, которые перестраиваются в ходе перебора, и т. д. Вполне возможно, что вычислительные машины с надлежащим устройством ввода и вывода данных могли бы быть полезны уже на этой стадии научной работы. Естественно, что разработка методики такого употребления машин предполагает предварительное объективное изучение процесса творческих поисков учёного»

Колмогоров А. Н., Жизнь и мышление как особые формы существования материи, в кн. «О сущности жизни», М., «Наука», 1964 г., с. 54-55.