Kohtasimme eriarvoisuutta koulussa, jossa käytämme numeerista eriarvoisuutta. Tässä artikkelissa tarkastelemme numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia, joista jotkin ovat rakennettuja periaatteita niiden kanssa työskentelemiseen.

Epäyhtälöiden ominaisuudet ovat samanlaiset kuin numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet. Ominaisuudet, sen perustelut otetaan huomioon, annamme esimerkkejä.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Numeeriset epäyhtälöt: määritelmä, esimerkkejä

Kun otamme käyttöön epätasa-arvon käsitteen, niiden määritelmä tehdään tietuetyypin mukaan. Saatavilla algebrallisia lausekkeita, joissa on merkit ≠ ,< , >, ≤ , ≥ . Annetaan määritelmä.

Määritelmä 1

Numeerinen epätasa-arvo kutsutaan epäyhtälöksi, jossa molemmilla puolilla on numeroita ja numeerisia lausekkeita.

Numeeriset epäyhtälöt harkitse takaisin kouluun opiskelun jälkeen luonnolliset luvut. Tällaisia ​​vertailutoimintoja tutkitaan askel askeleelta. Alkuperäinen ulkoasu 1< 5 , 5 + 7 >3. Sen jälkeen sääntöjä täydennetään ja epäyhtälöistä tulee monimutkaisempia, jolloin saadaan muotoa 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 , olevat epäyhtälöt. 73-17 2< 0 .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet

Työskennelläksesi epäyhtälöiden kanssa oikein, sinun on käytettävä numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia. Ne tulevat eriarvoisuuden käsitteestä. Tällainen käsite määritellään lauseella, joka on merkitty "suurempi kuin" tai "pienempi kuin".

Määritelmä 2

• luku a on suurempi kuin b, kun ero a - b on positiivinen luku;
• luku a on pienempi kuin b, kun ero a - b on negatiivinen luku;
• luku a on yhtä suuri kuin b, kun ero a - b on yhtä suuri kuin nolla.

Määritelmää käytetään ratkaisemaan epäyhtälöitä suhteilla "pienempi tai yhtä suuri", "suurempi tai yhtä suuri". Me ymmärrämme sen

Määritelmä 3

• a on suurempi tai yhtä suuri kuin b, kun a - b on ei-negatiivinen luku;
• a on pienempi tai yhtä suuri kuin b, kun a - b on ei-positiivinen luku.

Määritelmiä käytetään numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksien todistamiseen.

Perusominaisuudet

Harkitse kolmea pääepätasa-arvoa. Merkkien käyttö< и >ominaisuus ominaisuuksineen:

Määritelmä 4

• antireflexiivisyys, joka sanoo, että mikä tahansa luku a epäyhtälöistä a< a и a >a katsotaan virheelliseksi. Tiedetään, että millä tahansa a:lla yhtälö a − a = 0 pätee, joten saadaan, että a = a. Joten a< a и a >a on väärin. Esimerkiksi 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 ovat virheellisiä.
• epäsymmetria. Kun luvut a ja b ovat sellaisia, että a< b , то b >a , ja jos a > b , niin b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Toinen osa on todistettu samalla tavalla.

Esimerkki 1

Esimerkiksi, kun otetaan huomioon eriarvoisuus 5< 11 имеем, что 11 >5 , niin sen numeerinen epäyhtälö − 0 , 27 > − 1 , 3 kirjoitetaan uudelleen muotoon − 1 , 3< − 0 , 27 .

Ennen kuin siirrymme seuraavaan ominaisuuteen, huomaamme, että epäsymmetrian avulla voidaan lukea epäyhtälö oikealta vasemmalle ja päinvastoin. Siten numeerista epäyhtälöä voidaan muuttaa ja vaihtaa.

Määritelmä 5

• transitiivisuus. Kun luvut a , b , c täyttävät ehdon a< b и b < c , тогда a < c , и если a >b ja b > c , sitten a > c .

Todiste 1

Ensimmäinen väite voidaan todistaa. Kunto a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Toinen transitiivisuuden omaava osa on todistettu samalla tavalla.

Esimerkki 2

Analysoitua ominaisuutta tarkastellaan epäyhtälöiden esimerkissä − 1< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 ja 1 8 > 1 32 tästä seuraa, että 1 2 > 1 32 .

Numeerisilla epäyhtälöillä, jotka on kirjoitettu käyttäen ei-tiukkoja epäyhtälömerkkejä, on ominaisuus refleksiivisyys, koska a ≤ a ja a ≥ a voivat olla yhtäläisyyden tapaus a = a. niille on ominaista epäsymmetria ja transitiivisuus.

Määritelmä 6

Epäyhtälöillä, joiden merkinnässä on merkit ≤ ja ≥, on seuraavat ominaisuudet:

• refleksiivisyys a ≥ a ja a ≤ a katsotaan todellisiksi epäyhtälöiksi;
• antisymmetria kun a ≤ b , niin b ≥ a , ja jos a ≥ b , niin b ≤ a .
• transitiivisuus kun a ≤ b ja b ≤ c , niin a ≤ c , ja myös, jos a ≥ b ja b ≥ c , niin a ≥ c .

Todistaminen suoritetaan samalla tavalla.

Muita numeeristen epäyhtälöiden tärkeitä ominaisuuksia

Täydentämään eriarvoisuuksien pääominaisuuksia käytetään tuloksia, joilla on käytännön arvoa. Sovelletaan lausekkeiden arvojen arviointimenetelmän periaatetta, johon eriarvoisuuksien ratkaisemisen periaatteet perustuvat.

Tämä osio paljastaa eriarvoisuuksien ominaisuudet yhdelle tiukan eriarvoisuuden merkille. Sama tehdään ei-tiukkaille. Harkitse esimerkkiä, jossa muotoillaan epäyhtälö, jos a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• jos a > b , niin a + c > b + c ;
• jos a ≤ b, niin a+c ≤ b+c;
• jos a ≥ b , niin a + c ≥ b + c .

Kätevää esitystä varten annamme vastaavan lausunnon, joka kirjoitetaan ylös ja esitetään todisteet, esitetään esimerkkejä käytöstä.

Määritelmä 7

Lukujen lisääminen tai laskeminen molemmille puolille. Toisin sanoen kun a ja b vastaavat epäyhtälöä a< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Todiste 2

Tämän todistamiseksi on välttämätöntä, että yhtälö täyttää ehdon a< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Esimerkki 3

Esimerkiksi jos epäyhtälön 7 > 3 molempia osia suurennetaan 15:llä, niin saadaan 7 + 15 > 3 + 15 . Tämä on yhtä suuri kuin 22 > 18 .

Määritelmä 8

Kun epäyhtälön molemmat osat kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla c, saadaan oikea epäyhtälö. Jos otamme luvun c negatiivinen, etumerkki muuttuu päinvastaiseksi. Muuten se näyttää tältä: a:lle ja b:lle epäyhtälö pätee, kun a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >eaa.

Todiste 3

Kun on tapaus c > 0 , on tarpeen tehdä ero epäyhtälön vasemman ja oikean puolen välillä. Sitten saadaan, että a · c − b · c = (a − b) · c . Ehdosta a< b , то a − b < 0 , а c >0 , niin tulo (a − b) · c on negatiivinen. Tämä tarkoittaa, että a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Todistuksessa jako kokonaisluvulla voidaan korvata kertomalla annetun käänteisluvulla eli 1 c . Harkitse esimerkkiä ominaisuudesta tietyillä luvuilla.

Esimerkki 4

Molemmat epätasa-arvon osat ovat sallittuja 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nyt muotoilemme seuraavat kaksi tulosta, joita käytetään eriarvoisuuksien ratkaisemisessa:

• Seuraus 1. Muutettaessa numeerisen epäyhtälön osien etumerkkejä, itse epäyhtälömerkki muuttuu päinvastaiseksi, koska< b , как − a >−b. Tämä vastaa sääntöä kertoa molemmat osat -1:llä. Se soveltuu siirtymävaiheeseen. Esimerkiksi -6< − 2 , то 6 > 2 .
• Seuraus 2. Kun numeerisen epäyhtälön osia korvataan käänteisluvuilla, myös sen etumerkki muuttuu ja epäyhtälö pysyy tosi. Tästä syystä meillä on, että a ja b ovat positiivisia lukuja, a< b , 1 a >1b.

Kun jaetaan epäyhtälön molemmat osat a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 meillä on se 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1b voi olla väärä.

Esimerkki 5

Esimerkiksi −2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 ovat virheellinen tasa-arvo.

Kaikkia kohtia yhdistää se, että toimet epätasa-arvon osissa antavat oikean epätasa-arvon ulostulossa. Tarkastellaan ominaisuuksia, joissa alun perin on useita numeerisia epäyhtälöitä, ja sen tulos saadaan lisäämällä tai kertomalla sen osat.

Määritelmä 9

Kun luvut a , b , c , d pätevät epäyhtälöille a< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Todiste 4

Todistetaan, että (a + c) − (b + d) on negatiivinen luku, niin saadaan, että a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Ominaisuutta käytetään kolmen, neljän tai useamman numeerisen epäyhtälön termi kerrallaan lisäämiseen. Luvut a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n ovat epäyhtälöiden a 1 alaisia< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Esimerkki 6

Esimerkiksi annetaan kolme samanmerkkistä numeerista epäyhtälöä − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Määritelmä 10

Molempien osien terminen kertominen tuottaa positiivisen luvun. a< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Todiste 5

Tämän todistamiseksi tarvitsemme epätasa-arvon a molemmat puolet< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Tämän ominaisuuden katsotaan pätevän niille lukuille, joilla epäyhtälön molemmat puolet on kerrottava. Sitten a 1 , a 2 , … , a n ja b 1 , b 2 , … , b n ovat positiivisia lukuja mi, missä 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … a n< b 1 · b 2 · … · b n .

Huomaa, että epäyhtälöitä kirjoitettaessa on ei-positiivisia lukuja, jolloin niiden termikohtainen kertominen johtaa vääriin epäyhtälöihin.

Esimerkki 7

Esimerkiksi epätasa-arvo 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Seuraus: Epäyhtälöiden terminen kertolasku a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Numeeristen epäyhtälöiden ominaisuudet

Tarkastellaan seuraavia numeeristen epäyhtälöiden ominaisuuksia.

1. a< a , a >a - väärät epätasa-arvot,
   a ≤ a , a ≥ a ovat kelvollisia epäyhtälöitä.
2. Jos< b , то b >a - antisymmetria.
3. Jos< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Jos< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Jos< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Jos< b и c - отрицательное число, то a · c >eaa.

Seuraus 1: jos< b , то - a >-b.

Seuraus 2: jos a ja b ovat positiivisia lukuja ja a< b , то 1 a >1b.

1. Jos 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Jos 1 , 2 , . . . , a n , b 1 , b 2 , . . . , b n ovat positiivisia lukuja ja a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Seuraus 1: jos a< b , a ja b ovat positiivisia lukuja, niin a n< b n .

Jos huomaat tekstissä virheen, korosta se ja paina Ctrl+Enter

Arvojen ja määrien vertailu käytännön ongelmien ratkaisemisessa on ollut muinaisista ajoista lähtien. Samaan aikaan ilmaantui sellaisia ​​sanoja kuin enemmän ja vähemmän, korkeampi ja matalampi, kevyempi ja raskaampi, hiljaisempi ja äänekkäämpi, halvempi ja kalliimpi jne., jotka tarkoittivat homogeenisten määrien vertailun tuloksia.

Käsitteet enemmän ja vähemmän syntyivät esineiden laskemisen, määrien mittaamisen ja vertailun yhteydessä. Esimerkiksi antiikin Kreikan matemaatikot tiesivät, että minkä tahansa kolmion sivu on pienempi kuin kahden muun sivun summa ja että kolmion suurempi sivu on suurempaa kulmaa vastapäätä. Arkhimedes, kun hän laski ympyrän kehää, havaitsi, että minkä tahansa ympyrän kehä on kolme kertaa halkaisija ylimäärällä, joka on pienempi kuin seitsemäsosa halkaisijasta, mutta yli kymmenen seitsemänkymmentäensimmäistä osaa halkaisijasta.

Kirjoita numeroiden ja määrien väliset suhteet symbolisesti käyttämällä >- ja b-merkkejä. Merkinnät, joissa kaksi numeroa on yhdistetty jollakin merkillä: > (suurempi kuin), Kohtasit myös numeerisia epäyhtälöitä perusluokissa. Tiedät, että eriarvoisuus voi olla totta tai ei. Esimerkiksi \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) on kelvollinen numeerinen epäyhtälö, 0,23 > 0,235 on virheellinen numeerinen epäyhtälö.

Epäyhtälöt, jotka sisältävät tuntemattomia, voivat olla totta joidenkin tuntemattomien arvojen kohdalla ja vääriä toisille. Esimerkiksi epäyhtälö 2x+1>5 on tosi, kun x = 3, mutta epätosi, kun x = -3. Epäyhtälölle, jossa on yksi tuntematon, voit asettaa tehtävän: ratkaise epäyhtälö. Epäyhtälöiden ratkaisuongelmia käytännössä asetetaan ja ratkaistaan ​​yhtä usein kuin yhtälöiden ratkaisuongelmia. Esimerkiksi monet taloudelliset ongelmat rajoittuvat lineaaristen epätasa-arvojärjestelmien tutkimiseen ja ratkaisemiseen. Monilla matematiikan aloilla epäyhtälöt ovat yleisempiä kuin yhtälöt.

Jotkut epäyhtälöt toimivat ainoana apukeinona todistaa tai kumota tietyn kohteen, esimerkiksi yhtälön juuren, olemassaolo.

Numeeriset epäyhtälöt

Voit verrata kokonaislukuja ja desimaalilukuja. Tunne säännöt samoilla nimittäjillä mutta eri osoittajilla olevien tavallisten murtolukujen vertailusta; samoilla osoittajilla, mutta eri nimittäjillä. Täällä opit vertaamaan mitä tahansa kahta numeroa etsimällä niiden eron etumerkki.

Lukujen vertailua käytetään laajasti käytännössä. Esimerkiksi taloustieteilijä vertaa suunniteltuja indikaattoreita todellisiin, lääkäri potilaan lämpötilaa normaaliin, sorvaja koneistetun kappaleen mittoja standardiin. Kaikissa tällaisissa tapauksissa verrataan joitain lukuja. Lukujen vertailun seurauksena syntyy numeerisia epäyhtälöitä.

Määritelmä. Numero a lisää numeroa b jos ero a-b on positiivinen. Numero a pienempi kuin numero b jos ero a-b on negatiivinen.

Jos a on suurempi kuin b, he kirjoittavat: a > b; jos a on pienempi kuin b, niin he kirjoittavat: a Siten epäyhtälö a > b tarkoittaa, että ero a - b on positiivinen, ts. a - b > 0. Epäyhtälö a Jollekin kahdelle luvulle a ja b seuraavista kolmesta suhteesta a > b, a = b, a Lause. Jos a > b ja b > c, niin a > c.

Lause. Jos sama luku lisätään epäyhtälön molemmille puolille, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu.
Seuraus. Mikä tahansa termi voidaan siirtää epätasa-arvon yhdestä osasta toiseen muuttamalla tämän termin etumerkkiä päinvastaiseksi.

Lause. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla positiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat puolet kerrotaan samalla negatiivisella luvulla, niin epäyhtälön etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.
Seuraus. Jos epäyhtälön molemmat osat jaetaan samalla positiivisella luvulla, niin eriarvoisuuden merkki ei muutu. Jos epäyhtälön molemmat osat jaetaan samalla negatiivisella luvulla, epäyhtälön etumerkki muuttuu päinvastaiseksi.

Tiedätkö sen numeerisia yhtäläisyyksiä Voit lisätä ja kertoa termejä termillä. Seuraavaksi opit suorittamaan samanlaisia ​​​​toimia eriarvoisuuksien kanssa. Käytännössä käytetään usein kykyä lisätä ja kertoa epäyhtälöitä termi kerrallaan. Nämä toiminnot auttavat sinua ratkaisemaan lausekkeiden arvojen arviointiin ja vertailuun liittyvät ongelmat.

Päätettäessä erilaisia ​​tehtäviä usein joudutaan lisäämään tai kertomaan termi kerrallaan epäyhtälöiden vasen ja oikea osa. Joskus sanotaan, että eriarvoisuudet lisätään tai kerrotaan. Esimerkiksi, jos turisti käveli yli 20 km ensimmäisenä päivänä ja yli 25 km toisena päivänä, voidaan väittää, että hän käveli kahdessa päivässä yli 45 km. Vastaavasti, jos suorakulmion pituus on alle 13 cm ja leveys alle 5 cm, voidaan väittää, että tämän suorakulmion pinta-ala on pienempi kuin 65 cm2.

Näitä esimerkkejä tarkasteltaessa seuraava lauseet epäyhtälöiden yhteen- ja kertolaskuista:

Lause. Kun lasketaan yhteen saman merkin epäyhtälöt, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b ja c > d, niin a + c > b + d.

Lause. Kun kerrotaan samanmerkkiset epäyhtälöt, joiden vasen ja oikea puoli ovat positiivisia, saadaan samanmerkkinen epäyhtälö: jos a > b, c > d ja a, b, c, d ovat positiivisia lukuja, niin ac > bd.

Epäyhtälöt merkillä > (suurempi kuin) ja 1/2, 3/4 b, c Yhdessä tiukkojen epäyhtälömerkkien kanssa > ja Samalla tavalla epäyhtälö \(a \geq b \) tarkoittaa, että luku a on suurempi kuin tai yhtä suuri kuin b, eli ja vähintään b.

Epäyhtälöjä, jotka sisältävät merkin \(\geq \) tai merkin \(\leq \), kutsutaan ei-tiukiksi. Esimerkiksi \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) eivät ole tiukkoja epäyhtälöitä.

Kaikki tiukkojen epäyhtälöiden ominaisuudet pätevät myös ei-tiukkojen epäyhtälöiden suhteen. Lisäksi, jos tiukkojen eriarvoisuuksien kohdalla merkkejä pidettiin vastakkaisina ja tiedät sen sarjan ratkaisemiseksi sovelletut tehtävät sinun on tehtävä matemaattinen malli yhtälön tai yhtälöjärjestelmän muodossa. Seuraavaksi saat sen selville matemaattiset mallit monien ongelmien ratkaisemiseksi ovat epäyhtälöt tuntemattomien kanssa. Esittelemme epätasa-arvon ratkaisemisen käsitteen ja näytämme kuinka sen voi tarkistaa annettu numero tietyn epätasa-arvon ratkaisu.

Muotojen epätasa-arvo
\(ax > b, \quad ax jossa a ja b ovat numeroita ja x on tuntematon, kutsutaan lineaariset epätasa-arvot yhden tuntemattoman kanssa.

Määritelmä. Epäyhtälön ratkaisu yhden tuntemattoman kanssa on tuntemattoman arvo, jolle tämä epäyhtälö muuttuu todelliseksi numeeriseksi epäyhtälöksi. Epätasa-arvon ratkaiseminen tarkoittaa kaikkien sen ratkaisujen löytämistä tai sen toteamista, että niitä ei ole.

Ratkaisit yhtälöt vähentämällä ne yksinkertaisimpiin yhtälöihin. Vastaavasti epäyhtälöitä ratkaistaessa niitä on taipumus pelkistää ominaisuuksien avulla yksinkertaisimpien epäyhtälöiden muotoon.

Toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisu yhdellä muuttujalla

Muotojen epätasa-arvo
\(ax^2+bx+c >0 \) ja \(ax^2+bx+c missä x on muuttuja, a, b ja c ovat joitain lukuja ja \(a \neq 0 \) kutsutaan toisen asteen epäyhtälöt yhdellä muuttujalla.

Epätasa-arvon ratkaiseminen
\(ax^2+bx+c >0 \) tai \(ax^2+bx+c \) voidaan ajatella etsivän aukkoja, joissa funktio \(y= ax^2+bx+c \) saa positiivisen tai negatiiviset arvot Tätä varten riittää analysoida kuinka funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) kuvaaja sijaitsee koordinaattitasossa: mihin paraabelin haarat on suunnattu - ylös tai alas , leikkaako paraabeli x-akselin ja jos leikkaa, niin missä pisteissä.

Algoritmi toisen asteen epäyhtälöiden ratkaisemiseksi yhdellä muuttujalla:
1) Etsi erottaja neliön trinomi\(ax^2+bx+c \) ja selvittää onko trinomilla juuria;
2) jos trinomilla on juuret, merkitse ne x-akselille ja piirrä merkittyjen pisteiden läpi kaavamaisesti paraabeli, jonka haarat on suunnattu ylöspäin kohdasta a > 0 tai alas kohdasta 0 tai alas kohdasta a 3) etsi raot x-akselilla, joiden pisteparaabelit sijaitsevat x-akselin yläpuolella (jos ne ratkaisevat epäyhtälön \(ax^2+bx+c >0 \)) tai x-akselin alapuolella (jos ne ratkaisevat epäyhtälön
\(ax^2+bx+c Epäyhtälöiden ratkaisu intervallimenetelmällä

Harkitse toimintoa
f(x) = (x + 2) (x - 3) (x - 5)

Tämän funktion toimialue on kaikkien numeroiden joukko. Funktion nollat ​​ovat luvut -2, 3, 5. Ne jakavat funktion alueen väliin \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5) ) \) ja \( (5; +\infty)\)

Selvitetään, mitkä ovat tämän funktion merkit kussakin ilmoitetuissa intervalleissa.

Lauseke (x + 2)(x - 3)(x - 5) on kolmen tekijän tulos. Kunkin näiden tekijöiden etumerkki tarkasteluissa aikaväleissä on osoitettu taulukossa:

Yleensä annetaan funktio kaavalla
f(x) = (x-x 1) (x-x 2) ... (x-x n),
jossa x on muuttuja ja x 1 , x 2 , ..., x n eivät ole yhtä suuria lukuja. Numerot x 1 , x 2 , ..., x n ovat funktion nollia. Jokaisessa välissä, johon määritelmäalue on jaettu funktion nollalla, funktion etumerkki säilyy, ja nollan läpi kulkiessaan sen etumerkki vaihtuu.

Tätä ominaisuutta käytetään muodon epäyhtälöiden ratkaisemiseen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) missä x 1 , x 2 , ..., x n eivät ole yhtä suuria lukuja

Harkittu menetelmä epäyhtälöiden ratkaisemista kutsutaan intervallimenetelmäksi.

Otetaan esimerkkejä epäyhtälöiden ratkaisemisesta intervallimenetelmällä.

Ratkaise epäyhtälö:

Hakea numeerinen akseli funktion nollat ​​ja laske kunkin intervallin etumerkki:

Valitsemme ne intervallit, joilla funktio on pienempi tai yhtä suuri kuin nolla, ja kirjoitamme vastauksen muistiin.

Vastaus:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \oikea) \)