Yksinkertaisin värinätyyppi on harmonisia värähtelyjä- vaihtelut, joissa värähtelypisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu ajan myötä sini- tai kosinilain mukaan.

Joten, kun pallo pyörii tasaisesti kehän ympäri, sen projektio (varjo yhdensuuntaisissa valonsäteissä) suorittaa harmonisen värähtelevän liikkeen pystysuoralla näytöllä (kuva 1).

Siirtymä tasapainoasennosta harmonisten värähtelyjen aikana kuvataan yhtälöllä (tätä kutsutaan kinemaattiseksi laiksi harmoninen liike) muodossa:

missä x - siirtymä - arvo, joka kuvaa värähtelevän pisteen sijaintia hetkellä t suhteessa tasapainoasemaan ja mitataan etäisyydellä tasapainoasennosta pisteen sijaintiin Tämä hetki aika; A - värähtelyamplitudi - kehon suurin siirtymä tasapainoasennosta; T - oskillaatiojakso - yhden täydellisen värähtelyn aika; nuo. pienin ajanjakso, jonka jälkeen värähtelyä kuvaavien fyysisten suureiden arvot toistetaan; - alkuvaihe;

Värähtelyn vaihe hetkellä t. Värähtelyvaihe on argumentti jaksollinen toiminto, joka tietyllä värähtelyamplitudilla määrittää kehon värähtelyjärjestelmän tilan (siirtymä, nopeus, kiihtyvyys) milloin tahansa.

Jos sisään alkuhetki ajan kuluessa värähtelypiste siirtyy maksimaalisesti tasapainoasennosta, sitten , ja pisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu lain mukaan

Jos värähtelevä piste on stabiilissa tasapainotilassa, niin pisteen siirtymä tasapainoasennosta muuttuu lain mukaan

V:n arvo, jakson käänteisluku ja yhtä suuri kuin luku 1 sekunnissa tapahtuvia täysiä värähtelyjä kutsutaan värähtelytaajuudeksi:

Jos kappale ajassa t tekee N täydellistä värähtelyä, niin

arvo , joka osoittaa kuinka monta värähtelyä keho tekee s:ssä, kutsutaan syklinen (pyöreä) taajuus.

Harmonisen liikkeen kinemaattinen laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Graafisesti värähtelevän pisteen siirtymän riippuvuutta ajasta edustaa kosini (tai sini).

Kuvassa 2, a on esitetty värähtelypisteen siirtymän aikariippuvuus tasapainoasennosta tapaukselle .

Selvitetään kuinka värähtelevän pisteen nopeus muuttuu ajan myötä. Tätä varten löydämme tämän lausekkeen aikajohdannaisen:

missä on nopeusprojektion amplitudi x-akselilla.

Tämä kaava osoittaa, että harmonisten värähtelyjen aikana myös kehon nopeuden projektio x-akselilla muuttuu harmonisen lain mukaan samalla taajuudella, eri amplitudilla ja on sekoitusvaihetta edellä (kuva 2, b) .

Kiihtyvyyden riippuvuuden selvittämiseksi löydämme nopeusprojektion aikaderivaatta:

missä on kiihtyvyysprojektion amplitudi x-akselilla.

Harmonisissa värähtelyissä kiihtyvyysprojektio johtaa vaihesiirtoon k:lla (kuva 2, c).

Vastaavasti voit rakentaa riippuvuuskaavioita

Ottaen huomioon, että kiihtyvyyden kaava voidaan kirjoittaa

nuo. harmonisilla värähtelyillä kiihtyvyysprojektio on suoraan verrannollinen siirtymään ja vastakkainen etumerkillä, ts. kiihtyvyys suunnataan siirtymän vastakkaiseen suuntaan.

Joten kiihtyvyysprojektio on siirtymän toinen derivaatta, jolloin tuloksena oleva suhde voidaan kirjoittaa seuraavasti:

Viimeistä tasa-arvoa kutsutaan harmonisten värähtelyjen yhtälö.

Fysikaalista järjestelmää, jossa voi esiintyä harmonisia värähtelyjä, kutsutaan harmoninen oskillaattori, ja harmonisten värähtelyjen yhtälö - harmoninen oskillaattoriyhtälö.

Harmonisen aallon yhtälö

Harmoninen värähtelyyhtälö määrittää kehon koordinaatin riippuvuuden ajasta

Kosinigraafilla on maksimiarvo alkuhetkellä ja sinigraafilla on nolla arvo alkuhetkellä. Jos värähtelyä aletaan tutkia tasapainoasennosta, värähtely toistaa siniaallon. Jos alamme harkita värähtelyä suurimman poikkeaman paikasta, värähtely kuvaa kosinin. Tai tällainen värähtely voidaan kuvata sinikaavalla alkuvaiheella.

Nopeuden ja kiihtyvyyden muutos harmonisen värähtelyn aikana

Ei vain kehon koordinaatti muuttuu ajan myötä sinin tai kosinin lain mukaan. Mutta myös suuret, kuten voima, nopeus ja kiihtyvyys, muuttuvat samalla tavalla. Voima ja kiihtyvyys ovat maksimissaan värähtelevän kappaleen ollessa sisällä ääriasennot, jossa siirtymä on suurin ja ovat nolla, kun keho kulkee tasapainoasennon läpi. Nopeus päinvastoin ääriasennoissa on nolla, ja kun keho ohittaa tasapainoasennon, se saavuttaa maksimiarvonsa.

Jos värähtelyä kuvataan kosinin lain mukaan

Jos värähtely kuvataan sinilain mukaan

Suurin nopeus ja kiihtyvyys

Riippuvuusyhtälöiden v(t) ja a(t) analysoinnin jälkeen voidaan arvata, että nopeuden ja kiihtyvyyden maksimiarvot saavat, kun trigonometrinen tekijä on 1 tai -1. Määritetään kaavalla

Ajan muutokset sinimuotoisen lain mukaan:

missä X- vaihtelevan suuren arvo ajanhetkellä t, MUTTA- amplitudi, ω - pyöreä taajuus, φ on värähtelyjen alkuvaihe, ( φt + φ ) on värähtelyjen kokonaisvaihe. Samalla arvot MUTTA, ω ja φ - pysyvä.

Mekaanisille värähtelyille, joilla on värähtelevä arvo X ovat erityisesti siirtymä ja nopeus, varten sähköisiä värähtelyjä- jännite ja virta.

Harmoninen värähtely kestää erityinen paikka kaikentyyppisten värähtelyjen joukossa, koska tämä on ainoa värähtelytyyppi, jonka muoto ei vääristy kulkiessaan minkään homogeeninen ympäristö, eli harmonisten värähtelyjen lähteestä etenevät aallot ovat myös harmonisia. Mikä tahansa ei-harmoninen värähtely voidaan esittää erilaisten harmonisten värähtelyjen summana (integraalina) (harmonisten värähtelyjen spektrin muodossa).

Energiamuutokset harmonisten värähtelyjen aikana.

Värähtelyprosessissa tapahtuu potentiaalienergian siirtymä Wp kineettiseksi vk ja päinvastoin. Maksimipoikkeaman asennossa tasapainoasennosta potentiaalienergia on maksimi, liike-energia on nolla. Kun palaat tasapainoasentoon, värähtelevän kappaleen nopeus kasvaa ja sen mukana myös kineettinen energia, saavuttaen maksimin tasapainoasennossa. Potentiaalienergia putoaa sitten nollaan. Kaulan lisäliikettä tapahtuu nopeuden laskulla, joka laskee nollaan, kun taipuma saavuttaa toisen maksiminsa. Potentiaalienergia kasvaa tässä alkuperäiseen (maksimi) arvoonsa (kitkan puuttuessa). Siten kineettisten ja potentiaalisten energioiden värähtelyt tapahtuvat kaksinkertaisella taajuudella (verrattuna itse heilurin värähtelyihin) ja ovat vastavaiheessa (eli niiden välillä on vaihesiirto, joka on yhtä suuri kuin π ). Kokonaisvärähtelyenergia W pysyy muuttumattomana. Elastisen voiman vaikutuksesta värähtelevälle kappaleelle se on yhtä suuri kuin:

missä v m- kehon maksiminopeus (tasapainoasennossa), x m = MUTTA- amplitudi.

Väliaineen kitkan ja vastuksen vuoksi vapaat tärinät hajoaminen: niiden energia ja amplitudi pienenevät ajan myötä. Siksi käytännössä ei käytetä vapaita, vaan pakotettuja värähtelyjä useammin.

Yhdessä progressiivisten ja pyörivät liikkeet mekaniikassa värähtelevät liikkeet ovat myös erittäin kiinnostavia. Mekaaniset tärinät kutsutaan kappaleiden liikkeiksi, jotka toistuvat täsmälleen (tai suunnilleen) säännöllisin väliajoin. Värähtelevän kappaleen liikelaki on annettu jollain jaksollisella ajan funktiolla x = f (t). Graafinen kuva Tämä toiminto antaa visuaalisen esityksen värähtelyprosessin kulusta ajassa.

Esimerkkejä yksinkertaisista värähtelyjärjestelmistä ovat jousen kuormitus tai matemaattinen heiluri(Kuva 2.1.1).

Mekaaniset tärinät, esim värähteleviä prosesseja mikä tahansa muu fyysinen luonne voi olla vapaa ja pakko. Vapaa värähtely tehdään vaikutuksen alaisena sisäisiä voimia järjestelmä sen jälkeen, kun järjestelmä on saatettu pois tasapainosta. Painon värähtely jousella tai heilurin värähtelyt ovat vapaita värähtelyjä. tärinää toiminnan alla ulkoinen jaksollisesti muuttuvia voimia kutsutaan pakko .

Yksinkertaisin värähtelyprosessityyppi on yksinkertainen harmonisia värähtelyjä , joita kuvataan yhtälöllä

x = x m cos (ω t + φ 0).

Tässä x- kehon siirtyminen tasapainoasennosta, x m - värähtelyamplitudi, eli suurin siirtymä tasapainoasennosta, ω - syklinen tai ympyrätaajuus epäröintiä, t- aika. Kosinimerkin alla oleva arvo φ = ω t+ φ 0 kutsutaan vaihe harmoninen prosessi. klo t= 0 φ = φ 0, joten φ 0 kutsutaan alkuvaihe. Vähimmäisaikaväliä, jonka jälkeen kehon liike toistetaan, kutsutaan värähtelyjakso T. Fyysinen määrä, värähtelyjakson käänteislukua kutsutaan värähtelytaajuus:

Värähtelytaajuus f näyttää kuinka monta värähtelyä syntyy 1 sekunnissa. Taajuusyksikkö - hertsiä(Hz). Värähtelytaajuus f liittyy sykliseen taajuuteen ω ja värähtelyjaksoon T suhteet:

Kuvassa 2.1.2 näyttää kehon asennot säännöllisin välein harmonisilla värähtelyillä. Tällainen kuva voidaan saada kokeellisesti valaisemalla värähtelevää kappaletta lyhyillä jaksottaisilla valon välähdyksellä ( stroboskooppinen valaistus). Nuolet edustavat kehon nopeusvektoreita eri ajankohtina.

Riisi. 2.1.3 kuvaa harmonisen prosessin kaaviossa tapahtuvia muutoksia, jos jompikumpi värähtelyjen amplitudi muuttuu x m tai piste T(tai taajuus f), tai alkuvaihe φ 0 .

klo värähtelevä liike kappaleet suoraa linjaa pitkin (akseli HÄRKÄ) nopeusvektori on aina suunnattu tätä suoraa pitkin. Nopeus υ = υ x kehon liike määräytyy ilmaisun avulla

Matematiikassa menetelmä suhteen rajan löytämiseksi kohdassa Δ t→ 0 kutsutaan funktion derivaatan laskennaksi x (t) ajan kanssa t ja merkitty nimellä tai nimellä x"(t) tai lopulta kuin . Harmonisen liikkeen lain osalta derivaatan laskeminen johtaa seuraavaan tulokseen:

Termin + π / 2 esiintyminen kosiniargumentissa tarkoittaa muutosta alkuvaiheessa. Nopeuden suurimmat moduloarvot υ = ω x m saavutetaan silloin, kun keho kulkee tasapainoasemien läpi ( x= 0). Kiihtyvyys määritellään samalla tavalla a = ax kappaleet harmonisilla värähtelyillä:

siis kiihtyvyys a on yhtä suuri kuin funktion υ ( t) ajan kanssa t, tai funktion toinen derivaatta x (t). Laskelmat antavat:

Miinusmerkki tässä lausekkeessa tarkoittaa, että kiihtyvyys a (t) on aina merkki, vastakkainen merkki puolueellisuus x (t), ja siksi Newtonin toisen lain mukaan voima, joka saa kehon suorittamaan harmonisia värähtelyjä, on aina suunnattu tasapainoasentoon ( x = 0).

vaihtelut kutsutaan liikkeiksi tai prosesseiksi, joille on ominaista tietty toisto ajassa. Värähtelyprosessit ovat yleisiä luonnossa ja tekniikassa, esimerkiksi kellon heilurin heilautus, muuttuva sähköä jne. Kun heiluri värähtelee, sen massakeskipisteen koordinaatti muuttuu tapauksessa vaihtovirta jännite ja virta vaihtelevat piirissä. fyysinen luonne värähtelyt voivat olla erilaisia, joten erotetaan mekaaniset, sähkömagneettiset jne. värähtelyt. Erilaisia ​​värähtelyprosesseja kuvataan kuitenkin samoilla ominaisuuksilla ja samat yhtälöt. Tästä syntyy toteutettavuus yhtenäinen lähestymistapa värähtelyjen tutkimukseen erilainen fyysinen luonne.

Fluktuaatioita kutsutaan vapaa, jos ne suoritetaan vain järjestelmän elementtien välillä vaikuttavien sisäisten voimien vaikutuksesta, sen jälkeen kun järjestelmä on poistettu tasapainoasennosta ulkoiset voimat ja jätettiin itselleen. Vapaa värinä aina vaimennettuja värähtelyjä , koska sisään todellisia järjestelmiä energiahäviöt ovat väistämättömiä. Idealisoidussa tapauksessa, jossa järjestelmässä ei ole energiahäviötä, vapaita värähtelyjä (jatkuvat niin kauan kuin halutaan) kutsutaan ns. oma.

Yksinkertaisin tyyppi vapaat vaimentamattomat värähtelyt ovat harmoniset värähtelyt - vaihtelut, joissa vaihteleva arvo muuttuu ajan myötä sini (kosinin) lain mukaan. Luonnossa ja tekniikassa kohdattavat värähtelyt ovat usein luonteeltaan lähellä harmonisia.

Harmonisia värähtelyjä kuvataan yhtälöllä, jota kutsutaan harmonisten värähtelyjen yhtälöksi:

missä MUTTA- vaihteluiden amplitudi, vaihtelevan arvon maksimiarvo X; - luonnollisten värähtelyjen pyöreä (syklinen) taajuus; - värähtelyn alkuvaihe tietyllä hetkellä t= 0; - värähtelyn vaihe ajanhetkellä t. Värähtelyn vaihe määrittää värähtelevän suuren arvon tietyllä hetkellä. Koska kosini vaihtelee +1:stä -1:een, niin X voi ottaa arvot + A ennen - MUTTA.

Aika T, jota varten järjestelmä suorittaa yhden täydellisen värähtelyn, kutsutaan värähtelyjakso. Aikana T värähtelyvaihetta kasvatetaan 2:lla π , eli

Missä . (14.2)

Värähtelyjakson käänteisluku

eli täydellisten värähtelyjen lukumäärää aikayksikköä kohti kutsutaan värähtelytaajuudeksi. Vertaamalla (14.2) ja (14.3) saadaan

Taajuuden yksikkö on hertsi (Hz): 1 Hz on taajuus, jolla yksi täydellinen värähtely tapahtuu 1 sekunnissa.

Järjestelmiä, joissa voi esiintyä vapaita värähtelyjä, kutsutaan oskillaattorit . Mitä ominaisuuksia järjestelmällä tulee olla, jotta siinä voi esiintyä vapaita värähtelyjä? mekaaninen järjestelmä täytyy olla vakaan tasapainon asema, joka tulee näkyviin poistuttaessa palauttaa voiman kohti tasapainoa. Tämä asema vastaa, kuten tiedetään, minimiä Mahdollinen energia järjestelmät. Tarkastellaan useita värähteleviä järjestelmiä, jotka täyttävät luetellut ominaisuudet.