किसी संख्या से सदिश का गुणन शून्य सदिश का किसी संख्या से गुणनफल एक सदिश होता है जिसकी लंबाई बराबर होती है, और सदिश और सह-निर्देशित होते हैं और विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं। किसी भी संख्या से शून्य सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है। किसी संख्या द्वारा शून्य सदिश का गुणनफल एक सदिश होता है जिसकी लंबाई बराबर होती है, और सदिश और सह-निर्देशित होते हैं और विपरीत दिशा में निर्देशित होते हैं। किसी भी संख्या से शून्य सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है।

किसी संख्या द्वारा सदिश का गुणनफल इस प्रकार दर्शाया जाता है: किसी संख्या द्वारा सदिश का गुणनफल निम्नानुसार दर्शाया जाता है: किसी भी संख्या और किसी सदिश के लिए, सदिश और संरेख हैं। किसी भी संख्या और किसी भी सदिश के लिए, सदिश और संरेख हैं। किसी भी सदिश बटा शून्य का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है। किसी भी सदिश बटा शून्य का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है।

किसी भी वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, समानताएं सत्य हैं: किसी भी वैक्टर और किसी भी संख्या के लिए, समानताएं सत्य हैं:

(-1) एक सदिश है, विपरीत वेक्टर, अर्थात। (-1) =-। वैक्टर की लंबाई (-1) और हैं:। (-1) वेक्टर के विपरीत वेक्टर है, यानी। (-1) =-। वैक्टर की लंबाई (-1) और हैं:। यदि सदिश गैर-शून्य है, तो सदिश (-1) और विपरीत दिशा में हैं। यदि सदिश गैर-शून्य है, तो सदिश (-1) और विपरीत दिशा में हैं। प्लानिमेट्री में प्लानिमेट्री में यदि सदिश और संरेख हैं और, तो ऐसी एक संख्या मौजूद होती है। यदि सदिश और संरेख हैं और, तो ऐसी कोई संख्या होती है।

समतलीय सदिश सदिश समतलीय कहलाते हैं यदि, जब एक ही बिंदु से आलेखित किया जाता है, तो वे एक ही तल में होते हैं। सदिश समतलीय कहलाते हैं, यदि एक ही बिंदु से आलेखित करने पर, वे एक ही तल में स्थित हों।

आंकड़ा एक समानांतर चतुर्भुज दिखाता है। आंकड़ा एक समानांतर चतुर्भुज दिखाता है। वेक्टर, और कॉपलनार हैं, क्योंकि यदि हम बिंदु ओ वेक्टर के बराबर एक वेक्टर सेट करते हैं, और कोप्लानर हैं, क्योंकि यदि हम बिंदु ओ के बराबर एक वेक्टर सेट करते हैं, तो हमें एक वेक्टर मिलता है, और वैक्टर, हमें एक वेक्टर मिलता है , और वैक्टर, और एक ही विमान OSE में स्थित हैं। सदिश, और समतलीय नहीं हैं, क्योंकि सदिश OAB तल में नहीं है। और उसी ओएसई विमान में झूठ बोलें। सदिश, और समतलीय नहीं हैं, क्योंकि सदिश OAB तल में नहीं है।

सुविधा का प्रमाण वेक्टर और समरेखी नहीं हैं (यदि वैक्टर और संरेख हैं, तो वैक्टर की शिकायत और स्पष्ट है)। से अलग सेट करें मनमाना बिंदुहे वैक्टर और (चित्र।) सदिश और OAB तल में स्थित हैं। सदिश एक ही तल में स्थित हैं। सदिश और संरेख नहीं हैं (यदि सदिश और संरेख हैं, तो सदिशों की समरूपता और स्पष्ट है)। आइए हम सदिशों को अलग रखें और एक मनमाना बिंदु O (चित्र) से। सदिश और OAB तल में स्थित हैं। सदिश एक ही तल में होते हैं, और इसलिए उनका योग-सदिश, और इसलिए उनका योग-सदिश, वेक्टर के बराबर. वेक्टर के बराबर वेक्टर। सदिश एक ही तल में स्थित होते हैं, अर्थात्। वैक्टर, और एक ही विमान में झूठ बोलते हैं, यानी। वैक्टर, और समतलीय हैं। समतलीय

यदि सदिश, और समतलीय हैं, और सदिश हैं और संरेख नहीं हैं, तो सदिश को सदिशों में विघटित किया जा सकता है। . इसके अलावा, विस्तार गुणांक (यानी, संख्या और सूत्र में) विशिष्ट रूप से निर्धारित होते हैं।

किसी भी संख्या से शून्य सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है। किसी भी संख्या k और किसी सदिश a के लिए, सदिश a और ka संरेख हैं। इस परिभाषा से यह भी पता चलता है कि शून्य से किसी सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है।

स्लाइड 38प्रस्तुति से "वेक्टर" ग्रेड 11". प्रस्तुति के साथ संग्रह का आकार 614 केबी है।

ज्यामिति ग्रेड 11

सारांशअन्य प्रस्तुतियाँ

"सपाट आंकड़ों का वर्ग" - असाइनमेंट। चित्रित आंकड़ों के क्षेत्र। क्षेत्र सूत्र लागू करें। क्षेत्र गणना सपाट आंकड़े. सीधे। सही जवाब। क्षेत्र खोजने के लिए एल्गोरिदम। असमानता। चित्रा क्षेत्र। आंकड़ों के क्षेत्र।

"केंद्रीय समरूपता की अवधारणा" - केंद्रीय समरूपताएक आंदोलन है। बिंदु M और M1 सममित कहलाते हैं। आकृति को सममित कहा जाता है। हम विमान की गतिविधियों से परिचित हुए। अंतरिक्ष आंदोलन। आंदोलन। संपत्ति। काम। अपने लिए जगह का मानचित्रण। केंद्रीय समरूपता घूर्णन का एक विशेष मामला है। केंद्रीय समरूपता।

"निर्देशांक में समस्याएं" - वेक्टर के निर्देशांक कैसे खोजें। अंक ए और बी के बीच की दूरी। निर्देशांक में सबसे सरल समस्याएं। उनके निर्देशांकों द्वारा सदिशों के अदिश गुणनफल की गणना कैसे करें। M खंड AB का मध्यबिंदु है। अंक ए और बी के बीच की दूरी का पता लगाएं। सामान्यीकरण करने के लिए कौशल का निर्माण। विषय के प्रति रुचि और प्रेम बढ़ाना। वैक्टर के बीच का कोण। अंकों के बीच की दूरी की गणना कैसे करें। एक वेक्टर की लंबाई की गणना कैसे करें, इसके निर्देशांक दिए गए हैं।

"अंतरिक्ष में एक वेक्टर की परिभाषा" - दो वैक्टर का अंतर। तीन बिंदुओं का नियम। अंतरिक्ष में एक वेक्टर की अवधारणा। अंतरिक्ष में वेक्टर। अदिश उत्पाद. विपरीत निर्देशित वैक्टर। एक त्रिभुज के केन्द्रक की ओर खींचा गया एक सदिश। विस्तार गुणांक विशिष्ट रूप से परिभाषित हैं। फेसला। सदिश खंड के मध्य में खींचा गया। कोलिनियर वैक्टर। प्रमेय का प्रमाण। प्रमाण। संरेखता के चिन्ह का प्रमाण।

"क्रांति के शरीर की मात्रा की गणना करें" - घन। शंकु। शंकु की परिभाषा। वी शंकु की मात्रा। बेलनाकार बर्तन। सिलेंडर। मात्रा ज्ञात कीजिए। सिलेंडर और शंकु। त्रिज्या। आकृति। एक सिलेंडर की परिभाषा. हमारे चारों ओर सिलेंडर। शंकु मात्रा। क्रांति के निकायों के प्रकार। गेंद। क्रांति के निकायों की मात्रा। वृत्त।

"नियमित पॉलीहेड्रा के तत्व" - यूक्लिड के सिद्धांत। हेक्साहेड्रोन। प्रकृति में ढूँढना। खुदे हुए गोले की त्रिज्या। प्रोटोजोआ। बहुफलक। आर्किमिडीज के शरीर। शाही मकबरा। अर्ध-नियमित पॉलीहेड्रा। अष्टफलक का आयतन। एक घन का पृष्ठीय क्षेत्रफल। डोडेकेहेड्रॉन। नियमित पॉलीहेड्रा की एकता पर प्रमेय। इतिहास संदर्भ. मिस्र के पिरामिड. के बारे में बताने के लिए नियमित पॉलीहेड्रा. सतह क्षेत्रफल। धरती। अद्भुत जीव।

वेक्टर घटाव

वेक्टर जोड़

वेक्टर जोड़े जा सकते हैं। परिणामी वेक्टर दोनों वैक्टरों का योग है और दूरी और दिशा को परिभाषित करता है। उदाहरण के लिए, आप कीव में रहते हैं और मास्को में पुराने दोस्तों से मिलने का फैसला किया है, और वहां से लवॉव में अपनी प्यारी सास से मुलाकात करें। अपनी पत्नी की माँ के पास जाकर आप अपने घर से कितनी दूर होंगे?

इस प्रश्न का उत्तर देने के लिए, आपको से एक सदिश खींचना होगा प्रस्थान बिंदूयात्रा (कीव) और फाइनल (लविवि) के लिए। नया वेक्टर शुरू से अंत तक पूरी यात्रा के परिणाम को निर्धारित करता है।

• वेक्टर ए - कीव-मॉस्को
• वेक्टर बी - मास्को-लविवि
• वेक्टर सी - कीव-ल्विव

सी \u003d ए + बी, जहां सी - वैक्टर का योगया परिणामी वेक्टर

पृष्ठ के सबसे ऊपर

वैक्टर को न केवल जोड़ा जा सकता है, बल्कि घटाया भी जा सकता है! ऐसा करने के लिए, आपको सबट्रेंड और घटाव वैक्टर के आधारों को संयोजित करने और उनके सिरों को तीरों से जोड़ने की आवश्यकता है:

• वेक्टर ए = सी-बी
• वेक्टर बी = सी-ए

23प्रश्न:

एक वेक्टर एक निर्देशित खंड है जो अंतरिक्ष में या एक विमान में दो बिंदुओं को जोड़ता है।सदिशों को आमतौर पर या तो छोटे अक्षरों से या शुरुआती और अंत बिंदुओं द्वारा दर्शाया जाता है। ऊपर आमतौर पर एक पानी का छींटा है।

उदाहरण के लिए, एक बिंदु से निर्देशित एक वेक्टर एमुद्दे पर बी, निरूपित किया जा सकता है ए,

शून्य वेक्टर 0 या 0 एक सदिश है जिसका प्रारंभ और अंत बिंदु समान हैं, अर्थात। ए=बीयहाँ से, 0 = – 0.

वेक्टर ए की लंबाई (मापांक) खंड एबी की लंबाई है जो इसे प्रदर्शित करता है, जिसे | . द्वारा दर्शाया गया है ए |. विशेष रूप से | | 0 | = 0.

सदिश कहलाते हैं समरेखयदि उनके निर्देशित खंड समानांतर रेखाओं पर स्थित हैं। कोलिनियर वैक्टर एऔर बीनामित हैं ए|| बी.

तीन या अधिक सदिश कहलाते हैं समतलीयअगर वे एक ही विमान में झूठ बोलते हैं।

वैक्टर का जोड़।चूंकि वेक्टर हैं निर्देशितखंड, फिर उनका जोड़ किया जा सकता है ज्यामितीय.(सदिशों का बीजगणितीय जोड़ नीचे वर्णित है, पैराग्राफ "यूनिट ऑर्थोगोनल वैक्टर") में। चलो दिखावा करते हैं कि

ए = एबीऔर बी = सीडी,

तो वेक्टर __ __

ए+ बी = अब+ सीडी

दो कार्यों का परिणाम है:

ए)समानांतर स्थानांतरणवैक्टर में से एक ताकि इसका प्रारंभ बिंदु दूसरे वेक्टर के अंत बिंदु के साथ मेल खाता हो;

बी)ज्यामितीय जोड़, यानी निश्चित वेक्टर के शुरुआती बिंदु से स्थानांतरित वेक्टर के अंत बिंदु तक जाने वाले परिणामी वेक्टर का निर्माण करना।

वैक्टर का घटाव।घटाए गए वेक्टर को विपरीत के साथ बदलकर इस ऑपरेशन को पिछले एक में घटा दिया गया है: ए-बी =ए+ (- बी) .

जोड़ के नियम।

मैं एक+ बी = बी + ए(वी सक्षम कानून)।

द्वितीय. (ए+ बी) + सी = ए+ (बी + सी) (संयुक्त कानून)।

III. ए+ 0= ए।

चतुर्थ। ए+ (- ए) = 0 .

किसी संख्या से सदिश के गुणन के नियम।

मैं।एक · ए= ए,0 · ए= 0 , एम 0 = 0 , ( – एक) · ए= - ए।

द्वितीय. एम ए = एक एम,| एम ए| = | एम | · | ए | .

III. एम (एन ए) = (एम एन) ए।(संयुक्त

गुणन का नियम).

चतुर्थ। (एम+एन) ए= एम ए + एन ए,(वितरक

एम(ए+ बी)= एम ए + एम बी। गुणन का नियम).

वैक्टर का अदिश उत्पाद। __ __

शून्येतर सदिशों के बीच का कोण ABऔर सीडीकोण है वैक्टर द्वारा गठितउनके साथ समानांतर स्थानांतरणमिलान बिंदुओं से पहले एऔर C. सदिशों का अदिश गुणनफल aऔर बीके बराबर संख्या कहा जाता है उनके बीच के कोण की कोज्या द्वारा उनकी लंबाई का गुणनफल:

यदि सदिशों में से एक शून्य है, तो उनका अदिश गुणन, परिभाषा के अनुसार, शून्य है:

(ए , 0) = (0,बी) = 0 .

यदि दोनों वैक्टर गैर-शून्य हैं, तो उनके बीच के कोण की कोज्या की गणना सूत्र द्वारा की जाती है:

अदिश उत्पाद ( ए, ए) के बराबर | ए| 2, कहा जाता है अदिश वर्ग।वेक्टर लंबाई एऔर इसका अदिश वर्ग संबंधित है:

दो वैक्टर का डॉट उत्पाद:

- सकारात्मकयदि सदिशों के बीच का कोण मसालेदार;

- नकारात्मकयदि सदिशों के बीच का कोण कुंद.

दो शून्येतर सदिशों का अदिश गुणन शून्य के बराबर होता है यदि और केवल यदि उनके बीच का कोण सही हो, अर्थात। जब ये वैक्टर लंबवत (ऑर्थोगोनल) होते हैं:

अदिश उत्पाद के गुण।किसी भी वैक्टर के लिए ए, बी, सीऔर कोई संख्या एमनिम्नलिखित संबंध मान्य हैं:

मैं। (ए, बी) = (बी ० ए) . (वी सक्षम कानून)

द्वितीय. (एम ए, बी) = एम(ए, बी) .

III.(ए + बी, सी) = (एसी) + (बी, सी). (वितरण कानून

किसी संख्या द्वारा सदिश का गुणनफल

लक्ष्य: किसी संख्या से सदिश के गुणन की अवधारणा का परिचय करा सकेंगे; किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के मूल गुणधर्मों पर विचार कीजिए।

कक्षाओं के दौरान

I. नई सामग्री सीखना(भाषण)।

1. व्याख्यान की शुरुआत में यह सलाह दी जाती है कि एक वेक्टर के उत्पाद की परिभाषा के लिए एक उदाहरण दिया जाए, विशेष रूप से, यह:

कार एक सीधी रेखा में की गति से चल रही है। वह दुगनी गति से चलती हुई दूसरी कार से आगे निकल जाता है। एक तीसरी कार उनकी ओर बढ़ रही है, जिसकी गति दूसरी कार की गति के समान है। पहली कार की गति के संदर्भ में दूसरी और तीसरी कारों की गति को कैसे व्यक्त करें और वैक्टर का उपयोग करके इन गति का प्रतिनिधित्व कैसे करें?

2. किसी संख्या द्वारा सदिश के गुणनफल की परिभाषा, उसका पदनाम: (चित्र 260)।

3. नोटबुक में लिखें:

1) संख्या शून्य से किसी भी सदिश का गुणनफल एक शून्य सदिश होता है;

2) किसी भी संख्या k और किसी भी सदिश के लिए, सदिश और संरेख हैं।

4. किसी सदिश को किसी संख्या से गुणा करने के मूल गुण:

किसी भी संख्या k, l और किसी भी सदिश के लिए, समानताएँ सत्य हैं:

1 डिग्री। (सहयोगी कानून) (चित्र। 261);

2°. (प्रथम वितरण नियम) (चित्र 262);

3 डिग्री। (दूसरा वितरण कानून) (चित्र। 263)।

टिप्पणी। सदिशों पर क्रियाओं के गुण, जिन पर हमने विचार किया है, हमें संख्यात्मक व्यंजकों के समान नियमों के अनुसार संख्याओं के अनुसार योगों, सदिशों के अंतरों और सदिशों के उत्पादों के व्यंजकों में परिवर्तन करने की अनुमति देते हैं।

"इसे वेक्टर कहा जाता है" - वेक्टर। सदिशों का योग समांतर चतुर्भुज नियम। एक वेक्टर की दूसरी अवधारणा। वेक्टर समानता। विपरीत निर्देशित वैक्टर। इमारत: कोलिनियर वैक्टरहोना उल्टी दिशाविपरीत दिशा वाले सदिश कहलाते हैं। वैक्टर का घटाव। कोलिनियर वैक्टर। वेक्टर का अंत।

"विमान पर सदिश" - एक बिंदु और एक सदिश दिया गया है। खंडों में समीकरण। अध्ययन सामान्य समीकरणविमान तीन बिंदुओं से गुजरने वाले समतल का समीकरण। वैक्टर समतलीय हैं। रेखा के वर्तमान बिंदु पर विचार करें, तो वेक्टर दी गई रेखा पर स्थित है। विश्लेषणात्मक ज्यामिति. दो बिंदुओं M1 और M2 से गुजरने वाली एक सीधी रेखा का समीकरण।

"सदिशों के जोड़ और घटाव के नियम" - "बहुभुज" का नियम। त्रिभुज नियम। विषयसूची। वैक्टर का घटाव। पिछली स्लाइड में किस जोड़ नियम का प्रयोग किया गया था? एक वेक्टर को एक संख्या से गुणा करना। (कोलीनियर वैक्टर के लिए)। समांतर चतुर्भुज नियम। वैक्टर के साथ क्रिया। वैक्टर का जोड़। समांतर चतुर्भुज जोड़ का उपयोग करके घटाने का प्रयास करें।

"वैक्टर के डॉट उत्पाद को कैसे खोजें" - स्क्वायर। वैक्टर के बीच का कोण। वैक्टर का अदिश उत्पाद। तालिका भरें। लापता शब्द डालें। एवी \u003d सूरज \u003d एसी \u003d 2. वैक्टर के अदिश उत्पाद का पता लगाएं। एक त्रिभुज की भुजाएँ। सही उत्तर चुने। अदिश उत्पाद। अव \u003d सूरज \u003d एसी। त्रिभुज की भुजाएँ और कोण ज्ञात कीजिए। ABCD एक वर्ग है।

"सदिशों के प्रकार" - सदिशों के नाम लिखिए और उनके पदनाम लिखिए। वेक्टर समानता। वैक्टर का घटाव। लंबाई निर्दिष्ट करें। वेक्टर गुणन। वेक्टर। व्यंजन वैक्टर। कोलिनियर वैक्टर। वैक्टर को नाम दें। विपरीत दिशा वाले सदिशों के नाम लिखिए। विकल्प। कई वैक्टर का योग। व्यंजन सदिशों के नाम लिखिए। वैक्टर की लंबाई निर्दिष्ट करें।

"वेक्टर निर्देशांक" - 1. वैक्टर के योग के निर्देशांक संबंधित निर्देशांक के योग के बराबर होते हैं। वेक्टर निर्देशांक। ए (3; 2)। 2. सदिशों के अंतर के निर्देशांक संगत निर्देशांकों के अंतर के बराबर होते हैं। 1. वेक्टर निर्देशांक। 2. वेक्टर निर्देशांक के गुण।

विषय में कुल 29 प्रस्तुतियाँ हैं