परिभाषा 3. क्रांति का पिंड एक अक्ष के चारों ओर एक सपाट आकृति को घुमाकर प्राप्त किया गया पिंड है जो आकृति को नहीं काटता है और इसके साथ एक ही तल में स्थित होता है।

रोटेशन की धुरी भी आकृति को काट सकती है यदि यह आकृति की समरूपता की धुरी है।

प्रमेय 2।
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
और

एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. तब क्रांति के परिणामी निकाय के आयतन की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है

(2)

प्रमाण। ऐसी बॉडी के लिए एब्सिस्सा वाला सेक्शन त्रिज्या का एक वृत्त है
, साधन
और सूत्र (1) वांछित परिणाम देता है।

यदि आंकड़ा दो निरंतर कार्यों के रेखांकन द्वारा सीमित है
और
, और रेखा खंड
और
, इसके अलावा
और
, फिर भुजिका अक्ष के चारों ओर घूमने पर, हमें एक पिंड मिलता है जिसका आयतन

उदाहरण 3 एक वृत्त से घिरे वृत्त को घुमाकर प्राप्त टोरस के आयतन की गणना करें

एक्स-अक्ष के आसपास।

आर उपाय। निर्दिष्ट सर्कल नीचे से फ़ंक्शन के ग्राफ़ से घिरा हुआ है
, और ऊपर -
. इन कार्यों के वर्गों का अंतर:

वांछित मात्रा

(इंटीग्रैंड का ग्राफ ऊपरी अर्धवृत्त है, इसलिए ऊपर लिखा गया इंटीग्रल अर्धवृत्त का क्षेत्रफल है)।

उदाहरण 4 आधार के साथ परवलयिक खंड
, और ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर की मात्रा की गणना करें (कैवलियरी द्वारा "नींबू")।

आर उपाय। परवलय को चित्र में दिखाए अनुसार रखें। तब इसका समीकरण
, और
. आइए पैरामीटर का मान ज्ञात करें :
. तो, वांछित मात्रा:

प्रमेय 3. एक निरंतर गैर-ऋणात्मक फ़ंक्शन के ग्राफ से घिरा हुआ एक वक्रीय समलम्बाकार दें
, एक्सिस
और सीधी रेखा खंड
और
, इसके अलावा
, एक अक्ष के चारों ओर घूमता है
. तब क्रांति के परिणामी निकाय का आयतन सूत्र द्वारा ज्ञात किया जा सकता है

(3)

सबूत विचार। खंड को विभाजित करना
डॉट्स

, भागों में और सीधी रेखाएँ खींचना
. संपूर्ण ट्रेपेज़ॉइड स्ट्रिप्स में विघटित हो जाएगा, जिसे आधार के साथ लगभग आयत माना जा सकता है
और ऊंचाई
.

इस तरह के एक आयत के घूर्णन के परिणामस्वरूप उत्पन्न सिलेंडर को जेनरेट्रिक्स के साथ काटा जाता है और सामने लाया जाता है। हमें आयामों के साथ "लगभग" समानांतर चतुर्भुज मिलता है:
,
और
. इसकी मात्रा
. तो, क्रांति के शरीर की मात्रा के लिए हमारे पास लगभग समानता होगी

सटीक समानता प्राप्त करने के लिए, हमें की सीमा से गुजरना होगा
. ऊपर लिखा गया योग फलन का अभिन्न योग है
इसलिए, सीमा में हम सूत्र (3) से समाकलन प्राप्त करते हैं। प्रमेय सिद्ध हो चुका है।

टिप्पणी 1. प्रमेय 2 और 3 में, शर्त
छोड़ा जा सकता है: सूत्र (2) आमतौर पर संकेत के प्रति असंवेदनशील होता है
, और सूत्र (3) में यह पर्याप्त है
द्वारा प्रतिस्थापित
.

उदाहरण 5 परवलयिक खंड (आधार
, ऊंचाई ) ऊंचाई के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

फेसला। परवलय को चित्र में दिखाए अनुसार व्यवस्थित करें। और यद्यपि घूर्णन की धुरी आकृति को पार करती है, यह - अक्ष - समरूपता की धुरी है। इसलिए, खंड के केवल दाहिने आधे हिस्से पर विचार किया जाना चाहिए। परवलय समीकरण
, और
, साधन
. हमारे पास मात्रा के लिए है:

टिप्पणी 2. यदि एक वक्रीय समलम्ब चतुर्भुज की वक्रीय सीमा पैरामीट्रिक समीकरणों द्वारा दी जाती है
,
,
और
,
फिर सूत्र (2) और (3) प्रतिस्थापन के साथ प्रयोग किया जा सकता है पर
और
पर
जब यह बदलता है टीसे
इससे पहले .

उदाहरण 6 आकृति चक्रवात के पहले चाप से घिरी हुई है
,
,
, और भुज अक्ष। इस आकृति को चारों ओर घुमाकर प्राप्त किए गए पिंड का आयतन ज्ञात कीजिए: 1) अक्ष
; 2) धुरी
.

फेसला। 1) सामान्य सूत्र
हमारे मामले में:

2) सामान्य सूत्र
हमारे आंकड़े के लिए:

हम छात्रों को सभी गणना स्वयं करने के लिए प्रोत्साहित करते हैं।

टिप्पणी 3. मान लीजिए एक वक्रीय त्रिज्यखंड एक सतत रेखा से घिरा है
और किरणें
,

, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी निकाय की मात्रा की गणना सूत्र द्वारा की जा सकती है।

उदाहरण 7 कार्डियोइड से घिरी आकृति का भाग
, घेरे के बाहर लेटा हुआ
, ध्रुवीय अक्ष के चारों ओर घूमता है। परिणामी शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

फेसला। दोनों रेखाएँ, और इसलिए वे जिस आकृति को सीमित करते हैं, ध्रुवीय अक्ष के बारे में सममित हैं। इसलिए, केवल उस भाग पर विचार करना आवश्यक है जिसके लिए
. वक्र प्रतिच्छेद करते हैं
और

पर
. इसके अलावा, इस आंकड़े को दो क्षेत्रों के अंतर के रूप में माना जा सकता है, और इसलिए मात्रा की गणना दो इंटीग्रल के अंतर के रूप में की जा सकती है। हमारे पास है:

कार्य एक स्वतंत्र समाधान के लिए।

1. एक वृत्ताकार खंड जिसका आधार
, ऊंचाई , आधार के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

2. क्रांति के एक परवलयिक का आयतन ज्ञात कीजिए जिसका आधार , और ऊंचाई है .

3. एक क्षुद्रग्रह से घिरा हुआ चित्र
,
एक्स-अक्ष के चारों ओर घूमता है। शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए, जो इस स्थिति में प्राप्त होता है।

4. रेखाओं से घिरा चित्र
और
एक्स-अक्ष के चारों ओर घूमता है। क्रांति के शरीर का आयतन ज्ञात कीजिए।

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क्रांति के शरीरया तो क्रांति की सतह से, या क्रांति की सतह और एक समतल से बंधे हुए पिंडों को कहते हैं (चित्र 134)। क्रांति की सतह के नीचे एक रेखा के घूर्णन से प्राप्त सतह को समझा जाता है ( एबीसीडीई ), एक निश्चित रेखा के चारों ओर समतल या स्थानिक, जिसे जेनेट्रिक्स कहा जाता है ( मैं ) - रोटेशन की कुल्हाड़ियों.

चित्र 134

रोटेशन की सतह के जेनरेट्रिक्स पर कोई भी बिंदु रोटेशन की धुरी के लंबवत विमान में स्थित एक सर्कल का वर्णन करता है - समानांतरइसलिए, क्रांति की धुरी के लंबवत विमान हमेशा एक सर्कल में क्रांति की सतह को काटता है। सबसे बड़ा समानांतर - भूमध्य रेखा. सबसे छोटा समानांतर - गला(गरदन)।

रोटेशन के अक्ष से गुजरने वाले विमानों को कहा जाता है मध्याह्न तल.

एक जटिल ड्राइंग में, सतह की रूपरेखा के आधारों और रेखाओं के किनारों के प्रतिनिधित्व के माध्यम से क्रांति के निकायों का प्रतिनिधित्व किया जाता है।

सतह के साथ मेरिडियन विमानों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं को कहा जाता है मध्याह्न.

प्रोजेक्शन प्लेन के समानांतर मेरिडियन प्लेन कहलाता है मुख्य मध्याह्न तल. सतह के साथ इसके प्रतिच्छेदन की रेखा - प्रधानमंत्री मध्याह्न.

सीधा गोलाकार सिलेंडर।एक लम्ब वृत्तीय बेलन (चित्र 135) एक पिंड है जो क्रांति की एक बेलनाकार सतह और दो वृत्तों से घिरा होता है - सिलेंडर के आधार सिलेंडर की धुरी के लंबवत समतल में स्थित होते हैं। क्रांति की बेलनाकार सतहएक रेक्टिलिनियर जेनरेट्रिक्स को घुमाकर प्राप्त सतह को कहा जाता है आ 1 इसके समानांतर एक निश्चित सीधी रेखा के चारों ओर - मैं (अक्ष)। एक लम्ब वृत्तीय बेलन की विशेषता वाले आयाम उसके व्यास हैं डीसी और ऊंचाई मैं (सिलेंडर के आधारों के बीच की दूरी)।

चित्र 135

एक लम्ब वृत्तीय बेलन को एक आयत को घुमाकर प्राप्त पिंड के रूप में भी माना जा सकता है। ऐ बी सी डी इसके एक पक्ष के आसपास, उदाहरण के लिए, सूरज (चित्र 136)। पक्ष सूरज रोटेशन की धुरी है, और पक्ष विज्ञापन - सिलेंडर का जेनरेटर। अन्य दो पक्ष सिलेंडर के आधारों को चिह्नित करेंगे।

चित्र 136

आयत अब और सीडी घुमाए जाने पर, वे वृत्त बनाते हैं - सिलेंडर के आधार।

सिलेंडर अनुमानों का निर्माण।

सिलेंडर के क्षैतिज और ललाट अनुमानों का निर्माण सिलेंडर के आधार की छवि के साथ शुरू होता है, यानी सर्कल के दो अनुमान (चित्र 135, बी देखें)। चूँकि वृत्त समतल में है एच , तो इसे बिना विरूपण के इस विमान पर प्रक्षेपित किया जाता है। एक वृत्त का ललाट प्रक्षेपण आधार वृत्त के व्यास के बराबर एक क्षैतिज सीधी रेखा का एक खंड है।

ललाट प्रक्षेपण पर आधार बनाने के बाद, दो स्केच जेनरेटर(चरम जनरेटर) और उन पर सिलेंडर की ऊंचाई प्लॉट की जाती है। एक क्षैतिज रेखा का एक खंड खींचा जाता है, जो सिलेंडर के ऊपरी आधार का ललाट प्रक्षेपण होता है (चित्र 135, ग)।

दिए गए ललाट अनुमानों के अनुसार, सिलेंडर की सतह पर स्थित बिंदुओं ए और बी के लापता अनुमानों का निर्धारणमें इस मामले मेंकठिनाइयों का कारण नहीं बनता है, क्योंकि सिलेंडर की पार्श्व सतह का संपूर्ण क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त है (चित्र 137, ए)। इसलिए, बिंदुओं के क्षैतिज अनुमान लेकिन और पर दिए गए बिंदुओं से स्वाइप करके पाया जा सकता है ए"" और बी"" लंबवत संचार लाइनें जब तक वे वांछित बिंदुओं पर सर्कल के साथ छेड़छाड़ नहीं करतीं ए" और बी"।

अंक के प्रोफाइल अनुमान लेकिन और पर वे लंबवत और क्षैतिज संचार लाइनों का उपयोग करके भी बनाए जाते हैं।

एक सिलेंडर का आइसोमेट्रिक दृश्य ड्रा, जैसा कि चित्र 137, बी में दिखाया गया है।

आइसोमेट्रिक पॉइंट में लेकिन और पर उनके निर्देशांक के अनुसार बनाया गया। उदाहरण के लिए, एक बिंदु बनाने के लिए पर मूल से हे अक्ष के अनुदिश एक्स समन्वय स्थगित करें x , और फिर अक्ष के समानांतर, इसके सिरे से होकर एक सीधी रेखा खींची जाती है पर , जब तक कि यह बिंदु पर आधार समोच्च के साथ प्रतिच्छेद न करे 2 . इस बिंदु से, z अक्ष के समानांतर एक सीधी रेखा खींची जाती है, जिस पर निर्देशांक प्लॉट किया जाता है जेड बी , अंक पर .

चित्र 137

सीधा गोलाकार शंकु . एक लम्ब वृत्तीय शंकु (चित्र 138) एक पिंड है जो क्रांति की शंक्वाकार सतह से घिरा है और शंकु के अक्ष के लंबवत समतल में स्थित एक वृत्त है। शंक्वाकार सतहएक रेक्टिलिनियर जेनरेट्रिक्स को घुमाकर प्राप्त किया जाता है एसए (चित्र 138, क), से गुजरते हुए नियत बिन्दुएस रोटेशन की धुरी पर मैं और इस अक्ष के साथ कुछ स्थिर कोण बनाते हैं। दूरसंचार विभाग एस बुलाया शंकु के शीर्ष, और शंक्वाकार सतह शंकु की पार्श्व सतह है। एक लम्ब वृत्तीय शंकु का आकार उसके आधार के व्यास को दर्शाता है डी क और ऊंचाई एच .

चित्र 138

एक समकोणीय शंकु को एक समकोण त्रिभुज को घुमाकर प्राप्त पिंड के रूप में भी माना जा सकता है सब उसके पैर के आसपास एसबी (चित्र 139)। इस घूर्णन के साथ, कर्ण वर्णन करता है शंक्वाकार सतह, और पैर अब - वृत्त, यानी शंकु का आधार।

चित्र 139

शंकु अनुमानों का निर्माण।

शंकु के दो अनुमानों के निर्माण का क्रम चित्र 167, b और c में दिखाया गया है। सबसे पहले, आधार के दो अनुमान बनाए जाते हैं। आधार का क्षैतिज प्रक्षेपण एक वृत्त है। ललाट प्रक्षेपण इस वृत्त के व्यास के बराबर एक क्षैतिज रेखा का एक खंड होगा (चित्र 138, ख)। ललाट प्रक्षेपण पर, आधार के बीच से एक लंबवत खड़ा होता है, और शंकु की ऊंचाई उस पर रखी जाती है (चित्र 138, सी)। शंकु के शीर्ष का परिणामी ललाट प्रक्षेपण आधार के ललाट प्रक्षेपण के सिरों के साथ सीधी रेखाओं से जुड़ा होता है और शंकु का एक ललाट प्रक्षेपण प्राप्त होता है।

शंकु की सतह पर निर्माण बिंदु

यदि शंकु की सतह पर एक बिंदु प्रक्षेपण दिया जाता है लेकिन (उदाहरण के लिए, चित्र 140 में ललाट प्रक्षेपण), फिर इस बिंदु के अन्य दो अनुमानों को सहायक रेखाओं का उपयोग करके निर्धारित किया जाता है - शंकु की सतह पर स्थित एक जनरेटर और बिंदु के माध्यम से खींचा जाता है लेकिन , या शंकु के आधार के समानांतर समतल में स्थित एक वृत्त।

चित्र 140

पहले मामले में (चित्र 140, ए) बिंदु के माध्यम से ए एक ललाट प्रक्षेपण करना 1 "" एस "" सहायक जनरेटर। बिंदु से खींची गई संचार की एक लंबवत रेखा का उपयोग करना 1 , बेस सर्कल के ललाट प्रक्षेपण पर स्थित, क्षैतिज प्रक्षेपण खोजें 1" यह जेनरेटर, जिस पर संचार लाइन की सहायता से गुजरती है ए" , पाना वांछित बिंदु ए .

दूसरे मामले में (चित्र 140, बी) बिंदु से गुजरने वाली एक सहायक रेखा लेकिन , एक शंक्वाकार सतह पर और समतल के समानांतर एक वृत्त होगा एच - समानांतर। इस सर्कल के सामने के प्रक्षेपण को एक खंड के रूप में दर्शाया गया है 1""1"" क्षैतिज सीधी रेखा, जिसका मान सहायक वृत्त के व्यास के बराबर है। वांछित क्षैतिज प्रक्षेपण ए" अंक लेकिन संचार लाइन के चौराहे पर स्थित है, जो बिंदु से नीचे है ए" , सहायक सर्कल के क्षैतिज प्रक्षेपण के साथ।

यदि दिया गया ललाट प्रक्षेपण 1"" अंक 1 समोच्च (रूपरेखा) जेनरेट्रिक्स पर स्थित है, तो बिंदु का क्षैतिज प्रक्षेपण सहायक रेखाओं के बिना है।

पर सममितीय देखें बिंदु लेकिन , शंकु की सतह पर स्थित, तीन निर्देशांकों में बनाया गया है (चित्र 140, c देखें):  एक्स ,  यू और जेड लेकिन हे अक्ष के अनुदिश एक्स विलंबित समन्वय  एक्स  यू जेड जेड लेकिन लेकिन .

गेंद।एक गेंद (चित्र 141) एक अर्धवृत्त को घुमाकर प्राप्त की गई वस्तु है एबीसी (उत्पन्न) इसके व्यास के आसपास एसी (घूर्णन की धुरी), और वह सतह जिसका चाप इस मामले में वर्णन करता है एबीसी , गोलाकार या गोलाकार कहा जाता है। एक गेंद केवल क्रांति की सतह द्वारा सीमित निकायों को संदर्भित करती है।

चित्र 141

गेंद(गोलाकार) सतह एक बिंदु से समान दूरी पर बिंदुओं का स्थान है हे बुलाया गेंद केंद्र. यदि गेंद को क्षैतिज तलों से काटा जाता है, तो खंड में वृत्त प्राप्त होंगे - समानताएं. सबसे बड़े समानांतरों का व्यास गेंद के व्यास के बराबर होता है। ऐसे वृत्त को कहते हैं भूमध्य रेखा. इसके रोटेशन के अक्ष से गुजरने वाले विमानों द्वारा गेंद के वर्गों के परिणामस्वरूप प्राप्त वृत्त कहलाते हैं मध्याह्न.

इसकी सतह पर गेंद और बिंदुओं के अनुमानों का निर्माण

गेंद के अनुमान चित्र 142 में दिखाए गए हैं, a. क्षैतिज और ललाट अनुमान - गोले की त्रिज्या के बराबर त्रिज्या के वृत्त।

चित्र 142

अगर बिंदु लेकिन स्थित है गोलाकार सतह, फिर सहायक लाइन 1"" 2"" , अक्ष के समानांतर इस बिंदु के माध्यम से खींचा गया ओह (समानांतर), एक वृत्त द्वारा क्षैतिज प्रक्षेपण तल पर प्रक्षेपित किया जाता है। सहायक सर्कल के क्षैतिज प्रक्षेपण पर, संचार लाइन का उपयोग करके वांछित क्षैतिज प्रक्षेपण पाया जाता है ए" अंक लेकिन .

सहायक वृत्त के व्यास का मान ललाट प्रक्षेपण के बराबर होता है 1""2"" .

एक्सोनोमेट्रिक छवि क्षेत्रों (गेंद) को एक वृत्त के रूप में बनाया गया है (चित्र 142 ख), जिसकी त्रिज्या ज्यामितीय रूप से गोले के केंद्र से भूमध्य रेखा (दीर्घवृत्त) के अपने प्रमुख अक्ष (लंबवत) के प्रक्षेपण के लिए दूरी के रूप में परिभाषित की गई है। आउंस ).

एक्सोनोमेट्रिक प्रक्षेपण में, एक बिंदु लेकिन , गेंद की सतह पर स्थित, तीन निर्देशांकों के अनुसार बनाया गया है: एक्स लेकिन ,यू लेकिन और जेड लेकिन . ये निर्देशांक क्रमिक रूप से आइसोमेट्रिक अक्षों के समानांतर दिशाओं में प्लॉट किए जाते हैं। विचाराधीन उदाहरण में, बिंदु से हे अक्ष के अनुदिश एक्स विलंबित समन्वय एक्स लेकिन ; y अक्ष के समानांतर इसके सिरे से एक सीधी रेखा खींची जाती है, जिस पर निर्देशांक प्लॉट किया जाता है यू लेकिन ; खंड के अंत से, अक्ष के समानांतर जेड एक सीधी रेखा खींची जाती है, जिस पर निर्देशांक प्लॉट किया जाता है जेड लेकिन . निर्माण के परिणामस्वरूप, हम वांछित बिंदु प्राप्त करते हैं लेकिन .

थोर- एक पिंड (चित्र 143) एक वृत्त या उसके चाप के चारों ओर एक ही तल में स्थित अक्ष के चारों ओर घूमने से बनता है, लेकिन वृत्त या उसके चाप के केंद्र से नहीं गुजरता है।

चित्र 143

यदि घूर्णन की धुरी जनरेटिंग सर्कल को नहीं काटती है, तो टोरस को कहा जाता है अँगूठी(खुला टोरस) (चित्र 143, ए)। यदि रोटेशन की धुरी जनरेटिंग सर्कल को काटती है, तो यह निकलता है बैरल के आकार का टोरस(बंद टोरस या प्रतिच्छेदन टोरस) (चित्र 143, ख)। बाद के मामले में, टोरस सतह का जेनरेट्रिक्स चाप है एबीसी मंडलियां।

टोरस सतह के जेनरेट्रिक्स के बिंदुओं का वर्णन करने वाले वृत्तों में से सबसे बड़ा वृत्त कहलाता है भूमध्य रेखा, और सबसे छोटा गला, या गर्दन।

टोरस अनुमानों का निर्माण

एक वृत्ताकार वलय (या एक खुला टोरस) में दो संकेंद्रित वृत्तों के रूप में एक क्षैतिज प्रक्षेपण होता है, जिसकी त्रिज्या में अंतर वलय की मोटाई या जनक वृत्त के व्यास के बराबर होता है (चित्र 145)। ललाट प्रक्षेपण जनरेटिंग सर्कल के व्यास के अर्धवृत्त के चापों द्वारा दाएं और बाएं तक सीमित है।

चित्र 144, ए और बी दो प्रकार के बंद टोरस को दर्शाता है। पहले मामले में, त्रिज्या के एक वृत्त का जनक चाप आर त्रिज्या से कम दूरी पर रोटेशन की धुरी से दूर आर , और दूसरे मामले में - अधिक। दोनों ही मामलों में, टोरस के ललाट अनुमान त्रिज्या के एक वृत्त के दो उत्पन्न चापों का एक वास्तविक दृश्य हैं आर रोटेशन की धुरी के ललाट प्रक्षेपण के संबंध में सममित रूप से स्थित है। टोरस के प्रोफाइल प्रोजेक्शन सर्कल होंगे।

चित्र 144

एक टोरस की सतह पर निर्माण बिंदु

मामले में जहां बिंदु लेकिन एक वृत्ताकार वलय की सतह पर स्थित है और इसका एक प्रक्षेपण दिया गया है, इस बिंदु के दूसरे प्रक्षेपण को खोजने के लिए, एक सहायक वृत्त का उपयोग किया जाता है दिया गया बिंदु लेकिन और वलय के अक्ष के लंबवत समतल में वलय की सतह पर स्थित होता है (चित्र 145)।

यदि ललाट प्रक्षेपण सेट है ए"" अंक लेकिन अंगूठी की सतह पर झूठ बोलना, फिर इसका दूसरा प्रक्षेपण (इस मामले में, क्षैतिज) के माध्यम से खोजने के लिए ए" सहायक सर्कल का ललाट प्रक्षेपण करें - एक क्षैतिज सीधी रेखा का एक खंड 2""2"" . फिर एक क्षैतिज प्रक्षेपण बनाएँ 2"2" इस सर्कल और उस पर, संचार की एक पंक्ति का उपयोग करके, एक बिंदु खोजें ए" .

यदि क्षैतिज प्रक्षेपण दिया गया है बी" अंक बी इस वलय की सतह पर स्थित है, तो इस बिंदु के ललाट प्रक्षेपण को खोजने के लिए 1" त्रिज्या के सहायक वृत्त का क्षैतिज प्रक्षेपण करें आर 1 . फिर बाएँ और दाएँ बिंदुओं के माध्यम से 1" और 1" इस सर्कल में, ऊर्ध्वाधर संचार लाइनें तब तक खींची जाती हैं जब तक कि वे त्रिज्या के सर्कल के स्केच जेनरेट्रिक्स के ललाट अनुमानों के साथ प्रतिच्छेद न करें। आर और अंक प्राप्त करें 1"" और 1"" . ये बिंदु एक क्षैतिज रेखा से जुड़े हुए हैं, जो सहायक सर्कल का ललाट प्रक्षेपण है (यह दिखाई देगा)। एक बिंदु से एक ऊर्ध्वाधर रेखा खींचना बी" लाइन के साथ चौराहे पर 1""1"" वांछित बिंदु प्राप्त करें बी"" .

वही निर्माण तकनीक टोरस की सतह पर स्थित बिंदुओं पर लागू होती है।

चित्र 145

एक एक्सोनोमेट्रिक छवि बनाना टोरस को तीन चरणों में विभाजित किया जा सकता है (चित्र 146)। सबसे पहले, रेडियल अक्षीय रेखा (जनरेटिंग सर्कल के केंद्र का प्रक्षेपवक्र) का प्रक्षेपण एक दीर्घवृत्त के रूप में किया जाता है। फिर हम जेनरेट्रिक्स (सर्कल) के साथ टोरस को छूने वाले गोले की त्रिज्या निर्धारित करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम एक छोटे दीर्घवृत्त के रूप में टोरस के ललाट स्केच जेनरेटर के प्रक्षेपण का निर्माण करते हैं। गोले की त्रिज्या को खंड की लंबाई के रूप में परिभाषित किया गया है हे 1 एफ दीर्घवृत्त के केंद्र से उस दीर्घवृत्त पर एक बिंदु तक जो दीर्घवृत्त के प्रमुख अक्ष पर स्थित होता है (लंबवत ओए ) इसके बाद, हम त्रिज्या के साथ बड़ी संख्या में मंडल बनाते हैं आर क्षेत्रों रेडियल अक्षीय टोरस के प्रक्षेपण पर केंद्रों के साथ हे 1 … हे एन (जितना अधिक, भविष्य के टोरस का समोच्च उतना ही सटीक)। अंत में, हम टोरस की समोच्च रेखा को गोले के प्रत्येक वृत्त की स्पर्शरेखा के रूप में खींचते हैं।

चित्र 146

पर एक्सोनोमेट्रिक प्रोजेक्शन बिंदु लेकिन , टोरस की सतह पर स्थित, तीन निर्देशांकों के अनुसार बनाया गया है: एक्स लेकिन ,यू लेकिन और जेड लेकिन . ये निर्देशांक क्रमिक रूप से आइसोमेट्रिक अक्षों के समानांतर दिशाओं में प्लॉट किए जाते हैं।

क्रांति की सतहें और उनसे बंधे पिंडों में है विस्तृत आवेदनप्रौद्योगिकी के कई क्षेत्रों में: कैथोड रे ट्यूब बैलून (चित्र 8.11,)ए), खराद का केंद्र (चित्र। 8.11,बी) बड़ा माइक्रोवेव गुंजयमान यंत्र विद्युत चुम्बकीय दोलन(चित्र 8.11,में), भंडारण देवर पोत तरल हवा(चित्र 8.11,जी), एक शक्तिशाली कैथोड-रे उपकरण का इलेक्ट्रॉन संग्राहक (चित्र। 8.11, ई), आदि।

सतह के जेनरेट्रिक्स के प्रकार के आधार पर, घुमावों पर शासन किया जा सकता है, गैर-रैखिक, या ऐसी सतहों के कुछ हिस्सों से मिलकर बनता है।

क्रांति की सतह एक सतह है जो एक निश्चित रेखा के चारों ओर एक जनरेटर के घूमने से उत्पन्न होती है। सीधी-धुरीसतहें।

आरेखण में, अक्ष को डैश-बिंदीदार रेखा द्वारा दर्शाया जाता है। जनरेटिंग लाइन कर सकते हैं सामान्य मामलाघुमावदार और सीधे दोनों खंड हैं। ड्राइंग में क्रांति की सतह को जेनरेटर और अक्ष की स्थिति द्वारा निर्दिष्ट किया जा सकता है। चित्र 8.12 क्रांति की सतह को दर्शाता है, जो जेनरेट्रिक्स के घूमने से बनता हैअलसीडी (उसका ललाट प्रक्षेपण a"b"c"d") अक्ष के चारों ओर OO 1 (सामने प्रक्षेपणओ "ओ 1" , विमान के लंबवतएन। रोटेशन के दौरान, जेनरेट्रिक्स का प्रत्येक बिंदु एक वृत्त का वर्णन करता है, जिसका तल अक्ष के लंबवत होता है। तदनुसार, धुरी के लंबवत किसी भी विमान द्वारा क्रांति की सतह के चौराहे की रेखा एक चक्र है। ऐसे वृत्त कहलाते हैंसमानांतर। शीर्ष दृश्य (चित्र 8.12) बिंदुओं द्वारा वर्णित वृत्तों के अनुमानों को दर्शाता हैए, बी, सी और डी, अनुमानों से गुजरनाऐ बी सी डी। इसके दोनों ओर से सटे दो समांतरों में से सबसे बड़ा समानांतर कहलाता हैभूमध्य रेखा, इसी तरह सबसे छोटागला।

परिक्रमण की सतह के अक्ष से गुजरने वाले तल को कहते हैंदक्षिणी क्रांति की सतह के साथ इसके प्रतिच्छेदन की रेखा -मध्याह्न यदि सतह की धुरी प्रक्षेपणों के तल के समानांतर है, तो इस प्रक्षेपण के विमान के समानांतर एक विमान में स्थित मेरिडियन को कहा जाता हैमुख्य मध्याह्न रेखा।मुख्य मध्याह्न रेखा को बिना विरूपण के अनुमानों के इस तल पर प्रक्षेपित किया जाता है। अतः, यदि परिक्रमण के पृष्ठ का अक्ष तल के समानांतर हैवी, तब प्रधान मध्याह्न रेखा को समतल पर प्रक्षेपित किया जाता हैवी विरूपण के बिना, जैसे प्रक्षेपणए "एफ" बी "सी" डी "। यदि परिक्रमण के पृष्ठ का अक्ष तल के लंबवत हैएच, तब सतह के क्षैतिज प्रक्षेपण में एक वृत्त के रूप में एक रूपरेखा होती है।

क्रांति की सतहों की छवियों को प्रदर्शित करने के लिए सबसे सुविधाजनक ऐसे मामले हैं जब उनकी कुल्हाड़ियां विमान के लंबवत होती हैंएच, वी विमान या डब्ल्यू विमान के लिए।

क्रांति की कुछ सतहें8.1 में मानी गई सतहों के विशेष मामले हैं, उदाहरण के लिए, क्रांति का एक सिलेंडर, क्रांति का शंकु। एक बेलन और क्रांति के शंकु के लिए, मेरिडियन सीधी रेखाएं हैं। वे एक बेलन के लिए अक्ष के समानांतर और उससे समान दूरी पर होते हैं या एक शंकु के लिए अक्ष के समान कोण पर एक ही बिंदु पर अक्ष को काटते हैं। एक सिलेंडर और क्रांति का शंकु सतह हैं जो उनके जनरेटर की दिशा में अनंत हैं; इसलिए, छवियों में वे कुछ पंक्तियों द्वारा सीमित होते हैं, उदाहरण के लिए, प्रक्षेपण विमानों के साथ इन सतहों के प्रतिच्छेदन की रेखाओं या किसी भी समानता द्वारा। ठोस ज्यामिति से यह ज्ञात होता है कि एक लम्ब वृत्तीय बेलन और एक लम्ब वृत्तीय शंकु एक परिक्रमण की सतह और सतह के अक्ष के लंबवत तलों से घिरे होते हैं। ऐसे बेलन की याम्योत्तर एक आयत होती है, शंकु की याम्योत्तर एक त्रिभुज होती है।

एक गोले के रूप में क्रांति की ऐसी सतह सीमित है और इसे चित्र में पूर्ण रूप से दिखाया जा सकता है। गोले के भूमध्य रेखा और मेरिडियन समान वृत्त हैं। पर ओर्थोगोनल प्रोजेक्शनसभी तीन प्रक्षेपण विमानों पर, गोले की रूपरेखा को एक वृत्त में प्रक्षेपित किया जाता है।

थोर। जब एक वृत्त (या उसका चाप) एक अक्ष के चारों ओर घूमता है जो इस वृत्त के तल में स्थित है, लेकिन इसके केंद्र से नहीं गुजरता है, तो एक सतह प्राप्त होती है जिसे टोरस कहा जाता है। चित्र 8.13 दिखाता है: एक खुला टोरस, या एक गोलाकार वलय, - चित्र 8.13,ए, बंद टोरस - आकृति 8.13,बी, स्व-प्रतिच्छेदी टोरस - आकृति 8.13,सी, टोर (चित्र 8.13, डी) नींबू भी कहा जाता है। चित्र 8.13 में उन्हें उस स्थिति में दिखाया गया है जहां टोरस की धुरी प्रक्षेपणों के तल के लंबवत हैएन। गोले खुले और बंद तोरी में अंकित किए जा सकते हैं। एक टोरस को एक समान गोले वाली सतह के रूप में देखा जा सकता है जिसके केंद्र एक वृत्त पर होते हैं।

ड्राइंग पर निर्माण में, टोरस के गोलाकार वर्गों की दो प्रणालियों का व्यापक रूप से उपयोग किया जाता है: विमानों में अपनी धुरी के लंबवत, और टोरस की धुरी से गुजरने वाले विमानों में। वहीं, फ्लैट में

टोरस की धुरी के लंबवत दिशाओं में, सर्कल के दो परिवार होते हैं - टोरस की बाहरी सतह के साथ विमानों के चौराहे की रेखाएं और टोरस की आंतरिक सतह के साथ विमानों के चौराहे की रेखाएं। नींबू के आकार के टोरस (चित्र 8.13, डी) में केवल वृत्तों का पहला परिवार है।

इसके अलावा, टोरस में वृत्ताकार खंडों की एक तीसरी प्रणाली भी होती है, जो टोरस के केंद्र से गुजरने वाले विमानों में होती है और इसके स्पर्शरेखा होती है। भीतरी सतह. चित्र 8.14 दिखाता है वृत्ताकार खंडकेंद्रों के साथ o 1r और o 2r एक अतिरिक्त प्रक्षेपण विमान परआर, फ्रंट-प्रोजेक्टिंग प्लेन द्वारा गठितक्यू (क्यूवी), अनुमानों के साथ टोरस के केंद्र से गुजरनाओ ओ और प्रक्षेपणों के साथ बिंदुओं पर टोरस की आंतरिक सतह पर स्पर्शरेखा 1", 1, 2" 2. बिंदु अनुमान 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 और 10ड्राइंग को पढ़ने में आसान बनाएं। व्यासडी ये वृत्ताकार खंड लंबाई के बराबरदीर्घवृत्त की प्रमुख कुल्हाड़ियाँ जिनमें वृत्ताकार खंड प्रक्षेपित होते हैं क्षैतिज समक्षेत्रअनुमान:डी = 2आर।

क्रांति की सतह पर अंक।क्रांति की सतह पर एक बिंदु की स्थिति का निर्धारण सतह के फ्रेम की रेखा से बिंदु के संबंध से होता है, अर्थात, क्रांति की सतह पर इस बिंदु से गुजरने वाले वृत्त की सहायता से। शासित सतहों के मामले में, इस उद्देश्य के लिए रेक्टिलिनियर जनरेटर का भी उपयोग किया जा सकता है।

क्रांति की दी गई सतह से संबंधित बिंदुओं के अनुमानों के निर्माण के लिए एक समानांतर और एक रेक्टिलिनियर जेनरेटर का उपयोग चित्र 8.12 में दिखाया गया है। यदि एक

प्रक्षेपण t दिया गया", फिर एक ललाट प्रक्षेपण करेंएफ "एफ 1" समांतर और फिर त्रिज्याआर एक वृत्त खींचना - एक समानांतर का एक क्षैतिज प्रक्षेपण - और उस पर एक प्रक्षेपण खोजेंटी। यदि एक क्षैतिज प्रक्षेपण दिया गया थाटी, तो त्रिज्या खींचना आवश्यक होगाआर = ओम सर्कल, f "बिंदु f पर" बनाएं और ड्रा करेंएफ "एफ 1" - समानांतर का ललाट प्रक्षेपण - और प्रक्षेपण कनेक्शन में उस पर एक बिंदु चिह्नित करेंटी"। अगर एक प्रक्षेपण दिया जाता हैपी" क्रांति की सतह के एक शासित (शंक्वाकार) खंड पर, फिर एक ललाट प्रक्षेपण किया जाता हैडी "एस" स्केच जेनरेट्रिक्स और प्रोजेक्शन के माध्यम से n "- फ्रंटल प्रोजेक्शनएस "टू" शंकु की सतह पर जेनरेट्रिक्स। फिर योजना दृश्य मेंएसके यह जेनरेटर एक प्रोजेक्शन n का निर्माण करता है। यदि क्षैतिज प्रक्षेपण n दिया गया था, तो क्षैतिज प्रक्षेपण इसके माध्यम से खींचा जाना चाहिएएसके जेनेट्रिक्स, प्रक्षेपण द्वाराके" और एस " (इसके निर्माण पर ऊपर चर्चा की गई थी) एक ललाट प्रक्षेपण का निर्माण करें"को" और उस पर प्रोजेक्शन कनेक्शन में प्रोजेक्शन n "चिह्नित करें

चित्र 8.15 बिंदु अनुमानों के निर्माण को दर्शाता हैको, टोरस की सतह से संबंधित। यह ध्यान दिया जाना चाहिए कि निर्माण दृश्यमान क्षैतिज अनुमानों के लिए किया गया हैको और सामने प्रक्षेपणको"।

चित्र 8.16 किसी दिए गए ललाट प्रक्षेपण के अनुसार निर्माण को दर्शाता हैटी" इसके क्षैतिज के एक गोले की सतह पर बिंदुटी और प्रोफाइल टी " अनुमान प्रक्षेपणटी एक वृत्त का उपयोग करके बनाया गया - प्रक्षेपण से गुजरने वाला एक समानांतरमी"। इसकी त्रिज्या o-1 है। प्रोजेक्शन m "" एक सर्कल का उपयोग करके बनाया गया है, जिसका विमान प्रोजेक्शन से गुजरने वाले प्रोजेक्शन के प्रोफाइल प्लेन के समानांतर हैटी"। इसकी त्रिज्या लगभग "2" है।

क्रांति की सतह पर रेखाओं के अनुमानों का निर्माण भी इस रेखा से संबंधित बिंदुओं से गुजरने वाले वृत्तों - समानांतरों का उपयोग करके किया जा सकता है।

चित्र 8.17 एक क्षैतिज प्रक्षेपण के निर्माण को दर्शाता हैए ललाट प्रक्षेपण द्वारा परिभाषित रेखाए "बी" क्रांति की सतह पर, एक गोले, टोरस, शंकु की सतहों के कुछ हिस्सों से मिलकर। रेखा के क्षैतिज प्रक्षेपण की अधिक सटीक ड्राइंग के लिए, हम इसके ललाट प्रक्षेपण को ऊपर और नीचे जारी रखते हैं और अनुमानों को चिह्नित करते हैं 6 "और 5" चरम बिंदु. क्षैतिज अनुमान 6, 1, 3, 4, 5 संचार लाइनों के साथ बनाया गया। अनुमान बी, 2, 7, 8, और समानांतरों का उपयोग करके निर्मित जिनके ललाट अनुमान अनुमानों से गुजरते हैं b"2", 7 ", 8", ए" इन बिंदुओं। मात्रा और स्थान मध्यवर्ती बिंदुलाइन के आकार और निर्माण की आवश्यक सटीकता के आधार पर चुनें। क्षैतिज प्रक्षेपणलाइन में सेक्शन होते हैं: b-1 - दीर्घवृत्त के भाग,

क्रांति के ठोस के उदाहरण

• गेंद - कट के व्यास के चारों ओर घूमते हुए अर्धवृत्त द्वारा बनाई गई
• सिलेंडर - एक भुजा के चारों ओर घूमते हुए एक आयत द्वारा निर्मित

सिलेंडर की पार्श्व सतह के क्षेत्र के लिए, इसके विकास का क्षेत्र लिया जाता है: साइड = 2πrh।

• शंकु - गठित सही त्रिकोण, पैरों में से एक के चारों ओर घूमना

इसके विकास के क्षेत्र को शंकु की पार्श्व सतह के क्षेत्रफल के रूप में लिया जाता है: साइड = rl क्षेत्र पूरी सतहशंकु: स्कोन = πr(l+ r)

जब आकृतियों की आकृति को घुमाया जाता है, तो क्रांति की एक सतह उत्पन्न होती है (उदाहरण के लिए, एक वृत्त द्वारा निर्मित एक गोला), जबकि जब एक भरा हुआ समोच्च घूमता है, तो पिंड उत्पन्न होते हैं (जैसे एक वृत्त द्वारा बनाई गई गेंद)।

क्रांति के पिंडों का आयतन और सतह क्षेत्र

• पहला गुल्डिन-पप्प प्रमेय कहता है:

• दूसरा गुल्डिन-पप्पा प्रमेय कहता है:

साहित्य

ए.वी. पोगोरेलोव। "ज्यामिति। ग्रेड 10-11» 21। रोटेशन के निकाय। - 2011

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

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