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अनुदेश

फ़ंक्शन का दायरा खोजें। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन sin(x) पूरे अंतराल पर -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, और फ़ंक्शन 1/x को -∞ से +∞ तक परिभाषित किया गया है, बिंदु x = 0 को छोड़कर।

निरंतरता और विराम बिंदुओं के क्षेत्रों को परिभाषित करें। आमतौर पर एक फ़ंक्शन उसी डोमेन में निरंतर होता है जहां इसे परिभाषित किया जाता है। विसंगतियों का पता लगाने के लिए, आपको यह गणना करने की आवश्यकता है कि तर्क परिभाषा के क्षेत्र के अंदर अलग-अलग बिंदुओं पर कब पहुंचता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन 1/x x→0+ होने पर अनंत की ओर जाता है और x→0- पर माइनस इनफिनिटी की ओर जाता है। इसका अर्थ यह है कि बिंदु x = 0 पर इसमें दूसरी तरह का असंततता है।
यदि असंततता बिंदु पर सीमाएँ परिमित हैं लेकिन समान नहीं हैं, तो यह पहली तरह का असंततता है। यदि वे समान हैं, तो फ़ंक्शन को निरंतर माना जाता है, हालांकि इसे एक अलग बिंदु पर परिभाषित नहीं किया गया है।

पाना ऊर्ध्वाधर स्पर्शोन्मुख, अगर वे हैं। पिछले चरण की गणना यहां आपकी मदद करेगी, क्योंकि लंबवत स्पर्शोन्मुख लगभग हमेशा दूसरी तरह के असंततता बिंदु पर होता है। हालांकि, कभी-कभी यह अलग-अलग बिंदु नहीं होते हैं जिन्हें परिभाषा के क्षेत्र से बाहर रखा जाता है, लेकिन बिंदुओं के पूरे अंतराल, और फिर इन अंतरालों के किनारों पर लंबवत स्पर्शोन्मुख स्थित हो सकते हैं।

जांचें कि क्या फ़ंक्शन है विशेष गुण: सम, विषम और आवर्त।
फलन सम होगा यदि डोमेन f(x) = f(-x) में किसी x के लिए। उदाहरण के लिए cos(x) और x^2 - समान कार्य.

आवधिकता एक संपत्ति है जो कहती है कि एक निश्चित संख्या टी है जिसे एक अवधि कहा जाता है, जो कि किसी भी x f(x) = f(x + T) के लिए है। उदाहरण के लिए, सभी प्रमुख त्रिकोणमितीय कार्य(साइन, कोसाइन, स्पर्शरेखा) - आवधिक।

अंक खोजें। ऐसा करने के लिए, के व्युत्पन्न की गणना करें दिया गया कार्यऔर उन x मानों को खोजें जहां यह गायब हो जाता है। उदाहरण के लिए, फ़ंक्शन f(x) = x^3 + 9x^2 -15 में एक व्युत्पन्न g(x) = 3x^2 + 18x है जो x = 0 और x = -6 पर गायब हो जाता है।

यह निर्धारित करने के लिए कि कौन से चरम बिंदु मैक्सिमा हैं और कौन से मिनिमा हैं, पाए गए शून्य में व्युत्पन्न के संकेतों में परिवर्तन का पता लगाएं। g(x) साइन को प्लस से x = -6 पर और वापस माइनस से प्लस में x = 0 पर बदलता है। इसलिए, फलन f(x) में पहले बिंदु पर न्यूनतम और दूसरे पर न्यूनतम होता है।

इस प्रकार, आपको एकरसता के क्षेत्र भी मिले हैं: f(x) अंतराल -∞; -6 पर एकरसता से बढ़ता है, -6;0 पर एकरस रूप से घटता है और 0;+∞ पर फिर से बढ़ता है।

दूसरा व्युत्पन्न खोजें। इसकी जड़ें दिखाएँगी कि किसी दिए गए फ़ंक्शन का ग्राफ कहाँ उत्तल होगा, और कहाँ अवतल होगा। उदाहरण के लिए, फलन f(x) का दूसरा अवकलज h(x) = 6x + 18 होगा। यह x = -3 पर गायब हो जाता है, इसके चिह्न को ऋण से प्लस में बदल देता है। इसलिए, इस बिंदु से पहले का ग्राफ f (x) उत्तल होगा, इसके बाद - अवतल, और यह बिंदु स्वयं एक विभक्ति बिंदु होगा।

एक फ़ंक्शन में लंबवत वाले को छोड़कर अन्य एसिम्प्टोट्स हो सकते हैं, लेकिन केवल तभी जब इसकी परिभाषा के डोमेन में शामिल हो। उन्हें खोजने के लिए, f(x) की सीमा की गणना करें जब x→∞ या x→-∞। यदि यह परिमित है, तो आपने क्षैतिज अनंतस्पर्शी पाया है।

तिरछा स्पर्शोन्मुख रूप kx + b की एक सीधी रेखा है। के को खोजने के लिए, f(x)/x की सीमा x→∞ के रूप में परिकलित करें। समान x→∞ के साथ b - सीमा (f(x) – kx) ज्ञात करना।

में से एक महत्वपूर्ण कार्य अंतर कलनविकास है सामान्य उदाहरणकार्यों के व्यवहार का अध्ययन।

यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) अंतराल पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न सकारात्मक या अंतराल (a, b) पर 0 के बराबर है, तो y \u003d f (x) बढ़ जाता है (f "(x) 0)। यदि फ़ंक्शन y \u003d f (x) खंड पर निरंतर है, और इसका व्युत्पन्न ऋणात्मक है या अंतराल (a,b) पर 0 के बराबर है, तो y=f(x) घट जाता है (f"( एक्स) 0)

वे अंतराल जिनमें फलन घटता या बढ़ता नहीं है, फलन की एकरसता के अंतराल कहलाते हैं। किसी फ़ंक्शन की एकरसता की प्रकृति केवल उसकी परिभाषा के डोमेन के उन बिंदुओं पर बदल सकती है, जिस पर पहले व्युत्पन्न का संकेत बदलता है। जिन बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न गायब हो जाता है या टूट जाता है, उन्हें महत्वपूर्ण बिंदु कहा जाता है।

प्रमेय 1 (प्रथम) पर्याप्त स्थितिएक चरम का अस्तित्व)।

मान लें कि फ़ंक्शन y=f(x) को बिंदु x 0 पर परिभाषित किया गया है और एक पड़ोस δ>0 होने दें, जैसे कि फ़ंक्शन सेगमेंट पर निरंतर है, अंतराल पर अलग-अलग है (x 0 -δ, x 0)u( x 0 , x 0 + δ) , और इसके व्युत्पन्न संरक्षित स्थायी चिह्नइनमें से प्रत्येक अंतराल पर। फिर यदि x 0 -δ, x 0) और (x 0, x 0 + δ) पर व्युत्पत्ति के चिह्न भिन्न हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु है, और यदि वे मेल खाते हैं, तो x 0 एक चरम बिंदु नहीं है . इसके अलावा, यदि, बिंदु x0 से गुजरते समय, व्युत्पन्न संकेत प्लस से माइनस में बदल जाता है (x 0 के बाईं ओर, f "(x)> 0 किया जाता है, तो x 0 अधिकतम बिंदु है; यदि व्युत्पन्न संकेत बदलता है माइनस से प्लस तक (x 0 के दाईं ओर f"(x) द्वारा निष्पादित किया जाता है<0, то х 0 - точка минимума.

अधिकतम और न्यूनतम बिंदुओं को फ़ंक्शन के चरम बिंदु कहा जाता है, और फ़ंक्शन के अधिकतम और न्यूनतम को इसके चरम मान कहा जाता है।

प्रमेय 2 (स्थानीय चरम के लिए आवश्यक मानदंड)।

यदि फ़ंक्शन y=f(x) में वर्तमान x=x 0 पर एक चरम है, तो या तो f'(x 0)=0 या f'(x 0) मौजूद नहीं है।
एक अवकलनीय फलन के चरम बिंदुओं पर, इसके ग्राफ की स्पर्शरेखा ऑक्स अक्ष के समानांतर होती है।

एक चरम के लिए एक समारोह का अध्ययन करने के लिए एल्गोरिदम:

1) फ़ंक्शन के व्युत्पन्न का पता लगाएं।
2) महत्वपूर्ण बिंदु खोजें, यानी। ऐसे बिंदु जहां फलन निरंतर है और व्युत्पन्न शून्य है या मौजूद नहीं है।
3) प्रत्येक बिंदु के पड़ोस पर विचार करें, और इस बिंदु के बाएँ और दाएँ व्युत्पन्न के चिह्न की जाँच करें।
4) इस मान के लिए चरम बिंदुओं के निर्देशांक निर्धारित करें महत्वपूर्ण बिंदुइस फ़ंक्शन में प्लग करें। पर्याप्त चरम स्थितियों का उपयोग करते हुए, उचित निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 18. फलन y=x 3 -9x 2 +24x . की जाँच कीजिए

फेसला।
1) y"=3x 2 -18x+24=3(x-2)(x-4)।
2) अवकलज को शून्य के बराबर करने पर, हम x 1 =2, x 2 =4 पाते हैं। इस मामले में, व्युत्पन्न हर जगह परिभाषित किया गया है; इसलिए, दो पाए गए बिंदुओं के अलावा, कोई अन्य महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
3) व्युत्पन्न y "=3(x-2)(x-4) का चिह्न अंतराल के आधार पर बदलता है जैसा कि चित्र 1 में दिखाया गया है। बिंदु x=2 से गुजरने पर, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, और बिंदु x=4 से गुजरते समय - ऋण से धन की ओर।
4) बिंदु x=2 पर, फ़ंक्शन का अधिकतम y अधिकतम =20 है, और बिंदु x=4 पर - न्यूनतम y मिनट =16 है।

प्रमेय 3. (एक चरम के अस्तित्व के लिए दूसरी पर्याप्त शर्त)।

मान लीजिए f "(x 0) और f "" (x 0) बिंदु x 0 पर मौजूद हैं। फिर यदि f "" (x 0)> 0, तो x 0 न्यूनतम बिंदु है, और यदि f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

खंड पर, फ़ंक्शन y \u003d f (x) सबसे छोटे (कम से कम) या सबसे बड़े (अधिकतम) मान तक पहुंच सकता है या तो अंतराल (ए; बी) में स्थित फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदुओं पर या सिरों पर पहुंच सकता है खंड का।

खंड पर एक सतत फ़ंक्शन y=f(x) के सबसे बड़े और सबसे छोटे मूल्यों को खोजने के लिए एल्गोरिदम:

1) f "(x) खोजें।
2) उन बिंदुओं को खोजें जिन पर f "(x) = 0 या f" (x) - मौजूद नहीं है, और उनमें से उन बिंदुओं का चयन करें जो खंड के अंदर स्थित हैं।
3) फ़ंक्शन y \u003d f (x) के मूल्य की गणना पैराग्राफ 2 में प्राप्त बिंदुओं के साथ-साथ खंड के सिरों पर करें और उनमें से सबसे बड़ा और सबसे छोटा चुनें: वे क्रमशः सबसे बड़े हैं ( सबसे बड़े के लिए) और सबसे छोटा (सबसे छोटे के लिए) अंतराल पर फ़ंक्शन मान।

उदाहरण 19. खंड पर एक सतत फलन y=x 3 -3x 2 -45+225 का सबसे बड़ा मान ज्ञात कीजिए।

1) हमारे पास y "=3x 2 -6x-45 खंड पर है
2) व्युत्पन्न y" सभी x के लिए मौजूद है। आइए उन बिंदुओं को खोजें जहां y"=0; हम पाते हैं:
3x2 -6x-45=0
एक्स 2 -2x-15=0
एक्स 1 \u003d -3; x2=5
3) बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
केवल बिंदु x=5 खंड के अंतर्गत आता है। फ़ंक्शन के पाए गए मानों में से सबसे बड़ा 225 है, और सबसे छोटा संख्या 50 है। तो, अधिकतम = 225 पर, अधिकतम = 50 पर।

उत्तलता पर एक समारोह की जांच

आंकड़ा दो कार्यों के रेखांकन दिखाता है। उनमें से पहला एक उभार के साथ मुड़ा हुआ है, दूसरा - एक उभार के साथ।

फलन y=f(x) एक खंड पर निरंतर है और अंतराल (a;b) में अवकलनीय है, इस खंड पर उत्तल ऊपर (नीचे) कहा जाता है, यदि, axb के लिए, इसका ग्राफ इससे अधिक नहीं है (कम नहीं) किसी बिंदु M 0 (x 0; f(x 0)) पर खींची गई स्पर्श रेखा, जहाँ axb.

प्रमेय 4. मान लीजिए फलन y=f(x) का खंड के किसी भी आंतरिक बिंदु x पर दूसरा अवकलज है और इस खंड के सिरों पर निरंतर है। फिर यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (a;b) पर संतुष्ट होती है, तो फलन खंड पर नीचे की ओर उत्तल होता है; यदि असमानता f""(x)0 अंतराल (а;b) पर संतुष्ट होती है, तो फलन ऊपर की ओर उत्तल होता है।

प्रमेय 5. यदि फलन y \u003d f (x) का अंतराल (a; b) पर दूसरा व्युत्पन्न है और यदि यह बिंदु x 0 से गुजरते समय संकेत बदलता है, तो M (x 0; f (x 0)) एक विवर्तन बिंदु है।

विभक्ति बिंदु खोजने के लिए नियम:

1) ऐसे बिंदु खोजें जहां f""(x) मौजूद नहीं है या गायब हो जाता है।
2) पहले चरण में पाए गए प्रत्येक बिंदु के बाएँ और दाएँ चिह्न f""(x) की जाँच करें।
3) प्रमेय 4 के आधार पर एक निष्कर्ष निकालें।

उदाहरण 20. फलन ग्राफ y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12 के चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु ज्ञात कीजिए।

हमारे पास f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2 है। जाहिर है, f"(x)=0 x 1 =0, x 2 =1 के लिए। व्युत्पन्न, बिंदु x = 0 से गुजरने पर, ऋण से धन में परिवर्तन करता है, और बिंदु x = 1 से गुजरते समय, यह संकेत नहीं बदलता है। इसका मतलब है कि x=0 न्यूनतम बिंदु है (y min =12), और बिंदु x=1 पर कोई चरम सीमा नहीं है। अगला, हम पाते हैं . दूसरा अवकलज x 1 =1, x 2 =1/3 बिंदुओं पर लुप्त हो जाता है। दूसरे व्युत्पन्न परिवर्तन के संकेत इस प्रकार हैं: किरण पर (-∞;) हमारे पास f""(x)>0 है, अंतराल पर (;1) हमारे पास f""(x) है<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. इसलिए, x= फ़ंक्शन ग्राफ़ का विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से उत्तलता से ऊपर की ओर संक्रमण) और x=1 भी एक विभक्ति बिंदु है (उत्तलता से उत्तलता नीचे तक संक्रमण)। यदि x=, तो y= ; यदि, तो x=1, y=13.

ग्राफ के स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए एक एल्गोरिथ्म

I. यदि y=f(x) x → a के रूप में, तो x=a एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
द्वितीय. यदि y=f(x) x → या x → -∞ के रूप में है तो y=A क्षैतिज अनंतस्पर्शी है।
III. परोक्ष स्पर्शोन्मुख को खोजने के लिए, हम निम्नलिखित एल्गोरिथम का उपयोग करते हैं:
1) गणना करें। यदि सीमा मौजूद है और b के बराबर है, तो y=b क्षैतिज अनंतस्पर्शी है; यदि , तो दूसरे चरण पर जाएँ।
2) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और k के बराबर है, तो तीसरे चरण पर जाएँ।
3) गणना करें। यदि यह सीमा मौजूद नहीं है, तो कोई स्पर्शोन्मुख नहीं है; यदि यह मौजूद है और b के बराबर है, तो चौथे चरण पर जाएँ।
4) परोक्ष अनंतस्पर्शी y=kx+b का समीकरण लिखिए।

उदाहरण 21: किसी फलन के लिए अनंतस्पर्शी ज्ञात कीजिए

1)
2)
3)
4) तिरछी स्पर्शोन्मुख समीकरण का रूप है

फ़ंक्शन के अध्ययन की योजना और इसके ग्राफ का निर्माण

I. फ़ंक्शन का डोमेन खोजें।
द्वितीय. निर्देशांक अक्षों के साथ फलन के ग्राफ के प्रतिच्छेदन बिंदु ज्ञात कीजिए।
III. स्पर्शोन्मुख खोजें।
चतुर्थ। संभावित चरम के बिंदु खोजें।
V. महत्वपूर्ण बिंदु खोजें।
VI. सहायक ड्राइंग का उपयोग करते हुए, पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करें। फ़ंक्शन के बढ़ने और घटने के क्षेत्रों का निर्धारण करें, ग्राफ की उत्तलता की दिशा, चरम बिंदु और विभक्ति बिंदु खोजें।
सातवीं। पैराग्राफ 1-6 में किए गए अध्ययन को ध्यान में रखते हुए एक ग्राफ बनाएँ।

उदाहरण 22: उपरोक्त योजना के अनुसार एक फलन आलेख आलेखित करें

फेसला।
I. फलन का प्रांत x=1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं का समुच्चय है।
द्वितीय. चूंकि समीकरण x 2 +1=0 का कोई वास्तविक मूल नहीं है, तो फ़ंक्शन के ग्राफ़ में ऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु नहीं होते हैं, लेकिन Oy अक्ष को बिंदु (0; -1) पर प्रतिच्छेद करते हैं।
III. आइए हम स्पर्शोन्मुख के अस्तित्व के प्रश्न को स्पष्ट करें। हम असंततता बिंदु x=1 के निकट फलन के व्यवहार की जांच करते हैं। चूँकि y → x → -∞ के लिए, y → +∞ x → 1+ के लिए, तो रेखा x=1 फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।
यदि x → +∞(x → -∞), तो y → +∞(y → -∞); इसलिए, ग्राफ में क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं है। इसके अलावा, सीमाओं के अस्तित्व से

समीकरण x 2 -2x-1=0 को हल करने पर, हमें संभावित चरम के दो बिंदु मिलते हैं:
एक्स 1 = 1-√2 और एक्स 2 = 1+√2

वी। महत्वपूर्ण बिंदुओं को खोजने के लिए, हम दूसरे व्युत्पन्न की गणना करते हैं:

चूंकि f""(x) लुप्त नहीं होता है, इसलिए कोई महत्वपूर्ण बिंदु नहीं हैं।
VI. हम पहले और दूसरे डेरिवेटिव के संकेत की जांच करते हैं। संभावित चरम बिंदुओं पर विचार किया जाना चाहिए: x 1 = 1-√2 और x 2 = 1+√2, फ़ंक्शन के अस्तित्व के क्षेत्र को अंतराल में विभाजित करें (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) और (1+√2;+∞)।

इनमें से प्रत्येक अंतराल में, व्युत्पन्न अपना चिन्ह बरकरार रखता है: पहले में - प्लस, दूसरे में - माइनस, तीसरे में - प्लस। पहले व्युत्पन्न के संकेतों का क्रम इस प्रकार लिखा जाएगा: +, -, +।
हम पाते हैं कि (-∞;1-√2) पर फलन बढ़ता है, (1-√2;1+√2) पर यह घटता है, और (1+√2;+∞) पर यह फिर से बढ़ता है। चरम बिंदु: अधिकतम x=1-√2 पर, इसके अलावा f(1-√2)=2-2√2 न्यूनतम x=1+√2 पर, इसके अलावा f(1+√2)=2+2√2। पर (-∞;1) ग्राफ ऊपर की ओर उत्तल है, और पर (1;+∞) - नीचे की ओर।
VII आइए प्राप्त मूल्यों की एक तालिका बनाएं

आठवीं प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम फ़ंक्शन के ग्राफ़ का एक स्केच बनाते हैं

यदि कार्य की आवश्यकता है पूरा अध्ययनकार्य f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 इसके ग्राफ के निर्माण के साथ, फिर हम इस सिद्धांत पर विस्तार से विचार करेंगे।

इस प्रकार की समस्या को हल करने के लिए मुख्य के गुणों और आलेखों का उपयोग करना चाहिए प्राथमिक कार्य. अनुसंधान एल्गोरिथ्म में निम्नलिखित चरण शामिल हैं:

यांडेक्स.आरटीबी आर-ए-339285-1

परिभाषा का डोमेन ढूँढना

चूंकि अनुसंधान कार्य के क्षेत्र में किया जाता है, इसलिए इस चरण से शुरू करना आवश्यक है।

उदाहरण 1

पीछे दिया गया उदाहरणडीपीवी से उन्हें बाहर करने के लिए हर के शून्य को खोजना शामिल है।

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 x ∈ - ; - 1 2 - 1 2 ; 1 2 1 2 ; +∞

नतीजतन, आप जड़ें, लघुगणक, आदि प्राप्त कर सकते हैं। फिर ODZ को असमानता g (x) 0 द्वारा g (x) 4 के सम अंश के मूल के लिए खोजा जा सकता है, विषमता g (x) > 0 द्वारा लघुगणक log a g (x) के लिए।

ODZ सीमाओं की जांच और लंबवत स्पर्शोन्मुख का पता लगाना

फ़ंक्शन की सीमाओं पर लंबवत स्पर्शोन्मुख होते हैं, जब ऐसे बिंदुओं पर एकतरफा सीमाएं अनंत होती हैं।

उदाहरण 2

उदाहरण के लिए, x = ± 1 2 के बराबर सीमा बिंदुओं पर विचार करें।

फिर एकतरफा सीमा खोजने के लिए फ़ंक्शन का अध्ययन करना आवश्यक है। तब हम पाते हैं कि: लिम x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + लिम x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - लिम x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = लिम x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = +

इससे पता चलता है कि एकतरफा सीमाएं अनंत हैं, जिसका अर्थ है कि रेखाएं x = ± 1 2 ग्राफ के लंबवत अनंतस्पर्शी हैं।

समारोह की जांच और सम या विषम के लिए

जब शर्त y (- x) = y (x) पूरी होती है, तो फलन को सम माना जाता है। इससे पता चलता है कि ग्राफ O y के सापेक्ष सममित रूप से स्थित है। जब शर्त y (- x) = - y (x) पूरी होती है, तो फलन को विषम माना जाता है। इसका मतलब यह है कि समरूपता निर्देशांक की उत्पत्ति के संबंध में जाती है। यदि कम से कम एक असमानता विफल हो जाती है, तो हमें सामान्य रूप का एक फलन प्राप्त होता है।

समानता y (- x) = y (x) की पूर्ति इंगित करती है कि फलन सम है। निर्माण करते समय, यह ध्यान रखना आवश्यक है कि O y के संबंध में समरूपता होगी।

असमानता को हल करने के लिए, क्रमशः f "(x) 0 और f" (x) 0 शर्तों के साथ वृद्धि और कमी के अंतराल का उपयोग किया जाता है।

परिभाषा 1

स्थिर बिंदुऐसे बिंदु हैं जो व्युत्पन्न को शून्य में बदल देते हैं।

महत्वपूर्ण बिंदुडोमेन से आंतरिक बिंदु हैं जहां फ़ंक्शन का व्युत्पन्न शून्य के बराबर है या मौजूद नहीं है।

निर्णय लेते समय, निम्नलिखित बातों को ध्यान में रखा जाना चाहिए:

• फॉर्म f "(x)> 0 की असमानता में वृद्धि और कमी के मौजूदा अंतराल के लिए, महत्वपूर्ण बिंदु समाधान में शामिल नहीं हैं;
• जिन बिंदुओं पर परिमित व्युत्पन्न के बिना फ़ंक्शन को परिभाषित किया गया है, उन्हें वृद्धि और कमी के अंतराल में शामिल किया जाना चाहिए (उदाहरण के लिए, y \u003d x 3, जहां बिंदु x \u003d 0 फ़ंक्शन को परिभाषित करता है, व्युत्पन्न में अनंत का मान होता है इस बिंदु पर, y " \u003d 1 3 x 2 3 , y " (0) = 1 0 = , x = 0 वृद्धि अंतराल में शामिल है);
• असहमति से बचने के लिए, गणितीय साहित्य का उपयोग करने की सिफारिश की जाती है, जिसकी सिफारिश शिक्षा मंत्रालय द्वारा की जाती है।

घटना के बढ़ने और घटने के अंतराल में महत्वपूर्ण बिंदुओं को शामिल करना कि वे फ़ंक्शन के डोमेन को संतुष्ट करते हैं।

परिभाषा 2

के लिए फलन के बढ़ने और घटने के अंतराल को निर्धारित करने के लिए, यह ज्ञात करना आवश्यक है:

• व्युत्पन्न;
• महत्वपूर्ण बिंदु;
• महत्वपूर्ण बिंदुओं की सहायता से परिभाषा के क्षेत्र को अंतराल में तोड़ें;
• प्रत्येक अंतराल पर अवकलज का चिह्न ज्ञात कीजिए, जहाँ + वृद्धि है और - कमी है।

उदाहरण 3

डोमेन f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) पर अवकलज ज्ञात कीजिए। 2.

फेसला

हल करने के लिए आपको चाहिए:

• स्थिर बिंदु ज्ञात कीजिए, इस उदाहरण में x = 0 है;
• हर के शून्यक ज्ञात कीजिए, उदाहरण शून्य मान को x = ± 1 2 पर लेता है।

हम प्रत्येक अंतराल पर व्युत्पन्न निर्धारित करने के लिए संख्यात्मक अक्ष पर बिंदुओं को उजागर करते हैं। ऐसा करने के लिए, अंतराल से किसी भी बिंदु को लेने और गणना करने के लिए पर्याप्त है। यदि परिणाम सकारात्मक है, तो हम ग्राफ पर + खींचते हैं, जिसका अर्थ है कि फ़ंक्शन में वृद्धि, और - का अर्थ है इसकी कमी।

उदाहरण के लिए, f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, जिसका अर्थ है कि बाईं ओर के पहले अंतराल में + चिह्न है। संख्या पर विचार करें रेखा।

जवाब:

• अंतराल पर फलन में वृद्धि होती है - ; - 1 2 और (- 1 2 ; 0 ] ;
• अंतराल पर कमी होती है [ 0 ; 1 2) और 1 2 ; +∞.

आरेख में, + और - का उपयोग करते हुए, फ़ंक्शन की सकारात्मकता और नकारात्मकता को दर्शाया गया है, और तीर घटने और बढ़ने का संकेत देते हैं।

किसी फ़ंक्शन के चरम बिंदु वे बिंदु होते हैं जहां फ़ंक्शन को परिभाषित किया जाता है और जिसके माध्यम से व्युत्पन्न परिवर्तन संकेत करते हैं।

उदाहरण 4

यदि हम एक उदाहरण पर विचार करते हैं जहां x \u003d 0 है, तो इसमें फ़ंक्शन का मान f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0 है। जब व्युत्पन्न का चिह्न + से - में बदल जाता है और बिंदु x \u003d 0 से गुजरता है, तो निर्देशांक वाले बिंदु (0; 0) को अधिकतम बिंदु माना जाता है। जब चिह्न को - से + में बदल दिया जाता है, तो हमें न्यूनतम बिंदु प्राप्त होता है।

उत्तलता और अवतलता का निर्धारण f "" (x) 0 और f "" (x) 0 के रूप की असमानताओं को हल करके किया जाता है। कम बार वे अवतलता के बजाय उभार नाम का प्रयोग करते हैं, और उभार के बजाय उभार।

परिभाषा 3

के लिए उत्तलता और उत्तलता के अंतराल का निर्धारणज़रूरी:

• दूसरा व्युत्पन्न खोजें;
• दूसरे अवकलज के फलन के शून्य ज्ञात कीजिए;
• परिभाषा के क्षेत्र को उन बिंदुओं से तोड़ें जो अंतराल में दिखाई देते हैं;
• अंतराल का संकेत निर्धारित करें।

उदाहरण 5

परिभाषा के क्षेत्र से दूसरा अवकलज ज्ञात कीजिए।

फेसला

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 "= (- 2 x)" (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2 " (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

हम अंश और हर के शून्य पाते हैं, जहां, हमारे उदाहरण का उपयोग करते हुए, हमारे पास है कि हर के शून्य x = ± 1 2

अब आपको अंक लगाने की जरूरत है संख्यात्मक अक्षऔर प्रत्येक अंतराल से दूसरे व्युत्पन्न का चिह्न निर्धारित करें। हमें वह मिलता है

जवाब:

• फलन अंतराल से उत्तल है - 1 2 ; 12 ;
• समारोह अंतराल से अवतल है - ; - 1 2 और 1 2; +∞.

परिभाषा 4

संक्रमण का बिन्दु x 0 के रूप का एक बिंदु है; एफ (एक्स 0)। जब यह फ़ंक्शन के ग्राफ़ पर स्पर्शरेखा रखता है, तो जब यह x 0 से होकर गुजरता है, तो फ़ंक्शन संकेत को विपरीत में बदल देता है।

दूसरे शब्दों में, यह एक ऐसा बिंदु है जिसके माध्यम से दूसरा व्युत्पन्न गुजरता है और संकेत बदलता है, और बिंदुओं पर स्वयं शून्य के बराबर होता है या मौजूद नहीं होता है। सभी बिंदुओं को फ़ंक्शन का डोमेन माना जाता है।

उदाहरण में, यह देखा गया कि कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं, क्योंकि दूसरा व्युत्पन्न परिवर्तन अंक x = ± 1 2 से गुजरते समय संकेत करता है। वे, बदले में, परिभाषा के क्षेत्र में शामिल नहीं हैं।

क्षैतिज और तिरछी अनंतस्पर्शी ढूँढना

अनंत पर एक फ़ंक्शन को परिभाषित करते समय, किसी को क्षैतिज और तिरछी स्पर्शोन्मुख की तलाश करनी चाहिए।

परिभाषा 5

तिरछा स्पर्शोन्मुखसीधी रेखाओं द्वारा दर्शाया गया समीकरण द्वारा दिया गया y = k x + b , जहाँ k = lim x → ∞ f (x) x और b = lim x → f (x) - k x ।

k = 0 और b अनंत के बराबर नहीं होने पर, हम पाते हैं कि तिरछा स्पर्शोन्मुखहो जाता है क्षैतिज.

दूसरे शब्दों में, स्पर्शोन्मुख वे रेखाएँ हैं जिनसे फ़ंक्शन का ग्राफ़ अनंत पर पहुँचता है। यह फ़ंक्शन के ग्राफ के तेजी से निर्माण में योगदान देता है।

यदि कोई स्पर्शोन्मुख नहीं हैं, लेकिन फ़ंक्शन को दोनों अनंत पर परिभाषित किया गया है, तो यह समझने के लिए कि फ़ंक्शन का ग्राफ़ कैसे व्यवहार करेगा, इन अनंत पर फ़ंक्शन की सीमा की गणना करना आवश्यक है।

उदाहरण 6

एक उदाहरण के रूप में, उस पर विचार करें

k = लिम x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 y = 1 4

एक समस्तरीय अनंतस्पर्शी रेखा. फ़ंक्शन पर शोध करने के बाद, आप इसे बनाना शुरू कर सकते हैं।

मध्यवर्ती बिंदुओं पर किसी फ़ंक्शन के मान की गणना करना

प्लॉटिंग को सबसे सटीक बनाने के लिए, मध्यवर्ती बिंदुओं पर फ़ंक्शन के कई मान खोजने की अनुशंसा की जाती है।

उदाहरण 7

हमने जिस उदाहरण पर विचार किया है, उससे x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4 बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान ज्ञात करना आवश्यक है। चूंकि फ़ंक्शन सम है, हम पाते हैं कि मान इन बिंदुओं पर मानों के साथ मेल खाते हैं, अर्थात, हमें x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4 मिलता है।

आइए लिखें और हल करें:

एफ (- 2) = एफ (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 एफ (- 1) - एफ (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 - 0.08

किसी फलन के मैक्सिमा और मिनिमा को निर्धारित करने के लिए, विभक्ति बिंदु, मध्यवर्ती बिंदुस्पर्शोन्मुख का निर्माण करना आवश्यक है। सुविधाजनक पदनाम के लिए, वृद्धि, कमी, उत्तलता, अवतलता के अंतराल निश्चित हैं। नीचे दिए गए चित्र पर विचार करें।

चिह्नित बिंदुओं के माध्यम से ग्राफ रेखाएं खींचना आवश्यक है, जो आपको तीरों का अनुसरण करते हुए स्पर्शोन्मुख के करीब पहुंचने की अनुमति देगा।

यह फ़ंक्शन का पूरा अध्ययन समाप्त करता है। कुछ प्राथमिक कार्यों के निर्माण के मामले हैं जिनके लिए ज्यामितीय परिवर्तनों का उपयोग किया जाता है।

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एक संपूर्ण अध्ययन करें और एक फलन ग्राफ तैयार करें

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x।

1) समारोह का दायरा। चूँकि फलन एक भिन्न है, आपको हर के शून्य ज्ञात करने होंगे।

1−x=0,⇒x=1.1−x=0,⇒x=1.

हम फ़ंक्शन परिभाषा क्षेत्र से एकमात्र बिंदु x=1x=1 को बाहर करते हैं और प्राप्त करते हैं:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) आइए हम असंततता बिंदु के आस-पास फलन के व्यवहार का अध्ययन करें। एकतरफा सीमाएं खोजें:

चूँकि सीमाएँ अनंत के बराबर हैं, बिंदु x=1x=1 दूसरी तरह का एक असंततता है, रेखा x=1x=1 एक लंबवत अनंतस्पर्शी है।

3) आइए निर्देशांक अक्षों के साथ फ़ंक्शन के ग्राफ़ के प्रतिच्छेदन बिंदु निर्धारित करें।

आइए ऑर्डिनेट अक्ष OyOy के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसके लिए हम x=0x=0 की बराबरी करते हैं:

इस प्रकार, OyOy अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन बिंदु के निर्देशांक (0;8)(0;8) हैं।

आइए एब्सिसा अक्ष ऑक्सऑक्स के साथ प्रतिच्छेदन के बिंदु खोजें, जिसके लिए हम y=0y=0 सेट करते हैं:

समीकरण की कोई जड़ नहीं है, इसलिए ऑक्सऑक्स अक्ष के साथ प्रतिच्छेदन का कोई बिंदु नहीं है।

ध्यान दें कि x2+8>0x2+8>0 किसी भी xx के लिए। इसलिए, x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) के लिए फलन y>0y>0(में लेता है) सकारात्मक मूल्य, ग्राफ x-अक्ष के ऊपर है), x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) फ़ंक्शन y के लिए<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) फलन न तो सम और न ही विषम है क्योंकि:

5) हम आवधिकता के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं। फलन आवर्त नहीं है, क्योंकि यह एक भिन्नात्मक परिमेय फलन है।

6) हम चरम सीमाओं और एकरसता के लिए कार्य की जांच करते हैं। ऐसा करने के लिए, हम फ़ंक्शन का पहला व्युत्पन्न पाते हैं:

आइए हम पहले व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें और स्थिर बिंदु खोजें (जिस पर y′=0y′=0):

हमें तीन महत्वपूर्ण बिंदु मिले: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. हम दिए गए बिंदुओं द्वारा फ़ंक्शन के पूरे डोमेन को अंतराल में विभाजित करते हैं और प्रत्येक अंतराल में व्युत्पन्न के संकेत निर्धारित करते हैं:

x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) व्युत्पन्न y′ के लिए<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) व्युत्पन्न y′>0y′>0 के लिए, इन अंतरालों पर फलन बढ़ता है।

इस मामले में, x=−2x=−2 एक स्थानीय न्यूनतम बिंदु है (फ़ंक्शन घटता है और फिर बढ़ता है), x=4x=4 एक स्थानीय अधिकतम बिंदु है (फ़ंक्शन बढ़ता है और फिर घटता है)।

आइए इन बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान खोजें:

इस प्रकार, न्यूनतम बिंदु (−2;4)(−2;4) है, अधिकतम बिंदु (4;−8)(4;−8) है।

7) हम किंक और उत्तलता के लिए फ़ंक्शन की जांच करते हैं। आइए फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न खोजें:

दूसरे व्युत्पन्न को शून्य के बराबर करें:

परिणामी समीकरण की कोई जड़ें नहीं हैं, इसलिए कोई विभक्ति बिंदु नहीं हैं। इसके अलावा, जब x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0 संतुष्ट होता है, अर्थात जब x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) हम फ़ंक्शन के व्यवहार की जांच अनंत पर करते हैं, अर्थात पर।

चूंकि सीमाएं अनंत हैं, इसलिए कोई क्षैतिज स्पर्शोन्मुख नहीं हैं।

आइए y=kx+by=kx+b रूप के तिरछे स्पर्शोन्मुख को निर्धारित करने का प्रयास करें। हम ज्ञात सूत्रों के अनुसार k,bk,b के मानों की गणना करते हैं:

हमने पाया कि फलन में एक तिरछी अनंतस्पर्शी y=−x−1y=−x−1 है।

9) अतिरिक्त अंक। आइए कुछ अन्य बिंदुओं पर फ़ंक्शन के मान की गणना करें ताकि ग्राफ़ को अधिक सटीक रूप से बनाया जा सके।

y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5.y(−5)=5.5;y(2)=−12;y(7)=−9.5।

10) प्राप्त आंकड़ों के आधार पर, हम एक ग्राफ बनाएंगे, इसे स्पर्शोन्मुख x=1x=1 (नीला), y=−x−1y=−x−1 (हरा) के साथ पूरक करेंगे और विशेषता बिंदुओं (y के साथ प्रतिच्छेदन) को चिह्नित करेंगे। -अक्ष बैंगनी है, एक्स्ट्रेमा नारंगी है, अतिरिक्त बिंदु काले हैं):

कार्य 4: ज्यामितीय, आर्थिक समस्याएं (मुझे नहीं पता कि यहां समाधान और सूत्रों के साथ समस्याओं का अनुमानित चयन है)

उदाहरण 3.23। ए

फेसला। एक्सऔर आप आप
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। चूंकि x = a/4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। xa/4 S "> 0 के लिए, और x>a/4 S" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24।

फेसला।
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

उदाहरण 3.22।फलन f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14 का चरम ज्ञात कीजिए।

फेसला।चूंकि f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), फिर फ़ंक्शन के महत्वपूर्ण बिंदु x 1 \u003d 2 और x 2 \u003d 3. चरम बिंदु कर सकते हैं केवल इन बिंदुओं पर हो। इसलिए जब बिंदु x 1 \u003d 2 से गुजरते हुए, व्युत्पन्न परिवर्तन प्लस से माइनस में बदल जाता है, तो इस बिंदु पर फ़ंक्शन का अधिकतम होता है। बिंदु x 2 \u003d 3 से गुजरते समय, व्युत्पन्न परिवर्तन माइनस से प्लस पर हस्ताक्षर करते हैं, इसलिए, बिंदु x 2 \u003d 3 पर, फ़ंक्शन में न्यूनतम होता है। बिंदुओं में फ़ंक्शन के मानों की गणना करना
x 1 = 2 और x 2 = 3, हम फलन का एक्स्ट्रेमा पाते हैं: अधिकतम f(2) = 14 और न्यूनतम f(3) = 13।

उदाहरण 3.23।पत्थर की दीवार के पास एक आयताकार क्षेत्र बनाना आवश्यक है ताकि इसे तीन तरफ से तार की जाली से बंद कर दिया जाए और चौथी तरफ की दीवार को जोड़ दिया जाए। इसके लिए है एग्रिड के रैखिक मीटर। किस पक्षानुपात पर साइट का क्षेत्रफल सबसे बड़ा होगा?

फेसला।के माध्यम से साइट के किनारों को निरूपित करें एक्सऔर आप. साइट का क्षेत्रफल S = xy है। रहने दो आपदीवार से सटे पक्ष की लंबाई है। फिर, शर्त के अनुसार, समता 2x + y = a अवश्य धारण करें। इसलिए y = a - 2x और S = x(a - 2x), जहां
0 ≤ x ≤ a/2 (क्षेत्र की लंबाई और चौड़ाई ऋणात्मक नहीं हो सकती)। एस "= ए - 4x, ए - 4x = 0 एक्स = ए / 4 के लिए, जहां से
वाई \u003d ए - 2 × ए / 4 \u003d ए / 2। चूंकि x = a/4 एकमात्र महत्वपूर्ण बिंदु है, आइए देखें कि क्या इस बिंदु से गुजरते समय व्युत्पन्न का चिह्न बदलता है। xa/4 S "> 0 के लिए, और x>a/4 S" के लिए< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

उदाहरण 3.24। V=16p 50 m 3 की क्षमता वाला एक बंद बेलनाकार टैंक बनाना आवश्यक है। इसके निर्माण के लिए कम से कम सामग्री का उपयोग करने के लिए टैंक (त्रिज्या आर और ऊंचाई एच) के आयाम क्या होने चाहिए?

फेसला।बेलन का कुल पृष्ठीय क्षेत्रफल S = 2pR(R+H) है। हम बेलन का आयतन जानते हैं V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 । इसलिए, S(R) = 2p(R 2 +16/R)। हम इस फ़ंक्शन का व्युत्पन्न पाते हैं:
एस "(आर) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2)। S " (R) \u003d 0 R 3 \u003d 8 के लिए, इसलिए,
आर = 2, एच = 16/4 = 4।

इसी तरह की जानकारी।