पाठ 32-33। उल्टा त्रिकोणमितीय कार्य

09.07.2015 5917 0

लक्ष्य: व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों पर विचार करें, समाधान लिखने के लिए उनका उपयोग त्रिकोणमितीय समीकरण.

I. पाठों के विषय और उद्देश्यों का संचार

द्वितीय. नई सामग्री सीखना

1. उलटा त्रिकोणमितीय कार्य

आइए इस विषय को निम्नलिखित उदाहरण से शुरू करते हैं।

उदाहरण 1

आइए समीकरण को हल करें:ए) पाप एक्स = 1/2; बी) पाप एक्स \u003d ए।

a) कोर्डिनेट अक्ष पर 1/2 का मान अलग रखें और कोणों को प्लॉट करेंएक्स 1 और x2, जिसके लिएपाप x = 1/2. इस स्थिति में, x1 + x2 = , जहाँ से x2 = -एक्स 1 . त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों की तालिका के अनुसार, हम मान पाते हैं x1 = /6, फिरहम साइन फ़ंक्शन की आवधिकता को ध्यान में रखते हैं और समाधान लिखते हैं दिया गया समीकरण: जहां के जेड।

बी) यह स्पष्ट है कि समीकरण को हल करने के लिए एल्गोरिदमपाप x = a पिछले पैराग्राफ की तरह ही है। बेशक, अब a का मान y-अक्ष के अनुदिश प्लॉट किया जाता है। किसी तरह कोण X1 को निर्दिष्ट करने की आवश्यकता है। हम ऐसे कोण को प्रतीक द्वारा निरूपित करने के लिए सहमत हुएचाप पाप ए। तब इस समीकरण के हल इस प्रकार लिखे जा सकते हैंइन दो सूत्रों को एक में जोड़ा जा सकता है:जिसमें

अन्य उलटा त्रिकोणमितीय कार्य इसी तरह पेश किए जाते हैं।

बहुत बार कोण का मान द्वारा निर्धारित करना आवश्यक होता है ज्ञात मूल्यइसका त्रिकोणमितीय कार्य। इस तरह की समस्या बहुमूल्यवान है - ऐसे अनंत कोण हैं जिनके त्रिकोणमितीय कार्य समान मान के बराबर हैं। इसलिए, त्रिकोणमितीय कार्यों की एकरसता के आधार पर, के लिए स्पष्ट परिभाषाकोण निम्नलिखित प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों का परिचय देते हैं।

a (arcsin .) का आर्कसिन , जिसकी ज्या a के बराबर है, अर्थात।

किसी संख्या की चाप कोज्या a(arccos a) - अंतराल से ऐसा कोण a, जिसकी कोज्या a के बराबर है, अर्थात।

किसी संख्या की चाप स्पर्शरेखाए (आर्कटजी a) - ऐसा कोण a अंतराल सेजिसका स्पर्शज्या a है, अर्थात।टीजी ए = ए।

किसी संख्या की चाप स्पर्शरेखाए (आर्कटजी a) - अंतराल (0; ) से ऐसा कोण a, जिसका कोटैंजेंट a के बराबर है, अर्थात।सीटीजी ए = ए।

उदाहरण 2

हमे पता करने दें:

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं को देखते हुए, हम प्राप्त करते हैं:

उदाहरण 3

गणना करना

माना कोण a = चाप 3/5, फिर परिभाषा के अनुसारपाप ए = 3/5 और . इसलिए, हमें खोजने की जरूरत हैक्योंकि ए। मुख्य का उपयोग करना त्रिकोणमितीय पहचान, हम पाते हैं:यह माना जाता है कि cos a 0. तो,

समारोह गुण	समारोह
	y = चाप x	y = आर्ककोस x	वाई = आर्कटिक एक्स	वाई = आर्कसीटीजी एक्स
कार्यक्षेत्र	एक्स [-1; एक]	एक्स [-1; एक]	एक्स (-∞; +∞)	एक्स (-∞ +∞)
मूल्यों की श्रृंखला	वाई [-π/2 ; /2]	वाई	वाई (-π/2 ; /2 )	वाई (0; )
समानता	अजीब	न तो सम और न विषम	अजीब	न तो सम और न विषम
फलन शून्य (y = 0)	जब एक्स = 0	एक्स = 1 . के लिए	जब एक्स = 0	वाई 0
निरंतरता अंतराल	y > 0 x के लिए (0; 1], पर< 0 при х ∈ [-1; 0)	y > 0 के लिए x [-1; एक)	y > 0 x के लिए (0; +∞), पर< 0 при х ∈ (-∞; 0)	y > 0 x के लिए (-∞; +∞)
एक लय	की बढ़ती	कम हो जाती है	की बढ़ती	कम हो जाती है
त्रिकोणमितीय फलन के साथ संबंध	पाप y \u003d x	कॉस वाई = एक्स	टीजी वाई = एक्स	सीटीजी वाई = एक्स
अनुसूची

चलिए एक और सीरीज लेते हैं विशिष्ट उदाहरणव्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषाओं और बुनियादी गुणों से संबंधित है।

उदाहरण 4

फ़ंक्शन का डोमेन खोजें

फ़ंक्शन y को परिभाषित करने के लिए, यह आवश्यक है कि असमानताजो असमानताओं की प्रणाली के बराबर हैपहली असमानता का हल अंतराल x . है∈ (-∞; +∞), दूसरा -यह अंतराल और असमानताओं की प्रणाली का समाधान है, और इसलिए फ़ंक्शन का डोमेन

उदाहरण 5

फ़ंक्शन के परिवर्तन का क्षेत्र खोजें

समारोह के व्यवहार पर विचार करेंजेड \u003d 2x - x2 (आंकड़ा देखें)।

यह देखा जा सकता है कि z (-∞; 1]। यह देखते हुए कि तर्कजेड व्युत्क्रम स्पर्शरेखा का कार्य निर्दिष्ट सीमा के भीतर भिन्न होता है, तालिका में डेटा से हम प्राप्त करते हैंइस प्रकार, परिवर्तन का क्षेत्र

उदाहरण 6

आइए हम सिद्ध करें कि फलन y =आर्कटिक एक्स विषम। रहने दोफिर tg a \u003d -x या x \u003d - tg a \u003d tg (- a), और इसलिए, - ए \u003d आर्कटग एक्स या ए \u003d - आर्कटग एक्स। इस प्रकार, हम देखते हैं किअर्थात्, y(x) एक विषम फलन है।

उदाहरण 7

हम सभी व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के संदर्भ में व्यक्त करते हैं

रहने दो जाहिर सी बात है तब से

आइए एक कोण का परिचय दें जैसा तब

इसी प्रकार, इसलिए और

इसलिए,

उदाहरण 8

आइए फ़ंक्शन y \u003d . का एक ग्राफ बनाएंकॉस (आर्क्सिन एक्स)।

एक \u003d आर्कसिन x को निरूपित करें, फिर हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि x \u003d sin a और y \u003d cos a, यानी x 2 + y2 = 1, और x (x .) पर प्रतिबंध∈ [-एक; 1]) और वाई (वाई 0)। तब फलन y = . का आलेख cos(arcsin x) एक अर्धवृत्त है।

उदाहरण 9

आइए फ़ंक्शन y \u003d . का एक ग्राफ बनाएंआर्ककोस (cosx)।

चूँकि फलन cos खंड पर x परिवर्तन [-1; 1], तो फ़ंक्शन y को संपूर्ण पर परिभाषित किया जाता है संख्यात्मक अक्षऔर खंड पर परिवर्तन। हम ध्यान रखेंगे कि y=आर्ककोस (cosx) \u003d x खंड पर; फलन y सम और आवर्त है जिसका आवर्त 2 है। यह देखते हुए कि फ़ंक्शन में ये गुण हैंकॉस एक्स, अब साजिश करना आसान है।

हम कुछ उपयोगी समानताएँ नोट करते हैं:

उदाहरण 10

सबसे छोटा खोजें और सबसे बड़ा मूल्यकार्योंनिरूपित तब एक समारोह प्राप्त करें इस फ़ंक्शन का बिंदु पर न्यूनतम है z = /4, और यह के बराबर है फ़ंक्शन का अधिकतम मान बिंदु पर पहुंच जाता है z = -π/2, और यह के बराबर है इस प्रकार, और

उदाहरण 11

आइए समीकरण हल करें

हम इस बात को ध्यान में रखते हैं कि तब समीकरण दिखता है:या कहाँ पे चाप स्पर्शरेखा की परिभाषा से, हम प्राप्त करते हैं:

2. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल

उदाहरण 1 के समान ही, आप सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों के हल प्राप्त कर सकते हैं।

समीकरण	फेसला
टीजीएक्स = ए
सीटीजी एक्स = ए

उदाहरण 12

आइए समीकरण हल करें

चूँकि ज्या फलन विषम है, हम समीकरण को इस रूप में लिखते हैंइस समीकरण के हल:हम कहाँ पाते हैं

उदाहरण 13

आइए समीकरण हल करें

उपरोक्त सूत्र के अनुसार, हम समीकरण के हल लिखते हैं:और ढूंढें

ध्यान दें कि विशेष मामलों में (a = 0; ±1) समीकरणों को हल करते समयपाप x = a और cos x = a उपयोग करने में आसान और अधिक सुविधाजनक है not सामान्य सूत्र, और के आधार पर समाधान लिखें यूनिट सर्कल:

समीकरण के लिए पाप x = 1 समाधान

समीकरण के लिए पाप x \u003d 0 समाधान x \u003d k;

समीकरण के लिए पाप x = -1 समाधान

समीकरण cos . के लिए x = 1 समाधान x = 2πक;

समीकरण के लिए x = 0 हल

समीकरण के लिए x = -1 समाधान

उदाहरण 14

आइए समीकरण हल करें

चूंकि यह उदाहरणउपलब्ध विशेष मामलासमीकरण, फिर संबंधित सूत्र के अनुसार हम समाधान लिखते हैं:हम कहाँ पाते हैं

III. परीक्षण प्रश्न(फ्रंट पोल)

1. व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के मुख्य गुणों को परिभाषित और सूचीबद्ध करें।

2. प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के आलेख दीजिए।

3. सरलतम त्रिकोणमितीय समीकरणों का हल।

चतुर्थ। पाठों में असाइनमेंट

§ 15, संख्या 3 (ए, बी); 4 (सी, डी); 7 (ए); 8 (ए); 12 (बी); 13 (ए); 15 (सी); 16 (ए); 18 (ए, बी); 19 (सी); 21;

§ 16, संख्या 4 (ए, बी); 7 (ए); 8 (बी); 16 (ए, बी); 18 (ए); 19 (सी, डी);

§ 17, नंबर 3 (ए, बी); 4 (सी, डी); 5 (ए, बी); 7 (सी, डी); 9 (बी); 10 (ए, सी)।

वी. होमवर्क

§ 15, संख्या 3 (सी, डी); 4 (ए, बी); 7 (सी); 8 (बी); 12 (ए); 13 (बी); 15 (डी); 16 (बी); 18 (सी, डी); 19 (डी); 22;

§ 16, संख्या 4 (सी, डी); 7 (बी); 8 (ए); 16 (सी, डी); 18 (बी); 19 (ए, बी);

§ 17, संख्या 3 (सी, डी); 4 (ए, बी); 5 (सी, डी); 7 (ए, बी); 9 (डी); 10 (बी, डी)।

VI. रचनात्मक कार्य

1. फ़ंक्शन का दायरा खोजें:

उत्तर:

2. फ़ंक्शन की सीमा पाएं:

उत्तर:

3. फ़ंक्शन को ग्राफ़ करें:

सातवीं। पाठों को सारांशित करना

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्य हैं गणितीय कार्य, जो त्रिकोणमितीय फलनों के विलोम हैं।

फलन y=arcsin(x)

संख्या α का आर्क्साइन अंतराल [-π/2; /2] से एक ऐसी संख्या α है, जिसकी ज्या α के बराबर होती है।
फंक्शन ग्राफ
फ़ंक्शन y \u003d sin⁡ (x) अंतराल पर [-π / 2; / 2], सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर है; इसलिए उसके पास है उलटा काम करना, सख्ती से बढ़ रहा है और निरंतर।
फ़ंक्शन y= sin⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x ∈[-π/2;π/2], को आर्क्साइन कहा जाता है और इसे y=arcsin(x) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां x∈[-1;1 ].
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्क्सिन की परिभाषा का डोमेन खंड [-1; 1] है, और मानों का सेट खंड [-π/2; π/2] है।
ध्यान दें कि फलन y=arcsin(x) का ग्राफ, जहां x ∈[-1;1]. फलन y= sin(⁡x) के ग्राफ के सममित है, जहां x∈[-π/2;π /2], पहली और तीसरी तिमाही के समन्वय कोणों के द्विभाजक के संबंध में।

फलन का दायरा y=arcsin(x) ।

उदाहरण संख्या 1।

आर्क्सिन(1/2) ज्ञात कीजिये?

चूँकि फलन का परिसर arcsin(x) अंतराल [-π/2;π/2] से संबंधित है, केवल /6 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arcsin(1/2) = /6।
उत्तर: /6

उदाहरण # 2।
आर्क्सिन (-(√3)/2) ज्ञात कीजिए?

क्षेत्र के बाद से आर्कसिन मान(x) x ∈[-π/2;π/2], तो केवल मान -π/3 उपयुक्त है। इसलिए arcsin(-(√3)/2) =- /3.

फलन y=arccos(x)

एक संख्या α का चापकोसाइन अंतराल से एक संख्या α है जिसका कोसाइन α के बराबर है।

फंक्शन ग्राफ

अंतराल पर फलन y=cos(⁡x) सख्ती से घट रहा है और निरंतर है; इसलिए, इसका एक उलटा कार्य है जो सख्ती से घट रहा है और निरंतर है।
फलन y=cos⁡x का प्रतिलोम फलन, जहाँ x , कहलाता है चाप कोसाइनऔर निरूपित y=arccos(x), जहां x [-1;1]।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्ककोसाइन की परिभाषा का डोमेन खंड [-1; 1] है, और मानों का सेट खंड है।
ध्यान दें कि फलन y=arccos(x) का ग्राफ, जहां x ∈[-1;1] फलन y=cos(⁡x) के ग्राफ के सममित है, जहां x , के द्विभाजक के संबंध में पहली और तीसरी तिमाही के समन्वय कोण।

फलन का दायरा y=arccos(x)।

उदाहरण #3।

आर्ककोस(1/2) ज्ञात कीजिये?

चूँकि arccos(x) का परिसर x∈ है, केवल /3 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arccos(1/2) =π/3.
उदाहरण संख्या 4.
आर्ककोस (-(√2)/2) ज्ञात कीजिए?

चूँकि फलन का परिसर arccos(x) अंतराल से संबंधित है, तो केवल 3π/4 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arccos(-(√2)/2) =3π/4।

उत्तर: 3π/4

फलन y=arctg(x)

एक संख्या α की चाप स्पर्शरेखा अंतराल [-π/2; /2] से एक ऐसी संख्या α होती है, जिसकी स्पर्श रेखा α के बराबर होती है।

फंक्शन ग्राफ

स्पर्शरेखा फ़ंक्शन निरंतर और अंतराल पर सख्ती से बढ़ रहा है (-π/2; π/2); इसलिए, इसका एक उलटा कार्य है जो निरंतर और सख्ती से बढ़ रहा है।
फ़ंक्शन y= tg⁡(x) के लिए व्युत्क्रम फ़ंक्शन, जहां x∈(-π/2;π/2); चाप स्पर्शरेखा कहा जाता है और इसे y=arctg(x) के रूप में दर्शाया जाता है, जहां x∈R।
तो, व्युत्क्रम फ़ंक्शन की परिभाषा के अनुसार, आर्कटिक की परिभाषा का डोमेन अंतराल (-∞;+∞) है, और मानों का सेट अंतराल है
(-π/2;π/2).
ध्यान दें कि फ़ंक्शन y=arctg(x) का ग्राफ, जहां x∈R, फ़ंक्शन y=tg⁡x के ग्राफ के सममित है, जहां x ∈ (-π/2;π/2), के संबंध में पहली और तीसरी तिमाही के समन्वय कोणों का द्विभाजक।

फलन का दायरा y=arctg(x) है।

उदाहरण #5?

आर्कटग ((√3)/3) ज्ञात कीजिए।

चूँकि आर्कटान(x) x ∈(-π/2;π/2) का परिसर केवल π/6 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arctg((√3)/3) =π/6।
उदाहरण संख्या 6.
आर्कटीजी (-1) खोजें?

चूँकि arctg(x) x ∈(-π/2;π/2) का परिसर केवल -π/4 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arctg(-1) = - /4.

फलन y=arctg(x)

एक संख्या α का चाप स्पर्शरेखा अंतराल (0; ) से एक ऐसी संख्या α है जिसका कोटांगेंट α के बराबर होता है।

फंक्शन ग्राफ

अंतराल (0;π) पर, कोटैंजेंट फ़ंक्शन सख्ती से घटता है; इसके अलावा, यह इस अंतराल के प्रत्येक बिंदु पर निरंतर है; इसलिए, अंतराल (0;π) पर, इस फ़ंक्शन का एक उलटा कार्य होता है जो सख्ती से घट रहा है और निरंतर है।
फलन y=ctg(x) के लिए व्युत्क्रम फलन, जहाँ x (0;π), को चाप कोटैंजेंट कहा जाता है और इसे y=arcctg(x) के रूप में दर्शाया जाता है, जहाँ x∈R।
अत: प्रतिलोम फलन की परिभाषा के अनुसार प्रतिलोम स्पर्शरेखा की परिभाषा का क्षेत्र होगा आरमान - अंतराल (0; )। फ़ंक्शन का ग्राफ y=arcctg(x), जहां x∈R फ़ंक्शन के ग्राफ़ के सममित है y=ctg(x) x∈(0; π), के साथ पहली और तीसरी तिमाही के समन्वय कोणों के द्विभाजक के संबंध में।

फलन का दायरा y=arcctg(x)।

उदाहरण संख्या 7.
आर्कसीटीजी((√3)/3) ज्ञात कीजिये?

चूँकि arcctg(x) x ∈(0;π) का परिसर, केवल π/3 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arccos((√3)/3) =π/3।

उदाहरण संख्या 8.
आर्कसीटीजी(-(√3)/3) ज्ञात कीजिये?

चूँकि arcctg(x) x∈(0;π) का परास केवल 2π/3 का मान उपयुक्त है। इसलिए, arccos(-(√3)/3) =2π/3।

संपादकों: आयुवा हुसोव अलेक्जेंड्रोवना, गैवरिलिना अन्ना विक्टोरोव्ना

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों की परिभाषा और उनके ग्राफ दिए गए हैं। साथ ही व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों से संबंधित सूत्र, योग और अंतर के सूत्र।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों की परिभाषा

चूँकि त्रिकोणमितीय फलन आवर्ती होते हैं, उनके प्रतिलोम फलन एकल-मान नहीं होते हैं। तो, समीकरण y = पाप x, दिए गए के लिए, असीम रूप से कई जड़ें हैं। वास्तव में, ज्या की आवर्तता के कारण, यदि x ऐसा मूल है, तो एक्स + 2एन(जहाँ n एक पूर्णांक है) भी समीकरण का मूल होगा। इस प्रकार, प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलन बहुमान हैं. उनके साथ काम करना आसान बनाने के लिए, उनके मुख्य मूल्यों की अवधारणा पेश की जाती है। उदाहरण के लिए, ज्या पर विचार करें: y = पाप x. यदि हम तर्क x को अंतराल तक सीमित करते हैं, तो उस पर फलन y = पाप xएकरसता से बढ़ता है। इसलिए, इसका एक एकल-मान प्रतिलोम फलन है, जिसे आर्क्साइन कहा जाता है: x = आर्कसिन यू.

जब तक अन्यथा न कहा गया हो, व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों का अर्थ उनके प्रमुख मूल्यों से है, जिन्हें निम्नलिखित परिभाषाओं द्वारा परिभाषित किया गया है।

आर्कसिन ( वाई = आर्कसिन x) साइन का उलटा कार्य है ( एक्स = पापी

चाप कोसाइन ( वाई = आर्ककोस x) कोसाइन का उलटा कार्य है ( एक्स = आरामदेह) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

आर्कटिक ( वाई = आर्कटिक एक्स) स्पर्शरेखा का व्युत्क्रम कार्य है ( एक्स = टीजी यू) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

चाप स्पर्शरेखा ( वाई = आर्कसीटीजी एक्स) कोटैंजेंट का उलटा कार्य है ( एक्स = सीटीजी यू) जिसमें परिभाषा का एक डोमेन और मूल्यों का एक सेट है।

व्युत्क्रम त्रिकोणमितीय कार्यों के रेखांकन

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों के रेखांकन त्रिकोणमितीय फलनों के आलेखों से प्राप्त होते हैं दर्पण प्रतिबिंबसीधी रेखा y = x के सापेक्ष। अनुभाग देखें साइन, कोसाइन, टेंगेंट, कोटैंजेंट।

वाई = आर्कसिन x

वाई = आर्ककोस x

वाई = आर्कटिक एक्स

वाई = आर्कसीटीजी एक्स

मूल सूत्र

यहां उन अंतरालों पर विशेष ध्यान देना चाहिए जिनके लिए सूत्र मान्य हैं।

आर्कसिन (पाप x) = xपर
पाप (आर्कसिन x) = x
आर्ककोस (cos x) = xपर
cos(arccos x) = x

आर्कटीजी (टीजी एक्स) = एक्सपर
टीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स
आर्कसीटीजी (सीटीजी एक्स) = एक्सपर
सीटीजी (आर्कटीजी एक्स) = एक्स

प्रतिलोम त्रिकोणमितीय फलनों से संबंधित सूत्र

योग और अंतर सूत्र

or . पर

पर और

पर और

or . पर

पर और

पर और

पर

पर

पर

पर

sin, cos, tg, और ctg फ़ंक्शंस हमेशा एक आर्क्साइन, आर्ककोसाइन, आर्कटेंजेंट और आर्ककोटैंजेंट के साथ होते हैं। एक दूसरे का परिणाम है, और त्रिकोणमितीय अभिव्यक्तियों के साथ काम करने के लिए कार्यों के जोड़े समान रूप से महत्वपूर्ण हैं।

एक इकाई वृत्त की ड्राइंग पर विचार करें, जो त्रिकोणमितीय कार्यों के मूल्यों को ग्राफिक रूप से प्रदर्शित करता है।

यदि आप चाप OA, चाप OC, चाप DE और चाप MK की गणना करते हैं, तो वे सभी कोण α के मान के बराबर होंगे। नीचे दिए गए सूत्र मुख्य त्रिकोणमितीय फलनों और उनके संगत चापों के बीच संबंध दर्शाते हैं।

आर्क्सिन के गुणों के बारे में अधिक समझने के लिए, इसके कार्य पर विचार करना आवश्यक है। अनुसूची निर्देशांक के केंद्र से गुजरने वाले एक असममित वक्र का रूप है।

आर्कसिन गुण:

अगर हम रेखांकन की तुलना करते हैं पापऔर चाप पाप, दो त्रिकोणमितीय फलन सामान्य प्रतिमान प्राप्त कर सकते हैं।

चाप कोसाइन

संख्या a का चाप कोण α का मान है, जिसकी कोज्या a के बराबर है।

वक्र y = आर्कोस xआर्क्सिन एक्स के प्लॉट को दर्पण करता है, केवल अंतर यह है कि यह ओए अक्ष पर बिंदु π/2 से गुजरता है।

आर्ककोसाइन फ़ंक्शन पर अधिक विस्तार से विचार करें:

1. फ़ंक्शन को खंड [-1; पर परिभाषित किया गया है; एक]।
2. आर्ककोस के लिए ODZ - .
3. ग्राफ पूरी तरह से I और II क्वार्टर में स्थित है, और फ़ंक्शन स्वयं न तो सम और न ही विषम है।
4. वाई = 0 x = 1 के लिए।
5. वक्र इसकी पूरी लंबाई के साथ घटता जाता है। चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

चाप कोज्या के कुछ गुण कोज्या फलन के समान हैं।

यह संभव है कि "मेहराब" का ऐसा "विस्तृत" अध्ययन स्कूली बच्चों के लिए अतिश्योक्तिपूर्ण लगेगा। अन्यथा, हालांकि, कुछ प्राथमिक विशिष्ट कार्यएकीकृत राज्य परीक्षाएं छात्रों को गतिरोध की ओर ले जा सकती हैं।

अभ्यास 1।चित्र में दिखाए गए कार्यों को निर्दिष्ट करें।

जवाब:चावल। 1 - 4, अंजीर। 2 - 1।

इस उदाहरण में, छोटी चीज़ों पर ज़ोर दिया गया है। आमतौर पर, छात्र रेखांकन के निर्माण और कार्यों की उपस्थिति के प्रति बहुत असावधान होते हैं। दरअसल, वक्र के रूप को याद क्यों करें, अगर इसे हमेशा गणना किए गए बिंदुओं से बनाया जा सकता है। यह मत भूलो कि परीक्षण की शर्तों के तहत, ड्राइंग पर बिताया गया समय एक साधारण कार्यअधिक जटिल कार्यों के लिए आवश्यक।

आर्कटिक

आर्कटिकसंख्या a, कोण α का ऐसा मान है कि इसकी स्पर्श रेखा a के बराबर होती है।

यदि हम चाप स्पर्शरेखा के भूखंड पर विचार करते हैं, तो हम निम्नलिखित गुणों को अलग कर सकते हैं:

1. ग्राफ अनंत है और अंतराल (- ∞; + ∞) पर परिभाषित है।
2. आर्कटिक पुराना फंक्शन, इसलिए, आर्कटान (- x) = - आर्कटिक x।
3. वाई = 0 x = 0 के लिए।
4. परिभाषा के पूरे क्षेत्र में वक्र बढ़ता है।

यहाँ एक संक्षिप्त है तुलनात्मक विश्लेषण tg x और arctg x तालिका के रूप में।

चाप स्पर्शरेखा

संख्या a का चाप - अंतराल (0; ) से α का ऐसा मान लेता है कि इसका कोटैंजेंट a के बराबर होता है।

चाप कोटेंगेंट फ़ंक्शन के गुण:

1. फ़ंक्शन परिभाषा अंतराल अनंत है।
2. क्षेत्र अनुमत मानअंतराल (0; ) है।
3. F(x) न तो सम है और न ही विषम।
4. इसकी पूरी लंबाई के दौरान, फ़ंक्शन का ग्राफ़ कम हो जाता है।

सीटीजी एक्स और आर्कटजी एक्स की तुलना करना बहुत आसान है, आपको केवल दो चित्र बनाने और वक्रों के व्यवहार का वर्णन करने की आवश्यकता है।

कार्य 2.ग्राफ और फ़ंक्शन के रूप को सहसंबंधित करें।

तार्किक रूप से, रेखांकन दिखाते हैं कि दोनों कार्य बढ़ रहे हैं। इसलिए, दोनों आंकड़े कुछ आर्कट फ़ंक्शन प्रदर्शित करते हैं। चाप स्पर्शरेखा के गुणों से ज्ञात होता है कि x = 0 के लिए y=0,

जवाब:चावल। 1 - 1, अंजीर। 2-4.

त्रिकोणमितीय सर्वसमिकाएँ आर्कसिन, आर्कोस, आर्कटग और आर्कसीटीजी

पहले, हम पहले ही मेहराब और त्रिकोणमिति के मुख्य कार्यों के बीच संबंध की पहचान कर चुके हैं। इस निर्भरता को कई सूत्रों द्वारा व्यक्त किया जा सकता है जो व्यक्त करने की अनुमति देते हैं, उदाहरण के लिए, एक तर्क की ज्या इसके आर्कसिन, आर्ककोसाइन, या इसके विपरीत के माध्यम से। विशिष्ट उदाहरणों को हल करने में ऐसी सर्वसमिकाओं का ज्ञान उपयोगी हो सकता है।

arctg और arcctg के लिए भी अनुपात हैं:

सूत्रों की एक और उपयोगी जोड़ी एक ही कोण के आर्क्सिन और आर्कोस और आर्कक्टग और आर्कक्टग मानों के योग के लिए मान निर्धारित करती है।

समस्या समाधान के उदाहरण

त्रिकोणमिति कार्यों को चार समूहों में विभाजित किया जा सकता है: गणना अंकीय मूल्यएक विशिष्ट अभिव्यक्ति, इस फ़ंक्शन का एक ग्राफ बनाएं, इसकी परिभाषा या ODZ का डोमेन खोजें और उदाहरण को हल करने के लिए विश्लेषणात्मक परिवर्तन करें।

पहली प्रकार की समस्याओं को हल करते समय, इसका पालन करना आवश्यक है अगली योजनाक्रियाएँ:

फ़ंक्शन ग्राफ़ के साथ काम करते समय, मुख्य बात उनके गुणों का ज्ञान है और उपस्थितिकुटिल। त्रिकोणमितीय समीकरणों और असमानताओं को हल करने के लिए सर्वसमिका तालिकाओं की आवश्यकता होती है। विद्यार्थी जितने अधिक सूत्र याद रखता है, कार्य का उत्तर खोजना उतना ही आसान होता है।

मान लीजिए परीक्षा में इस प्रकार के समीकरण का उत्तर खोजना आवश्यक है:

यदि आप अभिव्यक्ति को सही ढंग से बदलते हैं और आगे ले जाते हैं सही प्रकार, तो इसे हल करना बहुत सरल और तेज़ है। सबसे पहले, चलिए आर्क्सिन x को . पर ले जाते हैं दाईं ओरसमानता।

अगर हमें सूत्र याद है आर्कसिन (sinα) = α, तो हम दो समीकरणों की प्रणाली को हल करने के लिए उत्तरों की खोज को कम कर सकते हैं:

मॉडल x पर बाधा उत्पन्न हुई, फिर से आर्क्सिन के गुणों से: ODZ x [-1; एक]। जब एक 0, सिस्टम का हिस्सा होता है द्विघात समीकरणमूल x1 = 1 और x2 = - 1/a के साथ। a = 0 के साथ, x 1 के बराबर होगा।