Definisi. Setiap garis pada bidang dapat diberikan oleh persamaan orde pertama

Ah + Wu + C = 0,

dan konstanta A, B tidak sama dengan nol pada waktu yang sama. Persamaan orde pertama ini disebut persamaan umum garis lurus. Tergantung pada nilai konstanta A, B dan C, kasus khusus berikut mungkin terjadi:

C \u003d 0, A 0, B 0 - garis melewati titik asal

A \u003d 0, B 0, C 0 (Oleh + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Ox

B \u003d 0, A 0, C 0 ( Ax + C \u003d 0) - garis sejajar dengan sumbu Oy

B \u003d C \u003d 0, A 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Oy

A \u003d C \u003d 0, B 0 - garis lurus bertepatan dengan sumbu Ox

Persamaan garis lurus dapat dinyatakan dalam berbagai bentuk tergantung pada kondisi awal yang diberikan.

Persamaan garis lurus dengan titik dan vektor normal

Definisi. Dalam Cartesian sistem persegi panjang vektor koordinat dengan komponen (A, B) tegak lurus terhadap garis, diberikan oleh persamaan Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) yang tegak lurus (3, -1).

Keputusan. Pada A = 3 dan B = -1, kita buat persamaan garis lurus: 3x - y + C = 0. Untuk mencari koefisien C, kita substitusikan koordinat titik A yang diberikan ke dalam persamaan yang dihasilkan: 3 - 2 + C = 0, oleh karena itu, C = -1 . Total: persamaan yang diinginkan: 3x - y - 1 \u003d 0.

Persamaan garis yang melalui dua titik

Misalkan dua titik M 1 (x 1, y 1, z 1) dan M 2 (x 2, y 2, z 2) diberikan dalam ruang, maka persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini:

Jika salah satu penyebutnya nol, pembilang yang sesuai harus disamakan dengan nol. Pada bidang, persamaan garis lurus yang ditulis di atas disederhanakan:

jika x 1 x 2 dan x = x 1 jika x 1 = x 2.

Pecahan = k disebut faktor kemiringan lurus.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik A(1, 2) dan B(3, 4).

Keputusan. Menerapkan rumus di atas, kita mendapatkan:

Persamaan garis lurus dari suatu titik dan lereng

Jika total Ax + Wu + C = 0 mengarah ke bentuk:

dan menunjuk , maka persamaan yang dihasilkan disebut persamaan garis lurus dengan kemiringank.

Persamaan garis lurus dengan vektor titik dan arah

Dengan analogi dengan paragraf yang mempertimbangkan persamaan garis lurus melalui vektor normal, Anda dapat memasukkan penetapan garis lurus melalui titik dan vektor pengarah garis lurus.

Definisi. Setiap vektor bukan nol (α 1, 2), yang komponen-komponennya memenuhi kondisi A 1 + B 2 = 0 disebut vektor pengarah garis

Ah + Wu + C = 0.

Contoh. Tentukan persamaan garis lurus dengan vektor arah (1, -1) dan melalui titik A(1, 2).

Keputusan. Kami akan mencari persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk: Ax + By + C = 0. Sesuai dengan definisi, koefisien harus memenuhi kondisi:

1 * A + (-1) * B = 0, mis. A = B

Maka persamaan garis lurus berbentuk: Ax + Ay + C = 0, atau x + y + C / A = 0. untuk x = 1, y = 2 kita peroleh C / A = -3, yaitu. persamaan yang diinginkan:

Persamaan garis lurus dalam segmen

Jika dalam persamaan umum garis lurus Ah + Wu + C = 0 C≠0, maka, bagi dengan –C, kita dapatkan: atau

pengertian geometris koefisien di mana koefisien sebuah adalah koordinat titik potong garis dengan sumbu x, dan b- koordinat titik potong garis lurus dengan sumbu Oy.

Contoh. Diberikan persamaan umum garis x - y + 1 = 0. Temukan persamaan garis ini dalam segmen.

C \u003d 1, , a \u003d -1, b \u003d 1.

Persamaan normal garis lurus

Jika kedua ruas persamaan Ax + Vy + C = 0 dikalikan dengan bilangan , yang disebut faktor normalisasi, maka kita dapatkan

xcosφ + ysinφ - p = 0 –

persamaan normal garis lurus. Tanda ± dari faktor normalisasi harus dipilih sehingga *< 0. р – длина перпендикуляра, опущенного из начала координат на прямую, а φ - угол, образованный этим перпендикуляром с положительным направлением оси Ох.

Contoh. Mengingat persamaan umum garis lurus 12x - 5y - 65 \u003d 0. Diperlukan untuk menulis Berbagai jenis persamaan garis ini.

persamaan garis lurus ini dalam segmen:

persamaan garis ini dengan kemiringan: (bagi dengan 5)

; cos = 13/12; dosa = -5/13; p=5.

Perlu dicatat bahwa tidak setiap garis lurus dapat diwakili oleh persamaan dalam segmen, misalnya, garis lurus yang sejajar dengan sumbu atau melewati titik asal.

Contoh. Pemotongan langsung sumbu koordinat segmen positif yang sama. Tuliskan persamaan garis lurus jika luas segitiga yang dibentuk oleh ruas-ruas tersebut adalah 8 cm2.

Keputusan. Persamaan garis lurus berbentuk: , ab /2 = 8; ab=16; a=4, a=-4. a = -4< 0 не подходит по условию задачи. Итого: или х + у – 4 = 0.

Contoh. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik A (-2, -3) dan titik asal.

Keputusan. Persamaan garis lurus memiliki bentuk: , di mana x 1 \u003d y 1 \u003d 0; x 2 \u003d -2; y 2 \u003d -3.

Sudut antar garis pada bidang

Definisi. Jika dua garis diberikan y = k 1 x + b 1 , y = k 2 x + b 2 , maka sudut lancip antara garis-garis ini akan didefinisikan sebagai

.

Dua garis sejajar jika k 1 = k 2 . Dua garis tegak lurus jika k 1 = -1/ k 2 .

Dalil. Garis lurus Ax + Vy + C \u003d 0 dan A 1 x + B 1 y + C 1 \u003d 0 sejajar ketika koefisien A 1 \u003d A, B 1 \u003d B proporsional. Jika juga 1 = , maka garis-garisnya berimpit. Koordinat titik potong dua garis ditemukan sebagai solusi sistem persamaan garis-garis ini.

Persamaan garis yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus dengan garis tertentu

Definisi. Garis yang melalui titik M 1 (x 1, y 1) dan tegak lurus terhadap garis y \u003d kx + b diwakili oleh persamaan:

Jarak dari titik ke garis

Dalil. Jika diberikan titik M(x 0, y 0), maka jarak ke garis Ax + Vy + C \u003d 0 didefinisikan sebagai

.

Bukti. Biarkan titik M 1 (x 1, y 1) menjadi alas dari garis tegak lurus yang dijatuhkan dari titik M ke garis yang diberikan. Maka jarak antara titik M dan M 1 :

(1)

Koordinat x 1 dan y 1 dapat ditemukan sebagai solusi dari sistem persamaan:

Persamaan kedua dari sistem adalah persamaan garis lurus yang melalui poin yang diberikan M 0 tegak lurus terhadap garis tertentu. Jika kita mengubah persamaan pertama dari sistem ke bentuk:

A(x - x 0) + B(y - y 0) + Ax 0 + Oleh 0 + C = 0,

maka, pemecahannya, kita peroleh:

Mensubstitusikan ekspresi ini ke dalam persamaan (1), kami menemukan:

Teorema telah terbukti.

Contoh. Tentukan sudut antar garis: y = -3 x + 7; y = 2x+1.

k 1 \u003d -3; k2 = 2; tgφ = ; = /4.

Contoh. Tunjukkan bahwa garis 3x - 5y + 7 = 0 dan 10x + 6y - 3 = 0 tegak lurus.

Keputusan. Kami menemukan: k 1 \u003d 3/5, k 2 \u003d -5/3, k 1 * k 2 \u003d -1, oleh karena itu, garis-garisnya tegak lurus.

Contoh. Titik sudut dari segitiga A(0; 1), B (6; 5), C (12; -1) diberikan. Tentukan persamaan ketinggian yang ditarik dari titik C.

Keputusan. Kami menemukan persamaan sisi AB: ; 4 x = 6 y - 6;

2x – 3y + 3 = 0;

Persamaan ketinggian yang diinginkan adalah: Ax + By + C = 0 atau y = kx + b. k = . Maka y = . Karena ketinggian melewati titik C, maka koordinatnya memenuhi persamaan ini: dimana b = 17. Jumlah: .

Jawaban: 3x + 2y - 34 = 0.

Biarkan dua poin diberikan M(X 1 ,Pada 1) dan N(X 2,kamu 2). Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik-titik ini.

Karena garis ini melewati titik M, maka menurut rumus (1.13) persamaannya berbentuk

Pada – kamu 1 = K(X-x 1),

Di mana K- tidak dikenal lereng.

Nilai koefisien ini ditentukan dari kondisi garis lurus yang diinginkan melewati titik N, yang berarti koordinatnya memenuhi persamaan (1.13)

kamu 2 – kamu 1 = K(X 2 – X 1),

Dari sini Anda dapat menemukan kemiringan garis ini:

,

Atau setelah konversi

(1.14)

Rumus (1.14) mendefinisikan Persamaan garis yang melalui dua titik M(X 1, kamu 1) dan N(X 2, kamu 2).

Dalam kasus tertentu ketika poin M(A, 0), N(0, B), TETAPI ¹ 0, B 0, terletak pada sumbu koordinat, persamaan (1.14) mengambil bentuk yang lebih sederhana

Persamaan (1.15) ditelepon Persamaan garis lurus dalam segmen, di sini TETAPI dan B menunjukkan segmen dipotong oleh garis lurus pada sumbu (Gambar 1.6).

Gambar 1.6

Contoh 1.10. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui titik-titik M(1, 2) dan B(3, –1).

. Menurut (1.14), persamaan garis lurus yang diinginkan memiliki bentuk

2(kamu – 2) = -3(X – 1).

Mentransfer semua istilah ke sisi kiri, kami akhirnya mendapatkan persamaan yang diinginkan

3X + 2kamu – 7 = 0.

Contoh 1.11. Tuliskan persamaan garis yang melalui suatu titik M(2, 1) dan titik potong garis X+ Y- 1 = 0, X - y+ 2 = 0.

. Kami menemukan koordinat titik perpotongan garis dengan menyelesaikan persamaan ini bersama-sama

Jika kita menambahkan persamaan ini istilah demi istilah, kita mendapatkan 2 X+ 1 = 0, dari mana . Mengganti nilai yang ditemukan ke dalam persamaan apa pun, temukan nilainya koordinat Pada:

Sekarang mari kita tulis persamaan garis lurus yang melalui titik (2, 1) dan :

atau .

Oleh karena itu atau -5( kamu – 1) = X – 2.

Akhirnya, kami memperoleh persamaan garis lurus yang diinginkan dalam bentuk X + 5kamu – 7 = 0.

Contoh 1.12. Tentukan persamaan garis lurus yang melalui titik M(2.1) dan N(2,3).

Menggunakan rumus (1.14), kita memperoleh persamaan

Tidak masuk akal karena penyebut kedua adalah nol. Dapat dilihat dari kondisi soal bahwa absis kedua titik memiliki nilai yang sama. Oleh karena itu, garis yang diperlukan sejajar dengan sumbu OY dan persamaannya adalah: x = 2.

Komentar . Jika, ketika menulis persamaan garis lurus menurut rumus (1.14), salah satu penyebutnya ternyata sama dengan nol, maka persamaan yang diinginkan dapat diperoleh dengan menyamakan pembilang yang sesuai dengan nol.

Mari kita pertimbangkan cara lain untuk mengatur garis lurus pada pesawat.

1. Biarkan vektor bukan nol tegak lurus terhadap garis yang diberikan L, dan titik M 0(X 0, kamu 0) terletak pada garis ini (Gambar 1.7).

Gambar 1.7

Menunjukkan M(X, kamu) titik sewenang-wenang pada garis lurus L. Vektor dan Ortogonal. Menggunakan kondisi ortogonalitas untuk vektor-vektor ini, kita memperoleh or TETAPI(X – X 0) + B(kamu – kamu 0) = 0.

Kami telah memperoleh persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 tegak lurus terhadap vektor . Vektor ini disebut vektor normal ke garis lurus L. Persamaan yang dihasilkan dapat ditulis ulang sebagai

Oh + Wu + Dengan= 0, dimana Dengan = –(TETAPIX 0 + Oleh 0), (1.16),

Di mana TETAPI dan PADA adalah koordinat vektor normal.

Kami memperoleh persamaan umum garis lurus dalam bentuk parametrik.

2. Sebuah garis pada bidang dapat didefinisikan sebagai berikut: biarkan vektor bukan nol sejajar dengan garis yang diberikan L dan titik M 0(X 0, kamu 0) terletak pada baris ini. Sekali lagi, ambil titik sewenang-wenang M(X, y) pada garis lurus (Gambar 1.8).

Gambar 1.8

Vektor dan kolinear.

Mari kita tuliskan kondisi kolinearitas dari vektor-vektor ini: , dimana T adalah bilangan arbitrer yang disebut parameter. Mari kita tulis persamaan ini dalam koordinat:

Persamaan ini disebut Persamaan parametrik Lurus. Mari kita keluarkan dari persamaan ini parameter T:

Persamaan tersebut dapat ditulis dalam bentuk

. (1.18)

Persamaan yang dihasilkan disebut Persamaan kanonik lurus. Panggilan vektor Arah vektor lurus .

Komentar . Sangat mudah untuk melihat bahwa jika adalah vektor normal ke garis L, maka vektor arahnya dapat berupa vektor , karena , yaitu .

Contoh 1.13. Tuliskan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0(1, 1) sejajar dengan garis 3 X + 2Pada– 8 = 0.

Keputusan . Vektor adalah vektor normal untuk garis yang diberikan dan yang diinginkan. Mari kita gunakan persamaan garis lurus yang melalui sebuah titik M 0 dengan vektor normal yang diberikan 3( X –1) + 2(Pada– 1) = 0 atau 3 X + 2 tahun- 5 \u003d 0. Kami mendapat persamaan garis lurus yang diinginkan.

Persamaan garis lurus yang melalui dua titik. Di dalam artikel" " Saya berjanji kepada Anda untuk menganalisis cara kedua untuk memecahkan masalah yang disajikan untuk menemukan turunannya, dengan bagan ini fungsi dan garis singgung grafik ini. Kami akan mengeksplorasi metode ini di , jangan lewatkan! Mengapa Selanjutnya?

Faktanya adalah bahwa rumus persamaan garis lurus akan digunakan di sana. Tentu saja, seseorang hanya bisa menunjukkan rumus ini dan menyarankan Anda untuk mempelajarinya. Tetapi lebih baik untuk menjelaskan dari mana asalnya (bagaimana asalnya). Itu perlu! Jika Anda lupa, cepat pulihkantidak akan sulit. Semuanya rinci di bawah ini. Jadi kita punya bidang koordinat ada dua titik A(x 1; y 1) dan B (x 2; y 2), ditarik garis lurus melalui titik-titik yang ditunjukkan:

Berikut adalah rumus langsungnya:

*Artinya, ketika mensubstitusi koordinat spesifik titik, kita mendapatkan persamaan dalam bentuk y=kx+b.

** Jika rumus ini hanya "dihafal", maka ada kemungkinan besar menjadi bingung dengan indeks ketika X. Selain itu, indeks dapat dilambangkan dengan cara yang berbeda, misalnya:

Karena itu penting untuk memahami maknanya.

Sekarang turunan dari rumus ini. Semuanya sangat sederhana!

Segitiga ABE dan ACF sebangun di sudut tajam(tanda pertama kesamaan segitiga siku-siku). Dari sini dapat disimpulkan bahwa perbandingan unsur-unsur yang bersesuaian adalah sama, yaitu:

Sekarang kita cukup mengekspresikan segmen-segmen ini dalam bentuk perbedaan koordinat titik-titik:

Tentu saja, tidak akan ada kesalahan jika Anda menulis hubungan elemen dalam urutan yang berbeda (yang utama adalah menjaga korespondensi):

Hasilnya adalah persamaan garis lurus yang sama. Ini semua!

Artinya, tidak peduli bagaimana titik itu sendiri (dan koordinatnya) ditentukan, dengan memahami rumus ini, Anda akan selalu menemukan persamaan garis lurus.

Rumusnya dapat disimpulkan menggunakan sifat-sifat vektor, tetapi prinsip penurunannya akan sama, karena kita akan berbicara tentang proporsionalitas koordinatnya. Dalam hal ini, kesamaan segitiga siku-siku yang sama berfungsi. Menurut pendapat saya, kesimpulan yang dijelaskan di atas lebih bisa dimengerti)).

Lihat output melalui koordinat vektor >>>

Biarkan garis lurus dibangun pada bidang koordinat yang melewati dua poin yang diberikan A (x 1; y 1) dan B (x 2; y 2). Mari kita tandai titik C sembarang pada garis dengan koordinat ( x; kamu). Kami juga menunjukkan dua vektor:

Diketahui bahwa untuk vektor yang terletak pada garis sejajar (atau pada satu garis), koordinat yang sesuai adalah proporsional, yaitu:

- kami menulis kesetaraan rasio koordinat yang sesuai:

Pertimbangkan sebuah contoh:

Tentukan persamaan garis lurus yang melalui dua titik dengan koordinat (2;5) dan (7:3).

Anda bahkan tidak dapat membangun garis itu sendiri. Kami menerapkan rumus:

Penting bagi Anda untuk menangkap korespondensi saat menyusun rasio. Anda tidak bisa salah jika Anda menulis:

Jawaban: y=-2/5x+29/5 pergi y=-0.4x+5.8

Untuk memastikan bahwa persamaan yang dihasilkan ditemukan dengan benar, pastikan untuk memeriksanya - substitusikan koordinat data ke dalam kondisi titik. Anda harus mendapatkan persamaan yang benar.

Itu saja. Saya harap materi itu bermanfaat bagi Anda.

Hormat kami, Alexander.

P.S: Saya akan berterima kasih jika Anda memberi tahu situs ini di jejaring sosial.

Biarkan garis lurus melalui titik M 1 (x 1; y 1) dan M 2 (x 2; y 2). Persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 berbentuk y- y 1 \u003d k (x - x 1), (10.6)

di mana k - koefisien masih belum diketahui.

Karena garis lurus melewati titik M 2 (x 2 y 2), maka koordinat titik ini harus memenuhi persamaan (10.6): y 2 -y 1 \u003d k (x 2 -x 1).

Dari sini kami menemukan Mengganti nilai yang ditemukan k ke persamaan (10.6), kita memperoleh persamaan garis lurus yang melalui titik M 1 dan M 2:

Diasumsikan bahwa dalam persamaan ini x 1 x 2, y 1 y 2

Jika x 1 \u003d x 2, maka garis lurus yang melalui titik M 1 (x 1, y I) dan M 2 (x 2, y 2) sejajar dengan sumbu y. persamaannya adalah x = x 1 .

Jika y 2 \u003d y I, maka persamaan garis lurus dapat ditulis sebagai y \u003d y 1, garis lurus M 1 M 2 sejajar dengan sumbu x.

Persamaan garis lurus dalam segmen

Biarkan garis lurus memotong sumbu Ox di titik M 1 (a; 0), dan sumbu Oy - di titik M 2 (0; b). Persamaan tersebut akan berbentuk:
itu.
. Persamaan ini disebut persamaan garis lurus dalam segmen, karena angka a dan b menunjukkan segmen mana yang dipotong garis lurus pada sumbu koordinat.

Persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap vektor tertentu

Mari kita cari persamaan garis lurus yang melalui titik tertentu Mo (x O; y o) tegak lurus terhadap vektor bukan-nol yang diberikan n = (A; B).

Ambil titik sembarang M(x; y) pada garis lurus dan pertimbangkan vektor M 0 M (x - x 0; y - y o) (lihat Gambar 1). Karena vektor n dan M o M tegak lurus, produk skalarnya sama dengan nol: yaitu,

A(x - xo) + B(y - yo) = 0. (10.8)

Persamaan (10.8) disebut persamaan garis lurus yang melalui suatu titik tertentu yang tegak lurus terhadap suatu vektor tertentu .

Vektor n = (A; B) yang tegak lurus garis disebut normal vektor normal dari garis ini .

Persamaan (10.8) dapat ditulis ulang sebagai Ah + Wu + C = 0 , (10.9)

di mana A dan B adalah koordinat vektor normal, C \u003d -Ax o - Vu o - anggota bebas. Persamaan (10.9) adalah persamaan umum garis lurus(lihat Gbr.2).

Gbr.1 Gbr.2

Persamaan kanonik garis lurus

,

Di mana
adalah koordinat titik yang dilalui garis, dan
- vektor arah.

Kurva lingkaran orde kedua

Lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang yang berjarak sama dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat.

Persamaan kanonik lingkaran dengan jari-jari R berpusat pada satu titik
:

Secara khusus, jika pusat pasak bertepatan dengan titik asal, maka persamaannya akan terlihat seperti:

Elips

Elips adalah himpunan titik-titik pada suatu bidang, jumlah jarak masing-masing titik tersebut ke dua titik tertentu dan , yang disebut fokus, adalah nilai konstan
, lebih besar dari jarak antara fokus
.

Persamaan kanonik elips yang fokusnya terletak pada sumbu Ox dan asalnya di tengah antara fokus memiliki bentuk
G de sebuah panjang semiaxis utama; b adalah panjang semiaxis minor (Gbr. 2).