Dilambangkan dengan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi dan gerakkan vektor
sehingga asalnya bertepatan dengan beberapa titik pada sumbu. Jika arah komponen vektor dan sumbunya sama, maka sudut a akan lancip dan seperti terlihat pada Gambar. 24, sebuah,
di mana a adalah modulus vektor a. Jika arah vektor dan sumbu berlawanan, maka, dengan mempertimbangkan tanda proyeksi, kita akan memiliki - (lihat Gambar 24, b)
yaitu ekspresi sebelumnya (perlu diingat bahwa dalam kasus ini sudut a tumpul dan
Dengan demikian, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk modulus vektor dan kosinus sudut antara vektor dan sumbu:
Selain ini secara eksklusif pentingnya rumus, untuk proyeksi vektor ke sumbu, satu lagi sangat rumus sederhana. Mari kita atur titik referensi pada sumbu dan pilih skala yang umum dengan skala vektor. Seperti yang Anda ketahui, koordinat suatu titik adalah angka yang menyatakan, pada skala yang dipilih, jarak dari asal sumbu ke proyeksi titik yang diberikan pada sumbu, dan angka ini diambil dengan tanda tambah jika proyeksi titik dihilangkan dari titik asal ke arah sumbu, dan dengan tanda minus sebaliknya. Jadi, misalnya, koordinat titik A (Gbr. 23, b) akan menjadi angka bertanda yang menyatakan panjang segmen, dan koordinat titik B akan diambil dengan tanda - angka yang menentukan panjang segmen segmen (kami tidak memikirkan ini
secara lebih rinci, dengan asumsi bahwa pembaca sudah familiar dengan konsep koordinat titik dari mata kuliah matematika dasar).
Dilambangkan dengan koordinat awal, dan dengan koordinat akhir vektor pada sumbu x. Kemudian, seperti yang dapat dilihat dari Gambar. 23, a, kita akan memiliki
Proyeksi vektor ke sumbu x akan sama dengan
atau, dengan persamaan sebelumnya,
Sangat mudah untuk melihat bahwa formula ini memiliki karakter umum dan tidak bergantung pada lokasi vektor relatif terhadap sumbu dan titik asal. Memang, pertimbangkan kasus yang ditunjukkan pada Gambar. 23, b. Dari definisi koordinat titik dan proyeksi vektor, kita secara berurutan memperoleh
(Pembaca dapat dengan mudah memeriksa validitas rumus dan dan untuk lokasi yang berbeda dari vektor relatif terhadap sumbu dan asal).
Dari (6.11) dapat disimpulkan bahwa proyeksi vektor ke sumbu sama dengan perbedaan antara koordinat akhir dan awal vektor.
Perhitungan proyeksi vektor ke sumbu sangat umum di sebagian besar berbagai masalah. Oleh karena itu, perlu dikembangkan keterampilan yang solid dalam menghitung proyeksi. Anda dapat menentukan beberapa trik yang memudahkan proses penghitungan proyeksi.
1. Tanda proyeksi vektor ke sumbu, sebagai suatu peraturan, dapat ditentukan langsung dari gambar, dan modul proyeksi dapat dihitung dengan rumus
di mana - sudut tajam antara vektor dan sumbu proyeksi - jika dan jika Teknik ini, tanpa memperkenalkan sesuatu yang baru secara fundamental, agak
memudahkan perhitungan proyeksi, karena tidak memerlukan transformasi trigonometri.
2. Jika Anda ingin menentukan proyeksi vektor pada dua sumbu x dan y yang saling tegak lurus (diasumsikan bahwa vektor terletak pada bidang sumbu-sumbu tersebut) dan merupakan sudut lancip antara vektor dan sumbu x, maka
(tanda proyeksi ditentukan dari gambar).
Contoh. Temukan proyeksi pada sumbu koordinat x dan y dari gaya yang ditunjukkan pada gambar. 25. Dapat dilihat dari gambar bahwa kedua proyeksi akan negatif. Karena itu,
3. Terkadang aturan desain ganda diterapkan, yang terdiri dari berikut ini. Misalkan sebuah vektor dan sumbu yang terletak pada suatu bidang diberikan.Mari kita turunkan garis tegak lurus dari ujung vektor ke bidang dan garis lurus dan kemudian hubungkan alas dari garis tegak lurus dengan segmen garis lurus (Gbr. 26). Mari kita nyatakan sudut antara vektor dan bidang melalui sudut antara dan melalui dan sudut antara vektor dan sumbu proyeksi melalui a. Karena sudutnya siku-siku (dengan konstruksi), maka
Pendahuluan………………………………………………………………………………3
1. Nilai vektor dan skalar……………………………………………….4
2. Pengertian proyeksi, sumbu dan koordinat suatu titik………………………5
3. Proyeksi vektor ke sumbu………………………………………………...6
4. Rumus dasar aljabar vektor……………………………..8
5. Perhitungan modul vektor dari proyeksinya………………………9
Kesimpulan…………………………………………………………………….11
Sastra………………………………………………………………………...12
Pengantar:
Fisika erat kaitannya dengan matematika. Matematika memberikan fisika sarana dan teknik umum dan ekspresi yang tepat ketergantungan antara besaran fisika, yang ditemukan sebagai hasil percobaan atau penelitian teoritis.Bagaimanapun, metode utama penelitian dalam fisika adalah eksperimental. Ini berarti bahwa ilmuwan mengungkapkan perhitungan dengan bantuan pengukuran. Menunjukkan hubungan antara besaran-besaran fisika yang berbeda. Kemudian, semuanya diterjemahkan ke dalam bahasa matematika. Terbentuk model matematika. Fisika adalah ilmu yang mempelajari yang paling sederhana dan sekaligus paling banyak pola umum. Tugas fisika adalah menciptakan dalam pikiran kita gambaran seperti itu dunia fisik, yang paling sepenuhnya mencerminkan sifat-sifatnya dan menyediakan hubungan semacam itu antara elemen-elemen model yang ada di antara elemen-elemen tersebut.
Jadi, fisika menciptakan model dunia di sekitar kita dan mempelajari sifat-sifatnya. Tapi model apapun terbatas. Saat membuat model fenomena tertentu, hanya properti dan koneksi yang penting untuk rentang fenomena tertentu yang diperhitungkan. Ini adalah seni seorang ilmuwan - dari semua variasi untuk memilih hal utama.
Model fisik adalah matematika, tetapi matematika bukanlah dasarnya. Rasio kuantitatif antara besaran fisis yang ditemukan sebagai hasil pengukuran, pengamatan dan studi eksperimental dan hanya dinyatakan dalam bahasa matematika. Namun, bahasa lain untuk dibangun teori fisika tidak ada.
1. Nilai vektor dan skalar.
Dalam fisika dan matematika, vektor adalah besaran yang dicirikan oleh nilai numerik dan arah. Dalam fisika banyak sekali besaran-besaran penting yang bersifat vektor, seperti gaya, posisi, kecepatan, percepatan, torsi, momentum, medan listrik dan magnet. Mereka dapat dikontraskan dengan jumlah lain, seperti massa, volume, tekanan, suhu, dan kepadatan, yang dapat dijelaskan nomor umum, dan mereka disebut skalar" .
Mereka ditulis baik dalam huruf dengan font biasa, atau dalam angka (a, b, t, G, 5, -7 ....). skalar bisa positif dan negatif. Pada saat yang sama, beberapa objek studi mungkin memiliki sifat seperti itu, karena deskripsi lengkap di mana pengetahuan hanya tentang ukuran numerik ternyata tidak cukup, perlu juga untuk mengkarakterisasi sifat-sifat ini dengan arah dalam ruang. Sifat-sifat tersebut dicirikan oleh besaran vektor (vektor). Vektor, tidak seperti skalar, dilambangkan dengan huruf tebal: a, b, g, F, C ....
Seringkali, vektor dilambangkan dengan huruf biasa (tidak tebal), tetapi dengan panah di atasnya:
Selain itu, vektor sering dilambangkan dengan sepasang huruf (biasanya dalam huruf kapital), dengan huruf pertama menunjukkan awal vektor, dan huruf kedua menunjukkan akhir.
Modul vektor, yaitu, panjang segmen bujursangkar yang diarahkan, dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor itu sendiri, tetapi dalam penulisan biasa (tidak tebal) dan tanpa panah di atasnya, atau dengan cara yang sama sebagai vektor (yaitu, dalam huruf tebal atau biasa, tetapi dengan panah), tetapi kemudian penunjukan vektor diapit oleh garis vertikal.
Vektor adalah objek kompleks yang dicirikan oleh besar dan arah pada saat yang bersamaan.
Positif juga tidak ada vektor negatif. Tapi vektor bisa sama satu sama lain. Ini adalah ketika, misalnya, a dan b memiliki modul yang sama dan diarahkan ke arah yang sama. Dalam hal ini, catatan sebuah= b. Juga harus diingat bahwa simbol vektor dapat didahului dengan tanda minus, misalnya -c, tetapi tanda ini secara simbolis menunjukkan bahwa vektor -c memiliki modulus yang sama dengan vektor c, tetapi diarahkan ke berlawanan arah.
Vektor -c disebut kebalikan (atau invers) dari vektor c.
Namun, dalam fisika, setiap vektor diisi dengan konten tertentu, dan ketika membandingkan vektor dari jenis yang sama (misalnya, gaya), poin penerapannya juga dapat menjadi sangat penting.
2. Penentuan proyeksi, sumbu dan koordinat titik.
Sumbu adalah garis lurus yang diberi arah.
Sumbu ditunjukkan oleh huruf apa saja: X, Y, Z, s, t ... Biasanya, sebuah titik dipilih (secara sewenang-wenang) pada sumbu, yang disebut asal dan, sebagai suatu peraturan, ditunjukkan oleh huruf O Jarak ke tempat menarik lainnya diukur dari titik ini.
proyeksi titik pada sumbu disebut alas tegak lurus yang dijatuhkan dari titik ini ke sumbu yang diberikan. Artinya, proyeksi suatu titik ke sumbu adalah titik.
koordinat titik pada sumbu ini disebut bilangan, nilai mutlak yang sama dengan panjang segmen sumbu (dalam skala yang dipilih) tertutup antara asal sumbu dan proyeksi titik ke sumbu ini. Angka ini diambil dengan tanda plus jika proyeksi titik terletak pada arah sumbu dari awalnya dan dengan tanda minus jika berlawanan arah.
3. Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu.
Proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu adalah suatu vektor yang diperoleh dengan mengalikan proyeksi skalar suatu vektor pada sumbu tersebut dan vektor satuan dari sumbu tersebut. Misalnya, jika a x adalah proyeksi skalar dari vektor a ke sumbu X, maka a x i adalah proyeksi vektornya ke sumbu ini.
Mari kita nyatakan proyeksi vektor dengan cara yang sama seperti vektor itu sendiri, tetapi dengan indeks sumbu di mana vektor diproyeksikan. Jadi, proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu X akan dilambangkan dengan x (huruf tebal yang menunjukkan vektor dan subskrip nama sumbu) atau
(huruf tidak tebal yang menunjukkan vektor, tetapi dengan panah di bagian atas (!) dan subskrip dari nama sumbu).
Proyeksi skalar vektor per sumbu disebut nomor, nilai absolutnya sama dengan panjang segmen sumbu (dalam skala yang dipilih) yang tertutup antara proyeksi titik awal dan titik akhir vektor. Biasanya alih-alih ekspresi proyeksi skalar katakan saja - proyeksi. Proyeksi dilambangkan dengan huruf yang sama dengan vektor yang diproyeksikan (dalam penulisan normal, tidak dicetak tebal), dengan subskrip (biasanya) nama sumbu di mana vektor ini diproyeksikan. Misalnya, jika sebuah vektor diproyeksikan ke sumbu x sebuah, maka proyeksinya dilambangkan dengan x . Saat memproyeksikan vektor yang sama ke sumbu lain, jika sumbunya adalah Y , proyeksinya akan dilambangkan sebagai y .
Untuk menghitung proyeksi vektor pada suatu sumbu (misalnya sumbu X) perlu dikurangi koordinat titik awal dari koordinat titik akhirnya, yaitu
dan x \u003d x k - x n.
Proyeksi vektor ke sumbu adalah angka. Selain itu, proyeksi dapat positif jika nilai x terhadap nilai lebih xn,
negatif jika nilai x k lebih kecil dari nilai x n
dan nol, jika x k sama dengan x n.
Proyeksi sebuah vektor ke sebuah sumbu juga dapat ditemukan dengan mengetahui modulus vektor dan sudut yang dibuatnya dengan sumbu itu.
Terlihat dari gambar bahwa a x = a Cos
Artinya, proyeksi vektor ke sumbu sama dengan produk modulus vektor dan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor. Jika sudutnya lancip, maka
Cos > 0 dan a x > 0, dan jika tumpul, maka cosinus sudut tumpul negatif, dan proyeksi vektor ke sumbu juga akan negatif.
Sudut yang dihitung dari sumbu berlawanan arah jarum jam dianggap positif, dan dalam arah - negatif. Namun, karena kosinus adalah fungsi genap, yaitu, Cos = Cos (− ), saat menghitung proyeksi, sudut dapat dihitung baik searah jarum jam maupun berlawanan arah jarum jam.
Untuk mencari proyeksi suatu vektor pada suatu sumbu, modul vektor ini harus dikalikan dengan kosinus sudut antara arah sumbu dan arah vektor.
4. Rumus dasar aljabar vektor.
Mari kita rancang vektor a pada sumbu X dan Y sistem persegi panjang koordinat. Temukan proyeksi vektor dari vektor a pada sumbu berikut:
dan x = a x i, dan y = a y j.
Tetapi menurut aturan penjumlahan vektor
a \u003d a x + a y.
a = a x i + a y j.
Jadi, kita telah menyatakan sebuah vektor dalam bentuk proyeksinya dan ort dari sistem koordinat persegi panjang (atau dalam hal proyeksi vektornya).
Proyeksi vektor a x dan a y disebut komponen atau komponen dari vektor a. Operasi yang telah kita lakukan disebut dekomposisi vektor sepanjang sumbu sistem koordinat persegi panjang.
Jika vektor diberikan dalam ruang, maka
a = a x i + a y j + a z k.
Rumus ini disebut rumus dasar aljabar vektor. Tentu saja, itu juga bisa ditulis seperti ini.
Proyeksi aljabar vektor pada setiap sumbu sama dengan produk dari panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:Kanan a b = |b|cos(a,b) atau
Dimana b- perkalian titik dari vektor, |a| - modulus vektor a .
Petunjuk. Untuk mencari proyeksi vektor p a b in mode online Anda harus menentukan koordinat vektor a dan b . Dalam hal ini, vektor dapat diberikan dalam bidang (dua koordinat) dan dalam ruang (tiga koordinat). Solusi yang dihasilkan disimpan dalam file Word. Jika vektor diberikan melalui koordinat titik, maka perlu menggunakan kalkulator ini.
Klasifikasi proyeksi vektor
Jenis proyeksi menurut definisi proyeksi vektor
Jenis proyeksi menurut sistem koordinat
Properti proyeksi vektor
- Proyeksi geometris suatu vektor adalah vektor (memiliki arah).
- Proyeksi aljabar suatu vektor adalah bilangan.
Teorema proyeksi vektor
Teorema 1. Proyeksi jumlah vektor pada sembarang sumbu sama dengan proyeksi suku-suku vektor pada sumbu yang sama.
Teorema 2. Proyeksi aljabar suatu vektor ke sembarang sumbu sama dengan hasil kali panjang vektor dan kosinus sudut antara sumbu dan vektor:
Kanan a b = |b|cos(a,b)
Jenis proyeksi vektor
- proyeksi ke sumbu OX.
- proyeksi ke sumbu OY.
- proyeksi ke vektor.
| Proyeksi ke sumbu OX | Proyeksi ke sumbu OY | Proyeksi ke vektor |
Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.  | Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.  | Jika arah vektor A'B' bertepatan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' bertanda positif.  |
Jika arah vektor berlawanan dengan arah sumbu OX, maka proyeksi vektor A’B’ memiliki tanda negatif.
 | Jika arah vektor A'B' berlawanan dengan arah sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' bertanda negatif.  | Jika arah vektor A'B' berlawanan dengan arah vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' bertanda negatif.  |
Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OX, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.   | Jika vektor AB sejajar dengan sumbu OY, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.   | Jika vektor AB sejajar dengan vektor NM, maka proyeksi vektor A'B' sama dengan modulus vektor AB.   |
Jika vektor AB tegak lurus terhadap sumbu OX, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (zero-vektor).   | Jika vektor AB tegak lurus terhadap sumbu OY, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (vektor nol).   | Jika vektor AB tegak lurus terhadap vektor NM, maka proyeksi A'B' sama dengan nol (vektor nol).   |
1. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertanda negatif. Jawaban: Ya, proyeksi vektor bisa nilai negatif. Dalam hal ini, vektor memiliki berlawanan arah(lihat bagaimana sumbu OX dan vektor AB diarahkan)
2. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor bertepatan dengan modulus vektor tersebut. Jawab: Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor-vektornya sejajar (atau terletak pada garis yang sama).
3. Pertanyaan: Dapatkah proyeksi suatu vektor sama dengan nol (zero-vektor). Jawab: Ya, bisa. Dalam hal ini, vektor tegak lurus terhadap sumbu yang bersesuaian (vektor).
Contoh 1 . Vektor (Gbr. 1) membentuk sudut 60 o dengan sumbu OX (diberikan oleh vektor a). Jika OE adalah satuan skala, maka |b|=4, jadi 
.
Memang, panjang vektor ( proyeksi geometris b) sama dengan 2, dan arahnya sama dengan arah sumbu OX.
Contoh 2 . Vektor (Gbr. 2) membentuk sudut dengan sumbu OX (dengan vektor a) (a,b) = 120 o . Panjang |b| vektor b sama dengan 4, jadi pr a b=4 cos120 o = -2. 
Memang, panjang vektor sama dengan 2, dan arahnya berlawanan dengan arah sumbu.
