ជាច្រើននៃទាំងអស់។ ចំនួនពិតអាចត្រូវបានតំណាងថាជាសហជីពនៃបីសំណុំ: សំណុំនៃចំនួនវិជ្ជមាន, សំណុំនៃលេខអវិជ្ជមាននិងសំណុំដែលមានលេខមួយ - លេខសូន្យ។ ដើម្បីបង្ហាញថាលេខ កវិជ្ជមាន សូមរីករាយជាមួយកំណត់ត្រា a > 0ដើម្បីចង្អុលបង្ហាញលេខអវិជ្ជមាន ប្រើកំណត់ត្រាផ្សេងទៀត។ ក< 0 .

ផលបូក និងផលនៃលេខវិជ្ជមានក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។ ប្រសិនបើលេខ កអវិជ្ជមានបន្ទាប់មកលេខ -កវិជ្ជមាន (និងផ្ទុយមកវិញ) ។ សម្រាប់លេខវិជ្ជមានណាមួយ a មានវិជ្ជមាន ចំនួនសមហេតុផល rអ្វី r< а . ការពិតទាំងនេះបង្កប់នូវទ្រឹស្តីនៃវិសមភាព។

តាមនិយមន័យ វិសមភាព a > b (ឬសមមូល ខ< a) имеет место в том и только в том случае, если а - b >0 នោះគឺប្រសិនបើលេខ a - b គឺវិជ្ជមាន។

ពិចារណាជាពិសេស វិសមភាព ក< 0 . តើវិសមភាពនេះមានន័យដូចម្តេច? យោងតាមនិយមន័យខាងលើមានន័យថា 0 - a > 0, i.e. -a > 0ឬលេខអ្វីផ្សេងទៀត។ -កជាវិជ្ជមាន។ ប៉ុន្តែនេះគឺជាករណីប្រសិនបើនិងប្រសិនបើលេខ កអវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះ វិសមភាព ក< 0 មានន័យថាលេខ ប៉ុន្តែអវិជ្ជមាន។

ជាញឹកញាប់ត្រូវបានគេប្រើផងដែរគឺសញ្ញាណ ab(ឬដែលដូចគ្នា បា).
ការថត abតាមនិយមន័យ មានន័យថា ក > ខ, ឬ a = ខ. ប្រសិនបើយើងពិចារណាការចូល abជាសំណើមិនកំណត់ បន្ទាប់មកនៅក្នុងសញ្ញាណ តក្កវិជ្ជាគណិតវិទ្យាអាចត្រូវបានសរសេរ

(a b) [(a > b) V (a = b)]

ឧទាហរណ៍ ១តើវិសមភាព 5 0, 0 0 ត្រឹមត្រូវទេ?

វិសមភាព 50 គឺ សេចក្តីថ្លែងការណ៍រួមរួមមានពីរ ពាក្យសាមញ្ញតភ្ជាប់ដោយការតភ្ជាប់ឡូជីខល "ឬ" (ការបំបែក) ។ ទាំង 5 > 0 ឬ 5 = 0 ។ សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីមួយ 5 > 0 គឺពិត សេចក្តីថ្លែងការណ៍ទីពីរ 5 = 0 គឺមិនពិត។ តាម​និយមន័យ​នៃ​ការ​បំបែក​ចេញ សេចក្តីថ្លែងការណ៍​រួម​បែប​នេះ​គឺ​ពិត។

កំណត់ត្រា 00 ត្រូវបានពិភាក្សាស្រដៀងគ្នា។

ភាពមិនស្មើគ្នានៃទម្រង់ a > b, ក< b នឹងត្រូវបានគេហៅថាតឹងរ៉ឹង និងវិសមភាពនៃទម្រង់ ab, ab- មិនតឹងរ៉ឹង។

វិសមភាព ក > ខនិង គ > ឃ(ឬ ក< b និង ជាមួយ< d ) នឹងត្រូវបានគេហៅថា វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងវិសមភាព ក > ខនិង គ< d - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ ចំណាំថាពាក្យទាំងពីរនេះ (វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងផ្ទុយគ្នា) សំដៅលើទម្រង់នៃការសរសេរវិសមភាពប៉ុណ្ណោះ ហើយមិនមែនចំពោះការពិតដែលខ្លួនគេបានសម្តែងដោយវិសមភាពទាំងនេះទេ។ ដូច្នេះទាក់ទងនឹងវិសមភាព ក< b វិសមភាព ជាមួយ< d គឺជាវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា និងជាលាយលក្ខណ៍អក្សរ ឃ > គ(មានន័យដូចគ្នា) - វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។

រួមជាមួយនឹងវិសមភាពនៃទម្រង់ ក > ខ, abអ្វី​ដែល​ហៅ​ថា​វិសមភាព​ទ្វេ​ដង​ត្រូវ​បាន​ប្រើ ពោល​គឺ​វិសមភាព​នៃ​ទម្រង់ ក< с < b , អាត់< b , ក< cb ,
កcb. តាមនិយមន័យការចូល

ក< с < b (1)
មានន័យថា វិសមភាពទាំងពីរមាន៖

ក< с និង ជាមួយ< b.

វិសមភាពមានអត្ថន័យស្រដៀងគ្នា acb, ac< b, а < сb.

វិសមភាពទ្វេ (១) អាចសរសេរដូចខាងក្រោម៖

(ក< c < b) [(a < c) & (c < b)]

និងវិសមភាពទ្វេ a ≤ c ≤ ខអាចត្រូវបានសរសេរក្នុងទម្រង់ដូចខាងក្រោមៈ

(a c b) [( ក< c)V(a = c) & (c < b)V(c = b)]

ឥឡូវនេះ ចូរយើងបន្តទៅការបង្ហាញពីលក្ខណៈសម្បត្តិ និងវិធានសំខាន់ៗនៃសកម្មភាពលើវិសមភាព ដោយបានយល់ព្រមថានៅក្នុងអត្ថបទនេះ អក្សរ ក, ខ, គតំណាងឱ្យចំនួនពិត និង នមានន័យថាលេខធម្មជាតិ។

1) ប្រសិនបើ a > b និង b > c នោះ a > c (អន្តរកាល) ។

ភស្តុតាង។

ចាប់តាំងពីយោងទៅតាមលក្ខខណ្ឌ ក > ខនិង b > គបន្ទាប់មកលេខ ក - ខនិង b - គមានភាពវិជ្ជមាន ដូច្នេះចំនួន a - c \u003d (a - b) + (b - c)ជាផលបូកនៃលេខវិជ្ជមាន ក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ នេះមានន័យថាតាមនិយមន័យ ក > គ.

2) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c ណាមួយ វិសមភាព a + c > b + c កាន់។

ភស្តុតាង។

ជា ក > ខបន្ទាប់មកលេខ ក - ខជាវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះលេខ (a+c)-(b+c)=a+c-b-c=a-bវិជ្ជមានផងដែរ, i.e.
a + c > b + c ។

3) ប្រសិនបើ a + b> c នោះ a > b - c, i.e. ពាក្យណាមួយអាចត្រូវបានផ្ទេរពីផ្នែកមួយនៃវិសមភាពទៅមួយទៀតដោយការផ្លាស់ប្តូរសញ្ញានៃពាក្យនេះទៅផ្ទុយ។

ភ័ស្តុតាងដូចខាងក្រោមពីទ្រព្យសម្បត្តិ 2) គឺគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព a + b> គបន្ថែមលេខ - ខ.

៤) ប្រសិនបើ a > b និង c > d នោះ a + c > b + d,ឧ. ការបន្ថែមវិសមភាពពីរនៃអត្ថន័យដូចគ្នា ផ្តល់ផលវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។

តាមនិយមន័យនៃវិសមភាព វាគ្រប់គ្រាន់ដើម្បីបង្ហាញថាភាពខុសគ្នា
(ក + គ) - (ខ + គ)វិជ្ជមាន។ ភាពខុសគ្នានេះអាចសរសេរដូចខាងក្រោមៈ
(a+c)-(b+d)=(a-b)+(c-d).
ចាប់តាំងពីដោយលក្ខខណ្ឌនៃលេខ ក - ខនិង គ - ឃបន្ទាប់មកគឺវិជ្ជមាន (a + c) - (b + d)ក៏ជាលេខវិជ្ជមានផងដែរ។

ផលវិបាក។ វិធាន ២) និង ៤) បញ្ជាក់ ច្បាប់បន្ទាប់ការដកវិសមភាព៖ ប្រសិនបើ a > b, c > ឃបន្ទាប់មក ក - ឃ > ខ - គ(សម្រាប់ភស្តុតាង វាគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ផ្នែកទាំងពីរនៃវិសមភាព a + c> b + ឃបន្ថែមលេខ - គ - ឃ).

5) ប្រសិនបើ a > b នោះសម្រាប់ c > 0 យើងមាន ac > bc ហើយសម្រាប់ c< 0 имеем ас < bc.

ម្យ៉ាង​ទៀត​ពេល​គុណ​ទាំង​សងខាង​នៃ​វិសមភាព​ក៏​មិន​ដែរ។ លេខវិជ្ជមានសញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានរក្សាទុក (ឧ. វិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នាត្រូវបានទទួល) ហើយនៅពេលគុណនឹង លេខអវិជ្ជមានសញ្ញាវិសមភាពត្រូវបានបញ្ច្រាស់ (ឧ. វិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយត្រូវបានទទួល។

ភស្តុតាង។

ប្រសិនបើ ក ក > ខបន្ទាប់មក ក - ខគឺជាលេខវិជ្ជមាន។ ដូច្នេះសញ្ញានៃភាពខុសគ្នា ac-bc = ក្បាំងមុខ)ផ្គូផ្គងសញ្ញានៃលេខ ជាមួយ៖ ប្រសិនបើ ជាមួយគឺជាលេខវិជ្ជមាន បន្ទាប់មកភាពខុសគ្នា ac - bcវិជ្ជមានហើយដូច្នេះ ac > bc, ហើយ​ប្រសិន​បើ ជាមួយ< 0 ដូច្នេះភាពខុសគ្នានេះគឺអវិជ្ជមាន bc - អេកវិជ្ជមាន, i.e. bc > ac.

6) ប្រសិនបើ a > b > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក ac > bd, i.e. ប្រសិនបើពាក្យទាំងអស់នៃវិសមភាពទាំងពីរមានអត្ថន័យដូចគ្នាគឺវិជ្ជមាន នោះគុណនឹងពាក្យនៃវិសមភាពទាំងនេះនាំឱ្យវិសមភាពនៃអត្ថន័យដូចគ្នា។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ac - bd = ac - bc + bc - bd = c(a - b) + b(c - d). ជា c> 0, b> 0, a - b> 0, c - d> 0 បន្ទាប់មក ac - bd> 0, i.e. ac> bd ។

មតិយោបល់។វាច្បាស់ណាស់ពីភស្តុតាងដែលថាលក្ខខណ្ឌ ឃ > 0ក្នុង​ការ​បង្កើត​ទ្រព្យ​ ៦) មិន​សំខាន់៖ សម្រាប់​ទ្រព្យ​នេះ​ពិត វា​គ្រប់គ្រាន់​ហើយ​ដែល​លក្ខខណ្ឌ a > b > 0, c > d, c > 0. ប្រសិនបើ (ប្រសិនបើវិសមភាព a > b, c > ឃ) លេខ ក, ខ, គមិនមែនសុទ្ធតែវិជ្ជមានទាំងអស់ទេ បន្ទាប់មកវិសមភាព ac > bdប្រហែលជាមិនត្រូវបានអនុវត្ត។ ឧទាហរណ៍នៅពេល ក = 2, ខ =1, គ= -2, ឃ= -3 យើងមាន a > b, គ > ឃប៉ុន្តែភាពមិនស្មើគ្នា ac > bd(ឧ. -៤ > -៣) បរាជ័យ។ ដូច្នេះតម្រូវការដែលលេខ a, b, c មានភាពវិជ្ជមាននៅក្នុងសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រព្យសម្បត្តិ 6) គឺចាំបាច់។

7) ប្រសិនបើ ≥ b> 0 និង c> d> 0 នោះ (ការបែងចែកវិសមភាព)។

ភស្តុតាង។

យើង​មាន ភាគបែងនៃប្រភាគនៅខាងស្តាំគឺវិជ្ជមាន (មើលលក្ខណៈសម្បត្តិ 5), 6)) ភាគបែងក៏វិជ្ជមានផងដែរ។ ដូច្នេះ,. នេះបញ្ជាក់ទ្រព្យសម្បត្តិ ៧).

មតិយោបល់។យើងកត់សំគាល់ចំណុចសំខាន់មួយ។ ករណីពិសេសក្បួន 7) ទទួលបាននៅពេល a = b = 1: ប្រសិនបើ c > d > 0 បន្ទាប់មក។ ដូច្នេះ ប្រសិនបើលក្ខខណ្ឌនៃវិសមភាពមានភាពវិជ្ជមាន នោះនៅពេលឆ្លងទៅគ្នាទៅវិញទៅមក យើងទទួលបានវិសមភាពនៃអត្ថន័យផ្ទុយ។ យើងសូមអញ្ជើញអ្នកអានឱ្យផ្ទៀងផ្ទាត់ថាច្បាប់នេះក៏ត្រូវបានរក្សាទុកក្នុង 7) ប្រសិនបើ ab > 0 និង c > d > 0 បន្ទាប់មក (ការបែងចែកវិសមភាព) ។

ភស្តុតាង។ បន្ទាប់មក។

យើងបានបង្ហាញខាងលើលក្ខណៈសម្បត្តិមួយចំនួននៃវិសមភាពដែលសរសេរដោយសញ្ញា > (ច្រើនទៀត) ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់នេះអាចត្រូវបានបង្កើតដោយប្រើសញ្ញា < (តិចជាង) ចាប់តាំងពីវិសមភាព ខ< а មានន័យថា តាមនិយមន័យ ដូចគ្នានឹងវិសមភាព ក > ខ. លើសពីនេះទៀត ដោយសារវាងាយស្រួលក្នុងការត្រួតពិនិត្យ លក្ខណៈសម្បត្តិដែលបានបង្ហាញខាងលើក៏ត្រូវបានរក្សាទុកសម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងផងដែរ។ ឧទាហរណ៍ ទ្រព្យសម្បត្តិ 1) សម្រាប់វិសមភាពមិនតឹងរ៉ឹងនឹងមាន ទិដ្ឋភាពបន្ទាប់៖ ប្រសិនបើ ab និង bcបន្ទាប់មក អាត់.

ជាការពិតណាស់ លក្ខណៈសម្បត្តិទូទៅនៃវិសមភាពមិនត្រូវបានកំណត់ចំពោះអ្វីដែលបាននិយាយខាងលើនោះទេ។ នៅតែមាន បន្ទាត់ទាំងមូលវិសមភាព ទិដ្ឋភាពទូទៅភ្ជាប់ជាមួយការពិចារណានៃអំណាច អិចស្ប៉ូណង់ស្យែល លោការីត និង អនុគមន៍ត្រីកោណមាត្រ. វិធីសាស្រ្តទូទៅសម្រាប់ការសរសេរប្រភេទនៃវិសមភាពទាំងនេះមានដូចខាងក្រោម។ ប្រសិនបើមុខងារមួយចំនួន y = f(x)បង្កើន monotonically នៅលើផ្នែក [a,b]បន្ទាប់មកសម្រាប់ x 1 > x 2 (ដែល x 1 និង x 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f (x 1) > f(x២). ដូចគ្នានេះដែរប្រសិនបើមុខងារ y = f(x)ថយចុះជាឯកតានៅលើផ្នែក [a,b]បន្ទាប់មកនៅ x 1 > x 2 (កន្លែងណា x ១និង X 2 ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្នែកនេះ) យើងមាន f(x1)< f(x 2 ) ជាការពិតណាស់អ្វីដែលត្រូវបានគេនិយាយមិនខុសពីនិយមន័យនៃ monotonicity នោះទេប៉ុន្តែបច្ចេកទេសនេះគឺងាយស្រួលណាស់សម្រាប់ការទន្ទេញចាំនិងការសរសេរវិសមភាព។

ដូច្នេះឧទាហរណ៍សម្រាប់ធម្មជាតិ n មុខងារណាមួយ។ y = x nការកើនឡើងឯកតានៅលើកាំរស្មី {0} {0} }