Сдача единого государственного экзамена является не только необходимостью при окончании общего среднего образования, но и частью вступительных испытаний в ВУЗы. Школьники, решившие поступать на специальности с математическим или техническим уклоном, сдают не только базовый уровень математики, но и профильный. Рассмотрим его особенности, сроки проведения и проверки и некоторые момент, связанные с результатами.

Порядок проведения ЕГЭ установлен ФЗ №273 «Об образовании в Российской Федерации».

Когда будут известны результаты экзамена?

Официальное расписание определило сдачу ЕГЭ по математике 2018 года профильного направления на пятницу, 1 июня. В качестве резервного дня в основном цикле выделена дата 25 июня , а 2 июля остается запасным днем для сдачи всех предметов.

Разделение экзамена по математике на уровни произошло в прошлом году. Они различаются по ряду признаков:

• Система оценки . Базовый уровень знания предмета оценивается по пятибалльной шкале (в качестве минимума устанавливается 3 балла). Оценка по профильному предмету оценивается по шкале в 100 баллов;
• Следующее отличие заключается в приеме экзаменов базового и профильного уровня для поступления в учебные заведения высшего и среднего профессионального звена. Так, базового уровня достаточно для колледжей, училищ, гуманитарных специальностей университетов. Наличие математики во вступительных экзаменах на технические специальности требует от абитуриента сданного профильного уровня;
• Различаются структуры экзаменов . База состоит из 20 задач с краткими ответами. Профильный экзамен значительно сложнее и строится из 2 частей.

Система ЕГЭ разрешает сдавать выпускникам школ базовую и профильную часть предмета без ограничений. Это значительно повышает шансы к поступлению в ВУЗы.

Обработка результатов ЕГЭ имеет определенные сроки и порядок:

• Сканирование и обработка бланков в регионах – до 4 дней;
• Обработка результатов на федеральном уровне – до 7 дней;
• Отправка результатов в регионы – 1 день;
• Подтверждение результатов государственной экзаменационной комиссией – не дольше 1 дня;
• Объявление результатов – 1 день.

Таким образом, срок проверки и обнародования результатов составляет не более 2-х недель. Результаты ЕГЭ 2018 по математике профильного уровня будут известны не позднее 17 июня .

Как узнать свой результат?

Узнать результаты прошедшего экзамена можно несколькими способами:

• Официальный портал Единого государственного экзамена www.ege.edu.ru;
• На информационных стендах в школах или иных заведениях, где проводился экзамен;
• В региональных управлениях или комитетах образования;
• Ряд регионов создают специализированные сайты или горячие телефонные линии.

Проверить свой результат можно при наличии:

• ФИО сдавшего предмета;
• Номера паспорта или иного документа, примененного во время экзамена для удостоверения личности;
• Идентификационного кода, присвоенного каждому участнику экзамена.

Информация о результатах экзамена является свободной и предоставляется бесплатно участникам ЕГЭ и их родителям.

Досрочный экзамен ЕГЭ по математике

Ряд школьников уже сдали ЕГЭ по математике в так называемый досрочный период . Участие в нем допускается, если школьник не сможет принять участие в основном этапе. В качестве причин могут служить:

• Запланированное лечение;
• Отдых в оздоровительных учреждениях;
• Участие в соревнованиях, олимпиадах и других учебных или творческих мероприятиях.

В 2017 году досрочная сдача математики состоялась 31 марта и 14 апреля (резервный день). Базовый уровень сдали 4,8 тысяч школьников, а профильный около 17 тысяч.

Результаты досрочного ЕГЭ по математике 2017 по плану должны были появится в доступе 11 апреля, но были обнародованы гораздо раньше – 7 числа.

Где посмотреть свою работу

Свою работу можно посмотреть после сдачи экзамена в электронном виде. Ее скан доступен в личном кабинете на портале ЕГЭ. Доступ к нему выдается при:

• Наличии идентификационного кода участника единого госэкзамена;
• ФИО и номера паспорта.

Если после объявления результатов участник не согласен с вынесенными баллами, то у него есть 2 дня на подачу апелляции в Экзаменационную комиссию. Заявление пишется в 2-х экземплярах и передается комиссии на рассмотрение. В срок до 5 июня решения задач будут снова рассмотрены и вынесено решение об изменении оценки или ее подтверждении.

Как оценивается экзамен? Система ЕГЭ для оценки результатов использует первичные и тестовые баллы, а также специальную шкалу их перевода друг в друга. Решения КИМов (контрольно-измерительных материалов) оцениваются в первичных баллах и затем переводятся согласно таблице в тестовые. Окончательным результатом экзамена считается число набранных тестовых баллов.

Разработка шкалы перевода первичных баллов в тестовые ведется каждый год и учитывает общий уровень подготовки школьников.

Для успешной сдачи профильной математики в 2018 году нужно набрать минимально:

• 6 первичных баллов;
• 27 тестовых баллов.

Дата пересдачи ЕГЭ по математике в 2018 году

Есть ряд дополнительных сроков для сдачи ЕГЭ . Они доступны, если по уважительным причинам школьник не смог сдать предмет в основной день. Для профильной математики это:

• 25 июня – резервный день в рамках основного этапа;
• 2 июля – резервный день основной части ЕГЭ, когда можно сдать любой предмет.

Возможность пересдать профильную математику в сентябре имеет ряд условий:

• Если у школьника сдана базовая математика, то к пересдаче профильного уровня он в этом году допущен не будет. Возможность пересдать ЕГЭ возникнет только в следующем году;
• Если провалены оба экзамена по математике (базовый и профильный), ученик может решить, какой из них он будет пересдавать.

Пересдача математики в сентябре назначена на 7 сентября . В качестве резервного дня значится 15 сентября.

11 класс

Условия задач

1. Цена на электрический чайник была повышена на 14% и составила 1596 рублей. Сколько рублей стоил чайник до повышения цены?
2. На графике изображена зависимость крутящего момента двигателя от числа его оборотов в минуту. На оси абсцисс откладывается число оборотов в минуту, на оси ординат - крутящий момент в Н∙м. Скорость автомобиля (в км/ч) приближенно выражается формулой где n - число оборотов двигателя в минуту. С какой наименьшей скоростью должен двигаться автомобиль, чтобы крутящий момент был равен 120 Н∙м? Ответ дайте в километрах в час.
   
3. На клетчатой бумаге с размером клетки x изображен треугольник АВС. Найдите длину его высоты, опущенной на сторону ВС.
4. Научная конференция проводится в 5 дней. Всего запланировано 75 докладов - первые три дня по 17 докладов, остальные распределены поровну между четвёртым и пятым днями. На конференции планируется доклад профессора М. Порядок докладов определяется жеребьёвкой. Какова вероятность того, что доклад профессора М. окажется запланированным на последний день конференции?
5. Найдите корень уравнения
6. Четырехугольник ABCD вписан в окружность. Угол ABC равен 105 o , угол CAD равен 35 o . Найдите угол ABD. Ответ дайте в градусах.
7. На рисунке изображен график производной функции , определенной на интервале . Найдите количество точек максимума функции , принадлежащих отрезку .
   
8. Шар вписан в цилиндр. Площадь поверхности шара равна 111. Найдите площадь полной поверхности цилиндра.
9. Найдите значение выражения
10. Для получения на экране увеличенного изображения лампочки в лаборатории используется собирающая линза с главным фокусным расстоянием см. Расстояние от линзы до лампочки может изменяться в пределах от 30 до 50 см, а расстояние от линзы до экрана - в пределах от 150 до 180 см. Изображение на экране будет четким, если выполнено соотношение . Укажите, на каком наименьшем расстоянии от линзы можно поместить лампочку, чтобы ее изображение на экране было четким. Ответ выразите в сантиметрах.
11. Расстояние между пристанями A и B равно 120 км. Из A в B по течению реки отправился плот, а через час вслед за ним отправилась яхта, которая, прибыв в пункт B, тотчас повернула обратно и возвратилась в A. К этому времени плот проплыл 24 км. Найдите скорость яхты в неподвижной воде, если скорость течения реки равна 2 км/ч. Ответ дайте в км/ч.
12. Найдите точку максимума функции .
13. а) Решите уравнение ; б) Укажите корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .
14. На ребрах АВ и ВС треугольной пирамиды АВСD отмечены точки M и N соответственно, причем АМ:МВ = CN:NB = 3:1. Точки P и Q – середины рёбер DA и DC соответственно.
    а) Докажите, что точки P,Q,M и N лежат в одной плоскости;
    б) Найдите, в каком отношении эта плоскость делит объем пирамиды.
15. Решите неравенство
16. Точка Е – середина боковой стороны CD трапеции ABCD. На её стороне АВ взяли точку К так, что прямые СК и АЕ параллельны. Отрезки СК и ВЕ пересекаются в точке О.
    а) Докажите, что СО=КО.
    б) Найдите отношение оснований трапеции BС: АD, если площадь треугольника ВСК составляет 9/64 площади всей трапеции ABCD.
17. В июле планируется взять кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
    ‐ каждый январь долг возрастает на r% по сравнению с концом предыдущего года;
    ‐ с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать часть долга.
    Найдите r, если известно, что если выплачивать по 777600 рублей, то кредит будет погашен за 4 года, а если ежегодно выплачивать по 1317600 рублей, то кредит будет полностью погашен за 2 года?
18. Найдите все значения параметра , при каждом из которых уравнение имеет ровно один корень на отрезке .
19. Каждый из 32 студентов или писал одну из двух контрольных работ, или писал обе контрольные работы. За каждую работу можно было получить целое число баллов от 0 до 20 включительно. По каждой из двух контрольных работ в отдельности средний балл составил 14. Затем каждый студент назвал наивысший из своих баллов (если студент писал одну работу, то он назвал балл за нее). Среднее арифметическое названных баллов оказалось равно S.
    а) Приведите пример, когда S<14
    б) Могло ли значение S быть равным 17?
    в) Какое наименьшее значение могло принимать S, если обе контрольные работы писали 12 студентов?

Среднее общее образование

Линия УМК Г. К. Муравина. Алгебра и начала математического анализа (10-11) (углуб.)

Линия УМК Мерзляка. Алгебра и начала анализа (10-11) (У)

Математика

Подготовка к ЕГЭ по математике (профильный уровень): задания, решения и объяснения

Разбираем задания и решаем примеры с учителем

Экзаменационная работа профильного уровня длится 3 часа 55 минут (235 минут).

Минимальный порог - 27 баллов.

Экзаменационная работа состоит из двух частей, которые различаются по содержанию, сложности и числу заданий.

Определяющим признаком каждой части работы является форма заданий:

• часть 1 содержит 8 заданий (задания 1-8) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби;
• часть 2 содержит 4 задания (задания 9-12) с кратким ответом в виде целого числа или конечной десятичной дроби и 7 заданий (задания 13–19) с развернутым ответом (полная запись решения с обоснованием выполненных действий).

Панова Светлана Анатольевна , учитель математики высшей категории школы, стаж работы 20 лет:

«Для того чтобы получить школьный аттестат, выпускнику необходимо сдать два обязательных экзамена в форме ЕГЭ, один из которых математика. В соответствии с Концепцией развития математического образования в Российской Федерации ЕГЭ по математике разделен на два уровня: базовый и профильный. Сегодня мы рассмотрим варианты профильного уровня».

Задание № 1 - проверяет у участников ЕГЭ умение применять навыки, полученные в курсе 5 - 9 классов по элементарной математике, в практической деятельности. Участник должен владеть вычислительными навыками, уметь работать с рациональными числами, уметь округлять десятичные дроби, уметь переводить одни единицы измерения в другие.

Пример 1. В квартире, где проживает Петр, установили прибор учета расхода холодной воды (счетчик). Первого мая счетчик показывал расход 172 куб. м воды, а первого июня - 177 куб. м. Какую сумму должен заплатить Петр за холодную воду за май, если цена 1 куб. м холодной воды составляет 34 руб 17 коп? Ответ дайте в рублях.

Решение:

1) Найдем количество потраченной воды за месяц:

177 - 172 = 5 (куб м)

2) Найдем сколько денег заплатят за потраченную воду:

34,17 · 5 = 170,85 (руб)

Ответ: 170,85.

Задание № 2 -является одним из простейших заданий экзамена. С ней успешно справляется большинство выпускников, что свидетельствует о владении определением понятия функции. Тип задания № 2 по кодификатору требований - это задание на использования приобретённых знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни. Задание № 2 состоит из описания с помощью функций различных реальных зависимостей между величинами и интерпретация их графиков. Задание № 2 проверяет умение извлекать информацию, представленную в таблицах, на диаграммах, графиках. Выпускникам нужно уметь определять значение функции по значению аргумента при различных способах задания функции и описывать поведение и свойства функции по её графику. Также необходимо уметь находить по графику функции наибольшее или наименьшее значение и строить графики изученных функций. Допускаемые ошибки носят случайный характер в чтении условия задачи, чтении диаграммы.

#ADVERTISING_INSERT#

Пример 2. На рисунке показано изменение биржевой стоимости одной акции добывающей компании в первой половине апреля 2017 года. 7 апреля бизнесмен приобрёл 1000 акций этой компании. 10 апреля он продал три четверти купленных акций, а 13 апреля продал все оставшиеся. Сколько потерял бизнесмен в результате этих операций?

Решение:

2) 1000 · 3/4 = 750 (акций) - составляют 3/4 от всех купленных акций.

6) 247500 + 77500 = 325000 (руб) - бизнесмен получил после продажи 1000 акций.

7) 340000 – 325000 = 15000 (руб) - потерял бизнесмен в результате всех операций.

Ответ: 15000.

Задание № 3 - является заданием базового уровня первой части, проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами по содержанию курса «Планиметрия». В задании 3 проверяется умение вычислять площадь фигуры на клетчатой бумаге, умение вычислять градусные меры углов, вычислять периметры и т.п.

Пример 3. Найдите площадь прямоугольника, изображенного на клетчатой бумаге с размером клетки 1 см на 1 см (см. рис.). Ответ дайте в квадратных сантиметрах.

Решение: Для вычисления площади данной фигуры можно воспользоваться формулой Пика:

Для вычисления площади данного прямоугольника воспользуемся формулой Пика:

S = В +	Г
	2

где В = 10, Г = 6, поэтому

S = 18 +	6
	2

Ответ: 20.

Читайте также: ЕГЭ по физике: решение задач о колебаниях

Задание № 4 - задача курса «Теория вероятностей и статистика». Проверяется умение вычислять вероятность события в простейшей ситуации.

Пример 4. На окружности отмечены 5 красных и 1 синяя точка. Определите, каких многоугольников больше: тех, у которых все вершины красные, или тех, у которых одна из вершин синяя. В ответе укажите, на сколько одних больше, чем других.

Решение: 1) Воспользуемся формулой числа сочетаний из n элементов по k :

у которых все вершины красные.

3) Один пятиугольник, у которого все вершины красные.

4) 10 + 5 + 1 = 16 многоугольников, у которых все вершины красные.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

у которых вершины красные или с одной синей вершиной.

8) Один шестиуголник, у которого вершины красные с одной синей вершиной.

9) 20 + 15 + 6 + 1 = 42 многоуголника, у которых все вершины красные или с одной синей вершиной.

10) 42 – 16 = 26 многоугольников, в которых используется синяя точка.

11) 26 – 16 = 10 многоугольников – на сколько многоугольников, у которых одна из вершин - синяя точка, больше, чем многоугольников, у которых все вершины только красные.

Ответ: 10.

Задание № 5 - базового уровня первой части проверяет умения решать простейшие уравнения (иррациональные, показательные, тригонометрические, логарифмические).

Пример 5. Решите уравнение 2 3 + x = 0,4 · 5 3 + x .

Решение. Разделим обе части данного уравнения на 5 3 + х ≠ 0, получим

2 3 + x	= 0,4 или		2		3 + х	=	2	,
5 3 + х			5				5

откуда следует, что 3 + x = 1, x = –2.

Ответ: –2.

Задание № 6 по планиметрии на нахождение геометрических величин (длин, углов, площадей), моделирование реальных ситуаций на языке геометрии. Исследование построенных моделей с использованием геометрических понятий и теорем. Источником трудностей является, как правило, незнание или неверное применение необходимых теорем планиметрии.

Площадь треугольника ABC равна 129. DE – средняя линия, параллельная стороне AB . Найдите площадь трапеции ABED .

Решение. Треугольник CDE подобен треугольнику CAB по двум углам, так как угол при вершине C общий, угол СDE равен углу CAB как соответственные углы при DE || AB секущей AC . Так как DE – средняя линия треугольника по условию, то по свойству средней линии | DE = (1/2)AB . Значит, коэффициент подобия равен 0,5. Площади подобных фигур относятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому

Следовательно, S ABED = S ΔABC – S ΔCDE = 129 – 32,25 = 96,75.

Задание № 7 - проверяет применение производной к исследованию функции. Для успешного выполнения необходимо содержательное, не формальное владение понятием производной.

Пример 7. К графику функции y = f (x ) в точке с абсциссой x 0 проведена касательная, которая перпендикулярна прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1) этого графика. Найдите f ′(x 0).

Решение. 1) Воспользуемся уравнением прямой, проходящей через две заданные точки и найдём уравнение прямой, проходящей через точки (4; 3) и (3; –1).

(y – y 1)(x 2 – x 1) = (x – x 1)(y 2 – y 1)

(y – 3)(3 – 4) = (x – 4)(–1 – 3)

(y – 3)(–1) = (x – 4)(–4)

–y + 3 = –4x + 16| · (–1)

y – 3 = 4x – 16

y = 4x – 13, где k 1 = 4.

2) Найдём угловой коэффициент касательной k 2 , которая перпендикулярна прямой y = 4x – 13, где k 1 = 4, по формуле:

3) Угловой коэффициент касательной – производная функции в точке касания. Значит, f ′(x 0) = k 2 = –0,25.

Ответ: –0,25.

Задание № 8 - проверяет у участников экзамена знания по элементарной стереометрии, умение применять формулы нахождения площадей поверхностей и объемов фигур, двугранных углов, сравнивать объемы подобных фигур, уметь выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами и т.п.

Объём куба, описанного около сферы, равен 216. Найдите радиус сферы.

Решение. 1) V куба = a 3 (где а – длина ребра куба), поэтому

а 3 = 216

а = 3 √216

2) Так как сфера вписана в куб, значит, длина диаметра сферы равна длине ребра куба, поэтому d = a , d = 6, d = 2R , R = 6: 2 = 3.

Задание № 9 - требует от выпускника навыков преобразования и упрощения алгебраических выражений. Задание № 9 повышенного уровня сложности с кратким ответом. Задания из раздела «Вычисления и преобразования» в ЕГЭ подразделяются на несколько видов:

преобразования числовых рациональных выражений;

преобразования алгебраических выражений и дробей;

преобразования числовых/буквенных иррациональных выражений;

действия со степенями;

преобразование логарифмических выражений;

1. преобразования числовых/буквенных тригонометрических выражений.

Пример 9. Вычислите tgα, если известно, что cos2α = 0,6 и

3π	< α < π.
4

Решение. 1) Воспользуемся формулой двойного аргумента: cos2α = 2 cos 2 α – 1 и найдём

tg 2 α =	1	– 1 =	1	– 1 =	10	– 1 =	5	– 1 = 1	1	– 1 =	1	= 0,25.
	cos 2 α		0,8		8		4		4		4

Значит, tg 2 α = ± 0,5.

3) По условию

3π	< α < π,
4

значит, α – угол II четверти и tgα < 0, поэтому tgα = –0,5.

Ответ: –0,5.

#ADVERTISING_INSERT# Задание № 10 - проверяет у учащихся умение использовать приобретенные раннее знания и умения в практической деятельности и повседневной жизни. Можно сказать, что это задачи по физике, а не по математике, но все необходимые формулы и величины даны в условии. Задачи сводятся к решению линейного или квадратного уравнения, либо линейного или квадратного неравенства. Поэтому необходимо уметь решать такие уравнения и неравенства, и определять ответ. Ответ должен получиться в виде целого числа или конечной десятичной дроби.

Два тела массой m = 2 кг каждое, движутся с одинаковой скоростью v = 10 м/с под углом 2α друг к другу. Энергия (в джоулях), выделяющаяся при их абсолютно неупругом соударении определяется выражением Q = mv 2 sin 2 α. Под каким наименьшим углом 2α (в градусах) должны двигаться тела, чтобы в результате соударения выделилось не менее 50 джоулей?
Решение. Для решения задачи нам необходимо решить неравенство Q ≥ 50, на интервале 2α ∈ (0°; 180°).

mv 2 sin 2 α ≥ 50

2· 10 2 sin 2 α ≥ 50

200 · sin 2 α ≥ 50

Так как α ∈ (0°; 90°), то будем решать только

Изобразим решение неравенства графически:

Так как по условию α ∈ (0°; 90°), значит 30° ≤ α < 90°. Получили, что наименьший угол α равен 30°, тогда наименьший угол 2α = 60°.

Задание № 11 - является типовым, но оказывается непростым для учащихся. Главным источником затруднений является построение математической модели (составление уравнения). Задание № 11 проверяет умение решать текстовые задачи.

Пример 11. На весенних каникулах 11-классник Вася должен был решить 560 тренировочных задач для подготовки к ЕГЭ. 18 марта в последний учебный день Вася решил 5 задач. Далее ежедневно он решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём. Определите, сколько задач Вася решил 2 апреля в последний день каникул.

Решение: Обозначим a 1 = 5 – количество задач, которые Вася решил 18 марта, d – ежедневное количество задач, решаемых Васей, n = 16 – количество дней с 18 марта по 2 апреля включительно, S 16 = 560 – общее количество задач, a 16 – количество задач, которые Вася решил 2 апреля. Зная, что ежедневно Вася решал на одно и то же количество задач больше по сравнению с предыдущим днём, то можно использовать формулы нахождения суммы арифметической прогрессии:

560 = (5 + a 16) · 8,

5 + a 16 = 560: 8,

5 + a 16 = 70,

a 16 = 70 – 5

a 16 = 65.

Ответ: 65.

Задание № 12 - проверяют у учащихся умение выполнять действия с функциями, уметь применять производную к исследованию функции.

Найти точку максимума функции y = 10ln(x + 9) – 10x + 1.

Решение: 1) Найдем область определения функции: x + 9 > 0, x > –9, то есть x ∈ (–9; ∞).

2) Найдем производную функции:

4) Найденная точка принадлежит промежутку (–9; ∞). Определим знаки производной функции и изобразим на рисунке поведение функции:

Искомая точка максимума x = –8.

Скачать бесплатно рабочую программу по математике к линии УМК Г.К. Муравина, К.С. Муравина, О.В. Муравиной 10-11 Скачать бесплатно методические пособия по алгебре

Задание № 13 -повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяющее умение решать уравнения, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

а) Решите уравнение 2log 3 2 (2cosx ) – 5log 3 (2cosx ) + 2 = 0

б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку .

Решение: а) Пусть log 3 (2cosx ) = t , тогда 2t 2 – 5t + 2 = 0,

	log 3 (2cosx ) =	2	⇔		2cosx = 9	⇔		cosx =	4,5	⇔ т.к. |cosx | ≤ 1,
	log 3 (2cosx ) =	1			2cosx = √3			cosx =	√3
		2							2

то cosx =	√3
	2

	x =	π	+ 2πk
		6
	x = –	π	+ 2πk , k ∈ Z
		6

б) Найдём корни, лежащие на отрезке .

Из рисунка видно, что заданному отрезку принадлежат корни

11π	и	13π	.
6		6

Ответ: а)	π	+ 2πk ; –	π	+ 2πk , k ∈ Z ; б)	11π	;	13π	.
	6		6		6		6

Задание № 14 -повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

Диаметр окружности основания цилиндра равен 20, образующая цилиндра равна 28. Плоскость пересекает его основания по хордам длины 12 и 16. Расстояние между хордами равно 2√197.

а) Докажите, что центры оснований цилиндра лежат по одну сторону от этой плоскости.

б) Найдите угол между этой плоскостью и плоскостью основания цилиндра.

Решение: а) Хорда длиной 12 находится на расстоянии = 8 от центра окружности основания, а хорда длиной 16, аналогично, – на расстоянии 6. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 8 + 6 = 14, либо 8 − 6 = 2.

Тогда расстояние между хордами составляет либо

= = √980 = = 2√245

= = √788 = = 2√197.

По условию реализовался второй случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее. Что требовалось доказать.

б) Обозначим центры оснований за О 1 и О 2 . Проведем из центра основания с хордой длины 12 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 8, как уже отмечалось) и из центра другого основания - к другой хорде. Они лежат в одной плоскости β, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды B, большей A и проекцию A на второе основание - H (H ∈ β). Тогда AB,AH ∈ β и значит, AB,AH перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен

∠ABH = arctg	AH	= arctg	28	= arctg14.
	BH		8 – 6

Задание № 15 - повышенного уровня сложности с развернутым ответом, проверяет умение решать неравенства, наиболее успешно решаемое среди заданий с развернутым ответом повышенного уровня сложности.

Пример 15. Решите неравенство |x 2 – 3x | · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 .

Решение: Областью определения данного неравенства является интервал (–1; +∞). Рассмотри отдельно три случая:

1) Пусть x 2 – 3x = 0, т.е. х = 0 или х = 3. В этом случае данное неравенство превращается в верное, следовательно, эти значения входят в решение.

2) Пусть теперь x 2 – 3x > 0, т.е. x ∈ (–1; 0) ∪ (3; +∞). При этом данное неравенство можно переписать в виде (x 2 – 3x ) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 и разделить на положительное выражение x 2 – 3x . Получим log 2 (x + 1) ≤ –1, x + 1 ≤ 2 –1 , x ≤ 0,5 –1 или x ≤ –0,5. Учитывая область определения, имеем x ∈ (–1; –0,5].

3) Наконец, рассмотрим x 2 – 3x < 0, при этом x ∈ (0; 3). При этом исходное неравенство перепишется в виде (3x – x 2) · log 2 (x + 1) ≤ 3x – x 2 . После деления на положительное выражение 3x – x 2 , получим log 2 (x + 1) ≤ 1, x + 1 ≤ 2, x ≤ 1. Учитывая область, имеем x ∈ (0; 1].

Объединяя полученные решения, получаем x ∈ (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Ответ: (–1; –0.5] ∪ ∪ {3}.

Задание № 16 - повышенного уровня относится к заданиям второй части с развернутым ответом. Задание проверяет умения выполнять действия с геометрическими фигурами, координатами и векторами. Задание содержит два пункта. В первом пункте задание нужно доказать, а во втором пункте вычислить.

В равнобедренном треугольнике ABC с углом 120° при вершине A проведена биссектриса BD. В треугольник ABC вписан прямоугольник DEFH так, что сторона FH лежит на отрезке BC, а вершина E – на отрезке AB. а) Докажите, что FH = 2DH. б) Найдите площадь прямоугольника DEFH, если AB = 4.

Решение: а)

1) ΔBEF – прямоугольный, EF⊥BC, ∠B = (180° – 120°) : 2 = 30°, тогда EF = BE по свойству катета, лежащего против угла 30°.

2) Пусть EF = DH = x , тогда BE = 2x , BF = x √3 по теореме Пифагора.

3) Так как ΔABC равнобедренный, значит, ∠B = ∠C = 30˚.

BD – биссектриса ∠B, значит ∠ABD = ∠DBC = 15˚.

4) Рассмотрим ΔDBH – прямоугольный, т.к. DH⊥BC.

2x	=	4 – 2x
2x (√3 + 1)		4

1	=	2 – x
√3 + 1		2

√3 – 1 = 2 – x

x = 3 – √3

EF = 3 – √3

2) S DEFH = ED · EF = (3 – √3 ) · 2(3 – √3 )

S DEFH = 24 – 12√3.

Ответ: 24 – 12√3.

Задание № 17 - задание с развернутым ответом, это задание проверяет применение знаний и умений в практической деятельности и повседневной жизни, умение строить и исследовать математические модели. Это задание - текстовая задача с экономическим содержанием.

Пример 17. Вклад в размере 20 млн рублей планируется открыть на четыре года. В конце каждого года банк увеличивает вклад на 10% по сравнению с его размером в начале года. Кроме того, в начале третьего и четвёртого годов вкладчик ежегодно пополняет вклад на х млн. рублей, где х - целое число. Найдите наибольшее значение х , при котором банк за четыре года начислит на вклад меньше 17 млн рублей.

Решение: В конце первого года вклад составит 20 + 20 · 0,1 = 22 млн рублей, а в конце второго – 22 + 22 · 0,1 = 24,2 млн рублей. В начале третьего года вклад (в млн рублей) составит (24,2 + х ), а в конце - (24,2 + х) + (24,2 + х) · 0,1 = (26,62 + 1,1х ). В начале четвёртого года вклад составит (26,62 + 2,1х) , а в конце - (26,62 + 2,1х ) + (26,62 + 2,1х ) · 0,1 = (29,282 + 2,31х ). По условию, нужно найти наибольшее целое х, для которого выполнено неравенство

(29,282 + 2,31x ) – 20 – 2x < 17

29,282 + 2,31x – 20 – 2x < 17

0,31x < 17 + 20 – 29,282

0,31x < 7,718

x <	7718
	310

x <	3859
	155

x < 24	139
	155

Наибольшее целое решение этого неравенства - число 24.

Ответ: 24.

Задание № 18 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 18 необходим, кроме прочных математических знаний, также высокий уровень математической культуры.

При каких a система неравенств

	x 2 + y 2 ≤ 2ay – a 2 + 1
	y + a ≤ |x | – a

имеет ровно два решения?

Решение: Данную систему можно переписать в виде

	x 2 + (y – a ) 2 ≤ 1
	y ≤ |x | – a

Если нарисовать на плоскости множество решений первого неравенства, получится внутренность круга (с границей) радиуса 1 с центром в точке (0, а ). Множество решений второго неравенства – часть плоскости, лежащая под графиком функции y = | x | – a , причём последний есть график функции
y = | x | , сдвинутый вниз на а . Решение данной системы есть пересечение множеств решений каждого из неравенств.

Следовательно, два решения данная система будет иметь лишь в случае, изображённом на рис. 1.

Точки касания круга с прямыми и будут двумя решениями системы. Каждая из прямых наклонена к осям под углом 45°. Значит, треугольник PQR – прямоугольный равнобедренный. Точка Q имеет координаты (0, а ), а точка R – координаты (0, –а ). Кроме того, отрезки PR и PQ равны радиусу окружности, равному 1. Значит,

Qr = 2a = √2, a =	√2	.
	2

Ответ: a =	√2	.
	2

Задание № 19 - задание повышенного уровня сложности с развернутым ответом. Это задание предназначено для конкурсного отбора в вузы с повышенными требованиями к математической подготовке абитуриентов. Задание высокого уровня сложности - это задание не на применение одного метода решения, а на комбинацию различных методов. Для успешного выполнения задания 19 необходимо уметь осуществлять поиск решения, выбирая различные подходы из числа известных, модифицируя изученные методы.

Пусть Sn сумма п членов арифметической прогрессии (а п ). Известно, что S n + 1 = 2n 2 – 21n – 23.

а) Укажите формулу п -го члена этой прогрессии.

б) Найдите наименьшую по модулю сумму S n .

в) Найдите наименьшее п , при котором S n будет квадратом целого числа.

Решение : а) Очевидно, что a n = S n – S n – 1 . Используя данную формулу, получаем:

S n = S (n – 1) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 1) – 23 = 2n 2 – 25n ,

S n – 1 = S (n – 2) + 1 = 2(n – 1) 2 – 21(n – 2) – 23 = 2n 2 – 25n + 27

значит, a n = 2n 2 – 25n – (2n 2 – 29n + 27) = 4n – 27.

Б) Так как S n = 2n 2 – 25n , то рассмотрим функцию S (x ) = | 2x 2 – 25x| . Ее график можно увидеть на рисунке.

Очевидно, что наименьшее значение достигается в целочисленных точках, расположенных наиболее близко к нулям функции. Очевидно, что это точки х = 1, х = 12 и х = 13. Поскольку, S (1) = |S 1 | = |2 – 25| = 23, S (12) = |S 12 | = |2 · 144 – 25 · 12| = 12, S (13) = |S 13 | = |2 · 169 – 25 · 13| = 13, то наименьшее значение равно 12.

в) Из предыдущего пункта вытекает, что Sn положительно, начиная с n = 13. Так как S n = 2n 2 – 25n = n (2n – 25), то очевидный случай, когда данное выражение является полным квадратом, реализуется при n = 2n – 25, то есть при п = 25.

Осталось проверить значения с 13 до 25:

S 13 = 13 · 1, S 14 = 14 · 3, S 15 = 15 · 5, S 16 = 16 · 7, S 17 = 17 · 9, S 18 = 18 · 11, S 19 = 19 · 13, S 20 = 20 · 13, S 21 = 21 · 17, S 22 = 22 · 19, S 23 = 23 · 21, S 24 = 24 · 23.

Получается, что при меньших значениях п полный квадрат не достигается.

Ответ: а) a n = 4n – 27; б) 12; в) 25.

________________

*С мая 2017 года объединенная издательская группа «ДРОФА-ВЕНТАНА» входит в корпорацию «Российский учебник». В корпорацию также вошли издательство «Астрель» и цифровая образовательная платформа «LECTA». Генеральным директором назначен Александр Брычкин, выпускник Финансовой академии при Правительстве РФ, кандидат экономических наук, руководитель инновационных проектов издательства «ДРОФА» в сфере цифрового образования (электронные формы учебников, «Российская электронная школа», цифровая образовательная платформа LECTA). До прихода в издательство «ДРОФА» занимал позицию вице-президента по стратегическому развитию и инвестициям издательского холдинга «ЭКСМО-АСТ». Сегодня издательская корпорация «Российский учебник» обладает самым крупным портфелем учебников, включенных в Федеральный перечень - 485 наименований (примерно 40%, без учета учебников для коррекционной школы). Издательствам корпорации принадлежат наиболее востребованные российскими школами комплекты учебников по физике, черчению, биологии, химии, технологии, географии, астрономии - областям знаний, которые нужны для развития производственного потенциала страны. В портфель корпорации входят учебники и учебные пособия для начальной школы, удостоенные Премии Президента в области образования. Это учебники и пособия по предметным областям, которые необходимы для развития научно-технического и производственного потенциала России.

Задание 1

Если \(74\) человека составляют \(40\%\) , то \(74:2=37\) человек составляют \(20\%\) . Следовательно, \(100\%\) составляют \(37\cdot 5=185\) человек.

Ответ: 185

Задание 2

На графике показана зависимость температуры воды, выраженная в градусах Цельсия, от времени, отсчитываемого с начала ее нагревания. На оси абсцисс откладывается время в минутах, на оси ординат – температура. Определите по графику, на сколько градусов изменилась температура воды с \(3\) минут до \(8\) минут. Ответ дайте в градусах Цельсия.

По графику видно, что спустя \(3\) минуты после начала нагрева температура воды была равна \(40^\circ C\) , спустя \(8\) минут температура была равна \(90^\circ C\) , следовательно, с \(3\) по \(8\) минуту температура изменилась на \(90-40=50^\circ C\) .

Ответ: 50

Задание 3

На клетчатой бумаге изображен треугольник \(ABC\) . Найдите среднюю линию этого треугольника, параллельную стороне \(AB\) .

Так как средняя линия треугольника равна половине стороны, которой она параллельна, то средняя линия, параллельная \(AB\) , будет равна \(0,5 AB\) . Так как \(AB=5\) , то средняя линия равна \(2,5\) .

Ответ: 2,5

Задание 4

На олимпиаду по математике пришло \(500\) школьников. Их разместили в четырех аудиториях: в трех аудиториях по \(150\) человек, в четвертой – \(50\) человек. Найдите вероятность того, что случайно выбранный школьник будет писать олимпиаду в маленькой аудитории.

Будем искать вероятность как отношение количества подходящих исходов к количеству всех исходов. Так как в маленькой аудитории \(50\) мест, то количество подходящих мест – \(50\) . Всего мест \(500\) . Следовательно, вероятность равна \[\dfrac{50}{500}=0,1.\]

Ответ: 0,1

Задание 5

Задание 6

Дан параллелограмм со сторонами \(21\) и \(28\) . К меньшей стороне проведена высота, длина которой равна \(20\) . Найдите длину высоты, проведенной к большей стороне.

Рассмотрим рисунок. Так как площадь параллелограмма равна произведению стороны на высоту, проведенную к этой стороне, то площадь данного параллелограмма равна \(21\cdot 20\) или \(28\cdot h\) . Следовательно, \

Ответ: 15

Задание 7

На рисунке изображен график производной функции \(y = f(x)\) . На оси абсцисс отмечены семь точек: \(x_1\) , \(x_2\) , \(x_3\) , \(x_4\) , \(x_5\) , \(x_6\) , \(x_7\) . В скольких из этих точек функция \(f(x)\) возрастает?

Функция возрастает в тех точках, в которых значение ее производной положительно. Следовательно, так как на рисунке изображен график производной, нам подходят те точки, в которых график производной находится ВЫШЕ оси абсцисс. Это точки \(x_3, x_4, x_5, x_6, x_7\) . Всего таких точек 5.

Ответ: 5

Задание 8

В сосуд цилиндрической формы налили воду до уровня \(32\) см. Какого уровня достигнет вода, если ее перелить в другой сосуд цилиндрической формы, радиус основания которого в 4 раза больше радиуса основания первого сосуда? Ответ дайте в см.

Пусть радиус основания первого сосуда равен \(R_1\) , а радиус основания второго равен \(R_2\) . Тогда \(R_2=4R_1\) . Заметим, что при переливании воды из одного сосуда в другой объем воды остается постоянным. Когда вода находилась в первом сосуде, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(32\) и радиусом основания \(R_1\) : \(V=\pi R_1^2\cdot 32\) . Когда ее перелили во второй сосуд, то ее объем равен объему цилиндра с высотой \(h\) (эту величину нужно найти) и радиусом основания \(R_2\) , то есть \(V=\pi R_2^2\cdot h\) . Но тогда: \[\pi R_1^2\cdot 32=\pi R_2^2\cdot h \quad\Rightarrow\quad h=\left(\dfrac{R_1}{R_2}\right)^2\cdot 32=\left(\dfrac14\right)^2\cdot 32=2.\]

Ответ: 2

Задание 9

Найдите значение выражения \

Перепишем выражение в виде \ По формуле косинуса двойного угла \(2\cos^2x-1=\cos 2x\) выражение перепишется как \

Ответ: -3

Задание 10

При сближении источника и приемника звуковых сигналов, движущихся в некоторой среде по прямой навстречу друг другу, частота звукового сигнала, регистрируемого приемником, не совпадает с частотой исходного сигнала \(f_0=140\) Гц и определяется следующим выражением: \ где \(c\) – скорость распространение сигнала в среде (в м/с), а \(u=15\) м/с и \(v=14\) м/с – скорости приемника и источника относительно среды соответственно. При какой максимальной скорости \(c\) (в м/с) распространения сигнала в среде частота сигнала в приемнике \(f\) будет не менее \(145\) Гц?

Так как нужно найти такое \(c\) , при котором \(f\geqslant 145\) , то нужно решить неравенство \ Решая данное неравенство методом интервалов, получим \(c\in \) . Следовательно, при таких значениях \(c\) значение \(f\) будет не менее \(145\) . Тогда наибольшее значение \(c\) – это \(826\) .

Ответ: 826

Задание 11

Теплоход, скорость которого в стоячей воде равна \(27\) км/ч, движется по течению из пункта А в пункт Б. По приезде в пункт Б теплоход сделал стоянку длительностью \(5\) часов, затем отправился обратно в пункт А. Известно, что теплоход вернулся в пункт А через \(32\) часа после отплытия из А. Сколько километров прошел теплоход, если скорость течения реки равна \(1\) км/ч?

Пусть расстояние между пунктами А и Б равно \(S\) . Тогда на дорогу из А в Б теплоход потратил \[\dfrac{S}{27+1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Далее он сделал в пункте Б остановку длительностью 5 часов, и на дорогу из Б в А он потратил \[\dfrac{S}{27-1}\quad {\small{\text{часов}}}\] Всего он затратил 32 часа, следовательно, \[\dfrac S{27+1}+5+\dfrac S{27-1}=32 \quad\Rightarrow\quad 54S=26\cdot 27\cdot 28\quad\Rightarrow\quad S=13\cdot 28\] Тогда всего теплоход прошел \(2S\) километров, или \

Ответ: 728

Задание 12

Найдите точку минимума функции \

ОДЗ функции: \((x+10)^7> 0 \quad\Leftrightarrow\quad x>-10.\)

Точки минимума функции – это точки, в которых производная меняет свой знак с “\(-\) ” на “\(+\) ” (если смотреть слева направо). Найдем производную, ее нули и точки, где она не существует, и вычислим знаки на получившихся промежутках. \ Нули производной: \ Знаки производной на ОДЗ:

Следовательно, \(x=-9\) – точка минимума.

Ответ: -9

Задание 13

а) Решите уравнение \[\log_4(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x)=x\]

б) Укажите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку \(\left[-\dfrac{\pi}2;\dfrac{3\pi}2\right].\)

а) ОДЗ уравнения: \(2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x>0\) . Решим уравнение на ОДЗ. Его можно преобразовать: \[\begin{aligned} &2^{2x}-\sqrt3\cos x-\sin2x=4^x \ (*)\quad\Rightarrow\quad -\sqrt3\cos x-\sin2x=0 \quad\Rightarrow\\ &\Rightarrow\quad 2\sin x\cos x+\sqrt3\cos x=0\quad\Rightarrow\quad \cos x(2\sin x+\sqrt3)=0\end{aligned}\] Решениями данного уравнения будут \(\cos x=0\) и \(\sin x=-\dfrac{\sqrt3}2\) : \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &x=\dfrac{\pi}2+\pi n, n\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{\pi}3+2\pi m, m\in\mathbb{Z}\\ &x=-\dfrac{2\pi}3+2\pi k, k\in\mathbb{Z} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Проверим, подходят ли эти корни под ОДЗ. Так как эти корни получились из уравнения \((*)\) , а \(4^x>0\) при всех \(x\) , то при подстановке данных корней в уравнение левая часть \((*)\) также будет всегда \(>0\) . А это и есть ОДЗ. Следовательно, все корни удовлетворяют ОДЗ.

б) Отберем корни. \[\begin{aligned} &-\dfrac{\pi}2\leqslant \dfrac{\pi}2+\pi n\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -1\leqslant n\leqslant 1\quad\Rightarrow \quad n=-1; 0; 1\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}2; \dfrac{\pi}2; \dfrac{3\pi}2\\ & -\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{\pi}3+2\pi m\leqslant \dfrac{3\pi}2 \quad\Leftrightarrow\quad -\dfrac1{12}\leqslant m\leqslant \dfrac{11}{12}\quad\Rightarrow\quad m=0\quad\Rightarrow\quad x=-\dfrac{\pi}3\\ &-\dfrac{\pi}2\leqslant -\dfrac{2\pi}3+2\pi k\leqslant \dfrac{3\pi}2\quad\Leftrightarrow\quad \dfrac1{12}\leqslant k\leqslant \dfrac{13}{12}\quad\Rightarrow\quad k=1\quad\Rightarrow\quad x=\dfrac{4\pi}3 \end{aligned}\]

Ответ:

а) \(x=\dfrac{\pi}2+\pi n, -\dfrac{\pi}3+2\pi m, -\dfrac{2\pi}3+2\pi k, n,m,k\in\mathbb{Z}\)

б) \(-\dfrac{\pi}2; -\dfrac{\pi}3; \dfrac{\pi}2; \dfrac{4\pi}3; \dfrac{3\pi}2\)

Задание 14

Основанием четырехугольной пирамиды \(SABCD\) является прямоугольник \(ABCD\) , причем \(AB=3\sqrt2\) , \(BC=6\) . Основанием высоты пирамиды является центр прямоугольника. Из вершин \(A\) и \(C\) опущены перпендикуляры \(AP\) и \(CQ\) на ребро \(SB\) .

а) Докажите, что \(P\) – середина отрезка \(BQ\) .

б) Найдите угол между гранями \(SBA\) и \(SBC\) , если \(SD=9\) .

а) Пусть \(O\) – точка пересечения диагоналей прямоугольника \(ABCD\) . Тогда \(SO\) – высота пирамиды. Так как диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам, то \(AO=BO=CO=DO\) . Следовательно, \(\triangle AOS=\triangle BOS=\triangle COS=\triangle DOS\) , откуда \(AS=BS=CS=DS\) . Обозначим \(AS=x\) .
Рассмотрим грань \(ASB\) . Проведем \(SK\perp AB\) . Тогда \(KB=0,5 AB=1,5\sqrt2\) . Тогда \[\dfrac{KB}{SB}=\cos \angle SBA=\dfrac{BP}{BA} \quad\Rightarrow\quad BP=\dfrac 9x\] Рассмотрим грань \(CSB\) . Проведем \(SH\perp CB\) . Тогда \(HB=0,5 CB=3\) . Тогда \[\dfrac{HB}{SB}=\cos \angle SBC=\dfrac{BQ}{BC} \quad\Rightarrow\quad BQ=\dfrac {18}x\] Следовательно, \ Чтд.

б) По условию \(x=9\) . Заметим, что в грани \(CSB\) \(PH\parallel CQ\) (так как \(PH\) – средняя линия в \(\triangle CQB\) ) Следовательно, \(PH\perp SB\) . Следовательно, по определению, \(\angle APH\) – линейный угол двугранного угла между гранями \(SBC\) и \(SBA\) . Найдем его по теореме косинусов из \(\triangle APH\) .

\(BP=\frac9{x}=1\) . Следовательно, по теореме Пифагора из \(\triangle ABP\) : \(AP^2=18-1=17\) .
По теореме Пифагора из \(\triangle HBP\) : \(HP^2=9-1=8\) .
По теореме Пифагора из \(\triangle ABH\) : \(AH^2=18+9=27\) .
Следовательно, по теореме косинусов из \(\triangle APH\) : \[\cos \angle APH=\dfrac{AP^2+HP^2-AH^2}{2\cdot AP\cdot HP}= -\dfrac1{2\sqrt{34}}\] Следовательно, угол между гранями \(SAB\) и \(SCB\) равен \[\angle APH=\arccos\left(-\dfrac1{2\sqrt{34}}\right)\]

Ответ:

б) \(\arccos\left(-\frac1{2\sqrt{34}}\right)\)

Задание 15

Решите неравенство \[\dfrac{2^x}{2^x-8}+\dfrac{2^x+8}{2^x-4} +\dfrac{66}{4^x-12\cdot 2^x+32}\leqslant 0\]

Сделаем замену \(2^x=t\) , тогда неравенство примет вид \[\begin{aligned} &\dfrac{t}{t-8}+\dfrac{t+8}{t-4}+\dfrac{66}{t^2-12t+32}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{t(t-4)+(t^2-8^2)+66}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\\ &\Leftrightarrow\quad \dfrac{2t^2-4t+2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \quad\Leftrightarrow\quad \dfrac{2(t-1)^2}{(t-8)(t-4)}\leqslant 0 \end{aligned}\] Решим данное неравенство методом интервалов:

Тогда решением будут \[\left[\begin{gathered}\begin{aligned} &t=1\\ &4 Тогда ответ: \

Ответ:

\(\{0\}\cup(2;3)\)

Задание 16

Точка \(E\) – середина боковой стороны \(CD\) трапеции \(ABCD\) . На ее стороне \(AB\) взята точка \(K\) так, что прямые \(CK\) и \(AE\) параллельны. Отрезки \(CK\) и \(BE\) пересекаются в точке \(O\) .

а) Докажите, что \(CO=OK\) .

б) Найдите отношение оснований трапеции \(BC:AD\) , если площадь треугольника \(BCK\) составляет \(\dfrac9{64}\) площади всей трапеции \(ABCD\) .

а) Продлим \(AE\) и \(BC\) до пересечения в точке \(P\) :

Тогда \(\angle AED=\angle CEP\) как вертикальные, \(\angle ADE=\angle PCE\) как накрест лежащие при \(AD\parallel BP\) и \(CD\) секущей. Следовательно, по стороне и двум прилежащим углам \(\triangle AED=\triangle CEP\) . Тогда \(AD=CP\) , \(AE=EP\) .
Так как \(CK\parallel AP\) , то \(\triangle BKO\sim \triangle ABE\) и \(CBO\sim \triangle PBE\) , следовательно, \[\dfrac{KO}{AE}=\dfrac{BO}{BE}=\dfrac{OC}{EP} \quad\Rightarrow\quad \dfrac{KO}{OC}=\dfrac{AE}{EP}=1\] Таким образом, \(KO=OC\) , чтд.

б) Так как \(\triangle AED=\triangle CEP\) , то \(S_{ABCD}=S_{ABP}\) . Таким образом, \ Так как \(\triangle BCK\sim \triangle ABP\) , то их площади относятся как квадрат коэффициента подобия, следовательно, \ Следовательно, \(BC:BP=3:8\) , а значит \(BC:AD=BC:CP=3:5\) .

Ответ:

б) \(3:5\)

Задание 17

В июле 2020 года планируется брать кредит в банке на некоторую сумму. Условия его возврата таковы:
- каждый январь долг возрастает на \(30\%\) по сравнению с концом предыдущего года;
- с февраля по июнь каждого года необходимо выплачивать одним платежом часть долга.
Сколько рублей было взято в банке, если известно, что кредит был полностью погашен тремя равными платежами (то есть за 3 года) и сумма платежей превосходит взятую в банке сумму на \(156\,060\) рублей?

Пусть \(A\) рублей – сумма, взятая в кредит. Заметим, что кредит будет выплачиваться аннуитетными платежами. Обозначим за \(t=1,3\) и составим таблицу: \[\begin{array}{|l|l|l|c|} \hline \text{Номер года} & \text{Долг до начисления }\% & \text{Долг после начисления }\% & \text{Платеж}\\ \hline 1 & A & tA & x\\ \hline 2 & tA-x & t(tA-x) &x\\ \hline 3 & t(tA-x)-x& t(t(tA-x)-x) &x\\ \hline \end{array}\] Тогда после последнего платежа долг будет равен \ По условию \(3x-A=156\,060\) , следовательно, \[\dfrac{3At^3}{t^2+t+1}-A=156\,060 \quad\Rightarrow\quad 3\cdot 2,197A-3,99A=156060\cdot 3,99 \quad\Rightarrow\quad A=\dfrac{156060\cdot 3990}{2601}=60\cdot 3990=239\,400\] \(x_3\) удовлетворяют \((2)\) . Также заметим, что корень \(x_1\) принадлежит отрезку \(\) .
Рассмотрим три случая:

1) \(a>0\) . Тогда \(x_2>3\) , \(x_3<3\) , следовательно, \(x_2\notin .\) Тогда уравнение будет иметь один корень на \(\) в одном из двух случаях:
- \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) не удовлетворяет \((1)\) , или совпадает с \(x_1\) , или удовлетворяет \((1)\) , но не входит в отрезок \(\) (то есть меньше \(0\) );
- \(x_1\) не удовлетворяет \((2)\) , \(x_3\) удовлетворяет \((1)\) и не равен \(x_1\) .
Заметим, что \(x_3\) не может быть одновременно меньше нуля и удовлетворять \((1)\) (то есть быть больше \(\frac35\) ). Учитывая это замечание, случаи записываются в следующую совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3-a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3-a> Решая данную совокупность и учитывая, что \(a>0\) , получим: \

2) \(a=0\) . Тогда \(x_2=x_3=3\in .\) Заметим, что в этом случае \(x_1\) удовлетворяет \((2)\) и \(x_2=3\) удовлетворяет \((1)\) , то есть уравнение имеет два корня на \(\) . Это значение \(a\) нам не подходит.

3) \(a<0\) . Тогда \(x_2<3\) , \(x_3>3\) и \(x_3\notin \) . Рассуждая аналогично пункту 1), нужно решить совокупность: \[\left[ \begin{gathered}\begin{aligned} &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2>0\\ 3+a\leqslant \dfrac35\end{cases}\\ &\begin{cases} \dfrac9{25}-6\cdot \dfrac35+10-a^2\leqslant 0\\ 3+a> \dfrac35\end{cases} \end{aligned}\end{gathered}\right.\] Решая данную совокупность и учитывая, что \(1, 2, 3, \dots, 99\) . Тогда сумма всех ста чисел – наименьшая возможная сумма в случае, когда среди чисел есть \(230\) . Вычислим ее: \[\dfrac{1+99}2\cdot 99+230=5180>5120\] Получили противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

б) Предположим, что на доске нет числа \(14\) . Снова упорядочим числа по возрастанию и рассмотрим числа: \(1, 2, \dots, 13, 15, \dots, 101\) . Мы взяли наименьшее возможное значение для первого числа, для второго и т.д. Тогда сумма всех этих чисел – наименьшая возможная сумма среди сумм произвольных ста натуральных чисел. Она равна: \[\dfrac{1+101}2\cdot 101-14=5137>5120\] Получили опять же противоречие с условием, следовательно, ответ: нет.

в) Приведем пример, когда среди чисел есть четыре числа, кратные \(14\) (это числа \(14, 28, 42, 56\) ): \ Докажем, что не может быть меньше четырех чисел, кратных \(14\) .
Возьмем набор чисел от \(1\) до \(100\) . Сумма чисел в данном наборе равна \(5050\) . Это минимально возможная сумма ста различных натуральных чисел. Назовем числа, кратные \(14\) , странными. В данном наборе 7 странных чисел. Будем уменьшать количество странных чисел в нашем наборе, сохраняя минимальность суммы чисел в наборе.
Итак, для того, чтобы сумма чисел была минимальна, мы должны убрать самое большое странное число – это \(98\) . Тогда взамен ему придется добавить другое число (не странное!). Самое маленькое такое число – это \(101\) . После этого мы получим минимальную сумму, равную \(5053\) . Она меньше, чем \(5120\) , поэтому будем продолжать дальше.
Поступая аналогично, уберем странные числа \(98, 84, 70\) . Вместо них добавим \(101, 102, 103\) . Получим при этом минимальную сумму, равную \(5104\) . Сделав данную операцию еще раз, то есть убрав \(56\) и добавив \(104\) , получим минимальную сумму \(5152\) , что больше, чем \(5120\) . В силу минимальности суммы чисел в нашем наборе получаем противоречие.