Você quer se sentir como um sapador? Então esta aula é para você! Porque agora vamos estudar frações - elas são tão simples e inofensivas objetos matemáticos que superam o resto do curso de álgebra em sua capacidade de "suportar o cérebro".

O principal perigo das frações é que elas ocorrem em Vida real. Nisso eles diferem, por exemplo, de polinômios e logaritmos, que podem ser aprovados e facilmente esquecidos após o exame. Assim, o material apresentado em esta lição, sem exagero pode ser chamado de explosivo.

Uma fração numérica (ou simplesmente uma fração) é um par de números inteiros escritos através de uma barra ou barra horizontal.

Frações escritas através de uma barra horizontal:

As mesmas frações escritas com uma barra:
5/7; 9/(−30); 64/11; (−1)/4; 12/1.

Normalmente, as frações são escritas através de uma linha horizontal - é mais fácil trabalhar com elas e elas parecem melhores. O número escrito em cima é chamado de numerador da fração, e o número escrito em baixo é chamado de denominador.

Qualquer número inteiro pode ser representado como uma fração com denominador 1. Por exemplo, 12 = 12/1 é a fração do exemplo acima.

Em geral, você pode colocar qualquer número inteiro no numerador e denominador de uma fração. A única restrição é que o denominador deve ser diferente de zero. Lembre-se da boa e velha regra: “Você não pode dividir por zero!”

Se o denominador ainda for zero, a fração é chamada de indefinida. Tal registro não faz sentido e não pode participar de cálculos.

Propriedade básica de uma fração

As frações a/b ec/d são chamadas iguais se ad = bc.

Desta definição segue-se que a mesma fração pode ser escrita de maneiras diferentes. Por exemplo, 1/2 = 2/4 porque 1 4 = 2 2. Claro, existem muitas frações que não são iguais entre si. Por exemplo, 1/3 ≠ 5/4 porque 1 4 ≠ 3 5.

Surge uma pergunta razoável: como encontrar todas as frações iguais a uma dada? Damos a resposta na forma de uma definição:

A principal propriedade de uma fração é que o numerador e o denominador podem ser multiplicados pelo mesmo número diferente de zero. Isso resultará em uma fração igual à dada.

Isto é muito propriedade importante- lembre se. Com a ajuda da propriedade básica de uma fração, muitas expressões podem ser simplificadas e encurtadas. No futuro, ele constantemente “emergirá” na forma várias propriedades e teoremas.

Frações incorretas. Seleção de toda a peça

Se o numerador menor que o denominador, tal fração é chamada própria. Caso contrário (ou seja, quando o numerador é maior ou pelo menos igual ao denominador), a fração é chamada de fração imprópria, e uma parte inteira pode ser distinguida nela.

A parte inteira é escrita como um número grande na frente da fração e fica assim (marcada em vermelho):

Para isolar a parte inteira em uma fração imprópria, você precisa seguir três etapas simples:

1. Encontre quantas vezes o denominador cabe no numerador. Em outras palavras, encontre o número inteiro máximo que, quando multiplicado pelo denominador, ainda será menor que o numerador (no caso extremo, igual). Este número será parte inteira, então escrevemos na frente;
2. Multiplique o denominador pela parte inteira encontrada na etapa anterior e subtraia o resultado do numerador. O "stub" resultante é chamado de resto da divisão, sempre será positivo (em casos extremos, zero). Nós o escrevemos no numerador da nova fração;
3. Reescrevemos o denominador inalterado.

Bem, é difícil? À primeira vista, pode ser difícil. Mas é preciso um pouco de prática - e você fará isso quase verbalmente. Por enquanto, veja os exemplos:

Uma tarefa. Selecione a parte inteira nas frações dadas:

Em todos os exemplos, a parte inteira é destacada em vermelho e o restante da divisão está em verde.

Preste atenção na última fração, onde o restante da divisão acabou sendo zero. Acontece que o numerador é completamente dividido pelo denominador. Isso é bastante lógico, porque 24: 6 \u003d 4 é um fato duro da tabuada.

Se tudo for feito corretamente, o numerador da nova fração será necessariamente menor que o denominador, ou seja, fração fica correta. Também noto que é melhor destacar a parte inteira no final da tarefa, antes de escrever a resposta. Caso contrário, você pode complicar significativamente os cálculos.

Transição para fração imprópria

Há também uma operação inversa, quando nos livramos da parte inteira. Isso é chamado de transição de fração imprópria e é muito mais comum porque frações impróprias são muito mais fáceis de trabalhar.

A transição para uma fração imprópria também é feita em três etapas:

1. Multiplique a parte inteira pelo denominador. O resultado pode ser bastante grandes números, mas não devemos nos envergonhar;
2. Adicione o número resultante ao numerador da fração original. Escreva o resultado no numerador de uma fração imprópria;
3. Reescreva o denominador - novamente, nenhuma alteração.

Aqui estão exemplos específicos:

Uma tarefa. Transforme em fração imprópria:

Para maior clareza, a parte inteira é novamente destacada em vermelho e o numerador da fração original está em verde.

Considere o caso em que o numerador ou denominador de uma fração contém um número negativo. Por exemplo:

Em princípio, não há nada de criminoso nisso. No entanto, trabalhar com essas frações pode ser inconveniente. Portanto, em matemática é costume tirar menos como um sinal de fração.

Isso é muito fácil de fazer se você se lembrar das regras:

1. Mais vezes menos é igual a menos. Portanto, se houver um número negativo no numerador e um número positivo no denominador (ou vice-versa), sinta-se à vontade para riscar o menos e colocá-lo na frente da fração inteira;
2. "Duas negativas fazem uma afirmativa". Quando o menos está no numerador e no denominador, simplesmente os riscamos - nenhuma ação adicional é necessária.

É claro que essas regras também podem ser aplicadas a direção oposta, ou seja você pode adicionar um menos sob o sinal de fração (na maioria das vezes - no numerador).

Nós deliberadamente não consideramos o caso de “mais sobre mais” - com ele, eu acho, tudo está claro de qualquer maneira. Vamos dar uma olhada em como essas regras funcionam na prática:

Uma tarefa. Retire os menos das quatro frações escritas acima.

Preste atenção na última fração: ela já tem um sinal de menos na frente. No entanto, é “queimado” de acordo com a regra “menos vezes menos dá mais”.

Além disso, não mova menos em frações com uma parte inteira destacada. Essas frações são primeiro convertidas em impróprias - e só então começam a calcular.

Começaremos nossa consideração deste tópico estudando o conceito de fração como um todo, o que nos dará uma compreensão mais completa do significado de uma fração ordinária. Vamos dar os principais termos e sua definição, estudar o tópico em uma interpretação geométrica, ou seja, na linha de coordenadas, e também definir uma lista de ações básicas com frações.

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Ações de todo

Imagine um objeto consistindo de vários, completamente partes iguais. Por exemplo, pode ser uma laranja, composta por várias fatias idênticas.

Definição 1

Parte de um todo ou parteé cada uma das partes iguais que compõem o objeto inteiro.

Obviamente, as ações podem ser diferentes. Para explicar claramente essa afirmação, imagine duas maçãs, uma das quais é cortada em duas partes iguais e a segunda em quatro. É claro que o tamanho das ações resultantes para diferentes maçãs irá variar.

As ações têm nomes próprios, que dependem do número de ações que compõem a totalidade do sujeito. Se um item tiver duas partes, cada uma delas será definida como uma segunda parte desse item; quando um objeto consiste em três partes, cada uma delas é um terço, e assim por diante.

Definição 2

Metade- uma segunda parte do assunto.

Terceiro- um terço do assunto.

Trimestre- um quarto do assunto.

Para encurtar o registro, foi introduzida a seguinte notação para ações: metade - 1 2 ou 1/2; terceiro - 1 3 ou 1/3; uma quarta parte 1 4 ou 1/4 e assim por diante. As entradas com uma barra horizontal são usadas com mais frequência.

O conceito de compartilhamento naturalmente se expande de objetos para magnitudes. Assim, você pode usar frações de um metro (um terço ou um centésimo) para medir pequenos objetos, como uma das unidades de comprimento. As cotas de outras quantidades podem ser aplicadas de forma semelhante.

Frações comuns, definição e exemplos

Frações comuns usado para descrever o número de ações. Considere um exemplo simples que nos aproximará da definição de uma fração ordinária.

Imagine uma laranja, composta por 12 fatias. Cada ação será então - um décimo segundo ou 1/12. Duas ações - 2/12; três ações - 3/12, etc. Todas as 12 partes ou um inteiro ficariam assim: 12 / 12 . Cada uma das entradas usadas no exemplo é um exemplo de uma fração comum.

Definição 3

Fração comumé um registro do formulário m n ou m / n , onde m e n são quaisquer números naturais.

De acordo com esta definição, exemplos de frações ordinárias podem ser entradas: 4/9, 1134, 91754. E essas entradas: 11 5 , 1 , 9 4 , 3 não são frações ordinárias.

Numerador e denominador

Definição 4

numerador fração comum m n ou m / n é um número natural m .

denominador fração comum m n ou m / n é um número natural n .

Aqueles. o numerador é o número acima da barra de uma fração ordinária (ou à esquerda da barra), e o denominador é o número abaixo da barra (à direita da barra).

Qual é o significado do numerador e do denominador? O denominador de uma fração ordinária indica em quantas ações consiste um item, e o numerador nos dá informações sobre quantas dessas ações são consideradas. Por exemplo, a fração comum 7 54 nos indica que um determinado objeto consiste em 54 ações e, para consideração, levamos 7 dessas ações.

Número natural como uma fração com denominador 1

O denominador de uma fração comum pode ser igual a um. Nesse caso, é possível dizer que o objeto (valor) considerado é indivisível, é algo inteiro. Numerador em como uma fração indicará quantos desses itens são levados, ou seja, uma fração ordinária da forma m 1 faz sentido número natural m. Esta afirmação serve como justificativa para a igualdade m 1 = m .

Vamos escrever a última igualdade assim: m = m 1 . Isso nos dará a oportunidade de usar qualquer número natural na forma de uma fração ordinária. Por exemplo, o número 74 é uma fração ordinária da forma 74 1 .

Definição 5

Qualquer número natural m pode ser escrito como uma fração ordinária, onde o denominador é um: m 1 .

Por sua vez, qualquer fração ordinária da forma m 1 pode ser representada por um número natural m .

Barra de frações como sinal de divisão

A representação usada acima este assunto como n partes nada mais é do que uma divisão em n partes iguais. Quando um objeto é dividido em n partes, temos a oportunidade de dividi-lo igualmente entre n pessoas - cada um recebe sua parte.

No caso em que inicialmente temos m itens idênticos(cada um é dividido em n partes), então esses m itens podem ser divididos igualmente entre n pessoas, dando a cada uma delas uma parte de cada um dos m itens. Neste caso, cada pessoa terá m ações 1 n , e m ações 1 n dará uma fração ordinária m n . Portanto, a fração comum m n pode ser usada para representar a divisão de m itens entre n pessoas.

A declaração resultante estabelece uma conexão entre frações ordinárias e divisão. E essa relação pode ser expressa da seguinte forma : é possível significar a linha de uma fração como um sinal de divisão, ou seja, m/n=m:n.

Com a ajuda de uma fração ordinária, podemos escrever o resultado da divisão de dois números naturais. Por exemplo, dividir 7 maçãs por 10 pessoas será escrito como 7 10: cada pessoa receberá sete décimos.

Frações comuns iguais e desiguais

A ação lógica é comparar frações ordinárias, porque é óbvio que, por exemplo, 1 8 de uma maçã é diferente de 7 8 .

O resultado da comparação de frações ordinárias pode ser: igual ou desigual.

Definição 6

Frações comuns iguais são frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade é verdadeira: a d = b c .

Frações comuns desiguais- frações ordinárias a b e c d , para as quais a igualdade: a · d = b · c não é verdadeira.

Exemplo frações iguais: 1 3 e 4 12 - desde que a igualdade 1 · 12 = 3 · 4 seja cumprida.

No caso em que as frações não são iguais, geralmente também é necessário descobrir qual das frações dadas é menor e qual é maior. Para responder a essas perguntas, as frações ordinárias são comparadas, levando-as a denominador comum e, em seguida, comparando os numeradores.

Números fracionários

Cada fração é um registro de um número fracionário, que na verdade é apenas uma “concha”, visualização carga semântica. Mas ainda assim, por conveniência, combinamos os conceitos de fração e número fracionário, simplesmente falando - uma fração.

Todos os números fracionários, como qualquer outro número, têm sua própria localização feixe de coordenadas: existe uma correspondência biunívoca entre frações e pontos do raio coordenado.

Para encontrar um ponto no raio coordenado, denotando a fração m n , é necessário adiar m segmentos na direção positiva da origem das coordenadas, o comprimento de cada um dos quais será 1 n uma fração de um segmento unitário. Segmentos podem ser obtidos dividindo um único segmento em n partes idênticas.

Como exemplo, vamos denotar o ponto M no raio coordenado, que corresponde à fração 14 10 . O comprimento do segmento, cujas extremidades é o ponto O e o ponto mais próximo, marcado com um pequeno traço, é igual a 1 10 frações do segmento unitário. O ponto correspondente à fração 14 10 está localizado a uma distância da origem das coordenadas a uma distância de 14 desses segmentos.

Se as frações são iguais, ou seja, eles correspondem ao mesmo número fracionário, então essas frações servem como coordenadas do mesmo ponto no raio coordenado. Por exemplo, as coordenadas na forma de frações iguais 1 3 , 2 6 , 3 9 , 5 15 , 11 33 correspondem ao mesmo ponto no raio coordenado, localizado a uma distância de um terço do segmento unitário, adiado do origem no sentido positivo.

O mesmo princípio funciona aqui como com números inteiros: em um raio coordenado horizontal, direcionado à direita, o ponto correspondente a uma grande fração estará localizado à direita do ponto correspondente a fração menor. E vice-versa: o ponto, cuja coordenada é a fração menor, estará localizado à esquerda do ponto, que corresponde à coordenada maior.

Frações próprias e impróprias, definições, exemplos

A divisão de frações em próprias e impróprias é baseada na comparação do numerador e denominador dentro da mesma fração.

Definição 7

Fração própriaé uma fração ordinária em que o numerador é menor que o denominador. Isto é, se a desigualdade m< n , то обыкновенная дробь m n является правильной.

Não fração própria é uma fração cujo numerador é maior ou igual ao denominador. Ou seja, se a desigualdade undefined for verdadeira, então a fração ordinária m n é imprópria.

Aqui estão alguns exemplos: - frações próprias:

Exemplo 1

5 / 9 , 3 67 , 138 514 ;

Frações impróprias:

Exemplo 2

13 / 13 , 57 3 , 901 112 , 16 7 .

Também é possível dar uma definição de frações próprias e impróprias, com base na comparação de uma fração com uma unidade.

Definição 8

Fração própriaé uma fração ordinária menos de um.

Fração imprópriaé uma fração comum igual ou maior que um.

Por exemplo, a fração 8 12 está correta, porque 8 12< 1 . Дроби 53 2 и 14 14 являются неправильными, т.к. 53 2 >1 e 14 14 = 1 .

Vamos pensar um pouco mais fundo por que frações em que o numerador é maior ou igual ao denominador são chamadas de "impróprias".

Considere a fração imprópria 8 8: ela nos diz que 8 partes de um objeto que consiste em 8 partes são tomadas. Assim, das oito ações disponíveis, podemos compor um objeto inteiro, ou seja, a fração dada 8 8 representa essencialmente todo o objeto: 8 8 \u003d 1. As frações em que o numerador e o denominador são iguais substituem totalmente o número natural 1.

Considere também frações em que o numerador excede o denominador: 11 5 e 36 3 . É claro que a fração 11 5 indica que podemos fazer dois objetos inteiros com ela e ainda haverá um quinto dela. Aqueles. fração 11 5 são 2 objetos e outros 1 5 dele. Por sua vez, 36 3 é uma fração, o que significa essencialmente 12 objetos inteiros.

Esses exemplos permitem concluir que frações impróprias podem ser substituídas por números naturais (se o numerador for divisível pelo denominador sem resto: 8 8 \u003d 1; 36 3 \u003d 12) ou a soma de um número natural e um fração própria (se o numerador não for divisível pelo denominador sem resto: 11 5 = 2 + 1 5). É provavelmente por isso que essas frações são chamadas de "impróprias".

Aqui também encontramos uma das habilidades numéricas mais importantes.

Definição 9

Extraindo a parte inteira de uma fração imprópriaé uma fração imprópria escrita como a soma de um número natural e uma fração própria.

Observe também que existe relação próxima entre frações impróprias e números mistos.

Frações positivas e negativas

Acima dissemos que cada fração ordinária corresponde a um número fracionário positivo. Aqueles. frações ordinárias são frações positivas. Por exemplo, as frações 5 17 , 6 98 , 64 79 são positivas e, quando é necessário enfatizar a “positividade” de uma fração, ela é escrita usando um sinal de mais: + 5 17 , + 6 98 , + 64 79 .

Se atribuirmos um sinal de menos a uma fração ordinária, o registro resultante será um registro de um número fracionário negativo e, nesse caso, estamos falando de frações negativas. Por exemplo, - 8 17 , - 78 14 etc.

As frações positivas e negativas m n e - m n são números opostos, por exemplo, as frações 7 8 e - 7 8 são opostas.

Frações positivas, como qualquer números positivos em geral, eles significam uma adição, uma mudança na direção do aumento. Por sua vez, as frações negativas correspondem ao consumo, uma mudança no sentido de decréscimo.

Se considerarmos a linha de coordenadas, veremos que as frações negativas estão localizadas à esquerda do ponto de referência. Os pontos a que correspondem as frações, que são opostos (m n e - m n), estão localizados à mesma distância da origem das coordenadas O, mas ao longo lados diferentes dela.

Aqui também falamos separadamente sobre frações escritas na forma 0 n . Tal fração é igual a zero, ou seja. 0n = 0.

Resumindo tudo o que foi dito, chegamos a o conceito mais importante números racionais.

Definição 10

Números racionaisé um conjunto de frações positivas, frações negativas e frações da forma 0 n .

Ações com frações

Vamos listar as operações básicas com frações. Em geral, sua essência é a mesma das operações correspondentes com números naturais

1. Comparação de frações - esta acção revisamos acima.
2. Adição de frações - o resultado da adição de frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, reduzida a um número natural).
3. A subtração de frações é uma ação, o oposto da adição, quando uma fração conhecida e quantidade dada frações é determinada pela fração desconhecida.
4. Multiplicação de frações - esta ação pode ser descrita como encontrar uma fração de uma fração. O resultado da multiplicação de duas frações ordinárias é uma fração ordinária (em um caso particular, igual a um número natural).
5. Divisão de frações - ação, recíproco da multiplicação, quando determinamos a fração pela qual é necessário multiplicar a dada para obter trabalho famoso duas frações.

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O numerador, e aquele pelo qual é dividido é o denominador.

Para escrever uma fração, primeiro escreva seu numerador, depois desenhe uma linha horizontal sob esse número e escreva o denominador sob a linha. A linha horizontal que separa o numerador e o denominador é chamada de barra fracionária. Às vezes é descrito como um oblíquo "/" ou "∕". Nesse caso, o numerador é escrito à esquerda da linha e o denominador à direita. Assim, por exemplo, a fração "dois terços" será escrita como 2/3. Para maior clareza, o numerador geralmente é escrito na parte superior da linha e o denominador na parte inferior, ou seja, em vez de 2/3, você pode encontrar: ⅔.

Para calcular o produto de frações, primeiro multiplique o numerador de um frações para outro numerador. Escreva o resultado no numerador do novo frações. Em seguida, multiplique também os denominadores. Especifique o valor final no novo frações. Por exemplo, 1/3? 1/5 = 1/15 (1 × 1 = 1; 3 × 5 = 15).

Para dividir uma fração por outra, primeiro multiplique o numerador da primeira pelo denominador da segunda. Faça o mesmo com a segunda fração (divisor). Ou, antes de realizar todos os passos, primeiro “inverta” o divisor, se for mais conveniente para você: o denominador deve estar no lugar do numerador. Em seguida, multiplique o denominador do dividendo pelo novo denominador do divisor e multiplique os numeradores. Por exemplo, 1/3: 1/5 = 5/3 = 1 2/3 (1 × 5 = 5; 3 × 1 = 3).

Fontes:

• Tarefas básicas para frações

Os números fracionários permitem que você expresse em forma diferente valor exato quantidades. Com frações, você pode realizar as mesmas operações matemáticas que com números inteiros: subtração, adição, multiplicação e divisão. Para aprender a decidir frações, é necessário lembrar algumas de suas características. Eles dependem do tipo frações, a presença de uma parte inteira, um denominador comum. Algum operaçoes aritimeticas após a execução, requerem redução da parte fracionária do resultado.

Você vai precisar

• - calculadora

Instrução

Observe atentamente os números. Se houver decimais e irregulares entre as frações, às vezes é mais conveniente executar primeiro ações com decimais e depois convertê-los para a forma errada. Você pode traduzir frações nesta forma inicialmente, escrevendo o valor após a vírgula no numerador e colocando 10 no denominador. Se necessário, reduza a fração dividindo os números acima e abaixo por um divisor. Frações em que a parte inteira se destaca, levam à forma errada, multiplicando-a pelo denominador e adicionando o numerador ao resultado. Valores dados será o novo numerador frações. Para extrair a parte inteira do inicialmente incorreto frações, divida o numerador pelo denominador. Escreva todo o resultado de frações. E o resto da divisão se torna o novo numerador, o denominador frações enquanto não muda. Para frações com parte inteira, é possível realizar ações separadamente, primeiro para o inteiro e depois para as partes fracionárias. Por exemplo, a soma de 1 2/3 e 2 ¾ pode ser calculada:
- Convertendo frações para a forma errada:
- 1 2/3 + 2 ¾ = 5/3 + 11/4 = 20/12 + 33/12 = 53/12 = 4 5/12;
- Soma separadamente de partes inteiras e fracionárias de termos:
- 1 2/3 + 2 ¾ = (1+2) + (2/3 + ¾) = 3 + (8/12 + 9/12) = 3 + 17/12 = 3 + 1 5/12 = 4 5 /12.

Reescreva-os com um separador ":" e continue divisão ordinária.

Para obter resultado final reduza a fração resultante dividindo o numerador e o denominador por um número inteiro, o maior possível em este caso. Nesse caso, deve haver números inteiros acima e abaixo da linha.

Nota

Não faça aritmética com frações que têm denominadores diferentes. Escolha um número tal que, quando o numerador e o denominador de cada fração forem multiplicados por ele, como resultado, os denominadores de ambas as frações sejam iguais.

Conselho útil

Ao escrever números fracionários, o dividendo é escrito acima da linha. Essa quantidade é chamada de numerador de uma fração. Sob a linha, o divisor, ou denominador, da fração está escrito. Por exemplo, um quilo e meio de arroz na forma de fração será escrito da seguinte forma: 1 ½ kg de arroz. Se o denominador de uma fração for 10, ela é chamada de fração decimal. Nesse caso, o numerador (dividendo) é escrito à direita da parte inteira separada por vírgula: 1,5 kg de arroz. Para conveniência dos cálculos, essa fração sempre pode ser escrita na forma errada: 1 2/10 kg de batatas. Para simplificar, você pode reduzir os valores do numerador e do denominador dividindo-os por um único número inteiro. NO este exemploé possível dividir por 2. O resultado será 1 1/5 kg de batatas. Certifique-se de que os números com os quais você fará aritmética estão na mesma forma.

Falando de matemática, não se pode deixar de lembrar frações. Seu estudo é dado muita atenção e tempo. Lembre-se de quantos exemplos você teve que resolver para aprender certas regras para trabalhar com frações, como você memorizou e aplicou a propriedade principal de uma fração. Quantos nervos foram gastos para encontrar um denominador comum, especialmente se houvesse mais de dois termos nos exemplos!

Vamos lembrar o que é e refrescar um pouco a memória sobre as informações básicas e as regras para trabalhar com frações.

Definição de frações

Vamos começar com a coisa mais importante - definições. Uma fração é um número que consiste em uma ou mais partes unitárias. Um número fracionário é escrito como dois números separados por uma barra ou horizontal. Nesse caso, o superior (ou primeiro) é chamado de numerador e o inferior (segundo) é chamado de denominador.

Vale ressaltar que o denominador mostra em quantas partes a unidade está dividida e o numerador mostra o número de ações ou partes tomadas. Muitas vezes as frações, se estiverem corretas, são menores que um.

Agora vamos ver as propriedades desses números e as regras básicas que são usadas ao trabalhar com eles. Mas antes de analisarmos algo como "propriedade básica fração racional Vamos falar sobre os tipos de frações e suas características.

O que são frações

Existem vários tipos de tais números. Em primeiro lugar, estes são ordinários e decimais. Os primeiros são o tipo de registro já indicado por nós usando uma barra horizontal ou barra. O segundo tipo de frações é indicado usando a chamada notação posicional, quando a parte inteira do número é indicada primeiro e, em seguida, após o ponto decimal, a parte fracionária é indicada.

Vale a pena notar aqui que, em matemática, frações decimais e ordinárias são usadas igualmente. A propriedade principal da fração é válida apenas para a segunda opção. Além disso, em frações ordinárias, corretas e números errados. Para o primeiro, o numerador é sempre menor que o denominador. Observe também que tal fração é menor que a unidade. Em uma fração imprópria, ao contrário, o numerador é maior que o denominador, e ele próprio é maior que um. Nesse caso, um inteiro pode ser extraído dele. Neste artigo, consideraremos apenas frações ordinárias.

Propriedades da fração

Qualquer fenômeno, químico, físico ou matemático, tem características e propriedades próprias. Os números fracionários não são exceção. Eles têm uma característica importante, com a qual é possível realizar certas operações neles. Qual é a principal propriedade de uma fração? A regra diz que se seu numerador e denominador forem multiplicados ou divididos pelo mesmo número racional, obtemos uma nova fração, cujo valor será igual ao valor da original. Ou seja, multiplicando as duas partes do número fracionário 3/6 por 2, obtemos uma nova fração 6/12, enquanto elas serão iguais.

Com base nessa propriedade, você pode reduzir frações, bem como selecionar denominadores comuns para um determinado par de números.

Operações

Embora as frações pareçam mais complexas para nós, elas também podem realizar operações matemáticas básicas, como adição e subtração, multiplicação e divisão. Além disso, existe uma ação tão específica quanto a redução de frações. Naturalmente, cada uma dessas ações é executada de acordo com certas regras. Conhecer essas leis facilita o trabalho com frações, tornando-o mais fácil e interessante. É por isso que consideraremos as regras básicas e o algoritmo de ações ao trabalhar com esses números.

Mas antes de falarmos sobre operações matemáticas como adição e subtração, analisaremos tal operação como redução a um denominador comum. É aqui que o conhecimento de qual propriedade básica de uma fração existe será útil.

Denominador comum

Para reduzir um número a um denominador comum, primeiro você precisa encontrar o mínimo múltiplo comum dos dois denominadores. Aquilo é menor número, que é simultaneamente divisível por ambos os denominadores sem deixar resto. A maneira mais fácil de encontrar o MMC (mínimo múltiplo comum) é escrever em uma linha para um denominador, depois para o segundo e encontrar um número correspondente entre eles. Caso o LCM não seja encontrado, ou seja, esses números não possuem um múltiplo comum, eles devem ser multiplicados, e o valor resultante deve ser considerado como o LCM.

Então, encontramos o NOC, agora devemos encontrar multiplicador adicional. Para fazer isso, você precisa dividir alternadamente o MMC em denominadores de frações e escrever o número resultante sobre cada um deles. Em seguida, multiplique o numerador e o denominador pelo fator adicional resultante e escreva os resultados como uma nova fração. Se você duvida que o número recebido seja igual ao anterior, lembre-se da propriedade principal da fração.

Adição

Agora vamos direto para as operações matemáticas em números fracionários. Vamos começar com o mais simples. Existem várias opções para adicionar frações. No primeiro caso, ambos os números têm o mesmo denominador. Nesse caso, resta apenas somar os numeradores. Mas o denominador não muda. Por exemplo, 1/5 + 3/5 = 4/5.

Se as frações denominadores diferentes, você deve reduzi-los a um comum e só então realizar a adição. Como fazer isso, discutimos com você um pouco mais alto. Nessa situação, a propriedade principal da fração será útil. A regra permitirá que você traga os números para um denominador comum. O valor não será alterado de forma alguma.

Alternativamente, pode acontecer que a fração seja misturada. Então você deve primeiro somar as partes inteiras e depois as fracionárias.

Multiplicação

Não requer nenhum truque e, para realizar essa ação, não é necessário conhecer a propriedade básica da fração. É suficiente primeiro multiplicar os numeradores e denominadores juntos. Nesse caso, o produto dos numeradores se tornará o novo numerador e o produto dos denominadores se tornará o novo denominador. Como você pode ver, nada complicado.

A única coisa que é exigida de você é o conhecimento da tabuada, bem como a atenção. Além disso, após receber o resultado, é imprescindível verificar se é possível reduzir determinado número ou não. Falaremos sobre como reduzir frações um pouco mais tarde.

Subtração

A execução deve ser guiada pelas mesmas regras da adição. Assim, em números com mesmo denominador basta subtrair o numerador do subtraendo do numerador do minuendo. Caso as frações tenham denominadores diferentes, você deve trazê-las para um comum e depois executar esta operação. Assim como no caso de adição análoga, você precisará usar a propriedade main fração algébrica, bem como habilidades para encontrar o NOC e divisores comuns para frações.

Divisão

E a última e mais interessante operação ao trabalhar com esses números é a divisão. É bastante simples e não causa dificuldades particulares mesmo para quem não entende como trabalhar com frações, principalmente para realizar operações de adição e subtração. Na divisão, a regra é multiplicar por recíproca. A propriedade principal de uma fração, como no caso da multiplicação, não será utilizada para esta operação. Vamos olhar mais de perto.

Ao dividir números, o dividendo permanece inalterado. O divisor é invertido, ou seja, o numerador e o denominador são invertidos. Depois disso, os números são multiplicados entre si.

Redução

Portanto, já examinamos a definição e a estrutura das frações, seus tipos, as regras de operações em números dados e descobrimos a principal propriedade de uma fração algébrica. Agora vamos falar sobre tal operação como redução. Reduzir uma fração é o processo de convertê-la - dividindo o numerador e o denominador pelo mesmo número. Assim, a fração é reduzida sem alterar suas propriedades.

Normalmente ao fazer Operação matematica você deve observar atentamente o resultado obtido no final e descobrir se é possível reduzir a fração resultante ou não. Lembre-se que em resultado final um número fracionário que não requer redução é sempre escrito.

Outras operações

Por fim, notamos que listamos longe de todas as operações com números fracionários, mencionando apenas as mais famosas e necessárias. As frações também podem ser comparadas, convertidas em decimais e vice-versa. Mas neste artigo não consideramos essas operações, pois em matemática elas são realizadas com muito menos frequência do que as que demos acima.

conclusões

Temos falado sobre números fracionários e transações com eles. Também analisamos a propriedade principal, mas notamos que todas essas questões foram consideradas por nós de passagem. Demos apenas as regras mais conhecidas e usadas, demos os conselhos mais importantes, em nossa opinião.

Este artigo destina-se a atualizar as informações que você esqueceu sobre frações, em vez de fornecer nova informação e bater a cabeça regras sem fim e fórmulas que, muito provavelmente, você nunca precisará.

Esperamos que o material apresentado no artigo de forma simples e concisa tenha se tornado útil para você.