salto mortal triplo iates marítimos o lastro é colocado baixo, o que não permite que eles deformem com força e geralmente virem. No entanto, acontece que o iate ainda dá cambalhotas, como um iol sem lastro, e isso acontece apenas aqui - no grande Oceano Antártico. Eu sei

Entre as tarefas em duas ações, há um grupo de tarefas que são resolvidas unidade. Resolvendo tais problemas, as crianças deveriam aprender na prática as propriedades das quantidades que estão em proporção direta.

Tomemos como exemplo o problema: Um barco a vapor percorreu 40 km em 2 horas. Quantos quilômetros o navio percorrerá em 4 horas com a mesma velocidade? Neste problema, são conhecidos dois valores de tempo e um valor de distância, correspondendo ao primeiro valor de tempo; sabe-se que a velocidade do movimento não muda, é necessário encontrar outro valor da distância.

Vamos considerar várias maneiras de resolver esse problema, anotando a solução à esquerda e sua justificativa à direita.

I método de solução - um método de redução direta à unidade

solução oral

2 horas - 40 km
1 hora – 20 km
4 horas - 80 km

Decisão escrita

1) 40km: 2 = 20km
2)20km x 4 = 80km

O valor numérico do tempo, dos quais dois valores são conhecidos, é reduzido a um.

No velocidade constante se o tempo for reduzido em 2 vezes, a distância diminuirá em 2 vezes, se for aumentada em 4 vezes, a distância aumentará em 4 vezes.

O segundo método de solução é o método da redução inversa à unidade.

solução oral

40 km - 2 horas = 120 min.
1km - 3min.
4 horas (240 min.) – 80 km

Decisão escrita

1) 120 minutos. : 40 = 3 min.
2) 240 minutos. : 3 min. = 80 (km)

O valor numérico da distância é reduzido a um, sendo um valor conhecido e o outro desconhecido.

A uma velocidade constante, levará 40 vezes menos tempo para percorrer 1 km do trajeto do que para percorrer 40 km do trajeto, ou seja, 3 minutos, e em 4 horas (240 minutos) o vapor percorrerá tantas vezes quantas muitos quilômetros como 240 minutos. mais de 3 min.

A terceira maneira de resolver é a maneira de encontrar a relação.

Um breve registro da condição da tarefa:

2 horas - 40 km
4 horas - x

1) 4 horas: 2 horas = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

A uma velocidade constante de movimento, quantas vezes o tempo aumenta, a distância percorrida aumenta na mesma quantidade

IV método de solução - o método de encontrar valor numérico valor constante.

Breve declaração da condição da tarefa

2 horas - 40 km
4 horas -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Ao resolver este problema, o método IV coincide com o método I.

Para encontrar a distância percorrida em 4 horas, você precisa multiplicar a velocidade, que é encontrada dividindo a distância pelo valor do tempo correspondente, pelo novo valor do tempo.

Vamos aplicar o método de encontrar o valor numérico de um valor constante a outro problema:

O navio percorreu 40 km a uma velocidade de 20 km por hora. Quantos quilômetros o navio percorrerá no mesmo tempo a uma velocidade de 30 km por hora?

Solução. De acordo com a condição deste problema, o tempo é um valor constante.

1) Quantas horas o navio levou para percorrer 40 km?

40 km: 20 km = 2 (horas)

2) Quantos quilômetros o vapor percorrerá em 2 horas na nova velocidade?

30 km x 2 – 60 km

Resposta: 60 km.

Ao resolver este problema, o método de encontrar o valor numérico de uma constante difere do método de redução direta à unidade. Isso pode ser visto a partir de uma comparação do método acima com o método redução direta à unidade.

A possibilidade de aplicar um ou outro método de resolução de problemas em uma regra tripla simples no quadro de operações com números inteiros depende das características dos dados numéricos. Assim, por exemplo, o método de encontrar uma razão só pode ser aplicado se os números que expressam dois Significados diferentes de mesma magnitude, são múltiplos um do outro.

Método de redução para a unidadeé conveniente usar ao resolver problemas nos quais é necessário encontrar um valor desconhecido de quantidade ou tempo. Portanto, em livros didáticos de aritmética para séries elementares, as tarefas para uma regra tripla simples são selecionadas em grupos de acordo com os métodos para resolvê-las. Ao mesmo tempo, de acordo com o programa atual, os problemas resolvidos por métodos de redução direta e inversa à unidade são atribuídos à classe II e os problemas resolvidos pelo método de encontrar a razão são atribuídos à classe IV.

Há razões para acreditar que a mais fácil das tarefas, resolvidas pelo método de encontrar a razão, pode ser introduzida na classe II, onde os alunos já estão resolvendo tarefas simples para comparação múltipla. Não há problemas resolvidos pelo método de encontrar o valor numérico de um valor constante nos livros didáticos de aritmética existentes, e é útil oferecê-los para solução já no grau II.

Ao ensinar a solução desses problemas, deve-se contar com a habilidade previamente adquirida pelos alunos para resolver problemas simples de multiplicação e divisão, em que é necessário descobrir o valor de uma das três grandezas relacionadas entre si, por exemplo , descubra o custo por preço e quantidade de itens, quantidade por preço e valor, preço em termos de custo e quantidade.

O bom conhecimento das crianças sobre a relação entre quantidades serve como base, com base na qual elas dominam a solução de problemas pelo método de redução à unidade.

Para explicar aos alunos como encontrar um relacionamento, você pode usar recursos visuais(Fig. 22). Que seja necessário resolver o problema: 2 envelopes com selos custam 9 copeques. Quanto custa 6 desses envelopes?

Observar a imagem desses envelopes agrupados em pares ajudará os alunos a entender que aumentar várias vezes o número de pares de envelopes implica em um aumento no valor deles na mesma quantidade.

arroz. 22

Os alunos fazem a pergunta: quantas vezes 6 envelopes são mais do que 2 envelopes? - Eles encontram a resposta, que é 3 vezes mais, e descobrem o custo de 6 envelopes, multiplicando 9 copeques. em 3.

Consideração conjunta de tarefas e trabalho independente que as crianças convertam tarefas diretas em inversas contribuem para uma melhor compreensão de como resolvê-las.

Por exemplo, a tarefa de 3 xícaras custa 6 rublos. Quanto custa 5 desses copos? substituindo o número desejado pelo número encontrado, e um dos dados pelo número desejado, pode ser transformado nos seguintes problemas inversos:

1. 5 xícaras custam 10 rublos. Quanto custa 3 desses copos?
2. 3 xícaras custam 6 rublos. Quantos desses copos você pode comprar por 10 rublos?
3. 5 xícaras custam 10 rublos. Quantos desses copos você pode comprar por 6 rublos?

A solução do problema original e o primeiro dos transformados é realizado método de redução direta à unidade, a solução do segundo e terceiro - de volta à unidade.

Parte TRÊS

RELAÇÕES E PROPORÇÕES.

TAREFAS RESOLVIDAS COM A AJUDA DE PROPORÇÕES E
PELO MÉTODO DE REDUÇÃO A UM.

SEÇÃO VIII..

§ 50. Regra tripla complicada.

2661. 45 pedreiros receberam 216 rublos por seis dias de trabalho; Quanto devem trabalhar 30 pedreiros por 8 dias?

2662. 5 bombas bombearam 1800 baldes de água em 3 horas. Quanta água será bombeada por 4 bombas semelhantes em 4 horas?

2663. 25 trabalhadores cavaram um canal em 12 dias, com 36 braças de comprimento. Que comprimento de canal poderia ser escavado por 15 trabalhadores semelhantes em 10 dias?

2664. Um capital de 100 rublos em 12 meses traz 6 rublos de lucro. Quanto lucro o capital de 8600 rublos trará em 4 meses?

2665. De um campo retangular, 40 sazhens de comprimento e 30 sazhens de largura, 6 quartos e 2 quartos de aveia foram colhidos. Quantas aveias foram colhidas de outro campo, que tem 96 braças de comprimento e 50 braças de largura, se as condições de semeadura e colheita para ambos os campos foram as mesmas?

2666. Para 15 pares de vestidos, foram usados ​​45 arshins de tecido com 1 arshin de largura. 14 polegadas. Qual era a largura do outro tecido, se custasse 60 arshins para 10 dos mesmos pares de vestidos?

2667 .18 trabalhadores, trabalhando 7 horas por dia, concluíram alguns trabalhos em 30 dias e receberam 201 rublos por isso. 60 kop. 14 funcionários, trabalhando diariamente por 4 horas, receberam 67,2 rublos para realizar outros trabalhos. Supondo que o pagamento por hora para o trabalhador de ambas as partes seja o mesmo, determine quantos dias o segundo grupo de trabalhadores trabalhou.

2668. Para o transporte de 420 puds de mercadorias por ferrovia em uma distância de 24 verstas, foram pagos 2 rublos. 52 copeques. De acordo com esse cálculo, para o transporte de 50 libras de mercadorias ao longo da ferrovia Nikolaev, de São Petersburgo a Moscou, deveriam ter sido pagos 7 rublos. 61 1/4 kop. Encontre o comprimento desta estrada.

2669. 155 bilhetes de passageiros da segunda classe, levados de trem de Paris a Rouen, custam 1.488 francos. Sabendo que o preço de 10 bilhetes de segunda classe para uma viagem de 4 quilômetros é igual a 3 francos, e que 16 quilômetros são 15 verstas, expresse em verstas o comprimento da ferrovia entre Paris e Rouen.

2670. Se a roda de uma máquina que faz fio de ferro gira a 60 rotações por minuto, então esta máquina produzirá 240 arsh. fio por 3 horas e 20 minutos. Quanto tempo ela levará para fazer 33 1/8 braças de fio se a roda fizer 41 2/3 rotações por minuto?

2671. De um campo retangular, que tem 125 sazhens de comprimento e 0,08 versts de largura, 12 1/2 quartos de trigo foram colhidos; assim, o cálculo mostrou um rendimento de seis próprios. De outro campo retangular, cujo comprimento é de 0,3 (9) verstas, foram colhidos 8 1/3 quartos de trigo, o que totalizou uma safra de cinco. Assumindo que as condições de semeadura de ambos os campos foram as mesmas, determine a largura do segundo campo.

2672. A laje de pedra, com 5,3 pés de comprimento, 0,8 pés de largura e 2 5/8 polegadas de espessura, pesa 4,2 libras. Outra laje da mesma pedra que a primeira pesa 7 poods e 35 libras e tem 15 polegadas de largura e 2 polegadas de espessura. Qual o comprimento da segunda placa?

2673 . Uma tira de ferro, com 2 arshins de comprimento, 1 1/2 polegadas de largura e 2/3 polegadas de espessura, pesa 0,4375 libras. Quanto pesará uma tira de ferro, que tem 2 pés de comprimento, 1 3/7 polegadas de largura e 0,16666 .... pés de espessura?

2674. 36 trabalhadores, trabalhando diariamente 12 horas e 30 minutos, construíram uma casa de madeira em 30 dias. Quantas horas por dia 27 trabalhadores devem trabalhar para construir a mesma casa em 50 dias?

2675. O comprimento do corredor é de 6 sazhens. 2 ar. 9 1/7 polegadas, largura 1,4(9) sazhens. e altura 5, (3) jardas (medida de comprimento em jarda inglesa). O ar atmosférico contido no corredor pesa 17 libras. 34 libras. O ar que enche a sala adjacente ao corredor pesa 11,9 libras. Sabendo que 0,58 (3) jardas = 0,75 ars., e que a altura da sala é 5 5/7 ars., e sua largura é 0,945 da altura, calcule o comprimento desta sala.

2676. Para iluminar as escadas da casa com 6 jatos de gás que queimaram por 40 noites, por 6 horas e 12 minutos todas as noites, 22 rublos foram pagos à empresa de gás. 32 copeques. Em outra escada, 5 chifres semelhantes queimaram por 60 noites, pelos quais foram pagos 27 rublos. Quantas horas por noite o gás queimou na segunda escada?

2677 . Para 4 lâmpadas, que foram acesas todas as noites por 7 1/2 horas, 2,25 poods de querosene foram consumidos durante 30 noites. Em quantas noites serão consumidos 1,8 poods de querosene se 5 dessas lâmpadas forem acesas todas as noites durante 4 horas e 30 minutos?

2678 . 32 pedreiros, trabalhando diariamente por 8 horas e meia, em 42 dias construíram uma parede de tijolos de 10 sazhens de comprimento, 7 1/2 polegadas de espessura e 1 sazhen de 3,5 pés de altura. Em quantos dias 40 pedreiros, com a mesma força do primeiro, trabalhando diariamente por 6,8 horas, construirão uma parede de tijolos com 15 sazhens de comprimento, 0,9375 arshins de espessura e 2 1/2 arshins de altura?

2679. Comprimento estrada de correio entre Vitebsk e Orel são 483 verstas; um viajante percorreu essa distância em 7 dias, estando na cidade por 10 horas todos os dias e percorrendo o mesmo número de quilômetros por hora. Outro viajante partiu de Vitebsk para Mogilev e, estando na estrada todos os dias durante 12 horas, fez o seu caminho em 4 dias. Quantas verstas de Witsbsk a Mogilev, sabendo-se que o segundo viajante percorreu 10 verstas ao mesmo tempo que o primeiro viajou 23 verstas?

2680. Tijolo (clínquer), 0,375 arshins de comprimento, 3 polegadas de largura e 1 1/2 polegadas de espessura, pesa 10 libras 38,4 carretéis. Quanto pesará um pedaço quadrado de mármore, que tem 8,75 polegadas de comprimento, 2 1/4 polegadas de largura e 2 polegadas de espessura, e o mármore é conhecido por ser 1 1/2 vezes mais pesado que o tijolo?

2681. 25 tecelões, trabalhando 8 1/3 horas por dia, teceram em 32 dias 120 arshins de linho, 1 arshin de largura. 5 1/3 polegadas. Em quantos dias 40 tecelões, trabalhando diariamente por 4 horas e 10 minutos, tecerão 320 arshins de linho com uma largura de 0,75 arshins?

2682. O capital de 1200 rublos em 8 meses trouxe 40 rublos de lucro; que horas 100 esfregar. trará 5 rublos. chegado?

2683. Um capital de 30.000 rublos em 7 1/2 meses trouxe 1.125 rublos de lucro. Quanto lucro é trazido por cada 100 rublos deste capital dentro de 1 ano?

2684. O capital de 24.400 rublos por 10 meses trouxe 1.525 rublos de lucro. Que tipo de capital se deve ter para que, estando em circulação nas mesmas condições que o primeiro, obtenha 1.250 rublos de lucro em 2 meses e meio?

2685. 54 escavadores, trabalhando 10 horas por dia, fizeram um monte em 33 dias, 124 braças de comprimento, 1 braça de largura, 2 1/2 arshins e 6 3/4 pés de altura. Quantos escavadores precisam ser contratados para que, trabalhando diariamente por 7 1 / 2 horas, eles façam em 30 dias um aterro, 0,31 versts de comprimento, 7 1 / 3 arsh sprin. e uma altura de 3 6/7 arshins?

2686. 48 escavadores, trabalhando diariamente durante 9 horas e 20 minutos, fizeram em 55 dias uma muralha de terra, com 40 1/3 braças de comprimento, 4 1/2 arshins de largura e 7 arshins de altura. Que altura farão 40 escavadores em 64 dias, trabalhando diariamente por 6 horas e 45 minutos, se o comprimento do poço é de 44 braças e a largura é de 1 braça?

2687 . Foram gastos 14 sazhens de lenha de pinho no aquecimento do apartamento com 6 fogões durante 2 meses e 10 dias. Quanto tempo levará 10 sazhens de lenha de bétula para aquecer um apartamento com 8 fogões, se a quantidade de calor emitida por cada fogão deve ser a mesma do primeiro apartamento e se 9 sazhens de lenha de pinho fornecem tanto calor quanto 7 1/2 braças de bétula?

2688. De um campo retangular, com comprimento de 2 versts e largura de 1 1/2 versts, com uma safra de sam-27, foi colhida tanta beterraba sacarina que dela foram extraídos 937 1/2 puds de açúcar na fábrica . De outro campo, que tinha uma largura de 400 sazhens, com uma colheita de 18 sam, foi colhida beterraba sacarina, da qual foram extraídos 250 libras de açúcar. Supondo que as condições de semeadura e a qualidade da beterraba para ambos os campos sejam as mesmas, encontre o comprimento do segundo campo.

2689. 4 escribas, trabalhando diariamente por 7 horas e meia, copiaram 225 folhas em 15 dias, com uma média de 32 linhas em cada página. Quantos escribas precisam ser contratados para que, estudando diariamente por 5 horas e 20 minutos, consigam copiar 64 folhas em 9 dias, colocando em média 36 linhas em cada página?

2690. 3 tubos ao longo de 4 1 / 2 horas encheram o reservatório, 1 fuligem de comprimento. 2 arshins, 1,5 arshins de largura e 3 2/3 pés de profundidade. Até que profundidade 4 tubos encherão outro reservatório em 5,4 horas, se o comprimento desse reservatório for de 1 fuligem. 2 5/8 pés, 1,2 ars de largura, e se cada um dos primeiros tubos despeja 16 baldes de água ao mesmo tempo, em qual dos últimos tubos despeja 9 baldes?

2691 . 22 tecelões, trabalhando 10 horas por dia, prepararam 120 peças de linho em 30 dias. Quantos desses tecelões precisam ser contratados para que, trabalhando 7 1/2 horas por dia, em 40 dias possam preparar 300 peças de linho, e o comprimento de cada uma dessas peças deve ser 1 1/10 vezes o comprimento do primeiro, e a largura deve ser 0,8(3) a largura do primeiro?

2692. Para comida para um certo número de soldados, um suprimento de grãos para 60 dias será obtido se cada soldado receber 2 1 / 2 libras por dia. Quantos dias durarão 3/4 desse suprimento se o número de soldados for reduzido em 3/8 do número anterior e a ração diária de cada um for aumentada em 1,25 libra?

2693. Quinze trabalhadores e 12 trabalhadores, trabalhando diariamente por 10 horas e 30 minutos, retiraram o pão do campo em 12 dias. Em quantos dias 21 trabalhadores e 8 trabalhadores, trabalhando 8,4 horas por dia, retirarão do campo o pão, cujo comprimento está relacionado ao comprimento do primeiro, como 0,3: 1 / 5, e cuja largura está relacionada ao largura do primeiro, como 0, 51: 0,5(6) - se é sabido que a força de um homem está relacionada com a força de uma mulher, como 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Para bombear a água da piscina, foram fornecidas 3 bombas grandes e 5 pequenas, que, atuando em conjunto, poderiam despejar toda a água em 6 horas. Após 2 1/2 horas de ação combinada, duas bombas grandes se deterioraram e foram imediatamente substituídas por 5 pequenas. Sabendo que a força de cada bomba pequena está relacionada à força de cada bomba grande, como 2 1 / 2: 4 1 / 6 determine quantas horas foram necessárias para bombear a água para fora da piscina.

2695. 4215 tijolos foram usados ​​para construir a parede da casa, cada um com 10 1/2 polegadas de comprimento e 5,25 polegadas de largura. e 2 5/8 polegadas de espessura. Para construir outra parede, foram usados ​​tijolos, cada um com 5 1/2 polegadas de comprimento, 3 1/3 polegadas de largura e 1 1/4 polegadas de espessura. Quantos desses tijolos serão usados ​​para construir a segunda parede, se seu comprimento é 0,8 (3) o comprimento da primeira, a espessura é 1,1 vezes a espessura da primeira e a altura é 0. (5) a altura da primeira parede?

2696. Vinte e cinco pessoas, trabalhando todos os dias por 5 horas, conseguiram fazer 0,27 de algum trabalho em 15 dias. Quantas pessoas mais precisam ser contratadas, para que elas, estudando juntas com a primeira por 8 1/3 horas por dia, possam completar o restante do mesmo trabalho em 20 dias?

Não há expressão forte o suficiente para que os compiladores da aritmética medieval fossem mesquinhos para elogiar a regra tríplice. “Essa linha é triplamente louvável e a melhor linha de todas as outras linhas.” "Os filósofos chamam isso de linha dourada." Nos livros didáticos alemães, ele era referido como aquele que está “acima de todos os elogios”, é a “chave dos mercadores”. Da mesma forma, entre os franceses, era conhecido pelo nome de règle dorée - a regra de ouro. Opunha-se a toda a ciência da álgebra.

Por que, então, são dados elogios tão imoderados a um departamento, que em nosso tempo costuma ocupar um lugar mais modesto? É muito interessante descobrir isso, e tomamos a liberdade de voltar um pouco e fazer uma breve descrição dos objetivos perseguidos pela aritmética desde os tempos antigos.

Qualquer ciência no estágio inicial de seu desenvolvimento é causada por necessidades práticas e se esforça, por sua vez, para satisfazê-las. Então, dependendo das condições em que se desenvolve, a ciência às vezes com bastante rapidez, às vezes mais lentamente, assume uma coloração teórica e atua educativamente sobre quem a estuda, ou seja, melhora suas habilidades espirituais: mente, sentimento e vontade: com crescimento lento, a ciência permanece por muito tempo o líder da habilidade, transmite apenas habilidade, dá a uma pessoa habilidades mecânicas e lhe dá as características da mecanicidade. Ambas as direções foram testadas por aritmética. Por um lado, os estudiosos gregos viam na aritmética, acima de tudo, um elemento educacional; eles constantemente perguntavam “por quê?”. e “por quê?”, sempre em busca de razões e conclusões; os alunos das escolas gregas mergulharam na essência da ciência, pensaram sobre ela e, portanto, o estudo agiu sobre eles de forma educativa e desenvolvimentista. Por outro lado, os hindus olhavam a aritética mais pelo lado da arte, não gostavam da pergunta "por quê?", mas sua principal pergunta era sempre: "como fazer?" A direção dos hindus passou para os árabes, e de lá para a Europa medieval. Nela, teve uma recepção extremamente cordial, e o solo para isso acabou sendo bastante agradecido: após a grande migração de povos e com guerras incessantes em curso, não havia nem o que pensar no desenvolvimento de um ciência abstrata, e na época era preciso se limitar à sua parte aplicada, bastava apenas ensinar "como fazer" e não "por que fazer". E assim a coloração prática permaneceu por muito tempo atrás da aritmética, quase até os dias atuais, ao mesmo tempo, seu estudo era estritamente mecânico: sem conclusões, explicações, sem aprofundamento nos fundamentos; em todos os livros didáticos havia “faça isso”, “você deve fazer isso”, e o aluno tinha apenas que confirmar e aplicar ao caso; nosso Magnitsky também tem uma série de expressões características “veja a visão”, “veja a invenção”; suponha que entre essas expressões ele tenha "pense e venha", mas como exatamente pensar, muito poucas dicas são dadas. De acordo com o significado prático da aritmética, tudo o que pudesse trazer benefícios diretos, gerar ganhos, era especialmente distinguido e valorizado nela.

“Quem conhece esta sabedoria”, diz a aritmética russa do século XVII, “pode estar com o soberano em grande honra e salário; De acordo com essa sabedoria, os hóspedes negociam em estados, e em todos os tipos de bens e comércios, eles conhecem a força e em todos os tipos de pesos e medidas, e na disposição da terra e na corrente do mar, eles são maus, e eles sabem a conta de qualquer número da lista.

Mas que parte da aritmética pode fornecer habilidades mais práticas e diretamente aplicáveis ​​do que a resolução de problemas? Assim, todos os esforços dos autores medievais foram direcionados para coletar o maior número possível de problemas e, ao mesmo tempo, os mais diversos conteúdos cotidianos. Aqui havia problemas de compra e venda, de letras de câmbio e de juros, de mistura, de câmbio; a diversidade era terrível e não havia como resolver toda a massa de problemas. Para agrupar pelo menos um pouco e introduzir algum sistema e ordem, eles tentaram distribuir todas as tarefas por departamentos ou tipos. Essa ideia, é claro, é boa, mas geralmente foi realizada sem muito sucesso, e as tarefas foram distribuídas não de acordo com os métodos de sua solução, como deveria, mas de acordo com seu conteúdo, ou seja, de acordo com sua aparência ; por exemplo, havia um tipo especial de problema sobre cães perseguindo uma lebre, sobre árvores, sobre garotas etc.

A solução de problemas com divisão de acordo com seu conteúdo não trouxe quase nenhum benefício, pois não ajudou em nada a entender melhor a solução. E, na opinião de autores antigos, dificilmente era necessário entender.

“Isso não é nada”, o mentor costumava consolar seus alunos: “que você não entende nada, você também não entenderá muito mais à frente”.

Em vez de entender, recomendou-se não se empolgar, mas memorizar tudo o que foi pedido e depois tentar aplicá-lo ao caso, ou seja, aos exemplos, e todo o poder do entendimento se concentrou não em entender a conclusão da regra, mas de uma forma mais modesta, sobre como aplicar a regra geral aos exemplos.

E assim a regra tríplice foi notável e merecedora de atenção especial em muitos aspectos. Em primeiro lugar, a gama de suas tarefas é bastante extensa, em segundo lugar, a própria regra é expressa de forma bastante simples e clara e, em terceiro lugar, foi relativamente fácil aplicar essa regra. Por todos esses méritos, ele recebeu o nome de "ouro", "a chave dos mercadores", etc.

A regra tríplice originou-se com os hindus, onde suas tarefas foram resolvidas em grande parte pela redução à unidade. O estudioso árabe Alkhvarizmi (século IX d.C.) o atribuiu à álgebra. Leonardo Fibonacci, italiano do século XIII segundo R. X., dedica uma seção especial à tríplice regra sob o título: ad majorem guisam, onde são atribuídas tarefas para o cálculo do valor das mercadorias. Exemplo: 100 rotuli (peso de Pisan) custam 40 liras, quanto custa 5 rotuli? A condição foi escrita assim:

A regra prescrita para resolver este problema na seguinte ordem: o produto de 40 por 5 dividido por 100.

Particular atenção tem sido dada à regra tríplice desde o século XVI, ou seja, desde o momento em que o comércio e a indústria europeus avançaram imediatamente, graças a importantes invenções e à descoberta de novos países. Mas isso não nos impediu de desenvolver este capítulo de forma totalmente insatisfatória, pelo menos do nosso ponto de vista. Em primeiro lugar, a regra foi determinada puramente externamente: “o problema consiste em três números e se dá um quarto número, como se você colocasse três cantos de uma casa, então isso determinará o quarto canto; o segundo número deve ser multiplicado pelo 3º, e o que acontece, então dividido pelo 1º número. Tal definição não poderia deixar de levar à inconsistência e, acima de tudo, a questão era: o que deve ser considerado o primeiro número, e quaisquer problemas com três números dados podem ser resolvidos pela regra tripla? Os livros didáticos não consideraram necessário esclarecer esse mal-entendido. Além disso, os problemas foram resolvidos não apenas com números inteiros, mas também com frações, e em outras aritméticas eles foram organizados de forma tão inconsistente que problemas com números fracionários na regra tríplice, os capítulos sobre frações foram colocados mais cedo, porque toda a regra tríplice foi anterior à aritmética dos números fracionários.

Após a regra tripla com inteiros e frações, regra especial"reduzindo", em que foi explicado como é possível reduzir alguns números dados, e então a regra "reflexiva" já foi; era um departamento muito confuso, ao qual pertenciam questões com proporção inversa, e os autores dos livros didáticos não conseguiam de forma alguma distinguir quais problemas pertenciam a esse grupo; os discípulos tiveram que confiar em seus próprios palpites e contentar-se com engenhosidade. Nos séculos XV e XXII. a explicação foi dada da seguinte forma: “Se uma medida de grão custa 1 ½ marcos, então dois puds de pão são dados por 1 marco; quantos puds de pão serão dados por marco se uma medida de grão custa 1¾ marcos; resolver com a regra tripla, acontece

mas o entendido perceberá que quando o grão subir de preço, eles darão menos pão, não mais, então a questão deve ser invertida, será

Magnitsky (1703) interpreta com espírito semelhante

“Existe uma regra de devolução, quando é necessário na atribuição colocar a terceira lista em vez da primeira: é necessário em casos civis frequentes, como se falasse na bunda: um certo senhor chamou um carpinteiro e ordenou o estaleiro para ser construído, dando-lhe vinte pessoas trabalhadores: e perguntou quantos dias então ele vai construir seu pátio, ele respondeu, em trinta dias; mas o mestre precisa construir tudo em 5 dias, e para isso ele perguntou às mochilas do carpinteiro, quantas pessoas valem a pena ter, para que você possa construir um pátio com elas em 5 dias, e aquele carpinteiro, perplexo, te pergunta aritmeticamente: quantas pessoas ele merece ter para construir aquele pátio em 5 dias, e se você começar a criar de acordo com a ordem da regra tríplice simplesmente; então realmente errar; mas não é apropriado para você: 30-20-5, mas transformando em um sit: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120".

A regra tripla foi seguida pelos cinco, seguidos pelos sete. É fácil adivinhar que se trata de casos especiais de regra tripla complexa, justamente quando, de acordo com 5 ou 7 dados, que são proporcionalmente dependentes entre si, se encontra o 6º ou 8º, o número correspondente, ou seja: a regra quíntupla requer 2 proporções, e a sétima é três. A regra de cinco foi explicada no século XVIII da seguinte forma:

eles fazem cálculos que não podem ser feitos de acordo com outra regra; 5 números são dados nele, e o sexto número desejado é encontrado neles; por exemplo, alguém colocou cem rublos em circulação e trouxeram-lhe um lucro de 7 rublos, a questão é quanto lucro ele receberia com 100 rublos. por 5 anos;

resolvido assim: 100-1-7-1000-5, multiplique os dois números da esquerda e também multiplique os 3 números da direita e divida o último produto pelo primeiro, a resposta será 350, tantos rublos de lucro darão 1000 rublos. dentro de 5 anos.

Uma regra tríplice simples e complexa era geralmente distribuída nos séculos XVI-XVIII. em uma massa de pequenos departamentos, que tinham nomes muito intrincados, dependendo do conteúdo das tarefas. Aqui estão esses nomes de acordo com Magnitsky: uma “regra de comércio triplo”, ou seja, o cálculo do custo dos bens adquiridos; b “negociação tripla sobre compras e vendas”, - o mesmo que o anterior, mas apenas mais complicado; c “comércio triplo de hortaliças comerciáveis ​​e com sinal”, quando há dedução para pratos e tripas em geral; d “sobre lucros e perdas”; e “um artigo de pergunta na regra tríplice”, nele as tarefas de conteúdo muito diverso, em sua maioria com proporção inversa; f “um artigo questionável com tempo”, onde se pede para calcular a duração do trabalho, percursos, etc.

No início do século XIX, Bazedov propôs outra mudança na regra tríplice e novamente na mesma direção do hábito mecânico inconsciente. Esse professor alemão se propôs a simplificar ainda mais a solução de problemas na regra tríplice, reduzindo ainda mais o raciocínio para resolvê-los e substituindo-o por uma fórmula pronta. Ele aconselha a organizar os números dados em 2 colunas: na esquerda está escrito uma quantidade desconhecida e todos os números que devem ser incluídos nos numeradores da fórmula e na direita - todos os fatores que compõem o denominador. Exemplo: para a alimentação de 1.200 pessoas por 4 meses, são necessários 2.400 centavos de farinha; quantas pessoas sairão 4000 centners em 3 meses? Escrevemos 2 colunas:

e obter a fórmula de resposta

Por que os números 1200, 4000 e 4 estão incluídos no numerador e 2400 e 3 no denominador? Isso pode ser respondido com a seguinte regra: o numerador inclui um número homogêneo com o desejado, ou seja, no nosso caso, o número 1200; além disso, também inclui todos aqueles números da segunda condição (4000 4), que são diretamente proporcionais ao desejado; se eles são inversamente proporcionais, como no nosso exemplo 3, então eles são substituídos pelos números correspondentes da 1ª condição (4ª).

Isso é tudo o que podemos dizer sobre o desenvolvimento histórico da regra tríplice. De tudo o que foi dito, pode-se tirar uma conclusão adequada ao nosso tempo. A aritmética medieval, com sua tendência a dar apenas regras e omitir conclusões, com sua solução mecânica de questões, teve muita influência em todo o conjunto subsequente. vida escolar, e tão grande que traços dele aparecem a cada passo, mesmo em nosso tempo. Não importa o quanto tentemos nos livrar da tradição, nos libertar do hábito, mas eles nos agarram muito de perto e são atraídos por nós com muita força para serem completamente descartados. Nossa escola ainda é culpada de aprendizagem mecânica da aritmética, sem participação suficiente da consciência. A regra tripla é uma boa prova disso. Muitas vezes esquece nossa média e escola inferior que se destina a dar uma educação geral, e não a formar contadores, escriturários, contadores, etc. , são frequentemente usados ​​até agora. Por que todas essas regras: triplo, misturas, etc.? A que propósito eles devem servir? Devem ser uma conclusão dos problemas resolvidos, e não preceder a solução dos problemas; é prejudicial resolver problemas de acordo com uma regra previamente aprendida, mas deve-se tentar chegar a uma resposta por livre consideração pessoal. Em uma palavra, a regra não deve ser entendida na forma de uma receita, o que basta memorizar para preparar várias soluções intrincadas de acordo com ela; mas eles devem ser valorizados apenas como uma conclusão a que o aluno chega: se o aluno não pode tirar essa conclusão, então isso significa que os problemas são levados pouco, ou não são organizados sistematicamente, e esse erro deve ser corrigido por uma abordagem mais sistemática. arranjo de problemas; se o aluno não tira uma conclusão tão completa e detalhada como o professor gostaria, então é melhor ficar satisfeito com ele do que forçá-lo a aprender a regra imposta pelo livro didático: logo será esquecido e não terá um desenvolvimento, uma vez que a independência deve ser uma qualidade necessária da derivação matemática, mas uma condição necessária da consciência deve haver uma estreita conexão de todas as partes do curso, razão pela qual não pode haver lugar para a inserção mecânica na cabeça de peças assimiladas pela memória.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
MANUAL DE MATEMÁTICA ELEMENTAR
ARITMÉTICA, ÁLGEBRA, 1965


1. Regra tripla simples. Dos problemas de grandezas proporcionais, os mais comuns são os problemas da chamada regra tripla simples. Nestas tarefas, são dados três números e é necessário determinar o quarto, proporcional a eles.

Problema 1. 10 parafusos pesam 4 kg. Quanto pesam 25 desses parafusos? Tais tarefas podem ser resolvidas de várias maneiras.

Solução I (por redução à unidade).

1) Quanto pesa um parafuso?

4kg: 10 = 0,4kg.

2) Quanto pesam 25 parafusos?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Solução II (método das proporções). Como o peso dos parafusos é diretamente proporcional ao seu número, a proporção dos pesos é igual à proporção das peças (parafusos). Denotando o peso desejado com a letra x, obtemos a proporção:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Você pode argumentar assim: 25 parafusos são 2,5 vezes mais que 10 parafusos. Portanto, eles também são 2,5 vezes mais pesados ​​que 4 kg:

4kg 2,5 = 10kg.

Responda. 25 parafusos pesam 10 kg.

Problema 2. A primeira marcha faz 50 rpm. A segunda marcha, engatada com a primeira, faz 75 rpm. Encontre o número de dentes da segunda roda se o número de dentes da primeira for 30.

Solução (por redução à unidade). Ambas as engrenagens engrenadas se moverão em um minuto pelo mesmo número de dentes, de modo que o número de revoluções das rodas é inversamente proporcional ao número de seus dentes.

50 rev. - 30 dentes

75 rev. - X dente.

X : 30 = 50: 75; (dentes).

Você também pode argumentar assim: a segunda roda faz revoluções 1,5 vezes mais que a primeira (75: 50 \u003d 1,5). Portanto, possui dentes 1,5 vezes menores que o primeiro:

30: 1,5 = 20 (dentes).

Responda. 20 dentes.

2. Regra tripla complicada. Tarefas em que, para uma determinada série de valores correspondentes de várias (mais de duas) quantidades proporcionais, é necessário encontrar o valor de uma delas correspondente a outra série de valores dados das quantidades restantes, elas são chamados de tarefas para uma regra tripla complexa.

Uma tarefa. 5 bombas bombearam 1800 baldes de água em 3 horas. Quanta água será bombeada por 4 dessas bombas em 4 horas?

5 nós. 3 horas - 1800 ved.

4 nós. 4h - X ver.

1) Quantos baldes de água 1 bomba bombeou em 3 horas?

1800: 5 = 360 (baldes).

2) Quantos baldes de água 1 bomba bombeou em 1 hora?

360: 3 = 120 (baldes).

3) Quanta água será bombeada por 4 bombas em 1 hora?

120 4 = 480 (baldes).

4) Quanta água será bombeada por 4 bombas em 4 horas?

480 4 = 1920 (baldes).

Responda. 1920 baldes

Solução abreviada por fórmula numérica:

(baldes).

Uma tarefa. Divida o número 100 em duas partes em proporção direta aos números 2 e 3,

Esta tarefa deve ser entendida da seguinte forma: divida 100 em duas partes para que a primeira se relacione com a segunda como 2 a 3. Se denotarmos os números desejados por letras X 1 e X 2, este problema pode ser formulado da seguinte forma. Achar X 1 e X 2 tal que

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.