Exemplo

1,6/2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Fator de proporcionalidade

A razão constante de grandezas proporcionais é chamada coeficiente de proporcionalidade. O coeficiente de proporcionalidade mostra quantas unidades de uma quantidade caem sobre uma unidade de outra.

Proporcionalidade direta

Proporcionalidade direta- dependência funcional, em que uma quantidade depende de outra quantidade de tal forma que sua razão permanece constante. Em outras palavras, essas variáveis ​​mudam proporcionalmente, em partes iguais, ou seja, se o argumento mudou duas vezes em qualquer direção, então a função também muda duas vezes na mesma direção.

Matematicamente, a proporcionalidade direta é escrita como uma fórmula:

f(x) = umax,uma = const

Proporcionalidade inversa

Proporção inversa- esta é uma dependência funcional, na qual um aumento no valor independente (argumento) causa uma diminuição proporcional no valor dependente (função).

Matematicamente proporcionalidade inversaé escrito como uma fórmula:

Propriedades da função:

Fontes

Fundação Wikimedia. 2010.

• segunda lei de newton
• Barreira de Coulomb

Veja o que é "Proporcionalidade direta" em outros dicionários:

proporcionalidade direta- - [A.S. Goldberg. Dicionário de Energia Inglês Russo. 2006] Temas energia em geral EN relação direta … Manual do Tradutor Técnico

proporcionalidade direta- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporcionalidade direta vok. direkte Proporcionalitat, f rus. proporcionalidade direta, f pranc. rationalité directe, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORCIONALIDADE- (de lat. proporcionalis proporcional, proporcional). Proporcionalidade. Dicionário palavras estrangeiras incluído no idioma russo. Chudinov A.N., 1910. PROPORCIONALIDADE otlat. proporcional, proporcional. Proporcionalidade. Explicação de 25000… … Dicionário de palavras estrangeiras da língua russa

PROPORCIONALIDADE- PROPORCIONALIDADE, proporcionalidade, pl. não, fêmea (livro). 1. distração substantivo para proporcional. Proporcionalidade das peças. proporcionalidade do corpo. 2. Tal relação entre quantidades quando são proporcionais (veja proporcional ... Dicionário Ushakov

Proporcionalidade- Duas quantidades mutuamente dependentes são chamadas de proporcionais se a razão de seus valores permanecer inalterada .. Conteúdo 1 Exemplo 2 Coeficiente de proporcionalidade ... Wikipedia

PROPORCIONALIDADE- PROPORCIONALIDADE, e, esposas. 1. ver proporcional. 2. Em matemática: tal relação entre quantidades, quando um aumento em uma delas implica uma mudança na outra na mesma quantidade. P. direta (quando cortada com um aumento de um valor ... ... Dicionário explicativo de Ozhegov

proporcionalidade- e; Nós vamos. 1. para Proporcional (1 dígito); proporcionalidade. P. partes. P. físico. P. representação no parlamento. 2. Matemática. Dependência entre quantidades que mudam proporcionalmente. Fator de proporcionalidade. Direto p. (Em que com ... ... dicionário enciclopédico

A proporcionalidade é a relação entre duas grandezas, na qual uma mudança em uma delas acarreta uma mudança na outra na mesma quantidade.

A proporcionalidade é direta e inversa. NO esta lição veremos cada um deles.

Conteúdo da lição

Proporcionalidade direta

Suponha que um carro esteja se movendo a uma velocidade de 50 km/h. Lembramos que a velocidade é a distância percorrida por unidade de tempo (1 hora, 1 minuto ou 1 segundo). No nosso exemplo, o carro está se movendo a uma velocidade de 50 km/h, ou seja, em uma hora percorrerá uma distância igual a cinquenta quilômetros.

Vamos traçar a distância percorrida pelo carro em 1 hora.

Deixe o carro dirigir por mais uma hora na mesma velocidade de cinquenta quilômetros por hora. Então acontece que o carro percorrerá 100 km

Como pode ser visto no exemplo, dobrar o tempo levou a um aumento na distância percorrida na mesma quantidade, ou seja, duas vezes.

Quantidades como tempo e distância são ditas diretamente proporcionais. A relação entre essas quantidades é chamada de proporcionalidade direta.

A proporcionalidade direta é a relação entre duas grandezas, na qual o aumento de uma delas acarreta o aumento da outra na mesma proporção.

e vice-versa, se um valor diminui um certo número de vezes, o outro diminui na mesma quantidade.

Vamos supor que foi originalmente planejado para dirigir um carro 100 km em 2 horas, mas depois de dirigir 50 km, o motorista decidiu fazer uma pausa. Então acontece que, reduzindo a distância pela metade, o tempo diminuirá na mesma quantidade. Em outras palavras, uma diminuição na distância percorrida levará a uma diminuição no tempo pelo mesmo fator.

Uma característica interessante das grandezas diretamente proporcionais é que sua razão é sempre constante. Ou seja, ao alterar os valores de quantidades diretamente proporcionais, sua proporção permanece inalterada.

No exemplo considerado, a distância foi inicialmente igual a 50 km e o tempo foi de uma hora. A razão entre a distância e o tempo é o número 50.

Mas aumentamos o tempo de movimento em 2 vezes, tornando-o igual a duas horas. Como resultado, a distância percorrida aumentou na mesma proporção, ou seja, tornou-se igual a 100 km. A razão de cem quilômetros para duas horas é novamente o número 50

O número 50 é chamado coeficiente de proporcionalidade direta. Mostra quanta distância existe por hora de movimento. NO este caso o coeficiente desempenha o papel da velocidade do movimento, uma vez que a velocidade é a razão entre a distância percorrida e o tempo.

As proporções podem ser feitas a partir de quantidades diretamente proporcionais. Por exemplo, as razões e compõem a proporção:

Cinquenta quilômetros estão relacionados a uma hora, assim como cem quilômetros estão relacionados a duas horas.

Exemplo 2. O custo e a quantidade dos bens adquiridos são diretamente proporcionais. Se 1 kg de doces custa 30 rublos, 2 kg dos mesmos doces custarão 60 rublos, 3 kg - 90 rublos. Com o aumento do custo dos bens adquiridos, sua quantidade aumenta na mesma quantidade.

Como o valor de uma mercadoria e sua quantidade são diretamente proporcionais, sua razão é sempre constante.

Vamos escrever a proporção de trinta rublos para um quilograma

Agora vamos escrever o que a proporção de sessenta rublos para dois quilogramas é igual. Essa proporção será novamente igual a trinta:

Aqui, o coeficiente de proporcionalidade direta é o número 30. Este coeficiente mostra quantos rublos por quilo de doces. NO este exemplo o coeficiente desempenha o papel do preço de um quilograma de mercadorias, pois o preço é a razão entre o custo das mercadorias e sua quantidade.

Proporcionalidade inversa

Considerar próximo exemplo. A distância entre as duas cidades é de 80 km. O motociclista saiu da primeira cidade, e em uma velocidade de 20 km/h chegou à segunda cidade em 4 horas.

Se a velocidade de um motociclista era de 20 km/h, isso significa que a cada hora ele percorreu uma distância igual a vinte quilômetros. Representemos na figura a distância percorrida pelo motociclista e o tempo de seu deslocamento:

No caminho de volta a velocidade do motociclista era de 40 km/h, e ele gastou 2 horas no mesmo trajeto.

É fácil ver que quando a velocidade muda, o tempo do movimento muda na mesma proporção. E mudou em lado reverso- ou seja, a velocidade aumentou e o tempo, ao contrário, diminuiu.

Quantidades como velocidade e tempo são chamadas de inversamente proporcionais. A relação entre essas quantidades é chamada de proporcionalidade inversa.

A proporcionalidade inversa é a relação entre duas grandezas, na qual o aumento de uma delas acarreta a diminuição da outra na mesma quantidade.

e vice-versa, se um valor diminui um certo número de vezes, o outro aumenta na mesma quantidade.

Por exemplo, se na volta a velocidade de um motociclista fosse de 10 km/h, então ele percorreria os mesmos 80 km em 8 horas:

Como pode ser visto no exemplo, uma diminuição na velocidade levou a um aumento no tempo de viagem pelo mesmo fator.

A peculiaridade das quantidades inversamente proporcionais é que seu produto é sempre constante. Ou seja, ao alterar os valores de quantidades inversamente proporcionais, seu produto permanece inalterado.

No exemplo considerado, a distância entre as cidades foi de 80 km. Ao alterar a velocidade e o tempo do motociclista, essa distância sempre permaneceu inalterada.

Um motociclista pode percorrer essa distância a uma velocidade de 20 km/h em 4 horas, a uma velocidade de 40 km/h em 2 horas e a uma velocidade de 10 km/h em 8 horas. Em todos os casos, o produto da velocidade pelo tempo foi igual a 80 km

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§ 129. Esclarecimentos preliminares.

O homem lida constantemente com uma grande variedade de quantidades. Um funcionário e um trabalhador tentam chegar ao serviço, para trabalhar em um determinado horário, o pedestre se apressa para chegar lugar famoso da maneira mais curta possível, a fonte de aquecimento a vapor se preocupa com o aumento lento da temperatura na caldeira, o gerente de negócios faz planos para reduzir o custo de produção etc.

Qualquer número desses exemplos poderia ser citado. Tempo, distância, temperatura, custo - todas essas são várias quantidades. Na primeira e na segunda partes deste livro, conhecemos algumas grandezas especialmente comuns: área, volume, peso. Encontramos muitas quantidades no estudo da física e de outras ciências.

Imagine que você está em um trem. De vez em quando você olha para o relógio e percebe quanto tempo já está na estrada. Você diz, por exemplo, que 2, 3, 5, 10, 15 horas, etc., se passaram desde a partida do seu trem.Esses números indicam vários períodos de tempo; eles são chamados de valores dessa quantidade (tempo). Ou você olha pela janela e segue os postes da estrada para a distância que seu trem percorre. Os números 110, 111, 112, 113, 114 km piscam à sua frente. Esses números indicam as várias distâncias que o trem percorreu desde o ponto de partida. Eles também são chamados de valores, desta vez com um valor diferente (caminho ou distância entre dois pontos). Assim, um valor, por exemplo, tempo, distância, temperatura, pode assumir qualquer Significados diferentes.

Preste atenção ao fato de que uma pessoa quase nunca considera apenas um valor, mas sempre o conecta com alguns outros valores. Ele tem que lidar com dois, três e um grande número quantidades. Imagine que você precisa chegar à escola às 9 horas. Você olha para o relógio e vê que tem 20 minutos. Então você decide rapidamente se deve pegar o bonde ou terá tempo para caminhar até a escola. Depois de pensar, você decide andar. Observe que no momento em que você estava pensando, você estava resolvendo algum problema. Essa tarefa se tornou simples e familiar, pois você resolve esses problemas todos os dias. Nele, você comparou rapidamente vários valores. Foi você quem olhou para o relógio, o que significa que você levou em conta a hora, depois imaginou mentalmente a distância da sua casa até a escola; finalmente, você comparou duas grandezas: a velocidade do seu passo e a velocidade do bonde, e concluiu que para Tempo dado(20 min.) Você terá tempo para caminhar. A partir deste exemplo simples, você pode ver que em nossa prática, algumas quantidades estão interligadas, ou seja, elas dependem umas das outras

No capítulo doze, foi falado sobre a razão de quantidades homogêneas. Por exemplo, se um segmento tiver 12 m e o outro 4 m, a proporção desses segmentos será de 12: 4.

Dissemos que é a razão de duas quantidades homogêneas. Em outras palavras, é a razão entre dois números um nome.

Agora que nos tornamos mais familiarizados com as quantidades e introduzimos o conceito de valor de uma quantidade, podemos enunciar a definição de uma relação de uma nova maneira. De fato, quando consideramos dois segmentos de 12 m e 4 m, estávamos falando de um valor - comprimento e 12 m e 4 m - estes eram apenas dois Significados diferentes este valor.

Portanto, no futuro, quando começarmos a falar de uma razão, consideraremos dois valores de uma de algumas quantidades, e a razão de um valor de uma quantidade para outro valor da mesma quantidade será chamada de quociente de divisão o primeiro valor pelo segundo.

§ 130. As quantidades são diretamente proporcionais.

Considere um problema cuja condição inclui duas quantidades: distância e tempo.

Tarefa 1. Um corpo que se move em linha reta e passa uniformemente 12 cm a cada segundo.Determine a trajetória percorrida pelo corpo em 2, 3, 4, ..., 10 segundos.

Vamos fazer uma tabela pela qual seria possível monitorar a mudança de tempo e distância.

A tabela nos dá a oportunidade de comparar essas duas séries de valores. Vemos a partir dele que quando os valores da primeira quantidade (tempo) aumentam gradualmente em 2, 3, ..., 10 vezes, os valores da segunda quantidade (distância) também aumentam em 2, 3, ..., 10 vezes. Assim, quando os valores de uma quantidade aumentam várias vezes, os valores de outra quantidade aumentam na mesma quantidade, e quando os valores de uma quantidade diminuem várias vezes, os valores da outra quantidade diminuem em a mesma quantidade.

Considere agora um problema que inclui duas dessas quantidades: a quantidade de matéria e seu custo.

Tarefa 2. 15 m de tecido custam 120 rublos. Calcule o custo deste tecido para várias outras quantidades de metros indicadas na tabela.

A partir desta tabela, podemos ver como o valor de uma mercadoria aumenta gradualmente, dependendo do aumento de sua quantidade. Apesar do fato de que quantidades completamente diferentes aparecem neste problema (no primeiro problema - tempo e distância, e aqui - a quantidade de bens e seu custo), no entanto, uma grande semelhança pode ser encontrada no comportamento dessas quantidades.

De fato, na linha superior da tabela há números que indicam o número de metros de tecido, sob cada um deles está escrito um número que expressa o custo da quantidade correspondente de mercadorias. Mesmo uma rápida olhada nesta tabela mostra que os números nas linhas superior e inferior estão aumentando; em um exame mais detalhado da tabela e ao comparar colunas individuais, verifica-se que em todos os casos os valores da segunda quantidade aumentam pelo mesmo fator que os valores da primeira aumentam, ou seja, se o valor da primeira quantidade aumentou, digamos, 10 vezes, então o valor do segundo valor também aumentou 10 vezes.

Se olharmos a tabela da direita para a esquerda, descobriremos que os valores indicados das quantidades diminuirão em o mesmo número uma vez. Nesse sentido, há uma semelhança incondicional entre a primeira tarefa e a segunda.

Os pares de quantidades que encontramos no primeiro e segundo problemas são chamados diretamente proporcional.

Assim, se duas grandezas estão interconectadas de tal forma que, com o aumento (diminuição) no valor de uma delas várias vezes, o valor da outra aumenta (diminui) na mesma quantidade, essas quantidades são chamadas diretamente proporcionais.

Eles também dizem sobre tais quantidades que estão interconectadas por uma dependência diretamente proporcional.

Na natureza e na vida ao nosso redor, existem muitas dessas quantidades. aqui estão alguns exemplos:

1. Tempo trabalho (um dia, dois dias, três dias, etc.) e ganhos recebido durante este tempo em salários diários.

2. Volume qualquer item feito de material homogêneo, e O peso este item.

§ 131. A propriedade de quantidades diretamente proporcionais.

Vamos pegar um problema que inclui as duas quantidades a seguir: expediente e ganhos. Se os ganhos diários forem de 20 rublos, os ganhos de 2 dias serão de 40 rublos etc. É mais conveniente fazer uma tabela na qual um certo número dias corresponderá a um determinado salário.

Olhando para esta tabela, vemos que ambas as quantidades assumiram 10 valores diferentes. Cada valor do primeiro valor corresponde a um determinado valor do segundo valor, por exemplo, 40 rublos correspondem a 2 dias; 5 dias correspondem a 100 rublos. Na tabela, esses números são escritos um sob o outro.

Já sabemos que, se duas quantidades são diretamente proporcionais, cada uma delas, no processo de sua mudança, aumenta na mesma proporção que a outra aumenta. Segue-se imediatamente disso: se tomarmos a proporção de quaisquer dois valores da primeira quantidade, será igual à proporção dos dois valores correspondentes da segunda quantidade. De fato:

Por que isso está acontecendo? Mas porque esses valores são diretamente proporcionais, ou seja, quando um deles (tempo) aumentou 3 vezes, o outro (ganhos) aumentou 3 vezes.

Chegamos, portanto, à seguinte conclusão: se pegarmos dois valores quaisquer da primeira magnitude e os dividirmos um pelo outro, e depois dividirmos um pelo outro os valores correspondentes da segunda magnitude, então em ambos os casos um e o mesmo número será obtido, ou seja, a mesma relação. Isso significa que as duas relações que escrevemos acima podem ser conectadas com um sinal de igual, ou seja,

Não há dúvida de que se tomássemos não essas relações, mas outras, e não nessa ordem, mas na direção oposta, obteríamos também igualdade de relações. De fato, consideraremos os valores de nossas quantidades da esquerda para a direita e tomaremos o terceiro e o nono valores:

60:180 = 1 / 3 .

Assim podemos escrever:

Isso implica a seguinte conclusão: se duas quantidades são diretamente proporcionais, então a razão de dois valores arbitrariamente tomados da primeira quantidade é igual à razão dos dois valores correspondentes da segunda quantidade.

§ 132. Fórmula da proporcionalidade direta.

Crie uma tabela de custos várias quantidades doces, se 1 kg deles custa 10,4 rublos.

Agora vamos fazer assim. Vamos pegar qualquer número da segunda linha e dividi-lo pelo número correspondente da primeira linha. Por exemplo:

Você vê que no quociente o mesmo número é obtido o tempo todo. Portanto, para um determinado par de quantidades diretamente proporcionais, o quociente de dividir qualquer valor de uma quantidade pelo valor correspondente de outra quantidade é um número constante (ou seja, não varia). Em nosso exemplo, esse quociente é 10,4. isto número constante chamado fator de proporcionalidade. Nesse caso, expressa o preço de uma unidade de medida, ou seja, um quilograma de mercadoria.

Como encontrar ou calcular o fator de proporcionalidade? Para fazer isso, você precisa pegar qualquer valor de uma quantidade e dividi-lo pelo valor correspondente de outra.

Vamos denotar este valor arbitrário de uma quantidade pela letra no , e o valor correspondente de outra quantidade - a letra X , então o coeficiente de proporcionalidade (denotamos Para) encontre dividindo:

Nesta igualdade no - divisível X - divisor e Para- quociente, e como, pela propriedade da divisão, o dividendo é igual ao divisor multiplicado pelo quociente, podemos escrever:

y= K x

A igualdade resultante é chamada fórmula da proporcionalidade direta. Usando esta fórmula, podemos calcular qualquer número de valores de uma das quantidades diretamente proporcionais, se soubermos os valores correspondentes da outra quantidade e o coeficiente de proporcionalidade.

Exemplo. Da física sabemos que o peso R de qualquer corpo é igual à sua gravidade específica d multiplicado pelo volume deste corpo V, ou seja R = d V.

Pegue cinco lingotes de ferro de vários tamanhos; sabendo Gravidade Específica ferro (7,8), podemos calcular os pesos desses espaços em branco usando a fórmula:

R = 7,8 V.

Comparando esta fórmula com a fórmula no = Para X , nós vemos que y= R, x = V, e o coeficiente de proporcionalidade Para= 7,8. A fórmula é a mesma, apenas as letras são diferentes.

Usando esta fórmula, vamos fazer uma tabela: seja o volume do 1º espaço em branco de 8 metros cúbicos. cm, então seu peso é 7,8 8 \u003d 62,4 (g). O volume do 2º blank é de 27 metros cúbicos. cm. Seu peso é 7,8 27 \u003d 210,6 (g). A tabela ficará assim:

Calcule você mesmo os números que faltam nesta tabela usando a fórmula R= d V.

§ 133. Outras formas de resolver problemas com quantidades diretamente proporcionais.

No parágrafo anterior, resolvemos o problema, cuja condição incluía quantidades diretamente proporcionais. Para isso, derivamos anteriormente a fórmula da proporcionalidade direta e, em seguida, aplicamos essa fórmula. Agora vamos mostrar duas outras maneiras de resolver problemas semelhantes.

Vamos fazer um problema de acordo com os dados numéricos fornecidos na tabela do parágrafo anterior.

Uma tarefa. Em branco com um volume de 8 metros cúbicos. cm pesa 62,4 g. Quanto pesará um branco com um volume de 64 metros cúbicos? cm?

Solução. O peso do ferro, como você sabe, é proporcional ao seu volume. Se 8 cu. cm pesam 62,4 g, então 1 cu. cm pesará 8 vezes menos, ou seja,

62,4: 8 = 7,8 (g).

Um espaço em branco com um volume de 64 metros cúbicos. cm pesará 64 vezes mais do que um branco de 1 cu. cm, ou seja

7,8 64 = 499,2(g).

Resolvemos nosso problema reduzindo à unidade. O significado deste nome se justifica pelo fato de que para resolvê-lo, tivemos que encontrar o peso de uma unidade de volume na primeira questão.

2. Método de proporção. Vamos resolver o mesmo problema usando o método da proporção.

Como o peso do ferro e seu volume são quantidades diretamente proporcionais, a razão de dois valores de uma quantidade (volume) é igual à razão de dois valores correspondentes de outra quantidade (peso), ou seja,

(carta R denotamos o peso desconhecido do branco). Daqui:

(G).

O problema é resolvido pelo método das proporções. Isso significa que, para resolvê-lo, foi feita uma proporção dos números incluídos na condição.

§ 134. As quantidades são inversamente proporcionais.

Considere o seguinte problema: “Cinco pedreiros podem colocar as paredes de tijolos de uma casa em 168 dias. Determine em quantos dias 10, 8, 6, etc. pedreiros poderiam fazer o mesmo trabalho.

Se 5 pedreiros derrubassem as paredes de uma casa em 168 dias, então (com a mesma produtividade do trabalho) 10 pedreiros poderiam fazê-lo duas vezes mais rápido, pois em média 10 pessoas fazem o dobro do trabalho que 5 pessoas.

Vamos fazer uma tabela segundo a qual seria possível monitorar a mudança no número de horas de trabalho e horas de trabalho.

Por exemplo, para descobrir quantos dias são necessários 6 trabalhadores, você deve primeiro calcular quantos dias são necessários para um trabalhador (168 5 = 840) e depois seis trabalhadores (840: 6 = 140). Olhando para esta tabela, vemos que ambas as quantidades assumiram seis valores diferentes. Cada valor da primeira grandeza corresponde mais definitivamente; o valor do segundo valor, por exemplo, 10 corresponde a 84, o número 8 - o número 105, etc.

Se considerarmos os valores de ambos os valores da esquerda para a direita, veremos que os valores do valor superior aumentam e os valores do valor inferior diminuem. Ascendente e descendente estão sujeitos próxima lei: os valores do número de trabalhadores aumentam pelo mesmo fator que os valores do tempo de trabalho gasto diminuem. De forma ainda mais simples, essa ideia pode ser expressa da seguinte forma: quanto mais trabalhadores estão empregados em qualquer negócio, menos tempo eles precisam para concluir certo trabalho. As duas quantidades que encontramos neste problema são chamadas inversamente proporcional.

Assim, se duas grandezas estão interconectadas de modo que, com um aumento (diminuição) no valor de uma delas várias vezes, o valor da outra diminui (aumenta) na mesma quantidade, essas quantidades são chamadas de inversamente proporcionais.

Há muitas coisas assim na vida. Vamos dar exemplos.

1. Se por 150 rublos. você precisa comprar vários quilos de doces, então o número de doces dependerá do preço de um quilo. Quanto maior o preço, menos mercadorias podem ser compradas com esse dinheiro; isso pode ser visto na tabela:

Com um aumento no preço dos doces várias vezes, o número de quilos de doces que podem ser comprados por 150 rublos diminui na mesma quantidade. Neste caso, as duas quantidades (o peso do produto e seu preço) são inversamente proporcionais.

2. Se a distância entre duas cidades for de 1.200 km, ela poderá ser percorrida em tempos diferentes dependendo da velocidade do movimento. Existir jeitos diferentes transporte: a pé, a cavalo, de bicicleta, de barco, de carro, de trem, de avião. Quanto menor a velocidade, mais tempo leva para se mover. Isso pode ser visto na tabela:

Com um aumento na velocidade várias vezes, o tempo de movimento diminui na mesma quantidade. Assim, sob dadas condições, a velocidade e o tempo são inversamente proporcionais.

§ 135. A propriedade de quantidades inversamente proporcionais.

Vamos pegar o segundo exemplo, que consideramos no parágrafo anterior. Lá estávamos lidando com duas grandezas - a velocidade do movimento e o tempo. Se considerarmos os valores dessas quantidades da esquerda para a direita na tabela, veremos que os valores da primeira quantidade (velocidade) aumentam e os valores da segunda (tempo) diminuem, e a velocidade aumenta pelo mesmo fator que o tempo diminui.É fácil descobrir que, se você escrever a proporção de alguns valores de uma quantidade, ela não será igual à proporção dos valores correspondentes de outra quantidade. De fato, se tomarmos a proporção do quarto valor do valor superior para o sétimo valor (40: 80), não será igual à proporção do quarto e sétimo valores do valor inferior (30: 15 ). Pode ser escrito assim:

40:80 não é igual a 30:15 ou 40:80 =/= 30:15.

Mas se em vez de uma dessas razões tomarmos o oposto, obtemos igualdade, ou seja, dessas razões será possível fazer uma proporção. Por exemplo:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Com base no exposto, podemos tirar a seguinte conclusão: se duas quantidades são inversamente proporcionais, então a razão de dois valores arbitrários de uma quantidade é igual a relação inversa valores correspondentes de outra quantidade.

§ 136. Fórmula de proporcionalidade inversa.

Considere o problema: “Existem 6 peças de tecido de seda tamanhos diferentes e diversas variedades. Todas as peças têm o mesmo preço. Em uma peça 100 m de tecido a um preço de 20 rublos. por metro. Quantos metros estão em cada uma das outras cinco peças, se um metro de tecido nessas peças custa 25, 40, 50, 80, 100 rublos, respectivamente? Vamos criar uma tabela para resolver este problema:

Precisamos preencher as células vazias na linha superior desta tabela. Vamos primeiro tentar determinar quantos metros estão na segunda peça. Isso pode ser feito da seguinte maneira. Sabe-se da condição do problema que o custo de todas as peças é o mesmo. O custo da primeira peça é fácil de determinar: tem 100 me cada metro custa 20 rublos, o que significa que na primeira peça de seda custa 2.000 rublos. Como o segundo pedaço de seda contém o mesmo número de rublos, então, dividindo 2.000 rublos. ao preço de um metro, ou seja, a 25, encontramos o valor da segunda peça: 2.000: 25 = 80 (m). Da mesma forma, encontraremos o tamanho de todas as outras peças. A tabela ficará assim:

É fácil ver que entre o número de metros e o preço há um inverso dependência proporcional.

Se você mesmo fizer os cálculos necessários, perceberá que cada vez que você tiver que dividir o número 2.000 pelo preço de 1 m. Por outro lado, se você começar a multiplicar o tamanho de uma peça em metros pelo preço de 1 m, você sempre obterá o número 2.000, e era de se esperar, pois cada peça custa 2.000 rublos.

A partir disso, podemos tirar a seguinte conclusão: para um determinado par de quantidades inversamente proporcionais, o produto de qualquer valor de uma quantidade pelo valor correspondente de outra quantidade é um número constante (isto é, não varia).

No nosso problema, esse produto é igual a 2.000. Verifique que no problema anterior, que falava sobre a velocidade de deslocamento e o tempo necessário para se deslocar de uma cidade para outra, também havia um número constante para esse problema (1.200).

Levando em conta tudo o que foi dito, é fácil derivar a fórmula da proporcionalidade inversa. Denote algum valor de uma quantidade pela letra X , e o valor correspondente de outro valor - a letra no . Então, com base no trabalho acima X no no deve ser igual a alguns valor constante, que será indicado pela letra Para, ou seja

xy = Para.

Nesta igualdade X - multiplicador, no - multiplicador e K- trabalhar. Pela propriedade da multiplicação, o multiplicador é igual ao produto dividido pelo multiplicador. Significa,

Esta é a fórmula da proporcionalidade inversa. Usando-o, podemos calcular qualquer número de valores​​de uma das quantidades inversamente proporcionais, conhecendo os valores da outra e um número constante Para.

Considere outro problema: “O autor de um ensaio calculou que se seu livro estivesse no formato usual, teria 96 páginas, mas se fosse um formato de bolso, teria 300 páginas. Ele tentou diferentes variantes, começou com 96 páginas e depois obteve 2.500 cartas por página. Então ele pegou o número de páginas indicado na tabela abaixo e novamente calculou quantas letras haveria na página.

Vamos tentar calcular quantas letras haverá em uma página se o livro tiver 100 páginas.

Há 240.000 letras em todo o livro, já que 2.500 96 = 240.000.

Levando isso em consideração, usamos a fórmula da proporcionalidade inversa ( no - número de letras por página X - número de páginas):

Em nosso exemplo Para= 240.000, portanto,

Portanto, há 2.400 letras em uma página.

Da mesma forma, aprendemos que, se o livro tiver 120 páginas, o número de letras na página será:

Nossa tabela ficará assim:

Preencha o resto das células você mesmo.

§ 137. Outras formas de resolver problemas com quantidades inversamente proporcionais.

No parágrafo anterior, resolvemos problemas que incluíam quantidades inversamente proporcionais. Anteriormente, derivamos a fórmula da proporcionalidade inversa e, em seguida, aplicamos essa fórmula. Agora vamos mostrar duas outras maneiras de resolver esses problemas.

1. Método de redução à unidade.

Uma tarefa. 5 torneiros podem fazer algum trabalho em 16 dias. Em quantos dias 8 torneiros podem completar este trabalho?

Solução. Existe uma relação inversa entre o número de torneiros e o tempo de trabalho. Se 5 torneiros fizerem o trabalho em 16 dias, uma pessoa precisará de 5 vezes mais tempo para isso, ou seja,

5 torneiros fazem o trabalho em 16 dias,

1 torneiro irá completá-lo em 16 5 = 80 dias.

O problema pergunta, em quantos dias 8 torneiros completarão o trabalho. Obviamente, eles farão o trabalho 8 vezes mais rápido que 1 torneiro, ou seja, para

80: 8 = 10 (dias).

Esta é a solução do problema pelo método de redução à unidade. Aqui, em primeiro lugar, era necessário determinar o tempo para a realização do trabalho por um trabalhador.

2. Método de proporção. Vamos resolver o mesmo problema da segunda maneira.

Como existe uma relação inversa entre o número de trabalhadores e o tempo de trabalho, podemos escrever: a duração do trabalho de 5 torneiros o novo número de torneiros (8) a duração do trabalho de 8 torneiros o número anterior de torneiros (5 ) Vamos denotar a duração desejada do trabalho pela letra X e substituir na proporção expresso em palavras, números necessários:

O mesmo problema é resolvido pelo método das proporções. Para resolvê-lo, tivemos que fazer uma proporção dos números incluídos na condição do problema.

Observação. Nos parágrafos anteriores, consideramos a questão da proporcionalidade direta e inversa. A natureza e a vida nos dão muitos exemplos de proporções diretas e inversas de quantidades. No entanto, deve-se notar que esses dois tipos de dependência são apenas os mais simples. Junto com eles, existem outras relações mais complexas entre quantidades. Além disso, não se deve pensar que, se duas quantidades quaisquer aumentam simultaneamente, há necessariamente uma proporcionalidade direta entre elas. Isso está longe de ser verdade. Por exemplo, a tarifa de estrada de ferro aumenta com a distância: quanto mais longe vamos, mais pagamos, mas isso não significa que o pagamento seja proporcional à distância.

Hoje veremos quais quantidades são chamadas de inversamente proporcionais, como é o gráfico da proporcionalidade inversa e como tudo isso pode ser útil para você não apenas nas aulas de matemática, mas também fora dos muros da escola.

proporções tão diferentes

Proporcionalidade nomeie duas quantidades que são mutuamente dependentes uma da outra.

A dependência pode ser direta e reversa. Portanto, a relação entre quantidades descreve proporcionalidade direta e inversa.

Proporcionalidade direta- esta é uma relação entre duas quantidades, na qual um aumento ou diminuição em uma delas leva a um aumento ou diminuição na outra. Aqueles. sua atitude não muda.

Por exemplo, quanto mais esforço você colocar na preparação para os exames, mais altas serão suas notas. Ou quanto mais coisas você leva com você em uma caminhada, mais difícil é carregar sua mochila. Aqueles. a quantidade de esforço gasto na preparação para os exames é diretamente proporcional às notas recebidas. E o número de coisas empacotadas em uma mochila é diretamente proporcional ao seu peso.

Proporcionalidade inversa- esta é uma dependência funcional, na qual uma diminuição ou aumento várias vezes de um valor independente (é chamado de argumento) causa um aumento ou diminuição proporcional (ou seja, na mesma quantidade) em um valor dependente (é chamado de função).

Ilustrar exemplo simples. Você quer comprar maçãs no mercado. As maçãs no balcão e a quantidade de dinheiro na carteira estão inversamente relacionadas. Aqueles. quanto mais maçãs você compra, menos dinheiro sobra.

Função e seu gráfico

A função de proporcionalidade inversa pode ser descrita como y = k/x. Em que x≠ 0 e k≠ 0.

Esta função tem as seguintes propriedades:

1. Seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais, exceto x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. O intervalo é todo numeros reais, Além do mais y= 0. E(s): (-∞; 0) você (0; +∞) .
3. Não possui valores máximos ou mínimos.
4. É ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
5. Não periódico.
6. Seu gráfico não cruza os eixos coordenados.
7. Não tem zeros.
8. Se um k> 0 (ou seja, o argumento aumenta), a função diminui proporcionalmente em cada um de seus intervalos. Se um k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À medida que o argumento aumenta ( k> 0) valores negativos as funções estão no intervalo (-∞; 0), e positivas - (0; +∞). Quando o argumento está diminuindo ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

O gráfico da função de proporcionalidade inversa é chamado de hipérbole. Representado da seguinte forma:

Problemas proporcionais inversos

Para deixar mais claro, vamos ver algumas tarefas. Eles não são muito complicados, e sua solução ajudará você a visualizar o que é proporção inversa e como esse conhecimento pode ser útil no seu dia a dia.

Tarefa número 1. O carro está se movendo a uma velocidade de 60 km/h. Ele levou 6 horas para chegar ao seu destino. Quanto tempo ele levará para percorrer a mesma distância se ele se mover com o dobro da velocidade?

Podemos começar escrevendo uma fórmula que descreve a relação entre tempo, distância e velocidade: t = S/V. Concordo, isso nos lembra muito a função de proporcionalidade inversa. E indica que o tempo que o carro passa na estrada e a velocidade com que se move são inversamente proporcionais.

Para verificar isso, vamos encontrar V 2, que, por condição, é 2 vezes maior: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Em seguida, calculamos a distância usando a fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Agora não é difícil descobrir o tempo t 2 que nos é exigido de acordo com a condição do problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como você pode ver, o tempo de viagem e a velocidade são de fato inversamente proporcionais: com uma velocidade 2 vezes maior que a original, o carro gastará 2 vezes menos tempo na estrada.

A solução para este problema também pode ser escrita como uma proporção. Por que criamos um diagrama como este:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

As setas indicam uma relação inversa. Eles também sugerem que ao elaborar uma proporção lado direito os registros devem ser invertidos: 60/120 = x/6. Onde obtemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas.

Tarefa número 2. A oficina emprega 6 trabalhadores que lidam com uma determinada quantidade de trabalho em 4 horas. Se o número de trabalhadores for reduzido pela metade, quanto tempo levará para os trabalhadores restantes completarem a mesma quantidade de trabalho?

Escrevemos as condições do problema na forma de um diagrama visual:

↓ 6 trabalhadores - 4 horas

↓ 3 trabalhadores - x h

Vamos escrever isso como uma proporção: 6/3 = x/4. E obtemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas. Se houver 2 vezes menos trabalhadores, o restante gastará 2 vezes mais tempo para concluir todo o trabalho.

Tarefa número 3. Dois tubos levam à piscina. Através de um tubo, a água entra a uma taxa de 2 l/s e enche a piscina em 45 minutos. Através de outra tubulação, a piscina será preenchida em 75 minutos. Com que velocidade a água entra na piscina através deste tubo?

Para começar, traremos todas as grandezas que nos são dadas de acordo com a condição do problema para as mesmas unidades de medida. Para fazer isso, expressamos a taxa de enchimento da piscina em litros por minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Como decorre da condição de que a piscina é enchida mais lentamente através do segundo tubo, isso significa que a taxa de entrada de água é menor. Na face da proporção inversa. Vamos expressar a velocidade desconhecida para nós em termos de x e esboçar o seguinte esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

E então faremos uma proporção: 120 / x \u003d 75/45, de onde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

No problema, a taxa de enchimento da piscina é expressa em litros por segundo, vamos trazer nossa resposta para a mesma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarefa número 4. Os cartões de visita são impressos em uma pequena gráfica particular. Um funcionário da gráfica trabalha a uma velocidade de 42 cartões de visita por hora e trabalha em período integral - 8 horas. Se ele trabalhasse mais rápido e imprimisse 48 cartões de visita por hora, quanto tempo antes ele poderia ir para casa?

Vamos de maneira comprovada e elaboramos um esquema de acordo com a condição do problema, denotando o valor desejado como x:

↓ 42 cartões de visita/h – 8h

↓ 48 cartões de visita/h – xh

Diante de nós está uma relação inversamente proporcional: quantas vezes mais cartões de visita um funcionário de uma gráfica imprime por hora, o mesmo tempo que ele levará para concluir o mesmo trabalho. Sabendo disso, podemos configurar a proporção:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Assim, tendo concluído o trabalho em 7 horas, o funcionário da gráfica poderia ir para casa uma hora mais cedo.

Conclusão

Parece-nos que esses problemas de proporcionalidade inversa são realmente simples. Esperamos que agora você também os considere assim. E o mais importante, o conhecimento da dependência inversamente proporcional das quantidades pode realmente ser útil para você mais de uma vez.

Não só nas aulas de matemática e exames. Mas mesmo assim, quando você está prestes a viajar, fazer compras, decidir ganhar algum dinheiro durante as férias, etc.

Conte-nos nos comentários quais exemplos de proporcionalidade inversa e direta você percebe ao seu redor. Que isso seja um jogo. Você verá como é emocionante. Não se esqueça de compartilhar este artigo nas redes sociais para que seus amigos e colegas também possam jogar.

blog.site, com cópia total ou parcial do material, é necessário um link para a fonte.

Hoje veremos quais quantidades são chamadas de inversamente proporcionais, como é o gráfico da proporcionalidade inversa e como tudo isso pode ser útil para você não apenas nas aulas de matemática, mas também fora dos muros da escola.

proporções tão diferentes

Proporcionalidade nomeie duas quantidades que são mutuamente dependentes uma da outra.

A dependência pode ser direta e reversa. Portanto, a relação entre quantidades descreve proporcionalidade direta e inversa.

Proporcionalidade direta- esta é uma relação entre duas quantidades, na qual um aumento ou diminuição em uma delas leva a um aumento ou diminuição na outra. Aqueles. sua atitude não muda.

Por exemplo, quanto mais esforço você colocar na preparação para os exames, mais altas serão suas notas. Ou quanto mais coisas você leva com você em uma caminhada, mais difícil é carregar sua mochila. Aqueles. a quantidade de esforço gasto na preparação para os exames é diretamente proporcional às notas recebidas. E o número de coisas empacotadas em uma mochila é diretamente proporcional ao seu peso.

Proporcionalidade inversa- esta é uma dependência funcional, na qual uma diminuição ou aumento várias vezes de um valor independente (é chamado de argumento) causa um aumento ou diminuição proporcional (ou seja, na mesma quantidade) em um valor dependente (é chamado de função).

Vamos ilustrar com um exemplo simples. Você quer comprar maçãs no mercado. As maçãs no balcão e a quantidade de dinheiro na carteira estão inversamente relacionadas. Aqueles. quanto mais maçãs você compra, menos dinheiro sobra.

Função e seu gráfico

A função de proporcionalidade inversa pode ser descrita como y = k/x. Em que x≠ 0 e k≠ 0.

Esta função tem as seguintes propriedades:

1. Seu domínio de definição é o conjunto de todos os números reais, exceto x = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. O intervalo são todos os números reais, exceto y= 0. E(s): (-∞; 0) você (0; +∞) .
3. Não possui valores máximos ou mínimos.
4. É ímpar e seu gráfico é simétrico em relação à origem.
5. Não periódico.
6. Seu gráfico não cruza os eixos coordenados.
7. Não tem zeros.
8. Se um k> 0 (ou seja, o argumento aumenta), a função diminui proporcionalmente em cada um de seus intervalos. Se um k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. À medida que o argumento aumenta ( k> 0) os valores negativos da função estão no intervalo (-∞; 0), e os valores positivos estão no intervalo (0; +∞). Quando o argumento está diminuindo ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

O gráfico da função de proporcionalidade inversa é chamado de hipérbole. Representado da seguinte forma:

Problemas proporcionais inversos

Para deixar mais claro, vamos ver algumas tarefas. Eles não são muito complicados, e sua solução ajudará você a visualizar o que é proporção inversa e como esse conhecimento pode ser útil no seu dia a dia.

Tarefa número 1. O carro está se movendo a uma velocidade de 60 km/h. Ele levou 6 horas para chegar ao seu destino. Quanto tempo ele levará para percorrer a mesma distância se ele se mover com o dobro da velocidade?

Podemos começar escrevendo uma fórmula que descreve a relação entre tempo, distância e velocidade: t = S/V. Concordo, isso nos lembra muito a função de proporcionalidade inversa. E indica que o tempo que o carro passa na estrada e a velocidade com que se move são inversamente proporcionais.

Para verificar isso, vamos encontrar V 2, que, por condição, é 2 vezes maior: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Em seguida, calculamos a distância usando a fórmula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Agora não é difícil descobrir o tempo t 2 que nos é exigido de acordo com a condição do problema: t 2 = 360/120 = 3 horas.

Como você pode ver, o tempo de viagem e a velocidade são de fato inversamente proporcionais: com uma velocidade 2 vezes maior que a original, o carro gastará 2 vezes menos tempo na estrada.

A solução para este problema também pode ser escrita como uma proporção. Por que criamos um diagrama como este:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

As setas indicam uma relação inversa. E eles também sugerem que, ao elaborar a proporção, o lado direito do registro deve ser virado: 60/120 \u003d x / 6. Onde obtemos x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 horas.

Tarefa número 2. A oficina emprega 6 trabalhadores que lidam com uma determinada quantidade de trabalho em 4 horas. Se o número de trabalhadores for reduzido pela metade, quanto tempo levará para os trabalhadores restantes completarem a mesma quantidade de trabalho?

Escrevemos as condições do problema na forma de um diagrama visual:

↓ 6 trabalhadores - 4 horas

↓ 3 trabalhadores - x h

Vamos escrever isso como uma proporção: 6/3 = x/4. E obtemos x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 horas. Se houver 2 vezes menos trabalhadores, o restante gastará 2 vezes mais tempo para concluir todo o trabalho.

Tarefa número 3. Dois tubos levam à piscina. Através de um tubo, a água entra a uma taxa de 2 l/s e enche a piscina em 45 minutos. Através de outra tubulação, a piscina será preenchida em 75 minutos. Com que velocidade a água entra na piscina através deste tubo?

Para começar, traremos todas as grandezas que nos são dadas de acordo com a condição do problema para as mesmas unidades de medida. Para fazer isso, expressamos a taxa de enchimento da piscina em litros por minuto: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Como decorre da condição de que a piscina é enchida mais lentamente através do segundo tubo, isso significa que a taxa de entrada de água é menor. Na face da proporção inversa. Vamos expressar a velocidade desconhecida para nós em termos de x e esboçar o seguinte esquema:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

E então faremos uma proporção: 120 / x \u003d 75/45, de onde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

No problema, a taxa de enchimento da piscina é expressa em litros por segundo, vamos trazer nossa resposta para a mesma forma: 72/60 = 1,2 l/s.

Tarefa número 4. Os cartões de visita são impressos em uma pequena gráfica particular. Um funcionário da gráfica trabalha a uma velocidade de 42 cartões de visita por hora e trabalha em período integral - 8 horas. Se ele trabalhasse mais rápido e imprimisse 48 cartões de visita por hora, quanto tempo antes ele poderia ir para casa?

Vamos de maneira comprovada e elaboramos um esquema de acordo com a condição do problema, denotando o valor desejado como x:

↓ 42 cartões de visita/h – 8h

↓ 48 cartões de visita/h – xh

Diante de nós está uma relação inversamente proporcional: quantas vezes mais cartões de visita um funcionário de uma gráfica imprime por hora, o mesmo tempo que ele levará para concluir o mesmo trabalho. Sabendo disso, podemos configurar a proporção:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 horas.

Assim, tendo concluído o trabalho em 7 horas, o funcionário da gráfica poderia ir para casa uma hora mais cedo.

Conclusão

Parece-nos que esses problemas de proporcionalidade inversa são realmente simples. Esperamos que agora você também os considere assim. E o mais importante, o conhecimento da dependência inversamente proporcional das quantidades pode realmente ser útil para você mais de uma vez.

Não só nas aulas de matemática e exames. Mas mesmo assim, quando você está prestes a viajar, fazer compras, decidir ganhar algum dinheiro durante as férias, etc.

Conte-nos nos comentários quais exemplos de proporcionalidade inversa e direta você percebe ao seu redor. Que isso seja um jogo. Você verá como é emocionante. Não se esqueça de "compartilhar" este artigo nas redes sociais para que seus amigos e colegas também possam jogar.

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