Vektor- čisto matematický koncept, ktorý sa používa iba vo fyzike alebo inom aplikované vedy a ktorý umožňuje zjednodušiť riešenie niektorých zložitých problémov.
Vektor− smerovaný úsečka.
viem elementárna fyzika treba pracovať s dvoma kategóriami veličín − skalárne a vektorové.
Skalárne veličiny (skaláry) sú veličiny charakterizované tým číselná hodnota a podpísať. Skaláre sú dĺžka − l, hmotnosť − m, cesta − s, čas − t, teplota − T, nabíjačka − q, energia − W, súradnice atď.
Všetky platia pre skaláry. algebraické akcie(sčítanie, odčítanie, násobenie atď.).
Príklad 1.
Určite celkový náboj systému pozostávajúci z nábojov, ktoré sú v ňom zahrnuté, ak q 1 \u003d 2 nC, q 2 \u003d -7 nC, q 3 \u003d 3 nC.
Plné nabitie systému
q \u003d q 1 + q 2 + q 3 \u003d (2 - 7 + 3) nC = -2 nC = -2 × 10 -9 ° C.
Príklad 2.
Pre kvadratická rovnica milý
ax 2 + bx + c = 0;
x 1,2 = (1/(2a)) × (−b ± √(b 2 − 4ac)).
vektor veličiny (vektory) sú veličiny, pre definíciu ktorých je potrebné okrem číselnej hodnoty uviesť aj smer. Vektory − rýchlosť v, sila F, spád p, napätie elektrické pole E, magnetická indukcia B atď.
Číselná hodnota vektora (modul) je označená písmenom bez znaku vektora alebo je vektor ohraničený zvislými čiarami. r = |r|.
Graficky je vektor znázornený šípkou (obr. 1),
Dĺžka ktorého sa v danej mierke rovná jeho modulu a smer sa zhoduje so smerom vektora.
Dva vektory sú rovnaké, ak sú ich moduly a smery rovnaké.
Vektorové veličiny sa sčítavajú geometricky (podľa pravidla vektorovej algebry).
Nájdenie súčtu vektorov daných zložkových vektorov sa nazýva sčítanie vektorov.
Pridanie dvoch vektorov sa vykonáva podľa pravidla rovnobežníka alebo trojuholníka. Celkový vektor
c = a + b
rovná uhlopriečke rovnobežníka postaveného na vektoroch a A b. Modulujte to
с = √(a 2 + b 2 − 2abcosα) (obr. 2). 
Pre α = 90° je c = √(a 2 + b 2 ) Pytagorova veta.
Rovnaký vektor c možno získať pravidlom trojuholníka, ak z konca vektora a odložiť vektor b. Uzatvárací vektor c (spojenie začiatku vektora a a koniec vektora b) je vektorový súčet termov (zložiek vektorov a A b).
Výsledný vektor nájdeme ako uzatváraciu prerušovanú čiaru, ktorej spojnicami sú jednotlivé vektory (obr. 3). 
Príklad 3.
Pridajte dve sily F 1 \u003d 3 N a F 2 \u003d 4 N, vektory F1 A F2 zvierajte s horizontom uhly α 1 \u003d 10 ° a α 2 \u003d 40 °
F = F1 + F2(obr. 4). 
Výsledkom sčítania týchto dvoch síl je sila nazývaná výslednica. Vektor F nasmerovaný pozdĺž uhlopriečky rovnobežníka postaveného na vektoroch F1 A F2, ako strany a modulo rovný jeho dĺžke.
Vektorový modul F nájsť podľa zákona kosínusov
F = √(F 1 2 + F 2 2 + 2F 1 F 2 cos (α 2 − α 1)),
F = √(3 2 + 4 2 + 2 × 3 × 4 × cos (40° − 10°)) ≈ 6,8 H.
Ak
(α 2 − α 1) = 90°, potom F = √ (F 1 2 + F 2 2 ).
Uhol tohto vektora F je s osou Ox, nájdeme podľa vzorca
α \u003d arctg ((F 1 sinα 1 + F 2 sinα 2) / (F 1 cosα 1 + F 2 cosα 2)),
a = arctan((3,0,17 + 4,0,64)/(3,0,98 + 4,0,77)) = arctan 0,51, α ≈ 0,47 rad.
Priemet vektora a na os Ox (Oy) je skalárna hodnota závislá od uhla α medzi smerom vektora. a a osy Ox (Oy). (obr. 5) 
Vektorové projekcie a na osiach Ox a Oy pravouhlý systém súradnice. (obr. 6) 
Aby sa predišlo chybám pri určovaní znamienka vektorovej projekcie na os, je užitočné pamätať ďalšie pravidlo: ak sa smer komponentu zhoduje so smerom osi, potom je priemet vektora na túto os kladný, ale ak je smer komponentu opačný ako smer osi, potom je priemet vektora negatívne. (obr. 7) 
Odčítanie vektorov je sčítanie, pri ktorom sa k prvému vektoru pridá vektor, ktorý sa číselne rovná druhému, opačne smerovaný
a − b = a + (−b) = d(obr. 8). 
Nech je to potrebné z vektora a odčítať vektor b, ich rozdiel − d. Na nájdenie rozdielu dvoch vektorov je potrebné vektor a pridať vektor ( −b), teda vektor d = a − b bude vektor smerovaný od začiatku vektora a ku koncu vektora ( −b) (obr. 9). 
V paralelograme postavenom na vektoroch a A b obe strany, jedna uhlopriečka c má význam súčet a druhý d− vektorové rozdiely a A b(obr. 9).
Vektorový produkt a na skalár k sa rovná vektoru b= k a, ktorého modul je k-krát viac modulu vektor a a smer je rovnaký ako smer a pre kladné k a naopak pre záporné k.
Príklad 4.
Určte hybnosť telesa s hmotnosťou 2 kg, ktoré sa pohybuje rýchlosťou 5 m/s. (Obr. 10) 
hybnosť tela p= m v; p = 2 kg.m/s = 10 kg.m/s a smeruje k rýchlosti v.
Príklad 5.
Náboj q = −7,5 nC je umiestnený v elektrickom poli s intenzitou E = 400 V/m. Nájdite modul a smer sily pôsobiacej na náboj.
Sila sa rovná F= q E. Keďže náboj je záporný, vektor sily smeruje na stranu, vektorový opak E. (Obr. 11) 
divízie vektor a skalárom k je ekvivalentné násobeniu a o 1/k.
Skalárny súčin vektory a A b nazývaj skalár "c" rovná produktu modulov týchto vektorov o kosínus uhla medzi nimi
(a.b) = (b.a) = c,
с = ab.cosα (obr. 12) 
Príklad 6.
Nájsť prácu stála sila F = 20 N, ak posunutie S = 7,5 ma uhol α medzi silou a posunutím α = 120°.
Práca sily je podľa definície skalárny súčin sily a pohyby
A = (F.S) = FScosα = 20 H x 7,5 m x cos120° = -150 x 1/2 = -75 J.
vektorové umenie vektory a A b volací vektor c, číselne rovné súčinu modulov vektorov a a b, vynásobené sínusom uhla medzi nimi:
c = a × b = ,
c = ab × sinα.
Vektor c kolmá na rovinu, v ktorej ležia vektory a A b a jeho smer súvisí so smerom vektorov a A b pravé skrutkové pravidlo (obr. 13). 
Príklad 7.
Určte silu pôsobiacu na vodič dlhý 0,2 m, umiestnený v magnetickom poli, ktorého indukcia je 5 T, ak je prúd vo vodiči 10 A a so smerom poľa zviera uhol α = 30 °.
Výkon zosilňovača
dF = I = Idl × B alebo F = I (l)∫ (dl × B),
F = IlBsinα = 5 T × 10 A × 0,2 m × 1/2 = 5 N.
Zvážte riešenie problému.
1. Ako smerujú dva vektory, ktorých moduly sú rovnaké a rovné a, ak modul ich súčtu je: a) 0; b) 2a; c) a; d) a√(2); e) a√(3)?
Riešenie.
a) Dva vektory sú nasmerované pozdĺž tej istej priamky protiľahlé strany. Súčet týchto vektorov sa rovná nule. 
b) Dva vektory sú nasmerované pozdĺž tej istej priamky v rovnakom smere. Súčet týchto vektorov je 2a. 
c) Dva vektory sú nasmerované navzájom pod uhlom 120°. Súčet vektorov sa rovná a. Výsledný vektor nájdeme pomocou kosínusovej vety: 
a 2 + a 2 + 2aacosα = a 2 ,
cosα = -1/2 a α = 120°.
d) Dva vektory sú nasmerované navzájom pod uhlom 90°. Modul súčtu je
a 2 + a 2 + 2acosα = 2a 2 ,
cosα = 0 a a = 90°. 
e) Dva vektory sú nasmerované navzájom pod uhlom 60°. Modul súčtu je
a 2 + a 2 + 2aacosα = 3a 2 ,
cosa = 1/2 a a = 60°.
Odpoveď: Uhol α medzi vektormi sa rovná: a) 180°; b) 0; c) 120°; d) 90°; e) 60°.
2. Ak a = a1 + a2 orientácia vektorov, čo možno povedať o vzájomnej orientácii vektorov 1 A a 2, ak: a) a = ai + a2; b) a 2 \u003d a 1 2 + a 2 2; c) a 1 + a 2 \u003d a 1 - a 2?
Riešenie.
a) Ak sa súčet vektorov zistí ako súčet modulov týchto vektorov, potom vektory smerujú pozdĺž jednej priamky, navzájom rovnobežné a 1 ||a 2.
b) Ak sú vektory nasmerované pod určitým uhlom, potom ich súčet zistíme podľa zákona kosínusov pre rovnobežník
a 1 2 + a 2 2 + 2a 1 a 2 cosα = a 2 ,
cosα = 0 a a = 90°.
vektory sú na seba kolmé a 1 ⊥ a 2.
c) Podmienka a 1 + a 2 = a 1 − a 2 možno vykonať, ak a 2− nulový vektor, potom a 1 + a 2 = a 1 .
Odpovede. A) a 1 ||a 2; b) a 1 ⊥ a 2; V) a 2− nulový vektor.
3. Dve sily po 1,42 N pôsobia na jeden bod telesa pod uhlom 60° navzájom. Pod akým uhlom by mali na ten istý bod telesa pôsobiť dve sily s veľkosťou 1,75 N, aby ich pôsobenie vyvážilo pôsobenie prvých dvoch síl?
Riešenie.
Podľa podmienky úlohy dve sily po 1,75 N vyvažujú dve sily po 1,42 N. To je možné, ak sú moduly výsledných vektorov silových dvojíc rovnaké. Výsledný vektor je určený kosínusovou vetou pre rovnobežník. Pre prvý pár síl:
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα \u003d F 2,
pre druhý pár síl, resp
F22 + F22 + 2F2F2 cosβ = F2.
Rovnanie ľavých častí rovníc
F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα = F 2 2 + F 2 2 + 2F 2 F 2 cosβ.
Nájdite požadovaný uhol β medzi vektormi
cosβ = (F 1 2 + F 1 2 + 2F 1 F 1 cosα − F 2 2 − F 2 2)/(2F 2 F 2).
Po výpočtoch,
cosβ = (2,1,422 + 2,1,422. cos60° − 2,1,752)/(2,1,752) = -0,0124,
β ≈ 90,7°.
Druhý spôsob riešenia.
Zvážte projekciu vektorov na súradnicovú os OX (obr.). 
Pomocou pomeru medzi stranami v správny trojuholník, dostaneme
2F 1 cos(α/2) = 2F 2 cos(β/2),
kde
cos(β/2) = (F1/F2)cos(α/2) = (1,42/1,75) x cos(60/2) a β ≈ 90,7°.
4. Vektor a = 3i − 4j. Aká musí byť skalárna hodnota c, aby |c a| = 7,5?
Riešenie.
c a= c( 3i - 4j) = 7,5
Vektorový modul a sa bude rovnať
a 2 = 3 2 + 4 2 a a = ± 5,
potom od
c.(±5) = 7,5,
Nájdi to
c = ±1,5.
5. Vektory 1 A a 2 vyjsť z pôvodu a mať Kartézske súradnice konce (6, 0) a (1, 4). Nájdite vektor a 3 tak, že: a) 1 + a 2 + a 3= 0; b) 1 − a 2 + a 3 = 0.
Riešenie.
Nakreslíme vektory karteziánsky systém súradnice (obr.) 
a) Výsledný vektor pozdĺž osi Ox je
a x = 6 + 1 = 7.
Výsledný vektor pozdĺž osi Oy je
ay = 4 + 0 = 4.
Aby sa súčet vektorov rovnal nule, je potrebné, aby bola splnená podmienka
1 + a 2 = −a 3.
Vektor a 3 modulo sa bude rovnať celkovému vektoru a1 + a2 ale nasmerovaný opačným smerom. Koncová vektorová súradnica a 3 sa rovná (-7, -4) a modul
a 3 \u003d √ (7 2 + 4 2 ) \u003d 8.1.
B) Výsledný vektor pozdĺž osi Ox sa rovná
a x = 6 − 1 = 5,
a výsledný vektor pozdĺž osi Oy
a y = 4 − 0 = 4.
Keď stav
1 − a 2 = −a 3,
vektor a 3 bude mať súradnice konca vektora a x = -5 a ay = -4 a jeho modul je
a 3 \u003d √ (5 2 + 4 2) \u003d 6.4.
6. Posol prejde 30 m na sever, 25 m na východ, 12 m na juh a potom sa v budove zdvihne výťahom do výšky 36 m. Aká je ním prejdená vzdialenosť L a výtlak? S?
Riešenie.
Znázornime situáciu opísanú v úlohe na rovine v ľubovoľnej mierke (obr.). 
Koniec vektora OA má súradnice 25 m na východ, 18 m na sever a 36 hore (25; 18; 36). Cesta, ktorú človek prejde, je
L = 30 m + 25 m + 12 m + 36 m = 103 m.
Modul vektora posunutia sa nájde podľa vzorca
S = √((x − x o) 2 + (y − y o) 2 + (z − z o) 2 ),
kde xo = 0, yo = 0, zo = 0.
S \u003d √ (25 2 + 18 2 + 36 2 ) \u003d 47,4 (m).
Odpoveď: L = 103 m, S = 47,4 m.
7. Uhol α medzi dvoma vektormi a A b rovná sa 60°. Určte dĺžku vektora c = a + b a uhol β medzi vektormi a A c. Veľkosti vektorov sú a = 3,0 a b = 2,0.
Riešenie.
Dĺžka vektora rovná súčtu vektory a A b určíme pomocou kosínusovej vety pre rovnobežník (obr.). 
с = √(a 2 + b 2 + 2abcosα).
Po vystriedaní
c = √(3 2 + 2 2 + 2.3.2. cos60°) = 4.4.
Na určenie uhla β použijeme sínusovú vetu pre trojuholník ABC:
b/sinβ = a/sin(α − β).
Zároveň by ste to mali vedieť
sin(α − β) = sinαcosβ − cosαsinβ.
Riešenie jednoduchého goniometrická rovnica, dostávame sa k výrazu
tgβ = bsinα/(a + bcosα),
teda,
β = arctg(bsinα/(a + bcosα)),
p = arctg(2.sin60/(3 + 2.cos60)) ≈ 23°.
Skontrolujeme pomocou kosínusovej vety pre trojuholník:
a 2 + c 2 − 2ac.cosβ = b 2,
kde
cosβ = (a 2 + c 2 − b 2)/(2ac)
A
β \u003d arccos ((a 2 + c 2 - b 2) / (2ac)) \u003d arccos ((3 2 + 4,4 2 - 2 2) / (2.3.4.4)) \u003d 23 °.
Odpoveď: c = 4,4; β ≈ 23°.
Riešiť problémy.
8. Pre vektory a A b definované v príklade 7, nájdite dĺžku vektora d = a − b rohu γ
medzi a A d.
9. Nájdite priemet vektora a = 4,0i + 7,0j na priamku, ktorej smer zviera s osou Ox uhol α = 30°. Vektor a a priamka leží v rovine xOy.
10. Vektor a zviera s priamkou AB uhol α = 30°, a = 3,0. Pod akým uhlom β k priamke AB má smerovať vektor b(b = √(3)), takže vektor c = a + b bol paralelný s AB? Nájdite dĺžku vektora c.
11. Sú uvedené tri vektory: a = 3i + 2j − k; b = 2i − j + k; c = i + 3j. nájsť) a+b; b) a+c; V) (a,b); G) (a, c)b − (a, b)c.
12. Uhol medzi vektormi a A b sa rovná a = 60°, a = 2,0, b = 1,0. Nájdite dĺžky vektorov c = (a, b)a + b A d = 2b − a/2.
13. Dokážte, že vektory a A b sú kolmé, ak a = (2, 1, −5) a b = (5, −5, 1).
14. Nájdite uhol α medzi vektormi a A b ak a = (1, 2, 3), b = (3, 2, 1).
15. Vektor a zviera s osou Ox uhol α = 30°, priemet tohto vektora na os Oy je a y = 2,0. Vektor b kolmo na vektor a a b = 3,0 (pozri obrázok). 
Vektor c = a + b. Nájdite: a) vektorové projekcie b na osiach Ox a Oy; b) hodnota c a uhol β medzi vektorom c a os Ox; taxík); d) (a, c).
Odpovede:
9. a 1 \u003d a x cosα + ay sinα ≈ 7,0.
10, p = 300°; c = 3,5.
11. a) 5i + j; b) i + 3j - 2k; c) 15i − 18j + 9k.
12, c = 2,6; d = 1,7.
14, a = 44,4°.
15. a) b x \u003d -1,5; by = 2,6; b) c = 5; p = 67°; c) 0; d) 16,0.
Tým, že študujete fyziku, máte skvelé príležitosti Pokračujte vo vzdelávaní na technickej univerzite. To si bude vyžadovať paralelné prehlbovanie vedomostí z matematiky, chémie, jazyka a menej často aj iných predmetov. Víťaz republikánskej olympiády Egor Savič absolvuje jedno z katedier Moskovského fyzikálno-technologického inštitútu, kde sú na znalosti chémie kladené veľké nároky. Ak potrebujete pomoc v GIA v chémii, obráťte sa na odborníkov, určite vám bude poskytnutá kvalifikovaná a včasná pomoc.
Vektorom je obvyklé chápať množstvo, ktoré má 2 hlavné charakteristiky:
- modul;
- smer.
Takže dva vektory sú uznané ako rovnaké, ak sa moduly, ako aj smery oboch, zhodujú. Uvažovaná hodnota sa najčastejšie píše ako písmeno, nad ktorým je nakreslená šípka.
Medzi najčastejšie veličiny zodpovedajúceho typu patrí rýchlosť, sila a tiež napríklad zrýchlenie.
S geometrický bod z pohľadu môže byť vektorom smerovaný segment, ktorého dĺžka súvisí s jeho modulom.
Ak uvažujeme vektorové množstvo okrem smeru sa dá v zásade merať. Je pravda, že to bude tak či onak čiastočná charakteristika zodpovedajúcej hodnoty. Plný - dosiahne sa len vtedy, ak sa doplní o parametre smerovaného segmentu.
Čo je to skalárna hodnota?
Skalárom je obvyklé chápať hodnotu, ktorá má iba 1 charakteristiku, a to - číselná hodnota. V tomto prípade môže uvažovaná hodnota nadobudnúť kladnú alebo zápornú hodnotu.
Bežné skalárne veličiny zahŕňajú hmotnosť, frekvenciu, napätie, teplotu. S nimi je možné vyrábať rôzne matematické operácie- sčítanie, odčítanie, násobenie, delenie.
Smer (ako charakteristika) nie je charakteristický pre skalárne veličiny.
Porovnanie
Hlavný rozdiel medzi vektorovým množstvom a skalárnym množstvom je ten prvý kľúčové vlastnosti- modul a smer, druhý - číselná hodnota. Stojí za zmienku, že vektorovú veličinu, podobne ako skalárnu, možno v zásade merať, avšak v tomto prípade budú jej charakteristiky určené iba čiastočne, pretože nebude chýbať smer.
Po určení, aký je rozdiel medzi vektorom a skalárnym množstvom, zohľadníme závery v malej tabuľke.
Dve slová, ktoré školáka vystrašia - vektor a skalárne - nie sú naozaj strašidelné. Ak k téme pristupujete so záujmom, všetko sa dá pochopiť. V tomto článku zvážime, ktorá veličina je vektorová a ktorá skalárna. Presnejšie, uveďme príklady. Každý študent pravdepodobne venoval pozornosť skutočnosti, že vo fyzike sú niektoré veličiny označené nielen symbolom, ale aj šípkou zhora. Čo znamenajú? O tom sa bude diskutovať nižšie. Pokúsme sa zistiť, ako sa líši od skalárneho.
Vektorové príklady. Ako sú označené
Čo znamená vektor? To, čo charakterizuje pohyb. Je jedno, či vo vesmíre alebo v lietadle. Čo je to vektorová veličina? Napríklad lietadlo letí určitou rýchlosťou v určitej výške, má špecifickú hmotnosť a začína sa pohybovať z letiska s požadovaným zrýchlením. Aký je pohyb lietadla? Čo ho prinútilo lietať? Samozrejme, zrýchlenie, rýchlosť. Vektorové veličiny z kurzu fyziky sú dobré príklady. Na rovinu povedané, vektorová veličina je spojená s pohybom, posunom.
Voda sa tiež pohybuje určitou rýchlosťou z výšky hory. Vidíš? Pohyb sa neuskutočňuje kvôli objemu alebo hmotnosti, menovite rýchlosti. Tenista umožňuje pohyb loptičky pomocou rakety. Nastavuje zrýchlenie. Mimochodom, pripojený k tento prípad sila je tiež vektorová veličina. Pretože sa získava ako výsledok daných rýchlostí a zrýchlení. Sila je tiež schopná zmeniť, konkrétne akcie. Za príklad možno považovať aj vietor, ktorý trasie lístie na stromoch. Pretože existuje rýchlosť.
Pozitívne a negatívne hodnoty
Vektorová veličina je veličina, ktorá má smer v okolitom priestore a modul. Desivé slovo sa objavilo znova, tentoraz modul. Predstavte si, že potrebujete vyriešiť problém, pri ktorom bude záporná hodnota zrýchlenia fixovaná. V prírode záporné hodnoty zdá sa, že neexistuje. Ako môže byť rýchlosť záporná?
Vektor má takýto koncept. Týka sa to napríklad síl, ktoré pôsobia na telo, ale majú rôznymi smermi. Pamätajte na tretiu, kde sa akcia rovná reakcii. Chlapi ťahajú povraz. Jeden tím je v modrých dresoch, druhý v žltých dresoch. Tie druhé sú silnejšie. Predpokladajme, že vektor ich sily smeruje kladne. Prvým sa zároveň nedarí ťahať za povraz, no snažia sa. Existuje protichodná sila.
Vektorové alebo skalárne množstvo?
Povedzme si o rozdiele medzi vektorovou veličinou a skalárnou veličinou. Ktorý parameter nemá smer, ale má svoj vlastný význam? Uveďme si niektoré skaláry nižšie:
Majú všetci smer? Nie Ktorá veličina je vektorová a ktorá skalárna sa dá ukázať len na názorných príkladoch. Vo fyzike sú takéto pojmy nielen v časti "Mechanika, dynamika a kinematika", ale aj v odseku "Elektrina a magnetizmus". Lorentzova sila je tiež vektorová veličina.
Vektor a skalár vo vzorcoch
V učebniciach fyziky sa často vyskytujú vzorce, v ktorých je navrchu šípka. Pamätajte na druhý Newtonov zákon. Sila ("F" so šípkou hore) sa rovná súčinu hmotnosti ("m") a zrýchlenia ("a" so šípkou hore). Ako bolo uvedené vyššie, sila a zrýchlenie sú vektorové veličiny, ale hmotnosť je skalárna.
Bohužiaľ, nie všetky publikácie majú označenie týchto veličín. Pravdepodobne to bolo urobené na zjednodušenie, aby nedošlo k zavádzaniu školákov. Najlepšie je kúpiť knihy a referenčné knihy, ktoré označujú vektory vo vzorcoch.
Obrázok ukáže, ktorá veličina je vektor. Na hodinách fyziky sa odporúča venovať pozornosť obrázkom a diagramom. Vektorové veličiny majú smer. Kam smeruje Samozrejme dole. Šípka sa teda zobrazí v rovnakom smere.
IN technické univerzityštudovať fyziku do hĺbky. V rámci mnohých odborov učitelia hovoria o tom, ktoré veličiny sú skalárne a vektorové. Takéto znalosti sa vyžadujú v oblastiach: stavebníctvo, doprava, prírodné vedy.
Veličiny sa nazývajú skalárne (skaláry), ak sú po výbere mernej jednotky úplne charakterizované jedným číslom. Príkladmi skalárnych veličín sú uhol, povrch, objem, hmotnosť, hustota, elektrický náboj, odpor, teplota.
Mali by sa rozlišovať dva typy skalárov: čisté skaláre a pseudoskaláry.
3.1.1. Čisté skaláre.
Čisté skaláre sú úplne definované jediným číslom, nezávisle od výberu referenčných osí. Teplota a hmotnosť sú príklady čistých skalárov.
3.1.2. Pseudoskaláry.
Rovnako ako čisté skaláre, aj pseudoskaláry sú definované jedným číslom, absolútna hodnota ktorý nezávisí od výberu referenčných osí. Znamienko tohto čísla však závisí od výberu kladných smerov na súradnicových osiach.
Zvážte napr. kváder, ktorých priemety hrán na pravouhlých súradnicových osiach sú rovnaké Objem tohto kvádra sa určí pomocou determinantu
ktorých absolútna hodnota nezávisí od výberu pravouhlých súradnicových osí. Ak však zmeníte kladný smer na jednej zo súradnicových osí, potom determinant zmení znamienko. Objem je pseudoskalárny. Pseudoskaláry sú tiež uhol, plocha, plocha. Nižšie (časť 5.1.8) uvidíme, že pseudoskalár je vlastne tenzor zvláštneho druhu.
Vektorové množstvá
3.1.3. Os.
Os je nekonečná priamka, na ktorej je zvolený kladný smer. Nech je taká priamka a smer od
považovať za pozitívne. Uvažujme úsečku na tejto priamke a predpokladajme, že číslo merajúce dĺžku je a (obr. 3.1). Potom sa algebraická dĺžka segmentu rovná a, algebraická dĺžka segmentu sa rovná - a.
Ak vezmeme niekoľko rovnobežných čiar, potom, keď určíme kladný smer na jednej z nich, určíme ju na zvyšku. Situácia je iná, ak čiary nie sú rovnobežné; potom je potrebné urobiť špeciálne opatrenia týkajúce sa voľby kladného smeru pre každú priamku.
3.1.4. Smer otáčania.
Nechajte os. Rotácia okolo osi sa nazýva pozitívna alebo priama, ak sa vykonáva pre pozorovateľa stojaceho pozdĺž kladného smeru osi doprava a doľava (obr. 3.2). V opačnom prípade sa nazýva negatívny alebo inverzný.
3.1.5. Priame a inverzné trojsteny.
Nechajte nejaký trojsten (obdĺžnikový alebo neobdĺžnikový). Kladné smery sú zvolené na osiach od O po x, od O po y a od O po z.
Vo fyzike existuje niekoľko kategórií veličín: vektorové a skalárne.
Čo je to vektorová veličina?
Vektorová veličina má dve hlavné charakteristiky: smer a modul. Dva vektory budú rovnaké, ak ich hodnota modulo a smer budú rovnaké. Na označenie vektorovej veličiny sa najčastejšie používajú písmená, nad ktorými je zobrazená šípka. Príkladom vektorovej veličiny je sila, rýchlosť alebo zrýchlenie.
Aby sme pochopili podstatu vektorovej veličiny, mali by sme ju zvážiť z geometrického hľadiska. Vektor je úsečka, ktorá má smer. Dĺžka takéhoto segmentu zodpovedá hodnote jeho modulu. fyzický príklad vektorová veličina je posunutie hmotný bod pohyb v priestore. Parametre, ako je zrýchlenie tohto bodu, rýchlosť a sily, ktoré naň pôsobia, elektromagnetického poľa sa tiež zobrazia ako vektorové veličiny.
Ak uvažujeme vektorovú veličinu bez ohľadu na smer, potom je možné takýto segment zmerať. Výsledok však zobrazí len čiastočné charakteristiky hodnoty. Pre ňu úplné meranie hodnotu treba doplniť o ďalšie parametre smerovaného segmentu.
Vo vektorovej algebre existuje pojem nulový vektor . Pod týmto pojmom sa myslí bod. Pokiaľ ide o smer nulového vektora, považuje sa za neurčitý. Nulový vektor je označený aritmetickou nulou napísanou tučným písmom.
Ak analyzujeme všetky vyššie uvedené, môžeme dospieť k záveru, že všetky smerované segmenty definujú vektory. Dva segmenty budú definovať jeden vektor iba vtedy, ak sú rovnaké. Pri porovnávaní vektorov platí rovnaké pravidlo ako pri porovnávaní skalárnych veličín. Rovnosť znamená úplnú zhodu vo všetkých ohľadoch.
Čo je to skalárna hodnota?
Na rozdiel od vektora má skalárna veličina iba jeden parameter – je jeho číselná hodnota. Treba poznamenať, že analyzovaná hodnota môže mať kladnú aj zápornú číselnú hodnotu.
Príklady zahŕňajú hmotnosť, napätie, frekvenciu alebo teplotu. S týmito hodnotami môžete vykonávať rôzne aritmetické operácie: sčítanie, delenie, odčítanie, násobenie. Pre skalárnu veličinu taká charakteristika ako smer nie je charakteristická.
Skalárna veličina je meraná číselnou hodnotou, takže ju možno zobraziť na súradnicová os. Napríklad veľmi často stavajú os prejdenej vzdialenosti, teploty alebo času.
Hlavné rozdiely medzi skalárnymi a vektorovými veličinami
Z vyššie uvedených popisov je vidieť, že hlavný rozdiel medzi vektorovými veličinami a skalárnymi veličinami spočíva v ich vlastnosti. Vektorová veličina má smer a modul, kým skalárna veličina má len číselnú hodnotu. Samozrejme, vektorovú veličinu, podobne ako skalárnu, možno merať, ale takáto charakteristika nebude úplná, pretože neexistuje žiadny smer.
Aby bolo možné jasnejšie predstaviť rozdiel medzi skalárnym množstvom a vektorovým množstvom, je potrebné uviesť príklad. Aby sme to urobili, vezmeme si takú oblasť vedomostí, ako je klimatológie. Ak povieme, že vietor fúka rýchlosťou 8 metrov za sekundu, zavedie sa skalárna hodnota. Ak však povieme, že severný vietor fúka rýchlosťou 8 metrov za sekundu, budeme hovoriť o vektorovej hodnote.
Hrajú sa vektory obrovskú úlohu v modernej matematike, ako aj v mnohých oblastiach mechaniky a fyziky. Väčšina fyzikálnych veličín môžu byť reprezentované ako vektory. To umožňuje zovšeobecniť a podstatne zjednodušiť použité vzorce a výsledky. Vektorové hodnoty a vektory sa často navzájom identifikujú. Napríklad vo fyzike počujeme, že rýchlosť alebo sila je vektor.
