Trojité salto námorné jachty predradník je umiestnený nízko, čo im neumožňuje silne sa opätovať a celkovo sa prevrátiť. Stáva sa však, že jachta stále letí kotrmelce, ako iol bez záťaže, a to sa deje iba tu - vo veľkom južnom oceáne. viem

Medzi úlohami v dvoch akciách je skupina úloh, ktoré sa riešia jednota. Pri riešení takýchto úloh by sa deti mali prakticky naučiť vlastnosti veličín, ktoré sú v priamej úmere.

Zoberme si napríklad problém: Parník prekonal 40 km za 2 hodiny. Koľko kilometrov prejde loď rovnakou rýchlosťou za 4 hodiny? V tomto probléme sú známe dve časové hodnoty a jedna hodnota vzdialenosti, čo zodpovedá prvej časovej hodnote; je známe, že rýchlosť pohybu sa nemení, je potrebné nájsť inú hodnotu vzdialenosti.

Uvažujme o rôznych spôsoboch riešenia tohto problému, zapíšme si riešenie vľavo a jeho zdôvodnenie vpravo.

I metóda riešenia – metóda priamej redukcie na jednotu

perorálny roztok

2 hodiny - 40 km
1 hodina – 20 km
4 hodiny - 80 km

Písomné rozhodnutie

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Číselná hodnota času, z ktorých sú známe dve hodnoty, sa zníži na jednu.

O konštantná rýchlosť ak sa čas skráti 2-krát, vzdialenosť sa zníži 2-krát, ak sa potom zvýši 4-krát, vzdialenosť sa zväčší 4-krát.

Druhým spôsobom riešenia je metóda inverznej redukcie na jednotu.

perorálny roztok

40 km - 2 hodiny = 120 min.
1 km – 3 min.
4 hodiny (240 min.) – 80 km

Písomné rozhodnutie

1) 120 min. : 40 = 3 min.
2) 240 min. : 3 min. = 80 (km)

Číselná hodnota vzdialenosti sa zníži na jednu, z ktorých jedna je známa a druhá neznáma.

Pri konštantnej rýchlosti bude prejdenie 1 km trasy trvať 40-krát kratšie ako prejdenie 40 km trasy, teda 3 minúty a za 4 hodiny (240 minút) prejde parník toľkokrát, veľa kilometrov ako 240 minút. viac ako 3 min.

Tretím spôsobom riešenia je spôsob hľadania vzťahu.

Krátky záznam o stave úlohy:

2 hodiny - 40 km
4 hodiny - x

1) 4 hodiny: 2 hodiny = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

Pri konštantnej rýchlosti pohybu, koľkokrát sa zvýši čas, sa prejdená vzdialenosť zväčší o rovnakú hodnotu

IV metóda riešenia – metóda nálezu číselná hodnota konštantná hodnota.

Stručné vyjadrenie stavu úlohy

2 hodiny - 40 km
4 hodiny -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Pri riešení tohto problému sa metóda IV zhoduje s metódou I.

Ak chcete zistiť prejdenú vzdialenosť za 4 hodiny, musíte rýchlosť, ktorá sa zistí vydelením vzdialenosti príslušnou hodnotou času, vynásobiť novou hodnotou času.

Aplikujme metódu hľadania číselnej hodnoty konštantnej hodnoty na iný problém:

Loď prešla 40 km rýchlosťou 20 km za hodinu. Koľko kilometrov prejde loď za rovnaký čas rýchlosťou 30 km za hodinu?

Riešenie. Podľa stavu tohto problému je čas konštantnou hodnotou.

1) Koľko hodín trvalo lodi prejsť 40 km?

40 km: 20 km = 2 (hodiny)

2) Koľko kilometrov prejde parník za 2 hodiny novou rýchlosťou?

30 km x 2 – 60 km

Odpoveď: 60 km.

Pri riešení tohto problému sa metóda zisťovania číselnej hodnoty konštanty líši od metódy priamej redukcie na jednotu. To možno vidieť z porovnania vyššie uvedenej metódy s metódou priama redukcia na jednotu.

Možnosť aplikácie jednej alebo druhej metódy riešenia problémov na jednoduchom trojitom pravidle v rámci operácií s celými číslami závisí od charakteristík číselných údajov. Takže napríklad metódu hľadania pomeru možno použiť iba vtedy, ak čísla vyjadrujú dva rôzne významy rovnakej veľkosti, sú násobky jeden druhého.

Metóda redukcie chrbta do jednoty je vhodné použiť pri riešení úloh, v ktorých je potrebné nájsť neznámu hodnotu množstva alebo času. Preto sa v učebniciach počítania pre elementárne ročníky úlohy pre jednoduché trojité pravidlo vyberajú v skupinách podľa metód ich riešenia. Zároveň sa podľa súčasného programu úlohy riešené metódami priamej a inverznej redukcie na jednotu zaraďujú do triedy II a úlohy riešené metódou hľadania pomeru do triedy IV.

Existuje dôvod domnievať sa, že ľahšiu z úloh, riešenú metódou zisťovania pomeru, možno zaviesť v II. ročníku, kde žiaci už riešia jednoduché úlohy pre viacnásobné porovnanie. V existujúcich učebniciach počítania nie sú problémy riešené metódou zisťovania číselnej hodnoty konštantnej hodnoty a je užitočné ponúknuť ich na riešenie už v II. ročníku.

Pri výučbe riešenia týchto úloh sa treba spoliehať na študentom nadobudnutú schopnosť riešiť jednoduché úlohy násobenia a delenia, pri ktorých je potrebné zistiť hodnotu jednej z troch navzájom súvisiacich veličín, napr. , zistiť náklady podľa ceny a množstva položiek, množstvo podľa ceny a hodnoty, cenu z hľadiska nákladov a množstva.

Deťom slúži dobrá znalosť vzťahu medzi veličinami ako základ, na základe ktorého si osvojujú riešenie úloh metódou redukcie na jednotu.

Ak chcete študentom vysvetliť, ako nájsť vzťah, môžete použiť vizuálne pomôcky(obr. 22). Nech je potrebné vyriešiť problém: 2 obálky so známkami stoja 9 kopejok. Koľko stojí 6 týchto obálok?

Pohľad na obrázok týchto obálok zoskupených do párov pomôže študentom pochopiť, že zvýšenie počtu párov obálok niekoľkokrát znamená zvýšenie ich hodnoty o rovnakú hodnotu.

ryža. 22

Žiaci si kladú otázku: koľkokrát je 6 obálok viac ako 2 obálky? - Nájdu odpoveď, čo je 3-krát viac, a zistia cenu 6 obálok, vynásobením 9 kopejok. dňa 3.

Spoločné zvažovanie úloh a samostatná práca deti previesť priame úlohy na inverzné prispievajú k lepšiemu pochopeniu ich riešenia.

Napríklad úloha 3 šálok stojí 6 rubľov. Koľko stojí 5 týchto pohárov? nahradením požadovaného čísla nájdeným číslom a jedného z údajov požadovaným číslom možno transformovať na nasledujúce inverzné problémy:

1. 5 šálok stojí 10 rubľov. Koľko stoja 3 z týchto pohárov?
2. 3 šálky stoja 6 rubľov. Koľko z týchto pohárov si môžete kúpiť za 10 rubľov?
3. 5 šálok stojí 10 rubľov. Koľko z týchto pohárov si môžete kúpiť za 6 rubľov?

Vykonáva sa riešenie pôvodného problému a prvého z transformovaných metóda priamej redukcie na jednotu, riešenie druhého a tretieho - späť k jednote.

Časť tretia

VZŤAHY A PROPORCIE.

ÚLOHY RIEŠENÉ POMOCOU PROPORCIÍ A
METÓDOU ZNÍŽENIA NA JEDNIČKU.

ODDIEL VIII..

§ 50. Komplikované trojité pravidlo.

2661. 45 murárov dostalo za šesť dní práce 216 rubľov; Koľko by malo odpracovať 30 murárov za 8 dní?

2662. 5 čerpadiel odčerpalo 1800 vedier vody za 3 hodiny. Koľko vody odčerpajú 4 podobné čerpadlá za 4 hodiny?

2663. 25 robotníkov vykopalo kanál za 12 dní, dlhý 36 siah. Akú dĺžku kanála by mohlo vykopať 15 podobných robotníkov za 10 dní?

2664. Kapitál 100 rubľov za 12 mesiacov prináša zisk 6 rubľov. Aký zisk prinesie kapitál 8600 rubľov za 4 mesiace?

2665. Z obdĺžnikového poľa dlhého 40 sádzov a šírky 30 sádzok sa zberalo 6 štvrtín 2 štvrtky ovsa. Koľko ovsa sa pozbieralo z iného poľa, ktoré je dlhé 96 siah a široké 50 siah, ak podmienky siatia a zberu boli na oboch poliach rovnaké?

2666. Na 15 párov šiat bolo použitých 45 aršínov látky so šírkou 1 aršín. 14 palcov. Aká bola šírka druhého plátna, ak by stálo 60 arshinov za 10 rovnakých párov šiat?

2667 .18 robotníkov, ktorí pracovali 7 hodín denne, vykonali nejakú prácu za 30 dní a dostali za to 201 rubľov. 60 kop. 14 zamestnancov pracujúcich denne 4 hodiny dostalo 67,2 rubľov za výkon inej práce. Za predpokladu, že hodinová mzda pre pracovníka oboch strán bola rovnaká, určte, koľko dní pracovala druhá skupina pracovníkov.

2668. Za prepravu 420 kusov tovaru po železnici na vzdialenosť 24 verst sa zaplatili 2 ruble. 52 kopejok. Podľa tohto výpočtu malo byť za prepravu 50 libier tovaru po Nikolajevskej železnici z Petrohradu do Moskvy zaplatených 7 rubľov. 61 1/4 kop. Nájdite dĺžku tejto cesty.

2669. 155 lístkov pre cestujúcich v druhej triede vlakom z Paríža do Rouenu stálo 1488 frankov. S vedomím, že cena 10 lístkov druhej triedy na cestu dlhú 4 kilometre sa rovná 3 frankom a že 16 kilometrov je 15 verst, vyjadruje vo verstách dĺžku železnice medzi Parížom a Rouenom.

2670. Ak sa koleso stroja, ktorý vyrába železný drôt, otáča rýchlosťou 60 otáčok za minútu, potom tento stroj vyprodukuje 240 arsh. drôtom 3 hodiny 20 minút. Ako dlho jej bude trvať, kým urobí 33 1/8 siah drôtu, ak koleso urobí 41 2/3 otáčok za minútu?

2671. Z pravouhlého poľa, ktoré je dlhé 125 sazhens a široké 0,08 verst, sa zozbieralo 12 1/2 štvrtiny pšenice; teda výpočet ukázal výnos šesť. Z ďalšieho obdĺžnikového poľa, ktorého dĺžka je 0,3 (9) verst, sa zozbieralo 8 1/3 štvrtín pšenice, čo predstavovalo úrodu piatich kusov. Za predpokladu, že osevné podmienky oboch polí boli rovnaké, určte šírku druhého poľa.

2672. Kamenná doska, 5,3 stopy dlhá, 0,8 stopy široká a 2 5/8 palca hrubá, váži 4,2 libry. Ďalšia doska z rovnakého kameňa ako prvá váži 7 libier 35 libier a je 15 palcov široká a 2 palce hrubá. Aká dlhá je druhá platňa?

2673 . Železný pás, 2 arshiny dlhý, 1 1/2 palca široký a 2/3 palca hrubý, váži 0,4375 libry. Koľko bude vážiť železný pás, ktorý je 2 stopy dlhý, 1 3/7 palca široký a 0,16666 .... stopy hrubý?

2674. 36 robotníkov, pracujúcich denne 12 hodín a 30 minút, postavilo drevený dom za 30 dní. Koľko hodín denne musí pracovať 27 robotníkov, aby postavili ten istý dom za 50 dní?

2675. Dĺžka chodby je 6 sazhnov. 2 arsh. 9 1/7 palca, šírka 1,4(9) sazhens. a výška 5, (3) yardov (yard-anglická miera dĺžky). Atmosférický vzduch obsiahnutý v chodbe váži 17 libier. 34 libier Vzduch, ktorý vypĺňa miestnosť susediacu s chodbou, váži 11,9 libier. S vedomím, že 0,58 (3) yardu = 0,75 ars. a že výška miestnosti je 5 5/7 ars. a jej šírka je 0,945 výšky, vypočítajte dĺžku tejto miestnosti.

2676. Za osvetlenie schodiska domu 6 plynovými tryskami, ktoré horeli 40 večerov, 6 hodín a 12 minút každý večer, sa platilo plynárenskej spoločnosti 22 rubľov. 32 kopejok. Na inom schodisku horelo 5 podobných rohov 60 večerov, za čo sa platilo 27 rubľov. Koľko hodín každý večer horel plyn na druhom schodisku?

2677 . Na 4 lampy, ktoré svietili každý večer 7 1/2 hodiny, sa počas 30 večerov spotrebovalo 2,25 kúdola petroleja. Za koľko večerov sa spotrebuje 1,8 karozínu, ak každý večer svieti 5 takýchto lámp počas 4 hodín a 30 minút?

2678 . 32 murárov, ktorí pracovali denne 8 1/2 hodiny, za 42 dní postavili tehlový múr dlhý 10 sazhens, 7 1/2 palca hrubý a 1 sazhen vysoký 3,5 stopy. Za koľko dní postaví 40 murárov rovnakej sily ako prvý, ktorí pracujú denne 6,8 hodiny, tehlovú stenu dlhú 15 sazhnov, hrúbku 0,9375 aršínov a výšku 2 1/2 aršínov?

2679. Dĺžka poštová cesta medzi Vitebskom a Orelom je 483 verstov; jeden cestujúci prekonal túto vzdialenosť za 7 dní, pričom každý deň bol v meste 10 hodín a precestoval rovnaký počet míľ za hodinu. Ďalší cestovateľ odišiel z Vitebska do Mogileva a keďže bol na ceste každý deň 12 hodín, prešiel za 4 dni. Koľko verstov z Witsbska do Mogileva, ak je známe, že druhý cestovateľ cestoval 10 verstami súčasne s prvým cestovateľom 23 verstami?

2680. Tehla (slinka), 0,375 arshinov dlhá, 3 palce široká a 1 1/2 palca hrubá, váži 10 libier 38,4 cievok. Koľko bude vážiť kus mramoru štvorcového tvaru, ktorý je 8,75 palca dlhý, 2 1/4 palca široký a 2 palce hrubý a o mramore je známe, že je 1 1/2 krát ťažší ako tehla?

2681. 25 tkáčov, pracujúcich 8 1/3 hodiny denne, utkalo za 32 dní 120 arshinov plátna, 1 arshin široký. 5 1/3 palca. Za koľko dní utka 40 tkáčov, pracujúcich denne 4 hodiny a 10 minút, 320 aršínov ľanu so šírkou 0,75 aršínov?

2682. Kapitál 1200 rubľov za 8 mesiacov priniesol zisk 40 rubľov; koľko hodín 100 rub. prinesie 5 rubľov. prišiel?

2683. Kapitál 30 000 rubľov za 7 1/2 mesiaca priniesol zisk 1 125 rubľov. Koľko zisku prinesie každých 100 rubľov tohto kapitálu do 1 roka?

2684. Kapitál 24 400 rubľov na 10 mesiacov priniesol zisk 1 525 rubľov. Aký druh kapitálu musí mať človek, aby v obehu za rovnakých podmienok ako prvý dosiahol zisk 1 250 rubľov za 2 a pol mesiaca?

2685. 54 kopáčov, pracujúcich 10 hodín denne, narobilo kopec za 33 dní, 124 siah dlhý, 1 siah široký, 2 1/2 aršínov a 6 3/4 stopy vysoký. Koľko kopáčov treba najať, aby denne pracujúcimi 7 1/2 hodiny urobili za 30 dní násyp dlhý 0,31 vesty, 7 1/3 arsh sprinu. a výška 3 6/7 arshinov?

2686. 48 kopáčov, pracujúcich denne 9 hodín a 20 minút, vyrobilo za 55 dní hlinený val, 40 1/3 siahu dlhý, 4 1/2 aršínov široký a 7 aršínov vysoký. Akú výšku narobí za 64 dní 40 bagrov pracujúcich denne 6 hodín a 45 minút, ak dĺžka šachty je 44 siah a šírka je 1 siah?

2687 . Na vykurovanie bytu 6 kachľami na 2 mesiace a 10 dní sa minulo 14 sazhnov borovicového palivového dreva. Ako dlho bude trvať 10 sazhnov brezového palivového dreva na vykúrenie bytu 8 kachľami, ak by množstvo tepla vyžarovaného každým kachľami malo byť rovnaké ako v prvom byte a ak 9 sazhnov borovicového dreva vyžaruje toľko tepla ako 7 1/2 siahu brezy?

2688. Z obdĺžnikového poľa s dĺžkou 2 vesty a šírkou 1 1/2 vesty s úrodou sam-27 sa zozbieralo toľko cukrovej repy, že sa z nej v továrni vyťažilo 937 1/2 kapsuly cukru. . Z ďalšieho poľa, ktoré malo šírku 400 sazhnov, s úrodou 18 sam, sa zberala cukrová repa, z ktorej sa vyťažilo 250 libier cukru. Za predpokladu, že podmienky sejby a kvalita repy pre obe polia boli rovnaké, nájdite dĺžku druhého poľa.

2689. 4 pisári, pracujúci denne 7 1/2 hodiny, skopírovali 225 listov za 15 dní, s priemerom 32 riadkov na každej strane. Koľko zapisovateľov treba najať, aby pri dennej práci 5 hodín a 20 minút dokázali skopírovať 64 listov za 9 dní, pričom na každú stranu umiestnili v priemere 36 riadkov?

2690. 3 rúrky v priebehu 4 1/2 hodiny naplnili nádrž, 1 sadze na dĺžku. 2 arshiny, 1,5 arshiny široké a 3 2/3 stopy hlboké. Do akej hĺbky naplnia 4 rúry ďalšiu nádrž za 5,4 hodiny, ak je dĺžka tejto nádrže 1 sadze. 2 5/8 stopy, 1,2 ara široké, a ak každá z prvých rúr naleje súčasne 16 vedier vody, do ktorej z posledných rúr naleje 9 vedier?

2691 . 22 tkáčov pracujúcich 10 hodín denne pripravilo 120 kusov plátna za 30 dní. Koľko takýchto tkáčov treba najať, aby pri práci 7 1/2 hodiny denne dokázali za 40 dní pripraviť 300 kusov plátna, pričom dĺžka každého z týchto kusov by mala byť 1 1/10 násobok dĺžky plátna. prvý a šírka by mala byť 0,8(3) šírka prvého?

2692. Za jedlo pre určitý počet vojakov sa zásoba obilia na 60 dní získa, ak každý vojak dostane 2 1/2 libry denne. Koľko dní vydržia 3/4 tejto zásoby, ak sa počet vojakov zníži o 3/8 predchádzajúceho počtu a denná dávka každého sa zvýši o 1,25 libry?

2693. Pätnásť robotníkov a 12 robotníkov, ktorí pracovali denne 10 hodín a 30 minút, odviezli chlieb z poľa za 12 dní. Koľko dní bude 21 robotníkov a 8 robotníkov, ktorí pracujú 8,4 hodiny denne, odstraňovať chlieb z poľa, ktorého dĺžka súvisí s dĺžkou prvého ako 0,3: 1 / 5 a ktorého šírka súvisí so šírkou z prvého ako 0, 51: 0,5(6) - ak je známe, že sila muža súvisí so silou ženy, ako 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Na odčerpanie vody z bazéna boli dodané 3 veľké a 5 malých čerpadiel, ktoré spolu dokázali vyliať všetku vodu za 6 hodín. Po 2 1/2 hodinách ich kombinovaného pôsobenia sa dve veľké čerpadlá znehodnotili a boli okamžite nahradené 5 malými. S vedomím, že sila každého malého čerpadla súvisí so silou každého veľkého, ako 2 1 / 2: 4 1 / 6 určuje, koľko hodín trvalo odčerpanie vody z bazéna.

2695. Na stavbu steny domu bolo použitých 4215 tehál, z ktorých každá bola 10 1/2 palca dlhá a 5,25 palca široká. a hrúbkou 2 5/8 palca. Na stavbu ďalšej steny boli použité tehly, z ktorých každá bola 5 1/2 palca dlhá, 3 1/3 palca široká a 1 1/4 palca hrubá. Koľko z týchto tehál sa použije na stavbu druhej steny, ak jej dĺžka je 0,8 (3) dĺžka prvej, hrúbka je 1,1-násobok hrúbky prvej a výška je 0. (5) výška z prvej steny?

2696. Dvadsaťpäť ľudí pracujúcich každý deň 5 hodín stihlo za 15 dní urobiť 0,27 nejakej práce. Koľko ľudí ešte treba zamestnať, aby 8 1/3 hodiny denne študovali spolu s prvým a zvyšok tej istej práce zvládli za 20 dní?

Neexistuje dostatočne silný výraz, na ktorý by boli zostavovatelia stredovekej aritmetiky skúpi, aby chválili trojité pravidlo. "Táto línia je trojnásobne chvályhodná a najlepšia zo všetkých ostatných línií." "Filozofi to nazývajú zlatá čiara." V učebniciach nemčiny bol označovaný ako „nadovšetko chválený“, je „kľúčom obchodníkov“. Tak isto bol medzi Francúzmi známy pod názvom règle dorée – zlaté pravidlo. Bol v protiklade k celej vede o algebre.

Prečo sa potom také nemierne chváli oddeleniu, ktoré v našej dobe zvykne zastávať skromnejšie miesto? Je veľmi zaujímavé to zistiť a dovoľujeme si vrátiť sa trochu späť a stručne popísať ciele, ktoré aritmetika sledovala od staroveku.

Akákoľvek veda v počiatočnom štádiu svojho vývoja je spôsobená praktickými potrebami a snaží sa ich uspokojiť. Potom, v závislosti od podmienok, v ktorých sa vyvíja, veda niekedy dosť rýchlo, niekedy pomalšie naberá teoretické zafarbenie a pôsobí výchovne na tých, ktorí ju študujú, t. zlepšuje ich duchovné schopnosti: myseľ, cítenie a vôľu: s pomalým rastom zostáva veda po dlhú dobu vodcom zručnosti, odovzdáva iba zručnosť, dáva človeku mechanické zručnosti a dáva mu črty mechanickosti. Oba smery boli testované aritmeticky. Na jednej strane grécki učenci videli v aritmetike predovšetkým vzdelávací prvok; neustále sa pýtali „prečo?“. a „prečo?“, vždy hľadať dôvody a závery; študenti gréckych škôl sa ponorili do podstaty vedy, premýšľali o nej, a preto na nich štúdium pôsobilo výchovne a rozvíjajúcim spôsobom. Na druhej strane, Indovia sa na aritetiku pozerali skôr zo strany umenia, nepáčila sa im otázka „prečo?“, ale ich hlavnou otázkou vždy bolo: „ako na to?“. Smer Hindov prešiel k Arabom a odtiaľ do stredovekej Európy. Stretlo sa v ňom s mimoriadne srdečným prijatím a pôda zaň sa ukázala ako celkom vďačná: po veľkom sťahovaní národov a pri neustále prebiehajúcich vojnách nebolo čo ani len pomyslieť na rozvoj presného, ​​častého, abstraktná veda, a vtedy bolo potrebné obmedziť sa na jej aplikovanú časť, stačilo len učiť „ako to robiť“ a nie „prečo to robiť“. A tak praktické kolorovanie zostalo dlho za aritmetikou, takmer až do dnešných dní, zároveň jeho štúdium bolo úzko mechanické: bez záverov, vysvetlení, bez zahĺbenia do základov; všade v učebniciach bolo „urob to takto“, „takto to treba urobiť“ a študentovi stačilo len potvrdiť a aplikovať na prípad; náš Magnitsky má tiež množstvo charakteristických výrazov „pozri vidieť“, „pozri vynález“; Predpokladajme, že medzi týmito výrazmi má „mysli a príď“, ale ako presne myslieť, uvádza sa len veľmi málo rád. V súlade s praktickým významom aritmetiky sa v nej osobitne rozlišovalo a oceňovalo všetko, čo mohlo priniesť priamy úžitok, priniesť zárobok.

„Kto pozná túto múdrosť,“ hovorí ruský aritmetik zo 17. storočia, „môže byť s panovníkom vo veľkej cti a v plate; podľa tejto múdrosti hostia obchodujú v štátoch a vo všetkých druhoch tovaru a obchodov poznajú silu a vo všetkých druhoch váh a mier a v zemskom usporiadaní a v morskom prúde sú zle zruční a poznajú účet z akéhokoľvek čísla zoznamu.

Ale ktorá časť aritmetiky môže poskytnúť praktickejšie, priamo použiteľné zručnosti ako riešenie problémov? Preto všetko úsilie stredovekých autorov smerovalo k zozbieraniu čo najväčšieho množstva problémov a zároveň čo najrozmanitejšieho každodenného obsahu. Tu boli problémy a o predaji a kúpe, o zmenkách a o úrokoch, o miešaní, o výmene; rozmanitosť bola strašná a neexistoval spôsob, ako vyriešiť celú tú masu problémov. Aby sa aspoň trochu zgrupovali a zaviedli nejaký systém a poriadok, snažili sa všetky úlohy rozdeliť podľa oddelení či typov. Tento nápad je, samozrejme, dobrý, ale zvyčajne sa realizoval veľmi neúspešne a úlohy sa rozdeľovali nie podľa spôsobu ich riešenia, ako by sa patrilo, ale podľa obsahu, teda podľa vzhľadu. ; napríklad bol zvláštny druh problému o psoch naháňajúcich zajaca, o stromoch, o dievčatách atď.

Riešenie úloh s delením podľa ich obsahu neprinieslo takmer žiaden úžitok, pretože ani v najmenšom nepomohlo lepšiemu pochopeniu riešenia. A podľa názoru starých autorov to nebolo potrebné pochopiť.

"To nič," utešoval mentor svojich žiakov, "že ničomu nerozumiete, nepochopíte veľa ani dopredu."

Namiesto porozumenia sa odporúčalo nenechať sa uniesť, ale zapamätať si všetko, čo bolo požiadané, a potom to skúsiť aplikovať na prípad, teda na príklady, a všetka sila porozumenia sa sústredila nie na pochopenie záveru. pravidla, ale na skromnejšom, o tom, ako aplikovať všeobecné pravidlo na príklady.

A tak bolo trojité pravidlo vynikajúce a hodné osobitnej pozornosti v mnohých ohľadoch. Po prvé, rozsah jeho úloh je pomerne rozsiahly, po druhé samotné pravidlo je vyjadrené celkom jednoducho a jasne a po tretie bolo pomerne jednoduché toto pravidlo aplikovať. Za všetky tieto zásluhy dostal meno „zlato“, „kľúč obchodníkov“ atď.

Trojvláda vznikla u Hindov, kde sa jeho úlohy riešili z väčšej časti redukciou na jednotu. Arabský učenec Alkhvarizmi (9. storočie n. l.) to pripísal algebre. Leonardo Fibonacci, Talian z 13. storočia podľa R. X. venuje osobitnú časť trojitému pravidlu pod názvom: ad majorem guisam, kde sú uvedené úlohy na výpočet hodnoty tovaru. Príklad: 100 rotuli (hmotnosť Pisan) stojí 40 lír, koľko stojí 5 rotuli? Podmienka bola napísaná takto:

Pravidlo predpísané na vyriešenie tohto problému v nasledujúcom poradí: súčin 40 x 5 delený 100.

Trojitému pravidlu sa venuje osobitná pozornosť od 16. storočia, teda od čias, keď sa európsky obchod a priemysel vďaka významným vynálezom a objavovaniu nových krajín okamžite pohli dopredu. To nám ale nebránilo v tom, aby sme túto kapitolu rozvinuli aspoň z nášho pohľadu úplne neuspokojivo. V prvom rade bolo pravidlo určené čisto externe: „úloha pozostáva z troch čísel a dáva si štvrté číslo, ako keby ste dali tri rohy domu, potom to určí 4. roh; druhé číslo treba vynásobiť 3. a čo sa stane, potom vydeliť prvým číslom. Takáto definícia nemohla viesť k nejednotnosti a predovšetkým otázka znela: čo treba považovať za prvé číslo a dajú sa nejaké problémy s tromi danými číslami vyriešiť trojitým pravidlom? Učebnice nepovažovali za potrebné objasniť toto nedorozumenie. Okrem toho sa problémy riešili nielen s celými číslami, ale aj so zlomkami a v inej aritmetike boli usporiadané tak nejednotne, že problémy s zlomkové čísla na trojnom pravidle boli kapitoly o zlomkoch umiestnené skôr, pretože celé trojité pravidlo išlo pred aritmetiku zlomkových čísel.

Po trojitom pravidle s celými číslami a zlomkami osobitné pravidlo„redukovanie“, v ktorom bolo vysvetlené, ako je možné znížiť niektoré dané čísla, a potom už išlo „reflexívne“ pravidlo; išlo o veľmi zmätený odbor, do ktorého patrili otázky s obrátenou úmernosťou a autori učebníc nevedeli nijako rozlíšiť, ktoré problémy patria do tejto skupiny; učeníci sa museli spoliehať na svoje predtuchy a uspokojiť sa s vynaliezavosťou. V XV a XXII storočí. vysvetlenie bolo podané takto: „Ak miera obilia stojí 1½ marky, potom sa za 1 marku dávajú dve porcie chleba; koľko kúskov chleba dostane za marku, ak odmerka obilia stojí 1¾ marky; riešte pomocou trojitého pravidla, ukazuje sa

ale chápavý si uvedomí, že keď obilie zdražie, tak chleba budú dávať menej, nie viac, preto treba otázku obrátiť, bude

V podobnom duchu interpretuje Magnitskij (1703).

„Existuje pravidlo vrátenia, keď je potrebné v zadaní uviesť tretí zoznam namiesto prvého: je to potrebné v občianskych častých prípadoch, ako keby hovorili na zadok: istý pán zavolal tesára a objednal dvor a pýtal sa, koľko dní postaví svoj dvor, odpovedal, že za tridsať dní. ale majster potrebuje postaviť celok za 5 dní a na to sa spýtal tesárskych balíčkov, koľko ľudí sa oplatí mať, aby ste si s nimi postavili dvor za 5 dní, a ten tesár sa vás zmätene spýta aritmeticky : koľko ľudí si zaslúži mať, aby mu ten dvor postavil za 5 dní a ak začnete tvoriť podľa poradia trojitého pravidla jednoducho; potom sa skutočne mýlime; ale nie je to pre teba vhodné: 30-20-5, ale premeniť to na sed: 5-20-30; 30X20=600; 600:5=120".

Trojitým pravidlom sa riadili piati a po nich siedmi. Je ľahké uhádnuť, že ide o špeciálne prípady zložitého trojitého pravidla, a to práve vtedy, keď sa podľa 5 alebo 7 údajov, ktoré sú na sebe proporcionálne závislé, nájde 6. alebo 8. zodpovedajúce číslo, inými slovami: pravidlo päťnásobku vyžaduje 2 proporcie a siedmy sú tri. Pravidlo piatich bolo vysvetlené v osemnástom storočí takto:

robia také výpočty, ktoré nemožno vykonať podľa iného pravidla; Je v ňom uvedených 5 čísel a z nich sa nájde šieste požadované číslo; napríklad niekto dal do obehu sto rubľov, a tie mu priniesli zisk 7 rubľov, otázka je, aký zisk by dostal so 100 rubľov. na 5 rokov;

vyriešené takto: 100-1-7-1000-5, vynásobte dve ľavé čísla a tiež vynásobte 3 pravé čísla a vydeľte posledný produkt prvým, odpoveď bude 350, toľko rubľov zisku dá 1000 rubľov. do 5 rokov.

Jednoduché a zložité trojité pravidlo bolo zvyčajne distribuované v 16.-18. do masy malých oddelení, ktoré niesli veľmi zložité názvy v závislosti od obsahu úloh. Tu sú tieto názvy podľa Magnitského: „trojité obchodné pravidlo“, t. j. výpočet nákladov na zakúpený tovar; b „trojité obchodovanie o nákupoch a predajoch“ - rovnaké ako predchádzajúce, ale len komplikovanejšie; c „trojité obchodovanie s predajnou zeleninou a so znakom“, keď musíte urobiť zrážku za riad a črievka vo všeobecnosti; d „zo zisku a straty“; e „otázkový článok v trojitom pravidle“, v ňom úlohy s veľmi rôznorodým obsahom, väčšinou s opačným pomerom; f „sporný článok s časom“, kde sa požaduje vypočítať trvanie práce, cesty atď.

Začiatkom 19. storočia Bazedov navrhol ďalšiu zmenu trojitého pravidla a opäť v tom istom smere mechanického, nevedomého zvyku. Tento nemecký učiteľ si dal za cieľ ešte viac zjednodušiť riešenie úloh na trojnom pravidle, a to tak, že ešte viac zredukuje uvažovanie pri ich riešení a nahradí ho písaním hotového vzorca. Odporúča usporiadať dané čísla do 2 stĺpcov: v ľavom je napísané neznáme množstvo a všetky čísla, ktoré by mali byť zahrnuté v čitateľoch vzorca a v pravom - všetky faktory, ktoré tvoria menovateľ. Príklad: na jedlo pre 1200 ľudí na 4 mesiace je potrebných 2400 centov múky; koľko ľudí vyjde 4000 centov za 3 mesiace? Píšeme 2 stĺpce:

a získajte vzorec odpovede

Prečo sú čísla 1200, 4000 a 4 zahrnuté v čitateli a 2400 a 3 v menovateli? Na to možno odpovedať nasledujúcim pravidlom: čitateľ obsahuje číslo, ktoré je homogénne s požadovaným číslom, teda v našom prípade číslom 1200; okrem toho zahŕňa aj všetky čísla druhej podmienky (4000 4), ktoré sú priamo úmerné požadovanej; ak sú nepriamo úmerné, ako v našom príklade 3, potom sú nahradené zodpovedajúcimi číslami 1. podmienky (4.).

To je všetko, čo môžeme povedať o historickom vývoji trojitého pravidla. Zo všetkého, čo bolo povedané, možno vyvodiť záver, ktorý je vhodný pre našu dobu. Stredoveká aritmetika so svojou tendenciou dávať len pravidlá a vynechávať závery, s mechanickým riešením otázok, mala príliš veľký vplyv na celý nasledujúci školský život, a taký veľký, že jeho stopy sa aj v našej dobe objavujú na každom kroku. Bez ohľadu na to, ako veľmi sa snažíme zbaviť tradície, oslobodiť sa od zvyku, zmocňujú sa nás príliš blízko a priťahujú nás príliš silno na to, aby sme ich úplne zahodili. Naša škola je stále vinná z rutinného učenia sa aritmetiky bez dostatočnej účasti vedomia. Trojité pravidlo je toho dobrým dôkazom. Často zabúda na náš priemer a nižšia školaže má dať všeobecné vzdelanie, a nie školiť účtovníkov, úradníkov, účtovníkov atď. , sa často používajú aj teraz. Prečo všetky tieto pravidlá: triple, zmesi atď.? Akému účelu majú slúžiť? Mali by byť záverom z riešených problémov a nemali by predchádzať riešeniu problémov; je škodlivé riešiť problémy podľa vopred naučeného pravidla, ale treba sa snažiť dospieť k odpovedi slobodnou osobnou úvahou. Slovom, pravidlo by sa nemalo chápať vo forme receptu, ktorý si stačí zapamätať, aby sa podľa neho pripravili rôzne zložité riešenia; mali by sa však hodnotiť len ako záver, ku ktorému študent prichádza: ak tento záver študent nedokáže vyvodiť, znamená to, že problémy sú riešené málo alebo nie sú usporiadané systematicky a túto chybu je potrebné opraviť systematickejším usporiadanie problémov; ak žiak nevyvodí taký úplný a podrobný záver, aký by si učiteľ želal, potom je lepšie uspokojiť sa s ním, ako ho nútiť naučiť sa pravidlo, ktoré mu ukladá učebnica: čoskoro sa zabudne a nebude mať rozvíjajúci efekt, keďže samostatnosť by mala byť nevyhnutnou vlastnosťou matematického odvodzovania, ale nevyhnutnou podmienkou vedomia musí byť úzke prepojenie všetkých častí kurzu, preto tu nemôže byť miesto pre mechanické vkladanie do hlavy samostatného kúsky asimilované pamäťou.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
PRÍRUČKA ZÁKLADNEJ MATEMATICE
ARITMETIKA, ALGEBRA, 1965


1. Jednoduché trojité pravidlo. Z problémov o pomerných veličinách sú najčastejšie úlohy na takzvanom jednoduchom trojitom pravidle. V týchto úlohách sú uvedené tri čísla a je potrebné určiť štvrté, úmerné im.

Problém 1. 10 skrutiek váži 4 kg. Koľko váži 25 z týchto skrutiek? Takéto úlohy sa dajú vyriešiť niekoľkými spôsobmi.

Riešenie I (redukciou na jednotu).

1) Koľko váži jedna skrutka?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Koľko váži 25 skrutiek?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Riešenie II (metóda proporcií). Keďže hmotnosť skrutiek je priamo úmerná ich počtu, pomer hmotností sa rovná pomeru kusov (skrutiek). Označením požadovanej hmotnosti písmenom x dostaneme pomer:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Môžete argumentovať takto: 25 skrutiek je 2,5-krát viac ako 10 skrutiek. Preto sú tiež 2,5-krát ťažšie ako 4 kg:

4 kg 2,5 = 10 kg.

Odpoveď. 25 skrutiek váži 10 kg.

Problém 2. Prvý prevodový stupeň robí 50 ot./min. Druhý prevodový stupeň v zábere s prvým robí 75 ot./min. Nájdite počet zubov druhého kolesa, ak je počet zubov prvého 30.

Riešenie (redukciou na jednotu). Obe ozubené kolesá v zábere posunú za minútu rovnaký počet zubov, takže počet otáčok kolies je nepriamo úmerný počtu ich zubov.

50 ot. - 30 zubov

75 ot. - X zub.

X : 30 = 50: 75; (zuby).

Môžete tiež argumentovať takto: druhé koleso robí otáčky 1,5-krát viac ako prvé (75: 50 \u003d 1,5). Preto má zuby 1,5-krát menšie ako prvé:

30: 1,5 = 20 (zuby).

Odpoveď. 20 zubov.

2. Komplikované trojité pravidlo.Úlohy, pri ktorých je potrebné pre daný rad zodpovedajúcich hodnôt niekoľkých (viac ako dvoch) pomerných veličín nájsť hodnotu jednej z nich zodpovedajúcu inému radu daných hodnôt zostávajúcich veličín, sú nazývané úlohy pre komplexné trojité pravidlo.

Úloha. 5 čerpadiel odčerpalo 1800 vedier vody za 3 hodiny. Koľko vody odčerpajú 4 takéto čerpadlá za 4 hodiny?

5 nás. 3 hodiny - 1800 ved.

4 nás. 4 h - X ved.

1) Koľko vedier vody odčerpalo 1 čerpadlo za 3 hodiny?

1800: 5 = 360 (vedrá).

2) Koľko vedier vody odčerpalo 1 čerpadlo za 1 hodinu?

360: 3 = 120 (vedrá).

3) Koľko vody vyčerpajú 4 čerpadlá za 1 hodinu?

120 4 = 480 (vedrá).

4) Koľko vody vyčerpajú 4 čerpadlá za 4 hodiny?

480 4 = 1920 (vedrá).

Odpoveď. 1920 vedier

Skrátené riešenie podľa číselného vzorca:

(vedrá).

Úloha. Rozdeľte číslo 100 na dve časti priamo úmerne k číslam 2 a 3,

Túto úlohu treba chápať nasledovne: rozdeľte 100 na dve časti tak, aby prvá zodpovedala druhej ako 2 až 3. Ak požadované čísla označíme písmenami X 1 a X 2 možno tento problém formulovať nasledovne. Nájsť X 1 a X 2 taký, že

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.