Trojité salto Na námorných jachtách je záťaž nízka, čo im neumožňuje príliš sa nakloniť a celkovo sa prevrátiť. Stáva sa však, že jachta stále letí kotrmelce, ako iol bez záťaže, a to sa deje iba tu - vo veľkom južnom oceáne. viem

Problémy riešené pomocou proporcií sa tradične učia v kurze aritmetiky v 5.–6. ročníku. Predpokladá sa, že práve v tomto veku by sa žiaci mali naučiť riešiť proporcie, zoznámiť sa s dvomi prakticky dôležitými závislosťami – priamou a nepriamou úmernosťou, naučiť sa ich rozlišovať a riešiť zodpovedajúce problémy. Štúdium proporcií a naznačených závislostí nemá veľa spoločného s potrebami samotného počtového kurzu alebo s potrebami výučby riešenia úloh v 6. ročníku - v učebniciach neexistujú úlohy s priamou a nepriamou úmerou, ktoré by sa nedali vyriešiť bez proporcií. Využitie proporcií má však veľký význam pre následné štúdium matematiky. V učebniciach 6. ročníka sa často navrhuje riešiť percentuálne úlohy pomocou proporcií. Aj keď podľa nášho názoru riešenie úloh na percentá nevyžaduje použitie proporcií.

Uvažujme o technike riešenia problémov o proporciách, ktorá zjavne patrí učiteľom chémie, unaveným zlou znalosťou percentuálnych výpočtov študentov. To sa scvrkáva na radu: na záznam

400 griešenie - 100%

20 g soli - x%

oddeľte dva riadky číselných údajov do dvoch riadkov, spojte dva riadky dohromady, kým nezískate znamienko
"=" a vyriešte výsledný podiel:

400 / 20 = 100 /X.

Niekedy v procese riešenia pomer nie je výslovne stanovený. Napríklad v študentskej príručke „500 problémov v chémii“ (Prosveshchenie, 1981) je uvedený stručný záznam riešenia:

b) 32 gsíry sa spájajú s 32 g kyslíka a

x g » 8 g »

X = 32 8/ 32 = 8(d).

v) 32 gsíry sa spájajú so 48 g kyslíka a

x g » 8 g »

X = 32 8/ 48 = 5,33 (g).

Ako vidíte, tu sú proporcie ponechané „za scénou“, študenti môžu násobiť a deliť čísla „krížom“. Na tomto spôsobe navrhovania riešenia nie je nič odsúdeniahodné, je celkom možné ho použiť pri riešení Vysoké číslo podobné úlohy na hodinách chémie. Je pravda, že v očividnom prípade „b“ by sme neaplikovali ťažkopádny všeobecný trik a v prípade „c“ by sme namiesto „≈“ použili znak „=“. Ale sme si istí, že ak študent nerozumie proporciám a nevie vysvetliť zmysel svojho konania, riešenie problémov podľa modelu bude pre jeho rozvoj málo užitočné.

Dobré pre chemikov! Zaoberajú sa priamou úmernosťou. A žiaci 6. ročníka (najmä tí, ktorým chýbal výklad učiteľa) si niekedy nosia z domu tento spôsob riešenia prvého problému bez pomeru: „čísla vynásobíme krížom krážom: 20 krát 100, X- pri 400 porovnávame získané výsledky a nájdeme X". Pre takýchto študentov je ťažké naučiť používať proporcie, pretože považujú svoju vlastnú metódu za jednoduchšiu, ale tento problém sa dá ľahko odstrániť, keď sa pokúsia vyriešiť problémy s inverznou proporcionalitou pomocou „krížovej“ metódy.

Všimnite si, že pravidlo „vynásobte a rozdeľte krížom“ je podobné pravidlám, ktoré sa používali za starých čias pri riešení aritmetických problémov. Využime túto okolnosť a vráťme sa ešte raz k histórii otázky. Najprv si však ujasnime terminológiu.

AT staré časy na riešenie mnohých typov problémov existovali špeciálne pravidlá na ich riešenie. Nám známe problémy o priamej a nepriamej úmernosti, v ktorých je potrebné nájsť štvrtú hodnotu troch hodnôt dvoch veličín, sa nazývali úlohy na trojitom pravidle (jednoduché trojité pravidlo). Ak bolo pre tri množstvá zadaných päť hodnôt a bolo potrebné nájsť šiestu, potom sa pravidlo nazývalo päť. Podobne pre štyri množstvá platilo „sedemročné“ pravidlo. Tieto pravidlá sa nazývali aj úlohy pre komplexné trojité pravidlo.

V úvodnom článku k prvému odseku našej knihy sme citovali fragment z knihy I. Beshenshteina (1514), ktorý odráža takmer mystický postoj učiteľov k trojité pravidlo, a samotná prezentácia materiálu má vyslovene receptový charakter. Tréning podľa pravidiel bol rozšírený aj v Rusku. Túžiac popísať metodiku výučby riešenia problémov z čias L.F. Magnitského, budeme odkazovať na S.I. Shokhor-Trockij, ktorý vo svojich „metódach aritmetiky pre učiteľov stredných vzdelávacích inštitúcií“ napísal: „Nakoľko knihy o aritmetike za starých čias oplývali pravidlami, možno posúdiť podľa diela Leontyho Magnitského, na svoju dobu veľmi úctyhodného. .. V prvej knihe ... okrem mnohých pravidiel o celých a zlomkových číslach sú stanovené pravidlá, ktoré autor nazýva „podobné“ (teraz nazývané trojité) ... autor rozlišuje: pravidlo je trojité v celé čísla, pravidlo je trojité v zlomkoch, pravidlo je trojité kontraktilné, pravidlo je „reaktívne“ (nepriamo úmerné), pravidlo je päť, pravidlo je „sedemročné“ ..., a potom vo forme aplikácie týchto pravidiel, navrhuje niekoľko „článkov“: trojitý obchodný článok („v celku“ a „v akciách“), trojitý obchodný článok o nákupe a predaji, trojitý obchodný článok s predajnou zeleninou a „so znakom“ ( teda o kalkulácii kontajnera tovaru), o „nákupe“ a „réžii“, „otázka“ o trojnom pravidle, „otázka z doby“, „podnikanie v trojitom pravidle“, obchodná „výmena“. v trojitom pravidle"...

Ďalej S.I. Šokhor-Trockij cituje fragment z "Arithmetic" od L.F. Magnitského, z ktorého je jasne vidieť, že predpisový štýl prezentácie materiálu, charakteristický pre skoršie európske zdroje, ešte nebol prekonaný v prvej ruskej učebnici aritmetiky. V tomto fragmente o aplikácii pravidla piatich je najprv uvedená definícia pravidla a príklad jeho aplikácie (text úlohy je tu kurzívou), potom recept na získanie odpovede; v ostatných prípadoch sa odporúča urobiť to isté.

„Existuje päťnásobné pravidlo, keď sa takéto odhady vyskytnú, nemôžu byť pochopené žiadnou inou hodnosťou alebo pravidlom, iba cez toto päťbodové alebo päťbodové pravidlo sa hovorí aj trojnásobok ... pretože päť zoznamy [čísla] sú uvedené v pravidle a šiesty je vynájdený ...: niekto, kto má u obchodníkov sto rubľov na jeden rok, a ak získajú iba 7 rubľov, a dá balíčky 1000 rubľov obchodníkom na 5 rokov, koľko s nimi získa, a ty robíš hovno a dávaš začiatok trojitého pravidla:

rok rok

100 –––––– 1 –––––– 7 –––––– 1000 –––––– 5

A vynásobte medzi sebou dva zoznamy z ľavej ruky, aj ďalšie tri podobné pravá ruka, tak sa množte medzi sebou v poradí a vydeľte ich produkt týmto produktom od prvých dvoch, pričom ste vyrobili: ako je to tu. [tamže]

Budeme hovoriť o možnosti použitia úloh tohto druhu v procese učenia, ale zatiaľ, podľa pravidla, dostaneme správnu odpoveď:

(7 1000 5):(100 1) = 350 ( R.).

V čase S.I. Šokhor-Trockij si stále zachoval tradíciu riešenia problémov podľa pravidiel. Najznámejšou učebnicou aritmetiky tej doby bola A.P. Kiseleva (prvé vydanie v roku 1884). Aby si čitateľ urobil predstavu o spôsobe prezentácie učiva súvisiaceho s úlohami o trojitom pravidle v tejto učebnici, aby si vedel predstaviť prax výučby školákov riešiť problémy priamej a nepriamej úmernosti v tom čase. , uvedieme niekoľko úryvkov z 9. vydania tejto učebnice (1896). ..). Naše komentáre v texte sú uvedené kurzívou.

Jednoduché pravidlo troch.

Úlohy pre toto pravidlo sa riešia metódou proporcií alebo redukciou na jednotu.

Úloha. 8 arshinov látky stojí 30 rubľov; koľko je 15 arshinov tejto látky?

S p asi s asi asi asi a y. Označme písmenom X cena
15 ars. handričku a usporiadajte čísla takto:

Počet arshinov. Ich náklady.

8 arsh. . . . . . . . 30 rub.

pätnásť“. . . . . . . X »

Keďže cena látky je úmerná počtu arshinov, potom

X : 30 = 15: 8.

Kde: X\u003d 30 15/8 \u003d 56 1/4 rubľov.

Redukcia na jednotu , Aby sme problém vyriešili týmto spôsobom, najprv zistíme, koľko rubľov stojí 1 arshin (z toho samotná metóda sa nazýva redukcia na jednotu). Pre prehľadnosť usporiadame riešenie do riadkov:

8 arsh. stojí 30 rubľov.

1 arsh. stojí 30/8 rubľov.

8 arsh. cena 30/8 · 15 \u003d 56 1/4 rub.

Upozorňujeme, že prezentácia učiva v učebnici by mohla byť jednoduchšia. Koniec koncov, druhý spôsob, ako vyriešiť problém, je len ďalší záznam rozhodnutia o akciách:

1) 30:8 = 30/8 (rub.); 2) 30/815 = 56 (rub.)

Týmto spôsobom, ale s cenou látky vyjadrenou v kopejkach, museli byť študenti schopní vyriešiť problém ešte predtým, ako sa naučili operácie so zlomkami. Metóda redukcie na jednotu so zámerným zachovaním redukovateľných zlomkov bola nevyhnutná na predloženie riešenia úlohy pre komplexné trojité pravidlo, pre „konečný vzorec“, aby sa školáci naučili postupne meniť prvú hodnotu (ako tu) a potom niekoľko veličín (ako pri riešení úloh na komplexnom trojnom pravidle).

Taktiež dvoma spôsobmi (najprv pomocou proporcie, potom redukciou na jednotu) sa vyriešil aj problém nepriamej úmernosti.

Spôsob riešenia problémov, pri ktorých je daná jedna zodpovedajúca hodnota dvoch veličín, priamo alebo nepriamo úmerná, ale vyžaduje sa Nájsť, akú hodnotu bude mať jeden z nich, ak druhý dostane nový daná hodnota, volal jednoduché trojité pravidlo.

Nasleduje úloha pre komplexné trojité pravidlo, ktorého zložitosť presahuje potreby úvodného tréningu – tu by stačilo zobrať tri hodnoty, nie štyri (čiže zobrať úlohu pre pravidlo päť ako v L.F. Magnitského, a nie pre „sedemdesiatku“).

Zložité trojité pravidlo.

Úloha. Na osvetlenie 18 izieb za 48 dní sa minulo 120 libier. petrolej, pričom v každej miestnosti svietia 4 lampy. Koľko dní bude 125 lb. petrolej, ak je osvetlených 20 miestností a v každej miestnosti svietia 3 lampy?

S p asi s asi asi asi a y. Usporiadajme údaje tejto úlohy do dvoch riadkov:

dvadsať" - X» – 125 » – 3 »

Ak ponecháme počet libier a svietidiel nezmenený (tieto množstvá sú v zátvorkách), môžeme nájsť X 1 je počet dní zodpovedajúci 20 izbám, ktoré riešia jednoduchý problém s trojitým pravidlom.

18 izieb – 48 dní - 120 libier - 4 lampy

dvadsať" - X 1" – 120" – 4"

X 1 \u003d 48 18 / 20 \u003d 216 / 5 (dní).

20 izieb – 216 / 5 dní – 120 libier - 4 lampy

dvadsať" - X 2" – 125" – 4"

X 2 = 216 125 / 5 120 = 45 (dní).

Teraz nahraďme 4 žiarovky 3 žiarovkami:

20 izieb – 45 dní - 125 libier - 4 lampy

dvadsať" - X» – 125 » – 3 »

X= 45 4/3 = 60 (dní).

Spôsob riešenia takýchto problémov, keď je zadaných viac ako dvoch veličín, tzv. komplexné trojité pravidlo.

A d e r t i o n do jednota ... Dovoľte nám usporiadať pre pohodlie údaje a požadovaný počet tak, aby X stál v poslednom stĺpci vpravo:

20 » 125 » 3 » X »

Teraz zistíme, koľko dní bude, ak bude osvetlená 1 pokoj, petrolej bude 1 libra a každá izba bude mať 1 lampa. Toto sa učíme tým, že k tomu vedieme 1 postupne jeden stav za druhým.

18 izieb 120 lb. 4 lampy 48 dní

1" 120" 4" 48 18"

1 » 1 » 4 » 48 18 / 120 »

1 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 »

Teraz postupne nahradíme jednotky číslami uvedenými v otázke problému:

1 izba 1 lb 1 lam. 48 18 4 / 120 dní.

20 » 1 » 1 » 48 18 4 / 120 20 »

20 » 125 » 1 » 48 18 4 125 / 120 20 »

20 » 125 » 3 » 48 18 4 125 / 120 20 3 »

Zostáva znížiť výsledný vzorec a vypočítať.

F u n t pre m u l a l . S dostatočnou zručnosťou pri riešení problémov pre zložité trojité pravidlo môžete okamžite písať konečný vzorec pre X. Poďme si ukázať, ako sa to robí. Zoberme si problém vyššie:

18 izieb – 48 dní - 120 libier - 4 lampy

dvadsať" - X» – 125 » – 3 »

Počet dní by bol 48, ak by bolo osvetlených 18 miestností; ak by bola osvetlená len jedna miestnosť, tak by to bolo 48 dní · 18 a pri osvetlení 20 miestností by mali byť dni 48 18 / 20 (za rovnakých iných podmienok). Takýto počet dní by podliehal 120 librám petroleja; ak by tam bola 1 libra petroleja, potom by počet dní bol 48 18 / 20 120 a pri 125 librách petroleja by to malo byť 48 18 125 / 20 120. Takýto počet dní by podliehal 4 lampám; s 1 žiarovkou to bolo 48 18 125 4 / 20 120 a s 3 žiarovkami by to malo byť:

X = 48 18 125 4 / 120 20 3 , príp X= 48 18/20 125/120 4/3.

Pravidlo. Ak chcete získať požadované číslo, stačí vynásobiť danú hodnotu rovnakej veľkosti postupne pomerom daných hodnôt ostatných veličín, pričom sa vezme pomer novej hodnoty k predchádzajúcej, ak je hodnota priamo úmerná hodnote, ktorej hodnota sa hľadá, a stará hodnota novej, keď je hodnota nepriamo úmerná hodnote, ktorá sa hľadá.

Zapamätať si a presne aplikovať toto pravidlo zrejme nebolo také jednoduché. Venujme pozornosť tomu, že prvými dvoma spôsobmi mal prejsť ku konečnému vzorcu „s dostatočnou zručnosťou v riešení úloh na zložitom trojitom pravidle“. Niet divu, že takéto školenie bolo pre študentov náročné a málo užitočné a vyvolalo námietky zo strany učiteľov a metodikov. Napríklad v programe pre I. a II. stupeň sedemročnej školy Jednotnej pracovnej školy z roku 1921 je celkom jasne napísané: „Všetky ostatné „pravidlá“ sú pozostatky minulosti a nezmysly. , dokonca ani nie prirodzený, ale umelý.“ A ďalej: „Komplexné trojité pravidlo pokrýva kolekciu umelé úlohy ktoré by mali byť pre svoju nezmyselnosť už dávno vyhodené zo školského života.

Takáto ostrá kategorickosť autorov programu zjavne nesúvisela ani tak so samotnými úlohami (ich podmienky by sa dali priblížiť skúsenostiam dieťaťa), ale s málo užitočnou metódou výučby žiakov na riešenie problémov. "podľa pravidiel." Uvedené fragmenty textu z učebnice A.P. Kiseleva poskytuje predstavu o spôsobe prezentácie materiálu, ktorý nás zaujíma, v predrevolučných učebniciach. Všimnite si, že v revidovanej verzii učebnice z roku 1938 boli úlohy pre zložité trojité pravidlo stále zachované a o niečo viac ako strana učebnice je venovaná analýze jedného takého problému - bezprostredne pre "sedemročné" pravidlo . Tu sa však berie do úvahy len „konečný vzorec“ a pravidlo sa neformuluje. Je zrejmé, že táto zmena nevyriešila problém používania úloh daného typu.

Len zjednodušením metodiky používania tohto typu problémov sa dá užitočne zachovať celá trieda tradičných problémov v školskej praxi. Ako uvidíme neskôr, mnohé z nich môžu mať obsah, ktorý je celkom blízky praxi a realizácii prípravné práce keď sa učia riešiť problémy na jednoduchom trojitom pravidle a budujú reťazec problémov od jednoduchých po zložité, zvýšia dostupnosť problémov tohto typu. Je pravda, že otázka zostáva nevyriešená: mali by byť všetci študenti vyškolení na riešenie takýchto problémov? Odpoveď na ňu závisí od toho, čo vidíme praktickú hodnotu učenie sa riešiť textové problémy - iba pri učení sa riešiť problémy, s ktorými sa stretávame v praxi, alebo navyše pri rozvoji myslenia školákov v procese riešenia širokej škály problémov, vrátane umelých. Dosiahnutie druhého cieľa môže byť uľahčené použitím úloh pre komplexné trojité pravidlo vo vzdelávacom procese. Samozrejme, požiadavka vedieť riešiť takéto problémy nemôže byť povinná pre všetkých študentov, ale každému z nich bude užitočná účasť na analýze ich riešenia, nácvik rozlišovania medzi priamou a nepriamou úmerou.

Čo sa týka použitia problémov priamej a nepriamej úmernosti v moderné učebnice, potom v učebnici N.Ya. Vilenkin a ďalší. priame a spätné proporcionálne závislosti je pridelená položka 22. Obsahuje 18 úloh. Okrem toho, počnúc vzorkami vo vzdelávacom texte, zodpovedajúce hodnoty veličín sú vyjadrené v desatinných zlomkoch alebo prirodzené čísla, ktorých pomery nie sú vyjadrené ako celé čísla. To sťažuje učenie. Navyše tretinu úloh tvoria úlohy na percentá. Keď sa spočiatku učíte používať proporcie, je lepšie oddeliť ťažkosti: študovať proporcie oddelene od desatinné zlomky a percentá. AT nasledujúce odseky V učebnici sa z času na čas vyskytujú úlohy „na pomery“, ale nie je ich veľa a väčšina z nich sa dá ľahko vyriešiť aj bez proporcií.

Samotné proporcie teda veľmi neobohacujú arzenál metód na riešenie problémov, ktoré používajú školáci v procese štúdia celého kurzu matematiky v 5. až 6. ročníku, a bez toho, aby sa zvyšovala zložitosť problému, nepriame a nepriame úmernosť. mať želaný vplyv na rozvoj školákov. Na malom počte jednoduchých úloh rovnakého typu nie je vždy možné dosiahnuť ďalší dôležitý cieľ – naučiť školákov dobre rozlišovať medzi priamou a nepriamou úmernosťou.

Netvrdíme, že za starých čias sa problémy priamej a nepriamej úmernosti využívali oveľa efektívnejšie. Ale ešte rozmanitejšie úlohy, vrátane úloh „pre komplexné trojité pravidlo“, ponechali učiteľovi príležitosť rozvíjať najsilnejších študentov. Preto odporúčame učiteľom, aby pri práci so všetkými žiakmi, najmä s tými najpripravenejšími z nich, využívali tieto dnes už takmer zabudnuté úlohy. Samozrejme, zjednodušíme ich zaradenie do študijný proces a vykonať potrebné úpravy spôsobu, ako ich naučiť ich riešiť. Vôbec nenavrhujeme naučiť všetkých školákov riešiť také problémy, ako je problém s petrolejovými lampami, a to presne tým istým spôsobom, ako je uvedené vyššie. Možno by táto úloha mala byť poslednou v reťazci úloh, ktorých riešením bude študent schopný nielen porozumieť riešeniam ponúkaným učiteľom, ale aj samostatne prejsť od jednoduchých k zložitým. Takáto práca by bola užitočnejšia ako označovanie času pri riešení úloh rovnakého typu a rovnakej zložitosti, umožnila by študentom získať dobrý tréning v rozlišovaní medzi priamou a nepriamou úmernosťou. Kde treba začať?

Najprv musíme študentov naučiť, ako riešiť proporcie. Hlavný spôsob ich riešenia by mal byť založený na hlavnej vlastnosti proporcií. Po dosiahnutí tohto cieľa môžete ukázať použitie proporčných vlastností na zjednodušenie ich riešenia. Napríklad vyriešiť pomer
X/ 5 \u003d 1 / 10, môžete vynásobiť pravú a ľavú stranu rovnosti 5 alebo vymeniť stredné členy proporcie.

Po druhé, je potrebné naučiť školákov vyčleniť dve veličiny v podmienkach problémov, určiť typ závislosti medzi nimi.

Po tretie, musíte ich naučiť robiť pomery podľa stavu problému.

Študenti si tak osvoja minimálny rozsah zručností, ktoré poskytuje súčasný program v matematike. Až potom, aby sa pripravili na riešenie viac náročné úlohy k proporcionálnym hodnotám (komplexné trojité pravidlo), musíte študentom ukázať spôsob, ako vyriešiť študované problémy bez akýchkoľvek proporcií. Poďme vyriešiť problém:

- Pri rýchlosti 80 km/h prekonal nákladný vlak 720 km. Akú vzdialenosť prejde potom rovnaký čas ako osobný vlak s rýchlosťou 60 km/h?

Dráha je úmerná rýchlosti pri konštantnom čase pohybu, čo znamená, že pri poklese rýchlosti o 80/60 krát sa dráha zníži o 80/60 krát.

720: 80 / 60 = 540 (km).

Problém je vyriešený rovnakým spôsobom, ak sa rýchlosť neznížila, ale zvýšila, ak hodnoty nie sú priamo, ale nepriamo úmerné. Samozrejme, prvému použitiu tejto techniky by mali predchádzať otázky položené pri riešení predchádzajúcich problémov: koľkokrát sa táto hodnota zvýšila (znížila)? Prvé odpovede na ne by mali byť vyjadrené v celých číslach a potom v zlomkoch, vždy získané delením väčšiu hodnotu hodnoty na menšiu. Až keď sa študenti naučia, ako určiť, ako sa zmení hodnota druhej veličiny so zodpovedajúcou zmenou prvej, môžu pristúpiť k riešeniu úloh najprv s dvoma veličinami (trojité pravidlo), potom s tromi a štyrmi veličinami (komplexné trojité pravidlo) .

Neexistuje dostatočne silný výraz, na ktorý by boli zostavovatelia stredovekej aritmetiky skúpi, aby chválili trojité pravidlo. "Táto línia je trojnásobne chvályhodná a najlepšia zo všetkých ostatných línií." "Filozofi to nazývajú zlatá čiara." V učebniciach nemčiny bol označovaný ako „nadovšetko chválený“, je „kľúčom obchodníkov“. Tak isto bol medzi Francúzmi známy pod názvom règle dorée – zlaté pravidlo. Bol v protiklade k celej vede o algebre.

Prečo sa potom také nemierne chváli oddeleniu, ktoré v našej dobe zvykne zastávať skromnejšie miesto? Je veľmi zaujímavé to zistiť a dovolíme si vrátiť sa trochu späť a dať stručný popis ciele sledované aritmetikou od staroveku.

Akákoľvek veda v počiatočnom štádiu svojho vývoja je spôsobená praktickými potrebami a snaží sa ich uspokojiť. Potom, v závislosti od podmienok, v ktorých sa vyvíja, veda niekedy skôr rýchlo, niekedy pomalšie naberá teoretické zafarbenie a pôsobí výchovne na tých, ktorí ju študujú, t. zlepšuje ich duchovné schopnosti: myseľ, cítenie a vôľu: s pomalým rastom zostáva veda po dlhú dobu vodcom zručnosti, odovzdáva iba zručnosť, dáva človeku mechanické zručnosti a dáva mu črty mechanickosti. Oba smery boli testované aritmeticky. Na jednej strane grécki učenci videli v aritmetike predovšetkým vzdelávací prvok; neustále sa pýtali „prečo?“. a „prečo?“, vždy hľadať dôvody a závery; študenti gréckych škôl sa ponorili do podstaty vedy, premýšľali o nej, a preto na nich štúdium pôsobilo výchovne a rozvíjajúcim spôsobom. Na druhej strane, hinduisti sa na aritetiku pozerali skôr zo strany umenia, nepáčila sa im otázka „prečo?“, ale ich hlavnou otázkou vždy bolo: „ako na to?“. Smer Hindov prešiel k Arabom a odtiaľ do stredovekej Európy. Stretlo sa v ňom s mimoriadne srdečným prijatím a pôda zaň sa ukázala ako celkom vďačná: po veľkom sťahovaní národov a pri neustále prebiehajúcich vojnách nebolo čo ani len pomyslieť na rozvoj presného, ​​častého, abstraktná veda, a vtedy bolo potrebné obmedziť sa na jej aplikovanú časť, stačilo len učiť „ako to robiť“ a nie „prečo to robiť“. A tak praktické vyfarbovanie zostalo za aritmetikou zapnuté na dlhú dobu, takmer dodnes, zároveň bolo jeho štúdium úzko mechanické: bez záverov, vysvetlení, bez zahĺbenia do základov; všade v učebniciach bolo „urob toto“, „toto musíš urobiť“ a študent to musel len potvrdiť a uplatniť na prípad; náš Magnitsky má tiež množstvo charakteristických výrazov „pozri vidieť“, „pozri vynález“; Predpokladajme, že medzi týmito výrazmi má „mysli a príď“, ale ako presne myslieť, uvádza sa len veľmi málo rád. V súlade s praktickým významom aritmetiky sa v nej osobitne rozlišovalo a oceňovalo všetko, čo mohlo priniesť priamy úžitok, priniesť zárobok.

„Kto pozná túto múdrosť,“ hovorí ruský aritmetik zo 17. storočia, „môže byť s panovníkom vo veľkej cti a v plate; podľa tejto múdrosti hostia obchodujú so štátmi a so všetkými druhmi tovaru a obchodov, poznajú silu a všetky druhy váh a mier, a v zemskom usporiadaní a v morskom prúde sú zle zruční a poznajú účtu z ľubovoľného čísla zoznamu.

Ale ktorá časť aritmetiky môže poskytnúť praktickejšie, priamo použiteľné zručnosti ako riešenie problémov? Preto všetko úsilie stredovekých autorov smerovalo k zozbieraniu čo najväčšieho množstva problémov a zároveň čo najrozmanitejšieho každodenného obsahu. Tu boli problémy a o predaji a kúpe, o zmenkách a o úrokoch, o miešaní, o výmene; rozmanitosť bola strašná a neexistoval spôsob, ako vyriešiť celú tú masu problémov. Aby sa aspoň trochu zgrupovali a zaviedli nejaký systém a poriadok, snažili sa všetky úlohy rozdeliť podľa oddelení či typov. Tento nápad je, samozrejme, dobrý, ale zvyčajne sa realizoval veľmi neúspešne a úlohy sa rozdeľovali nie podľa spôsobu ich riešenia, ako by sa patrilo, ale podľa obsahu, teda podľa vzhľadu. ; napríklad bol zvláštny druh problému o psoch naháňajúcich zajaca, o stromoch, o dievčatách atď.

Riešenie úloh s delením podľa ich obsahu neprinieslo takmer žiaden úžitok, pretože ani v najmenšom nepomohlo lepšiemu pochopeniu riešenia. A podľa názoru starých autorov to nebolo potrebné pochopiť.

"To nič," utešoval svojich žiakov mentor, "že ničomu nerozumieš, nepochopíš veľa ani dopredu."

Namiesto porozumenia sa odporúčalo nenechať sa uniesť, ale zapamätať si všetko, čo bolo požiadané, a potom to skúsiť aplikovať na prípad, teda na príklady, a všetka sila porozumenia sa sústredila nie na pochopenie záveru. pravidla, ale na skromnejšom, na to, ako aplikovať všeobecné pravidlo na príklady.

A tak bolo trojité pravidlo vynikajúce a hodné osobitnej pozornosti v mnohých ohľadoch. Po prvé, rozsah jeho úloh je pomerne rozsiahly, po druhé samotné pravidlo je vyjadrené celkom jednoducho a jasne a po tretie bolo pomerne jednoduché toto pravidlo aplikovať. Za všetky tieto zásluhy dostal meno „zlato“, „kľúč obchodníkov“ atď.

Trojvláda vznikla u Hindov, kde sa jeho úlohy riešili z väčšej časti redukciou na jednotu. Arabský učenec Alkhvarizmi (9. storočie n. l.) to pripísal algebre. Leonardo Fibonacci, Talian z 13. storočia podľa R. X. venuje osobitnú časť trojitému pravidlu pod názvom: ad majorem guisam, kde sú uvedené úlohy na výpočet hodnoty tovaru. Príklad: 100 rotuli (hmotnosť Pisan) stojí 40 lír, koľko stojí 5 rotuli? Podmienka bola napísaná takto:

Pravidlo predpísané na vyriešenie tohto problému v nasledujúcom poradí: súčin 40 x 5 delený 100.

Trojitému pravidlu sa venuje osobitná pozornosť od 16. storočia, teda od čias, keď sa európsky obchod a priemysel vďaka významným vynálezom a objavovaniu nových krajín okamžite pohli dopredu. To nám ale nebránilo v tom, aby sme túto kapitolu rozvinuli aspoň z nášho pohľadu úplne neuspokojivo. V prvom rade bolo pravidlo určené čisto externe: „úloha pozostáva z troch čísel a dáva si štvrté číslo, ako keby ste dali tri rohy domu, potom to určí 4. roh; druhé číslo treba vynásobiť 3. a čo sa stane, potom vydeliť prvým číslom. Takáto definícia nemohla viesť k nejednotnosti a predovšetkým otázka znela: čo treba považovať za prvé číslo a dajú sa nejaké problémy s tromi danými číslami vyriešiť trojitým pravidlom? Učebnice nepovažovali za potrebné objasniť toto nedorozumenie. Okrem toho sa problémy riešili nielen s celými číslami, ale aj so zlomkami a v inej aritmetike boli usporiadané tak nejednotne, že problémy s zlomkové čísla na trojnom pravidle boli kapitoly o zlomkoch umiestnené skôr, pretože celé trojité pravidlo išlo pred aritmetiku zlomkových čísel.

Po trojitom pravidle s celými číslami a zlomkami osobitné pravidlo„redukovanie“, v ktorom bolo vysvetlené, ako je možné znížiť niektoré dané čísla, a potom už išlo „reflexívne“ pravidlo; išlo o veľmi zmätený odbor, do ktorého patrili otázky s obrátenou úmernosťou a autori učebníc nevedeli nijako rozlíšiť, ktoré problémy patria do tejto skupiny; učeníci sa museli spoliehať na svoje predtuchy a uspokojiť sa s vynaliezavosťou. V XV a XXII storočí. vysvetlenie bolo podané takto: „Ak miera obilia stojí 1½ marky, potom sa za 1 marku dávajú dve porcie chleba; koľko kúskov chleba dostane za marku, ak odmerka obilia stojí 1¾ marky; riešte pomocou trojitého pravidla, ukazuje sa

ale chápavý si uvedomí, že keď obilie zdražie, tak chleba budú dávať menej, nie viac, preto treba otázku obrátiť, bude

V podobnom duchu interpretuje Magnitskij (1703).

„Existuje pravidlo vrátenia, keď je potrebné v zadaní uviesť tretí zoznam namiesto prvého: je to potrebné v občianskych častých prípadoch, ako keby hovorili na zadok: istý pán zavolal tesára a objednal dvor a pýtal sa, koľko dní postaví svoj dvor, odpovedal, že za tridsať dní. ale majster to potrebuje postaviť celé za 5 dní a na to sa spýtal tesárov, koľko ľudí sa oplatí mať, aby ste s nimi za 5 dní postavili dvor, a ten tesár sa vás zmätene pýta aritmeticky: koľko ľudí si zaslúži mať, aby mu to nádvorie postavilo za 5 dní a ak začnete tvoriť podľa rádu trojitého pravidla jednoducho; potom sa skutočne mýlime; ale nie je to pre teba vhodné: 30-20-5, ale premeniť to na sed: 5-20-30; 30X20=600; 600:5=120".

Trojitým pravidlom sa riadili piati a po nich siedmi. Je ľahké uhádnuť, že ide o špeciálne prípady zložitého trojitého pravidla, práve vtedy, keď sa podľa 5 alebo 7 údajov, ktoré sú na sebe proporcionálne závislé, 6. alebo 8., nájde zodpovedajúce číslo, inými slovami: pravidlo päťnásobku vyžaduje 2 proporcie a siedmy sú tri. Pravidlo piatich bolo vysvetlené v osemnástom storočí takto:

robia také výpočty, ktoré nemožno vykonať podľa iného pravidla; Je v ňom uvedených 5 čísel a z nich sa nájde šieste požadované číslo; napríklad niekto dal do obehu sto rubľov, a tie mu priniesli zisk 7 rubľov, otázka je, aký zisk by dostal so 100 rubľov. na 5 rokov;

vyriešené takto: 100-1-7-1000-5, vynásobte dve ľavé čísla a tiež vynásobte 3 pravé čísla a vydeľte posledný produkt prvým, odpoveď bude 350, toľko rubľov zisku dá 1000 rubľov. do 5 rokov.

Jednoduché a zložité trojité pravidlo bolo zvyčajne distribuované v 16.-18. do masy malých oddelení, ktoré niesli veľmi zložité názvy v závislosti od obsahu úloh. Tu sú tieto názvy podľa Magnitského: „trojité obchodné pravidlo“, t. j. výpočet nákladov na zakúpený tovar; b „trojité obchodovanie o nákupoch a predajoch“ - rovnaké ako predchádzajúce, ale len komplikovanejšie; c „trojité obchodovanie s predajnou zeleninou a so znakom“, keď musíte urobiť zrážku za riad a črievka vo všeobecnosti; d „zo zisku a straty“; e „otázkový článok v trojitom pravidle“, v ňom úlohy s veľmi rôznorodým obsahom, väčšinou s opačným pomerom; f „sporný článok s časom“, kde sa požaduje vypočítať trvanie práce, cesty atď.

Začiatkom 19. storočia Bazedov navrhol ďalšiu zmenu trojitého pravidla a opäť v tom istom smere mechanického, nevedomého zvyku. Tento učiteľ nemčiny si dal za cieľ ešte viac zjednodušiť riešenie úloh na trojnom pravidle tým, že ešte viac zredukuje uvažovanie pri ich riešení a nahradí ho písaním hotového vzorca. Odporúča usporiadať dané čísla do 2 stĺpcov: v ľavom je napísané neznáme množstvo a všetky čísla, ktoré by mali byť zahrnuté v čitateľoch vzorca a v pravom - všetky faktory, ktoré tvoria menovateľ. Príklad: na jedlo pre 1200 ľudí na 4 mesiace je potrebných 2400 centov múky; koľko ľudí vyjde 4000 centov za 3 mesiace? Píšeme 2 stĺpce:

a získajte vzorec odpovede

Prečo sú čísla 1200, 4000 a 4 zahrnuté v čitateli a 2400 a 3 v menovateli? Na to možno odpovedať nasledujúcim pravidlom: čitateľ obsahuje číslo, ktoré je homogénne s požadovaným číslom, teda v našom prípade číslom 1200; okrem toho zahŕňa aj všetky čísla druhej podmienky (4000 4), ktoré sú priamo úmerné požadovanej; ak sú nepriamo úmerné, ako v našom príklade 3, potom sú nahradené zodpovedajúcimi číslami 1. podmienky (4.).

To je všetko, čo môžeme povedať o historickom vývoji trojitého pravidla. Zo všetkého, čo bolo povedané, možno vyvodiť záver, ktorý je vhodný pre našu dobu. Stredoveká aritmetika so svojou tendenciou dávať len pravidlá a vynechávať závery, s mechanickým riešením otázok, mala príliš veľký vplyv na celý nasledujúci školský život, a taký veľký, že jeho stopy sa aj v našej dobe objavujú na každom kroku. Bez ohľadu na to, ako veľmi sa snažíme zbaviť tradície, oslobodiť sa od zvyku, zmocňujú sa nás príliš blízko a sú k nám priťahované príliš silno na to, aby sme ich bez stopy zahodili. Naša škola je stále vinná z rutinného učenia sa aritmetiky bez dostatočnej účasti vedomia. Trojité pravidlo je toho dobrým dôkazom. Často zabúda na náš priemer a nižšia školaže má poskytovať všeobecné vzdelanie, a nie školiť účtovníkov, úradníkov, účtovníkov atď. počítacím strojom, sa často používajú aj teraz. Prečo všetky tieto pravidlá: triple, zmesi atď.? Akému účelu majú slúžiť? Mali by byť záverom z riešených problémov a nemali by predchádzať riešeniu problémov; je škodlivé riešiť problémy podľa vopred naučeného pravidla, ale treba sa snažiť dospieť k odpovedi slobodnou osobnou úvahou. Slovom, pravidlo by sa nemalo chápať vo forme receptu, ktorý si stačí zapamätať, aby sa podľa neho pripravili rôzne zložité riešenia; mali by sa však hodnotiť len ako záver, ku ktorému študent prichádza: ak tento záver študent nedokáže vyvodiť, znamená to, že problémy sú riešené málo alebo nie sú usporiadané systematicky a túto chybu je potrebné opraviť systematickejším usporiadanie problémov; ak žiak nevyvodí taký úplný a podrobný záver, aký by si učiteľ želal, potom je lepšie uspokojiť sa s ním, ako ho nútiť naučiť sa pravidlo, ktoré mu ukladá učebnica: čoskoro sa zabudne a nebude mať rozvíjajúci efekt, keďže nevyhnutnou kvalitou matematického záveru by mala byť nezávislosť, ale nevyhnutnou podmienkou vedomia musí byť úzke prepojenie všetkých častí kurzu, preto tu nemôže byť miesto pre mechanické vkladanie do hlavy. samostatné kusy asimilované pamäťou.

Časť tretia

VZŤAHY A PROPORCIE.

ÚLOHY RIEŠENÉ POMOCOU PROPORCIÍ A
METÓDOU ZNÍŽENIA NA JEDNIČKU.

ODDIEL VIII..

§ 50. Komplikované trojité pravidlo.

2661. 45 murárov dostalo za šesť dní práce 216 rubľov; Koľko by malo odpracovať 30 murárov za 8 dní?

2662. 5 čerpadiel odčerpalo 1800 vedier vody za 3 hodiny. Koľko vody odčerpajú 4 podobné čerpadlá za 4 hodiny?

2663. 25 robotníkov vykopalo kanál za 12 dní, dlhý 36 siah. Akú dĺžku kanála by mohlo vykopať 15 podobných robotníkov za 10 dní?

2664. Kapitál 100 rubľov za 12 mesiacov prináša zisk 6 rubľov. Aký zisk prinesie kapitál 8600 rubľov za 4 mesiace?

2665. Z obdĺžnikového poľa dlhého 40 sádzov a šírky 30 sádzok sa zberalo 6 štvrtín 2 štvrtky ovsa. Koľko ovsa sa pozbieralo z iného poľa, ktoré je dlhé 96 siah a široké 50 siah, ak podmienky siatia a zberu boli na oboch poliach rovnaké?

2666. Na 15 párov šiat bolo použitých 45 aršínov látky so šírkou 1 aršín. 14 palcov. Aká bola šírka druhého plátna, ak by stálo 60 arshinov za 10 rovnakých párov šiat?

2667 .18 robotníkov, ktorí pracovali 7 hodín denne, vykonali nejakú prácu za 30 dní a dostali za to 201 rubľov. 60 kop. 14 zamestnancov pracujúcich denne 4 hodiny dostalo 67,2 rubľov za výkon inej práce. Za predpokladu, že hodinová mzda pre pracovníka oboch strán bola rovnaká, určte, koľko dní pracovala druhá skupina pracovníkov.

2668. Za prepravu 420 kusov tovaru po železnici na vzdialenosť 24 verst sa zaplatili 2 ruble. 52 kopejok. Podľa tohto výpočtu sa za prepravu 50 libier tovaru po Nikolajevskej železnici, z Petrohradu do Moskvy, malo zaplatiť 7 rubľov. 61 1/4 kop. Nájdite dĺžku tejto cesty.

2669. 155 lístkov pre cestujúcich v druhej triede vlakom z Paríža do Rouenu stálo 1488 frankov. S vedomím, že cena 10 lístkov druhej triedy na cestu dlhú 4 kilometre sa rovná 3 frankom a že 16 kilometrov je 15 verst, vyjadrite vo verstách dĺžku železnice medzi Parížom a Rouenom.

2670. Ak sa koleso stroja, ktorý vyrába železný drôt, otáča rýchlosťou 60 otáčok za minútu, potom tento stroj vyprodukuje 240 arsh. drôtom 3 hodiny 20 minút. Ako dlho jej bude trvať, kým urobí 33 1/8 siah drôtu, ak koleso urobí 41 2/3 otáčok za minútu?

2671. Z pravouhlého poľa, ktoré je dlhé 125 sazhens a široké 0,08 verst, sa zozbieralo 12 1/2 štvrtiny pšenice; teda výpočet ukázal výnos šesť. Z ďalšieho obdĺžnikového poľa, ktorého dĺžka je 0,3 (9) verst, sa zozbieralo 8 1/3 štvrtín pšenice, čo predstavovalo úrodu piatich kusov. Za predpokladu, že osevné podmienky oboch polí boli rovnaké, určte šírku druhého poľa.

2672. Kamenná doska, 5,3 stopy dlhá, 0,8 stopy široká a 2 5/8 palca hrubá, váži 4,2 libry. Ďalšia doska z rovnakého kameňa ako prvá váži 7 libier 35 libier a je 15 palcov široká a 2 palce hrubá. Aká dlhá je druhá platňa?

2673 . Železný pás, 2 arshiny dlhý, 1 1/2 palca široký a 2/3 palca hrubý, váži 0,4375 libry. Koľko bude vážiť železný pás, ktorý je 2 stopy dlhý, 1 3/7 palca široký a 0,16666 .... stopy hrubý?

2674. Postavilo 36 robotníkov, ktorí pracujú denne 12 hodín a 30 minút drevený dom za 30 dní. Koľko hodín denne musí pracovať 27 robotníkov, aby postavili ten istý dom za 50 dní?

2675. Dĺžka chodby je 6 sazhnov. 2 arsh. 9 1/7 palca, šírka 1,4(9) sazhens. a výška 5, (3) yardov (yard-anglická miera dĺžky). Atmosférický vzduch obsiahnutý v chodbe váži 17 libier. 34 libier Vzduch, ktorý vypĺňa miestnosť susediacu s chodbou, váži 11,9 libier. S vedomím, že 0,58 (3) yardu = 0,75 ars. a že výška miestnosti je 5 5/7 ars. a jej šírka je 0,945 výšky, vypočítajte dĺžku tejto miestnosti.

2676. Za osvetlenie schodiska domu 6 plynovými tryskami, ktoré horeli 40 večerov, 6 hodín a 12 minút každý večer, sa platilo plynárenskej spoločnosti 22 rubľov. 32 kopejok. Na inom schodisku horelo 5 podobných rohov 60 večerov, za čo sa platilo 27 rubľov. Koľko hodín každý večer horel plyn na druhom schodisku?

2677 . Na 4 lampy, ktoré svietili každý večer 7 1/2 hodiny, sa počas 30 večerov spotrebovalo 2,25 kúdola petroleja. Za koľko večerov sa spotrebuje 1,8 karozínu, ak každý večer svieti 5 takýchto lámp počas 4 hodín a 30 minút?

2678 . 32 murárov, ktorí pracovali denne 8 1/2 hodiny, za 42 dní postavili tehlový múr dlhý 10 sazhens, 7 1/2 palca hrubý a 1 sazhen vysoký 3,5 stopy. Za koľko dní postaví 40 murárov rovnakej sily ako prvý, ktorí pracujú denne 6,8 hodiny, tehlovú stenu dlhú 15 sazhnov, hrúbku 0,9375 aršínov a výšku 2 1/2 aršínov?

2679. Dĺžka poštová cesta medzi Vitebskom a Orelom je 483 verstov; jeden cestujúci prekonal túto vzdialenosť za 7 dní, pričom každý deň bol v meste 10 hodín a precestoval rovnaký počet míľ za hodinu. Ďalší cestovateľ odišiel z Vitebska do Mogileva a keďže bol na ceste každý deň 12 hodín, prešiel za 4 dni. Koľko verstov z Witsbska do Mogileva, ak je známe, že druhý cestovateľ cestoval 10 verstami súčasne s prvým cestovateľom 23 verstami?

2680. Tehla (slinka), 0,375 arshinov dlhá, 3 palce široká a 1 1/2 palca hrubá, váži 10 libier 38,4 cievok. Koľko bude vážiť obdĺžnikový tvar kus mramoru, ktorý je 8,75 palca dlhý, 2 1/4 palca široký a 2 palce hrubý, pričom je známe, že mramor je 1 1/2 krát ťažší ako tehla?

2681. 25 tkáčov, pracujúcich 8 1/3 hodiny denne, utkalo za 32 dní 120 arshinov plátna, 1 arshin široký. 5 1/3 palca. Za koľko dní utka 40 tkáčov, pracujúcich denne 4 hodiny a 10 minút, 320 aršínov ľanu so šírkou 0,75 aršínov?

2682. Kapitál 1200 rubľov za 8 mesiacov priniesol zisk 40 rubľov; koľko hodín 100 rub. prinesie 5 rubľov. prišiel?

2683. Kapitál 30 000 rubľov za 7 1/2 mesiaca priniesol zisk 1 125 rubľov. Koľko zisku prinesie každých 100 rubľov tohto kapitálu do 1 roka?

2684. Kapitál 24 400 rubľov na 10 mesiacov priniesol zisk 1 525 rubľov. Aký druh kapitálu musí mať človek, aby v obehu za rovnakých podmienok ako prvý dosiahol zisk 1 250 rubľov za 2 a pol mesiaca?

2685. 54 kopáčov, pracujúcich 10 hodín denne, narobilo kopec za 33 dní, 124 siah dlhý, 1 siah široký, 2 1/2 aršínov a 6 3/4 stopy vysoký. Koľko kopáčov treba najať, aby denne pracujúcimi 7 1/2 hodiny urobili za 30 dní násyp dlhý 0,31 vesty, 7 1/3 arsh sprinu. a výška 3 6/7 arshinov?

2686. 48 bagrov, pracujúcich denne 9 hodín a 20 minút, vyrobených za 55 dní Zemné práce, 40 1/3 siahu dlhý, 4 1/2 arshinov široký a 7 arshinov vysoký. Akú výšku narobí za 64 dní 40 bagrov pracujúcich denne 6 hodín a 45 minút, ak dĺžka šachty je 44 siah a šírka je 1 siah?

2687 . Na vykurovanie bytu 6 kachľami na 2 mesiace a 10 dní sa minulo 14 sazhnov borovicového palivového dreva. Ako dlho bude trvať 10 sazhnov brezového palivového dreva na vykúrenie bytu s 8 kachlami, ak množstvo tepla vyžarovaného každým kachľami by malo byť rovnaké ako v prvom byte a ak 9 sazhnov borovicového dreva vydá toľko tepla ako 7 1/2 siahu brezy?

2688. Z obdĺžnikového poľa s dĺžkou 2 vesty a šírkou 1 1/2 vesty s úrodou sam-27 sa zozbieralo toľko cukrovej repy, že sa z nej v továrni vyťažilo 937 1/2 kapsuly cukru. . Z ďalšieho poľa, ktoré malo šírku 400 sazhnov, s úrodou 18 sam, sa zberala cukrová repa, z ktorej sa vyťažilo 250 libier cukru. Za predpokladu, že podmienky sejby a kvalita repy pre obe polia boli rovnaké, nájdite dĺžku druhého poľa.

2689. 4 pisári, pracujúci denne 7 1/2 hodiny, skopírovali 225 listov za 15 dní, s priemerom 32 riadkov na každej strane. Koľko zapisovateľov treba najať, aby pri dennej práci 5 hodín a 20 minút dokázali skopírovať 64 listov za 9 dní, pričom na každú stranu umiestnili v priemere 36 riadkov?

2690. 3 rúrky v priebehu 4 1/2 hodiny naplnili nádrž, 1 sadze na dĺžku. 2 arshiny, 1,5 arshiny široké a 3 2/3 stopy hlboké. Do akej hĺbky naplnia 4 rúry ďalšiu nádrž za 5,4 hodiny, ak je dĺžka tejto nádrže 1 sadze. 2 5/8 stopy, 1,2 ara široké, a ak každá z prvých rúr naleje súčasne 16 vedier vody, do ktorej z posledných rúr naleje 9 vedier?

2691 . 22 tkáčov pracujúcich 10 hodín denne pripravilo za 30 dní 120 kusov plátna. Koľko takýchto tkáčov treba najať, aby pri dennej práci 7 1/2 hodiny dokázali za 40 dní pripraviť 300 kusov plátna, pričom dĺžka každého z týchto kusov by mala byť 1 1/10 násobok dĺžky prvý a šírka by mala byť 0,8(3) šírka prvého?

2692. Za jedlo pre určitý počet vojakov sa zásoba obilia na 60 dní získa, ak každý vojak dostane 2 1/2 libry denne. Koľko dní vydržia 3/4 tejto zásoby, ak sa počet vojakov zníži o 3/8 predchádzajúceho počtu a denná dávka každého sa zvýši o 1,25 libry?

2693. Pätnásť robotníkov a 12 robotníkov, ktorí pracovali denne 10 hodín a 30 minút, odviezli chlieb z poľa za 12 dní. Koľko dní bude 21 robotníkov a 8 robotníkov, ktorí pracujú 8,4 hodiny denne, odstraňovať chlieb z poľa, ktorého dĺžka súvisí s dĺžkou prvého, ako 0,3: 1 / 5 a ktorého šírka súvisí so šírkou z prvého ako 0, 51: 0,5(6) - ak je známe, že sila muža súvisí so silou ženy, ako 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Na odčerpanie vody z bazéna boli dodané 3 veľké a 5 malých čerpadiel, ktoré spolu dokázali vyliať všetku vodu za 6 hodín. Po 2 1/2 hodinách ich kombinovaného pôsobenia sa dve veľké čerpadlá znehodnotili a boli okamžite nahradené 5 malými. S vedomím, že sila každého malého čerpadla súvisí so silou každého veľkého, ako 2 1 / 2: 4 1 / 6 určuje, koľko hodín trvalo odčerpanie vody z bazéna.

2695. Na stavbu steny domu bolo použitých 4215 tehál, z ktorých každá bola 10 1/2 palca dlhá a 5,25 palca široká. a hrúbkou 2 5/8 palca. Na stavbu ďalšej steny boli použité tehly, z ktorých každá bola 5 1/2 palca dlhá, 3 1/3 palca široká a 1 1/4 palca hrubá. Koľko z týchto tehál sa použije na stavbu druhej steny, ak jej dĺžka je 0,8 (3) dĺžka prvej, hrúbka je 1,1-násobok hrúbky prvej a výška je 0. (5) výška z prvej steny?

2696. Dvadsaťpäť ľudí pracujúcich každý deň 5 hodín stihlo za 15 dní urobiť 0,27 nejakej práce. Koľko ľudí ešte treba zamestnať, aby 8 1/3 hodiny denne študovali spolu s prvým a zvyšok tej istej práce zvládli za 20 dní?

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
PRÍRUČKA ZÁKLADNEJ MATEMATICE
ARITMETIKA, ALGEBRA, 1965


1. Jednoduché trojité pravidlo. Z problémov o pomerných veličinách sú najčastejšie úlohy na takzvanom jednoduchom trojitom pravidle. V týchto úlohách sú uvedené tri čísla a je potrebné určiť štvrté, úmerné im.

Problém 1. 10 skrutiek váži 4 kg. Koľko váži 25 z týchto skrutiek? Takéto úlohy sa dajú vyriešiť niekoľkými spôsobmi.

Riešenie I (redukciou na jednotu).

1) Koľko váži jedna skrutka?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Koľko váži 25 skrutiek?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Riešenie II (metóda proporcií). Keďže hmotnosť skrutiek je priamo úmerná ich počtu, pomer hmotností sa rovná pomeru kusov (skrutiek). Označením požadovanej hmotnosti písmenom x dostaneme pomer:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Môžete argumentovať takto: 25 skrutiek je 2,5-krát viac ako 10 skrutiek. Preto sú tiež 2,5-krát ťažšie ako 4 kg:

4 kg 2,5 = 10 kg.

Odpoveď. 25 skrutiek váži 10 kg.

Problém 2. Prvý prevodový stupeň robí 50 ot./min. Druhý prevodový stupeň v zábere s prvým robí 75 ot./min. Nájdite počet zubov druhého kolesa, ak je počet zubov prvého 30.

Riešenie (redukciou na jednotu). Obidva ozubené kolesá v zábere sa posunú za minútu o rovnaký počet zubov, takže počet otáčok kolies je nepriamo úmerný počtu ich zubov.

50 ot. - 30 zubov

75 ot. - X zub.

X : 30 = 50: 75; (zuby).

Môžete tiež argumentovať takto: druhé koleso robí otáčky 1,5-krát viac ako prvé (75: 50 \u003d 1,5). Preto má zuby 1,5-krát menšie ako prvé:

30: 1,5 = 20 (zuby).

Odpoveď. 20 zubov.

2. Komplikované trojité pravidlo.Úlohy, pri ktorých je potrebné pre daný rad zodpovedajúcich hodnôt niekoľkých (viac ako dvoch) pomerných veličín nájsť hodnotu jednej z nich zodpovedajúcu inému radu daných hodnôt zostávajúcich veličín, sú nazývané úlohy pre komplexné trojité pravidlo.

Úloha. 5 čerpadiel odčerpalo 1800 vedier vody za 3 hodiny. Koľko vody odčerpajú 4 takéto čerpadlá za 4 hodiny?

5 nás. 3 hodiny - 1800 ved.

4 nás. 4 h - X ved.

1) Koľko vedier vody odčerpalo 1 čerpadlo za 3 hodiny?

1800: 5 = 360 (vedrá).

2) Koľko vedier vody odčerpalo 1 čerpadlo za 1 hodinu?

360: 3 = 120 (vedrá).

3) Koľko vody vyčerpajú 4 čerpadlá za 1 hodinu?

120 4 = 480 (vedrá).

4) Koľko vody vyčerpajú 4 čerpadlá za 4 hodiny?

480 4 = 1920 (vedrá).

Odpoveď. 1920 vedier

Skratkové riešenie pre číselný vzorec:

(vedrá).

Úloha. Rozdeľte číslo 100 na dve časti priamo úmerne k číslam 2 a 3,

Túto úlohu treba chápať nasledovne: rozdeľte 100 na dve časti tak, aby prvá zodpovedala druhej ako 2 až 3. Ak požadované čísla označíme písmenami X 1 a X 2 možno tento problém formulovať nasledovne. Nájsť X 1 a X 2 taký, že

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.