Том 1. СОДЕРЖАНИЕ
ВВЕДЕНИЕ ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Область рациональных чисел 11
1. Предварительные замечания 11
2. Упорядочение области рациональных чисел 12
3. Сложение и вычитание рациональных чисел 12
4. Умножение и деление рациональных чисел 14
5. Аксиома Архимеда 16
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
6. Определение иррационального числа 17
7. Упорядочение области вещественных чисел 19
8. Вспомогательные предложения 21
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 22
10. Непрерывность области вещественных чисел 24
11. Границы числовых множеств 25

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами 28
12. Определение суммы вещественных чисел 28
13. Свойства сложения 29
14. Определение произведения вещественных чисел 31
15. Свойства умножения 3 2
16. Заключение 34
17. Абсолютные величины 34 § 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 35
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем 35
19. Степень с любым вещественным показателем 37
20. Логарифмы 39
21. Измерение отрезков 40

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Варианта и ее предел 43
22. Переменная величина, варианта 43
23. Предел варианты 46
24. Бесконечно малые величины 47
25. Примеры 48
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел 52
27. Бесконечно большие величины 54

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 56
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 56
29. Леммы о бесконечно малых 57
30. Арифметические операции над переменными 58
31. Неопределенные выражения 60
32. Примеры на нахождение пределов 62
33. Теорема Штольца и ее применения 67

§ 3. Монотонная варианта 70
34. Предел монотонной варианты 70
35. Примеры 72
36. Число е 77
31. Приближенное вычисление числа е 79
38. Лемма о вложенных промежутках 82

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 83
39. Принцип сходимости 83
40. Частичные последовательности и частичные пределы 85
41. Лемма Больцано-Вейерштрасса 87
42. Наибольший и наименьший пределы 89

ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции 93
43. Переменная и область ее изменения 93
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 94
45. Определение понятия функции 95
46. Аналитический способ задания функции 98
47. График функции 100
48. Важнейшие классы функций 102
49. Понятие обратной функции 108
50. Обратные тригонометрические функции 110
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 114

§ 2. Предел функции 115
52. Определение предела функции 115
53. Сведение к случаю варианты 117
54. Примеры 120
55. Распространение теории пределов 128
56. Примеры 130
57. Предел монотонной функции 133
58. Общий признак Больцано-Коши 134
59. Наибольший и наименьший пределы функции 135

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 136
60. Сравнение бесконечно малых 136
61. Шкала бесконечно малых 137
62. Эквивалентные бесконечно малые 139
63. Выделение главной части 141
64. Задачи 143
65. Классификация бесконечно больших 145

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций 146
66. Определение непрерывности функции в точке 146
67. Арифметические операции над непрерывными функциями 148
68. Примеры непрерывных функций 148
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 150
70. Примеры разрывных функций 151
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции 154
72. Непрерывность элементарных функций 155
73. Суперпозиция непрерывных функций 156
74. Решение одного функционального уравнения 157
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162
78. Степенно-показательные выражения 165
79. Примеры 166

§ 5. Свойства непрерывных функций 168
80. Теорема об обращении функции в нуль 168
81. Применение к решению уравнений 170
82. Теорема о промежуточном значении 171
83. Существование обратной функции 172
84. Теорема об ограниченности функции 174
85. Наибольшее и наименьшее значения функции 175
86. Понятие равномерной непрерывности 178
87. Теорема Кантора 179

88. Лемма Бореля 180
89. Новые доказательства основных теорем 182
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная и ее вычисление 186
90. Задача о вычислении скорости движущейся точки 186
91. Задача о проведении касательной к кривой 187
92. Определение производной 189
93. Примеры вычисления производных 193
94. Производная обратной функции 196
95. Сводка формул для производных 198
96. Формула для приращения функции 198
97. Простейшие правила вычисления производных 199
98. Производная сложной функции 202
99. Примеры 203
100. Односторонние производные 209
101. Бесконечные производные 209
102. Дальнейшие примеры особых случаев 211

§ 2. Дифференциал 211
103. Определение дифференциала 211
104. Связь между дифференцируемостью и существованием _ 1. производной
105. Основные формулы и правила дифференцирования 215
106. Инвариантность формы дифференциала 216
107. Дифференциалы как источник приближенных формул 218
108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 220

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 223
109. Теорема Ферма 223
110. Теорема Дарбу 224
111. Теорема Ролля 225
112. Формула Лагранжа 226
113. Предел производной 228
114. Формула Коши 229

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 231
115. Определение производных высших порядков 231
116. Общие формулы для производных любого порядка 232
117. Формула Лейбница 236
118. Примеры 238
119. Дифференциалы высших порядков 241
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших _ ._ порядков
121. Параметрическое дифференцирование 243
122. Конечные разности 244

§ 5. Формула Тейлора 246
123. Формула Тейлора для многочлена 246
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано
125. Примеры 251
126. Другие формы дополнительного члена 254
127. Приближенные формулы 257

§ 6. Интерполирование 263
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 263
129. Дополнительный член формулы Лагранжа 264
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита 265
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции 268
131. Условие постоянства функции 268
132. Условие монотонности функции 270
133. Доказательство неравенств 273
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 276
135. Достаточные условия. Первое правило 278
136. Примеры 280
137. Второе правило 284
138. Использование высших производных 286
139. Разыскание наибольших и наименьших значений 288
140. Задачи 290

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 294
141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 294
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 296
143. Условия выпуклости функции 298
144. Неравенство Иенсена и его приложения 301
145. Точки перегиба 303

§ 3. Построение графиков функций 305
146. Постановка задачи 305
147. Схема построения графика. Примеры 306
148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 308
149. Примеры 311

§ 4. Раскрытие неопределенностей 314
150. Неопределенность вида 0/0 314
151. Неопределенность вида оо / оо 320
152. Другие виды неопределенностей 322

§ 5. Приближенное решение уравнении 324
153. Вводные замечания 3 24
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) 325
155. Правило Ньютона (метод касательных) 328
156. Примеры и упражнения 331
157. Комбинированный метод 335
158. Примеры и упражнения 336

ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия 340
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 340
160. Функции двух переменных и области их определения 341
161. Арифметическое n-мерное пространство 345
162. Примеры областей в n-мерном пространстве 348
163. Общее определение открытой и замкнутой области 350
164. Функции п переменных 352
165. Предел функции нескольких переменных 354
166. Сведение к случаю варианты 356
167. Примеры 358
168. Повторные пределы 360
§ 2. Непрерывные функции 362
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 362
170. Операции над непрерывными функциями 364
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано-Коши 365
172. Лемма Больцано-Вейерштрасса 367
173. Теоремы Вейерштрасса 369
174. Равномерная непрерывность 370
175. Лемма Бореля 372
176. Новые доказательства основных теорем 373
176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 373
177. Частные производные и частные дифференциалы 375
178. Полное приращение функции 378
179. Полный дифференциал 381
180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух _ R_ переменных
181. Производные от сложных функций 386
182. Примеры 388
183. Формула конечных приращений 390
184. Производная по заданному направлению 391
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 394
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 396
187. Однородные функции 399
188. Формула Эйлера 400

§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков 402
189. Производные высших порядков 402
190. Теорема о смешанных производных 404
191. Обобщение 407
192. Производные высших порядков от сложной функции 408
193. Дифференциалы высших порядков 410
194. Дифференциалы сложных функций 413
195. Формула Тейлора 414

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 417
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые. 17 условия
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 419
198. Достаточные условия (общий случай) 422
199. Условия отсутствия экстремума 425
200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры 427
201. Задачи 431
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей 441
202. Определение функциональных определителей (якобианов) 441
203. Умножение якобианов 442
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 444

§ 2. Неявные функции 447
205. Понятие неявной функции от одной переменной 447
206. Существование неявной функции 449
207. Дифференцируемость неявной функции 451
208. Неявные функции от нескольких переменных 453
209. Вычисление производных неявных функций 460
210. Примеры 463

§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции 467
211. Относительные экстремумы 467
212. Метод неопределенных множителей Лагранжа 470
213. Достаточные для относительного экстремума условия 472
214. Примеры и задачи 473
215. Понятие независимости функций 477
216. Ранг матрицы Якоби 479

§ 4. Замена переменных 483
217. Функции одной переменной 483
218. Примеры 485
219. Функции нескольких переменных. Замена независимых.„„ переменных
220. Метод вычисления дифференциалов 489
221. Общий случай замены переменных 491
222. Примеры 493
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей 503
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 503
224. Примеры 505
225. Кривые механического происхождения 508
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 511
227. Поверхности и кривые в пространстве 516
228. Параметрическое представление 518
229. Примеры 520

§ 2. Касательная и касательная плоскость 523
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523
231. Примеры 525
232. Касательная в полярных координатах 528
233. Примеры 529
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности
235. Примеры 534
236. Особые точки плоских кривых 535
237. Случай параметрического задания кривой 540

§ 3. Касание кривых между собой 542
238. Огибающая семейства кривых 542
239. Примеры 545
240. Характеристические точки 549
241. Порядок касания двух кривых 551
242. Случай неявного задания одной из кривых 553
243. Соприкасающаяся кривая 554
244. Другой подход к соприкасающимся кривым 556

§ 4. Длина плоской кривой 557
245. Леммы 557
246. Направление на кривой 558
247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги 560
248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги 562
249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 565

§ 5. Кривизна плоской кривой 568
250. Понятие кривизны 568
251. Круг кривизны и радиус кривизны 571
252. Примеры 573
253. Координаты центра кривизны
254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты
255. Свойства эволют и эвольвент
256. Разыскание эвольвент
ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257. Случай функции одной переменной
258. Постановка задачи для двумерного случая
259. Вспомогательные предложения
260. Основная теорема о распространении
261. Обобщение
262. Заключительные замечания

Алфавитный указатель 600

Том 2. СОДЕРЖАНИЕ
ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)
§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления 11
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла) 11
264. Интеграл и задача об определении площади 14
265. Таблица основных интегралов 17
266. Простейшие правила интегрирования 18
267. Примеры 19
268. Интегрирование путем замены переменной 23
269. Примеры 27
270. Интегрирование по частям 31
271. Примеры 32

§ 2. Интегрирование рациональных выражений 36
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде 36
273. Простые дроби и их интегрирование 37
274. Разложение правильных дробей на простые 38
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей 42
276. Выделение рациональной части интеграла 43
277. Примеры 47
§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы 50
278. Интегрирование выражений вида R .ух + 8
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры 51
280. Формулы приведения 54
281. Интегрирование выражений вида К\х,л1ах2 + Ьх + с). Подстановки -^ Эйлера
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок 59
283. Примеры 60
284. Другие приемы вычисления 66
285. Примеры 72
§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции 74
286. Интегрирование дифференциалов i?(sin x, cos x) дх 74
287. Интегрирование выражений sinv xcosto 76
288. Примеры 78
289. Обзор других случаев 83 § 5. Эллиптические интегралы 84
290. Общие замечания и определения 84
291. Вспомогательные преобразования 86
292. Приведение к канонической форме 88
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода 90

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла 94
294. Другой подход к задаче о площади 94
295. Определение 96
296. Суммы Дарбу 97
297. Условие существования интеграла 100
298. Классы интегрируемых функций 101
299. Свойства интегрируемых функций 103
300. Примеры и дополнения 105
301. Нижний и верхний интегралы как пределы 106

§ 2. Свойства определенных интегралов 108
302. Интеграл по ориентированному промежутку 108
303. Свойства, выражаемые равенствами 109
304. Свойства, выражаемые неравенствами 110
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела 115
306. Вторая теорема о среднем значении 117

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов 120
307. Вычисление с помощью интегральных сумм 120
308. Основная формула интегрального исчисления 123
309. Примеры 125
310. Другой вывод основной формулы 128
311. Формулы приведения 130
312. Примеры 131
313. Формула замены переменной в определенном интеграле 134
314. Примеры 135
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена 141
316. Другой вывод формулы замены переменной 143

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов 145
317. Формула Валлиса 145
318. Формула Тейлора с дополнительным членом 146
319. Трансцендентность числа е 146
320. Многочлены Лежандра 148
321. Интегральные неравенства 151

§ 5. Приближенное вычисление интегралов 153
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций 153
323. Параболическое интерполирование 156
324. Дробление промежутка интегрирования 158
325. Дополнительный член формулы прямоугольников 159
326. Дополнительный член формулы трапеций 161
327. Дополнительный член формулы Симпсона 162
328. Примеры 164
ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ
§ 1. Длина кривой 169
329. Вычисление длины кривой 169
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению
331. Примеры 174
332. Натуральное уравнение плоской кривой 180
333. Примеры 183
334. Длина дуги пространственной кривой 185

§ 2. Площади и объемы 186
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности 186
336. Площадь как предел 188
337. Классы квадрируемых областей 190
338. Выражение площади интегралом 192
339. Примеры 195
340. Определение понятия объема. Его свойства 202
341. Классы тел, имеющих объемы 204
342. Выражение объема интегралом 205
343. Примеры 208
344. Площадь поверхности вращения 214
345. Примеры 217
346. Площадь цилиндрической поверхности 220
347. Примеры 222

§ 3. Вычисление механических и физических величин 225
348. Схема применения определенного интеграла 225
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой 228
350. Примеры 229
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
352. Примеры 232
353. Механическая работа 233
354. Примеры 235
355. Работа силы трения в плоской пяте 237
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов 239

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения 244
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка 244
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных
359. Задачи 247
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений 253
361. Задачи 254
ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ
§ 1. Введение 257
362. Основные понятия 257
363. Примеры 258
364. Основные теоремы 260

§ 2. Сходимость положительных рядов 262
365. Условие сходимости положительного ряда 262
366. Теоремы сравнения рядов 264
367. Примеры 266
368. Признаки Коши и Даламбера 270
369. Признак Раабе 272
370. Примеры 274
371. Признак Куммера 277
372. Признак Гаусса 279
373. Интегральный признак Маклорена-Коши 281
374. Признак Ермакова 285
375. Дополнения 287

§ 3. Сходимость произвольных рядов 293
376. Общее условие сходимости ряда 293
377. Абсолютная сходимость 294
378. Примеры 296
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости 298
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты 300
381. Знакопеременные ряды 3 02
382. Примеры 303
383. Преобразование Абеля 305
384. Признаки Абеля и Дирихле 307
385. Примеры 308

§ 4. Свойства сходящихся рядов 313
386. Сочетательное свойство 313
3 87. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов 315
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов 316
389. Умножение рядов 320
390. Примеры 323
391. Общая теорема из теории пределов 325
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов 327

§ 5. Повторные и двойные ряды 329
393. Повторные ряды 329
394. Двойные ряды 333
395. Примеры 338
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости 346
397. Примеры 348
398. Кратные ряды 350

§ 6. Бесконечные произведения 350
399. Основные понятия 350
400. Примеры 351
401. Основные теоремы. Связь с рядами 353
402. Примеры 356

§ 7. Разложения элементарных функций 364
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора 364
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.
405. Логарифмический ряд 368
406. Формула Стерлинга 369
407. Биномиальный ряд 371
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения 374

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов 378
409. Общие замечания 378
410. Вычисление числа к 379
411. Вычисление логарифмов 381
412. Вычисление корней 383
413. Преобразование рядов по Эйлеру 3 84
414. Примеры 386
415. Преобразование Куммера 388
416. Преобразование Маркова 392

§ 9. Суммирование расходящихся рядов 394
417. Введение 394
418. Метод степенных рядов 396
419.Теорема Тау бера 398
420. Метод средних арифметических 401
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро 403
422. Теорема Харди-Ландау 405
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов 407
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов 408
425. Примеры 413
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования 416
ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ
§ 1. Равномерная сходимость 419
427. Вводные замечания 419
428. Равномерная и неравномерная сходимости 421
429. Условие равномерной сходимости 425
430. Признаки равномерной сходимости рядов 427

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда 430
431. Непрерывность суммы ряда 430
432. Замечание о квази-равномерной сходимости 432
433. Почленный переход к пределу 434
434. Почленное интегрирование рядов 436
435. Почленное дифференцирование рядов 438
436. Точка зрения последовательности 441
437. Непрерывность суммы степенного ряда 444
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов 447

§ 3. Приложения 450
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу
440. Примеры на почленное интегрирование рядов 457
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов 468
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций 474
443. Аналитическое определение тригонометрических функций 477
444. Пример непрерывной функции без производной 479

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах 481
445. Действия над степенными рядами 481
446. Подстановка ряда в ряд 485
447. Примеры 487
448. Деление степенных рядов 492
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются 494
450. Решение уравнений рядами 498
451. Обращение степенного ряда 502
452. Ряд Лагранжа 505

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной 508
453. Комплексные числа 508
454. Комплексная варианта и ее предел 511
455. Функции комплексной переменной 513
456. Степенные ряды 515
457. Показательная функция 518
458. Логарифмическая функция 520
459. Тригонометрические функции и им обратные 522
460. Степенная функция 526
461. Примеры 527

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена 531
462. Примеры 531
463. Определения 533
464. Основные свойства асимптотических разложений 536
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена 540
466. Исследование дополнительного члена 542
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена 544
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена 547
469. Формула и ряд Стерлинга 550

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ
§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами 552
470. Определение интегралов с бесконечными пределами 552
471. Применение основной формулы интегрального исчисления 554
472. Примеры 555
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы 558
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции 559
475. Сходимость интеграла в общем случае 561
476. Признаки Абеля и Дирихле 563
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду 566
478. Примеры 569

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций 577
479. Определение интегралов от неограниченных функций 577
480. Замечание относительно особых точек 581
481. Применение основной формулы интегрального исчисления. Примеры
482. Условия и признаки существования интеграла 584
483. Примеры 587
484. Главные значения несобственных интегралов 590
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов 595

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов 597
486. Простейшие свойства 597
487. Теоремы о среднем значении 600
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов 602
489. Примеры 602
490. Замена переменных в несобственных интегралах 604
491. Примеры 605

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов 611
492. Некоторые замечательные интегралы 611
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами
494. Случай интегралов с бесконечным пределом 617
495. Интегралы Фруллани 621
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами
497. Смешанные примеры и упражнения 629

§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов 641
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей 641
499. Примеры 642
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом
502. Использование асимптотических разложений 650
ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА
§ 1. Элементарная теория 654
503. Постановка задачи 654
504. Равномерное стремление к предельной функции 654
505. Перестановка двух предельных переходов 657
506. Предельный переход под знаком интеграла 659
507. Дифференцирование под знаком интеграла 661
508. Интегрирование под знаком интеграла 663
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра 665
510. Введение множителя, зависящего лишь от х 668
511. Примеры 669
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры 680
§ 2. Равномерная сходимость интегралов 682
513. Определение равномерной сходимости интегралов 682
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами 684
515. Достаточные признаки равномерной сходимости 684
516. Другой случай равномерной сходимости 687
517. Примеры 689

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов 694
518. Предельный переход под знаком интеграла 694
519. Примеры 697
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру 710
521. Интегрирование интеграла по параметру 714
522. Применение к вычислению некоторых интегралов 717
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла 723
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла 733

§ 4. Дополнения 743
525. Лемма Арцела 743
526. Предельный переход под знаком интеграла 745
527. Дифференцирование под знаком интеграла 748
528. Интегрирование под знаком интеграла 749

§ 5. Эйлеровы интегралы 750
529. Эйлеров интеграл первого рода 750
530. Эйлеров интеграл второго рода 753
531. Простейшие свойства функции Г 754
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами 760
533. Другая функциональная характеристика функции Г 762
534. Примеры 764
535. Логарифмическая производная функции Г 770
536. Теорема умножения для функции Г 772
537. Некоторые разложения в ряды и произведения 774
538. Примеры и дополнения 775
539. Вычисление некоторых определенных интегралов 782
540. Формула Стерлинга 789
541. Вычисление эйлеровой постоянной 792
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г 793
Алфавитный указатель 795
Алфавитный указатель

Г.М.Фихтенгольц
КУРС ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО И ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ
ТОМ 1
Содержание
ВВЕДЕНИЕ
ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА
§ 1. Область рациональных чисел 11 1. Предварительные замечания 11 2. Упорядочение области рациональных чисел 12 3. Сложение и вычитание рациональных чисел 12 4. Умножение и деление рациональных чисел 14 5. Аксиома Архимеда 16
§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
17 6. Определение иррационального числа 17 7. Упорядочение области вещественных чисел 19 8. Вспомогательные предложения 21 9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью 22 10. Непрерывность области вещественных чисел 24 11. Границы числовых множеств 25
§ 3. Арифметические действия над вещественными числами 28 12. Определение суммы вещественных чисел 28 13. Свойства сложения 29 14. Определение произведения вещественных чисел 31 15. Свойства умножения 32 16. Заключение 34 17. Абсолютные величины 34
§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел 35 18. Существование корня. Степень с рациональным показателем 35 19. Степень с любым вещественным показателем 37 20. Логарифмы 39 21. Измерение отрезков 40
ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ
§ 1. Варианта и ее предел 43 22. Переменная величина, варианта 43 23. Предел варианты 46

24. Бесконечно малые величины 47 25. Примеры 48 26. Некоторые теоремы о варианте , имеющей предел 52 27. Бесконечно большие величины 54
§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов 56 28. Предельный переход в равенстве и неравенстве 56 29. Леммы о бесконечно малых 57 30. Арифметические операции над переменными 58 31. Неопределенные выражения 60 32. Примеры на нахождение пределов 62 33. Теорема Штольца и ее применения 67
§ 3. Монотонная варианта 70 34. Предел монотонной варианты 70 35. Примеры 72 36. Число е 77 37. Приближенное вычисление числа е 79 38. Лемма о вложенных промежутках 82
§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы 83 39. Принцип сходимости 83 40. Частичные последовательности и частичные пределы 85 41. Лемма Больцано-Вейерштрасса 87 42. Наибольший и наименьший пределы 89
ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ
§ 1. Понятие функции 93 43. Переменная и область ее изменения 93 44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 94 45. Определение понятия функции 95 46. Аналитический способ задания функции 98 47. График функции 100 48. Важнейшие классы функций 102 49. Понятие обратной функции 108 50. Обратные тригонометрические функции 110 51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания 114
§ 2. Предел функции 115 52. Определение предела функции 115

53. Сведение к случаю варианты 117 54. Примеры 120 55. Распространение теории пределов 128 56. Примеры 130 57. Предел монотонной функции 133 58. Общий признак Больцано-Коши 134 59. Наибольший и наименьший пределы функции 135
§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин 136 60. Сравнение бесконечно малых 136 61. Шкала бесконечио малых 137 62. Эквивалентные бесконечно малые 139 63. Выделение главной части 141 64. Задачи 143 65. Классификация бесконечно больших 145
§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций 146 66. Определение непрерывности функции в точке 146 67. Арифметические операции над непрерывными функциями 148 68. Примеры непрерывных функций 148 69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов 150 70. Примеры разрывных функций 151 71. Непрерывность и разрывы монотонной функции 154 72. Непрерывность элементарных функций 155 73. Суперпозиция непрерывных функций 156 74. Решение одного функционального уравнения 157 75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций
158 76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
160 77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов 162 78. Степенно-показательные выражения 165 79. Примеры 166
§ 5. Свойства непрерывных функций 168 80. Теорема об обращении функции в нуль 168 81. Применение к решению уравнений 170 82. Теорема о промежуточном значении 171

83. Существование обратной функции 172 84. Теорема об ограниченности функции 174 85. Наибольшее и наименьшее значения функции 175 86. Понятие равномерной непрерывности 178 87. Теорема Кантора 179 88. Лемма Бореля 180 89. Новые доказательства основных теорем 182
ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ
§ 1. Производная и ее вычисление 186 90. Задача о вычислении скорости движущейся точки 186 91. Задача о проведении касательной к кривой 187 92. Определение производной 189 93. Примеры вычисления производных 193 94. Производная обратной функции 196 95. Сводка формул для производных 198 96. Формула для приращения функции 198 97. Простейшие правила вычисления производных 199 98. Производная сложной функции 202 99. Примеры 203 100. Односторонние производные 209 101. Бесконечные производные 209 102. Дальнейшие примеры особых случаев 211
§ 2. Дифференциал 211 103. Определение дифференциала 211 104. Связь между дифференцируемостью и существованием производной
213 105. Основные формулы и правила дифференцирования 215 106. Инвариантность формы дифференциала 216 107. Дифференциалы как источник приближенных формул 218 108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей 220
§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления 223 109. Теорема Ферма 223 110. Теорема Дарбу 224 111. Теорема Ролля 225 112. Формула Лагранжа 226

113. Предел производной 228 114. Формула Коши 229
§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков 231 115. Определение производных высших порядков 231 116. Общие формулы для производных любого порядка 232 117. Формула Лейбница 236 118. Примеры 238 119. Дифференциалы высших порядков 241 120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков
242 121. Параметрическое дифференцирование 243 122. Конечные разности 244
§ 5. Формула Тейлора 246 123. Формула Тейлора для многочлена 246 124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме
Пеано
248 125. Примеры 251 126. Другие формы дополнительного члена 254 127. Приближенные формулы 257
§ 6. Интерполирование 263 128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа 263 129. Дополнительный член формулы Лагранжа 264 130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита 265
ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ
ПРОИЗВОДНЫХ
§ 1. Изучение хода изменения функции 268 131. Условие постоянства функции 268 132. Условие монотонности функции 270 133. Доказательство неравенств 273 134. Максимумы и минимумы; необходимые условия 276 135. Достаточные условия. Первое правило 278 136. Примеры 280 137. Второе правило 284 138. Использование высших производных 286 139. Разыскание наибольших и наименьших значений 288

140. Задачи 290
§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции 294 141. Определение выпуклой (вогнутой) функции 294 142. Простейшие предложения о выпуклых функциях 296 143. Условия выпуклости функции 298 144. Неравенство Иенсена и его приложения 301 145. Точки перегиба 303
§ 3. Построение графиков функций 305 146. Постановка задачи 305 147. Схема построения графика. Примеры 306 148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты 308 149. Примеры 311
§ 4. Раскрытие неопределенностей 314 150. Неопределенность вида 0/0 314 151. Неопределенность вида
∞
∞ /
320 152. Другие виды неопределенностей 322
§ 5. Приближенное решение уравнении 324 153. Вводные замечания 324 154. Правило пропорциональных частей (метод хорд) 325 155. Правило Ньютона (метод касательных) 328 156. Примеры и упражнения 331 157. Комбинированный метод 335 158. Примеры и упражнения 336
ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ
§ 1. Основные понятия 340 159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры 340 160. Функции двух переменных и области их определения 341 161. Арифметическое n-мерное пространство 345 162. Примеры областей в n-мерном пространстве 348 163. Общее определение открытой и замкнутой области 350 164. Функции n переменных 352 165. Предел функции нескольких переменных 354 166. Сведение к случаю варианты 356 167. Примеры 358 168. Повторные пределы 360

§ 2. Непрерывные функции 362 169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных 362 170. Операции над непрерывными функциями 364 171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано-Коши 365 172. Лемма Больцано-Вейерштрасса 367 173. Теоремы Вейерштрасса 369 174. Равномерная непрерывность 370 175. Лемма Бореля 372 176. Новые доказательства основных теорем 373 176. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных 373 177. Частные производные и частные дифференциалы 375 178. Полное приращение функции 378 179. Полный дифференциал 381 180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных
383 181. Производные от сложных функций 386 182. Примеры 388 183. Формула конечных приращений 390 184. Производная по заданному направлению 391 185. Инвариантность формы (первого) дифференциала 394 186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях 396 187. Однородные функции 399 188. Формула Эйлера 400
§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков 402 189. Производные высших порядков 402 190. Теорема о смешанных производных 404 191. Обобщение 407 192. Производные высших порядков от сложной функции 408 193. Дифференциалы высших порядков 410 194. Дифференциалы сложных функций 413 195. Формула Тейлора 414
§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения 417 196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия
417 197. Достаточные условия (случай функции двух переменных) 419

198. Достаточные условия (общий случай) 422 199. Условия отсутствия экстремума 425 200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры 427 201. Задачи 431
ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ
ПРИЛОЖЕНИЯ
§ 1. Формальные свойства функциональных определителей 441 202. Определение функциональных определителей (якобианов) 441 203. Умножение якобианов 442 204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби) 444
§ 2. Неявные функции 447 205. Понятие неявной функции от одной переменной 447 206. Существование неявной функции 449 207. Дифференцируемость неявной функции 451 208. Неявные функции от нескольких переменных 453 209. Вычисление производных неявных функций 460 210. Примеры 463
§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции 467 211. Относительные экстремумы 467 212. Метод неопределенных множителей Лагранжа 470 213. Достаточные для относительного экстремума условия 472 214. Примеры и задачи 473 215. Понятие независимости функций 477 216. Ранг матрицы Якоби 479
§ 4. Замена переменных 483 217. Функции одной переменной 483 218. Примеры 485 219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных
488 220. Метод вычисления дифференциалов 489 221. Общий случай замены переменных 491 222. Примеры 493
ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО
ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ
§ 1. Аналитическое представлеяне кривых и поверхностей 503

223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах) 503 224. Примеры 505 225. Кривые механического происхождения 508 226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры 511 227. Поверхности и кривые в пространстве 516 228. Параметрическое представление 518 229. Примеры 520
§ 2. Касательная и касательная плоскость 523 230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах 523 231. Примеры 525 232. Касательная в полярных координатах 528 233. Примеры 529 234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности
530 235. Примеры 534 236. Особые точки плоских кривых 535 237. Случай параметрического задания кривой 540
§ 3. Касание кривых между собой 542 238. Огибающая семейства кривых 542 239. Примеры 545 240. Характеристические точки 549 241. Порядок касания двух кривых 551 242. Случай неявного задания одной из кривых 553 243. Соприкасающаяся кривая 554 244. Другой подход к соприкасающимся кривым 556
§ 4. Длина плоской кривой 557 245. Леммы 557 246. Направление на кривой 558 247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги 560 248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги 562 249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной 565
§ 5. Кривизна плоской кривой 568 250. Понятие кривизны 568 251. Круг кривизны и радиус кривизны 571 252. Примеры 573

253. Координаты центра кривизны 577 254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты 578 255. Свойства эволют и эвольвент 581 256. Разыскание эвольвент 585
ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257. Случай функции одной переменной 587 258. Постановка задачи для двумерного случая 588 259. Вспомогательные предложения 590 260. Основная теорема о распространении 594 261. Обобщение 595 262. Заключительные замечания 597
Алфавитный указатель 600
Алфавитный указатель
Абсолютная величина 14, 31, 34
Абсолютный экстремум 469
Алгебраическая функция 448
Аналитический способ задания функции 97, 98
Аналитическое выражение функции
98
- представление кривых 503, 517
- - поверхностей 517
Аномалия (эксцентрическая) планеты
174
Аргумент функции 95, 341
Арифметическое значение корня
(радикала) 36, 103
- пространство 345
Арксинус, арккосинус и т. д. 110
Архимед 64
Архимеда аксиома 16, 34
Архимедова спираль 512, 529
Асимптота 309
Асимптотическая точка 513, 514
Астроида 506, 511, 526, 546, 573, 583
Барометрическая формула 95
Бернулли, Иоанн 206, 314
- Яков 38
- лемниската 515, 530, 575, 577
Бесконечная десятичная дробь 22
- производная 209
Бесконечно большая величина 54,
117
- - - классификация 145
- - - порядок 145
- малая величина 47, 117
- - - высшего порядка [обозначение
O (
α)] 136, 137
- - - классификация 136
- - - леммы 57
- - - порядок 137
- - - эквивалентность 139
Бесконечность
,
−∞
+∞
26, 55
Бесконечный промежуток 94, 308
- разрыв 309
Бойля-Мариотта закон 94
Больцано 84
Больцано метод 88
Больцано-Вейерштрасса лемма 87,
367
Больцано-Коши теоремы 1-я и 2- я
168, 171, 182, 366
- - условие 84, 134
Бореля лемма 181, 372
Варианта 44, 344
- возрастающая (неубывающая) 70
- имеющая предел 52
- как функция значка 96

Монотонная 70
- ограниченная 53
- убывающая (невозрастающая) 70
Вейерштрасса-Больцано лемма 87,
367
- теоремы 1-я и 2- я 175, 176, 183,
369, 370, 373
Вертикальная асимптота 309
Верхняя граница числового множества 26
- - - - точная 26
Вещественные числа 19
- - вычитание 31
- - деление 34
- - десятичное приближение 22
- - непрерывность области 24
- - плотность (усиленная) области 21
- - равенство 19
- - сложение 28
- - умножение 31
- - упорядочение области 19
Вивиани кривая 521, 535
Винтовая линия 521, 534
- поверхность 523, 535
Вложенные промежутки, лемма 83
Внутренняя точка множества 350
Вогнутые (выпуклые вверх) функции или кривые 295
- - - - условия вогнутости 298
Возврата точка 539, 541
Возрастающая варианта 70
- функция 133
Вращения поверхность 522
Выпуклые (выпуклые вниз) функции или кривые 294
- - - - условия выпуклости 298
- строго функции или кривые 298
Высшего порядка бесконечно малые
[обозначение o (
α)] 136, 137
- - дифференциалы 241
- - - функции нескольких переменных
410
- - производные 231, 232
245
- - - частные 402
Гармоническое колебание 208
Гаусс 74, 439
Гельдера-Коши неравенство 275,
302
Географические координаты 522
Геометрическое истолкование дифференциала 214
- - полного дифференциала 386
- - производной 190
Гипербола 506, 575, 580
- равнобочная 102, 103
Гиперболическая спираль 529
Гиперболические синус, косинус и т. д. 107
- функции, непрерывность 149
- - обратные 108-109
- - производные 205
Гипоциклоида 509
Главная ветвь (главное значение) арксинуса, арккосинуса и т. д.
110, 114
- часть (главный член) бесконечно малой 141
Гладкая кривая 594
Горизонтальная асимптота 309
Градиент функции 394
Граница области 351
- числового множества (верхняя, нижняя) 25-28
- - - точная 26
График функции 100
- - построение 305
- - пространственный 343
Гюйгенса формула 260
Дарбу теорема 224
Движения уравнение 187
Двойная точка кривой 538
Двойной предел функции 360
Двух переменных функция 341
Дедекинд 17
Дедекинда основная теорема 25

Действительные числа, см.
Вещественные числа
Декартов лист 507, 538
Десятичное приближение вещественного числа 22
Десятичные логарифмы 79
Диаметр точечного множества 371
Дирихле функция 99, 102, 153
Дискриминантная кривая 545, 550
Дифференциал 211, 215
- порядка, 1-го, 2-го, n -го 241
- геометрическое истолкование 214
- дуги 562, 567
- инвариантность формы 216
- полный 382
- - порядка, 1-го, 2-го, n -го 410
- - геометрическое истолкование 386
- - инвариантность формы 394
- - метод вычисления (при замене переменных) 489
- применение к приближенным вычислениям 218, 220, 396
- частный 378, 411
Дифференцирование 215
- параметрическое 243
- правила 215, 395
Дифференцируемая функция 212, 382
Дифференцируемость неявной функции 451
Длина отрезков 40
- плоской кривой 560
- - - аддитивность 560
- пространственной кривой 567
Дополнительный член формулы
Тейлора 249, 257, 415
- - - Лагранжа 263
- - - Эрмита 266
Дробная рациональная функция 103
- - - непрерывность 148
- - - нескольких переменных 353
e (число) 78, 148
- иррациональность 82
- приближенное вычисление 81
Единица 14, 32
Зависимые функции 478
Замена переменных 483
Замкнутая область 351
- сфера 351
Замкнутое множество 351
Замкнутый параллелепипед 351
Замкнутый промежуток 93
- симплекс 351
Заострения точка 539
Затухающее колебание 208, 282
Знаков правило (при умножении) 16,
32
Иенсен 295
Иенсена неравенство 301
Измерение отрезков 40
Изолированная точка кривой 536, 539
Инвариантность формы дифференциала 216, 394
Интерполирование 263
Интерполирования узлы 263
- - кратные 266
Интерполяционная формула
Лагранжа 263
- - Эрмита 266
Иррациональные числа 19
Кантора теорема 179, 184, 370, 374
Кардиоида 510, 515, 530
Касание кривых 542
- - порядок 551
Касательная 188, 210, 386, 523, 530,
533, 555
- односторонняя 209
- отрезок 524
- - полярный 528
- плоскость 384, 532
- положительное направление 567
Касательное преобразование 485,
487, 493, 500
Касательных метод (приближенного решения уравнений) 328
Кассини овал 515
Квадратичная форма 423

Наибольшее и наименьшее значения 476
- - неопределенная 425
- - определенная 423
- - полуопределенная 427
Кеплера уравнение 174
Клапейрона формула 340, 377
Класс гладкой кривой 594
Классификация бесконечно больших
145
- - малых 136
Классы функций 102
Колебание гармоническое 208
- затухающее 208, 282
- функции 177, 370
Комбинированный метод
(приближенного решения уравнений) 335
Компрессор 433
Конечные разности 244
Конечных приращений формула 227,
390
Конус го, порядка, 2, 535
Координатные линии (поверхности)
520
Координаты n -мерной точки 345
Корень из вещественного числа, существование 35
- уравнения (функции), существование 170
- - приближенное вычисление 170,
324
Косинус 103
- функциональная характеристика
160
- гиперболический 107
160
Косеканс 103
Котангенс 103
- гиперболический 107
Коши 67, 69, 84, 192
Коши-Больцано теоремы 1-я и 2-я
168, 171, 182, 366
- - условие 84, 134
- форма дополнительного члена 257
- формула 229
Кратная точка кривой 505, 519, 538,
540
Кривизна 568
- круг 571
- радиус 571
- средняя 568
- центр 571
Кривые, см. соответствующее название
- в пространстве 517, 518
- в n -мерном пространстве 347
- на плоскости 503, 508, 511
- переходные 576
Кронекер 99
Куб n -мерный 348
Кусочно-гладкая кривая 595
Лагранж 192, 257, 470
Лагранжа интерполяционная формула 263
- - - дополнительный член 265
- теорема, формула 226, 227
- форма дополнительного члена 257,
415
Лебег 181
Лежандра многочлены 240
Лежандра преобразование 487, 499,
500
Лейбниц 192, 215, 241
Лейбница формула 238, 241
Лемниската Бернулли 515, 530, 575,
577
Логарифм, существование 39
- десятичный 50, 79
- натуральный (или неперов) 78
- - переход к десятичному 79
Логарифмическая спираль 514, 529,
574, 581
- функция 103
- - непрерывность 155, 174
- - производная 195, 197

Функциональная характеристика
159
Ломаная (в n -мерном пространстве)
347
Лопиталя правило 314, 320
Маклорена формула 247, 251
Максимум, см. Экстремум
Матрица функциональная (Якоби)
444, 478
- - ранг 468, 471, 479
Матрицы умножения 444
Мерэ 44
Минимум, см. Экстремум
Минковского неравенство 276
Многозначная функция 96, 109, 341,
447, 453
Множество точек замкнутое 351
- - ограниченное 352
- числовое, ограниченное сверху, снизу 26
Множители неопределенные, метод
470
Модуль перехода от натуральных логарифмов к десятичным 79
Монотонная варианта 70
- функция 133
- - непрерывность, разрывы 154
Монотонности функции условие 270
n переменных функция 352
n -кратная точка кривой 540
n -кратный предел 360
n -мерная сфера 349, 351
n -мерное пространство 345
n -мерный параллелепипед 348, 351
n -мерный симплекс 349, 351
Наибольшее значение функции 176,
286
Наибольший предел варианты 89
- - функции 136
Наименьшее значение функции 176,
289
- - - нескольких переменных 427
Наименьший предел варианты 89
- - функции 136
Наименьших квадратов метод 438
Наклонная асимптота 310
Наложение функций 114
Направление на кривой 558
Натуральный логарифм 78
Независимость функций 478
Независимые переменные 94, 341,
352
Неопределенности раскрытие 62, 314
- вида 0/0 60, 314
- -
∞
∞ / 61, 320
- -
∞
⋅
0 61, 322
- -
∞
−
∞
62, 323
- -
0 0
,
0
,
1
∞
∞
166, 323
Неопределенные множители, метод
470
Непер, неперовы логарифмы 78
Непрерывность области вещественных чисел 24
- прямой 42
- функции в области 365
- - в промежутке 148
- - в точке 146, 362
- - односторонняя 150
- - равномерная 178, 370
Непрерывные функции, операции над ними 148, 364
- - свойства 168-185, 365-374
- - суперпозиция 114, 364
Неравенства, доказательство 122,
273, 302
Неравенство Коши 275, 346
- Коши-Гельдера 275, 302
- Иенсена 301
- Минковского 276
Несобственные числа (точки) 26, 55,
355
Неявные функции 447, 453
- - вычисление производных 460
- - существование и свойства 449,
451, 453

Нижняя граница числового множества 26
- - - - точная 26
Нормаль к кривой 523
- - - отрезок 524
- - - - полярный 528
Нормаль к поверхности 532, 534
Ньютона метод (приближенного решения уравнений) 328
Относительный экстремум 467
Отрезок, измерение 40
- касательной, нормали 524
- - - полярный 528
Оценка погрешностей 220, 396
Область в n -мерном пространстве
350
- изменения переменной
(переменных) 95, 341
- замкнутая 351
- определения функции 95, 341
- открытая 350
- связная 352
Обратная функция 108
- - непрерывность 172
- - производная 196
- - существование 172
Обратные тригонометрические функции 110
- - - непрерывность 156, 174
- - - производные 197
Обыкновенная точка (кривой или поверхности) 504, 505, 520
Овалы Кассини 515
Огибающая семейства кривых 543
Ограниченная варианта 53
Ограниченное множество точечное
352
- - числовое 26
Ограниченность непрерывной функции, теоремы 175, 183,
369, 373
Однозначная функция 96, 341
Однородная функция 399
Односторонние непрерывность и разрывы функции 150
Односторонняя касательная 209
- производная 209
- - высшего порядка 232
Окрестность точки 115
- - n -мерная 348, 349
Определитель, производная 388
- функциональный (Якоби) 441
Особая точка (кривой или поверхности) 504, 505, 517, 518,
519, 531, 533, 535, 537
- - изолированная 536
- - двойная 538
- - кратная 505, 519, 538, 540
Остроградский 442
Открытая область 350
- сфера 349, 350
Открытый промежуток 93
- параллелепипед 348, 350
- симплекс 349, 350
Относительная погрешность 140, 218,
397
Парабола 64, 103, 525, 546, 575, 579
Параболоид вращения 344
Параллелепипед n -мерный 348
Параметр 217, 504
Параметрическое дифференцирование 243
- представление кривой 217, 504, 512
- - - в пространстве 518
- - поверхности 519
Пеано форма дополнительного члена
249
Перегиба точка 303
Переменная 43, 93
- независимая 94, 341, 352
Переменных замена 483
Переместительное свойство сложения, умножения 12, 14,
29, 32
Перестановка дифференцировании
405, 407
- предельных переходов 361, 406

Переходные кривые 576
Периодическая десятичная дробь 24
Поверхность 343, 517, 519
- вращения 522
Повторный предел функции нескольких переменных 360
Подкасательная 207, 524
- полярная 528
Поднормаль 524
- полярная 528
Подпоследовательность 85
Пограничная точка 351
Погрешность абсолютная, относительная 139, 140, 218,
221, 397
Показательная функция 103
- - непрерывность 149, 155
- - производная 194
- - функциональная характеристика
158
Полное приращение функции 378
Полный дифференциал 381, 396
- - высшего порядка 410, 413
- - геометрическая интерпретация 386
- - инвариантность формы 394
- - применения к приближенным вычислениям 396
Полукубическая парабола 506, 540,
548, 579
Полуоткрытый промежуток 93
Полярная подкасательная, поднормаль 528
Полярное уравнение кривой 511
Полярные координаты 493, 495, 512
Полярный отрезок касательной, нормали 528
Порядок бесконечно большой величины 145
- - малой величины 137
- дифференциала 241
- касания кривых 551
- производной 231
Последовательность 44
Постоянства функции условие 268
Правило, см. соответствующее название
Предел варианты 46, 48
- - бесконечный 55
- - единственность 54
- - монотонной 71
- - наибольший, наименьший 89
- - частичный 86
- отношения 59
- произведения 59
- производной 228
- разности 59
- суммы 59
- функции 115, 117
- - монотонной 139
- - наибольший, наименьший 135
- - нескольких переменных 354, 357
- - - - повторный 360
- - частичный 135
Предельный переход в равенстве, в неравенстве 56
Преобразование Лежандра 487, 499,
500
- точечное (плоскости, пространства)
485, 493
Приближенное решение уравнения
324
Приближенные вычисления, применение дифференциала
218, 220, 396
Приближенные формулы 140, 143,
218, 257-263
Приращение переменной 147
- функции, формула 199
- нескольких переменных полное, формула 379
- - - - частное 375
Приращений конечных формула 227,
390
Произведение вариант, предел 59, 61
- функций, предел 129, 130
- - непрерывность 148, 364
216, 236, 241, 395

Произведение чисел 14, 31
Производная см, также, название, функции, 189
- бесконечная 209
- высшего порядка 231
- - - связь с конечными разностями
245
- геометрическое истолкование 190
- несуществование 211
- односторонняя 209
- по заданному направлению 391
- правила вычисления 199
- разрыв 211
- частная 375
- - высшего порядка 402
Промежуток 82
- замкнутый, полуоткрытый, открытый, конечный, бесконечный 93, 94
Промежуточное значение, теорема
171
Пропорциональных частей, правило
325
Простая точка (кривой или поверхности) 505, 520
Пространственный график функции
343
Пространство n -мерное
(арифметическое) 345
Прямая в n -мерном пространстве 347
Равномерная непрерывность функции 178, 370
Радикал, арифметическое значение
36, 103
Радиус кривизны 571
Разность вариант и т. д., см. Сумма
- чисел 13, 31
Разрыв производной 211
- функции 146
- - монотонной 154
- - обыкновенный, рода, го, и, го, 1, 2,
151
- - нескольких переменных 362
Ранг матрицы 468, 471, 479
Раскрытие неопределенностей 62,
314
Распределительное свойство умножения 15, 34
Распространение функций 587
Расстояние между точками в n - мерном пространстве 345
Рациональная функция 102
- - непрерывность 148
- - нескольких переменных 353
- - - - непрерывность 358, 563
Рациональные числа, вычитание 13
Рациональные числа деление 15
- - плотность 12
- - сложение 12
- - умножение 14
- - упорядочение 12
Риман 154
Ролля теорема 225
Роша и Шлемильха форма дополнительного члена 257
Связи уравнения 467
Связная область 352
Сгущения точка 115, 116, 117, 351
Секанс 103
Семейство кривых 542
Сечение в числовой области 17, 24
Сигнум (функция) 29
Сила тока 192
Сильвестр 423
Симплекс n -мерный 349, 351
Синус 103
- гиперболический 107
- предел отношения к дуге 122
Синусоида 106, 304
Скорость движения точки 186
- в данный момент 187, 190
- средняя 186
Сложная функция 115, 353
- - непрерывность 156, 365
- - производные и дифференциалы
202, 216, 242, 386, 395, 413, 414
Смешанные производные, теорема
404

Соприкасающаяся кривая 554
- прямая 555
Соприкасающийся круг 555, 571
Сочетательное свойство сложения, умножения 13, 14, 29, 32
Сравнение бесконечно малых 136
Среднее арифметико-гармоническое
74
- - - геометрическое 74
- арифметическое 275, 430
- гармоническое 74, 303
- геометрическое 74, 275, 303, 430
- значение, теорема 227
- - обобщенная теорема 230
Средняя кривизна 568
- скорость 186, 190
Стационарная точка 277, 418
Степенная функция 103
- - непрерывность 156
- - производная 194
- - функциональная характеристика
158
Степенно-показательная функция
(двух переменных) 353
Степенно-показательная функция предел 358, 359
- - - - непрерывность 363
- - - - дифференцирование 376
Степенно-показательное выражение, предел 165
- - - - производная 206, 388
Степень с вещественным показателем 37
Сумма вариант, предел 59, 62
- функций, предел 129, 130
- функций, непрерывность 148, 364
- - производная и дифференциал 200,
216, 233, 395
- чисел 12, 28
Суперпозиция функций 114, 353, 364
Сфера 344
- n -мерная 349, 350
Сферические координаты 495
Сходимости принцип 84, 134
Табличный способ задания функции
97
Тангенс 103
- гиперболический 107
Тело геометрическое 345
Теплоемкость 191
Точка, см. соответствующее название
Точки функции 352
Точная граница (верхняя, нижняя) 26
Тригонометрические функции 103
- - непрерывность 149
- - производные 195
Тройная точка 540
Тройной предел 360
Тейлора формула 246, 249, 257, 415
Убывающая варианта 70
- функция 133
Угловая точка 209
Узлы интерполирования 263
- - кратные 266
Уитней 590
Улитка 514, 529
Уравнение кривой 100, 230, 503, 511,
518
- поверхности 343, 517, 519
- приближенное решение 170, 324
- существование корней 170
Ускорение 191, 231
Ферма теорема 223
Форма квадратичная 423
Формула см, также, соответствующее, название, 97,
98
Функциональная зависимость 94, 340
- матрица 444, 478
Функциональное уравнение 157, 158,
160
Функциональный определитель 441
Функция см, также, название, функции, 95
- исследование 268
- нескольких переменных 341, 352
- от функции (или от функций) 115,
353

Характеристическая точка на кривой
539
Хестинс 590
Ход изменения функции 268
Хорд метод приближенного решения уравнений 325
Целая рациональная функция 102
- - - непрерывность 149
- - - несколько переменных 353
- - - - - непрерывность 358, 363
- часть числа [Е (р )] 48
Центр кривизны 571, 577
Цепная линия 207, 505, 573
Циклоида 508, 526, 574, 581
Цилиндр проектирующий 518
Частичная последовательность 85
Частичный предел варианты 86
- - функции 135
Частная производная 375
- - высшего порядка 402
Частное вариант, предел 59, 60
- значение функции 96
- приращение 375
- функций, предел 129, 130
- - непрерывность 148, 364
- - производная и дифференциал 201,
216, 395
- чисел 15
Частный дифференциал 378, 411
Чебышёва формула 262
Числа, см. Рациональные,
Иррациональные,
Вещественные числа
Числовая ось 42
- последовательность 44
Шварц 407
Шлемильха и Роша форма дополнительного члена 257
Штольца теорема 67
Эвольвента 578, 582-583, 585
- круга 511, 527, 574
Эволюта 579, 582, 583, 585
Эйлер 78
Эйлера формула 401
Эквивалентные бесконечно малые величины (знак) 139
Экстремум (максимум, минимум) 277
- правила отыскания 277, 278, 284,
287
- собственный, несобственный 277
- функции нескольких переменных
417
- - - - абсолютный 469
- - - - относительный 467
Электрическая сеть 436, 474
Элементарные функции 102
- - непрерывность 155
- - производные 193, 197, 233
Эллипс 448, 506, 525, 547, 575, 579
Эллипсоид 535
Эрмита интерполяционная формула
266
- - - дополнительный член 267
Эпициклоида 509, 527
Якоби 376
- матрица 444, 478
- определитель (якобиан) 441

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 2)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

ГЛАВА ВОСЬМАЯ. ПЕРВООБРАЗНАЯ ФУНКЦИЯ (НЕОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ)

§ 1. Неопределенный интеграл и простейшие приемы его вычисления
263. Понятие первообразной функции (и неопределенного интеграла)
264. Интеграл и задача об определении площади
265. Таблица основных интегралов
266. Простейшие правила интегрирования
267. Примеры
268. Интегрирование путем замены переменной
269. Примеры
270. Интегрирование по частям
271. Примеры

§ 2. Интегрирование рациональных выражений
272. Постановка задачи интегрирования в конечном виде
273. Простые дроби и их интегрирование
274. Разложение правильных дробей на простые
275. Определение коэффициентов. Интегрирование правильных дробей
276. Выделение рациональной части интеграла
277. Примеры

§ 3. Интегрирование некоторых выражений, содержащих радикалы
278. Интегрирование выражений
279. Интегрирование биномиальных дифференциалов. Примеры
280. Формулы приведения
281. Интегрирование выражений. Подстановки Эйлера
282. Геометрическая трактовка эйлеровых подстановок
283. Примеры
284. Другие приемы вычисления
285. Примеры

§ 4. Интегрирование выражений, содержащих тригонометрические и показательную функции
286. Интегрирование дифференциалов R(sin x, cos x)
287. Интегрирование выражений
288. Примеры
289. Обзор других случаев

§ 5. Эллиптические интегралы
290. Общие замечания и определения
291. Вспомогательные преобразования
292. Приведение к канонической форме
293. Эллиптические интегралы 1-го, 2-го и 3-го рода

ГЛАВА ДЕВЯТАЯ. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

§ 1. Определение и условия существования определенного интеграла
294. Другой подход к задаче о площади
295. Определение
296. Суммы Дарбу
297. Условие существования интеграла
298. Классы интегрируемых функций
299. Свойства интегрируемых функций
300. Примеры и дополнения
301. Нижний и верхний интегралы как пределы

§ 2. Свойства определенных интегралов
302. Интеграл по ориентированному промежутку
303. Свойства, выражаемые равенствами
304. Свойства, выражаемые неравенствами ПО
305. Определенный интеграл как функция верхнего предела
306. Вторая теорема о среднем значении

§ 3. Вычисление и преобразование определенных интегралов
307. Вычисление с помощью интегральных сумм
308. Основная формула интегрального исчисления
309. Примеры
310. Другой вывод основной формулы
311. Формулы приведения
312. Примеры
313. Формула замены переменной в определенном интеграле
314. Примеры
315. Формула Гаусса. Преобразование Ландена
316. Другой вывод формулы замены переменной

§ 4. Некоторые приложения определенных интегралов
317. Формула Валлиса
318. Формула Тейлора с дополнительным членом
319. Трансцендентность числа е
320. Многочлены Лежандра
321. Интегральные неравенства

§ 5. Приближенное вычисление интегралов
322. Постановка задачи. Формулы прямоугольников и трапеций
323. Параболическое интерполирование
324. Дробление промежутка интегрирования
325. Дополнительный член формулы прямоугольников
326. Дополнительный член формулы трапеций
327. Дополнительный член формулы Симпсона
328. Примеры

ГЛАВА ДЕСЯТАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ИНТЕГРАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ, МЕХАНИКЕ И ФИЗИКЕ

§ 1. Длина кривой
329. Вычисление длины кривой
330. Другой подход к определению понятия длины кривой и ее вычислению
331. Примеры
332. Натуральное уравнение плоской кривой
333. Примеры
334. Длина дуги пространственной кривой

§ 2. Площади и объемы
335. Определение понятия площади. Свойство аддитивности
336. Площадь как предел
337. Классы квадрируемых областей
338. Выражение площади интегралом
339. Примеры
340. Определение понятия объема. Его свойства
341. Классы тел, имеющих объемы
342. Выражение объема интегралом
343. Примеры
344. Площадь поверхности вращения
345. Примеры
346. Площадь цилиндрической поверхности
347. Примеры

§ 3. Вычисление механических и физических величин
348. Схема применения определенного интеграла
349. Нахождение статических моментов и центра тяжести кривой
350. Примеры
351. Нахождение статических моментов и центра тяжести плоской фигуры
352. Примеры
353. Механическая работа
354. Примеры
355. Работа силы трения в плоской пяте
356. Задачи на суммирование бесконечно малых элементов

§ 4. Простейшие дифференциальные уравнения
357. Основные понятия. Уравнения первого порядка
358. Уравнения первой степени относительно производной. Отделение переменных
359. Задачи
360. Замечания о составлении дифференциальных уравнений
361. Задачи

ГЛАВА ОДИННАДЦАТАЯ. БЕСКОНЕЧНЫЕ РЯДЫ С ПОСТОЯННЫМИ ЧЛЕНАМИ

§ 1. Введение
362. Основные понятия
363. Примеры
364. Основные теоремы

§ 2. Сходимость положительных рядов
365. Условие сходимости положительного ряда
366. Теоремы сравнения рядов
367. Примеры
368. Признаки Коши и Даламбера
369. Признак Раабе
370. Примеры
371. Признак Куммера
372. Признак Гаусса
373. Интегральный признак Маклорена-Коши
374. Признак Ермакова
375. Дополнения

§ 3. Сходимость произвольных рядов
376. Общее условие сходимости ряда
377. Абсолютная сходимость
378. Примеры
379. Степенной ряд, его промежуток сходимости
380. Выражение радиуса сходимости через коэффициенты
381. Знакопеременные ряды
382. Примеры
383. Преобразование Абеля
384. Признаки Абеля и Дирихле
385. Примеры

§ 4. Свойства сходящихся рядов
386. Сочетательное свойство
387. Переместительное свойство абсолютно сходящихся рядов
388. Случай неабсолютно сходящихся рядов
389. Умножение рядов
390. Примеры
391. Общая теорема из теории пределов
392. Дальнейшие теоремы об умножении рядов

§ 5. Повторные и двойные ряды
393. Повторные ряды
394. Двойные ряды
395. Примеры
396. Степенной ряд с двумя переменными; область сходимости
397. Примеры
398. Кратные ряды

§ 6. Бесконечные произведения
399. Основные понятия
400. Примеры
401. Основные теоремы. Связь с рядами
402. Примеры

§ 7. Разложения элементарных функций
403. Разложение функции в степенной ряд; ряд Тейлора
404. Разложение в ряд показательной, основных тригонометрических функций и др.
405. Логарифмический ряд
406. Формула Стирлинга
407. Биномиальный ряд
408. Разложение синуса и косинуса в бесконечные произведения

§ 8. Приближенные вычисления с помощью рядов. Преобразование рядов
409. Общие замечания
410. Вычисление числа тт
411. Вычисление логарифмов
412. Вычисление корней
413. Преобразование рядов по Эйлеру
414. Примеры
415. Преобразование Куммера
416. Преобразование Маркова

§ 9. Суммирование расходящихся рядов
417. Введение
418. Метод степенных рядов
419. Теорема Таубера
420. Метод средних арифметических
421. Взаимоотношение между методами Пуассона-Абеля и Чезаро
422. Теорема Харди-Ландау
423. Применение обобщенного суммирования к умножению рядов
424. Другие методы обобщенного суммирования рядов
425. Примеры
426. Общий класс линейных регулярных методов суммирования

ГЛАВА ДВЕНАДЦАТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ И РЯДЫ

§ 1. Равномерная сходимость
427. Вводные замечания
428. Равномерная и неравномерная сходимости
429. Условие равномерной сходимости
430. Признаки равномерной сходимости рядов

§ 2. Функциональные свойства суммы ряда
431. Непрерывность суммы ряда
432. Замечание о квази-равномерной сходимости
433. Почленный переход к пределу
434. Почленное интегрирование рядов
435. Почленное дифференцирование рядов
436. Точка зрения последовательности
437. Непрерывность суммы степенного ряда
438. Интегрирование и дифференцирование степенных рядов

§ 3. Приложения
439. Примеры на непрерывность суммы ряда и на почленный переход к пределу
440. Примеры на почленное интегрирование рядов
441. Примеры на почленное дифференцирование рядов
442. Метод последовательных приближений в теории неявных функций
443. Аналитическое определение тригонометрических функций
444. Пример непрерывной функции без производной

§ 4. Дополнительные сведения о степенных рядах
445. Действия над степенными рядами
446. Подстановка ряда в ряд
447. Примеры
448. Деление степенных рядов
449. Числа Бернулли и разложения, в которых они встречаются
450. Решение уравнений рядами
451. Обращение степенного ряда
452. Ряд Лагранжа

§ 5. Элементарные функции комплексной переменной
453. Комплексные числа
454. Комплексная варианта и ее предел
455. Функции комплексной переменной
456. Степенные ряды
457. Показательная функция
458. Логарифмическая функция
459. Тригонометрические функции и им обратные
460. Степенная функция
461. Примеры

§ 6. Обвертывающие и асимптотические ряды. Формула Эйлера-Маклорена
462. Примеры
463. Определения
464. Основные свойства асимптотических разложений
465. Вывод формулы Эйлера-Маклорена
466. Исследование дополнительного члена
467. Примеры вычислений с помощью формулы Эйлера-Маклорена
468. Другой вид формулы Эйлера-Маклорена
469. Формула и ряд Стерлинга

ГЛАВА ТРИНАДЦАТАЯ. НЕСОБСТВЕННЫЕ ИНТЕГРАЛЫ

§ 1. Несобственные интегралы с бесконечными пределами
470. Определение интегралов с бесконечными пределами
471. Применение основной формулы интегрального исчисления
472. Примеры
473. Аналогия с рядами. Простейшие теоремы
474. Сходимость интеграла в случае положительной функции
475. Сходимость интеграла в общем случае
476. Признаки Абеля и Дирихле
477. Приведение несобственного интеграла к бесконечному ряду
478. Примеры

§ 2. Несобственные интегралы от неограниченных функций
479. Определение интегралов от неограниченных функций
480. Замечание относительно особых точек
481. Применение основной формулы интегрального исчисления.Примеры
482. Условия и признаки существования интеграла
483. Примеры
484. Главные значения несобственных интегралов
485. Замечание об обобщенных значениях расходящихся интегралов

§ 3. Свойства и преобразование несобственных интегралов
486. Простейшие свойства
487. Теоремы о среднем значении
488. Интегрирование по частям в случае несобственных интегралов
489. Примеры
490. Замена переменных в несобственных интегралах
491. Примеры

§ 4. Особые приемы вычисления несобственных интегралов
492. Некоторые замечательные интегралы
493. Вычисление несобственных интегралов с помощью интегральных сумм. Случай интегралов с конечными пределами
494. Случай интегралов с бесконечным пределом
495. Интегралы Фруллани
496. Интегралы от рациональных функций между бесконечными пределами
497. Смешанные примеры и упражнения

§ 5. Приближенное вычисление несобственных интегралов
498. Интегралы с конечными пределами; выделение особенностей
499. Примеры
500. Замечание по поводу приближенного вычисления собственных интегралов
501. Приближенное вычисление несобственных интегралов с бесконечным пределом
502. Использование асимптотических разложений

ГЛАВА ЧЕТЫРНАДЦАТАЯ. ИНТЕГРАЛЫ, ЗАВИСЯЩИЕ ОТ ПАРАМЕТРА

§ 1. Элементарная теория
503. Постановка задачи
504. Равномерное стремление к предельной функции
505. Перестановка двух предельных переходов
506. Предельный переход под знаком интеграла
507. Дифференцирование под знаком интеграла
508. Интегрирование под знаком интеграла
509. Случай, когда и пределы интеграла зависят от параметра
510. Введение множителя, зависящего лишь от х
511. Примеры
512. Гауссово доказательство основной теоремы алгебры

§ 2. Равномерная сходимость интегралов
513. Определение равномерной сходимости интегралов
514. Условие равномерной сходимости. Связь с рядами
515. Достаточные признаки равномерной сходимости
516. Другой случай равномерной сходимости
517. Примеры

§ 3. Использование равномерной сходимости интегралов
518. Предельный переход под знаком интеграла
519. Примеры
520. Непрерывность и дифференцируемость интеграла по параметру
521. Интегрирование интеграла по параметру
522. Применение к вычислению некоторых интегралов
523. Примеры на дифференцирование под знаком интеграла
524. Примеры на интегрирование под знаком интеграла

§ 4. Дополнения
525. Лемма Арцела
526. Предельный переход под знаком интеграла
527. Дифференцирование под знаком интеграла
528. Интегрирование под знаком интеграла

§ 5. Эйлеровы интегралы
529. Эйлеров интеграл первого рода
530. Эйлеров интеграл второго рода
531. Простейшие свойства функции Г
532. Однозначное определение функции Г ее свойствами
533. Другая функциональная характеристика функции Г
534. Примеры
535. Логарифмическая производная функции Г
536. Теорема умножения для функции Г
537. Некоторые разложения в ряды и произведения
538. Примеры и дополнения
539. Вычисление некоторых определенных интегралов
540. Формула Стирлинга 9
541. Вычисление эйлеровой постоянной
542. Составление таблицы десятичных логарифмов функции Г

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
Г.М. Фихтенгольц, Курс дифференциального и интегрального исчисления (Том 1)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

ВВЕДЕНИЕ. ВЕЩЕСТВЕННЫЕ ЧИСЛА

§ 1. Область рациональных чисел
1. Предварительные замечания
2. Упорядочение области рациональных чисел
3. Сложение и вычитание рациональных чисел
4. Умножение и деление рациональных чисел
5. Аксиома Архимеда

§ 2. Введение иррациональных чисел. Упорядочение области вещественных чисел
6. Определение иррационального числа
7. Упорядочение области вещественных чисел
8. Вспомогательные предложения
9. Представление вещественного числа бесконечной десятичной дробью
10. Непрерывность области вещественных чисел
11. Границы числовых множеств

§ 3. Арифметические действия над вещественными числами
12. Определение суммы вещественных чисел
13. Свойства сложения
14. Определение произведения вещественных чисел
15. Свойства умножения
16. Заключение
17. Абсолютные величины

§ 4. Дальнейшие свойства и приложения вещественных чисел
18. Существование корня. Степень с рациональным показателем
19. Степень с любым вещественным показателем
20. Логарифмы
21. Измерение отрезков

ГЛАВА ПЕРВАЯ. ТЕОРИЯ ПРЕДЕЛОВ

§ 1. Варианта и ее предел
22. Переменная величина, варианта
23. Предел варианты
24. Бесконечно малые величины
25. Примеры
26. Некоторые теоремы о варианте, имеющей предел
27. Бесконечно большие величины

§ 2. Теоремы о пределах, облегчающие нахождение пределов
28. Предельный переход в равенстве и неравенстве
29. Леммы о бесконечно малых
30. Арифметические операции над переменными
31. Неопределенные выражения
32. Примеры на нахождение пределов
33. Теорема Штольца и ее применения

§ 3. Монотонная варианта
34. Предел монотонной варианты
35. Примеры
36. Число е
31. Приближенное вычисление числа е
38. Лемма о вложенных промежутках

§ 4. Принцип сходимости. Частичные пределы
39. Принцип сходимости
40. Частичные последовательности и частичные пределы
41. Лемма Больцано-Вейерштрасса
42. Наибольший и наименьший пределы

ГЛАВА ВТОРАЯ. ФУНКЦИИ ОДНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

§ 1. Понятие функции
43. Переменная и область ее изменения
44. Функциональная зависимость между переменными. Примеры
45. Определение понятия функции
46. Аналитический способ задания функции
47. График функции
48. Важнейшие классы функций
49. Понятие обратной функции
50. Обратные тригонометрические функции
51. Суперпозиция функций. Заключительные замечания

§ 2. Предел функции
52. Определение предела функции
53. Сведение к случаю варианты
54. Примеры
55. Распространение теории пределов
56. Примеры
57. Предел монотонной функции
58. Общий признак Больцано-Коши
59. Наибольший и наименьший пределы функции

§ 3. Классификация бесконечно малых и бесконечно больших величин
60. Сравнение бесконечно малых
61. Шкала бесконечно малых
62. Эквивалентные бесконечно малые
63. Выделение главной части
64. Задачи
65. Классификация бесконечно больших

§ 4. Непрерывность (и разрывы) функций
66. Определение непрерывности функции в точке
67. Арифметические операции над непрерывными функциями
68. Примеры непрерывных функций
69. Односторонняя непрерывность. Классификация разрывов
70. Примеры разрывных функций
71. Непрерывность и разрывы монотонной функции
72. Непрерывность элементарных функций
73. Суперпозиция непрерывных функций
74. Решение одного функционального уравнения
75. Функциональная характеристика показательной, логарифмической и степенной функций
76. Функциональная характеристика тригонометрического и гиперболического косинусов
77. Использование непрерывности функций для вычисления пределов
78. Степенно-показательные выражения

§ 5. Свойства непрерывных функций
80. Теорема об обращении функции в нуль
81. Применение к решению уравнений
82. Теорема о промежуточном значении
83. Существование обратной функции
84. Теорема об ограниченности функции
85. Наибольшее и наименьшее значения функции
86. Понятие равномерной непрерывности
87. Теорема Кантора
88. Лемма Бореля
89. Новые доказательства основных теорем

ГЛАВА ТРЕТЬЯ. ПРОИЗВОДНЫЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЫ

§ 1. Производная и ее вычисление
90. Задача о вычислении скорости движущейся точки
91. Задача о проведении касательной к кривой
92. Определение производной
93. Примеры вычисления производных
94. Производная обратной функции
95. Сводка формул для производных
96. Формула для приращения функции
97. Простейшие правила вычисления производных
98. Производная сложной функции
99. Примеры
100. Односторонние производные
101. Бесконечные производные
102. Дальнейшие примеры особых случаев

§ 2. Дифференциал
103. Определение дифференциала
104. Связь между дифференцируемостью и существованием производной
105. Основные формулы и правила дифференцирования
106. Инвариантность формы дифференциала
107. Дифференциалы как источник приближенных формул
108. Применение дифференциалов при оценке погрешностей

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
109. Теорема Ферма
110. Теорема Дарбу
111. Теорема Ролля
112. Формула Лагранжа
113. Предел производной
114. Формула Коши

§ 4. Производные и дифференциалы высших порядков
115. Определение производных высших порядков
116. Общие формулы для производных любого порядка
117. Формула Лейбница
118. Примеры
119. Дифференциалы высших порядков
120. Нарушение инвариантности формы для дифференциалов высших порядков
121. Параметрическое дифференцирование
122. Конечные разности

§ 5. Формула Тейлора
123. Формула Тейлора для многочлена
124. Разложение произвольной функции; дополнительный член в форме Пеано
125. Примеры
126. Другие формы дополнительного члена
127. Приближенные формулы

§ 6. Интерполирование
128. Простейшая задача интерполирования. Формула Лагранжа
129. Дополнительный член формулы Лагранжа
130. Интерполирование с кратными узлами. Формула Эрмита

ГЛАВА ЧЕТВЕРТАЯ. ИССЛЕДОВАНИЕ ФУНКЦИИ С ПОМОЩЬЮ ПРОИЗВОДНЫХ

§ 1. Изучение хода изменения функции
131. Условие постоянства функции
132. Условие монотонности функции
133. Доказательство неравенств
134. Максимумы и минимумы; необходимые условия
135. Достаточные условия. Первое правило
136. Примеры
137. Второе правило
138. Использование высших производных
139. Разыскание наибольших и наименьших значений
140. Задачи

§ 2. Выпуклые (и вогнутые) функции
141. Определение выпуклой (вогнутой) функции
142. Простейшие предложения о выпуклых функциях
143. Условия выпуклости функции
144. Неравенство Иенсена и его приложения
145. Точки перегиба

§ 3. Построение графиков функций
146. Постановка задачи
147. Схема построения графика. Примеры
148. Бесконечные разрывы, бесконечный промежуток. Асимптоты
149. Примеры

§ 4. Раскрытие неопределенностей
150. Неопределенность вида 0/0
151. Неопределенность вида оо/оо
152. Другие виды неопределенностей

§ 5. Приближенное решение уравнении
153. Вводные замечания
154. Правило пропорциональных частей (метод хорд)
155. Правило Ньютона (метод касательных)
156. Примеры и упражнения
157. Комбинированный метод
158. Примеры и упражнения

ГЛАВА ПЯТАЯ. ФУНКЦИИ НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Основные понятия
159. Функциональная зависимость между переменными. Примеры
160. Функции двух переменных и области их определения
161. Арифметическое n-мерное пространство
162. Примеры областей в n-мерном пространстве
163. Общее определение открытой и замкнутой области
164. Функции п переменных
165. Предел функции нескольких переменных
166. Сведение к случаю варианты
167. Примеры
168. Повторные пределы

§ 2. Непрерывные функции
169. Непрерывность и разрывы функций нескольких переменных
170. Операции над непрерывными функциями
171. Функции, непрерывные в области. Теоремы Больцано-Коши
172. Лемма Больцано-Вейерштрасса
173. Теоремы Вейерштрасса
174. Равномерная непрерывность
175. Лемма Бореля
176. Новые доказательства основных теорем. Производные и дифференциалы функций нескольких переменных
177. Частные производные и частные дифференциалы
178. Полное приращение функции
179. Полный дифференциал
180. Геометрическая интерпретация для случая функции двух переменных
181. Производные от сложных функций
182. Примеры
183. Формула конечных приращений
184. Производная по заданному направлению
185. Инвариантность формы (первого) дифференциала
186. Применение полного дифференциала в приближенных вычислениях
187. Однородные функции
188. Формула Эйлера

§ 4. Производные в дифференциалы высших порядков
189. Производные высших порядков
190. Теорема о смешанных производных
191. Обобщение
192. Производные высших порядков от сложной функции
193. Дифференциалы высших порядков
194. Дифференциалы сложных функций
195. Формула Тейлора

§ 5. Экстремумы, наибольшие и наименьшие значения
196. Экстремумы функции нескольких переменных. Необходимые условия
197. Достаточные условия (случай функции двух переменных)
198. Достаточные условия (общий случай)
199. Условия отсутствия экстремума
200. Наибольшее и наименьшее значения функций. Примеры
201.Задачи

ГЛАВА ШЕСТАЯ. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЕ ОПРЕДЕЛИТЕЛИ; ИХ ПРИЛОЖЕНИЯ

§ 1. Формальные свойства функциональных определителей
202. Определение функциональных определителей (якобианов)
203. Умножение якобианов
204. Умножение функциональных матриц (матриц Якоби)

§ 2. Неявные функции
205. Понятие неявной функции от одной переменной
206. Существование неявной функции
207. Дифференцируемость неявной функции
208. Неявные функции от нескольких переменных
209. Вычисление производных неявных функций
210. Примеры

§ 3. Некоторые приложения теории неявных функции
211. Относительные экстремумы
212. Метод неопределенных множителей Лагранжа
213. Достаточные для относительного экстремума условия
214. Примеры и задачи
215. Понятие независимости функций
216. Ранг матрицы Якоби

§ 4. Замена переменных
217. Функции одной переменной
218. Примеры
219. Функции нескольких переменных. Замена независимых переменных
220. Метод вычисления дифференциалов
221. Общий случай замены переменных
222. Примеры

ГЛАВА СЕДЬМАЯ. ПРИЛОЖЕНИЯ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОГО ИСЧИСЛЕНИЯ К ГЕОМЕТРИИ

§ 1. Аналитическое представление кривых и поверхностей
223. Кривые на плоскости (в прямоугольных координатах)
224. Примеры
225. Кривые механического происхождения
226. Кривые на плоскости (в полярных координатах). Примеры
227. Поверхности и кривые в пространстве
228. Параметрическое представление
229. Примеры

§ 2. Касательная и касательная плоскость
230. Касательная к плоской кривой в прямоугольных координатах
231. Примеры
232. Касательная в полярных координатах
233. Примеры
234. Касательная к пространственной кривой. Касательная плоскость к поверхности
235. Примеры
236. Особые точки плоских кривых
237. Случай параметрического задания кривой

§ 3. Касание кривых между собой
238. Огибающая семейства кривых
239. Примеры
240. Характеристические точки
241. Порядок касания двух кривых
242. Случай неявного задания одной из кривых
243. Соприкасающаяся кривая
244. Другой подход к соприкасающимся кривым

§ 4. Длина плоской кривой
245. Леммы
246. Направление на кривой
247. Длина кривой. Аддитивность длины дуги
248. Достаточные условия спрямляемости. Дифференциал дуги
249. Дуга в роли параметра. Положительное направление касательной

§ 5. Кривизна плоской кривой
250. Понятие кривизны
251. Круг кривизны и радиус кривизны
252. Примеры
253. Координаты центра кривизны
254. Определение эволюты и эвольвенты; разыскание эволюты
255. Свойства эволют и эвольвент
256. Разыскание эвольвент

ДОПОЛНЕНИЕ. ЗАДАЧА РАСПРОСТРАНЕНИЯ ФУНКЦИЙ
257. Случай функции одной переменной
258. Постановка задачи для двумерного случая
259. Вспомогательные предложения
260. Основная теорема о распространении