Tandaan. Ang materyal na ito naglalaman ng theorem at ang patunay nito, pati na rin ang ilang mga problema na naglalarawan ng aplikasyon ng theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng convex polygon sa mga praktikal na halimbawa.

Convex polygon angle sum theorem

.

Patunay.

Upang patunayan ang theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon, ginagamit namin ang napatunayan na theorem na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang tatsulok ay 180 degrees.

Hayaang ibigay ang A 1 A 2... A n matambok na polygon, at n > 3. Iguhit ang lahat ng diagonal ng polygon mula sa vertex A 1. Hinahati nila ito sa n – 2 tatsulok: Δ A 1 A 2 A 3, Δ A 1 A 3 A 4, ... , Δ A 1 A n – 1 A n . Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon ay kapareho ng kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng mga tatsulok na ito. Ang kabuuan ng mga anggulo ng bawat tatsulok ay 180°, at ang bilang ng mga tatsulok ay (n - 2). Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok n-gon A 1 A 2... A n ay 180° (n – 2).

Gawain.

Sa isang matambok na polygon, ang tatlong anggulo ay 80 degrees at ang natitira ay 150 degrees. Ilang sulok ang nasa convex polygon?

Desisyon.

Ang theorem ay nagsasabi: Para sa isang convex n-gon, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°(n-2) .

Kaya para sa aming kaso:

180(n-2)=3*80+x*150, kung saan

Ang 3 anggulo ng 80 degrees ay ibinibigay sa amin ayon sa kondisyon ng problema, at ang bilang ng iba pang mga anggulo ay hindi pa rin alam sa amin, kaya tinutukoy namin ang kanilang numero bilang x.

Gayunpaman, mula sa entry sa kaliwang bahagi, natukoy namin ang bilang ng mga sulok ng polygon bilang n, dahil alam namin ang mga halaga ng tatlo sa kanila mula sa kondisyon ng problema, malinaw na ang x=n-3.

Kaya ang equation ay magiging ganito:

180(n-2)=240+150(n-3)

Nalulutas namin ang nagresultang equation

180n - 360 = 240 + 150n - 450

180n - 150n = 240 + 360 - 450

Sagot: 5 mga taluktok

Gawain.

Ilang vertices ang maaaring magkaroon ng polygon kung ang bawat anggulo ay mas mababa sa 120 degrees?

Desisyon.

Upang malutas ang problemang ito, ginagamit namin ang theorem sa kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon.

Ang theorem ay nagsasabi: Para sa isang convex n-gon, ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo ay 180°(n-2) .

Samakatuwid, para sa aming kaso, kailangan munang tantiyahin ang mga kondisyon ng hangganan ng problema. Iyon ay, gawin ang pagpapalagay na ang bawat isa sa mga anggulo ay katumbas ng 120 degrees. Nakukuha namin:

180n - 360 = 120n

180n - 120n = 360 (isasaalang-alang namin ang expression na ito nang hiwalay sa ibaba)

Batay sa equation na nakuha, napagpasyahan namin: kapag ang mga anggulo ay mas mababa sa 120 degrees, ang bilang ng mga sulok ng polygon ay mas mababa sa anim.

Paliwanag:

Batay sa expression na 180n - 120n = 360 , sa kondisyon na ang bawas na kanang bahagi ay mas mababa sa 120n, ang pagkakaiba ay dapat na higit sa 60n. Kaya, ang quotient ng division ay palaging mas mababa sa anim.

Sagot: ang bilang ng mga polygon vertices ay magiging mas mababa sa anim.

Gawain

Ang isang polygon ay may tatlong mga anggulo ng 113 degrees, at ang natitira ay katumbas ng bawat isa at sa kanila sukat ng antas ay isang integer. Hanapin ang bilang ng mga vertex ng polygon.

Desisyon.

Upang malutas ang problemang ito, ginagamit namin ang theorem sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon.

Ang theorem ay nagsasabi: Para sa isang convex n-gon, ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ay 360° .

kaya,

3*(180-113)+(n-3)x=360

ang kanang bahagi ng expression ay ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo, sa kaliwang bahagi ang kabuuan ng tatlong anggulo ay kilala ayon sa kondisyon, at ang antas ng sukat ng iba (ang kanilang numero, ayon sa pagkakabanggit, n-3, dahil ang tatlong anggulo ay kilala) ay tinutukoy bilang x.

Ang 159 ay nabubulok lamang sa dalawang salik 53 at 3, at ang 53 ay isang prime number. Iyon ay, walang iba pang mga pares ng mga kadahilanan.

Kaya, n-3 = 3, n=6, iyon ay, ang bilang ng mga sulok ng polygon ay anim.

Sagot: anim na sulok

Gawain

Patunayan na ang isang convex polygon ay maaaring magkaroon ng hindi hihigit sa tatlo matutulis na sulok.

Desisyon

Tulad ng alam mo, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon ay 360 0 . Patunayan natin sa pamamagitan ng kontradiksyon. Kung ang isang convex polygon ay may hindi bababa sa apat na talamak panloob na sulok, samakatuwid, kabilang sa mga panlabas na anggulo nito ay mayroong hindi bababa sa apat na malabo, na nangangahulugan na ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ng polygon ay mas malaki sa 4*90 0 = 360 0 . May kontradiksyon tayo. Napatunayan na ang assertion.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon Theorem. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180 o (n-2). Patunay. Iguhit ang lahat ng diagonal nito mula sa ilang vertex ng isang convex n-gon. Pagkatapos ang n-gon ay masira sa n-2 triangles. Sa bawat tatsulok, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180 o, at ang mga anggulong ito ay bumubuo sa mga anggulo ng n-gon. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay 180 o (n-2).

Ang pangalawang paraan ng proof Theorem. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex n-gon ay 180 o (n-2). Patunay 2. Hayaan ang O panloob na punto matambok n-gon A 1 …A n. Ikonekta ito sa mga vertex ng polygon na ito. Pagkatapos ang n-gon ay hahatiin sa n tatsulok. Sa bawat tatsulok, ang kabuuan ng mga anggulo ay 180 o. Ang mga anggulong ito ay bumubuo sa mga anggulo ng n-gon at isa pang 360 o. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon ay 180 o (n-2).

Pagsasanay 3 Patunayan na ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay 360 o. Patunay. Ang panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon ay 180° minus ang kaukulang panloob na anggulo. Samakatuwid, ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok n-gon ay 180 o n minus ang kabuuan ng mga panloob na anggulo. Dahil ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang matambok n-gon ay 180 o (n-2), kung gayon ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ay magiging 180 o n o (n-2) = 360 o.

Pagsasanay 4 Ano ang mga anggulo ng regular: a) tatsulok; b) may apat na gilid; c) isang pentagon; d) heksagono; e) isang octagon; e) decagon; g) isang dodecagon? Sagot: a) 60 o; b) 90 o; c) 108 o; d) 120 o; e) 135 o; f) 144 o; g) 150 o.

Pagsasanay 12* Ano pinakamalaking bilang Maaari bang magkaroon ng matutulis na sulok ang isang matambok n-gon? Desisyon. Dahil ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex polygon ay 360 o, kung gayon ang isang convex polygon ay hindi maaaring magkaroon ng higit sa tatlo mapurol na sulok, samakatuwid, hindi ito maaaring magkaroon ng higit sa tatlong panloob na matinding anggulo. Sagot. 3.

Ang mga geometric na hugis na ito ay pumapalibot sa amin kahit saan. Ang mga convex polygon ay natural, tulad ng mga pulot-pukyutan, o artipisyal (gawa ng tao). Ang mga figure na ito ay ginagamit sa produksyon iba't ibang uri coatings, sa pagpipinta, arkitektura, dekorasyon, atbp. Ang mga convex polygon ay may katangian na ang lahat ng kanilang mga punto ay nasa parehong gilid ng isang linya na dumadaan sa isang pares ng katabing vertices ng linyang ito. geometric na pigura. Mayroon ding iba pang mga kahulugan. Ang polygon ay tinatawag na convex kung ito ay matatagpuan sa isang kalahating eroplano na may kinalaman sa anumang tuwid na linya na naglalaman ng isa sa mga gilid nito.

Sa kurso ng elementarya geometry, ang mga simpleng polygon lamang ang palaging isinasaalang-alang. Upang maunawaan ang lahat ng mga pag-aari nito, kinakailangan na maunawaan ang kanilang kalikasan. Upang magsimula, dapat itong maunawaan na ang anumang linya ay tinatawag na sarado, ang mga dulo nito ay nag-tutugma. Bukod dito, ang pigura na nabuo nito ay maaaring magkaroon ng iba't ibang mga pagsasaayos. Ang polygon ay isang simpleng saradong putol na linya, kung saan ang mga kalapit na link ay hindi matatagpuan sa parehong tuwid na linya. Ang mga link at vertices nito ay, ayon sa pagkakabanggit, ang mga gilid at vertex ng geometric figure na ito. Ang isang simpleng polyline ay hindi dapat magkaroon ng mga intersection sa sarili.

Ang mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na katabi kung kinakatawan nila ang mga dulo ng isa sa mga gilid nito. Isang geometric figure na mayroong ika-na numero vertex, at samakatuwid nth dami Ang mga gilid ay tinatawag na n-gon. Ang putol na linya mismo ay tinatawag na hangganan o tabas ng geometric figure na ito. Ang isang polygonal na eroplano o isang patag na polygon ay tinatawag na dulong bahagi ng anumang eroplanong nakatali nito. Ang mga katabing gilid ng geometric na figure na ito ay tinatawag na mga segment ng isang putol na linya na nagmumula sa isang vertex. Hindi sila magkakatabi kung nagmula sila sa iba't ibang vertices ng polygon.

Iba pang mga kahulugan ng convex polygons

Sa elementarya na geometry, mayroong ilang higit pang katumbas na mga kahulugan na nagpapahiwatig kung aling polygon ang tinatawag na convex. Bukod dito, ang lahat ng mga expression na ito ang parehong antas ay totoo. Ang convex polygon ay isa na mayroong:

Ang bawat segment ng linya na nag-uugnay sa anumang dalawang punto sa loob nito ay ganap na nasa loob nito;

Ang lahat ng mga dayagonal nito ay nasa loob nito;

Ang anumang panloob na anggulo ay hindi lalampas sa 180°.

Palaging hinahati ng polygon ang isang eroplano sa 2 bahagi. Ang isa sa kanila ay limitado (maaari itong ilakip sa isang bilog), at ang isa ay walang limitasyon. Ang una ay tinatawag na panloob na rehiyon, at ang pangalawa ay ang panlabas na rehiyon ng geometric figure na ito. Ang polygon na ito ay isang intersection (sa madaling salita, isang karaniwang bahagi) ng ilang kalahating eroplano. Bukod dito, ang bawat segment na nagtatapos sa mga puntong kabilang sa polygon ay ganap na kabilang dito.

Mga uri ng convex polygons

Ang kahulugan ng isang convex polygon ay hindi nagpapahiwatig na mayroong maraming uri ng mga ito. At bawat isa sa kanila ay may ilang mga pamantayan. Kaya, ang mga convex polygon na may panloob na anggulo na 180° ay tinatawag na mahinang matambok. Ang isang convex geometric figure na may tatlong vertices ay tinatawag na isang tatsulok, apat - isang quadrilateral, lima - isang pentagon, atbp. Ang bawat isa sa mga convex n-gons ay tumutugma sa mga sumusunod mahahalagang pangangailangan: n ay dapat na katumbas ng o higit sa 3. Ang bawat isa sa mga tatsulok ay matambok. Geometric na pigura ng ganitong uri, kung saan ang lahat ng vertices ay matatagpuan sa parehong bilog, ay tinatawag na nakasulat sa bilog. Ang convex polygon ay tinatawag na circumscribed kung ang lahat ng panig nito malapit sa bilog ay hawakan ito. Ang dalawang polygon ay sinasabing pantay lamang kung maaari silang i-superimpose ng superposition. Patag na polygon tinatawag na polygonal plane (bahagi ng eroplano), na nililimitahan ng geometric figure na ito.

Mga regular na convex polygon

Ang mga regular na polygon ay mga geometric na hugis na may pantay na anggulo at mga partido. Sa loob ng mga ito mayroong isang punto 0, na nasa parehong distansya mula sa bawat isa sa mga vertice nito. Ito ay tinatawag na sentro ng geometric figure na ito. Ang mga segment na nagkokonekta sa gitna sa mga vertices ng geometric figure na ito ay tinatawag na apothems, at ang mga nagkokonekta sa point 0 sa mga gilid ay tinatawag na radii.

Ang isang regular na may apat na gilid ay isang parisukat. kanang tatsulok tinatawag na equilateral. Para sa mga naturang figure, mayroong sumusunod na panuntunan: ang bawat anggulo ng convex polygon ay 180° * (n-2)/n,

kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices ng convex geometric figure na ito.

Ang lugar ng alinman regular na polygon tinutukoy ng formula:

kung saan ang p ay katumbas ng kalahati ng kabuuan ng lahat ng panig ng ibinigay na polygon, at ang h ay katumbas ng haba ng apothem.

Mga katangian ng convex polygons

Ang mga convex polygon ay may ilang mga katangian. Kaya, ang isang segment na nag-uugnay sa anumang 2 puntos ng naturang geometric figure ay kinakailangang matatagpuan dito. Patunay:

Ipagpalagay na ang P ay isang binigay na convex polygon. Kumuha kami ng 2 di-makatwirang puntos, halimbawa, A, B, na kabilang sa R. Ni umiiral na kahulugan ng isang matambok na polygon, ang mga puntong ito ay matatagpuan sa isang gilid ng linya, na naglalaman ng anumang panig na P. Samakatuwid, ang AB ay mayroon ding katangiang ito at nakapaloob sa P. Ang isang matambok na polygon ay palaging nahahati sa ilang mga tatsulok sa pamamagitan ng ganap na lahat ng mga dayagonal iginuhit mula sa isa sa mga taluktok nito.

Mga anggulo ng matambok na geometric na hugis

Ang mga sulok ng isang convex polygon ay ang mga sulok na nabuo sa pamamagitan ng mga gilid nito. Ang mga panloob na sulok ay nasa panloob na rehiyon ang geometric figure na ito. Ang anggulo na nabuo ng mga gilid nito na nagtatagpo sa isang vertex ay tinatawag na anggulo ng isang matambok na polygon. na may panloob na mga anggulo ng isang ibinigay na geometric na pigura ay tinatawag na panlabas. Ang bawat sulok ng convex polygon na matatagpuan sa loob nito ay katumbas ng:

kung saan ang x ay ang halaga ng panlabas na anggulo. Ito simpleng formula naaangkop sa anumang mga geometric na hugis ng ganitong uri.

AT pangkalahatang kaso, para sa mga panlabas na sulok mayroong umiiral pagsunod sa tuntunin: ang bawat anggulo ng convex polygon ay katumbas ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang halaga ng panloob na anggulo. Maaari itong magkaroon ng mga halaga mula -180° hanggang 180°. Samakatuwid, kapag ang anggulo sa loob ay 120°, ang anggulo sa labas ay magiging 60°.

Kabuuan ng mga anggulo ng convex polygons

Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng isang convex polygon ay tinutukoy ng formula:

kung saan ang n ay ang bilang ng mga vertices ng n-gon.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang convex polygon ay medyo madaling kalkulahin. Isaalang-alang ang anumang gayong geometric na pigura. Upang matukoy ang kabuuan ng mga anggulo sa loob ng isang matambok na polygon, ang isa sa mga vertice nito ay dapat na konektado sa iba pang mga vertex. Bilang resulta ng pagkilos na ito, ang (n-2) na mga tatsulok ay nakuha. Alam natin na ang kabuuan ng mga anggulo ng anumang tatsulok ay palaging 180°. Dahil ang kanilang numero sa anumang polygon ay (n-2), ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ng naturang figure ay 180° x (n-2).

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na polygon, lalo na ang alinmang dalawang panloob at katabing panlabas na mga anggulo, para sa isang partikular na matambok na geometric na pigura ay palaging magiging 180°. Batay dito, matutukoy mo ang kabuuan ng lahat ng mga anggulo nito:

Ang kabuuan ng mga panloob na anggulo ay 180° * (n-2). Batay dito, ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ng isang naibigay na figure ay tinutukoy ng formula:

180° * n-180°-(n-2)= 360°.

Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng anumang convex polygon ay palaging magiging 360° (anuman ang bilang ng mga gilid).

Ang panlabas na anggulo ng isang matambok na polygon ay karaniwang kinakatawan ng pagkakaiba sa pagitan ng 180° at ang panloob na anggulo.

Iba pang mga katangian ng isang convex polygon

Bilang karagdagan sa mga pangunahing katangian ng mga geometric na hugis na ito, mayroon silang iba na lumitaw kapag minamanipula ang mga ito. Kaya, ang alinman sa mga polygon ay maaaring hatiin sa ilang matambok n-gons. Upang gawin ito, kinakailangan upang ipagpatuloy ang bawat panig nito at gupitin ang geometric figure na ito kasama ang mga tuwid na linya na ito. Posible rin na hatiin ang anumang polygon sa ilang matambok na bahagi sa paraang ang mga vertices ng bawat isa sa mga piraso ay tumutugma sa lahat ng vertices nito. Mula sa gayong geometric na pigura, ang mga tatsulok ay maaaring gawin nang simple sa pamamagitan ng pagguhit ng lahat ng mga dayagonal mula sa isang tuktok. Kaya, ang anumang polygon ay maaaring hatiin sa isang tiyak na bilang ng mga tatsulok, na lumalabas na lubhang kapaki-pakinabang sa paglutas iba't ibang gawain nauugnay sa gayong mga geometric na hugis.

Perimeter ng isang convex polygon

Ang mga segment ng isang putol na linya, na tinatawag na mga gilid ng isang polygon, ay kadalasang ipinapahiwatig ng mga sumusunod na titik: ab, bc, cd, de, ea. Ito ang mga gilid ng isang geometric na figure na may mga vertices a, b, c, d, e. Ang kabuuan ng mga haba ng lahat ng panig ng convex polygon na ito ay tinatawag na perimeter nito.

Polygon na bilog

Ang mga convex polygon ay maaaring i-inscribe at circumscribed. Ang isang bilog na humipo sa lahat ng panig ng geometric figure na ito ay tinatawag na nakasulat dito. Ang nasabing polygon ay tinatawag na circumscribed. Ang gitna ng isang bilog na nakasulat sa isang polygon ay ang intersection point ng mga bisectors ng lahat ng mga anggulo sa loob ng isang ibinigay na geometric figure. Ang lugar ng naturang polygon ay:

kung saan ang r ay ang radius ng inscribed na bilog at ang p ay ang semi-perimeter ng ibinigay na polygon.

Ang isang bilog na naglalaman ng mga vertices ng isang polygon ay tinatawag na circumscribed sa paligid nito. Bukod dito, ang convex geometric figure na ito ay tinatawag na inscribed. Ang gitna ng bilog, na kung saan ay circumscribed tungkol sa tulad ng isang polygon, ay ang intersection point ng tinatawag na perpendicular bisectors ng lahat ng panig.

Mga diagonal ng matambok na geometric na hugis

Ang mga diagonal ng isang matambok na polygon ay mga segment ng linya na kumokonekta kalapit na mga vertex. Ang bawat isa sa kanila ay nasa loob ng geometric figure na ito. Ang bilang ng mga diagonal ng naturang n-gon ay tinutukoy ng formula:

N = n (n - 3) / 2.

Ang bilang ng mga diagonal ng isang convex polygon ay mahalagang papel sa elementarya geometry. Ang bilang ng mga tatsulok (K) kung saan maaaring hatiin ang bawat matambok na polygon ay kinakalkula ng sumusunod na formula:

Ang bilang ng mga diagonal ng isang convex polygon ay palaging nakadepende sa bilang ng mga vertices nito.

Paghahati ng convex polygon

Sa ilang mga kaso, upang malutas mga problemang geometriko ito ay kinakailangan upang hatiin ang isang matambok polygon sa ilang mga tatsulok na may hindi intersecting diagonals. Ang problemang ito ay maaaring malutas sa pamamagitan ng pagkuha ng isang tiyak na formula.

Kahulugan ng problema: tawagan natin ang isang tamang partition ng isang convex n-gon sa ilang mga triangles sa pamamagitan ng mga diagonal na bumalandra lamang sa mga vertices ng geometric figure na ito.

Solusyon: Ipagpalagay na ang Р1, Р2, Р3 …, Pn ay mga vertices ng n-gon na ito. Ang numerong Xn ay ang bilang ng mga partisyon nito. Maingat nating isaalang-alang ang nagresultang dayagonal ng geometric figure na Pi Pn. Sa alinman sa mga regular na partisyon, ang P1 Pn ay kabilang sa isang tiyak na tatsulok na P1 Pi Pn, na mayroong 1

Hayaang ang i = 2 ay isang pangkat ng mga regular na partisyon na laging naglalaman ng dayagonal na Р2 Pn. Ang bilang ng mga partisyon na kasama dito ay tumutugma sa bilang ng mga partisyon ng (n-1)-gon Р2 Р3 Р4… Pn. Sa madaling salita, katumbas ito ng Xn-1.

Kung i = 3, ang ibang pangkat ng mga partisyon ay palaging naglalaman ng mga dayagonal na P3 P1 at P3 Pn. Sa kasong ito, ang bilang ng mga regular na partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay mag-tutugma sa bilang ng mga partisyon ng (n-2)-gon Р3 Р4… Pn. Sa madaling salita, ito ay katumbas ng Xn-2.

Hayaan ang i = 4, pagkatapos ay kabilang sa mga tatsulok ang isang regular na partisyon ay tiyak na maglalaman ng isang tatsulok na P1 P4 Pn, kung saan ang may apat na gilid P1 P2 P3 P4, (n-3)-gon P4 P5 ... Pn ay magkakadugtong. Ang bilang ng mga regular na partisyon ng naturang quadrilateral ay X4, at ang bilang ng mga partisyon ng isang (n-3)-gon ay Xn-3. Batay sa nabanggit, masasabi nating ang kabuuang bilang ng mga tamang partisyon na nakapaloob sa pangkat na ito ay Xn-3 X4. Iba pang mga grupo kung saan ang i = 4, 5, 6, 7… ay maglalaman ng Xn-4 X5, Xn-5 X6, Xn-6 X7 … mga regular na partisyon.

Hayaan ang i = n-2, kung gayon ang bilang ng mga tamang partisyon sa pangkat na ito ay magiging kapareho ng bilang ng mga partisyon sa pangkat kung saan ang i=2 (sa madaling salita, katumbas ng Xn-1).

Dahil X1 = X2 = 0, X3=1, X4=2…, ang bilang ng lahat ng partisyon ng convex polygon ay katumbas ng:

Xn = Xn-1 + Xn-2 + Xn-3 X4 + Xn-4 X5 + ... + X 5 Xn-4 + X4 Xn-3 + Xn-2 + Xn-1.

X5 = X4 + X3 + X4 = 5

X6 = X5 + X4 + X4 + X5 = 14

X7 = X6 + X5 + X4 * X4 + X5 + X6 = 42

X8 = X7 + X6 + X5 * X4 + X4 * X5 + X6 + X7 = 132

Ang bilang ng mga regular na partisyon na bumabagtas sa isang dayagonal sa loob

Kapag sinusuri ang mga espesyal na kaso, ang isa ay maaaring dumating sa pagpapalagay na ang bilang ng mga diagonal ng convex n-gons ay katumbas ng produkto ng lahat ng mga partisyon ng figure na ito sa pamamagitan ng (n-3).

Patunay ng palagay na ito: isipin na ang P1n = Xn * (n-3), kung gayon ang anumang n-gon ay maaaring hatiin sa (n-2)-triangles. Bukod dito, ang isang (n-3)-quadrilateral ay maaaring binubuo ng mga ito. Kasama nito, ang bawat quadrilateral ay magkakaroon ng dayagonal. Dahil ang dalawang diagonal ay maaaring iguhit sa matambok na geometric na figure na ito, nangangahulugan ito na ang mga karagdagang (n-3) na diagonal ay maaaring iguhit sa alinmang (n-3)-quadrilaterals. Batay dito, maaari nating tapusin na sa anumang regular na partisyon posible na gumuhit ng (n-3)-diagonal na nakakatugon sa mga kondisyon ng problemang ito.

Lugar ng convex polygons

Kadalasan, kapag nilulutas ang iba't ibang mga problema ng elementarya na geometry, kinakailangan upang matukoy ang lugar ng isang convex polygon. Ipagpalagay na (Xi. Yi), i = 1,2,3… n ay ang pagkakasunud-sunod ng mga coordinate ng lahat ng kalapit na vertices ng isang polygon na walang mga intersection sa sarili. Sa kasong ito, ang lugar nito ay kinakalkula ng sumusunod na formula:

S = ½ (∑ (X i + X i + 1) (Y i + Y i + 1)),

kung saan (X 1, Y 1) = (X n +1, Y n + 1).

Sa pangunahing kursong geometry, napatunayan na ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok n-gon ay 180° (n-2). Lumalabas na ang pahayag na ito ay totoo din para sa mga hindi matambok na polygon.

Theorem 3. Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang arbitrary n-gon ay 180° (n - 2).

Patunay. Hatiin natin ang polygon sa mga tatsulok sa pamamagitan ng pagguhit ng mga dayagonal (Larawan 11). Ang bilang ng naturang mga tatsulok ay n-2, at sa bawat tatsulok ang kabuuan ng mga anggulo ay 180°. Dahil ang mga anggulo ng mga tatsulok ay ang mga anggulo ng polygon, ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon ay 180° (n - 2).

Isaalang-alang natin ngayon ang di-makatwirang saradong mga putol na linya, posibleng may mga intersection sa sarili A1A2...AnA1 (Fig. 12, a). Ang ganitong mga self-intersecting na sirang linya ay tatawaging mga polygon na hugis-bituin (Larawan 12, b-d).

Ayusin natin ang direksyon ng pagbibilang ng mga anggulo nang pakaliwa. Tandaan na ang mga anggulo na nabuo ng isang saradong polyline ay nakasalalay sa direksyon kung saan ito tinatahak. Kung ang direksyon ng polyline bypass ay baligtad, ang mga anggulo ng polygon ay ang mga anggulo na umakma sa mga anggulo ng orihinal na polygon hanggang 360°.

Kung ang M ay isang polygon na nabuo sa pamamagitan ng isang simpleng saradong putol na linya na dumadaan sa direksyong pakanan (Larawan 13, a), kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon na ito ay magiging katumbas ng 180 ° (n - 2). Kung ang sirang linya ay naipasa sa counterclockwise na direksyon (Larawan 13, b), kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ay magiging katumbas ng 180 ° (n + 2).

Kaya, ang pangkalahatang pormula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang polygon na nabuo ng isang simpleng saradong polyline ay may anyo = 180 ° (n 2), kung saan ang kabuuan ng mga anggulo, n ay ang bilang ng mga anggulo ng polygon, " +" o "-" ay kinuha depende sa direksyon ng pag-bypass sa polyline.

Ang aming gawain ay upang makakuha ng isang formula para sa kabuuan ng mga anggulo ng isang arbitrary na polygon na nabuo ng isang saradong (posibleng self-intersecting) polyline. Upang gawin ito, ipinakilala namin ang konsepto ng antas ng isang polygon.

Ang antas ng isang polygon ay ang bilang ng mga rebolusyon na ginawa ng isang punto sa panahon ng isang kumpletong sunud-sunod na bypass ng mga gilid nito. Bukod dito, ang mga pagliko na ginawa sa counterclockwise na direksyon ay isinasaalang-alang na may "+" sign, at ang mga liko sa clockwise direksyon - na may "-" sign.

Malinaw na ang antas ng isang polygon na nabuo ng isang simpleng saradong putol na linya ay +1 o -1, depende sa direksyon ng traversal. Ang antas ng putol na linya sa Figure 12, a ay katumbas ng dalawa. Ang antas ng mga star heptagons (Larawan 12, c, d) ay katumbas ng dalawa at tatlo, ayon sa pagkakabanggit.

Ang paniwala ng degree ay parehong tinukoy para sa mga saradong kurba sa eroplano. Halimbawa, ang antas ng kurba na ipinapakita sa Figure 14 ay dalawa.

Upang mahanap ang antas ng isang polygon o curve, maaari kang magpatuloy bilang mga sumusunod. Ipagpalagay na, ang paglipat sa kahabaan ng curve (Larawan 15, a), kami, simula sa isang lugar A1, gumawa ng isang buong pagliko, at natapos sa parehong punto A1. Alisin natin ang kaukulang seksyon mula sa kurba at magpatuloy sa paggalaw sa natitirang kurba (Larawan 15b). Kung, simula sa ilang lugar A2, muli kaming gumawa ng isang buong pagliko at nakarating sa parehong punto, pagkatapos ay tanggalin namin ang kaukulang seksyon ng curve at magpatuloy sa paglipat (Larawan 15, c). Ang pagbibilang ng bilang ng mga malalayong seksyon na may mga palatandaan na "+" o "-", depende sa kanilang direksyon ng bypass, nakuha namin ang nais na antas ng curve.

Theorem 4. Para sa isang arbitrary polygon, ang formula

180° (n+2m),

kung saan ang kabuuan ng mga anggulo, n ay ang bilang ng mga anggulo, m ay ang antas ng polygon.

Patunay. Hayaang may degree na m ang polygon M at ayon sa kaugalian ay ipinapakita sa Figure 16. Ang M1, …, Mk ay mga simpleng saradong putol na linya, na dumadaan kung saan ang punto ay lumiliko nang buo. Ang A1, …, Ak ay ang kaukulang mga punto ng intersection sa sarili ng polyline, na hindi mga vertices nito. Tukuyin natin ang bilang ng mga vertices ng polygon M na kasama sa polygons M1, …, Mk sa pamamagitan ng n1, …, nk, ayon sa pagkakabanggit. Dahil, bilang karagdagan sa mga vertices ng polygon M, vertices A1, …, Ak ay idinagdag sa mga polygons na ito, ang bilang ng mga vertices ng polygons M1, …, Mk ay magiging katumbas ng n1+1, …, nk+1, ayon sa pagkakabanggit. Kung gayon ang kabuuan ng kanilang mga anggulo ay magiging katumbas ng 180° (n1+12), …, 180° (nk+12). Ang plus o minus ay kinuha depende sa direksyon ng pag-bypass ng mga sirang linya. Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon M0, na natitira mula sa polygon M pagkatapos ng pag-alis ng mga polygon M1, ..., Mk, ay katumbas ng 180° (n-n1- ...-nk+k2). Ang mga kabuuan ng mga anggulo ng polygons M0, M1, …, Mk ay nagbibigay ng kabuuan ng mga anggulo ng polygon M, at sa bawat vertex A1, …, Ak ay nakakakuha din tayo ng 360°. Samakatuwid, mayroon tayong pagkakapantay-pantay

180° (n1+12)+…+180° (nk+12)+180° (n-n1-…-nk+k2)=+360°k.

180° (n2…2) = 180° (n+2m),

kung saan ang m ay ang antas ng polygon M.

Bilang isang halimbawa, isaalang-alang ang pagkalkula ng kabuuan ng mga anggulo ng isang limang-tulis na asterisk (Larawan 17, a). Ang antas ng kaukulang closed polyline ay -2. Samakatuwid, ang nais na kabuuan ng mga anggulo ay 180.

putol na linya

Kahulugan

putol na linya, o mas maikli, putol na linya, ay tinatawag na isang may hangganang pagkakasunod-sunod ng mga segment, na ang isa sa mga dulo ng unang segment ay nagsisilbing dulo ng pangalawa, ang kabilang dulo ng pangalawang segment ay nagsisilbing dulo ng pangatlo, at iba pa. Sa kasong ito, ang mga katabing segment ay hindi nakahiga sa parehong tuwid na linya. Ang mga segment na ito ay tinatawag na polyline links.

Mga uri ng putol na linya

Ang putol na linya ay tinatawag sarado kung ang simula ng unang bahagi ay kasabay ng pagtatapos ng huli.

Ang putol na linya ay maaaring tumawid sa sarili, mahawakan ang sarili, sumandal sa sarili. Kung walang ganoong mga singularidad, kung gayon ang gayong putol na linya ay tinatawag simple lang.

Mga polygon

Kahulugan

Ang isang simpleng saradong polyline, kasama ang isang bahagi ng eroplano na nakatali nito, ay tinatawag polygon.

Magkomento

Sa bawat vertex ng isang polygon, ang mga gilid nito ay tumutukoy sa ilang anggulo ng polygon. Maaari itong maging mas mababa kaysa sa na-deploy, o higit pa kaysa sa na-deploy.

Ari-arian

Ang bawat polygon ay may anggulo na mas mababa sa $180^\circ$.

Patunay

Hayaang magbigay ng polygon $P$.

Gumuhit tayo ng ilang tuwid na linya na hindi bumabagtas dito. Ililipat namin ito parallel sa gilid ng polygon. Sa isang punto, sa unang pagkakataon ay nakakuha kami ng isang linya na $a$ na may kahit isang karaniwang punto na may polygon na $P$. Ang polygon ay nasa isang gilid ng linyang ito (bukod dito, ang ilan sa mga punto nito ay nasa linyang $a$).

Ang linyang $a$ ay naglalaman ng kahit isang vertex ng polygon. Ang dalawang panig nito ay nagtatagpo sa loob nito, na matatagpuan sa parehong gilid ng linyang $a$ (kabilang ang kaso kapag ang isa sa kanila ay nasa linyang ito). Kaya, sa tuktok na ito, ang anggulo ay mas mababa kaysa sa nabuo.

Kahulugan

Ang polygon ay tinatawag matambok kung ito ay nasa isang gilid ng bawat linya na naglalaman ng gilid nito. Kung ang polygon ay hindi matambok, ito ay tinatawag hindi matambok.

Magkomento

Ang convex polygon ay ang intersection ng mga kalahating eroplano na nakatali ng mga linya na naglalaman ng mga gilid ng polygon.

Mga katangian ng isang convex polygon

Ang isang convex polygon ay may lahat ng mga anggulo na mas mababa sa $180^\circ$.

Ang isang segment ng linya na nagkokonekta sa alinmang dalawang punto ng isang matambok na polygon (sa partikular, alinman sa mga diagonal nito) ay nakapaloob sa polygon na ito.

Patunay

Patunayan natin ang unang pag-aari

Kumuha ng anumang sulok na $A$ ng isang matambok na polygon na $P$ at ang gilid nito na $a$ na nagmumula sa vertex na $A$. Hayaang ang $l$ ay isang linyang naglalaman ng gilid na $a$. Dahil ang polygon na $P$ ay matambok, ito ay nasa isang gilid ng linyang $l$. Samakatuwid, ang anggulong $A$ nito ay nasa magkabilang panig din ng linyang ito. Kaya't ang anggulo na $A$ ay mas mababa kaysa sa itinuwid na anggulo, iyon ay, mas mababa sa $180^\circ$.

Pinatunayan namin ang pangalawang pag-aari

Kumuha ng alinmang dalawang puntos na $A$ at $B$ ng isang matambok na polygon na $P$. Ang polygon na $P$ ay ang intersection ng ilang kalahating eroplano. Ang segment na $AB$ ay nasa bawat kalahating eroplanong ito. Samakatuwid, ito ay nakapaloob din sa polygon na $P$.

Kahulugan

Diagonal na polygon ay tinatawag na isang segment na nagkokonekta sa mga hindi kalapit na vertices nito.

Theorem (sa bilang ng mga diagonal ng isang n-gon)

Ang bilang ng mga diagonal ng isang matambok na $n$-gon ay kinakalkula ng formula na $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Patunay

Mula sa bawat taluktok ng isang n-gon ang isa ay maaaring gumuhit ng $n-3$ na mga diagonal (ang isa ay hindi maaaring gumuhit ng dayagonal sa mga kalapit na vertex at sa mismong vertex na ito). Kung bibilangin natin ang lahat ng posibleng mga segment, magkakaroon ng $n\cdot(n-3)$, dahil mayroong $n$ vertices. Ngunit ang bawat dayagonal ay bibilangin nang dalawang beses. Kaya, ang bilang ng mga diagonal ng isang n-gon ay $\dfrac(n(n-3))(2)$.

Theorem (sa kabuuan ng mga anggulo ng isang n-gon)

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang matambok na $n$-gon ay $180^\circ(n-2)$.

Patunay

Isaalang-alang ang isang $n$-gon $A_1A_2A_3\ldots A_n$.

Kumuha ng arbitrary point na $O$ sa loob ng polygon na ito.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng lahat ng tatsulok $A_1OA_2$, $A_2OA_3$, $A_3OA_4$, \ldots, $A_(n-1)OA_n$ ay $180^\circ\cdot n$.

Sa kabilang banda, ang kabuuan na ito ay ang kabuuan ng lahat ng panloob na anggulo ng polygon at ang kabuuang anggulo $\angle O=\angle 1+\angle 2+\angle 3+\ldots=30^\circ$.

Kung gayon ang kabuuan ng mga anggulo ng itinuturing na $n$-gon ay katumbas ng $180^\circ\cdot n-360^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Bunga

Ang kabuuan ng mga anggulo ng isang hindi matambok na $n$-gon ay $180^\circ(n-2)$.

Patunay

Isaalang-alang ang isang polygon na $A_1A_2\ldots A_n$ na ang tanging anggulo na $\angle A_2$ ay hindi matambok, ibig sabihin, $\angle A_2>180^\circ$.

Tukuyin natin ang kabuuan ng kanyang nahuli na $S$.

Ikonekta ang mga puntos na $A_1A_3$ at isaalang-alang ang polygon na $A_1A_3\ldots A_n$.

Ang kabuuan ng mga anggulo ng polygon na ito ay:

$180^\circ\cdot(n-1-2)=S-\angle A_2+\angle 1+\angle 2=S-\angle A_2+180^\circ-\angle A_1A_2A_3=S+180^\circ-( \angle A_1A_2A_3+\angle A_2)=S+180^\circ-360^\circ$.

Samakatuwid, $S=180^\circ\cdot(n-1-2)+180^\circ=180^\circ\cdot(n-2)$.

Kung ang orihinal na polygon ay may higit sa isang hindi matambok na sulok, kung gayon ang operasyong inilarawan sa itaas ay maaaring gawin sa bawat naturang sulok, na hahantong sa pagpapatunay ng assertion.

Theorem (sa kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang convex n-gon)

Ang kabuuan ng mga panlabas na anggulo ng isang matambok na $n$-gon ay $360^\circ$.

Patunay

Ang panlabas na anggulo sa vertex $A_1$ ay $180^\circ-\angle A_1$.

Ang kabuuan ng lahat ng mga panlabas na anggulo ay:

$\sum\limits_(n)(180^\circ-\angle A_n)=n\cdot180^\circ - \sum\limits_(n)A_n=n\cdot180^\circ - 180^\circ\cdot(n -2)=360^\circ$.