Definition. Hereinlassen n wiederholte Experimente (Tests) irgendein Ereignis SONDERN kam n / a einmal.
Anzahl n / a wird als Häufigkeit des Ereignisses bezeichnet SONDERN , und das Verhältnis
wird als relative Häufigkeit (oder Häufigkeit) des Ereignisses bezeichnet SONDERN in dieser Testreihe.
Relative Frequenzeigenschaften
Die relative Häufigkeit eines Ereignisses hat die folgenden Eigenschaften.
1. Die Häufigkeit eines jeden Ereignisses liegt im Bereich von null bis eins, d.h.
2. Die Häufigkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h.
3. Die Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1, d.h.
4. Die Häufigkeit der Summe von zwei unvereinbare Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeiten (Frequenzen) dieser Ereignisse, d.h. wenn =Ø, dann
Frequenz hat Eigentum , Eigenschaft genannt statistische Stabilität : mit steigender Versuchszahl (d.h. mit steigender n ) nimmt die Häufigkeit eines Ereignisses Werte nahe der Wahrscheinlichkeit dieses Ereignisses an R .
Definition. Statistische Wahrscheinlichkeit von Ereignis A wird die Zahl genannt, um die die relative Häufigkeit eines Ereignisses schwankt SONDERN bei genug große Zahlen Prüfungen (Experimente) n .
Ereigniswahrscheinlichkeit SONDERN durch das Symbol gekennzeichnet R (SONDERN ) oder R (SONDERN ). Das Erscheinen des Buchstabens als Symbol des Begriffs „Wahrscheinlichkeit“ R bestimmt durch seine Anwesenheit in erster Linie in englisches Wort Wahrscheinlichkeit - Wahrscheinlichkeit.
Entsprechend diese Definition
Statistische Wahrscheinlichkeitseigenschaften
1. Statistische Wahrscheinlichkeit jedes Ereignis SONDERN liegt zwischen null und eins, d.h.
2. Statistische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ( SONDERN= Ø) ist gleich Null, d.h.
3. Statistische Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ( SONDERN= Ω) ist gleich eins, d.h.
4. Statistische Wahrscheinlichkeitssumme unvereinbar Ereignisse ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, d.h. Wenn Ein B= Ø, dann
Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit
Lassen Sie den Versuch mit durchführen n Ergebnisse, die als Gruppe inkompatibler, gleichwahrscheinlicher Ereignisse dargestellt werden können. Der Fall, der das Ereignis verursacht SONDERN , heißt günstig oder günstig, d.h. Ereignis w verursacht ein Ereignis SONDERN , w A .
Definition. Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN heißt das Verhältnis der Zahl m Gelegenheiten, die für dieses Ereignis günstig sind, zu Gesamtzahl n Fälle, d.h.
Eigenschaften der "klassischen" Wahrscheinlichkeit
1. Axiom Nicht-Negativität : Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN ist nichtnegativ, d.h.
R(SONDERN) ≥ 0.
2. Axiom Normalisierung : Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ( SONDERN= Ω) ist gleich eins:
3. Axiom Additivität : die Wahrscheinlichkeit der Summe unvereinbar Ereignisse (oder die Eintrittswahrscheinlichkeit eines von zwei unvereinbaren Ereignissen) ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten dieser Ereignisse, d.h. Wenn Ein B= Ø, dann
Ereigniswahrscheinlichkeit: R() = 1 – R(SONDERN).
Für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist das die Summe irgendein zwei Veranstaltungen SONDERN und BEIM, die richtige formel lautet:
Wenn Veranstaltungen SONDERN und BEIM können nicht gleichzeitig durch einen Test entstehen, d. h. mit anderen Worten, wenn Ein B – unmögliches Ereignis, dann werden sie gerufen unvereinbar oder unvereinbar , und dann R(Ein B) = 0 und die Formel für die Wahrscheinlichkeit der Summe der Ereignisse nimmt eine besonders einfache Form an:
Wenn die Ereignisse SONDERN und BEIM kann als Ergebnis eines Tests auftreten, werden sie genannt kompatibel .
Nützlicher Algorithmus
Beim Finden von Wahrscheinlichkeiten unter Verwendung der klassischen Definition von Wahrscheinlichkeit sollte der folgende Algorithmus befolgt werden.
1. Es ist notwendig, klar zu verstehen, was das Experiment ist.
2. Geben Sie klar an, um was es sich bei dem Ereignis handelt SONDERN, deren Wahrscheinlichkeit gefunden werden soll.
3. Formulieren Sie klar, was ein elementares Ereignis in dem betrachteten Problem darstellen wird. Nachdem man ein elementares Ereignis formuliert und definiert hat, sollte man drei Bedingungen prüfen, die von einer Reihe von Ergebnissen erfüllt werden müssen, d.h. Ω.
6. Bestimmen Sie nach der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit
Beim Lösen von Problemen der häufigste Fehler ist ein unscharfes Verständnis dessen, was als elementares Ereignis angesehen wird w , und die Korrektheit der Konstruktion der Menge und die Korrektheit der Berechnung der Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses hängen davon ab. Üblicherweise wird in der Praxis das einfachste Ergebnis als elementares Ereignis angesehen, das nicht in einfachere „aufgeteilt“ werden kann.
Es gibt mehrere Definitionen des Begriffs Wahrscheinlichkeit. Hier ist eine klassische Definition. Es hängt mit dem Konzept eines günstigen Ergebnisses zusammen. Diese elementaren Ergebnisse (z. B.) bei der Katze. Tritt das für uns interessante Ereignis ein, werden wir dieses Ereignis günstig nennen. Def.: Ver.yu Veranstaltung Eine Benennung. das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen unvereinbaren e. d.h. eine vollständige Gruppe bilden. P(A) = m/n, wobei m die Anzahl von e ist. i., günstig für das Ereignis A; n ist die Anzahl aller möglichen e. und. Prüfungen. Aus der Definition der Wahrscheinlichkeit folgen ihre Eigenschaften:1)ver.(c) eines bestimmten Ereignisses ist immer gleich 1. Ereignis ist sicher, dann alle e. und. Versuche begünstigen dieses Ereignis, d.h. m=n. P(A)=n/n=1; 2) V. unmögliches Ereignis. gleich 0. Weil Ereignis unmöglich ist, dann gibt es kein einziges e. und., günstig für dieses Ereignis, dann m = 0. P(A) = 0/n = 0; 3) v. Zufälliges Ereignis ist ein nicht negativer Wert zwischen 0 und 1, d.h. 0 Die relative Häufigkeit (FR) eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. (NICHT Omega!!!). W(A) = m/n, wobei m die Häufigkeit des Auftretens von Ereignis A ist, n die Gesamtzahl der Versuche ist. Die Definition der Wahrscheinlichkeit erfordert nicht, dass die Tests tatsächlich durchgeführt werden. Die Definition der RON geht davon aus, dass die Tests tatsächlich durchgeführt wurden, d.h. ver. vor dem Experiment berechnet und OC nach dem Experiment. Wenn Experimente unter den gleichen Bedingungen durchgeführt werden, in jeder der Katze. die Anzahl der Versuche ist groß genug, dann zeigt OC St. Stabilität. Diese Eigenschaft besteht darin, dass sich bei verschiedenen Experimenten das OR wenig ändert, je weniger, je mehr Tests durchgeführt werden und um eine bestimmte konstante Zahl schwanken. Diese Nummer ist ver. Eintritt des Ereignisses. Dass. Es wurde experimentell festgestellt, dass der SP als ungefährer Wert der Wahrscheinlichkeit angenommen werden kann. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit geht davon aus, dass die Anzahl der elementaren Ergebnisse eines Versuchs endlich ist. In der Praxis trifft man oft auf Tests, die Zahl der möglichen Ergebnisse ist eine Katze. endlos. In solchen Fällen klassische Definition unzutreffend. Zusammen mit dem Klassiker def. Statistik verwenden. Def.: Stat. ver. (r.v.) Ereignisse - relative Häufigkeit (RC) oder eine Zahl in der Nähe davon. St-va-Wahrscheinlichkeiten aus der klassischen. Definitionen bleiben in der Statistik erhalten. Wenn das Ereignis zuverlässig ist, dann ist sein OC = 1, d. h. st.v. auch =1. Wenn das Ereignis unmöglich ist, dann ist ROI = 0, d. h. st.v. auch = 0. Für jedes Ereignis 0W(A) 1, sl-Nr. st.v. liegt zwischen 0 und 1. Für die Existenz des st.v. erforderlich: 1) die Fähigkeit zur zumindest grundsätzlichen Durchführung ist unbegrenzt. die Anzahl der Versuche bei jeder Katze. das Ereignis eintritt oder nicht eintritt; 2) die Stabilität des OR des Auftretens eines Ereignisses in verschiedenen Reihen einer ausreichend großen Anzahl von Versuchen. Der Nachteil der Statistik Definitionen ist die Mehrdeutigkeit von Art. Wenn sich beispielsweise aufgrund einer ausreichend großen Anzahl von Tests herausstellt, dass das OR sehr nahe bei 0,6 liegt, kann diese Zahl als st.v angenommen werden. Aber als Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses kann man nicht nur 0,6 nehmen, sondern auch 0,59 und 0,61. Gegenstand der Wahrscheinlichkeitstheorie. Studie. Ereignisklassifizierung. Die Wahrscheinlichkeitstheorie ist ein Zweig der Mathematik, der die Muster untersucht, die in massenhomogenen Tests (MOTs) auftreten. Ein Test ist ein Komplex aus beliebigen Bedingungen, Aktionen. MY - das sind Tests, die man theoretisch unbegrenzt fortsetzen kann (Studium, Umfragen, Münzwurf). Das Testergebnis ist das mögliche Ergebnis des Tests. Ein Ereignis ist eine Abstraktion des Ergebnisses eines Tests (ob ein Phänomen im MJ aufgetreten ist oder nicht). Zum Beispiel ist das Werfen einer Münze ein Test, während das Erscheinen eines „Adlers“ ein Ereignis ist. Das Ereignis wird normalerweise mit großem Lat bezeichnet. Buchstaben A, B, C. EREIGNISARTEN: 1. Ein bestimmtes Ereignis wird als Ereignis bezeichnet, das bei jedem Ergebnis des Tests auftritt. 2. Unmöglich – tritt bei keinem Ergebnis des Tests auf. 3. Zufällig – kann als Ergebnis des Tests auftreten oder nicht. zB Ein Würfel wird geworfen. Ereignis A - die Anzahl der Punkte ist nicht > 6: signifikant. Ereignis B - Punktzahl > 6: unmöglich. Ereignis C - 1 bis 6: Zufällig. ZUFÄLLIGE EREIGNISSE 1. Äquivalent – diejenigen, bei denen die einzelnen Ergebnisse des Tests gleich sind. B. einen König, ein Ass, eine Dame oder einen Buben aus einem Kartenspiel ziehen. 2. Es kommen nur solche in Frage, von denen mindestens einer sicher im Test vorkommt. Beispiel: Es gibt 2 Kinder in einer Familie: A - 2 Jungen, B - 2 Mädchen, C - 1 m und 1 d. Kombinatorik. Grundformeln der Kombinatorik. Kombinatorik ist die Wissenschaft der Verbindungen. Unter einer Verbindung wird jede Menge von Elementen einer bestimmten Menge verstanden. ZB sitzen viele Studenten im Publikum. Alle Verbindungen werden in 3 Gruppen eingeteilt: 1) Unterkunft. R-mi von n el-t auf m () werden solche Verbindungen genannt, die sich entweder in der Zusammensetzung des el-t oder in der Reihenfolge der Verbindung des el-t oder beidem voneinander unterscheiden. Anm = n!/(n-m)! Aufgabe. Wie viele verschiedene 2-stellige Zahlen können aus einer Reihe von Ziffern (1; 2; 3; 4) gemacht werden, und damit die Ziffern der Zahl unterschiedlich sind. Und aus 4 mal 2 = 4!/(4-2)! = 24/2=12 2) Kombinationen. Kombinationen von n Elementen mal m sind solche Verbindungen, die sich nur in der Zusammensetzung der Elemente voneinander unterscheiden (die Reihenfolge spielt keine Rolle) Von n nach m = n!/m!*(n-m)! Aufgabe. Auf wie viele Arten kann eine Gruppe von 30 Personen Gutscheine an das Ussuri-Sanatorium verteilen. C von 30 mal 3 = 30!/3!*(30-3)! = 28*29*30/1*2*3 = 4060. 3) Permutationen (Pn). Permutationen von n Elementen sind solche Verbindungen, die alle n Elemente umfassen und sich nur in der Reihenfolge ihrer Verknüpfung voneinander unterscheiden. Aufgabe. Auf wie viele Arten können 6 Kadetten auf dem Exerzierplatz aufgestellt werden? SUMMENREGEL - wenn Objekt a auf s verschiedene Arten und Objekt b auf r verschiedene Arten aus der Menge ausgewählt werden kann, dann kann die Wahl eines der Elemente a oder bar auf r + s verschiedene Arten erfolgen. PRODUKTREGEL - wenn Objekt a auf s verschiedene Arten gewählt werden kann und nach jeder solchen Wahl Objekt b auf r verschiedene Arten gewählt werden kann, dann kann die Wahl eines Paars von Elementen auf r*s verschiedene Arten erfolgen (a und b = r*s). Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit. Wahrscheinlichkeitseigenschaften. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses A ist das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ausgänge zur Gesamtzahl aller gleich möglichen unvereinbaren elementaren Ausgänge, die sich bilden volle Gruppe(P(A)=m/n). EIGENSCHAFTEN IN-TI: 1) V-t bestimmtes Ereignis = 1. weil D ein bestimmtes Ereignis ist, dann begünstigt jedes mögliche Ergebnis des Tests das Ereignis, d.h. m=n. P(D) = m/n = n/n = 1/ 2) Der Wert eines unmöglichen Ereignisses ist Null. weil Ereignis N ist unmöglich, dann spricht keines der elementaren Ergebnisse für das Ereignis, d.h. m=0. P(D) = m/n = 0/n = 0/ 3) Die Zahl eines Zufallsereignisses ist eine positive Zahl zwischen 0 und 1. Ein Zufallsereignis S wird nur um ein Element aus der Gesamtzahl begünstigt. Testergebnisse, d.h. 0 0 Somit erfüllt in-th jedes Ereignisses die doppelte Ungleichung: 0<=P(A)<=1. Relative Frequenz. Stabilität relativer Häufigkeiten. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist das Verhältnis der Anzahl der Versuche, bei denen das Ereignis auftrat, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche. W(A)=m/n, wobei m die Anzahl des Auftretens des Ereignisses ist, n die Gesamtzahl der Versuche ist. V-Th schlägt vor, und die relativen Frequenzfixes. V-Do erfordert nicht, dass die Veranstaltungen stattfanden, und die relative Häufigkeit - erfordert. Mit anderen Worten werden in-te Ereignisse vor den Experimenten berechnet und rel. Frequenz nach. STABILITÄT der relativen Frequenz. Langzeitbeobachtungen haben gezeigt, dass, wenn Experimente unter gleichen Bedingungen durchgeführt werden, bei denen die Anzahl der Tests jeweils ausreichend groß ist, die relative Häufigkeit die Eigenschaft der Stabilität aufweist. Diese Eigenschaft besteht darin, dass sich bei verschiedenen Experimenten die relative Frequenz wenig ändert und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Es stellte sich heraus, dass diese konstante Zahl das Auftreten des Ereignisses W(A) = P(A) ist. Der STATISTISCHE Teil eines Ereignisses ist die Zahl, um die sich die relativen Häufigkeiten dieses Ereignisses gruppieren, und unter konstanten Bedingungen und einer unbegrenzten Erhöhung der Anzahl der Tests weicht die relative Häufigkeit geringfügig von dieser Zahl ab. namens relative Frequenz ( oder Frequenz) Veranstaltungen SONDERN in der betrachteten Versuchsreihe. Die relative Häufigkeit eines Ereignisses ist wie folgt Eigenschaften: 1. Die Häufigkeit jedes Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h. 2. Die Häufigkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h. 3. Die Häufigkeit eines bestimmten Ereignisses ist 1, d.h. 4. Die Häufigkeit der Summe zweier inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit Frequenz hat eine andere grundlegende Eigenschaft namens Eigenschaft der statistischen Stabilität: mit zunehmender Anzahl von Experimenten (d.h. n) Es nimmt Werte nahe einer konstanten Zahl an (man sagt: Die Frequenz stabilisiert sich, nähert sich einer bestimmten Zahl, die Frequenz schwankt um eine bestimmte Zahl oder ihre Werte gruppieren sich um eine bestimmte Zahl). So stellte sich beispielsweise im Experiment (K. Pearson) beim Werfen einer Münze heraus, dass die relative Häufigkeit des Erscheinens des Wappens bei 12.000 und 24.000 Würfen 0,5015 bzw. 0,5005 betrug, d.h. die Frequenz nähert sich der Zahl . Die Häufigkeit der Geburt eines Jungen schwankt, wie Beobachtungen zeigen, um die Zahl 0,515. Beachten Sie, dass die Wahrscheinlichkeitstheorie nur solche Massenzufallsphänomene mit ungewissem Ausgang untersucht, für die die Stabilität der relativen Häufigkeit angenommen wird. Statistische Definition der Wahrscheinlichkeit Für die mathematische Untersuchung eines zufälligen Ereignisses ist es notwendig, eine Art quantitative Bewertung des Ereignisses einzuführen. Es ist klar, dass einige Ereignisse mit größerer Wahrscheinlichkeit („wahrscheinlicher“) eintreten als andere. Eine solche Einschätzung ist Ereigniswahrscheinlichkeit,
jene. eine Zahl, die den Wahrscheinlichkeitsgrad ihres Auftretens in dem betrachteten Experiment ausdrückt. Es gibt mehrere mathematische Definitionen der Wahrscheinlichkeit, die sich alle ergänzen und verallgemeinern. Stellen Sie sich ein Experiment vor, das beliebig oft wiederholt werden kann (man sagt: „Wiederholte Tests werden durchgeführt“), bei dem irgendein Ereignis beobachtet wird SONDERN. Statistische Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen SONDERN die Zahl, um die die relative Häufigkeit des Ereignisses schwankt A für eine genügend große Anzahl von Versuchen (Experimenten). Ereigniswahrscheinlichkeit SONDERN durch das Symbol gekennzeichnet R(SONDERN). Nach dieser Definition: Mathematische Begründung der Nähe der relativen Häufigkeit und Wahrscheinlichkeit R(SONDERN) irgendein Ereignis SONDERN ist der Satz von J. Bernoulli. Wahrscheinlichkeiten R(SONDERN) werden die Eigenschaften 1-4 der relativen Häufigkeit zugeschrieben: 1. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h. 2. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h. 3. Die statistische Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist gleich 1, d.h. 4. Die statistische Wahrscheinlichkeit der Summe zweier unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d. h. wenn, dann Die auf realen Erfahrungen basierende statistische Methode der Wahrscheinlichkeitsbestimmung offenbart den Inhalt dieses Begriffs ziemlich vollständig. Der Nachteil der statistischen Definition ist die Mehrdeutigkeit der statistischen Wahrscheinlichkeit; so kann im Beispiel des Münzwurfs nicht nur die Zahl 0,5, sondern auch 0,49 oder 0,51 usw. als Wahrscheinlichkeit genommen werden. Um die Wahrscheinlichkeit zuverlässig zu bestimmen, müssen Sie eine Vielzahl von Tests durchführen, was nicht immer einfach oder billig ist. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Es gibt eine einfache Möglichkeit, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses zu bestimmen, basierend auf der Gleichwahrscheinlichkeit einer endlichen Anzahl von Ergebnissen der Erfahrung. Lassen Sie den Versuch mit durchführen n Ergebnisse, die dargestellt werden können als vollständige Gruppe von inkompatiblen gleichwahrscheinlichen Veranstaltungen. Solche Ergebnisse werden aufgerufen Chancen, Chancen, elementare Ereignisse, Erfahrung - klassisch. Eine solche Erfahrung soll reduziert werden Falldiagramm oder Urnenschema(da das Wahrscheinlichkeitsproblem für ein solches Experiment durch ein äquivalentes Problem mit Urnen mit verschiedenfarbigen Kugeln ersetzt werden kann). Fall w, der das Ereignis verursacht SONDERN, wird genannt günstig(oder günstig) für ihn, d.h. der Fall w beinhaltet das Ereignis EIN: . Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN heißt das Verhältnis der Zahl m Fälle, die für dieses Ereignis günstig sind, auf die Gesamtzahl n Fälle, d.h. Zusammen mit der Bezeichnung R(SONDERN) für die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses SONDERN Notation verwendet wird R, d.h. p=p(SONDERN). Aus der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit folgt Folgendes. Eigenschaften: 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h. 3. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich 1, d.h. 4. Die Wahrscheinlichkeit der Summe unvereinbarer Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d. h. wenn, dann Beispiel 1.3. Eine Urne enthält 12 weiße und 8 schwarze Kugeln. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine zufällig gezogene Kugel weiß ist? Entscheidung: Lassen SONDERN- ein Ereignis, das darin besteht, dass eine weiße Kugel gezogen wird. Es ist klar, dass dies die Anzahl aller gleichermaßen möglichen Fälle ist. Anzahl der für das Ereignis günstigen Zeiten SONDERN, ist gleich 12, d.h. . Daher gilt nach Formel (1.3): , d.h. . Geometrische Definition von Wahrscheinlichkeiten Die geometrische Definition der Wahrscheinlichkeit wird in dem Fall verwendet, in dem die Ergebnisse der Erfahrung gleichermaßen möglich sind und die PES eine unendliche, nicht zählbare Menge ist. Betrachten wir einen Bereich Ω auf der Ebene mit der Fläche und innerhalb des Bereichs Ω ,
Region D mit Fläche S D(Siehe Abb. 6). Im Bereich Ω wird zufällig ein Punkt ausgewählt X. Diese Auswahl kann interpretiert werden als Wurfpunkt X in die RegionΩ. In diesem Fall ist das Treffen eines Punktes im Bereich Ω ein zuverlässiges Ereignis, in D- zufällig. Es wird angenommen, dass alle Punkte des Definitionsbereichs Ω gleichberechtigt sind (alle Elementarereignisse sind gleichermaßen möglich), d.h. dass der geworfene Punkt in jeden Punkt des Bereichs Ω fallen kann und die Wahrscheinlichkeit, in den Bereich zu fallen D proportional zur Fläche dieser Region und hängt nicht von ihrer Lage und Form ab. Lassen Sie das Ereignis , d.h. Der geworfene Punkt fällt in den Bereich D. Reis. 6 geometrische Wahrscheinlichkeit Veranstaltungen SONDERN heißt Flächenverhältnis D in den Bereich der Domäne Ω, d.h. in dieser Sekunde: wo durch mes Maße, l, V) Bereiche. Geometrische Wahrscheinlichkeit hat alles Eigenschaften in der klassischen Definition enthalten: 1. Die geometrische Wahrscheinlichkeit jedes Ereignisses liegt zwischen null und eins, d.h. 2. Die geometrische Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h. 3. Die geometrische Wahrscheinlichkeit eines bestimmten Ereignisses ist gleich 1, d.h. 4. Die geometrische Wahrscheinlichkeit der Summe inkompatibler Ereignisse ist gleich der Summe der Häufigkeit dieser Ereignisse, d.h. wenn, dann Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit Wahrscheinlichkeit
- eines der Grundkonzepte der Wahrscheinlichkeitstheorie. Es gibt mehrere Definitionen dieses Begriffs. Wahrscheinlichkeit
ist eine Zahl, die den Wahrscheinlichkeitsgrad des Eintretens eines Ereignisses charakterisiert. Jedes der möglichen Testergebnisse wird aufgerufen elementares Ergebnis (Elementarereignis). Bezeichnungen: …, Jene elementaren Ergebnisse, in denen das für uns interessante Ereignis eintritt, werden wir nennen günstig. Beispiel: Eine Urne enthält 10 identische Kugeln, von denen 4 schwarz und 6 weiß sind. Ereignis - Aus der Urne wird eine weiße Kugel gezogen. Die Anzahl der günstigen Ergebnisse, bei denen weiße Kugeln aus der Urne gezogen werden, beträgt 4. Das Verhältnis der Anzahl der für das Ereignis günstigen Elementarergebnisse zu ihrer Gesamtzahl wird als Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet; Notation In unserem Beispiel Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses nennen Sie das Verhältnis der Anzahl der für dieses Ereignis günstigen Ergebnisse zur Gesamtzahl aller gleichermaßen möglichen unvereinbaren Elementarergebnisse, die eine vollständige Gruppe bilden, wo ist die Anzahl der elementaren Ergebnisse, die das Ereignis begünstigen; die Anzahl aller möglichen elementaren Ergebnisse des Tests. Wahrscheinlichkeitseigenschaften: 1. Die Wahrscheinlichkeit für ein bestimmtes Ereignis ist gleich eins, d.h. 2. Die Wahrscheinlichkeit eines unmöglichen Ereignisses ist Null, d.h. e. 3. Die Wahrscheinlichkeit eines zufälligen Ereignisses ist eine positive Zahl zwischen null und eins, d.h. e. oder Unter Berücksichtigung der Eigenschaften 1 und 2, die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses erfüllt die Ungleichung 4
. Grundformeln der Kombinatorik Die Kombinatorik untersucht die Anzahl von Kombinationen unter bestimmten Bedingungen, die aus einer gegebenen endlichen Menge von Elementen beliebiger Natur bestehen können. Bei der direkten Berechnung von Wahrscheinlichkeiten werden häufig kombinatorische Formeln verwendet. Wir stellen die am häufigsten verwendeten vor. Permutationen Namenskombinationen, die aus denselben verschiedenen Elementen bestehen und sich nur in der Reihenfolge ihrer Anordnung unterscheiden. Anzahl aller möglichen Permutationen wo Beispiel. Die Anzahl der dreistelligen Zahlen, wenn jede Ziffer nur einmal im Bild einer dreistelligen Zahl enthalten ist, ist Platzierungen sogenannte Kombinationen aus verschiedenen Elementen durch Elemente, die sich entweder in der Zusammensetzung der Elemente oder in ihrer Reihenfolge unterscheiden. Anzahl aller möglichen Platzierungen Beispiel. Die Anzahl der Signale von 6 Flaggen unterschiedlicher Farbe, genommen von 2: Kombinationen sogenannte Kombinationen aus verschiedenen Elementen durch Elemente, die sich durch mindestens ein Element unterscheiden. Anzahl der Kombinationen Beispiel. Anzahl der Möglichkeiten, zwei Teile aus einer Box mit 10 Teilen auszuwählen: Die Anzahl der Platzierungen, Permutationen und Kombinationen sind gleich Beim Lösen von Problemen verwendet die Kombinatorik die folgenden Regeln: Summenregel.
Wenn ein Objekt aus einer Menge von Objekten auf Arten ausgewählt werden kann und ein anderes Objekt auf Arten ausgewählt werden kann, dann kann entweder , oder auf Arten ausgewählt werden. Produktregel.
Wenn ein Objekt aus einer Sammlung von Objekten auf Arten ausgewählt werden kann und nach jeder solchen Auswahl das Objekt auf Arten ausgewählt werden kann, dann kann ein Paar von Objekten in dieser Reihenfolge auf Arten ausgewählt werden. Relative Frequenz zudem
ist das Grundkonzept der Wahrscheinlichkeitstheorie. Relative Frequenz Ereignisse sind das Verhältnis der Anzahl der Versuche, in denen das Ereignis aufgetreten ist, zur Gesamtzahl der tatsächlich durchgeführten Versuche und wird durch die Formel bestimmt wobei ist die Anzahl der Vorkommen des Ereignisses in Versuchen, die Gesamtzahl der Versuche. Beim Vergleich der Definitionen von Wahrscheinlichkeit und relativer Häufigkeit kommen wir zu dem Schluss, dass die Definition von Wahrscheinlichkeit kein Testen erfordert und die Definition von relativer Häufigkeit das eigentliche Testen beinhaltet. Langzeitbeobachtungen zeigen, dass bei der Durchführung von Experimenten unter gleichen Bedingungen die relative Frequenz die Eigenschaft der Stabilität hat. Diese Eigenschaft besteht darin, dass bei verschiedenen Versuchsreihen die relative Testhäufigkeit von Serie zu Serie wenig variiert und um eine bestimmte konstante Zahl schwankt. Diese konstante Zahl ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Ereignis eintritt. Die klassische Definition der Wahrscheinlichkeit hat einige Nachteile: 1) die Anzahl der elementaren Ergebnisse des Tests ist endlich, in der Praxis kann diese Anzahl unendlich sein; 2) sehr oft kann das Testergebnis nicht als eine Reihe elementarer Ereignisse dargestellt werden; Aus diesen Gründen wird neben der klassischen Definition der Wahrscheinlichkeit eine statistische Definition verwendet: in Qualität statistische Wahrscheinlichkeit Ereignisse nehmen eine relative Häufigkeit an.
4. Relative Häufigkeit. Relative Frequenzstabilität.
5. Statistische Wahrscheinlichkeit.
diese Ereignisse, d.h. wenn, dann 
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(1.2)
.
(1.3)
Das wird akzeptiert
,
