Geometrian kurssi on laaja, laaja ja monipuolinen: se sisältää monia erilaisia ​​aiheita, säännöt, lauseet ja hyödyllistä tietoa. Voidaan kuvitella, että kaikki maailmassamme koostuu yksinkertaisista, jopa monimutkaisimmista. Pisteet, viivat, tasot - kaikki tämä on elämässäsi. Ja he ovat mukautuvia olemassa oleviin maailmanlakeihin, jotka koskevat esineiden suhdetta avaruudessa. Tämän todistamiseksi voidaan yrittää todistaa suorien ja tasojen yhdensuuntaisuus.

Suora viiva on viiva, joka yhdistää kaksi pistettä lyhimmän polun varrella ilman päättymistä ja joka kestää molemmin puolin äärettömään. Taso on pinta, joka muodostuu suoran generaattorin kinemaattisen liikkeen aikana ohjainta pitkin. Toisin sanoen, jos millä tahansa kahdella suoralla on leikkauspiste avaruudessa, ne voivat olla myös samassa tasossa. Mutta kuinka ilmaista suoria, jos nämä tiedot eivät riitä tällaiseen väitteeseen?

Suoran ja tason yhdensuuntaisuuden pääehto on, että niillä ei ole yhteisiä kohtia. Toisin kuin suorat viivat, jotka yhteisten pisteiden puuttuessa eivät välttämättä ole yhdensuuntaisia, vaan hajottavia, taso on kaksiulotteinen, mikä sulkee pois sellaisen asian kuin eroavat suorat. Jos tämä ehto yhdensuuntaisuutta ei havaita - se tarkoittaa, että suora leikkaa tietyn tason yhdessä pisteessä tai on siinä kokonaan.

Mitä suoran ja tason yhdensuuntaisuuden ehto osoittaa meille selkeimmin? Se tosiasia, että missä tahansa avaruuden pisteessä yhdensuuntaisen suoran ja tason välinen etäisyys on vakio. Kun on olemassa pieninkin, asteen miljardisosissa, kaltevuus, suora ennemmin tai myöhemmin ylittää tason keskinäisen äärettömyyden vuoksi. Siksi suoran ja tason samansuuntaisuus on mahdollista vain, jos tätä sääntöä noudatetaan, muuten sen pääehtoa - yhteisten pisteiden puuttumista - ei noudateta.

Mitä voidaan lisätä, kun puhutaan suorien ja tasojen yhdensuuntaisuudesta? Se, että jos yksi yhdensuuntaisista viivoista kuuluu tasoon, niin toinen on joko yhdensuuntainen tason kanssa tai kuuluu myös siihen. Kuinka se todistetaan? Suoran ja tietyn kanssa yhdensuuntaisen suoran sisältävän tason yhdensuuntaisuus todistetaan hyvin yksinkertaisesti. niillä ei ole yhteisiä pisteitä - siksi ne eivät leikkaa. Ja jos suora ei leikkaa tasoa yhdessä pisteessä, se on joko yhdensuuntainen tai on tasossa. Tämä todistaa jälleen kerran suoran ja tason, jolla ei ole leikkauspisteitä, yhdensuuntaisuuden.

Geometriassa on myös lause, joka sanoo, että jos on kaksi tasoa ja suora, joka on kohtisuorassa molempiin nähden, niin tasot ovat yhdensuuntaiset. Samanlainen lause sanoo, että jos kaksi suoraa ovat kohtisuorassa johonkin tasoon nähden, ne ovat välttämättä yhdensuuntaisia ​​​​toistensa kanssa. Onko näillä lauseilla ilmaistu suorien ja tasojen yhdensuuntaisuus oikea ja todistettavissa?

Osoittautuu, että on. Suoraan, kohtisuorassa tasoon nähden, on aina tiukasti kohtisuorassa mihin tahansa linjaan, joka on annetussa tasossa ja jolla on myös leikkauspiste toisen suoran kanssa. Jos suoralla on samanlaiset leikkauspisteet useiden tasojen kanssa ja se on kaikissa tapauksissa kohtisuorassa niihin nähden, niin kaikki nämä tasot ovat yhdensuuntaisia ​​toistensa kanssa. hyvä esimerkki lasten pyramidi voi palvella: sen akseli on haluttu kohtisuora viiva ja pyramidin renkaat ovat tasoja.

Siksi suoran ja tason samansuuntaisuus on melko helppoa todistaa. Koululaiset hankkivat nämä tiedot opiskellessaan geometrian perusteita, ja ne määräävät suurelta osin materiaalin omaksumisen. Jos osaat käyttää koulutuksen alussa hankittua tietoa oikein, on mahdollista toimia missä Suuri määrä kaavoja ja ohita tarpeettomat loogiset linkit niiden välillä. Pääasia on ymmärtää perusasiat. Jos sitä ei ole, geometrian tutkimusta voidaan verrata rakentamiseen ilman perustusta. Siksi Tämä aihe vaatii tarkkaa huomiota ja perusteellista tutkimusta.

Yhdensuuntaisten viivojen määritelmä ja niiden ominaisuudet avaruudessa ovat samat kuin tasossa (ks. kohta 11).

Samanaikaisesti yksi tapaus linjojen järjestelystä on mahdollista avaruudessa - vinoviivat. Viivoja, jotka eivät leikkaa eivätkä ole samassa tasossa, kutsutaan leikkausviivoiksi.

Kuvassa 121 näkyy olohuoneen pohjaratkaisu. Näet, että suorat, joihin janat AB ja BC kuuluvat, ovat vinossa.

Leikkaavien viivojen välinen kulma on niiden kanssa samansuuntaisten leikkaavien viivojen välinen kulma. Tämä kulma ei riipu siitä, mitkä leikkaavat suorat otetaan.

Yhdensuuntaisten viivojen välisen kulman astemitan oletetaan olevan nolla.

Kahden leikkaavan suoran yhteinen kohtisuora on jana, jonka päät ovat näillä viivoilla ja joka on kohtisuoraan kumpaankin niistä. Voidaan todistaa, että kahdella leikkaavalla suoralla on yhteinen kohtisuora, ja lisäksi vain yksi. Se on näiden viivojen läpi kulkevien yhdensuuntaisten tasojen yhteinen kohtisuora.

Leikkaavien viivojen välinen etäisyys on niiden yhteisen kohtisuoran pituus. Se on yhtä suuri kuin näiden viivojen läpi kulkevien yhdensuuntaisten tasojen välinen etäisyys.

Siten leikkaavien viivojen a ja b välisen etäisyyden löytämiseksi (kuva 122) on piirrettävä yhdensuuntaiset tasot a ja kunkin suoran läpi. Näiden tasojen välinen etäisyys on leikkaavien viivojen a ja b välinen etäisyys. Kuvassa 122 tämä etäisyys on esimerkiksi etäisyys AB.

Esimerkki. Suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia ​​ja suorat c ja d leikkaavat. Voiko jokainen suora a ja leikata molemmat suorat

Ratkaisu. Suorat a ja b ovat samassa tasossa, ja siksi mikä tahansa suora, joka leikkaa niitä, on samassa tasossa. Siksi, jos jokainen suora a, b leikkaa sekä suorat c että d, niin suorat olisivat samassa tasossa suorien a ja b kanssa, eikä näin voi olla, koska suorat leikkaavat.

42. Suoran ja tason rinnakkaisuus.

Suoraa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos ne eivät leikkaa, eli niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Jos suora a on yhdensuuntainen tason a kanssa, he kirjoittavat:.

Kuva 123 esittää suoraa a yhdensuuntaista tason a kanssa.

Jos suoraan, niin ei lentokoneeseen kuuluvaa, on yhdensuuntainen jonkin tämän tason suoran kanssa, niin se on myös yhdensuuntainen itse tason kanssa (merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta).

Tämä teoreema sallii erityinen tilanne Todista, että suora ja taso ovat yhdensuuntaiset. Kuvassa 124 on esitetty suora b, joka on yhdensuuntainen tasossa a olevan suoran a kanssa, eli tason a kanssa yhdensuuntaista suoraa b pitkin, ts.

Esimerkki. Yläosan läpi oikea kulma Suorakaiteen muotoisesta kolmio ABC Taso piirretään samansuuntaisesti hypotenuusan kanssa 10 cm:n etäisyydelle siitä. Jalkojen projektiot tässä tasossa ovat 30 ja 50 cm. Etsi hypotenuusan projektio samasta tasosta.

Ratkaisu. From suorakulmaiset kolmiot BBVC ja (kuva 125) löydämme:

Kolmiosta ABC löydämme:

Hypotenuusan AB projektio tasolle a on . Koska AB on yhdensuuntainen tason a kanssa, niin niin,.

43. Yhdensuuntaiset tasot.

Kahta tasoa kutsutaan rinnakkaiseksi. jos ne eivät risteä.

Kaksi tasoa ovat yhdensuuntaisia", jos toinen niistä on yhdensuuntainen kahden toisessa tasossa olevan leikkaavan suoran kanssa (merkki kahden tason yhdensuuntaisuudesta).

Kuvassa 126 taso a on yhdensuuntainen tasossa olevien leikkaavien viivojen a ja b kanssa, jolloin näitä tasoja pitkin ovat yhdensuuntaiset.

Tietyn tason ulkopuolella olevan pisteen kautta voidaan piirtää annetun tason suuntainen taso, ja lisäksi vain yksi.

Jos kaksi yhdensuuntaista tasoa leikkaavat kolmannen, leikkausviivat ovat yhdensuuntaisia.

Kuvassa 127 on kaksi yhdensuuntaista tasoa, ja taso y leikkaa ne suoria a ja b pitkin. Sitten Lauseen 2.7 avulla voimme väittää, että suorat a ja b ovat yhdensuuntaisia.

Kahden yhdensuuntaisen tason välissä olevat yhdensuuntaisten viivojen segmentit ovat yhtä suuret.

T.2.8:n mukaan kuvassa 128 esitetyt segmentit AB ja ovat yhtä suuret, koska

Anna näiden tasojen leikata. Piirrä taso, joka on kohtisuorassa niiden leikkausviivaan nähden. Se leikkaa nämä tasot kahta suoraa pitkin. Näiden viivojen välistä kulmaa kutsutaan näiden tasojen väliseksi kulmaksi (kuva 129). Tällä tavalla määriteltyjen tasojen välinen kulma ei riipu leikkaustason valinnasta.

Videokurssi "Get an A" sisältää kaikki menestymiseen tarvittavat aiheet kokeen läpäiseminen matematiikassa 60-65 pistettä. Täysin kaikki tehtävät 1-13 profiilikoe matematiikka. Soveltuu myös matematiikan peruskäytön suorittamiseen. Jos haluat läpäistä kokeen 90-100 pisteellä, sinun tulee ratkaista osa 1 30 minuutissa ja ilman virheitä!

Valmennuskurssi tenttiin luokille 10-11 sekä opettajille. Kaikki mitä tarvitset matematiikan tentin osan 1 (ensimmäiset 12 tehtävää) ja tehtävän 13 (trigonometria) ratkaisemiseen. Ja tämä on yli 70 pistettä yhtenäisestä valtionkokeesta, eikä sadan pisteen opiskelija eikä humanisti tule toimeen ilman niitä.

Kaikki tarvittava teoria. Nopeita tapoja ratkaisuja, ansoja ja KÄYTÄ salaisuuksia. Kaikki osan 1 asiaankuuluvat tehtävät FIPI-pankin tehtävistä on analysoitu. Kurssi täyttää täysin USE-2018:n vaatimukset.

Kurssi sisältää 5 suuria aiheita, 2,5 tuntia kukin. Jokainen aihe on annettu tyhjästä, yksinkertaisesti ja selkeästi.

Satoja koetehtäviä. Tekstitehtävät ja todennäköisyysteoria. Yksinkertaiset ja helposti muistettavat ongelmanratkaisualgoritmit. Geometria. Teoria, viitemateriaali, analyysi kaikentyyppisistä USE-tehtävistä. Stereometria. Hankalia ratkaisuja, hyödyllisiä huijauslehtiä, kehitystyötä tilallinen mielikuvitus. Trigonometria tyhjästä - tehtävään 13. Ymmärtäminen tukkeutumisen sijaan. Visuaalinen selitys monimutkaisia ​​käsitteitä. Algebra. Juuret, potenssit ja logaritmit, funktio ja derivaatta. Pohja ratkaisulle haastavia tehtäviä 2 osaa kokeesta.

Alkugeometria tutkii esineiden käsitteitä ja suhteita. Ilman selkeää perustetta on mahdotonta navigoida sisään sovellusalue. Suoran ja tason yhdensuuntaisuuden merkki on ensimmäinen askel avaruuden geometriassa. Alkukategorioiden hallitseminen tuo lähemmäs tarkkuuden, logiikan ja selkeyden kiehtovaan maailmaan.

Yhteydessä

Kohdesuhde: mahdolliset vaihtoehdot

Stereometria on työkalu maailman ymmärtämiseen. Siinä tutkitaan esineiden suhdetta toisiinsa, opetetaan laskemaan etäisyyksiä ilman viivainta. Onnistunut harjoittelu vaatii hallitsee peruskäsitteet.

On pinta a ja viiva l. Objektikorrelaatiota on kolme. Ne määritellään leikkauspisteillä. Helppo muistaa:

• 0 pistettä - yhdensuuntainen;
• 1 piste - leikkaa keskenään;
• äärettömän monta - viiva on tasossa.

Esineiden rinnakkaisuuden merkkiä on helppo kuvata. Pinnalla a on viiva, jossa on || l, sitten l || a.

Yksinkertainen väite vaatii todisteita. Piirretään pinta viivojen läpi: l || c. Ω:ssa a = c. Olkoon minulla yhteinen kohta a:n kanssa. Sen pitäisi olla p. Tämä on ristiriidassa ehdon kanssa: l || c. Silloin l on yhdensuuntainen tason a kanssa. Aloitusasento oikein.

Tärkeä! Avaruudessa on ainakin yksi rivi || tasainen pinta. Tämä on sopusoinnussa alkuperäisen geometrian (planimetrian) lausunnon kanssa.

Yksinkertainen ajatus: a kuuluu useampaan kuin yhteen pisteeseen l, joten suora l kuuluu kokonaan a:lle.

a || vain jos yhden leikkauspisteen puuttuminen.

Tämä on looginen määritelmä suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta.

Helppo löytää käytännön käyttöä määräyksiä. Kuinka todistaa, että yksi suora on yhdensuuntainen tason kanssa?

Tutkitun ominaisuuden käyttäminen riittää.

Mitä on hyödyllistä tietää

Ongelmien pätevän ratkaisun saamiseksi on tutkittava esineiden lisäjärjestelyjä. Pohja on merkki suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta. Sen käyttö helpottaa muiden elementtien ymmärtämistä. Avaruuden geometria ottaa huomioon erikoistapaukset.

Risteyskohdat stereometriassa

Kohteet ovat samat: tasainen pinta a, viivat c, l. Miten ne elävät rinnakkain? Kanssa || l. L leikkaa a. Se on helppo ymmärtää: c leikkaa ehdottomasti a. Tämä idea on lemma tason leikkauksessa yhdensuuntaisten viivojen kanssa.

Toimintakenttä laajenee. Tutkittaviin esineisiin lisätään pinta. Hän omistaa l. Mikään ei muutu alkuperäisissä kohteissa: l || a. Jälleen, se on yksinkertainen: tasojen risteyksen tapauksessa yhteinen linja d || l. Käsite seuraa välittömästi: mitä kahta tasoa kutsutaan leikkaaviksi. Ne, joilla on yhteinen linja.

Mitä lauseita pitää tutkia

Olioiden suhteen pääkäsitteet johtavat päälauseiden kuvaukseen. He ovat vaativat laajemman todisteen. Ensin: lauseet yhden suoran ja tason yhdensuuntaisuudesta. Erilaisia ​​tapauksia harkitaan.

1. Kohteet: pinnat P, Q, R, suorat AB, CD. Ehto: P||Q, R leikkaa ne. Luonnollisesti AB||CD.

1. Tutkimuskohteet: rivit AB, CD, A1B1, C1D1. AB leikkaa CD:n yhdessä tasossa, A1B1 leikkaa C1D1:n toisessa. AB||A1B1, CD||C1D1. Johtopäätös: pinnat, jotka leikkaavat pareittain yhdensuuntaiset viivat, ||.

Uusi käsite syntyy . Risteyslinjat eivät itsessään ole yhdensuuntaisia. vaikka ne sijaitsevat yhdensuuntaisissa tasoissa. Nämä ovat C1D1 ja AB, A1B1 ja CD. Tätä ilmiötä käytetään laajasti käytännön stereometriassa.

Luonnollinen lausunto: yhden risteyksen kautta se on totta kulkee yhden yhdensuuntaisen tason läpi.

1. Sitten on helppo päästä jälkilauseeseen. Tämä on kolmas suoran ja pinnan yhdensuuntaisuutta koskevista väitteistä. Siellä on linja l. Hän || a. minä kuulun. Ω:ssa a = d. Ainoa mahdollinen vaihtoehto on: d || l.

Tärkeä! Suoraa ja tasoa kutsutaan || yhteisten esineiden puuttuessa - pisteitä.

Parallelismin ominaisuudet ja niiden todisteet

Tasaisten pintojen sijainnin käsitteeseen on helppo päästä:

• tyhjä joukko yhteisiä pisteitä (kutsutaan rinnakkain);
• leikkaavat suorassa linjassa.

Niitä käytetään stereometriassa rinnakkaiset ominaisuudet. Jokaisessa tilakuvassa on pintoja ja viivoja. varten onnistunut ratkaisu ongelmia, joita tarvitaan pääteoreemojen tutkimiseen:

• Tutkitut kohteet: a || b; c Ω b = l, c Ω a = m. Lähtö: l||m. Oletus vaatii todisteita. L:n ja m:n sijainti on toinen kahdesta: leikkaa tai yhdensuuntainen. Mutta toisessa tapauksessa pinnoilla ei ole yhteisiä pisteitä. Sitten l || m. Väite on todistettu. On muistettava: jos viiva on tasossa, niillä on useampi kuin yksi leikkauspiste.

• On olemassa pinta a, piste A ei kuulu a:han. Silloin on vain yksi pinta b || a kulkee A:n kautta. Lause on helppo todistaa. Olkoon l Ω m; l, m kuulun a. Jokaisen niistä rakennetaan kone ja A. Hän ylittää a. Siinä on viiva, joka kulkee A:n ja ||:n kautta a. Pisteessä A ne leikkaavat. Ne muodostavat ainoan pinnan b || a.

• Leikkaavat suorat l ja m. Sitten on || pinnat a ja b, joihin l ja m kuuluvat. On loogista tehdä tämä: l ja m valitse mielivaltaisia ​​pisteitä. Siirrä m1 || m, l1 || l. Leikkaavat viivat pareittain || => a || b. Asema on todistettu.

Yhden suoran ja tason yhdensuuntaisuuden ominaisuuksien tuntemus antaa sinun soveltaa niitä taitavasti käytännössä. Yksinkertaiset ja loogiset todisteet auttavat sinua navigoimaan kiehtova maailma stereometria.

Tasot: yhdensuuntaisuuden arviointi

Konseptin kuvaaminen on helppoa. Kysymys: mitä tarkoittaa, että yksi suora ja taso ovat yhdensuuntaiset, ratkaistu. Avaruuden geometrian alkukategorioiden tutkiminen johti monimutkaisempaan lausuntoon.

Päätettäessä sovelletut tehtävät rinnakkaisuus pätee. Yksinkertainen kuvaus: olkoon l Ω m, l1 Ω m1, l, m a, l1, m1 – b. Tässä tapauksessa l || l1, m || m1. Sitten || b.

Ilman sovellusta matemaattiset symbolit: tasojen sanotaan olevan yhdensuuntaisia, jos ne piirretään leikkaavien pareittain yhdensuuntaisten viivojen läpi.

Stereometria ottaa huomioon yhdensuuntaisten tasojen ominaisuudet. Ne kuvataan lauseilla:

Tutkitut kohteet: a || b, a Ω c = l, b Ω c = m. Sitten l || m. Ilmeisesti todiste. ja suorat ovat samassa tasossa, jos ne || tai leikkaavat. Väitettä suoran ja pinnan yhdensuuntaisuudesta tulee soveltaa. Sitten käy selväksi: l ja m eivät voi leikkaaa toisiaan. Ainoa asia jäljellä on l || m.

Suoraa ja tasoa kutsutaan yhdensuuntaisiksi, jos niillä ei ole yhteisiä pisteitä. Jos suora, joka ei ole tietyssä tasossa, on yhdensuuntainen kyseisessä tasossa olevan suoran kanssa

1. Jos taso kulkee tietyn suoran läpi yhdensuuntaisesti toisen tason kanssa ja leikkaa tämän tason, niin tasojen leikkausviiva on yhdensuuntainen annetun suoran kanssa.

2. Jos toinen kahdesta yhdensuuntaisesta suorasta on yhdensuuntainen tietyn tason kanssa ja toisella suoralla on yhteinen piste tason kanssa, tämä suora on annetussa tasossa. tasossa, silloin se on yhdensuuntainen itse tason kanssa.

Suoran ja tason keskinäiset järjestelyt: a) suora on tasossa;

b) suoralla ja tasolla on vain yksi yhteinen piste; c) suoralla ja tasolla ei ole yhteistä pistettä.

2. Suoran janan luonnollisen koon määritys yleisasemassa suorakulmaisen kolmion menetelmällä.

Janan AB luonnollinen arvo (n.v.) yleisasemassa on suorakulmaisen kolmion ABK hypotenuusa. Tässä kolmiossa haara AK on yhdensuuntainen projektioiden π1 tason kanssa ja on yhtä suuri kuin janan A"B" vaakasuora projektio. Jalka BK on yhtä suuri kuin pisteiden A ja B etäisyyksien erotus tasosta π1.

Yleisessä tapauksessa suoran janan luonnollisen koon määrittämiseksi on tarpeen rakentaa suorakulmaisen kolmion hypotenuusa, jonka yksi haara on janan vaaka- (etu-) projektio, toinen haara on jana, joka on yhtä suuri suuruusluokkaa janan ääripisteiden koordinaattien Z (Y) algebralliseen eroon.

Kulma α löytyy suorakulmaisesta kolmiosta - suoran viivan kaltevuuskulma projektioiden vaakatasoon.

Suoran viivan kaltevuuskulman määrittämiseksi etuprojektiotasoon nähden on tarpeen suorittaa samanlaiset rakenteet segmentin etuprojektiolle.

3. Tason päälinjat (vaaka, frontaalinen).

Tason P vaaka on suora viiva, joka sijaitsee tässä tasossa ja on yhdensuuntainen vaakatason kanssa. Vaakasuuntaisella suoralla linjalla, joka on yhdensuuntainen vaakatason kanssa, on etuprojektio ѓ yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

Tason P etuosa on suora viiva, joka sijaitsee tässä tasossa ja on yhdensuuntainen etutason kanssa.

Frontaali on suora viiva, joka on yhdensuuntainen frontaalitason kanssa, ja sen vaakasuora projektio f on yhdensuuntainen x-akselin kanssa.

4. Suorien viivojen keskinäinen sijainti avaruudessa. Näkyvyyden määrittäminen kilpailevien pisteiden mukaan. Kahdella avaruudessa olevalla suoralla voi olla eri sijainti: A) leikkaavat (olevat samassa tasossa). Leikkauksen erikoistapaus - suorassa kulmassa; B) voi olla yhdensuuntainen (makaa samassa tasossa); C) sama - erityinen yhdensuuntaisuuden tapaus; D) risti (makaa eri tasoissa eivätkä leikkaa).

Pisteitä, joiden projektiot P1:ssä ovat samat, kutsutaan kilpailevat tason P1 suhteen ja kutsutaan pisteitä, joiden projektiot P2:lla ovat samat kilpailevat suhteessa tasoon P2.

Pisteet K ja L kilpailevat tason P1 suhteen, koska tasossa P1 pisteet K ja L projisoidaan yhteen pisteeseen: K1 = L1.

Piste K on korkeampi kuin piste L, koska K2 on korkeampi kuin piste L2, joten K1 näkyy P1:ssä.