"Et voi jakaa nollalla!" - Useimmat koululaiset muistavat tämän säännön ulkoa kysymättä kysymyksiä. Kaikki lapset tietävät mitä "ei" on ja mitä tapahtuu, jos kysyt vastauksena siihen: "Miksi?" Mutta itse asiassa on erittäin mielenkiintoista ja tärkeää tietää, miksi se on mahdotonta.
Asia on siinä, että aritmeettiset neljä operaatiota - yhteen-, vähennys-, kerto- ja jakolasku - ovat itse asiassa eriarvoisia. Matemaatikot tunnustavat niistä vain kaksi täysimittaiseksi - yhteen- ja kertolasku. Nämä operaatiot ja niiden ominaisuudet sisältyvät jo lukukäsitteen määritelmään. Kaikki muut toiminnot rakentuvat tavalla tai toisella näistä kahdesta.
Harkitse esimerkiksi vähentämistä. Mitä tarkoittaa 5 – 3 ? Opiskelija vastaa tähän yksinkertaisesti: sinun on otettava viisi esinettä, otettava pois (poistettava) niistä kolme ja katsottava kuinka monta on jäljellä. Mutta matemaatikot tarkastelevat tätä ongelmaa täysin eri tavalla. Ei vähennystä, on vain yhteenlaskua. Siksi merkintä 5 – 3 tarkoittaa numeroa, joka lisätään numeroon 3 antaa numeron 5 . Eli 5 – 3 on vain lyhenne yhtälölle: x + 3 = 5. Tässä yhtälössä ei ole vähennyslaskua. On vain yksi tehtävä - löytää sopiva numero.
Sama pätee kerto- ja jakolaskuihin. Äänite 8: 4 voidaan ymmärtää tuloksena kahdeksan esineen jakamisesta neljään yhtä suureen kasaan. Mutta se on oikeastaan vain yhtälön lyhennetty muoto 4 x = 8.
Tässä tulee selväksi, miksi on mahdotonta (tai pikemminkin mahdotonta) jakaa nollalla. Äänite 5: 0 on lyhenne sanoista 0 x = 5. Eli tämä tehtävä on löytää luku, joka kerrottuna 0 tulee antamaan 5 . Mutta tiedämme sen kerrottuna 0 aina käy ilmi 0 . Tämä on nollan luontainen ominaisuus, tarkasti ottaen osa sen määritelmää.
Numero, joka kerrottuna 0 antaa jotain muuta kuin nollaa, sitä ei vain ole olemassa. Eli ongelmallamme ei ole ratkaisua. (Kyllä, sitä tapahtuu, kaikkiin ongelmiin ei ole ratkaisua.) 5: 0 ei vastaa mitään tiettyä numeroa, eikä se yksinkertaisesti tarkoita mitään, joten siinä ei ole järkeä. Tämän merkinnän merkityksettömyys ilmaistaan lyhyesti sanomalla, että nollalla ei voi jakaa.
Tarkkaimmat lukijat kysyvät tässä vaiheessa varmasti: onko mahdollista jakaa nolla nollalla? Todellakin, yhtälöstä lähtien 0 x = 0 onnistuneesti ratkaistu. Voit esimerkiksi ottaa x=0, ja sitten saamme 0 0 = 0. Se käy ilmi 0: 0=0 ? Mutta älkäämme kiirettäkö. Yritetään ottaa x=1. Saada 0 1 = 0. oikein? tarkoittaa, 0: 0 = 1 ? Mutta voit ottaa minkä tahansa numeron ja saada 0: 0 = 5 , 0: 0 = 317 jne.
Mutta jos mikä tahansa numero sopii, meillä ei ole mitään syytä valita yhtäkään niistä. Eli emme voi sanoa, mikä numero vastaa merkintää 0: 0 . Ja jos näin on, meidän on pakko myöntää, että tässäkään levyssä ei ole järkeä. Osoittautuu, että edes nollaa ei voida jakaa nollalla. (Matemaattisessa analyysissä on tapauksia, joissa ongelman lisäehtojen vuoksi voidaan antaa etusija jollekin vaihtoehtoja yhtälön ratkaisu 0 x = 0; sellaisissa tapauksissa matemaatikot puhuvat "määrittömyyden paljastamisesta", mutta aritmetiikassa tällaisia tapauksia ei esiinny.)
Tämä on jakotoiminnan ominaisuus. Tarkemmin sanottuna kertolaskuoperaatiossa ja siihen liittyvässä luvussa on nolla.
No, tarkimmat, tähän asti lukeneet, voivat kysyä: miksi et voi jakaa nollalla, mutta voit vähentää nollan? Tietyssä mielessä todellinen matematiikka alkaa tästä. Voit vastata siihen vasta tutustuttuasi muodolliseen matemaattiset määritelmät numeeriset joukot ja operaatiot niillä. Se ei ole niin vaikeaa, mutta jostain syystä sitä ei opeteta koulussa. Mutta yliopiston matematiikan luennoilla sinulle opetetaan tämä ensin.
Nollalla jakamista koskeva matemaattinen sääntö kerrottiin kaikille ensimmäisellä luokalla. yläaste. "Et voi jakaa nollalla", he opettivat meitä kaikkia ja kielsivät selkään lyönnin kipeänä jakamasta nollalla ja keskustelemasta yleisesti tästä aiheesta. Vaikka jotkut alakoulun opettajat yrittivät vielä selittää, miksi nollalla jakaminen on mahdotonta yksinkertaisilla esimerkeillä, nämä esimerkit olivat niin epäloogisia, että oli helpompi muistaa tämä sääntö ja olla kysymättä liikaa. Mutta kaikki nämä esimerkit olivat epäloogisia siitä syystä, että opettajat eivät voineet loogisesti selittää tätä meille ensimmäisellä luokalla, koska ensimmäisellä luokalla emme edes tienneet mikä yhtälö on, mutta loogisesti se matemaattinen sääntö voidaan selittää vain yhtälöillä.
Kaikki tietävät, että kun mikä tahansa luku jaetaan nollalla, syntyy tyhjiö. Miksi juuri tyhjyys, pohditaan myöhemmin.
Yleensä matematiikassa vain kaksi menettelyä numeroilla tunnustetaan itsenäisiksi. Tämä on yhteen- ja kertolasku. Loput menettelyt katsotaan näiden kahden menettelyn johdannaisiksi. Katsotaanpa tätä esimerkin avulla.
Kerro minulle, kuinka paljon se on esimerkiksi 11-10? Vastaamme kaikki välittömästi, että se on 1. Ja miten löysimme tällaisen vastauksen? Joku sanoo, että on jo selvää, että se on 1, joku sanoo, että hän otti 10 11 omenasta ja laski, että se osoittautui yhdeksi omenaksi. Logiikan näkökulmasta kaikki on oikein, mutta matematiikan lakien mukaan tämä ongelma ratkaistaan eri tavalla. On muistettava, että yhteen- ja kertolaskua pidetään päämenettelyinä, joten sinun on tehtävä seuraava yhtälö: x + 10 \u003d 11 ja vasta sitten x \u003d 11-10, x \u003d 1. Huomaa, että yhteenlasku tulee ensin, ja vasta sitten voidaan yhtälön perusteella vähentää. Näyttäisi siltä, miksi niin monta menettelyä? Loppujen lopuksi vastaus on niin ilmeinen. Mutta vain tällaiset menettelyt voivat selittää nollalla jakamisen mahdottomuuden.
Esimerkiksi me teemme näin matemaattinen ongelma: haluat jakaa 20 nollalla. Eli 20:0=x. Saadaksesi selville, kuinka paljon se on, sinun on muistettava, että jakomenettely seuraa kertolaskua. Toisin sanoen jako on kertolaskun derivointimenettely. Siksi sinun on tehtävä yhtälö kertomisesta. Eli 0*x=20. Tässä on umpikuja. Minkä tahansa luvun kerrommekin nollalla, se on silti 0, mutta ei 20. Tästä seuraa sääntö: nollalla ei voi jakaa. Nolla voidaan jakaa millä tahansa luvulla, mutta lukua ei voi jakaa nollalla.
Tämä herättää toisen kysymyksen: onko mahdollista jakaa nolla nollalla? Joten 0:0=x tarkoittaa 0*x=0. Tämä yhtälö voidaan ratkaista. Otetaan esimerkiksi x=4, mikä tarkoittaa 0*4=0. Osoittautuu, että jos jaat nollan nollalla, saat 4. Mutta täälläkään kaikki ei ole niin yksinkertaista. Jos otamme esimerkiksi x=12 tai x=13, niin tulee sama vastaus (0*12=0). Yleensä riippumatta siitä, minkä luvun korvaamme, 0 tulee silti ulos, joten jos 0: 0, niin äärettömäksi tulee. Tässä on yksinkertaista matematiikkaa. Valitettavasti menettely nollan jakamiseksi nollalla on myös merkityksetön.
Yleisesti ottaen matematiikan luku nolla on mielenkiintoisin. Esimerkiksi kaikki tietävät, että mikä tahansa luku nollapotenssiin antaa yhden. Tietysti tällaisella esimerkillä oikea elämä emme tapaa, mutta nollalla jakamalla elämän tilanteita törmää hyvin usein. Muista siis, että et voi jakaa nollalla.
Hyvin usein monet ihmiset ihmettelevät, miksi nollalla jakoa on mahdotonta käyttää? Tässä artikkelissa käydään yksityiskohtaisesti siitä, mistä tämä sääntö tuli, sekä mitä toimia voidaan suorittaa nollalla.
Yhteydessä
Nollaa voidaan kutsua yhdeksi mielenkiintoisimmista numeroista. Tällä numerolla ei ole merkitystä, se tarkoittaa tyhjyyttä sisällä kirjaimellisesti sanat. Jos kuitenkin laitat nollan minkä tahansa numeron viereen, tämän numeron arvo tulee useita kertoja suuremmaksi.
Numero on sinänsä hyvin mystinen. Sitä on myös käytetty muinaiset ihmiset Maya. Mayoille nolla merkitsi "alkua" ja lähtölaskentaa kalenteripäivät aloitti myös tyhjästä.
Erittäin mielenkiintoinen fakta että nollamerkki ja epävarmuusmerkki olivat samanlaisia. Tällä Mayat halusivat näyttää, että nolla on sama identtinen merkki samoin kuin epävarmuus. Euroopassa nollan nimitys ilmestyi suhteellisen äskettäin.
Myös monet ihmiset tietävät nollaan liittyvän kiellon. Kuka tahansa voi sanoa sen ei voida jakaa nollalla. Tämän sanovat opettajat koulussa, ja lapset yleensä pitävät sanaansa. Yleensä lapset joko eivät yksinkertaisesti ole kiinnostuneita tietämään tätä, tai he tietävät, mitä tapahtuu, jos he kuultuaan tärkeän kiellon kysyvät heti "Miksi et voi jakaa nollalla?". Mutta kun vanhenet, kiinnostus herää ja haluat tietää enemmän tällaisen kiellon syistä. Siitä on kuitenkin perusteltua näyttöä.
Toiminnot nollalla
Ensin sinun on määritettävä, mitä toimia voidaan suorittaa nollalla. Olla olemassa monenlaisia aktiviteetteja:
- Lisäys;
- Kertominen;
- Vähennyslasku;
- Jako (nolla numerolla);
- Eksponentointi.
Tärkeä! Jos johonkin numeroon lisätään nolla lisäämisen yhteydessä, tämä luku pysyy samana eikä muuta sitä numeerinen arvo. Sama tapahtuu, jos vähennät nollan mistä tahansa numerosta.
Kerto- ja jakolaskussa asiat ovat hieman eri tavalla. Jos kerro mikä tahansa luku nollalla, silloin tuotteesta tulee myös nolla.
Harkitse esimerkkiä:
Kirjoitetaan tämä lisäyksenä:
Yhteensä viisi nollaa on lisätty, joten se käy niin
Yritetään kertoa yksi nollalla. Tulos on myös nolla.
Nolla voidaan myös jakaa millä tahansa muulla sen kanssa poikkeavalla luvulla. Tässä tapauksessa se osoittautuu, jonka arvo on myös nolla. Sama sääntö pätee negatiivisia lukuja. Jos jaat nollan negatiivisella luvulla, saat nollan.
Voit myös korottaa mitä tahansa numeroa sisään nolla astetta . Tässä tapauksessa saat 1. On tärkeää muistaa, että ilmaisu "nollasta nollaan" on täysin merkityksetön. Jos yrität nostaa nollan mihin tahansa tehoon, saat nollan. Esimerkki:
Käytämme kertolasääntöä, saamme 0.
Onko mahdollista jakaa nollalla
Joten tässä päästään pääkysymykseen. Onko mahdollista jakaa nollalla yleisesti? Ja miksi on mahdotonta jakaa lukua nollalla, kun otetaan huomioon, että kaikki muut operaatiot nollalla ovat täysin olemassa ja pätevät? Vastataksesi tähän kysymykseen sinun on käännyttävä korkeampaan matematiikkaan.
Aloitetaan käsitteen määritelmästä, mikä on nolla? koulun opettajat sanoa, että nolla ei ole mitään. Tyhjyys. Eli kun sanot, että sinulla on 0 kynää, se tarkoittaa, että sinulla ei ole kyniä ollenkaan.
Korkeammassa matematiikassa "nollan" käsite on laajempi. Se ei tarkoita ollenkaan tyhjää. Tässä nollaa kutsutaan epävarmuudeksi, koska jos piirretään vähän tutkimusta, käy ilmi, että kun nolla jaetaan nollalla, saadaan tuloksena mikä tahansa muu luku, joka ei välttämättä ole nolla.
Tiesitkö, että nämä yksinkertaiset aritmeettiset operaatiot että opiskelit koulussa, eivät ole keskenään yhtä tasa-arvoisia? Perusvaiheet ovat yhteen- ja kertolasku.
Matemaatikoille käsitteitä "" ja "vähennys" ei ole olemassa. Oletetaan: jos kolme vähennetään viidestä, niin kaksi jää. Tältä näyttää vähentäminen. Kuitenkin matemaatikot kirjoittaisivat sen näin:
Siten käy ilmi, että tuntematon ero on tietty luku, joka on lisättävä 3:een, jotta saadaan 5. Eli sinun ei tarvitse vähentää mitään, sinun on vain löydettävä sopiva luku. Tämä sääntö koskee lisäystä.
Asiat ovat hieman eri tavalla kerto- ja jakosäännöt. Tiedetään, että kertominen nollalla johtaa nollatulokseen. Jos esimerkiksi 3:0=x, niin jos käännät tietuetta, saat 3*x=0. Ja luku, joka kerrotaan 0:lla, antaa tuotteessa nollan. Osoittautuu, että lukua, joka antaisi minkä tahansa muun arvon kuin nolla tuotteessa, jossa on nolla, ei ole olemassa. Tämä tarkoittaa, että nollalla jakaminen on merkityksetöntä, eli se sopii sääntöämme.
Mutta mitä tapahtuu, jos yrität jakaa nollan itsellään? Otetaan x joksikin epämääräiseksi luvuksi. Osoittautuu, että yhtälö 0 * x \u003d 0. Se voidaan ratkaista.
Jos yritämme ottaa nollan x:n sijaan, saamme 0:0=0. Kuulostaako loogiselta? Mutta jos yritämme ottaa minkä tahansa muun luvun x:n sijasta, esimerkiksi 1, niin lopputulos on 0:0=1. Sama tilanne on, jos otat minkä tahansa muun numeron ja liitä se yhtälöön.
Tässä tapauksessa käy ilmi, että voimme ottaa minkä tahansa muun luvun tekijäksi. Tuloksena on ääretön luku eri numerot. Joskus kuitenkin nollalla jakaminen korkeammassa matematiikassa on järkevää, mutta silloin yleensä on tietty ehto, jonka vuoksi voimme silti valita yhden sopivan luvun. Tätä toimintoa kutsutaan "epävarmuuden paljastamiseksi". Tavallisessa aritmetiikassa nollalla jako menettää taas merkityksensä, koska joukosta ei voi valita yhtäkään lukua.
Tärkeä! Nollaa ei voi jakaa nollalla.
Nolla ja ääretön
Ääretön on hyvin yleistä korkeammassa matematiikassa. Koska koululaisten ei yksinkertaisesti ole tärkeää tietää, että on edelleen olemassa matemaattisia operaatioita äärettömyydellä, opettajat eivät voi selittää lapsille kunnolla, miksi nollalla jakaminen on mahdotonta.
Main matemaattisia salaisuuksia opiskelijat alkavat oppia vasta instituutin ensimmäisenä vuonna. Korkeampi matematiikka tarjoaa suuren joukon ongelmia, joihin ei ole ratkaisua. Tunnetuimmat ongelmat ovat äärettömyyden ongelmat. Ne voidaan ratkaista matemaattinen analyysi.
Voit hakea myös äärettömyyteen matemaattiset perusoperaatiot: yhteenlasku, kertominen luvulla. Myös vähennys- ja jakolaskua käytetään yleisesti, mutta loppujen lopuksi ne jäävät silti kahteen yksinkertaiseen operaatioon.
Jopa koulussa opettajat yrittivät takoa päähämme yksinkertaisimman säännön: "Mikä tahansa luku kerrottuna nollalla on nolla!", - mutta silti hänen ympärillään syntyy jatkuvasti paljon kiistoja. Joku vain opetteli säännön ulkoa eikä vaivaudu kysymykseen "miksi?". "Et voi tehdä kaikkea täällä, koska koulussa sanottiin niin, sääntö on sääntö!" Joku voi täyttää puolet muistikirjasta kaavoilla todistaen tämän säännön tai päinvastoin sen epäloogisuuden.
Kuka on lopulta oikeassa
Näiden kiistojen aikana molemmat ihmiset, joilla vastakkaiset kohdat visio, katsokaa toisianne kuin oinasta ja todistakaa kaikella voimallaan olevansa oikeassa. Vaikka katsot niitä sivulta, voit nähdä ei yhden, vaan kaksi pässiä lepäämässä toisiaan vasten sarvillaan. Ainoa ero niiden välillä on, että toinen on hieman vähemmän koulutettu kuin toinen. Useimmiten ne, jotka pitävät tätä sääntöä vääränä, yrittävät vaatia logiikkaa tällä tavalla:
Minulla on kaksi omenaa pöydälläni, jos laitan niihin nolla omenaa, eli en laita yhtäkään, niin kaksi omenaani eivät katoa tästä! Sääntö on epälooginen!
Omenat eivät todellakaan katoa minnekään, mutta ei siksi, että sääntö on epälooginen, vaan koska tässä käytetään hieman erilaista yhtälöä: 2 + 0 \u003d 2. Joten hylätään tämä johtopäätös heti - se on epäloogista, vaikka sillä on päinvastoin tavoite - kutsua logiikkaa.
Tämä on mielenkiintoista: Kuinka löytää lukujen ero matematiikassa?
Mikä on kertolasku
Alkuperäinen kertolasääntö määriteltiin vain luonnollisille luvuille: kertolasku on luku, joka on lisätty itseensä tietyn määrän kertoja, mikä tarkoittaa luvun luonnollisuutta. Siten mikä tahansa kertolaskulla varustettu luku voidaan vähentää tähän yhtälöön:
Tästä yhtälöstä seuraa johtopäätös, että kertolasku on yksinkertaistettu yhteenlasku.
Mikä on nolla
Jokainen lapsuudesta asti tietää: nolla on tyhjyys, huolimatta siitä, että tällä tyhjyydellä on nimitys, se ei sisällä yhtään mitään. Muinaiset idän tiedemiehet ajattelivat toisin - he lähestyivät kysymystä filosofisesti ja vetivät joitain yhtäläisyyksiä tyhjyyden ja äärettömyyden välillä ja näkivät syvä merkitys tässä numerossa. Loppujen lopuksi nolla, jolla on tyhjyyden arvo, seisoo minkä tahansa vieressä luonnollinen luku, kertoo sen kymmenen kertaa. Tästä johtuu kaikki kertolaskua koskeva kiista - tämä luku sisältää niin paljon epäjohdonmukaisuutta, että on vaikea olla hämmentymättä. Lisäksi nollaa käytetään jatkuvasti tunnistamaan tyhjät bitit desimaalilukuja, tämä tehdään sekä ennen pilkkua että sen jälkeen.
Onko mahdollista kertoa tyhjyydestä
On mahdollista kertoa nollalla, mutta se on turhaa, koska sanotaanpa mitä tahansa, mutta jopa negatiivisia lukuja kerrottaessa nolla saadaan silti. Riittää, kun muistat tämän yksinkertaisin säännön etkä koskaan kysy tätä kysymystä uudelleen. Itse asiassa kaikki on yksinkertaisempaa kuin miltä näyttää ensi silmäyksellä. Ei ole olemassa piilotettuja merkityksiä ja mysteereitä, kuten muinaiset tutkijat uskoivat. Alla annetaan loogisin selitys, että tämä kertolasku on hyödytön, koska kertomalla luku sillä saadaan silti sama asia - nolla.
Tämä on mielenkiintoista: mikä on luvun moduuli?
Palatakseni alkuun, väite kahdesta omenasta, 2 kertaa 0, näyttää tältä:
Loppujen lopuksi omenan syöminen 0 kertaa tarkoittaa sitä, että ei syö yhtäkään. Se tulee jopa selväksi pienelle lapselle. Halusimme tai et, 0 tulee ulos, kaksi tai kolme voidaan korvata täysin millä tahansa numerolla ja täysin sama asia tulee ulos. Ja yksinkertaisesti sanottuna, nolla ei ole mitään ja kun sinulla on ei ole mitään, niin ei väliä kuinka paljon kerrot - se on sama tulee olemaan nolla. Ei ole taikuutta, eikä mikään tee omenaa, vaikka kertoisit nollan miljoonalla. Tämä on yksinkertaisin, ymmärrettävin ja loogisin selitys nollalla kertomissäännölle. Henkilölle, joka on kaukana kaikista kaavoista ja matematiikasta, tällainen selitys riittää, jotta pään dissonanssi ratkeaa ja kaikki loksahtaa paikoilleen.
Kaikesta yllä olevasta seuraa toinen tärkeä sääntö:
Et voi jakaa nollalla!
Tämäkin sääntö on itsepäisesti lyöty päähämme lapsuudesta lähtien. Tiedämme vain, että se on mahdotonta, ja siinä kaikki huolettamatta Lisätieto. Jos sinulta kysytään yhtäkkiä kysymys, mistä syystä nollalla jakaminen on kiellettyä, enemmistö on hämmentynyt eikä pysty vastaamaan selkeästi yksinkertaisin kysymys alkaen koulun opetussuunnitelma, koska tämän säännön ympärillä ei ole niin paljon kiistoja ja kiistoja.
Kaikki vain opettelivat säännön ulkoa eivätkä jaa nollalla, epäilemättä vastauksen olevan pinnalla. Yhteen-, kerto-, jakolasku- ja vähennyslasku ovat epätasa-arvoisia, vain kerto- ja yhteenlasku ovat täynnä yllä olevia, ja kaikki muut manipulaatiot numeroilla rakennetaan niistä. Eli merkintä 10: 2 on lyhenne yhtälöstä 2 * x = 10. Siksi merkintä 10: 0 on sama lyhenne arvolle 0 * x = 10. Osoittautuu, että nollalla jakaminen on tehtävä, joka on löydettävä. luku, kerrottuna 0:lla, saat 10 Ja olemme jo selvittäneet, että tällaista lukua ei ole olemassa, mikä tarkoittaa, että tällä yhtälöllä ei ole ratkaisua ja se on a priori virheellinen.
Haluan kertoa teille
Älä jaa 0:lla!
Leikkaa 1 haluamallasi tavalla,
Älä vain jaa nollalla!
obrazovanie.guru
Nollalla jakaminen. Kiehtovaa matematiikkaa
Luku 0 voidaan esittää eräänlaisena rajana, joka erottaa reaalilukujen maailman imaginaari- tai negatiivisista lukuista. Epäselvän sijainnin vuoksi monet operaatiot tämän kanssa numeerinen arvoälä tottele matemaattinen logiikka. Nollalla jakamisen mahdottomuus kirkas siihen esimerkki. Ja sallitut aritmeettiset operaatiot nollalla voidaan suorittaa käyttämällä yleisesti hyväksyttyjä määritelmiä.
Nollan historia
Nolla on vertailukohta kaikessa vakiojärjestelmät laskenta. Eurooppalaiset alkoivat käyttää tätä numeroa suhteellisen hiljattain, mutta viisaat miehet muinainen Intia käytti nollaa tuhat vuotta ennen kuin eurooppalaiset matemaatikot käyttivät säännöllisesti tyhjää lukua. Jo ennen intiaaneja nolla oli pakollinen arvo mayojen numerojärjestelmässä. Tämä amerikkalainen kansa käytti kaksidesimaalijärjestelmää, ja he aloittivat jokaisen kuukauden ensimmäisen päivän nollalla. Mielenkiintoista on, että mayojen keskuudessa "nollan" merkki osui täysin yhteen "äärettömyyden" merkin kanssa. Siten muinaiset mayat päättelivät, että nämä määrät olivat identtisiä ja tuntemattomia.
Matemaattiset operaatiot nollalla
Vakio matemaattisia operaatioita nollalla voidaan vähentää useisiin sääntöihin.
Lisäys: jos lisäät nollan mielivaltaiseen numeroon, se ei muuta sen arvoa (0+x=x).
Vähennys: kun mistä tahansa luvusta vähennetään nolla, vähennetyn arvo pysyy ennallaan (x-0=x).
Kertominen: mikä tahansa luku kerrottuna 0:lla antaa tulossa 0:n (a*0=0).
Jako: Nolla voidaan jakaa millä tahansa nollasta poikkeavalla luvulla. Tässä tapauksessa tällaisen murtoluvun arvo on 0. Ja nollalla jakaminen on kielletty. 
Eksponentointi. Tämä toiminto voidaan suorittaa millä tahansa numerolla. Satunnainen luku, joka on korotettu nollan potenssiin, antaa 1 (x 0 =1).
Nolla mihin tahansa potenssiin on yhtä suuri kuin 0 (0 a \u003d 0).
Tässä tapauksessa syntyy heti ristiriita: lausekkeessa 0 0 ei ole järkeä.
Matematiikan paradokseja
Monet ihmiset tietävät sen tosiasian, että nollalla jakaminen on mahdotonta koulun penkki. Mutta jostain syystä tällaisen kiellon syytä ei ole mahdollista selittää. Todellakin, miksi nolla-jakokaavaa ei ole olemassa, mutta muut toimet tällä numerolla ovat melko järkeviä ja mahdollisia? Vastauksen tähän kysymykseen antavat matemaatikot.
Asia on siinä, että tavalliset aritmeettiset operaatiot, joita koululaiset opiskelevat ala-aste eivät itse asiassa ole yhtä tasa-arvoisia kuin luulemme. Kaikki yksinkertaiset toiminnot numeroilla voidaan vähentää kahteen: yhteen- ja kertolasku. Nämä operaatiot ovat luvun käsitteen ydin, ja loput operaatiot perustuvat näiden kahden käyttöön.
Yhteen- ja kertolasku
Otetaan standardi esimerkki vähennyslasku: 10-2=8. Koulussa ajatellaan yksinkertaisesti: jos kaksi otetaan pois kymmenestä esineestä, kahdeksan jää jäljelle. Mutta matemaatikot suhtautuvat tähän operaatioon aivan eri tavalla. Loppujen lopuksi niille ei ole sellaista operaatiota kuin vähennys. Tämä esimerkki voidaan kirjoittaa toisella tavalla: x + 2 = 10. Matemaatikoille tuntematon ero on yksinkertaisesti numero, joka on lisättävä kahteen, jotta saadaan kahdeksan. Eikä tässä vaadita vähennyslaskua, sinun on vain löydettävä sopiva numeerinen arvo.
Kerto- ja jakolaskuja käsitellään samalla tavalla. Esimerkissä 12:4=3 voidaan ymmärtää, että me puhumme noin kahdeksan esineen jakamisesta kahteen yhtä suureen kasaan. Mutta todellisuudessa tämä on vain käänteinen kaava 3x4 \u003d 12 kirjoittamiseen. Tällaisia esimerkkejä jaosta voidaan antaa loputtomasti. 
Esimerkkejä 0:lla jakamisesta
Tässä tulee hieman selväksi, miksi nollalla jakaminen on mahdotonta. Nollalla kertomisella ja jaolla on omat sääntönsä. Kaikki esimerkit tämän suuren jakoa kohti voidaan muotoilla muodossa 6:0=x. Mutta tämä on lausekkeen 6 * x = 0 käänteinen lauseke. Mutta kuten tiedät, mikä tahansa luku kerrottuna 0:lla antaa tuotteessa vain 0. Tämä ominaisuus on luontainen nolla-arvon käsitteelle.
Osoittautuu, että sellaista lukua, joka 0:lla kerrottuna antaa mitään konkreettista arvoa, ei ole olemassa, eli annettu tehtävä ei ole ratkaisua. Tällaista vastausta ei pidä pelätä, se on luonnollinen vastaus tämän tyyppisiin ongelmiin. Pelkästään 6:0 kirjoittamisessa ei ole mitään järkeä, eikä se voi selittää mitään. Lyhyesti sanottuna tämä ilmaus voidaan selittää kuolemattomalla "ei jako nollalla".
Onko 0:0-operaatiota? Todellakin, jos nollalla kertominen on laillista, voidaanko nolla jakaa nollalla? Loppujen lopuksi yhtälö muotoa 0x5=0 on varsin laillinen. Numeron 5 sijasta voit laittaa 0, tuote ei muutu tästä. 
Todellakin, 0x0 = 0. Mutta et silti voi jakaa nollalla. Kuten mainittiin, jako on vain kertolasku käänteinen. Jos siis esimerkissä 0x5=0, sinun on määritettävä toinen tekijä, saamme 0x0=5. Tai 10. Tai ääretön. Äärettömän jakaminen nollalla – mitä pidät siitä?
Mutta jos jokin luku sopii lausekkeeseen, siinä ei ole järkeä, emme voi ääretön luku valitse yksi numero. Ja jos on, se tarkoittaa, että lausekkeessa 0:0 ei ole järkeä. Osoittautuu, että edes nollaa itseään ei voida jakaa nollalla.
korkeampi matematiikka
Nollalla jakaminen on päänsärkyä koulun matematiikka. Opiskeli vuonna teknisistä yliopistoista matemaattinen analyysi laajentaa hieman käsitettä ongelmat, joilla ei ole ratkaisua. Esimerkiksi jo kuuluisa ilmaisu 0:0 lisätään uusia, joissa ei ole ratkaisua koulun kursseja matematiikka:
Tällaisia lausekkeita on mahdotonta ratkaista perusmenetelmillä. Mutta korkeampi matematiikka kiitokset lisäominaisuuksia numeroa varten vastaavia esimerkkejä antaa lopullisia ratkaisuja. Tämä näkyy erityisesti ongelmien pohdinnassa rajojen teoriasta.
Epävarmuuden paljastaminen
Rajateoriassa arvo 0 korvataan ehdollisella infinitesimaalilla muuttuja. Ja ilmaukset, joissa korvattaessa haluttu arvo nollalla jako saadaan, muunnetaan. Alla on tavallinen esimerkki rajan laajentamisesta tavallisella algebralliset muunnokset:
Kuten esimerkistä näet, pelkkä murto-osan pienentäminen tuo sen arvon täysin rationaaliseen vastaukseen.
Kun harkitsee rajoja trigonometriset funktiot niiden ilmaisut yleensä pelkistyvät ensimmäiseksi ihana raja. Tarkasteltaessa rajoja, joissa nimittäjä menee nollaan, kun raja korvataan, käytetään toista merkittävää rajaa.
L'Hopital-menetelmä
Joissakin tapauksissa lausekkeiden rajat voidaan korvata niiden johdannaisten rajalla. Guillaume Lopital - ranskalainen matemaatikko, perustaja ranskalainen koulu matemaattinen analyysi. Hän osoitti, että lausekkeiden rajat ovat yhtä suuret kuin näiden lausekkeiden johdannaisten rajat. AT matemaattinen merkintä hänen sääntönsä on seuraava. 
Tällä hetkellä L'Hopital-menetelmää käytetään menestyksekkäästi 0:0 tai ∞:∞ -tyyppisten epävarmuuksien ratkaisemisessa.
Matematiikka: pitkä jako ja kertolasku
Yksinumeroisten lukujen kertominen ja jakaminen ei ole vaikeaa kenellekään kertotaulukon oppineelle opiskelijalle. Se sisältyy 2. luokan matematiikan opetussuunnitelmaan. Toinen asia on, kun on tarpeen suorittaa matemaattisia operaatioita moninumeroisilla luvuilla. He aloittavat tällaiset toiminnot matematiikan tunneilla 3. luokalla. Jäsentäminen uusi teema"Jako ja kertominen sarakkeessa"
Moninumeroisten lukujen kertolasku
Jaa ja kerro kompleksiluvut helpoin tapa on sarake. Tätä varten tarvitset numeron numerot: sadat, kymmenet, yksiköt:
235 = 200 (satoja) + 30 (kymmeniä) + 5 (yksittä).
Tarvitsemme tätä varten oikea merkintä luvut kerrottuna.
Kun kirjoitetaan kahta kerrottavaa lukua, ne kirjoitetaan toistensa alle ja sijoitetaan numerot numeroiksi (yksiköt yksiköiden alle, kymmenet kymmenien alle). Kun kerrot moninumeroisen luvun yksinumeroisella luvulla, ei ole vaikeuksia:
Tallennus tehdään näin: 
Laskenta suoritetaan lopusta - yksikköluokasta. Kun kerrotaan ensimmäisellä numerolla - yksikköluokasta - tietue suoritetaan myös lopusta:
- 3 x 5 = 15, kirjoita 5 (yksi), kymmeniä (1) muista;
- 2 x 5 \u003d 10 ja 1 kymmenen, jotka muistimme, vain 11, kirjoitamme muistiin 1 (kymmeniä), muistamme satoja (1);
- koska esimerkissä ei ole muita numeroita, kirjoitamme muistiin satoja (1 - mikä muistettiin).
Seuraava vaihe on kertoa toisella numerolla (kymmenen paikka):
Koska kerroimme luvulla kymmenien paikasta, aloitamme kirjoittamisen samalla tavalla, lopusta alkaen oikeanpuoleisesta toisesta paikasta (missä kymmenien paikka on).
1. sinun on kirjoitettava kertolasku sarakkeeseen numeroilla;
2. tehdä laskelmia yksiköistä alkaen;
3. kirjoita summa muistiin numeroin - jos kerromme luvulla yksiköiden arvosta - aloitamme tallennuksen viimeisestä sarakkeesta, arvosta - kymmeniä - tästä sarakkeesta ja pidämme kirjaa.
Sääntö, joka koskee kertomista sarakkeessa kaksinumeroisella luvulla, koskee myös lukuja, joissa on Suuri määrä päästöt.
Kertolasimerkkien kirjoittamisen sääntöjen muistamisen helpottamiseksi moninumeroisia lukuja sarakkeessa voit tehdä kortteja korostamalla eri värejä eri arvoja.
Jos luvut kerrotaan sarakkeessa, jonka lopussa on nollia, niitä ei oteta huomioon laskennassa, vaan tietue säilytetään siten, että merkittävä hahmo oli merkitsijän alla, ja nollat jäävät oikealle. Laskelmien jälkeen niiden numero lisätään oikealle:
Matemaatikko Yakov Trakhtenberg kehitti nopean laskentajärjestelmän. Trachtenberg-menetelmä helpottaa kertolaskua, jos käytetään tiettyä laskentajärjestelmää. Esimerkiksi kertomalla 11:llä. Saadaksesi tuloksen, sinun on lisättävä numero seuraavaan:
2,253 x 11 = (0 + 2) (2 + 2) (2 + 5) (5 + 3) (3 + 0) = 2 + 4 + 7 + 8 + 3 = 24,783.
Todellisuuden todistaminen on yksinkertaista: 11 = 10 + 1
2,253 x 10 + 2,253 = 22,530 + 2,253 = 24,783.
Eri lukujen laskenta-algoritmit ovat erilaisia, mutta niiden avulla voit suorittaa laskelmia nopeasti.
Video "Sarakkeen kertolasku"
Moninumeroisten lukujen jako
Sarakkeella jakaminen voi tuntua lapsille vaikealta, mutta algoritmin muistaminen ei ole vaikeaa. Harkitse moninumeroisten lukujen jakoa yksinumeroinen:
215: 5 = ?
Lasku kirjoitetaan seuraavasti: 
Jakajan alle kirjoitamme tuloksen. Jako suoritetaan seuraavasti: verrataan osingon vasenta numeroa jakajaan: 2 on pienempi kuin 5, emme voi jakaa 2:ta viidellä, joten otamme vielä yhden numeron: 21 on suurempi kuin 5, jakamalla selviää : 20: 5 = 4 (loppu 1)
Puramme seuraavan luvun tuloksena olevaan jäännökseen: saamme 15. 15 on enemmän kuin 5, jaamme: 15: 5 = 3
Ratkaisu näyttää tältä:
Näin jako tehdään ilman jäännöstä. Saman algoritmin mukaan jako sarakkeeseen, jossa on jäännös, suoritetaan sillä ainoalla erolla, että in viimeinen sisääntulo se ei ole nolla, vaan loppuosa.
Jos sarakkeen kolminumeroiset luvut on jaettava kahdella numerolla, menettely on sama kuin jakattaessa yksinumeroisella luvulla.
Tässä muutamia esimerkkejä jaosta:
Samoin laskenta suoritetaan, kun moninumeroinen luku jaetaan kaksinumeroisella luvulla, jossa on jäännös: 853: 15 = 50 ja (3) jäännös 
Kiinnitä huomiota tähän merkintään: jos välilaskelmat tulos on 0, mutta esimerkkiä ei ole täysin ratkaistu, nollaa ei kirjoiteta, vaan seuraava numero puretaan välittömästi ja laskenta jatkuu.
Se auttaa oppimaan säännöt moninumeroisten lukujen jakamisesta video-opetusohjelmasarakkeessa. Kun algoritmi on opetettu ulkoa ja tallentamislaskelmien järjestystä seurataan, esimerkit kertomisesta ja jaosta luokan 4 sarakkeessa eivät enää vaikuta niin monimutkaisilta.
Tärkeä! Noudata tietuetta: numerot tulee kirjoittaa numeroiden alle sarakkeeseen.
Video "Jako sarakkeessa"
Jos 2. luokalla lapsi oppi kertotaulukon, esimerkkejä kaksinumeroisen tai kolminumeroinen numero luokan 4 matematiikan tunneilla ei aiheuta hänelle vaikeuksia.
www.razvitiedetei.info
Kerto- ja jakosäännöt
Kertotaulukon oppimisen jälkeen opiskelijoille selitetään kerto- ja jakosäännöt, opetetaan käyttämään niitä matemaattisten lausekkeiden laskennassa.
Mikä on kertolasku? Se on älykäs lisäys
Kun lisäät ja vähennät, kerrot ja jaat lukuja yksinkertaisia ilmaisuja lapsilla ei ole vaikeuksia:
Tällaisissa laskelmissa sinun tarvitsee vain tietää yhteen- ja vähennyssäännöt sekä kertotaulukko.
Kun lisää alkaa vaikeita harjoituksia, esimerkit koostuvat kahdesta tai useammasta toiminnosta, ja jopa suluissa lapsilla on virheitä ratkaiseessaan. Ja tärkein on väärä järjestys Toiminnot.
Mitä eroa?
Onko se todellakin niin tärkeää – mikä esimerkin toiminto suoritetaan ensin, mikä toiseksi?
Jos suoritamme vaiheet järjestyksessä, saamme:
Saimme kaksi eri vastausta. Mutta sen ei pitäisi olla niin, siksi toimien suoritusjärjestyksellä on väliä. Varsinkin jos lauseke sisältää sulkeita:
Yritämme ratkaista sen kahdella tavalla:
Vastaukset ovat erilaisia, ja toimintojen järjestyksen määrittämiseksi lausekkeessa on hakasulkeet - ne osoittavat, mikä toiminto on suoritettava ensin. Eli oikea ratkaisu olisi:
Esimerkin vastaukselle ei pitäisi olla muuta ratkaisua.
Kumpi on tärkeämpää, kertolasku vai yhteenlasku?
Esimerkkejä ratkaistaessa
Järjestä toimintatapa.
Kerro tai jaa - ensin.
Lausekkeisiin, joissa ei ole yhteen- tai vähennyslaskua, vaan kerto- tai jakolaskua, pätee sama sääntö: kaikki numeroilla tehtävät toiminnot suoritetaan järjestyksessä, alkaen vasemmalta:
Vaikeampi tapaus on, kun kerto- tai jakolasku yhteen- tai vähennyslaskulla tapahtuu yhdessä tehtävässä. Mikä on laskelmien järjestys?
Jos teet kaikki vaiheet järjestyksessä, ensimmäinen jako, sitten lisääminen. Tuloksena saamme:
Esimerkki on siis oikea. Entä jos se sisältää sulkeita?
Kaikki suluissa oleva on aina etusijalla. Siksi he seisovat ilmaisussa. Siksi laskelmien järjestys on samanlaisia ilmaisuja tulee olemaan seuraava:
Esimerkki:
81: 9 + (6 – 2) + 3 = ?
81: 9 + (6 – 2) + 3 = 16.
Ja mikä on prioriteetti: kertolasku - vai jako, vähennys - vai yhteenlasku, jos molemmat toiminnot tapahtuvat tehtävässä? Ei mitään, ne ovat tasa-arvoisia, tässä tapauksessa pätee ensimmäinen sääntö - toiminnot suoritetaan peräkkäin, alkaen vasemmalta.
Algoritmi lausekkeen ratkaisemiseksi:
28: (11 – 4) + 18 – (25 – 8) = ?
- 11 – 4 = 7;
- 25 – 8 = 17;
- 28: 7 = 4;
- 4 + 18 = 22;
- 22 – 17 = 5.
Vastaus: 28: (11 - 4) + 18 - (25 - 8) = 5.
Tärkeä! Jos lauseke sisältää kirjaimia, menettely pysyy samana.
Pyöreä nolla on niin kaunis
Mutta se ei tarkoita mitään.
Esimerkeissä nolla ei esiinny numerona, vaan se voi olla seurausta jostain välitoimenpiteestä, esimerkiksi:
Kun kerrotaan 0:lla, sääntö sanoo, että tulos on aina 0. Miksi? Se voidaan selittää yksinkertaisesti: mikä on kertolasku? Tämä on sama numero, joka on lisätty omaan lajiin useita kertoja. Muuten:
0 × 5 = 0 + 0 + 0 + 0 + 0 = 0;
Nollalla jakaminen on merkityksetöntä, ja nollan jakaminen millä tahansa luvulla johtaa aina nollaan:
0: 5 = 0.
Hae muut aritmeettiset operaatiot nollalla:
Kertominen ja jako yhdellä
Matemaattiset operaatiot yhdellä eroaa operaatioista nollalla. Kun luku kerrotaan tai jaetaan 1:llä, itse alkuperäinen luku saadaan:
7 x 1 = 7;
7: 1 = 7.
Tietysti, jos sinulla on 7 ystävää ja jokainen antoi sinulle karamelli, sinulla on 7 karkkia, ja jos söit ne yksin, eli jaat vain itsesi kanssa, niin ne kaikki päätyivät vatsaasi.
Laskutoimitukset murtolukujen, potenssien ja monimutkaisten funktioiden avulla
Tämä on vaikeita tapauksia tietojenkäsittely, joita ei käsitellä peruskoulussa.
Kertominen yksinkertaisia murtolukuja Toistensa käsittely ei ole vaikeaa, riittää vain kertoa osoittaja osoittajalla ja nimittäjä nimittäjällä.
Esimerkki:
Supistennuksen jälkeen saamme: \(\) = \(\).
Yksinkertaisten murtolukujen jakaminen ei ole niin vaikeaa kuin miltä näyttää ensi silmäyksellä. Riittää, kun muuntaa ongelma - muuta se esimerkiksi kertolaskulla. Tämä on yksinkertaista - sinun on käännettävä murto-osa niin, että nimittäjästä tulee osoittaja ja osoittajasta nimittäjä.
Esimerkki:
Jos tehtävässä kohdataan luku, joka esitetään potenssina, sen arvo lasketaan ennen kaikkia muita (voit kuvitella, että se on suluissa - ja suluissa olevat toiminnot suoritetaan ensin).
Esimerkki:
Muuntamalla potenssina esitetty luku kertolaskulla säännölliseksi lausekkeeksi, esimerkin ratkaiseminen osoittautui yksinkertaiseksi: ensin kertolasku, sitten vähennyslasku (koska se on suluissa) ja jako.
Koska tällaisia toimintoja tutkitaan vain lukio, emme ota niitä huomioon, riittää vain sanoa, että, kuten potenssien tapauksessa, niillä on etusija laskennassa: ensin löydetään tämän lausekkeen arvo, sitten laskentajärjestys on normaali - hakasulkeet, kertolasku jako, sitten järjestyksessä vasemmalta oikealle.
Aiheen pääsäännöt
Puhutaan pää- ja sivuaineista matemaattisia operaatioita, on sanottava, että neljä perusoperaatiota voidaan lyhentää kahdeksi: yhteen- ja kertolasku. Jos vähentäminen ja jako tuntuvat koululaisille vaikeilta, he muistavat yhteen- ja kertolaskusäännöt nopeammin. Lauseke 5 - 2 voidaan todellakin kirjoittaa eri tavalla:
Kertolaskutapauksissa pätevät yhteenlaskuominaisuuksien kaltaiset säännöt: tuote ei muutu tekijöiden uudelleenjärjestelystä:
Päätettäessä haastavia tehtäviä ensimmäinen toiminto on se, joka on korostettu suluissa, sitten jako- tai kertolasku ja sitten kaikki muut toiminnot järjestyksessä.
Kun sinun on ratkaistava esimerkkejä ilman hakasulkuja, suoritetaan ensin kerto- tai jakolasku, sitten vähennys- tai yhteenlasku.
Kokonaislukujen kerto- ja jakolasku
Kun kerrotaan ja jaetaan kokonaislukuja, sovelletaan useita sääntöjä. AT tämä oppitunti katsomme jokaista niistä.
Kun kerrot ja jaat kokonaislukuja, kiinnitä huomiota lukujen etumerkkeihin. Heistä riippuu, mitä sääntöä sovelletaan. Sinun on myös opittava muutama kerto- ja jakolaki. Näiden sääntöjen oppiminen auttaa sinua välttämään joitakin kiusallisia virheitä tulevaisuudessa.
Kertomisen lait
Jotkut matematiikan lakeista, joita tarkastelimme oppitunnilla, ovat matematiikan lakeja. Mutta emme ole huomioineet kaikkia lakeja. Matematiikassa on monia lakeja, ja olisi viisaampaa tutkia niitä peräkkäin tarpeen mukaan.
Ensin muistellaan, mistä kertolasku koostuu. Kertominen koostuu kolme parametria: kerrotaan, kerroin ja toimii. Esimerkiksi lausekkeessa 3 × 2 = 6, luku 3 on kertoja, numero 2 on kerroin ja luku 6 on tulo.
Kerrottava osoittaa, mitä tarkalleen lisäämme. Esimerkissämme lisäämme numeroa 3.
Tekijä Näyttää, kuinka monta kertaa kerrointa on suurennettava. Esimerkissämme kerroin on luku 2. Tämä kerroin osoittaa, kuinka monta kertaa kerrointa 3 on lisättävä. Eli kertolaskuoperaation aikana luku 3 kaksinkertaistuu.
Tehdä työtä tämä on itse asiassa kertolaskuoperaation tulos. Esimerkissämme tulo on numero 6. Tämä tulo saadaan kertomalla 3 kahdella.
Lauseke 3 × 2 voidaan ymmärtää myös kahden kolmion summana. Kerroin 2 tuumaa Tämä tapaus näyttää kuinka monta kertaa sinun on otettava numero 3:
Joten jos otat numeron 3 kahdesti peräkkäin, saat numeron 6.
Kertomisen kommutatiivinen laki
Kertojaa ja kertojaa kutsutaan yhdeksi yleinen sana – tekijät. Kertomisen kommutatiivinen laki näyttää tältä:
Tekijöiden paikkojen permutaatiosta tuote ei muutu.
Tarkastetaan, onko näin. Kerro esimerkiksi 3 viidellä. Tässä 3 ja 5 ovat kertoimia.
Vaihdetaan nyt tekijät:
Molemmissa tapauksissa saamme vastauksen 15, mikä tarkoittaa, että voimme laittaa yhtäläisyysmerkin lausekkeiden 3 × 5 ja 5 × 3 väliin, koska ne ovat yhtä suuret:
Ja muuttujien avulla siirtymälaki kertolasku voidaan kirjoittaa näin:
missä a ja b- tekijät
Assosiatiivinen kertolaskulaki
Tämä laki sanoo, että jos lauseke koostuu useista tekijöistä, tulos ei riipu toimintojen järjestyksestä.
Esimerkiksi lauseke 3 × 2 × 4 koostuu useista tekijöistä. Laskeaksesi sen, voit kertoa 3 ja 2 ja kertoa sitten tuloksena olevan tuotteen jäljellä olevalla numerolla 4. Se näyttää tältä:
3 x 2 x 4 = (3 x 2) x 4 = 6 x 4 = 24
Tämä oli ensimmäinen ratkaisu. Toinen vaihtoehto on kertoa 2 ja 4 ja sitten kertoa tuloksena oleva tuote jäljellä olevalla numerolla 3. Se näyttää tältä:
3 x 2 x 4 = 3 x (2 x 4) = 3 x 8 = 24
Molemmissa tapauksissa saamme vastauksen 24. Siksi lausekkeiden (3 × 2) × 4 ja 3 × (2 × 4) väliin voidaan laittaa yhtäläisyysmerkki, koska ne ovat yhtä suuret kuin sama arvo:
(3 x 2) x 4 = 3 x (2 x 4)
ja muuttujien avulla kertolaskun assosiatiivinen laki voidaan kirjoittaa seuraavasti:
a × b × c = (a × b) × c = a × (b × c)
missä sen sijaan a, b, c voi olla mikä tahansa numero.
Kertomisen jakautumislaki
Kertolaiki antaa sinun kertoa summan luvulla. Tätä varten tämän summan jokainen termi kerrotaan tällä luvulla, minkä jälkeen tulokset lisätään.
Etsitään esimerkiksi lausekkeen arvo (2 + 3) × 5
Suluissa oleva lauseke on summa. Tämä summa on kerrottava luvulla 5. Tätä varten tämän summan jokainen termi, eli luvut 2 ja 3, on kerrottava luvulla 5, ja sitten lasketaan tulokset:
(2 + 3) × 5 = 2 × 5 + 3 × 5 = 10 + 15 = 25
Lausekkeen (2 + 3) × 5 arvo on siis 25 .
Muuttujien avulla kertolaskulaki kirjoitetaan seuraavasti:
(a + b) × c = a × c + b × c
missä sen sijaan a, b, c voi olla mikä tahansa numero.
Nollalla kertomisen laki
Tämä laki sanoo, että jos missä tahansa kertolaskussa on vähintään yksi nolla, niin vastaus on nolla.
Tulo on nolla, jos vähintään yksi tekijöistä nolla.
Esimerkiksi lauseke 0 × 2 on nolla
Tässä tapauksessa numero 2 on kertoja ja näyttää kuinka monta kertaa kerrointa on lisättävä. Eli kuinka monta kertaa nollaa lisätään. Kirjaimellisesti tämä ilmaus luetaan "lisää nollaa kahdesti". Mutta kuinka voit tuplata nollan, jos se on nolla?
Toisin sanoen, jos "ei mitään" kaksinkertaistetaan tai jopa miljoona kertaa, se on silti "ei mitään".
Ja jos lausekkeessa 0 × 2 vaihdamme tekijät, saadaan jälleen nolla. Tiedämme tämän edellisestä siirtymälaista:
Esimerkkejä nollalla kertomisen lain soveltamisesta:
2 x 5 x 0 x 9 x 1 = 0
Kahdessa viimeisessä esimerkissä on useita tekijöitä. Nähdessään niissä nollan, laitamme vastaukseen välittömästi nollan soveltamalla nollalla kertomisen lakia.
Olemme pohtineet kertolaskua koskevia peruslakeja. Harkitse seuraavaksi kokonaislukujen kertolaskua.
Kokonaisluvun kertolasku
Esimerkki 1 Etsi lausekkeen arvo −5 × 2
Tämä on lukujen kertolasku erilaisia merkkejä. −5 on negatiivinen ja 2 on positiivinen. Tällaisissa tapauksissa on sovellettava seuraavaa sääntöä:
Jos haluat kertoa lukuja eri etumerkeillä, sinun on kerrottava niiden moduulit ja asetettava miinus ennen vastausta.
−5 × 2 = − (|−5| × |2|) = − (5 × 2) = − (10) = −10
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin: −5 × 2 = −10
Mikä tahansa kertolasku voidaan esittää lukujen summana. Tarkastellaan esimerkiksi lauseketta 2 × 3. Se on yhtä kuin 6.
kerroin sisään annettu ilmaisu on numero 3. Tämä kerroin näyttää, kuinka monta kertaa sinun on lisättävä kahta. Mutta lauseke 2 × 3 voidaan ymmärtää myös kolmen summa kakkoset:
Sama tapahtuu lausekkeen −5 × 2 kanssa. Tämä lauseke voidaan esittää summana
Ja lauseke (-5) + (-5) on yhtä suuri kuin -10, ja tiedämme tämän viimeiseltä oppitunnilta. Tämä on negatiivisten lukujen yhteenlasku. Muista, että negatiivisten lukujen lisäämisen tulos on negatiivinen luku.
Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo 12 × (−5)
Tämä on lukujen kertolasku eri etumerkeillä. 12 - positiivinen luku, (−5) on negatiivinen. Käytämme jälleen edellistä sääntöä. Kerromme lukumoduulit ja laitamme miinuksen ennen saatua vastausta:
12 × (−5) = − (|12| × |−5|) = − (12 × 5) = − (60) = −60
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin: 12 × (−5) = −60
Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo 10 × (−4) × 2
Tämä ilmaisu koostuu useista tekijöistä. Ensin kerrotaan 10 ja (−4), kerrotaan sitten saatu luku 2:lla. Käytä matkan varrella aiemmin tutkittuja sääntöjä:
10 × (−4) = −(|10| × |−4|) = −(10 × 4) = (−40) = −40
Toinen toimenpide:
−40 × 2 = −(|−40 | × | 2|) = −(40 × 2) = −(80) = −80
Lausekkeen 10 × (−4) × 2 arvo on siis −80
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin: 10 × (-4) × 2 = -40 × 2 = -80
Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo (−4) × (−2)
Tämä on negatiivisten lukujen kertolasku. Tällaisissa tapauksissa on sovellettava seuraavaa sääntöä:
Jos haluat kertoa negatiiviset luvut, sinun on kerrottava niiden moduulit ja asetettava plus vastaanotetun vastauksen eteen.
(−4) × (−2) = |−4| × |−2| = 4 × 2 = 8
Lisäksi perinteen mukaan emme kirjoita muistiin, joten kirjoitamme vain vastauksen 8.
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin (−4) × (−2) = 8
Herää kysymys, miksi negatiivisia lukuja kerrottaessa yhtäkkiä tulee positiivinen luku. Yritetään todistaa, että (−4) × (−2) on 8 eikä mitään muuta.
Ensin kirjoitamme seuraavan lausekkeen:
Laitetaan se suluihin:
Lisätään lausekkeemme (−4) × (−2) tähän lausekkeeseen. Laitetaan se myös sulkeisiin:
Yhdistämme tämän kaiken nollaan:
(4 × (−2)) + ((−4) × (−2)) = 0
Nyt hauskuus alkaa. Tärkeintä on, että meidän on laskettava tämän lausekkeen vasen puoli, ja tuloksena saamme 0.
Ensimmäinen tulo (4 × (−2)) on siis −8. Kirjoita lausekkeeseemme luku −8 tulon (4 × (−2)) sijaan
Nyt toisen tuotteen sijaan laitamme väliaikaisesti ellipsin
Tarkastellaan nyt tarkkaan lauseketta −8 + […] = 0. Mitä lukua tulisi käyttää ellipsin sijaan, jotta tasa-arvo toteutuisi? Vastaus ehdottaa itseään. Ellipsin sijasta pitäisi olla positiivinen luku 8 eikä muuta. Vain tällä tavalla tasa-arvo säilyy. Koska −8 + 8 on 0.
Palataan lausekkeeseen −8 + ((−4) × (−2)) = 0 ja tulon ((−4) × (−2)) tilalle kirjoitetaan luku 8
Esimerkki 5 Etsi lausekkeen arvo −2 × (6 + 4)
Sovellamme kertolaskun distributiivista lakia, eli kerromme luvun −2 summan kullakin termillä (6 + 4)
−2 × (6 + 4) = (−2 × 6) + (−2 × 4)
Arvioidaan nyt suluissa olevat lausekkeet. Sitten lasketaan tulokset yhteen. Käytä matkan varrella aiemmin opittuja sääntöjä. Moduuleita sisältävä merkintä voidaan jättää pois, jotta lauseke ei sotkeudu
−2 × 6 = −(2 × 6) = −(12) = −12
−2 × 4 = −(2 × 4) = −(8) = −8
Kolmas toimenpide:
Eli lausekkeen −2 × (6 + 4) arvo on −20
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin: −2 × (6 + 4) = (−12) + (−8) = −20
Esimerkki 6 Etsi lausekkeen arvo (−2) × (−3) × (−4)
Ilmaisu koostuu useista tekijöistä. Ensin kerrotaan luvut -2 ja -3, ja tuloksena oleva tulo kerrotaan jäljellä olevalla luvulla -4. Ohitamme merkinnän moduuleilla, jotta lauseke ei sotkeudu
Eli lausekkeen (−2) × (−3) × (−4) arvo on −24
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin: (−2) × (−3) × (−4) = 6 × (−4) = −24
Jakolainsäädäntö
Ennen kokonaislukujen jakamista on tarpeen tutkia kaksi jakolakia.
Ensinnäkin muistetaan, mistä jako koostuu. Jako koostuu kolmesta parametrista: jaollinen, jakaja ja yksityinen. Esimerkiksi lausekkeessa 8: 2 = 4, 8 on osinko, 2 on jakaja, 4 on osamäärä.
Osinko näyttää tarkalleen, mitä jaamme. Esimerkissämme jaamme luvun 8.
Jakaja Näyttää kuinka moneen osaan osinko jaetaan. Esimerkissämme jakaja on luku 2. Tämä jakaja näyttää kuinka moneen osaan osinko 8 tulee jakaa. Eli jakotoiminnon aikana luku 8 jaetaan kahteen osaan.
Yksityinen on divisioonan toiminnan todellinen tulos. Esimerkissämme osamäärä on 4. Tämä osamäärä on tulos jakamalla 8 kahdella.
Ei voi jakaa nollalla
Mitään lukua ei voi jakaa nollalla. Tämä johtuu siitä, että jako on kertolaskujen käänteinen. Jos esimerkiksi 2 × 6 = 12, niin 12:6 = 2
Voidaan nähdä, että toinen lauseke on kirjoitettu käänteinen järjestys.
Nyt tehdään samoin lausekkeelle 5 × 0. Kertolaeista tiedämme, että tulo on yhtä suuri kuin nolla, jos ainakin yksi tekijöistä on nolla. Joten lauseke 5 × 0 on myös nolla
Jos kirjoitamme tämän lausekkeen käänteisessä järjestyksessä, saamme:
Vastaus pistää heti silmään on 5, mikä on tulos nollan jakamisesta nollalla. Se on mahdotonta ja typerää.
Toinen samanlainen lauseke voidaan kirjoittaa käänteisessä järjestyksessä, esimerkiksi 2 × 0 = 0
Ensimmäisessä tapauksessa, jakamalla nolla nollalla, saimme 5 ja toisessa tapauksessa 2. Eli joka kerta kun nolla jaetaan nollalla, saadaan erilaisia merkityksiä, jota ei voida hyväksyä.
Toinen selitys on, että osingon jakaminen jakajalla tarkoittaa luvun, joka jakajalla kerrottuna antaa osingon.
Esimerkiksi lauseke 8: 2 tarkoittaa luvun, joka kerrottuna 2:lla antaa 8:n
Tässä tulee ellipsin sijaan olla luku, joka kerrottuna 2:lla antaa vastauksen 8. Tämän luvun löytämiseksi riittää, että kirjoitat tämän lausekkeen käänteisessä järjestyksessä:
Kuvittele nyt, että sinun on löydettävä lausekkeen arvo 5: 0. Tässä tapauksessa 5 on osinko, 0 on jakaja. 5:n jakaminen 0:lla tarkoittaa luvun löytämistä, joka kerrottuna nollalla antaa 5:n
Tässä tulisi ellipsin sijaan olla luku, joka kerrottuna 0:lla antaa vastauksen 5. Mutta ei ole olemassa lukua, joka nollalla kerrottuna antaisi 5:n.
Lauseke […] × 0 = 5 on ristiriidassa nollalla kertomisen lain kanssa, jonka mukaan tulo on yhtä suuri kuin nolla, kun vähintään yksi tekijöistä on nolla.
Joten lausekkeen […] × 0 = 5 kirjoittaminen käänteisessä järjestyksessä, 5:n jakaminen 0:lla ei ole järkevää. Siksi sanotaan, että nollalla ei voi jakaa.
Muuttujien käyttö tämä laki on kirjoitettu seuraavasti:
klo b ≠ 0
Määrä a voidaan jakaa numerolla b, edellyttäen että b ei ole yhtä kuin nolla.
yksityisalue
Tämä laki sanoo, että jos osinko ja jakaja kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, osamäärä ei muutu.
Harkitse esimerkiksi lauseketta 12: 4. Tämän lausekkeen arvo on 3
Yritetään kertoa osinko ja jakaja samalla luvulla, esimerkiksi luvulla 4. Jos uskomme osamääräominaisuutta, pitäisi saada vastauksessa jälleen luku 3
(12×4) : (4×4)
(12 × 4) : (4 × 4) = 48: 16 = 3
Yritetään nyt olla kertomatta, vaan jakaa osinko ja jakaja luvulla 4
(12: 4) : (4: 4)
(12: 4) : (4: 4) = 3: 1 = 3
Sain vastauksen 3.
Näemme, että jos osinko ja jakaja kerrotaan tai jaetaan samalla luvulla, osamäärä ei muutu.
Kokonaislukujen jako
Esimerkki 1 Etsi lausekkeen 12 arvo: (−2)
Tämä on lukujen jako eri merkillä. 12 on positiivinen luku, (−2) on negatiivinen. Tällaisissa tapauksissa tarvitset
12: (−2) = −(|12| : |−2|) = −(12: 2) = −(6) = −6
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmäksi kuin 12: (−2) = −6
Esimerkki 2 Etsi lausekkeen arvo −24: 6
Tämä on lukujen jako eri merkillä. −24 on negatiivinen, 6 on positiivinen. Tällaisissa tapauksissa taas jaa osinkomoduuli jakajamoduulilla ja laita miinusmerkki vastaanotetun vastauksen eteen.
−24: 6 = −(|−24| : |6|) = −(24: 6) = −(4) = −4
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmäksi kuin -24: 6 = -4
Esimerkki 3 Etsi lausekkeen arvo (−45) : (−5)
Tämä on negatiivisten lukujen jako. Tällaisissa tapauksissa tarvitset jaa osinkomoduuli jakajamoduulilla ja laita plusmerkki vastaanotetun vastauksen eteen.
(−45) : (−5) = |−45| : |−5| = 45: 5 = 9
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin (−45) : (−5) = 9
Esimerkki 4 Etsi lausekkeen arvo (−36) : (−4) : (−3)
Toimintojärjestyksen mukaan, jos lauseke sisältää vain kerto- tai jakolaskun, kaikki toiminnot on suoritettava vasemmalta oikealle siinä järjestyksessä, jossa ne esiintyvät.
Jaa (−36) (−4) ja jaa saatu luku (−3)
Ensimmäinen toimenpide:
(−36) : (−4) = |−36| : |−4| = 36: 4 = 9
9: (−3) = −(|−9| : |−3|) = −(9: 3) = −(3) = −3
Yleensä kirjoitetaan lyhyemmin (−36) : (−4) : (−3) = 9: (−3) = −3
Piditkö oppitunnista?
Liity joukkoomme uusi ryhmä Vkontakte ja ala vastaanottaa ilmoituksia uusista oppitunneista
Kaikki muistavat koulusta, että nollalla ei voi jakaa. Nuoremmille opiskelijoille ei koskaan kerrota, miksi heidän ei pitäisi tehdä sitä. He vain tarjoavat pitävän sitä itsestäänselvyytenä muiden kieltojen ohella, kuten "ei saa laittaa sormia pistorasioihin" tai "ei saa esittää tyhmiä kysymyksiä aikuisille".
Luku 0 voidaan esittää eräänlaisena rajana, joka erottaa reaalilukujen maailman imaginaari- tai negatiivisista lukuista. Epäselvän sijainnin vuoksi monet operaatiot tällä numeerisella arvolla eivät noudata matemaattista logiikkaa. Nollalla jakamisen mahdottomuus on tästä hyvä esimerkki. Ja sallitut aritmeettiset operaatiot nollalla voidaan suorittaa käyttämällä yleisesti hyväksyttyjä määritelmiä.
Algebrallinen selitys nollalla jakamisen mahdottomuudelle
Algebrallisesti et voi jakaa nollalla, koska siinä ei ole mitään järkeä. Otetaan kaksi mielivaltaista lukua, a ja b, ja kerrotaan ne nollalla. a × 0 on nolla ja b × 0 on nolla. Osoittautuu, että a × 0 ja b × 0 ovat yhtä suuret, koska tulo molemmissa tapauksissa on nolla. Siten voimme kirjoittaa yhtälön: 0 × a = 0 × b. Oletetaan nyt, että voimme jakaa nollalla: jaamme yhtälön molemmat puolet nollalla ja saamme, että a = b. Osoittautuu, että jos sallimme nollalla jakamisen, kaikki luvut ovat samat. Mutta 5 ei ole yhtä kuin 6 ja 10 ei ole yhtä kuin ½. Syntyy epävarmuutta, josta opettajat eivät halua kertoa uteliaille peruskoulun oppilaille.
Onko 0:0-operaatiota?
Todellakin, jos nollalla kertominen on laillista, voidaanko nolla jakaa nollalla? Loppujen lopuksi yhtälö muotoa 0x5=0 on varsin laillinen. Numeron 5 sijasta voit laittaa 0, tuote ei muutu tästä. Todellakin, 0x0 = 0. Mutta et silti voi jakaa nollalla. Kuten sanottu, jako on vain kertolasku käänteinen. Jos siis esimerkissä 0x5=0, sinun on määritettävä toinen tekijä, saamme 0x0=5. Tai 10. Tai ääretön. Äärettömän jakaminen nollalla – mitä pidät siitä? Mutta jos mikä tahansa luku sopii lausekkeeseen, siinä ei ole järkeä, emme voi valita yhtä loputtomasta lukujoukosta. Ja jos on, se tarkoittaa, että lausekkeessa 0:0 ei ole järkeä. Osoittautuu, että edes nollaa itseään ei voida jakaa nollalla.
Selitys nollalla jakamisen mahdottomuudesta matemaattisen analyysin kannalta
Lukiossa opiskellaan rajojen teoriaa, joka puhuu myös nollalla jakamisen mahdottomuudesta. Tämä numero tulkitaan siellä "määrättömästi loputtomasti pieni arvo". Joten jos tarkastelemme yhtälöä 0 × X = 0 tämän teorian puitteissa, huomaamme, että X ei löydy, koska tätä varten meidän pitäisi jakaa nolla nollalla. Ja tässä ei myöskään ole mitään järkeä, koska sekä osinko että jakaja ovat tässä tapauksessa määrittelemättömiä määriä, joten on mahdotonta tehdä johtopäätöstä niiden tasa-arvosta tai epätasa-arvosta.
Milloin voit jakaa nollalla?
Toisin kuin koululaiset, teknisten korkeakoulujen opiskelijat voivat jakaa nollalla. Operaatio, joka on mahdoton algebrassa, voidaan suorittaa muilla matemaattisen tiedon alueilla. Heillä on uusia lisäehdot tehtäviä, jotka sallivat tämän toiminnon. Nollalla jakaminen on mahdollista niille, jotka kuuntelevat luentokurssia epästandardista analyysistä, tutkivat Diracin deltafunktiota ja tutustuvat laajennettuun kompleksitasoon.
Nollan historia
Nolla on vertailupiste kaikissa vakionumerojärjestelmissä. Eurooppalaiset ovat käyttäneet numeroa suhteellisen hiljattain, mutta muinaisen Intian viisaat käyttivät nollaa tuhat vuotta ennen kuin eurooppalaiset matemaatikot käyttivät säännöllisesti tyhjää lukua. Jo ennen intiaaneja nolla oli pakollinen arvo mayojen numerojärjestelmässä. Tämä amerikkalainen kansa käytti kaksidesimaalijärjestelmää, ja he aloittivat jokaisen kuukauden ensimmäisen päivän nollalla. Mielenkiintoista on, että mayojen keskuudessa "nollan" merkki osui täysin yhteen "äärettömyyden" merkin kanssa. Siten muinaiset mayat päättelivät, että nämä määrät olivat identtisiä ja tuntemattomia.
korkeampi matematiikka
Nollalla jako on päänsärky lukion matematiikalle. Teknisissä korkeakouluissa opiskeltu matemaattinen analyysi laajentaa hieman käsitettä ongelmat, joihin ei ole ratkaisua. Esimerkiksi jo tunnettuun lausekkeeseen 0:0 lisätään uusia, joilla ei ole ratkaisua koulun matematiikan kursseilla: ääretön jaettuna äärettömällä: ∞:∞; ääretön miinus ääretön: ∞−∞; yksikkö korotettuna äärettömään potenssiin: 1∞; ääretön kerrottuna 0:lla: ∞*0; jotkut muut.
Tällaisia lausekkeita on mahdotonta ratkaista perusmenetelmillä. Mutta korkeampi matematiikka antaa lopullisia ratkaisuja useiden samankaltaisten esimerkkien lisämahdollisuuksien ansiosta. Tämä näkyy erityisesti ongelmien pohdinnassa rajojen teoriasta.
Epävarmuuden paljastaminen
Rajateoriassa arvo 0 korvataan ehdollisella äärettömän pienellä muuttujalla. Ja lausekkeet, joissa jako nollalla saadaan, kun haluttu arvo korvataan, muunnetaan.
Alla on tavallinen esimerkki rajan laajentamisesta tavallisilla algebrallisilla muunnoksilla: Kuten esimerkissä näkyy, pelkkä murtoluvun pienentäminen tuo sen arvon täysin rationaaliseen vastaukseen.
Kun tarkastellaan trigonometristen funktioiden rajoja, niiden lausekkeet pyrkivät pienenemään ensimmäiseen merkittävään rajaan. Tarkasteltaessa rajoja, joissa nimittäjä menee nollaan, kun raja korvataan, käytetään toista merkittävää rajaa.
L'Hopital-menetelmä
Joissakin tapauksissa lausekkeiden rajat voidaan korvata niiden johdannaisten rajalla. Guillaume Lopital - ranskalainen matemaatikko, ranskalaisen matemaattisen analyysin koulun perustaja. Hän osoitti, että lausekkeiden rajat ovat yhtä suuret kuin näiden lausekkeiden johdannaisten rajat.
Matemaattisessa merkinnässä hänen sääntönsä on seuraava.
