सबसे सरल प्रकार के कंपन हैं हार्मोनिक कंपन- उतार-चढ़ाव जिसमें संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु का विस्थापन समय के साथ साइन या कोसाइन कानून के अनुसार बदलता है।

तो, परिधि के चारों ओर गेंद के एक समान घुमाव के साथ, इसका प्रक्षेपण (प्रकाश की समानांतर किरणों में छाया) एक ऊर्ध्वाधर स्क्रीन पर एक हार्मोनिक ऑसिलेटरी गति करता है (चित्र 1)।

हार्मोनिक कंपन के दौरान संतुलन की स्थिति से विस्थापन को समीकरण द्वारा वर्णित किया जाता है (इसे गतिज नियम कहा जाता है हार्मोनिक गति) फॉर्म का:

जहाँ x - विस्थापन - एक मान जो संतुलन की स्थिति के सापेक्ष समय t पर दोलन बिंदु की स्थिति को दर्शाता है और संतुलन स्थिति से बिंदु की स्थिति की दूरी से मापा जाता है इस पलसमय; ए - दोलन आयाम - संतुलन की स्थिति से शरीर का अधिकतम विस्थापन; टी - दोलन अवधि - एक पूर्ण दोलन का समय; वे। समय की सबसे छोटी अवधि जिसके बाद दोलन की विशेषता वाली भौतिक मात्राओं के मूल्यों को दोहराया जाता है; - पहला भाग;

समय पर दोलन का चरण t. दोलन चरण तर्क है आवधिक कार्य, जो किसी दिए गए दोलन आयाम पर किसी भी समय शरीर के दोलन प्रणाली (विस्थापन, गति, त्वरण) की स्थिति को निर्धारित करता है।

मैं फ़िन प्रारंभिक क्षणसमय, दोलन बिंदु संतुलन स्थिति से अधिकतम रूप से विस्थापित हो जाता है, और संतुलन स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

यदि दोलन बिंदु स्थिर संतुलन की स्थिति में है, तो संतुलन की स्थिति से बिंदु का विस्थापन कानून के अनुसार बदल जाता है

V का मान, आवर्त का व्युत्क्रम और संख्या के बराबर 1 सेकंड में किए गए पूर्ण दोलनों को दोलनों की आवृत्ति कहा जाता है:

यदि समय में t शरीर N को पूर्ण दोलन करता है, तो

मूल्य , यह दर्शाता है कि शरीर s में कितने दोलन करता है, कहलाता है चक्रीय (गोलाकार) आवृत्ति.

हार्मोनिक गति के गतिज नियम को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

ग्राफिक रूप से, समय पर एक दोलन बिंदु के विस्थापन की निर्भरता को कोसाइन (या साइनसॉइड) द्वारा दर्शाया जाता है।

चित्रा 2, मामले के लिए संतुलन की स्थिति से दोलन बिंदु के विस्थापन की समय निर्भरता को दर्शाता है।

आइए जानें कि समय के साथ किसी दोलन बिंदु की गति कैसे बदलती है। ऐसा करने के लिए, हम इस अभिव्यक्ति का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

x-अक्ष पर वेग प्रक्षेपण का आयाम कहाँ है।

इस सूत्र से पता चलता है कि हार्मोनिक दोलनों के दौरान, एक्स अक्ष पर शरीर के वेग का प्रक्षेपण भी एक ही आवृत्ति के साथ हार्मोनिक कानून के अनुसार एक अलग आयाम के साथ बदलता है, और मिश्रण चरण से आगे होता है (चित्र 2, बी) .

त्वरण की निर्भरता का पता लगाने के लिए, हम वेग प्रक्षेपण का समय व्युत्पन्न पाते हैं:

एक्स-अक्ष पर त्वरण प्रक्षेपण का आयाम कहां है।

हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण प्रक्षेपण k (चित्र 2, c) द्वारा चरण बदलाव की ओर जाता है।

इसी तरह, आप निर्भरता ग्राफ बना सकते हैं

इसे ध्यान में रखते हुए, त्वरण का सूत्र लिखा जा सकता है

वे। हार्मोनिक दोलनों के लिए, त्वरण प्रक्षेपण विस्थापन के सीधे आनुपातिक होता है और संकेत में विपरीत होता है, अर्थात। त्वरण विस्थापन के विपरीत दिशा में निर्देशित होता है।

तो, त्वरण प्रक्षेपण विस्थापन का दूसरा व्युत्पन्न है, तो परिणामी अनुपात को इस प्रकार लिखा जा सकता है:

अंतिम समानता कहलाती है हार्मोनिक दोलनों का समीकरण.

एक भौतिक प्रणाली जिसमें हार्मोनिक दोलन मौजूद हो सकते हैं, कहलाते हैं लयबद्ध दोलक, और हार्मोनिक दोलनों का समीकरण - हार्मोनिक थरथरानवाला समीकरण.

हार्मोनिक वेव समीकरण

हार्मोनिक दोलन समीकरण समय पर शरीर के समन्वय की निर्भरता को स्थापित करता है

प्रारंभिक क्षण में कोसाइन ग्राफ का अधिकतम मूल्य होता है, और प्रारंभिक क्षण में साइन ग्राफ का शून्य मान होता है। यदि हम संतुलन की स्थिति से दोलन की जांच करना शुरू करते हैं, तो दोलन साइनसॉइड को दोहराएगा। यदि हम अधिकतम विचलन की स्थिति से दोलन पर विचार करना शुरू करते हैं, तो दोलन कोसाइन का वर्णन करेगा। या इस तरह के दोलन को प्रारंभिक चरण के साथ साइन सूत्र द्वारा वर्णित किया जा सकता है।

हार्मोनिक दोलन के दौरान गति और त्वरण में परिवर्तन

साइन या कोसाइन के नियम के अनुसार न केवल शरीर का समन्वय समय के साथ बदलता है। लेकिन बल, गति और त्वरण जैसी मात्राएँ भी इसी तरह बदलती हैं। बल और त्वरण अधिकतम होते हैं जब दोलन करने वाला पिंड में होता है चरम स्थिति, जहां विस्थापन अधिकतम होता है, और जब शरीर संतुलन की स्थिति से गुजरता है तो शून्य के बराबर होता है। गति, इसके विपरीत, चरम स्थितियों में शून्य के बराबर होती है, और जब शरीर संतुलन की स्थिति से गुजरता है, तो यह अपने अधिकतम मूल्य तक पहुंच जाता है।

यदि कोसाइन के नियम के अनुसार दोलन का वर्णन किया जाता है

यदि दोलन को ज्या नियम के अनुसार वर्णित किया जाता है

अधिकतम गति और त्वरण मान

निर्भरता v(t) और a(t) के समीकरणों का विश्लेषण करने के बाद, कोई यह अनुमान लगा सकता है कि गति और त्वरण के अधिकतम मान कब होते हैं त्रिकोणमितीय कारक 1 या -1 है। सूत्र द्वारा निर्धारित

साइनसॉइडल कानून के अनुसार समय में परिवर्तन:

कहाँ पे एक्स- समय के क्षण में उतार-चढ़ाव वाली मात्रा का मूल्य टी, लेकिन- आयाम, ω - परिपत्र आवृत्ति, φ दोलनों का प्रारंभिक चरण है, ( t + φ ) दोलनों का कुल चरण है। उसी समय, मान लेकिन, ω और φ - स्थायी।

एक दोलन मूल्य के साथ यांत्रिक कंपन के लिए एक्सहैं, विशेष रूप से, विस्थापन और वेग के लिए विद्युत दोलन- वोल्टेज और करंट।

हार्मोनिक कंपन लेते हैं विशेष स्थानसभी प्रकार के दोलनों के बीच, क्योंकि यह एकमात्र प्रकार का दोलन है, जिसका आकार किसी से गुजरने पर विकृत नहीं होता है सजातीय वातावरण, अर्थात्, हार्मोनिक दोलनों के स्रोत से फैलने वाली तरंगें भी हार्मोनिक होंगी। किसी भी गैर-हार्मोनिक कंपन को विभिन्न हार्मोनिक कंपनों (हार्मोनिक कंपन के स्पेक्ट्रम के रूप में) के योग (अभिन्न) के रूप में दर्शाया जा सकता है।

हार्मोनिक कंपन के दौरान ऊर्जा परिवर्तन।

दोलनों की प्रक्रिया में स्थितिज ऊर्जा का संक्रमण होता है डब्ल्यूपीगतिज में डब्ल्यू कोऔर इसके विपरीत। संतुलन स्थिति से अधिकतम विचलन की स्थिति में, स्थितिज ऊर्जा अधिकतम होती है, गतिज ऊर्जा शून्य होती है। जैसे ही आप संतुलन की स्थिति में लौटते हैं, दोलन करने वाले शरीर की गति बढ़ जाती है, और इसके साथ, ऐसा होता है गतिज ऊर्जा, संतुलन की स्थिति में अधिकतम तक पहुँचना। तब स्थितिज ऊर्जा शून्य हो जाती है। आगे-गर्दन की गति गति में कमी के साथ होती है, जो विक्षेपण के दूसरे अधिकतम तक पहुंचने पर शून्य हो जाती है। यहाँ स्थितिज ऊर्जा अपने प्रारंभिक (अधिकतम) मान (घर्षण की अनुपस्थिति में) तक बढ़ जाती है। इस प्रकार, गतिज और संभावित ऊर्जाओं के दोलन दोगुने (पेंडुलम के दोलनों की तुलना में) आवृत्ति के साथ होते हैं और एंटीफ़ेज़ में होते हैं (अर्थात, उनके बीच एक चरण बदलाव के बराबर होता है π ) कुल कंपन ऊर्जा वूकुछ नहीं बदला है। एक लोचदार बल की क्रिया के तहत दोलन करने वाले शरीर के लिए, यह बराबर है:

कहाँ पे वी एम- शरीर की अधिकतम गति (संतुलन की स्थिति में), एक्स एम = लेकिन- आयाम।

माध्यम के घर्षण और प्रतिरोध की उपस्थिति के कारण मुक्त कंपनक्षय: उनकी ऊर्जा और आयाम समय के साथ घटते जाते हैं। इसलिए, व्यवहार में, मुक्त नहीं, बल्कि मजबूर दोलनों का अधिक बार उपयोग किया जाता है।

प्रगतिशील और के साथ घूर्णन गतियांत्रिकी में निकायों, दोलन गति भी काफी रुचि के हैं। यांत्रिक कंपन निकायों के आंदोलनों को कहा जाता है जो नियमित अंतराल पर बिल्कुल (या लगभग) दोहराते हैं। एक दोलनशील पिंड की गति का नियम समय के कुछ आवधिक कार्य द्वारा दिया जाता है एक्स = एफ (टी). ग्राफिक छवियह फ़ंक्शन समय में दोलन प्रक्रिया के पाठ्यक्रम का एक दृश्य प्रतिनिधित्व देता है।

सरल ऑसिलेटरी सिस्टम के उदाहरण स्प्रिंग पर लोड हैं या गणितीय लोलक(चित्र 2.1.1)।

यांत्रिक कंपन, जैसे दोलन प्रक्रियाकोई अन्य भौतिक प्रकृति, हो सकती है नि: शुल्कऔर मजबूर. मुक्त कंपन प्रभाव में बने हैं आंतरिक बल प्रणाली को संतुलन से बाहर लाने के बाद प्रणाली। स्प्रिंग पर भार का दोलन या लोलक का दोलन मुक्त दोलन हैं। कार्रवाई के तहत कंपन बाहरीसमय-समय पर बदलती शक्तियों को कहा जाता है मजबूर .

सबसे सरल प्रकार की ऑसिलेटरी प्रक्रिया सरल होती है हार्मोनिक कंपन , जो समीकरण द्वारा वर्णित हैं

एक्स = एक्सएम कॉस (ω टी + φ 0).

यहां एक्स- संतुलन की स्थिति से शरीर का विस्थापन, एक्सएम - दोलन आयाम, यानी संतुलन की स्थिति से अधिकतम विस्थापन, - चक्रीय या वृत्ताकार आवृत्ति संकोच, टी- समय। कोज्या चिह्न = ω . के तहत मान टी+ 0 कहा जाता है अवस्थाहार्मोनिक प्रक्रिया। पर टी= 0 = 0 , इसलिए 0 को कहा जाता है पहला भाग. न्यूनतम समय अंतराल जिसके बाद शरीर की गति को दोहराया जाता है, कहलाता है दोलन की अवधि टी. भौतिक मात्रा, दोलन अवधि के व्युत्क्रम को कहा जाता है दोलन आवृत्ति:

दोलन आवृत्ति एफदिखाता है कि 1 सेकंड में कितने कंपन होते हैं। आवृत्ति इकाई - हेटर्स(हर्ट्ज)। दोलन आवृत्ति एफचक्रीय आवृत्ति ω और दोलन अवधि . से संबंधित है टीअनुपात:

अंजीर पर। 2.1.2 हार्मोनिक स्पंदनों के साथ नियमित अंतराल पर शरीर की स्थिति को दर्शाता है। इस तरह की तस्वीर प्रयोगात्मक रूप से प्रकाश की छोटी आवधिक चमक के साथ एक दोलनशील शरीर को रोशन करके प्राप्त की जा सकती है ( स्ट्रोबोस्कोपिक लाइटिंग) तीर समय में विभिन्न बिंदुओं पर शरीर के वेग वैक्टर का प्रतिनिधित्व करते हैं।

चावल। 2.1.3 एक हार्मोनिक प्रक्रिया के ग्राफ पर होने वाले परिवर्तनों को दिखाता है यदि या तो दोलनों का आयाम बदलता है एक्समी, या अवधि टी(या आवृत्ति एफ), या प्रारंभिक चरण 0।

पर दोलन गतिएक सीधी रेखा के साथ पिंड (अक्ष .) बैल) वेग सदिश हमेशा इस सीधी रेखा के अनुदिश निर्देशित होता है। वेग = एक्सशरीर की गति अभिव्यक्ति द्वारा निर्धारित होती है

गणित में . पर अनुपात की सीमा ज्ञात करने की प्रक्रिया टी→ 0 को फलन के अवकलज का परिकलन कहा जाता है एक्स (टी) समय तक टीऔर के रूप में या के रूप में निरूपित एक्स"(टी) या अंत में के रूप में। गति के हार्मोनिक नियम के लिए व्युत्पन्न की गणना निम्नलिखित परिणाम की ओर ले जाती है:

कोज्या तर्क में शब्द + / 2 के प्रकट होने का अर्थ है प्रारंभिक चरण में परिवर्तन। वेग का अधिकतम मॉड्यूलो मान = एक्समी उन क्षणों में प्राप्त होता है जब शरीर संतुलन की स्थिति से गुजरता है ( एक्स= 0)। त्वरण को इसी तरह परिभाषित किया गया है ए = एएक्सहार्मोनिक कंपन वाले शरीर:

इसलिए त्वरण एफ़ंक्शन के व्युत्पन्न के बराबर है ( टी) समय तक टी, या फ़ंक्शन का दूसरा व्युत्पन्न एक्स (टी) गणना देते हैं:

इस व्यंजक में ऋण चिह्न का अर्थ है कि त्वरण ए (टी) हमेशा एक संकेत है, विपरीत चिन्हपक्षपात एक्स (टी), और इसलिए, न्यूटन के दूसरे नियम के अनुसार, शरीर को हार्मोनिक दोलन करने के लिए प्रेरित करने वाला बल हमेशा संतुलन की स्थिति की ओर निर्देशित होता है ( एक्स = 0).

उतार चढ़ावआंदोलनों या प्रक्रियाओं को कहा जाता है जो समय में एक निश्चित पुनरावृत्ति की विशेषता है। ऑसिलेटरी प्रक्रियाएं प्रकृति और प्रौद्योगिकी में व्यापक हैं, उदाहरण के लिए, एक घड़ी के पेंडुलम का स्विंग, चर बिजलीआदि। जब पेंडुलम दोलन करता है, तो उसके द्रव्यमान के केंद्र का समन्वय बदल जाता है, मामले में प्रत्यावर्ती धारासर्किट में वोल्टेज और करंट में उतार-चढ़ाव होता है। भौतिक प्रकृतिदोलन भिन्न हो सकते हैं, इसलिए, यांत्रिक, विद्युत चुम्बकीय, आदि दोलनों को प्रतिष्ठित किया जाता है। हालाँकि, विभिन्न दोलन प्रक्रियाओं को समान विशेषताओं द्वारा वर्णित किया जाता है और एक ही समीकरण. इससे व्यवहार्यता आती है एकीकृत दृष्टिकोणकंपन के अध्ययन के लिए विभिन्न भौतिक प्रकृति।

उतार-चढ़ाव कहा जाता है नि: शुल्क, यदि वे केवल सिस्टम के तत्वों के बीच कार्य करने वाले आंतरिक बलों के प्रभाव में किए जाते हैं, तो सिस्टम को संतुलन की स्थिति से हटा दिए जाने के बाद बाहरी ताक़तेंऔर अपने आप छोड़ दिया। हमेशा मुक्त कंपन नम दोलन , क्योंकि वास्तविक प्रणालीऊर्जा हानि अपरिहार्य है। ऊर्जा हानि के बिना एक प्रणाली के आदर्श मामले में, मुक्त दोलन (जो मनमाने ढंग से लंबे समय तक जारी रहते हैं) कहलाते हैं अपना.

मुक्त अविरल दोलनों का सबसे सरल प्रकार है हार्मोनिक दोलन -उतार-चढ़ाव जिसमें उतार-चढ़ाव मूल्य समय के साथ साइन (कोसाइन) कानून के अनुसार बदलता है। प्रकृति और प्रौद्योगिकी में होने वाले दोलनों में अक्सर हार्मोनिक के करीब एक चरित्र होता है।

हार्मोनिक कंपन का वर्णन एक समीकरण द्वारा किया जाता है जिसे हार्मोनिक कंपन का समीकरण कहा जाता है:

कहाँ पे लेकिन- उतार-चढ़ाव का आयाम, उतार-चढ़ाव वाले मूल्य का अधिकतम मूल्य एक्स; - प्राकृतिक दोलनों की वृत्ताकार (चक्रीय) आवृत्ति; - समय के एक क्षण में दोलन का प्रारंभिक चरण टी= 0; - समय के क्षण में दोलन का चरण टी।दोलन का चरण एक निश्चित समय पर दोलन मात्रा का मान निर्धारित करता है। चूँकि कोसाइन +1 से -1 तक भिन्न होता है, तब एक्स+ . से मान ले सकते हैं एइससे पहले - लेकिन.

समय टी, जिसके लिए प्रणाली एक पूर्ण दोलन पूरा करती है, कहलाती है दोलन की अवधि. दौरान टीदोलन चरण 2 . से बढ़ा है π , अर्थात।

कहाँ । (14.2)

दोलन काल का व्युत्क्रम

यानी प्रति इकाई समय में पूर्ण दोलनों की संख्या को दोलन आवृत्ति कहा जाता है। (14.2) और (14.3) की तुलना करने पर हम प्राप्त करते हैं

आवृत्ति की इकाई हर्ट्ज़ (Hz) है: 1 Hz वह आवृत्ति है जिस पर 1 s में एक पूर्ण दोलन होता है।

वे तंत्र जिनमें मुक्त कंपन हो सकते हैं, कहलाते हैं दोलन . किसी निकाय में मुक्त दोलन होने के लिए उसके पास कौन-से गुण होने चाहिए? यांत्रिक प्रणालीहोना आवश्यक है स्थिर संतुलन की स्थिति, बाहर निकलने पर जो प्रकट होता है संतुलन की ओर बल बहाल करना. यह स्थिति मेल खाती है, जैसा कि ज्ञात है, न्यूनतम स्थितिज ऊर्जासिस्टम आइए हम कई दोलन प्रणालियों पर विचार करें जो सूचीबद्ध गुणों को संतुष्ट करते हैं।