घातीय समीकरण. जैसा कि आप जानते हैं, USE में शामिल हैं सरल समीकरण. हम पहले ही कुछ पर विचार कर चुके हैं - ये लघुगणक, त्रिकोणमितीय, परिमेय हैं। यहाँ घातीय समीकरण हैं।

हाल के एक लेख में, हमने घातीय अभिव्यक्तियों के साथ काम किया, यह उपयोगी होगा। समीकरण स्वयं सरल और शीघ्रता से हल हो जाते हैं। केवल घातांक के गुणों को जानना आवश्यक है और ... इसके बारे मेंआगे।

हम घातांक के गुणों को सूचीबद्ध करते हैं:

किसी भी संख्या की शून्य घात एक के बराबर होती है।

इस संपत्ति का परिणाम:

थोड़ा और सिद्धांत।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें संकेतक में एक चर होता है, अर्थात यह समीकरण रूप का होता है:

एफ(एक्स) एक अभिव्यक्ति जिसमें एक चर होता है

घातांकीय समीकरणों को हल करने के तरीके

1. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, समीकरण को रूप में घटाया जा सकता है:

फिर हम संपत्ति लागू करते हैं:

2. फॉर्म का समीकरण प्राप्त करते समय ए एफ (एक्स) = बीलघुगणक की परिभाषा का उपयोग किया जाता है, हम प्राप्त करते हैं:

3. परिवर्तनों के परिणामस्वरूप, आप फॉर्म का समीकरण प्राप्त कर सकते हैं:

लघुगणक लागू किया जाता है:

व्यक्त कीजिए और x ज्ञात कीजिए।

कार्यों में उपयोग विकल्पयह पहली विधि का उपयोग करने के लिए पर्याप्त होगा।

अर्थात्, बाएँ और दाएँ भागों को समान आधार के साथ डिग्री के रूप में प्रस्तुत करना आवश्यक है, और फिर हम संकेतकों को समान करते हैं और सामान्य को हल करते हैं रेखीय समीकरण.

समीकरणों पर विचार करें:

समीकरण 4 1-2x = 64 का मूल ज्ञात कीजिए।

यह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि बाईं ओर और सही भागथे घातीय अभिव्यक्तिएक आधार के साथ। हम 64 को 4 के रूप में 3 की घात के रूप में निरूपित कर सकते हैं।

4 1-2x = 4 3

1 - 2x = 3

- 2x = 2

एक्स = - 1

इंतिहान:

4 1–2 (–1) = 64

4 1 + 2 = 64

4 3 = 64

64 = 64

उत्तर 1

समीकरण 3 . का मूल ज्ञात कीजिएएक्स-18 = 1/9।

यह जाना जाता है कि

तो 3 x-18 = 3 -2

आधार समान हैं, हम संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:

एक्स - 18 \u003d - 2

एक्स = 16

इंतिहान:

3 16–18 = 1/9

3 –2 = 1/9

1/9 = 1/9

उत्तर: 16

समीकरण की जड़ खोजें:

आइए अंश 1/64 को एक चौथाई से तीसरी घात के रूप में निरूपित करें:

2x - 19 = 3

2x = 22

एक्स = 11

इंतिहान:

उत्तर: 11

समीकरण की जड़ खोजें:

आइए 1/3 को 3 -1 के रूप में और 9 को 3 वर्ग के रूप में निरूपित करें, हम प्राप्त करते हैं:

(3 -1) 8-2x = 3 2

3 –1∙(8–2х) = 3 2

3 -8 + 2x \u003d 3 2

अब हम संकेतकों की बराबरी कर सकते हैं:

- 8+2x = 2

2x = 10

एक्स = 5

इंतिहान:

उत्तर: 5

26654. समीकरण का मूल ज्ञात कीजिए:

समाधान:

उत्तर: 8.75

वास्तव में, हम जिस भी हद तक बढ़ाते हैं सकारात्मक संख्याए, ऐसा कोई तरीका नहीं है जिससे हम ऋणात्मक संख्या प्राप्त कर सकें।

उपयुक्त परिवर्तनों के बाद कोई भी घातीय समीकरण एक या अधिक सरल लोगों को हल करने के लिए कम हो जाता है।इस भाग में हम कुछ समीकरणों के हल पर भी विचार करेंगे, चूकें नहीं!बस इतना ही। आप सौभाग्यशाली हों!

साभार, अलेक्जेंडर क्रुतित्सकिख।

पुनश्च: यदि आप सोशल नेटवर्क में साइट के बारे में बताएंगे तो मैं आभारी रहूंगा।

उपकरण:

• एक कंप्यूटर,
• मल्टीमीडिया प्रोजेक्टर,
• स्क्रीन,
• अनुलग्नक 1(PowerPoint में स्लाइड प्रस्तुति) "घातीय समीकरणों को हल करने के तरीके"
• परिशिष्ट 2("तीन" प्रकार के समीकरण का हल विभिन्न आधारडिग्री" वर्ड में)
• अनुलग्नक 3(व्यावहारिक कार्य के लिए वर्ड में हैंडआउट)।
• परिशिष्ट 4(होमवर्क के लिए वर्ड में हैंडआउट)।

कक्षाओं के दौरान

1. संगठनात्मक चरण

• पाठ के विषय का संदेश (बोर्ड पर लिखा हुआ),
• कक्षा 10-11 में एक सामान्यीकरण पाठ की आवश्यकता:

ज्ञान के सक्रिय आत्मसात के लिए छात्रों को तैयार करने का चरण

दुहराव

परिभाषा।

एक घातांकीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें घातांक में एक चर होता है (छात्र उत्तर देता है)।

शिक्षक का नोट। घातीय समीकरण ट्रान्सेंडैंटल समीकरणों के वर्ग से संबंधित हैं। यह कठिन-से-उच्चारण नाम बताता है कि ऐसे समीकरण, सामान्यतया, सूत्रों के रूप में हल नहीं किए जा सकते हैं।

उन्हें कंप्यूटर पर लगभग संख्यात्मक तरीकों से ही हल किया जा सकता है। लेकिन परीक्षा के सवालों का क्या? पूरी चाल यह है कि परीक्षक समस्या को इस तरह से बनाता है कि वह सिर्फ एक विश्लेषणात्मक समाधान स्वीकार करता है। दूसरे शब्दों में, आप ऐसे समान परिवर्तन कर सकते हैं (और चाहिए!) जो दिए गए घातीय समीकरण को सरलतम घातीय समीकरण में कम करते हैं। यह सबसे सरल समीकरण है और इसे कहा जाता है: सबसे सरल घातीय समीकरण। यह हल हो गया है लघुगणक

एक घातीय समीकरण के समाधान के साथ स्थिति एक भूलभुलैया के माध्यम से एक यात्रा के समान होती है, जिसे विशेष रूप से समस्या के संकलक द्वारा आविष्कार किया गया था। इन बहुत ही सामान्य विचारों से, काफी विशिष्ट सिफारिशें अनुसरण करती हैं।

के लिये सफल समाधानघातीय समीकरण यह आवश्यक है:

1. न केवल सभी घातीय पहचानों को सक्रिय रूप से जानते हैं, बल्कि उन चर के मूल्यों के सेट भी ढूंढते हैं जिन पर इन पहचानों को परिभाषित किया जाता है, ताकि इन पहचानों का उपयोग करते समय, कोई अनावश्यक जड़ों को प्राप्त न करे, और इससे भी ज्यादा, खो न जाए समीकरण के समाधान।

2. सक्रिय रूप से सभी घातीय पहचानों को जानें।

3. स्पष्ट रूप से, विस्तार से और त्रुटियों के बिना, समीकरणों के गणितीय परिवर्तन करें (समीकरण के एक भाग से दूसरे में शब्दों को स्थानांतरित करें, चिह्न को बदलना न भूलें, भिन्न को एक सामान्य हर में कम करें, आदि)। इसे गणितीय संस्कृति कहते हैं। उसी समय, गणना स्वयं हाथों से की जानी चाहिए, और सिर को समाधान के सामान्य मार्गदर्शक सूत्र के बारे में सोचना चाहिए। परिवर्तनों को यथासंभव सावधानीपूर्वक और विस्तार से करना आवश्यक है। केवल यह एक सही, त्रुटि मुक्त समाधान की गारंटी देगा। और याद रखें: छोटा अंकगणितीय त्रुटिकेवल एक अनुवांशिक समीकरण बना सकता है, जिसे सैद्धांतिक रूप से विश्लेषणात्मक रूप से हल नहीं किया जा सकता है। यह पता चला है कि आप अपना रास्ता भटक गए और भूलभुलैया की दीवार में भाग गए।

4. समस्याओं को हल करने के तरीकों को जानें (अर्थात समाधान की भूलभुलैया के माध्यम से सभी रास्तों को जानें)। प्रत्येक चरण में सही अभिविन्यास के लिए, आपको (होशपूर्वक या सहज रूप से!) करना होगा:

• परिभाषित करना समीकरण प्रकार;
• संबंधित प्रकार याद रखें समाधान विधिकार्य।

अध्ययन की गई सामग्री के सामान्यीकरण और व्यवस्थितकरण का चरण।

शिक्षक, छात्रों के साथ, कंप्यूटर की भागीदारी के साथ, सभी प्रकार के घातीय समीकरणों और उन्हें हल करने के तरीकों का एक सिंहावलोकन पुनरावृत्ति करता है, तैयार करता है सामान्य योजना. (एक ट्यूटोरियल का उपयोग करना कंप्यूटर प्रोग्रामएल.या. बोरेव्स्की "पाठ्यक्रम गणित - 2000", पावरपॉइंट में प्रस्तुति के लेखक - टी.एन. कुप्त्सोव।)

चावल। एक।यह आंकड़ा सभी प्रकार के घातीय समीकरणों की एक सामान्य योजना दिखाता है।

जैसा कि इस आरेख से देखा जा सकता है, घातीय समीकरणों को हल करने की रणनीति इस घातीय समीकरण को समीकरण में कम करना है, सबसे पहले, एक ही आधार के साथ , और फिर - और समान प्रतिपादकों के साथ।

समान आधारों और घातांक के साथ एक समीकरण प्राप्त करने के बाद, आप इस डिग्री को एक नए चर के साथ बदलते हैं और इस नए चर के संबंध में एक साधारण बीजीय समीकरण (आमतौर पर भिन्नात्मक परिमेय या द्विघात) प्राप्त करते हैं।

इस समीकरण को हल करने और व्युत्क्रम प्रतिस्थापन करने से, आप सरल घातीय समीकरणों के एक सेट के साथ समाप्त हो जाते हैं जिन्हें हल किया जाता है सामान्य दृष्टि सेलघुगणक का उपयोग करना।

समीकरण अलग खड़े होते हैं जिसमें केवल (निजी) शक्तियों के उत्पाद होते हैं। घातांकीय सर्वसमिकाओं का उपयोग करके, इन समीकरणों को तुरंत एक आधार पर लाना संभव है, विशेष रूप से, सरलतम घातांकीय समीकरण में।

विचार करें कि डिग्री के तीन अलग-अलग आधारों के साथ एक घातीय समीकरण कैसे हल किया जाता है।

(यदि शिक्षक के पास L.Ya. Borevsky "पाठ्यक्रम गणित - 2000" द्वारा एक शिक्षण कंप्यूटर प्रोग्राम है, तो स्वाभाविक रूप से हम डिस्क के साथ काम करते हैं, यदि नहीं, तो आप नीचे प्रस्तुत किए गए प्रत्येक डेस्क के लिए इस प्रकार के समीकरण का प्रिंट आउट ले सकते हैं। ।)

चावल। 2.समीकरण समाधान योजना।

चावल। 3.समीकरण को हल करने की शुरुआत

चावल। चार।समीकरण के हल का अंत।

व्यावहारिक कार्य करना

समीकरण के प्रकार का निर्धारण करें और इसे हल करें।

1.
2.
3.	0,125
4.
5.
6.

पाठ को सारांशित करना

एक सबक ग्रेडिंग।

पाठ का अंत

शिक्षक के लिए

व्यावहारिक कार्य उत्तर की योजना।

व्यायाम:समीकरणों की सूची से समीकरणों का चयन करें निर्दिष्ट प्रकार(तालिका में उत्तर संख्या दर्ज करें):

1. तीन अलग-अलग आधार
2. दो अलग-अलग आधार - अलग-अलग घातांक
3. शक्तियों के आधार - एक संख्या की शक्तियाँ
4. समान आधार, भिन्न घातांक
5. समान घातांक आधार - समान घातांक
6. शक्तियों का उत्पाद
7. डिग्री के दो अलग-अलग आधार - एक ही संकेतक
8. सबसे सरल घातीय समीकरण

1. (शक्तियों का उत्पाद)

2. (एक ही आधार - विभिन्न घातांक)

अंतिम परीक्षण की तैयारी के चरण में, हाई स्कूल के छात्रों को "घातीय समीकरण" विषय पर अपने ज्ञान में सुधार करने की आवश्यकता है। पिछले वर्षों का अनुभव बताता है कि इस तरह के कार्य स्कूली बच्चों के लिए कुछ कठिनाइयाँ पैदा करते हैं। इसलिए, हाई स्कूल के छात्रों को, उनकी तैयारी के स्तर की परवाह किए बिना, सिद्धांत को सावधानीपूर्वक मास्टर करने, सूत्रों को याद रखने और ऐसे समीकरणों को हल करने के सिद्धांत को समझने की आवश्यकता है। इस प्रकार के कार्यों का सामना करना सीख लेने के बाद, स्नातक इस पर भरोसा कर सकेंगे उच्च अंकगणित में परीक्षा उत्तीर्ण करते समय।

शकोलकोवो के साथ मिलकर परीक्षा परीक्षण के लिए तैयार हो जाइए!

कवर की गई सामग्री को दोहराते समय, कई छात्रों को समीकरणों को हल करने के लिए आवश्यक सूत्र खोजने की समस्या का सामना करना पड़ता है। स्कूल की पाठ्यपुस्तक हमेशा हाथ में नहीं होती है, और चयन आवश्यक जानकारीइंटरनेट पर विषय पर एक लंबा समय लगता है।

शकोल्कोवो शैक्षिक पोर्टल छात्रों को हमारे ज्ञानकोष का उपयोग करने के लिए आमंत्रित करता है। हम पूरी तरह से लागू करते हैं नई विधिके लिए तैयारी अंतिम परीक्षण. हमारी साइट पर अध्ययन करके, आप ज्ञान में अंतराल की पहचान करने और उन कार्यों पर ध्यान देने में सक्षम होंगे जो सबसे बड़ी कठिनाइयों का कारण बनते हैं।

"शकोल्कोवो" के शिक्षकों ने एक सफल के लिए आवश्यक सब कुछ एकत्र, व्यवस्थित और प्रस्तुत किया परीक्षा उत्तीर्ण करनासबसे सरल और सुलभ रूप में सामग्री।

मुख्य परिभाषाएँ और सूत्र "सैद्धांतिक संदर्भ" खंड में प्रस्तुत किए गए हैं।

सामग्री को बेहतर ढंग से आत्मसात करने के लिए, हम अनुशंसा करते हैं कि आप सत्रीय कार्यों का अभ्यास करें। गणना एल्गोरिदम को समझने के लिए इस पृष्ठ पर प्रस्तुत समाधानों के साथ घातीय समीकरणों के उदाहरणों की सावधानीपूर्वक समीक्षा करें। उसके बाद, "कैटलॉग" अनुभाग में कार्यों के साथ आगे बढ़ें। आप सबसे आसान कार्यों से शुरू कर सकते हैं या कई अज्ञात या जटिल घातीय समीकरणों को हल करने के लिए सीधे जा सकते हैं। हमारी वेबसाइट पर अभ्यास का डेटाबेस लगातार पूरक और अद्यतन किया जाता है।

संकेतक के साथ वे उदाहरण जो आपको कठिनाइयों का कारण बने, उन्हें "पसंदीदा" में जोड़ा जा सकता है। तो आप उन्हें जल्दी से ढूंढ सकते हैं और शिक्षक के साथ समाधान पर चर्चा कर सकते हैं।

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इस लेख में, आप सभी प्रकार से परिचित होंगे घातीय समीकरणऔर उन्हें हल करने के लिए एल्गोरिदम, किस प्रकार को पहचानना सीखें घातीय समीकरण, जिसे आपको हल करने की आवश्यकता है, और इसे हल करने के लिए उपयुक्त विधि लागू करें। उदाहरणों का विस्तृत समाधान घातीय समीकरणप्रत्येक प्रकार आप संबंधित वीडियो ट्यूटोरियल में देख सकते हैं।

एक घातीय समीकरण एक समीकरण है जिसमें अज्ञात घातांक में निहित होता है।

इससे पहले कि आप घातांकीय समीकरण को हल करना शुरू करें, कुछ करना उपयोगी है प्रारंभिक कार्रवाई , जो इसके समाधान के पाठ्यक्रम को बहुत सुविधाजनक बना सकता है। ये क्रियाएं हैं:

1. शक्तियों के सभी आधारों को अभाज्य गुणनखंडों में गुणनखंडित करें।

2. जड़ों को डिग्री के रूप में प्रस्तुत करें।

3. दशमलव भिन्न साधारण के रूप में प्रदर्शित होते हैं।

4. मिश्रित संख्याअनुचित भिन्नों के रूप में लिखें।

आप समीकरणों को हल करने की प्रक्रिया में इन क्रियाओं के लाभों को महसूस करेंगे।

मुख्य प्रकारों पर विचार करें घातीय समीकरणऔर उनके समाधान के लिए एल्गोरिदम।

1. समीकरण टाइप करें

यह समीकरण समीकरण के बराबर है

समीकरण हल करने के लिए देखें यह वीडियो इस प्रकार का।

2. समीकरण टाइप करें

इस प्रकार के समीकरणों में:

b) घातांक में अज्ञात के गुणांक बराबर होते हैं।

इस समीकरण को हल करने के लिए, आपको गुणक को छोटी से छोटी डिग्री तक ब्रैकेट करना होगा।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने का एक उदाहरण:

वीडियो को देखो।

3. समीकरण टाइप करें

इस प्रकार के समीकरण इसमें भिन्न होते हैं

क) सभी अंशों का आधार समान होता है

b) घातांक में अज्ञात के गुणांक भिन्न होते हैं।

इस प्रकार के समीकरणों को चरों के परिवर्तन का उपयोग करके हल किया जाता है। एक प्रतिस्थापन शुरू करने से पहले, घातांक में मुक्त शर्तों से छुटकारा पाना वांछनीय है। (, , आदि)

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए VIDEO देखें:

4. सजातीय समीकरणमेहरबान

सजातीय समीकरणों की विशिष्ट विशेषताएं:

ए) सभी मोनोमियल्स की डिग्री समान होती है,

बी) मुक्त शब्द शून्य के बराबर है,

सी) समीकरण में दो अलग-अलग आधारों वाली शक्तियां होती हैं।

सजातीय समीकरणों को एक समान एल्गोरिथम द्वारा हल किया जाता है।

इस प्रकार के समीकरण को हल करने के लिए, समीकरण के दोनों पक्षों को (द्वारा या द्वारा विभाजित किया जा सकता है)

ध्यान!समीकरण के दाएँ और बाएँ पक्षों को अज्ञात वाले व्यंजक से विभाजित करते समय, आप मूल खो सकते हैं। इसलिए, यह जाँचना आवश्यक है कि क्या व्यंजक के मूल, जिससे हम समीकरण के दोनों भागों को विभाजित करते हैं, मूल समीकरण के मूल हैं।

हमारे मामले में, चूंकि अज्ञात के किसी भी मूल्य के लिए अभिव्यक्ति शून्य के बराबर नहीं है, हम इसे बिना किसी डर के विभाजित कर सकते हैं। हम समीकरण के बाईं ओर को इस व्यंजक पद से पद से विभाजित करते हैं। हम पाते हैं:

दूसरे और तीसरे अंश के अंश और हर को कम करें:

आइए एक प्रतिस्थापन पेश करें:

और शीर्षक = "(!LANG:t>0">при всех !} अनुमत मानअनजान।

प्राप्त द्विघात समीकरण:

आइए द्विघात समीकरण को हल करें, मूल्यों का पता लगाएं, जो शर्त को पूरा करता है title="(!LANG:t>0">, а затем вернемся к исходному неизвестному.!}

वीडियो में देखें विस्तृत समाधान सजातीय समीकरण:

5. समीकरण टाइप करें

इस समीकरण को हल करते समय, हम इस तथ्य से आगे बढ़ेंगे कि title="(!LANG:f(x)>0">!}

मूल समानता दो मामलों में होती है:

1. यदि , क्योंकि 1 किसी भी घात के 1 के बराबर है,

2. दो शर्तों के तहत:

Title="(!LANG:delim(lbrace)(matrix(2)(1)((f(x)>0) (g(x)=h(x)) (x-8y+9z=0))) ( )">!}

समीकरण के विस्तृत समाधान के लिए वीडियो देखें

एक घातीय समीकरण क्या है? उदाहरण।

तो, एक घातीय समीकरण ... समीकरणों की एक विस्तृत विविधता की हमारी सामान्य प्रदर्शनी में एक नया अनूठा प्रदर्शन!) जैसा कि लगभग हमेशा होता है, किसी भी नए का कीवर्ड गणितीय शब्दसंबंधित विशेषण है जो इसकी विशेषता बताता है। तो यहाँ भी। कीवर्डशब्द "घातीय समीकरण" में शब्द है "प्रदर्शनकारी". इसका क्या मतलब है? इस शब्द का अर्थ है कि अज्ञात (x) है किसी भी डिग्री के मामले में।और केवल वहाँ! यह अत्यंत महत्वपूर्ण है।

उदाहरण के लिए, ये सरल समीकरण:

3 एक्स +1 = 81

5x + 5x +2 = 130

4 2 2 x -17 2 x +4 = 0

या ये राक्षस भी:

2 पाप x = 0.5

कृपया एक पर ध्यान दें खास बात: में मैदानडिग्री (नीचे) - केवल संख्या. लेकीन मे संकेतकडिग्री (शीर्ष) - एक्स के साथ विभिन्न प्रकार के भाव। बिल्कुल कोई भी।) सब कुछ विशिष्ट समीकरण पर निर्भर करता है। यदि, अचानक, x संकेतक के अलावा कहीं और समीकरण में आता है (कहते हैं, 3 x \u003d 18 + x 2), तो ऐसा समीकरण पहले से ही एक समीकरण होगा मिश्रित प्रकार . ऐसे समीकरणों को हल करने के लिए स्पष्ट नियम नहीं हैं। इसलिए, में यह सबकहम उन पर विचार नहीं करेंगे। छात्रों की खुशी के लिए।) यहां हम केवल "शुद्ध" रूप में घातीय समीकरणों पर विचार करेंगे।

सामान्यतया, यहाँ तक कि शुद्ध घातांकीय समीकरण भी सभी मामलों में स्पष्ट रूप से हल नहीं होते हैं और हमेशा नहीं। लेकिन घातीय समीकरणों की समृद्ध विविधता के बीच, हैं ख़ास तरह केजिसे संबोधित किया जा सकता है और किया जाना चाहिए। इस प्रकार के समीकरणों पर हम आपके साथ विचार करेंगे। और हम निश्चित रूप से उदाहरणों को हल करेंगे।) तो हम आराम से और - सड़क पर बस जाते हैं! जैसा कि कंप्यूटर "शूटर" में होता है, हमारी यात्रा स्तरों से होकर गुजरेगी।) प्राथमिक से सरल, सरल से मध्यम और मध्यम से जटिल तक। रास्ते में, आप एक गुप्त स्तर की भी प्रतीक्षा कर रहे होंगे - गैर-मानक उदाहरणों को हल करने के लिए तरकीबें और तरीके। जिनके बारे में आप सबसे ज्यादा नहीं पढ़ेंगे स्कूल की पाठ्यपुस्तकें... खैर, अंत में, निश्चित रूप से, आपका इंतजार है सर्वोपरि बॉसघर की तरह।)

स्तर 0. सबसे सरल घातांक समीकरण क्या है? सरलतम घातीय समीकरणों का हल।

आरंभ करने के लिए, आइए कुछ स्पष्ट प्राथमिक बातों को देखें। आपको कहीं से शुरुआत करनी होगी, है ना? उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

2 एक्स = 2 2

बिना किसी सिद्धांत के भी, साधारण तर्क से और व्यावहारिक बुद्धियह स्पष्ट है कि x = 2. कोई दूसरा रास्ता नहीं है, है ना? x का कोई अन्य मान अच्छा नहीं है ... अब आइए अपना ध्यान इस ओर मोड़ें निर्णय रिकॉर्डयह शांत घातीय समीकरण:

2 एक्स = 2 2

एक्स = 2

हमें क्या हुआ? और निम्नलिखित हुआ। हम, वास्तव में, ले गए और ... बस एक ही ठिकानों (दो) को बाहर फेंक दिया! पूरी तरह से बाहर फेंक दिया। और, क्या अच्छा है, बैल की आंख मारो!

हाँ, वास्तव में, यदि बाएँ और दाएँ घातांकीय समीकरण में हैं वहीकिसी भी डिग्री में संख्याएँ, तो इन संख्याओं को त्याग दिया जा सकता है और बस घातांक की बराबरी कर सकते हैं। गणित अनुमति देता है।) और फिर आप संकेतकों के साथ अलग से काम कर सकते हैं और बहुत सरल समीकरण हल कर सकते हैं। यह बढ़िया है, है ना?

वह है मुख्य विचारकिसी का समाधान (हाँ, बिल्कुल कोई!) घातीय समीकरण: का उपयोग करके समान परिवर्तनयह सुनिश्चित करना आवश्यक है कि समीकरण में बाएँ और दाएँ हैं वही आधार संख्या विभिन्न डिग्री. और फिर आप समान आधारों को सुरक्षित रूप से हटा सकते हैं और घातांक की बराबरी कर सकते हैं। और एक सरल समीकरण के साथ काम करें।

और अब हम लोहे के नियम को याद करते हैं: समान आधारों को हटाना संभव है यदि और केवल यदि समीकरण में बाईं ओर और दाईं ओर आधार संख्याएं हैं गर्व अकेलेपन में।

इसका क्या मतलब है, शानदार अलगाव में? इसका मतलब है बिना किसी पड़ोसी और गुणांक के। मैंने समझाया।

उदाहरण के लिए, समीकरण में

3 3 x-5 = 3 2 x +1

आप तीन गुना नहीं हटा सकते! क्यों? क्योंकि बाईं ओर हमारे पास केवल तीन डिग्री का अकेला नहीं है, बल्कि काम 3 3 एक्स-5। एक अतिरिक्त ट्रिपल रास्ते में आता है: एक गुणांक, आप समझते हैं।)

समीकरण के बारे में भी यही कहा जा सकता है

5 3 x = 5 2 x +5 x

यहाँ भी, सभी आधार समान हैं - पाँच। लेकिन दाईं ओर हमारे पास पाँच की एक भी डिग्री नहीं है: डिग्री का योग है!

संक्षेप में, हमें समान आधारों को हटाने का अधिकार तभी है जब हमारा घातीय समीकरण इस तरह दिखता है और केवल इस तरह:

एकएफ (एक्स) = एक जी (एक्स)

इस प्रकार के घातांकीय समीकरण को कहा जाता है सबसे साधारण. या वैज्ञानिक रूप से, कैनन का . और कोई फर्क नहीं पड़ता कि हमारे सामने मुड़ समीकरण क्या हो सकता है, एक तरह से या कोई अन्य, हम इसे ऐसे सरल (विहित) रूप में कम कर देंगे। या, कुछ मामलों में, करने के लिए समुच्चयइस तरह के समीकरण। तब हमारे सरलतम समीकरण को सामान्य रूप में निम्नानुसार फिर से लिखा जा सकता है:

एफ (एक्स) = जी (एक्स)

और बस। यह करेगा समकक्ष परिवर्तन. साथ ही, एक्स के साथ बिल्कुल किसी भी अभिव्यक्ति का उपयोग एफ (एक्स) और जी (एक्स) के रूप में किया जा सकता है। जो कुछ।

शायद एक विशेष रूप से जिज्ञासु छात्र पूछेगा: पृथ्वी पर हम इतनी आसानी से और आसानी से बाएं और दाएं समान आधारों को क्यों छोड़ देते हैं और प्रतिपादकों की बराबरी करते हैं? अंतर्ज्ञान से अंतर्ज्ञान, लेकिन अचानक, किसी समीकरण में और किसी कारण से यह दृष्टिकोणगलत निकला? क्या समान ठिकानों को फेंकना हमेशा कानूनी है?दुर्भाग्य से, इसके कठोर गणितीय उत्तर के लिए ब्याज पूछोआपको काफी गहराई तक और गंभीरता से जाने की जरूरत है सामान्य सिद्धांतडिवाइस और फ़ंक्शन व्यवहार। और थोड़ा और विशेष रूप से - घटना में सख्त एकरसता।विशेष रूप से, सख्त एकरसता घातांक प्रकार्यआप= एक एक्स. क्योंकि यह घातांक प्रकार्यऔर इसके गुण घातांकीय समीकरणों के समाधान में निहित हैं, हाँ।) इस प्रश्न का विस्तृत उत्तर एक अलग विशेष पाठ में दिया जाएगा जो जटिल को हल करने के लिए समर्पित है। गैर-मानक समीकरणविभिन्न कार्यों की एकरसता का उपयोग करना।)

इस बिंदु को विस्तार से समझाने के लिए अब केवल एक औसत स्कूली बच्चे के दिमाग को निकाल देना है और उसे सूखे और भारी सिद्धांत के साथ समय से पहले डराना है। मैं यह नहीं करूँगा।) हमारे मुख्य के लिए इस पलएक कार्य - घातीय समीकरणों को हल करना सीखें!सबसे सरल! इसलिए, जब तक हम पसीना नहीं बहाते और साहसपूर्वक उन्हीं कारणों को बाहर निकाल देते हैं। यह कर सकते हैं, इसके लिए मेरा शब्द लें!) और फिर हम पहले से ही समतुल्य समीकरण f (x) = g (x) को हल कर लेते हैं। एक नियम के रूप में, यह मूल घातांक की तुलना में सरल है।

यह निश्चित रूप से माना जाता है कि लोग पहले से ही कम से कम , और समीकरणों को हल करना जानते हैं, पहले से ही संकेतकों में x के बिना।) जो अभी भी नहीं जानते हैं, इस पृष्ठ को बंद करने के लिए स्वतंत्र महसूस करें, उचित लिंक के साथ चलें और भरें पुराने अंतराल। नहीं तो आपके लिए कठिन समय होगा, हाँ...

मैं तर्कहीन, त्रिकोणमितीय और अन्य क्रूर समीकरणों के बारे में चुप हूं जो आधारों को खत्म करने की प्रक्रिया में भी उभर सकते हैं। लेकिन चिंता न करें, अभी के लिए हम डिग्री के संदर्भ में फ्रैंक टिन पर विचार नहीं करेंगे: यह बहुत जल्दी है। हम केवल सरलतम समीकरणों पर ही प्रशिक्षण देंगे।)

अब उन समीकरणों पर विचार करें जिन्हें सरलतम करने के लिए उन्हें कम करने के लिए कुछ अतिरिक्त प्रयास की आवश्यकता होती है। उन्हें अलग करने के लिए, आइए उन्हें कॉल करें सरल घातीय समीकरण. तो चलिए अगले स्तर पर चलते हैं!

स्तर 1. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! प्राकृतिक संकेतक।

किसी भी घातांकीय समीकरणों को हल करने के प्रमुख नियम हैं डिग्री से निपटने के नियम. इस ज्ञान और कौशल के बिना, कुछ भी काम नहीं करेगा। काश। इसलिए, अगर डिग्रियों को लेकर कोई समस्या है, तो शुरुआत के लिए आपका स्वागत है। इसके अलावा, हमें भी चाहिए। ये परिवर्तन (अधिक से अधिक दो!) सामान्य रूप से गणित के सभी समीकरणों को हल करने का आधार हैं। और न केवल दिखावा। तो, जो कोई भूल गया, वह भी लिंक पर टहलें: मैंने उन्हें एक कारण से लगाया।

लेकिन केवल शक्तियों और समान परिवर्तनों वाली क्रियाएं पर्याप्त नहीं हैं। इसके लिए व्यक्तिगत अवलोकन और सरलता की भी आवश्यकता होती है। हमें वही आधार चाहिए, है ना? इसलिए हम उदाहरण की जांच करते हैं और उन्हें एक स्पष्ट या प्रच्छन्न रूप में ढूंढते हैं!

उदाहरण के लिए, यह समीकरण:

3 2x - 27x +2 = 0

पहले देखो मैदान. वे भिन्न हैं! तीन और सत्ताईस। लेकिन घबराना और निराशा में पड़ना जल्दबाजी होगी। यह याद रखने का समय है कि

27 = 3 3

अंक 3 और 27 डिग्री में रिश्तेदार हैं! इसके अलावा, रिश्तेदार।) इसलिए, हमें लिखने का पूरा अधिकार है:

27 x +2 = (3 3) x+2

और अब हम अपने ज्ञान को के बारे में जोड़ते हैं डिग्री के साथ कार्रवाई(और मैंने आपको चेतावनी दी थी!) ऐसा एक बहुत ही उपयोगी सूत्र है:

(एम) एन = एक एमएन

अब यदि आप इसे पाठ्यक्रम में चलाते हैं, तो यह आम तौर पर ठीक हो जाता है:

27 x +2 = (3 3) x+2 = 3 3(x +2)

मूल उदाहरण अब इस तरह दिखता है:

3 2 एक्स - 3 3 (एक्स +2) = 0

बढ़िया, डिग्री के आधार संरेखित हैं। जिसके लिए हम प्रयास कर रहे थे। आधा काम हो चुका है।) और अब हम बुनियादी पहचान परिवर्तन शुरू करते हैं - हम 3 3 (x +2) को दाईं ओर स्थानांतरित करते हैं। गणित की प्रारंभिक क्रियाओं को किसी ने रद्द नहीं किया, हाँ।) हमें मिलता है:

3 2 एक्स = 3 3 (एक्स +2)

हमें इस तरह का समीकरण क्या देता है? और तथ्य यह है कि अब हमारा समीकरण कम हो गया है विहित रूप में: बाएँ और दाएँ खड़े रहना वही नंबर(ट्रिपल) शक्तियों में। और दोनों त्रिगुण - शानदार अलगाव में। हम साहसपूर्वक त्रिगुणों को हटाते हैं और प्राप्त करते हैं:

2x = 3(x+2)

हम इसे हल करते हैं और प्राप्त करते हैं:

एक्स = -6

यही सब है इसके लिए। यह सही जवाब है।)

और अब हम निर्णय के पाठ्यक्रम को समझते हैं। इस उदाहरण में हमें क्या बचाया? हम त्रिगुणों की डिग्री के ज्ञान से बच गए थे। बिल्कुल कैसे? हम पहचान कीसंख्या 27 एन्क्रिप्टेड तीन! यह ट्रिक (उसी आधार के तहत एन्क्रिप्शन) अलग संख्या) घातांकीय समीकरणों में सबसे लोकप्रिय में से एक है! जब तक कि यह सबसे लोकप्रिय न हो। हाँ, और वैसे भी। यही कारण है कि घातीय समीकरणों में अवलोकन और संख्याओं में अन्य संख्याओं की शक्तियों को पहचानने की क्षमता इतनी महत्वपूर्ण है!

प्रायोगिक उपकरण:

आपको लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को जानना होगा। चेहरे में!

बेशक, कोई भी दो से सातवीं या तीन से पांचवीं तक बढ़ा सकता है। मेरे दिमाग में नहीं, तो कम से कम एक मसौदे पर। लेकिन घातीय समीकरणों में, एक शक्ति को बढ़ाने के लिए नहीं, बल्कि, इसके विपरीत, यह पता लगाना आवश्यक है कि संख्या के पीछे कौन सी संख्या और किस हद तक छिपी हुई है, कहते हैं, 128 या 243। और यह पहले से ही अधिक है सरल घातांक की तुलना में जटिल, आप देखते हैं। अंतर महसूस करें, जैसा कि वे कहते हैं!

चूंकि चेहरे में डिग्री पहचानने की क्षमता न केवल इस स्तर पर उपयोगी है, बल्कि निम्न स्तर पर भी उपयोगी है, यहां आपके लिए एक छोटा सा काम है:

निर्धारित करें कि कौन सी शक्तियाँ और कौन सी संख्याएँ संख्याएँ हैं:

4; 8; 16; 27; 32; 36; 49; 64; 81; 100; 125; 128; 216; 243; 256; 343; 512; 625; 729; 1024.

उत्तर (बिखरे हुए, निश्चित रूप से):

27 2 ; 2 10 ; 3 6 ; 7 2 ; 2 6 ; 9 2 ; 3 4 ; 4 3 ; 10 2 ; 2 5 ; 3 5 ; 7 3 ; 16 2 ; 2 7 ; 5 3 ; 2 8 ; 6 2 ; 3 3 ; 2 9 ; 2 4 ; 2 2 ; 4 5 ; 25 2 ; 4 4 ; 6 3 ; 8 2 ; 9 3 .

हाँ हाँ! आश्चर्यचकित न हों कि कार्यों से अधिक उत्तर हैं। उदाहरण के लिए, 2 8, 4 4 और 16 2 सभी 256 हैं।

स्तर 2. सरल घातीय समीकरण। डिग्री पहचानो! नकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक।

इस स्तर पर, हम पहले से ही डिग्री के अपने ज्ञान का पूरा उपयोग कर रहे हैं। अर्थात्, हम इसमें शामिल हैं आकर्षक प्रक्रियानकारात्मक और भिन्नात्मक घातांक! हाँ हाँ! हमें शक्ति का निर्माण करने की आवश्यकता है, है ना?

उदाहरण के लिए, यह भयानक समीकरण:

फिर से, पहले नींव को देखें। आधार अलग हैं! और इस बार दूर से भी नहीं एक जैसे दोस्तएक दोस्त पर! 5 और 0.04... और आधारों को खत्म करने के लिए, वही चाहिए... क्या करें?

कोई बात नहीं! वास्तव में, सब कुछ समान है, बस पांच और 0.04 के बीच का संबंध नेत्रहीन खराब दिखाई देता है। हम कैसे निकलते हैं? और 0.04 से . की संख्या पर चलते हैं साधारण अंश! और वहां, आप देखते हैं, सब कुछ बनता है।)

0,04 = 4/100 = 1/25

बहुत खूब! यह पता चला है कि 0.04 1/25 है! अच्छा, किसने सोचा होगा!)

कितनी अच्छी तरह से? अब संख्या 5 और 1/25 के बीच संबंध देखना आसान है? यह वही है...

और अब, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार नकारात्मक संकेतकदृढ़ हाथ से लिखा जा सकता है:

यह बहुत बढ़िया बात है। तो हम एक ही आधार पर पहुँचे - पाँच। अब हम समीकरण में असहज संख्या 0.04 को 5 -2 से बदलते हैं और प्राप्त करते हैं:

फिर से, शक्तियों के साथ संचालन के नियमों के अनुसार, अब हम लिख सकते हैं:

(5 -2) x -1 = 5 -2 (x -1)

बस मामले में, मैं याद दिलाता हूं (अचानक, कौन नहीं जानता) कि जमीन के नियमशक्तियों के साथ कार्रवाई के लिए मान्य हैं कोईसंकेतक! नकारात्मक सहित।) तो बेझिझक लें और संबंधित नियम के अनुसार संकेतक (-2) और (x-1) को गुणा करें। हमारा समीकरण बेहतर और बेहतर होता जाता है:

हर चीज़! बाएँ और दाएँ अंशों में एकाकी पाँचों के अतिरिक्त और कुछ नहीं है। समीकरण को विहित रूप में घटाया गया है। और फिर - घुमावदार ट्रैक के साथ। हम फाइव हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5=-2(एक्स-1)

उदाहरण लगभग पूरा हो गया है। मध्यम वर्ग का प्राथमिक गणित बना हुआ है - हम कोष्ठक खोलते हैं (सही ढंग से!) और बाईं ओर सब कुछ इकट्ठा करते हैं:

एक्स 2 –6 एक्स+5 = -2 एक्स+2

एक्स 2 –4 एक्स+3 = 0

हम इसे हल करते हैं और दो जड़ें प्राप्त करते हैं:

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 3

बस इतना ही।)

अब चलो फिर से सोचते हैं। पर यह उदाहरणहमें फिर से उसी नंबर को पहचानना पड़ा बदलती डिग्रियां! अर्थात्, एन्क्रिप्टेड पांच को संख्या 0.04 में देखने के लिए। और इस बार, में नकारात्मक डिग्री!हम इसे कैसे करेंगे? चलते-चलते - कोई रास्ता नहीं। लेकिन से संक्रमण के बाद दशमलव अंश 0.04 से साधारण अंश 1/25 तक सब कुछ हाइलाइट किया गया था! और फिर पूरा निर्णय घड़ी की कल की तरह चला गया।)

इसलिए, एक और हरी व्यावहारिक सलाह।

यदि घातांकीय समीकरण में दशमलव भिन्न हैं, तो हम दशमलव भिन्न से साधारण भिन्न में चले जाते हैं। पर सामान्य भिन्नकई लोकप्रिय संख्याओं की शक्तियों को पहचानना बहुत आसान है! मान्यता के बाद, हम भिन्नों से नकारात्मक घातांक वाली घातों की ओर बढ़ते हैं।

ध्यान रखें कि घातांकीय समीकरणों में इस तरह की हलचल बहुत, बहुत बार होती है! और व्यक्ति विषय में नहीं है। उदाहरण के लिए, वह 32 और 0.125 की संख्या में दिखता है और परेशान हो जाता है। यह उसके लिए अज्ञात है कि यह वही ड्यूस है, केवल बदलती डिग्रियां... लेकिन आप पहले से ही इस विषय में हैं!)

प्रश्न हल करें:

में! यह एक शांत आतंक की तरह दिखता है ... हालांकि, दिखावे धोखा दे रहे हैं। यह भयानक होने के बावजूद सबसे सरल घातीय समीकरण है दिखावट. और अब मैं इसे आपको दिखाऊंगा।)

सबसे पहले, हम आधारों और गुणांकों में बैठे सभी नंबरों से निपटते हैं। वे स्पष्ट रूप से अलग हैं, हाँ। लेकिन हम फिर भी जोखिम उठाते हैं और उन्हें बनाने की कोशिश करते हैं वही! आइए जाने की कोशिश करें अलग-अलग डिग्री में एक ही संख्या. और, अधिमानतः, सबसे छोटी संभव की संख्या। तो, चलिए डिक्रिप्ट करना शुरू करते हैं!

खैर, एक बार में चारों के साथ सब कुछ स्पष्ट है - यह 2 2 है। तो, पहले से ही कुछ।)

0.25 के अंश के साथ - यह अभी तक स्पष्ट नहीं है। देखने की जरूरत है। हम व्यावहारिक सलाह का उपयोग करते हैं - दशमलव से साधारण पर जाएं:

0,25 = 25/100 = 1/4

पहले से काफी बेहतर। अभी के लिए यह पहले से ही स्पष्ट रूप से दिखाई दे रहा है कि 1/4 2 -2 है। बढ़िया, और संख्या 0.25 भी एक ड्यूस के समान है।)

अब तक सब ठीक है। लेकिन सबसे खराब संख्या बनी हुई है - दो का वर्गमूल!इस मिर्च का क्या करें? क्या इसे दो की शक्ति के रूप में भी दर्शाया जा सकता है? और कौन जानता है...

खैर, हम फिर से डिग्री के बारे में अपने ज्ञान के खजाने में चढ़ जाते हैं! इस बार हम अपने ज्ञान को भी जोड़ते हैं जड़ों के बारे में. 9वीं कक्षा के दौरान, आपको और मुझे यह सहना पड़ा कि कोई भी जड़, यदि वांछित हो, तो हमेशा एक डिग्री में बदल सकती है अंश के साथ।

ऐशे ही:

हमारे मामले में:

कैसे! यह पता चला है कि दो का वर्गमूल 2 1/2 है। इतना ही!

कोई बात नहीं! हमारे सभी असहज नंबर वास्तव में एक एन्क्रिप्टेड ड्यूस निकले।) मैं तर्क नहीं देता, कहीं बहुत परिष्कृत रूप से एन्क्रिप्टेड। लेकिन हम ऐसे सिफर्स को हल करने में अपना प्रोफेशनलिज्म भी बढ़ाते हैं! और फिर सब कुछ पहले से ही स्पष्ट है। हम अपने समीकरण में संख्या 4, 0.25 और दो के मूल को दो की घात से प्रतिस्थापित करते हैं:

हर चीज़! उदाहरण में सभी डिग्री के आधार समान हो गए हैं - दो। और अब डिग्री के साथ मानक क्रियाओं का उपयोग किया जाता है:

पूर्वाह्नएक = पूर्वाह्न + एन

ए एम: ए एन = ए एम-एन

(एम) एन = एक एमएन

बाईं ओर के लिए आपको मिलता है:

2 -2 (2 2) 5 x -16 = 2 -2 + 2 (5 x -16)

दाईं ओर के लिए होगा:

और अब हमारा बुरा समीकरण इस तरह दिखने लगा:

उन लोगों के लिए जिन्होंने यह पता नहीं लगाया है कि यह समीकरण वास्तव में कैसे निकला, तो सवाल घातीय समीकरणों के बारे में नहीं है। प्रश्न शक्तियों के साथ कार्यों के बारे में है। मैंने तत्काल उन लोगों को दोहराने के लिए कहा जिन्हें समस्या है!

यहाँ फिनिश लाइन है! घातांक समीकरण का विहित रूप प्राप्त होता है! कितनी अच्छी तरह से? क्या मैंने आपको आश्वस्त किया है कि यह इतना डरावना नहीं है? ;) हम ड्यूस हटाते हैं और संकेतकों की बराबरी करते हैं:

यह केवल इस रैखिक समीकरण को हल करने के लिए रहता है। कैसे? निश्चित रूप से समान परिवर्तनों की सहायता से।) जो पहले से मौजूद है उसे हल करें! दोनों भागों को दो से गुणा करें (अंश 3/2 को हटाने के लिए), एक्स के साथ शर्तों को बाईं ओर ले जाएं, बिना एक्स के दाईं ओर, समान लाएं, गिनें - और आप खुश होंगे!

सब कुछ खूबसूरती से निकलना चाहिए:

एक्स = 4

आइए अब निर्णय पर पुनर्विचार करें। इस उदाहरण में, हमें से संक्रमण द्वारा बचाया गया था वर्गमूल प्रति घातांक 1/2 . के साथ डिग्री. इसके अलावा, केवल इस तरह के एक चालाक परिवर्तन ने हमें हर जगह पहुंचने में मदद की एक ही आधार(दो), जिसने दिन बचाया! और, यदि इसके लिए नहीं, तो हमारे पास हमेशा के लिए जमने और इस उदाहरण का सामना करने का हर मौका होगा, हाँ ...

इसलिए, हम अगली व्यावहारिक सलाह की उपेक्षा नहीं करते हैं:

यदि घातांकीय समीकरण में जड़ें हैं, तो हम जड़ों से घातों तक जाते हैं भिन्नात्मक संकेतक. बहुत बार, केवल ऐसा परिवर्तन ही आगे की स्थिति को स्पष्ट करता है।

बेशक, नकारात्मक और भिन्नात्मक शक्तियां पहले से कहीं अधिक कठिन हैं। प्राकृतिक डिग्री. कम से कम दृश्य धारणा के संदर्भ में और, विशेष रूप से, दाएं से बाएं की पहचान!

यह स्पष्ट है कि सीधे ऊपर उठाना, उदाहरण के लिए, -3 की शक्ति के लिए दो या -3/2 की शक्ति के लिए एक चार ऐसा नहीं है बड़ी समस्या. जानने वालों के लिए।)

लेकिन जाओ, उदाहरण के लिए, तुरंत महसूस करो कि

0,125 = 2 -3

या

यहाँ केवल अभ्यास और समृद्ध अनुभव का नियम है, हाँ। और, ज़ाहिर है, एक स्पष्ट दृष्टिकोण, ऋणात्मक और भिन्नात्मक घातांक क्या है।साथ ही - प्रायोगिक उपकरण! हाँ, हाँ, वो हरा।) मुझे आशा है कि वे फिर भी आपको सभी प्रकार की डिग्री में बेहतर ढंग से नेविगेट करने में मदद करेंगे और आपकी सफलता की संभावनाओं को महत्वपूर्ण रूप से बढ़ाएंगे! तो आइए उनकी उपेक्षा न करें। मैं व्यर्थ नहीं हूँ हरे मेंमैं कभी-कभी लिखता हूं।)

दूसरी ओर, यदि आप नकारात्मक और भिन्नात्मक जैसी विदेशी शक्तियों के साथ भी "आप" बन जाते हैं, तो घातीय समीकरणों को हल करने की आपकी संभावनाओं का जबरदस्त विस्तार होगा, और आप पहले से ही लगभग किसी भी प्रकार के घातीय समीकरणों को संभालने में सक्षम होंगे। ठीक है, यदि कोई नहीं है, तो सभी घातीय समीकरणों का 80 प्रतिशत - निश्चित रूप से! हाँ, हाँ, मैं मज़ाक नहीं कर रहा हूँ!

तो, घातीय समीकरणों के साथ परिचित होने का हमारा पहला भाग अपने तार्किक निष्कर्ष पर आ गया है। और, बीच में कसरत के रूप में, मैं परंपरागत रूप से अपने आप को थोड़ा सा हल करने का सुझाव देता हूं।)

अभ्यास 1।

ताकि नकारात्मक को समझने के बारे में मेरे शब्द और भिन्नात्मक शक्तियांव्यर्थ नहीं, मैं थोड़ा खेल खेलने का प्रस्ताव करता हूं!

संख्या को दो की शक्ति के रूप में व्यक्त करें:

उत्तर (अव्यवस्था में):

हो गई? उत्कृष्ट! फिर हम एक लड़ाकू मिशन करते हैं - हम सबसे सरल और सरल घातीय समीकरणों को हल करते हैं!

कार्य 2.

समीकरण हल करें (सभी उत्तर गड़बड़ हैं!):

5 2x-8 = 25

2 5x-4 - 16x+3 = 0

उत्तर:

एक्स = 16

एक्स 1 = -1; एक्स 2 = 2

एक्स = 5

हो गई? वास्तव में, बहुत आसान!

फिर हम निम्नलिखित गेम को हल करते हैं:

(2 x +4) x -3 = 0.5 x 4 x -4

35 1-x = 0.2 - x 7 x

उत्तर:

एक्स 1 = -2; एक्स 2 = 2

एक्स = 0,5

एक्स 1 = 3; एक्स 2 = 5

और एक के ये उदाहरण बचे हैं? उत्कृष्ट! तुम बढ़ रहे हो! फिर आपके लिए नाश्ता करने के लिए यहां कुछ और उदाहरण दिए गए हैं:

उत्तर:

एक्स = 6

एक्स = 13/31

एक्स = -0,75

एक्स 1 = 1; एक्स 2 = 8/3

और क्या यह तय है? अच्छा, सम्मान! मैं अपनी टोपी उतारता हूं।) तो, सबक व्यर्थ नहीं था, और प्रथम स्तरघातीय समीकरणों को हल करने में सफलतापूर्वक महारत हासिल की जा सकती है। आगे - अगले स्तरऔर अधिक जटिल समीकरण! और नई तकनीक और दृष्टिकोण। और गैर-मानक उदाहरण. और नए आश्चर्य।) यह सब - अगले पाठ में!

कुछ काम नहीं किया? तो, सबसे अधिक संभावना है, समस्याएं अंदर हैं। या में। या दोनों एक ही समय में। यहाँ मैं शक्तिहीन हूँ। में कर सकते हैं फिर सेकेवल एक चीज की पेशकश करें - आलसी मत बनो और लिंक के माध्यम से चलो।)

जारी रहती है।)