हम कल्पना कर सकते हैं कि संख्या कितनी बार स्वयं के साथ जितनी बार हमें इसे गुणा करने की आवश्यकता होती है।

विभाजन को कई के रूप में दर्शाया जा सकता है। आइए इस मुद्दे को और अधिक विस्तार से देखें।

संख्या विभाजन

आइए तस्वीर को देखें।

तस्वीर में हम एक थाली में 12 सेब देखते हैं। सेब को 3 सेब के चार समूहों में बांटा गया है। आप इसे इस तरह लिख सकते हैं:

12 4 = 3

जिस संख्या को हम भाग देते हैं उसे भाज्य कहते हैं, जिस संख्या से हम भाग देते हैं उसे भाजक कहते हैं, और परिणाम विभाजननिजी कहा जाता है। हमारे उदाहरण में लाभांश 12, भाजक 4 है, और भागफल 3 है।

गुणन द्वारा भाग की जाँच की जा सकती है:

3 x 4 = 12

और बार-बार घटाव द्वारा भी विभाजन की जाँच की जा सकती है:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

हम देखते हैं कि अगर हम 12 में से 4 गुना 3 घटाते हैं, तो हमें शून्य मिलता है. अतः 12 गुना 4 बिना शेषफल के विभाज्य है।

एक अन्य उदाहरण पर विचार करें, 13 को 4 से भाग दें।

चित्र से पता चलता है कि 13 सेबों को 4 से भाग देने पर हमें 3 और . प्राप्त होता है बाकी एक सेब है.

13 ÷ 4 = 3 (बाकी.1)

आइए घटाव द्वारा जांचें:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

हम देखते हैं कि यदि संख्या 3 को 13 में से चार बार घटा दिया जाए, तो 1 शेष रह जाता है। हमारे उदाहरण को शेषफल के साथ भाग कहते हैं। यहां 13 भाज्य है, 4 भाजक है, और 3 है अधूरा भागफल, 1 – विभाजन के शेष.

अब गुणन द्वारा जांचें:

3 x 4 + 1 = 13

मूल विभाजन नियम

1. शून्य से विभाजित न करें!

2. यदि भाज्य और भाजक बराबर हैं, तो भागफल 1 के बराबर होगा:

ए ए = 1

यानी अगर 5 नाशपाती को पांच लड़कों में बांटना है, तो प्रत्येक को एक नाशपाती मिलेगी।

8÷8 = 1

12 12 = 1

3. यदि लाभांश शून्य है और भागफल शून्य है:

0 ए = 0

यानी अगर आप किसी चीज से कुछ नहीं बांटते हैं, तो आपको कुछ नहीं मिलता है।
उदाहरण:

0 9 = 0

0 34 = 0

4. यदि भाजक 1 है, तो भागफल लाभांश के बराबर होता है:

ए 1 = ए

यानी अगर किसी लड़के के पास पांच नाशपाती हैं और वह अकेला है, तो उसे सभी पांच नाशपाती मिलेंगे।

6 1 = 6

81 1 = 81

निम्नलिखित लेखों में, हम बड़ी संख्या के विभाजन को देखेंगे, और सामग्री को समेकित करने के लिए कई कार्य प्रस्तुत किए जाएंगे।

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यह निर्धारित करने के लिए कि बड़ी संख्या 6 प्राप्त करने के लिए आपको कितनी बार छोटी संख्या 2 लेने की आवश्यकता है, इसका मतलब यह निर्धारित करना है कि संख्या 2 कितनी बार 6 में समाहित है, या कितनी बार संख्या 6 में 2 है।

संख्या 2 तीन बार 6 में समाहित है, क्योंकि 6 प्राप्त करने के लिए, आपको तीन समान पदों का योग लेना होगा:

ज्ञात कीजिए कि संख्या 2 कितनी बार 6 में समाहित है, तो विभाजित करना 6 बटा 2

परिभाषा. डिवीजन एक ऑपरेशन है जिसमें दो दी गई संख्याएं निर्धारित करती हैं कि कितनी बार एक संख्या दूसरे में समाहित है।

भाग में ये संख्याएँ कहलाती हैं भाज्यऔर विभक्त, वांछित कहा जाता है निजी.

लाभांश वह संख्या है जिसमें दूसरा होता है।

भाजक दूसरे में निहित संख्या है।

भागफल दर्शाता है कि भाजक लाभांश में कितनी बार है।

पर यह उदाहरणलाभांश 6, भाजक 2, भागफल 3 है।

6 को 2 से भाग देने का अर्थ 6 को 2 समान पदों में विभाजित करना और उनका मान ज्ञात करना भी है। संख्या 6 को दो समान पदों का प्रयोग करके निरूपित किया जाएगा:

समान पदों में से प्रत्येक को लाभांश का एक भाग कहा जाता है।

पूर्णांकों को विभाजित करके, यह भी ज्ञात होता है कि प्रत्येक पद कितना बड़ा है, यदि लाभांश को उतने ही समान पदों में विभाजित किया जाता है, जितने कि भाजक में इकाइयाँ हैं।

इस मामले में विभाज्य वह संख्या है जो विभाज्य हो या समान भागों में विभाजित हो। विभक्त दिखाता है कि कितना बराबर भागविभाज्य विभाजित है। भागफल दर्शाता है कि प्रत्येक भाग के लिए कितना है.

विभाजन के तरीके

दो संख्याओं 12 और 4 को देखते हुए, हम 12 को 4 से अलग-अलग तरीकों से विभाजित कर सकते हैं।

अतिरिक्त के साथहम यह निर्धारित कर सकते हैं कि कुल 12 प्राप्त करने के लिए आपको कितनी बार 4 पदों को लेने की आवश्यकता है। इसलिए, 4 पदों को 3 बार लेने पर, हम योग में पाते हैं:

इसलिए, 12 तीन बार में 4 समाहित है।

घटाव के साथहम निर्धारित करते हैं कि बड़ी संख्या 12 में से छोटे 4 को कितनी बार घटाना संभव है। इस मामले में, हम भाजक को यथासंभव लंबे समय तक घटाते हैं। तो, क्रमिक रूप से 12 से 4 तक घटाना, हमारे पास है:

12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0

इससे हम पाते हैं कि 12 में से 4 को ठीक तीन बार घटाना संभव है।

डिवीजन समान सबट्रेंड का एक संक्षिप्त घटाव है।

आखिरकार, गुणन द्वारा, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि 12 प्राप्त करने के लिए हमें किस संख्या से 4 गुणा करने की आवश्यकता है। 4 को 1, 2, 3 से लगातार गुणा करने पर, हम पाते हैं कि 12 प्राप्त करने के लिए, हमें 4 को 3 से गुणा करना होगा।

विभाजित करते समय विभिन्न मामले

पूर्णांकों को विभाजित करते समय, दो स्थितियाँ होती हैं:

12 को 4 से भाग देने पर, हम भागफल 3 में पाते हैं। भाजक 4 भाज्य 12 में ठीक 3 गुना होता है। 12 से 4 को क्रमिक रूप से घटाकर, हम संख्या 4 को ठीक तीन बार घटा सकते हैं और कोई शेष नहीं प्राप्त कर सकते हैं। इस मामले में उनका कहना है कि विभाजन पूर्ण या शेष के बिना था. भागफल 3 को भाजक 4 से गुणा करने पर हमें भाज्य 12 प्राप्त होता है।

26 को 8 से भाग देने पर हम क्रमिक रूप से घटाते हैं:

26 - 8 = 18
18 - 8 = 10
10 - 8 = 2

शेष हमेशा होता है कम भाजक . इस मामले में उनका कहना है कि विभाजन पूर्ण नहीं हैया विभाजन शेष के साथ किया जाता है.

26 को 8 से भाग देने पर, हम 8 के भाजक को तीन बार घटा सकते हैं, और हमें शेष 2 प्राप्त होता है। हम संख्या 3 को भागफल कहेंगे। पूर्ण भागफल एक पूर्ण भागफल नहीं है, क्योंकि यह पूरी तरह से व्यक्त नहीं करता है कि बड़ी संख्या में कितनी बार छोटी संख्या समाहित है। संख्या 8 ठीक 3 बार 26 में समाहित नहीं है। इस मामले में, वे कहते हैं: संख्या 8 26 में तीन बार समाहित है और फिर भी शेष प्राप्त करें। भाजक 8 को पूर्णांक भागफल 3 से गुणा करने पर, हमें 26 का लाभांश नहीं मिलेगा, और संख्या 24 लाभांश से कम है। लाभांश प्राप्त करने के लिए, आपको इस उत्पाद में शेष 2 जोड़ना होगा।

पूर्णांक भागफल को कभी-कभी केवल भागफल कहा जाता है।

इसलिए, विभाजित करते समय, हमारे पास दो मामले होते हैं:

विभाजन पूरी तरह से या शेष के बिना। जब भाजक एक सम संख्या में लाभांश में समाहित होता है, तो विभाजन पूर्ण या शेष के बिना होता है। भागफल व्यक्त करता है कि भाजक लाभांश में कितनी बार है। भाज्य भागफल से गुणा किए गए भाजक के बराबर होता है। इस मामले में, विभाजन एक कार्रवाई है जिसमें इस कामऔर एक निर्माता दूसरा निर्माता है।

यदि एक गुणनफल और एक गुणक दिया जाता है, तो गुणक पाया जाता है, अर्थात् समान पदों की संख्या; यदि एक गुणनफल और एक गुणनखंड दिया जाता है, तो गुणक पाया जाता है, अर्थात् समान पदों का परिमाण।

शेष के साथ विभाजन। जब भाजक एक सम संख्या में लाभांश में समाहित नहीं होता है, तो विभाजन पूरी तरह से नहीं किया जाता है, या विभाजन शेष के साथ किया जाता है। शेषफल हमेशा भाजक से कम होता है, और लाभांश भाजक के गुणनफल के बराबर होता है और पूर्णांक भागफल को शेषफल में जोड़ा जाता है।

पूर्णांकों को विभाजित करते समय, लाभांश हमेशा इकाइयों के भाजक के रूप में कई गुना कम होता है, इसलिए विभाजन क्रिया है, गुणन का पारस्परिक .

डिवीजन साइन

हमारे उदाहरण में, विभाजन को लिखित रूप में दर्शाया गया है:

विभाजन चिन्ह हमें प्राचीन गणितज्ञों से प्राप्त हुआ था।

विभाजित करने के लिए बुनियादी तरकीबें

विभाजित करने का अर्थ है लाभांश में से जब तक संभव हो, भाजक को क्रमिक रूप से घटाना।विभाजन की इस पद्धति को सामान्य माना जा सकता है। हालाँकि, यह तकनीक लंबी गणनाओं की ओर ले जाती है यदि लाभांश बहुत बड़ा है, इसलिए विभाजित करने के लिए विभिन्न शॉर्टकट हैं।

मामले में भागफल को निर्धारित करने के लिए जब इसे एक अंक में व्यक्त किया जाता है, तो वे गुणन तालिका का सहारा लेते हैं।

27 को 3 से भाग देने के लिए हम लिखते हैं

भागफल के लिए हम एक ऐसी संख्या चुनते हैं कि भाजक को भागफल से गुणा करने पर हमें लाभांश प्राप्त हो। भागफल ज्ञात करने के लिए, हम भाजक को से गुणा करने का प्रयास करते हैं अलग संख्याया, जैसा कि वे आमतौर पर कहते हैं, हमें अलग-अलग संख्याएँ दी जाती हैं, और हम भाजक के गुणनफल की तुलना भागफल से करते हैं।

27 को 3 से भाग देकर और 3 के सभी गुणनफलों को गुणन सारणी में निहित विभिन्न संख्याओं द्वारा मानसिक रूप से छाँटने पर, हम पाते हैं कि 3 × 9 का गुणनफल 27 है और इसलिए हम भागफल 9 में लिखते हैं। भाजक के गुणनफल को किसके द्वारा घटाना भागफल के भागफल से हमें शेषफल में शून्य प्राप्त होता है।

गणना स्वयं लिखित रूप में व्यक्त की जाती है:

विभाजन पूरा हो गया था।

कभी-कभी भाजक लाभांश में सम संख्या में समाहित नहीं होता है; इसलिए, 27 को 4 से भाग देने पर, हम तालिका में ऐसा पूर्णांक नहीं पाते हैं, जिसे 4 से गुणा करने पर 27 प्राप्त हो; तो विभाजन पूर्ण नहीं है।

विशेष रूप से संपूर्ण की तलाश में, हमारे पास तीन मामले हैं:

भागफल निर्धारित करने का नियम:

यदि, विभाजित करते समय, शेष भाजक से बड़ा या उसके बराबर होता है, तो भागफल छोटा होता है और इसे बढ़ाया जाना चाहिए।

यदि भाजक और भागफल का गुणनफल लाभांश से अधिक है, तो भागफल बड़ा है और इसे घटाया जाना चाहिए।

यदि शेषफल भाजक से कम है, तो भागफल सही है।

यह नियम दर्शाता है कि विभाजित करते समय, आपको भागफल के लिए ऐसी संख्या चुननी होगी कि शेष भाजक से कम हो। इस प्रकार पूछने का अर्थ है सबसे बड़ा पूर्णांक पूछना।

इस उदाहरण में, 27, 4 से विभाज्य नहीं है, लेकिन शेष 3 है; संख्या 6 एक भागफल पूर्णांक है और

27 = 4 × 6 + 3 = 24 + 3

भाज्य 27 भाजक 4 के गुणनफल और पूर्णांक भागफल 6 के गुणनफल के बराबर होता है, जिसे 3 के शेष के साथ जोड़ा जाता है।

बहु-अंकीय संख्या का एक-अंकीय संख्या से भाग

विभाजन का भागफल बहु-अंकीय संख्याएक अंक में कभी-कभी एक संख्या के रूप में व्यक्त किया जाता है जिसमें कई अंक होते हैं। इस मामले में, विभाजन कई अलग-अलग कार्यों में टूट जाता है।

702 को 3 से भाग दें। भागफल में तीन अंक होते हैं। यह 100 से अधिक और 1000 से कम है, क्योंकि लाभांश 300 (3 × 100) से अधिक और 3000 (3 × 1000) से कम है। तीन अंकों को मिलाकर, भागफल में सैकड़ों, दहाई और एक होते हैं। पर इस मामले मेंविभाजन को तीन में विभाजित करें व्यक्तिगत क्रियाएं, अर्थात्, हम क्रमिक रूप से सैकड़ों, फिर दहाई और, अंत में, भागफल की इकाइयों की खोज करते हैं। हम सैकड़ों के साथ कार्रवाई शुरू करते हैं।

यदि आप हर बार अतिरिक्त शून्य नहीं लिखते हैं और केवल लाभांश की उन संख्याओं को ध्यान में रखते हैं जिनका भागफल पर प्रभाव पड़ता है, तो विभाजन को लिखित रूप में दर्शाया जाएगा:

मौखिक रूप से:

हम लाभांश के 7 - एक अंक को अलग करते हैं; 3 में 7 2 बार समाहित है, - हम निजी में लिखते हैं 2; भाजक 3 को इससे गुणा करने पर और 7 से गुणनफल 6 घटाने पर हमें पहला शेषफल 1 प्राप्त होता है।

हम 3 को ध्वस्त करते हैं - लाभांश का अगला अंक; 13 में 3, 4 गुना है, 3 गुना 4, 12 है; 13 में से 12 घटाने पर 1 का शेषफल प्राप्त होता है।

हम लाभांश के अगले अंक को ध्वस्त करते हैं; 3 में 12 में 4 बार समाहित है, हम निजी 4 में लिखते हैं; 3 गुना 4 है 12. 12 को घटाने पर शेषफल में शून्य और भागफल में 244 प्राप्त होता है.

उदाहरण. 2417 को 3 से भाग दें। गणना प्रक्रिया लिखित रूप में व्यक्त की जाएगी:

मौखिक रूप से:

एक अंक 2 को अलग करके, हम देखते हैं कि 3 में 2 में पूर्णांक संख्या नहीं है, इसलिए हमें दो अंकों को अलग करने की आवश्यकता है; 24 में 3 में 8 बार होते हैं, - हम 8 को अकेले में लिखते हैं। 8 को 3 के भाजक से गुणा करने पर और 24 के गुणनफल को घटाने पर शेषफल में शून्य प्राप्त होता है।

हम अगले नंबर 1 को ध्वस्त करते हैं; 3 में 1 निहित नहीं है, - हम निजी शून्य में लिखते हैं।

हम अगले नंबर 7 को ध्वस्त करते हैं; 17 में 3 में 5 बार होता है, - हम निजी में 5 लिखते हैं; 3 गुना 5 है 15; 17 में से 15 घटाने पर हमें शेष 2 और पूर्णांक भागफल 805 प्राप्त होता है।

एक बहु-अंकीय संख्या को एक बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करना

बहु-अंकीय संख्या को बहु-अंकीय संख्या से विभाजित करते समय, हम ठीक उसी तरह आगे बढ़ते हैं जैसे हमने बहु-अंकीय संख्या को एकल-अंकीय संख्या से विभाजित करते समय किया था।

संख्या 37207 को 47 से विभाजित करते हुए, हम सबसे पहले यह निर्धारित करते हैं कि भागफल में कितने अंक होते हैं। भागफल 1000 से कम और 100 से बड़ा है, क्योंकि 37207 47000 (47 × 1000) से कम और 4700 (47 × 100) से अधिक है, इसलिए भागफल में सैकड़ों, दहाई और इकाई होते हैं। सैकड़ों से शुरू करते हुए, हम भागफल के प्रत्येक अंक को अलग-अलग परिभाषित करते हैं:

इसलिए, विभाजित करने के बाद, हमारे पास कुल मिलाकर 791 का भागफल और 30 का शेषफल होता है।

यदि आप हर बार अतिरिक्त शून्य नहीं लिखते हैं और केवल लाभांश की उन संख्याओं को ध्यान में रखते हैं जिनका भागफल पर प्रभाव पड़ता है, तो गणना प्रक्रिया को लिखित रूप में दर्शाया जाएगा:

मौखिक रूप से:

हम लाभांश में बायें हाथ से दायीं ओर उतने अंक अलग करते हैं, ताकि भाजक को लाभांश के अलग हिस्से में समाहित किया जा सके। इस मामले में, हम 3 अंक अलग करते हैं, 47 372 सात बार में समाहित है; हम 47 के भाजक को 7 से गुणा करते हैं, भागफल अंक, और गुणनफल 47 × 7 = 329 को 372 से घटाने पर, हमें शेष में 43 मिलता है।

शेष 43 में हम लाभांश के अगले अंक 0 को नष्ट कर देते हैं; 430 में नौ गुना 430 होता है, हम भागफल 9 में लिखते हैं। 47 को 9 से गुणा करके और 430 में से 423 के गुणनफल को घटाने पर, हमें शेष 7 मिलता है।

हम निजी 7 के अगले अंक को शेष से हटा देते हैं; 47 एक बार 77 में समाहित है। हम इकाई को निजी तौर पर लिखते हैं।

भाजक को इससे गुणा करने पर और 77 में से 47 घटाने पर, हमें शेषफल में 30 और सामान्य रूप से 791 प्राप्त होते हैं।

उदाहरण. 671064 को 335 से भाग दें। विभाजन को लिखित रूप में प्रदर्शित किया जाएगा:

मौखिक रूप से:

हम लाभांश में 671 को अलग करते हैं; 335, 671 में दो बार समाहित है, हम भागफल 2 में लिखते हैं। 335 को 2 से गुणा करने पर और 670 के गुणनफल को घटाने पर, हमें शेषफल में 1 प्राप्त होता है।

हम लाभांश के अगले अंक 0 को ध्वस्त करते हैं; 335 10 में निहित नहीं है - हम दूसरे अंक के लिए निजी 0 लिखते हैं।

हम लाभांश के अगले अंक 6 को ध्वस्त करते हैं; 335 106 में समाहित नहीं है - हम तीसरे अंक के लिए निजी 0 लिखते हैं।

हम लाभांश 4 के अगले अंक को ध्वस्त करते हैं; 335, 1064 में तीन बार समाहित है - हम भागफल 3 में लिखते हैं। भाजक को 3 से गुणा करने और गुणनफल को घटाने पर, हमें शेष में 59 और सामान्य रूप से 2003 मिलता है।

दिए गए उदाहरणों से, हम निम्नलिखित नियम निकालते हैं:

एक बहु-अंकीय संख्या को एक-अंकीय या बहु-अंकों में विभाजित करने के लिए, आपको लाभांश में बाएँ हाथ से दाईं ओर उतने अंकों को अलग करना होगा जितने कि भाजक में हैं। यदि भाजक समाहित नहीं है, तो लाभांश में एक अंक अधिक से अलग करें। विभाजित संख्या को भाजक से भाग देने पर भागफल का पहला अंक प्राप्त होता है, भाजक को इससे गुणा किया जाता है और परिणामी गुणनफल को लाभांश के पृथक् भाग से घटा दिया जाता है।

लाभांश का अगला अंक शेष के लिए नीचे ले जाया जाता है और फिर से सेट किया जाता है।

यदि इसका परिणाम भाजक से कम संख्या में होता है, तो वे निजी में शून्य लिखते हैं, अगले अंक को ध्वस्त करते हैं और फिर से सेट करते हैं।

निजी का एक नया अंक प्राप्त करने के बाद, वे इसके साथ उसी तरह कार्य करते हैं जैसे पहले अंक के साथ।

विभाजन तब तक जारी रहता है जब तक कि लाभांश के सभी अंक हटा नहीं दिए जाते और इस प्रकार निजी के सभी अंक प्राप्त नहीं हो जाते।

जब भी आपको भाग देना हो, तो आपको भागफल में ऐसी आकृति निर्दिष्ट करनी होगी कि शेष भाजक से कम हो। ऐसे भागफल अंक को खोजना आसान बनाने के लिए, बहु-अंकीय संख्या को बहु-अंकों वाले एक से विभाजित करते समय, भाजक के एक या दो प्रमुख अंकों पर ध्यान दिया जाता है और केवल उनके द्वारा लाभांश के संबंधित भाग में सेट किया जाता है। उसी समय, लाभांश और भाजक में, वे से अलग हो जाते हैं दायाँ हाथबांई ओर वही नंबरअंक। इसलिए, यह निर्धारित करते हुए कि 27302 में कितनी बार 6373 समाहित है, हम खुद से चार पूछते हैं, क्योंकि 27 में 6 में 4 गुना होता है।

परिणामी भागफल वास्तविक संख्या के बराबर या उससे अधिक होगा। पर अंतिम मामलाइसे कम करने की जरूरत है।

कभी-कभी, विभाजित करते समय, वे भाजक द्वारा भागफल अंक के उत्पाद पर हस्ताक्षर नहीं करते हैं, लेकिन, इसका अर्थ यह है कि वे एक शेष पर हस्ताक्षर करते हैं। इस तरह से विभाजन को कम करते हुए, इसे लिखित रूप में चित्रित करें:

मौखिक रूप से:

43 में 8, 5 बार समाहित है; 5 वां 8 - चालीस। 43 में से 40 घटाने पर हमें 3 का शेषफल मिलता है।

विध्वंस 2; 32 में 8 4 बार समाहित है; 4 गुना 8 32 है। 32 को घटाने पर शेषफल में शून्य प्राप्त होता है।

विध्वंस 8; 8 में 8 में 1 समय होता है, 1 समय 8 होता है 8। 8 को घटाने पर शेषफल में शून्य और भागफल में 541 प्राप्त होता है।

10, 100, 1000, आदि से विभाजन।

किसी संख्या को 10 से विभाजित करते हुए, हम लाभांश के दसियों को इकाइयों में, सैकड़ों को दहाई में, हजारों को सैकड़ों में बदल देते हैं, सामान्य तौर पर, हम लाभांश के सभी आदेशों को एक से कम करते हैं। हम इकाइयों के अंक को अल्पविराम से अलग करके इसे प्राप्त करते हैं। दशमलव बिंदु से पहले की संख्या भागफल को व्यक्त करेगी, और दशमलव बिंदु के बाद शेषफल।

100 से विभाजित करके, हम विभाज्य के सभी आदेशों को दो इकाइयों से कम करते हैं, जिसके लिए हम दो अंकों को दाहिने हाथ से बाएं हाथ में अल्पविराम आदि से अलग करते हैं। इसलिए नियम:

किसी भी संख्या को शून्य से एक से विभाजित करने के लिए, आपको दाहिने हाथ से बायीं ओर उतने ही अंक अलग करने होंगे जितने कि भाजक में शून्य होते हैं; तो दशमलव बिंदु से पहले की संख्या पूरे भागफल को व्यक्त करती है, और दशमलव बिंदु के बाद - शेष।

उदाहरण. 30207 को 100 से भाग देने पर दायीं ओर के 2 अंको को अलग करने पर हम 302.07 पाते हैं। पूर्णांक भागफल 302 होगा और शेष 7 होगा।

शून्य से समाप्त होने वाली संख्या से विभाजन

संख्या 27057 को 400 से विभाजित करना और सामान्य नियम के रूप में ऐसा करना

हम देखते हैं कि लाभांश के अंतिम दो अंक भागफल पर कोई प्रभाव नहीं डालते हैं। वे बिना किसी परिवर्तन के अवशेष में हैं। नियम कहां से आता है:

यदि भाजक शून्य में समाप्त होता है, तो भाजक को दाहिने हाथ से बायीं ओर अल्पविराम के साथ विभाजित करें, जितने अंक भाजक में पार किए गए शून्य हैं, और लाभांश के भाग को अल्पविराम से विभाजित करें महत्वपूर्ण आंकड़ेविभाजक। लाभांश के अलग किए गए अंक शेष में जोड़ दिए जाते हैं।

इस उदाहरण में, विभाजन को इस प्रकार दर्शाया जाएगा

यदि लाभांश और भाजक शून्य में समाप्त होते हैं, तो उन्हें लाभांश में समान रूप से काट दिया जाता है, भाजक और विभाजन किया जाता है; लाभांश के स्ट्राइकथ्रू शून्य को शेष में जोड़ दिया जाता है।

27300 को 4100 से भाग देने के लिए, 273 को 41 से भाग दें:

भागफल 6 होगा और शेष 2700 होगा।

भागफल के अंकों की संख्या।विभाजित करते समय, वे लाभांश में बाएं हाथ से दाईं ओर उतने अंक अलग करते हैं जितने कि भाजक में होते हैं, या एक और। लाभांश का प्रत्येक शेष अंक से मेल खाता है विशेष आंकड़ानिजी, इसलिए भागफल के अंकों की संख्या या तो लाभांश और भाजक के अंकों की संख्या के बीच के अंतर के बराबर होगी, या इस अंतर से एक अधिक होगी.

डेटा और आवश्यक डिवीजनों के बीच संबंध

पूर्णांकों को विभाजित करते समय, हमारे पास दो स्थितियाँ होती हैं: a) पूरा विभाजन, या कोई शेष नहीं, और बी) शेष के साथ विभाजन.

इनमें से प्रत्येक मामला डेटा और आवश्यक विभाजनों के बीच एक विशेष संबंध से मेल खाता है।

विभाजन पूर्ण या शेष के बिना

एक पूर्णांक से विभाजित करते समय

भागफल भाजक द्वारा विभाजित लाभांश के बराबर होता है.

42 को 7 से भाग देने पर हमारे पास एक निजी 6 होता है; इस तरह,

42 7 = 6, या 6 = 42 ÷ 7

भाज्य भागफल से गुणा किए गए भाजक के बराबर होता है.

चूँकि भाजक और भागफल दो ऐसे गुणनखंड हैं जिनका गुणनफल विभाज्य के बराबर है, तो भाजक भागफल से विभाजित लाभांश के बराबर है.

शेष के साथ विभाजन

शेष के साथ विभाजित करते समय

लाभांश भाजक के गुणनफल के बराबर होता है और पूर्णांक भागफल को शेषफल में जोड़ा जाता है.

जब 47 को 6 से विभाजित करते हैं, तो हमारे पास कुल 7 का भागफल होता है, शेष 5 के साथ।

विभाज्य 47 = 6 × 7 + 5।

शेषफल के बिना लाभांश भाजक और पूरे भागफल से विभाज्य है.

शेषफल के बिना लाभांश का अंतर भाजक और पूर्णांक भागफल के गुणनफल के बराबर होता है, अर्थात यह अंतर, जब भाजक से विभाजित होता है, पूर्णांक भागफल देता है, पूर्णांक से विभाजित करने पर भागफल भाजक देता है।

यह पाठ "घटकों का नाम और विभाजन का परिणाम" विषय के अध्ययन के लिए समर्पित है। हम यह पता लगाने में सक्षम होंगे कि विभाजित करते समय संख्याओं को कैसे कहा जाता है। हम इस बारे में भी बात करेंगे कि विभाजन को सही तरीके से कैसे पढ़ा जाए और घटकों के नाम और विभाजन के परिणाम क्या हैं।

इस अभिव्यक्ति को देखें।

यह अभिव्यक्ति विभाजन चिह्न का उपयोग करती है। आइए इसे पढ़ें।

21: 7 = 3 (21 को 7 से भाग देने पर हमें 3 प्राप्त होता है)।

विभाजित करते समय, दूसरे की तरह गणितीय क्रिया, प्रत्येक संख्या का अपना नाम होता है।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे लाभांश कहा जाता है।

जिस संख्या से भाग दिया जाता है उसे भाजक कहते हैं।

विभाजन के परिणाम को भागफल कहते हैं। (चित्र .1)

चावल। 1. विभाजित करते समय संख्याओं के नाम

आइए नए शब्दों का प्रयोग करते हुए उसी व्यंजक को पढ़ें।

21: 7 = 3 (लाभांश 21 है, भाजक 7 है, भागफल 3 है)।

वही समानता दूसरे तरीके से लिखी जा सकती है। 21 और 7 का भागफल 3 है।

आइए चित्रों का उपयोग करके भागफल ज्ञात करें।

ज्ञात कीजिए कि 9 की संख्या में 3 कितनी बार है।

आइए चित्र के रूप में सुविधा के लिए संख्या 9 का प्रतिनिधित्व करें। (रेखा चित्र नम्बर 2)

चावल। 2. संख्या 9

संख्या 9 में कितनी बार 3 स्ट्रॉबेरी समाहित हैं। स्ट्रॉबेरी को 3 से विभाजित करें। (चित्र 3)।

चावल। 3. स्ट्रॉबेरी को 3 . से विभाजित करें

हम देखते हैं कि संख्या 9 बटा 3 में 3 गुना होता है। आइए इसे एक अभिव्यक्ति के रूप में लिखें।

हमारे समीकरण पढ़ें।

9 को 3 से भाग देने पर 3 प्राप्त होता है; लाभांश - 9, भाजक - 3, भागफल - 3; 9 और 3 का भागफल 3 है।

आइए जानें कि संख्या 8 में 4 कितनी बार समाहित है। इसे और अधिक सुविधाजनक बनाने के लिए, हम चित्र के रूप में संख्या 8 का प्रतिनिधित्व करेंगे। (चित्र 4)।

चावल। 4. संख्या 8

8 में 4 कितना गुना होता है?

संख्या 8 को 4 के समूहों में विभाजित करें (चित्र 5)।

चावल। 5. संख्या 8 को 4 . के समूहों में विभाजित करें

हमने जो किया है उसे व्यंजक की सहायता से लिखते हैं।

आइए पढ़ें हमारी समानता।

लाभांश - 8, भाजक - 4, भागफल - 2; 8 और 4 का भागफल 2 है।

आइए नई शर्तों का उपयोग करके समानता लिखने का अभ्यास करें।

भागफल 10 और 2 बराबर 5.

हमें याद है कि भागफल भाग का परिणाम है। तो हम इस तरह समीकरण लिखते हैं:

भाज्य 12 है, भाजक 2 है, भागफल 6 है.

लाभांश, भाजक और भागफल विभाजन के घटक हैं। तो समीकरण इस तरह दिखेगा:

अब अपनी समानताएं लिखने का प्रयास करें:

भागफल 15 और 3 बराबर 5.

भाज्य 20 है, भाजक 5 है और भागफल 4 है।

सही उत्तर:

इस पाठ में हमने भाग के घटकों के नाम और भाग के परिणाम के बारे में सीखा। हमने यह भी सीखा कि विभिन्न तरीकों से समानताएं कैसे गिनें।

ग्रन्थसूची

1. अलेक्जेंड्रोवा ई.आई. गणित। ग्रेड 2 - एम .: बस्टर्ड, 2004।
2. बश्माकोव एम.आई., नेफ्योदोवा एम.जी. गणित। ग्रेड 2 - एम .: एस्ट्रेल, 2006।
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1. महोत्सव.1सितंबर.ru ()।
2. Nsportal.ru ()।
3. इरीना-se.com ()।

गृहकार्य

भाव लिखें और उनके परिणाम खोजें:

ए) लाभांश - 24, भाजक - 6बी) लाभांश - 10, भाजक - 2में) लाभांश - 18, भाजक - 6.

भावों को हल करें:

ए) 14:7 बी) 28:4 सी) 30:6

लापता संख्याओं के साथ समानताएं पूरी करें:

ए) 16: * = 4 बी) 21: 3 = * सी) 25: * = 5

विभाजन- यह गुणन के विपरीत अंकगणितीय संक्रिया है, जिससे यह ज्ञात होता है कि एक संख्या दूसरी संख्या में कितनी बार समाहित है।

जिस संख्या को विभाजित किया जा रहा है उसे कहा जाता है भाज्य, जिस संख्या से इसे विभाजित किया जाता है उसे कहा जाता है विभक्त, विभाजन के परिणाम को कहा जाता है निजी.

जिस तरह गुणा बार-बार जोड़ की जगह लेता है, उसी तरह विभाजन बार-बार घटाव को बदल देता है। उदाहरण के लिए, संख्या 10 को 2 से विभाजित करने का अर्थ यह पता लगाना है कि संख्या 2 10 में कितनी बार समाहित है:

10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

10 में से 2 घटाने की संक्रिया को दोहराने पर हम पाते हैं कि 2 10 5 बार में समाहित है। इसे 2 को पांच बार जोड़कर या 2 को 5 से गुणा करके आसानी से चेक किया जा सकता है।

10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5

विभाजन लिखने के लिए, एक चिन्ह का उपयोग किया जाता है: (कोलन), (ओबेलस) या / (स्लैश)। इसे भाजक और भाजक के बीच रखा जाता है, जिसमें लाभांश विभाजन चिह्न के बाईं ओर लिखा जाता है, और भाजक दाईं ओर होता है। उदाहरण के लिए, प्रविष्टि 10: 5 का अर्थ है कि संख्या 10 संख्या 5 से विभाज्य है। विभाजन प्रविष्टि के दाईं ओर, चिह्न = (बराबर) लगाएं, जिसके बाद विभाजन का परिणाम दर्ज किया जाता है। इस प्रकार, पूर्ण विभाजन रिकॉर्ड इस तरह दिखता है:

यह प्रविष्टि इस प्रकार पढ़ती है: दस और पांच का भागफल दो के बराबर होता है, या दस को पांच से विभाजित करने पर दो के बराबर होता है।

इसके अलावा, विभाजन को एक क्रिया के रूप में माना जा सकता है जिसके द्वारा एक संख्या को उतने ही समान भागों में विभाजित किया जाता है जितने कि दूसरी संख्या में इकाइयाँ होती हैं (जिससे इसे विभाजित किया जाता है)। यह निर्धारित करता है कि प्रत्येक व्यक्तिगत भाग में कितनी इकाइयाँ निहित हैं।

उदाहरण के लिए, हमारे पास 10 सेब हैं, 10 को 2 से विभाजित करने पर हमें दो बराबर भाग मिलते हैं, जिनमें से प्रत्येक में 5 सेब होते हैं:

डिवीजन चेक

भाग की जाँच करने के लिए, आप भागफल को भाजक (या इसके विपरीत) से गुणा कर सकते हैं। यदि गुणन का परिणाम लाभांश के बराबर एक संख्या है, तो विभाजन सही है।

अभिव्यक्ति पर विचार करें:

जहां 12 भाज्य है, 4 भाजक है, और 3 भागफल है। अब भागफल को भाजक से गुणा करके भाग की जाँच करते हैं:

या भागफल से भाजक:

भाग को भाग द्वारा भी चेक किया जा सकता है, इसके लिए भागफल से भागफल को विभाजित करना आवश्यक है। यदि विभाजन का परिणाम भाजक के बराबर संख्या है, तो विभाजन सही है:

निजी की मुख्य संपत्ति

निजी के पास एक है महत्वपूर्ण संपत्ति:

यदि लाभांश और भाजक को एक ही प्राकृतिक संख्या से गुणा या विभाजित किया जाता है तो भागफल नहीं बदलता है।

उदाहरण के लिए,

32: 4 = 8, (32 3): (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2): (4: 2) = 16: 2 = 8

एक संख्या का अपने आप से विभाजन और एक

किसी भी प्राकृतिक संख्या के लिए एसमानताएं सही हैं:

ए : 1 = ए
ए : ए = 1

डिवीजन में नंबर 0

शून्य को किसी प्राकृत संख्या से भाग देने पर शून्य प्राप्त होता है:

0: ए = 0

आप शून्य से विभाजित नहीं कर सकते।

आइए देखें कि हम शून्य से विभाजित क्यों नहीं कर सकते। यदि लाभांश शून्य नहीं है, लेकिन कोई अन्य संख्या है, उदाहरण के लिए 4, तो इसे शून्य से विभाजित करने का अर्थ है एक ऐसी संख्या का पता लगाना, जिसे शून्य से गुणा करने के बाद, संख्या 4 हो। लेकिन ऐसी कोई संख्या नहीं है, क्योंकि कोई भी संख्या शून्य से गुणा करने पर पुनः शून्य प्राप्त होता है।

यदि लाभांश भी शून्य के बराबर है, तो विभाजन संभव है, लेकिन कोई भी संख्या एक निजी संख्या के रूप में काम कर सकती है, क्योंकि इस मामले में, भाजक (0) से गुणा करने के बाद कोई भी संख्या हमें लाभांश देती है (अर्थात, फिर से 0) . इस प्रकार विभाजन, हालांकि संभव है, एक भी निश्चित परिणाम की ओर नहीं ले जाता है।

डिवीजन (गणित)

विभाजन(डिवीजन ऑपरेशन) - चार सरलतम में से एक अंकगणितीय आपरेशनस, गुणन का विलोम। भाग एक ऐसी संक्रिया है, जिसके परिणामस्वरूप एक संख्या (भागफल) प्राप्त होती है, जिसे भाजक से गुणा करने पर लाभांश प्राप्त होता है। डिवीजन ऑपरेटर का प्रतिनिधित्व करने के लिए कई प्रतीकों का उपयोग किया जाता है।

उदाहरण के लिए, इस प्रश्न पर विचार करें:

14 में 3 कितनी बार होता है?

14 में से 3 घटाने की क्रिया को दोहराते हुए, हम पाते हैं कि 3 चार बार 14 बार "प्रवेश" करता है, और फिर भी संख्या 2 "रहता है"।

इस मामले में, संख्या 14 कहा जाता है भाज्य, संख्या 3 - विभक्त, चार नंबर - (अपूर्ण) निजीऔर नंबर 2 - शेष (विभाजन से).

विभाजन का परिणाम भी कहा जाता है रवैया.

प्राकृतिक संख्याओं का विभाजन

आमतौर पर, शेष पर निम्नलिखित प्रतिबंध लगाए जाते हैं (ताकि यह सही ढंग से हो, अर्थात विशिष्ट रूप से परिभाषित हो):

, ,

भाज्य कहाँ है, भाजक है, भागफल है और शेषफल है।

पूर्णांकों का विभाजन

मनमाना पूर्णांकों का विभाजन विभाजन से महत्वपूर्ण रूप से भिन्न नहीं है प्राकृतिक संख्याएं- यह उनके मॉड्यूल को विभाजित करने और संकेतों के नियम को ध्यान में रखने के लिए पर्याप्त है।

हालांकि, शेषफल के साथ पूर्णांकों का विभाजन विशिष्ट रूप से परिभाषित नहीं है। एक मामले में, (साथ ही शेष के बिना), मॉड्यूल को पहले माना जाता है और परिणामस्वरूप, शेष को भाजक या लाभांश के समान चिह्न प्राप्त होता है (उदाहरण के लिए, शेष (-1) के साथ); एक अन्य मामले में, शेष की अवधारणा को सीधे सामान्यीकृत किया जाता है और प्रतिबंध प्राकृतिक संख्याओं से उधार लिए जाते हैं:

.

परिमेय संख्याओं का विभाजन

अंतर इस तथ्य में निहित है कि बहुपदों को विभाजित करते समय, मुख्य जोर लाभांश और भाजक की डिग्री पर होता है, न कि गुणांक पर। इसलिए, आमतौर पर यह माना जाता है कि भागफल और भाजक (और इसलिए शेष) को एक स्थिर कारक तक परिभाषित किया जाता है।

शून्य से विभाजन

मानक अंकगणित के नियमों के अनुसार, 0 से भाग करना वर्जित है।

एक और चीज है एक असीम रूप से छोटे कार्य या अनुक्रम द्वारा विभाजन। परिमित फलनों को अपरिमित में विभाजित करने से इनफिनिटिमल्स का आविर्भाव होता है और दो अतिसूक्ष्मों के अनुपात को कहते हैं अनिश्चितता 0/0, जिसे एक निश्चित परिणाम प्राप्त करने के लिए रूपांतरित किया जा सकता है (अनिश्चितताओं का प्रकटीकरण देखें)।

डिवीजन ऑपरेशन की परिभाषा के अनुसार, ऑपरेशन 0:0 का परिणाम कोई वास्तविक संख्या हो सकता है, इसलिए ऑपरेशन का मूल्य 0:0 अनिश्चित काल के लिएऔर शून्य को शून्य से विभाजित करने की समस्या के अनंत समाधान हैं। . यह मेल नहीं खाता मानक परिभाषाबाइनरी ऑपरेशन, जिसके अनुसार दो नंबर वाले ऑपरेशन का परिणाम केवल एक ही मान हो सकता है।

एक शून्येतर संख्या को शून्य से विभाजित करने की क्रिया किसी वास्तविक संख्या के अनुरूप नहीं होती है।

इस ऑपरेशन के परिणाम को असीम रूप से बड़ा और अनंत के बराबर माना जाता है:
, कहाँ पे
इस व्यंजक का अर्थ यह है कि यदि भाजक शून्य के करीब पहुंच जाए, और लाभांश बराबर रहता है एया इसके पास जाता है, तो भागफल अनिश्चित काल तक बढ़ता है (मॉड्यूलो)।

चूँकि अनंत एक वास्तविक संख्या नहीं है, इसलिए ऐसी संक्रिया बीजगणित की सीमा से परे है वास्तविक संख्या, यदि इसमें बाइनरी ऑपरेशन के रूप में परिभाषित किया गया है। .

यह सभी देखें

टिप्पणियाँ

विकिमीडिया फाउंडेशन। 2010.

देखें कि "डिवीजन (गणित)" अन्य शब्दकोशों में क्या है:

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