Vektor satuan- Ini vektor, nilai absolut (modulus) di mana sama dengan satu. Untuk menyatakan vektor satuan, kita akan menggunakan subskrip e. Jadi, jika vektor diberikan sebuah, maka vektor satuannya adalah vektor sebuah e.Vektor satuan ini menunjuk pada arah yang sama dengan vektor itu sendiri sebuah, dan modulusnya sama dengan satu, yaitu a e \u003d 1.

Jelas sekali, sebuah= sebuah e (a - modulus vektor sebuah). Ini mengikuti aturan di mana operasi perkalian skalar dengan vektor dilakukan.

Vektor satuan sering dikaitkan dengan sumbu koordinat sistem koordinat (khususnya, dengan sumbu sistem koordinat Cartesian). Arah ini vektor bertepatan dengan arah sumbu yang sesuai, dan asal-usulnya sering digabungkan dengan asal sistem koordinat.

Biarkan saya mengingatkan Anda bahwa Sistem koordinasi cartesian dalam ruang secara tradisional disebut rangkap tiga dari sumbu yang saling tegak lurus yang berpotongan di suatu titik yang disebut titik asal. sumbu koordinat biasanya dilambangkan dengan huruf X, Y, Z dan masing-masing disebut sumbu absis, sumbu ordinat dan sumbu aplikasi. Descartes sendiri hanya menggunakan satu sumbu, di mana absis diplot. manfaat penggunaan sistem kapak milik murid-muridnya. Oleh karena itu kalimat sistem kartesius koordinat secara historis salah. Bicara lebih baik persegi panjang sistem koordinasi atau sistem koordinat ortogonal. Namun demikian, kami tidak akan mengubah tradisi dan di masa depan kami akan menganggap bahwa sistem koordinat Cartesian dan persegi panjang (ortogonal) adalah satu dan sama.

Vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu X, dilambangkan saya, vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Y, dilambangkan j, sebuah vektor satuan, diarahkan sepanjang sumbu Z, dilambangkan k. Vektor saya, j, k ditelepon ort(Gbr. 12, kiri), mereka memiliki modul tunggal, yaitu
i = 1, j = 1, k = 1.

kapak dan ort sistem koordinat persegi panjang dalam beberapa kasus mereka memiliki nama dan sebutan lain. Jadi, sumbu absis X dapat disebut sumbu singgung, dan vektor satuannya dilambangkan τ (huruf kecil Yunani tau), sumbu y adalah sumbu normal, vektor satuannya dilambangkan n, sumbu aplikasi adalah sumbu binormal, vektor satuannya dilambangkan b. Mengapa mengubah nama jika esensi tetap sama?

Faktanya adalah bahwa, misalnya, dalam mekanika, ketika mempelajari gerakan benda, sistem koordinat persegi panjang sangat sering digunakan. Jadi, jika sistem koordinat itu sendiri tidak bergerak, dan perubahan koordinat benda bergerak dilacak dalam sistem tidak bergerak ini, maka biasanya sumbu menunjukkan X, Y, Z, dan sumbunya. ort masing-masing saya, j, k.

Tetapi seringkali, ketika suatu benda bergerak sepanjang beberapa lintasan lengkung(misalnya, sepanjang lingkaran) lebih mudah untuk mempertimbangkan proses mekanis dalam sistem koordinat yang bergerak dengan objek ini. Untuk sistem koordinat yang bergerak seperti itu, nama lain dari sumbu dan vektor satuannya digunakan. Itu baru saja diterima. Dalam hal ini, sumbu X diarahkan secara tangensial ke lintasan di titik di mana saat ini objek ini berada. Dan kemudian sumbu ini tidak lagi disebut sumbu X, tetapi sumbu tangen, dan vektor satuannya tidak lagi dilambangkan saya, sebuah τ . Sumbu Y diarahkan sepanjang jari-jari kelengkungan lintasan (dalam kasus gerakan dalam lingkaran - ke pusat lingkaran). Dan karena jari-jari tegak lurus terhadap garis singgung, sumbu disebut sumbu normal (tegak lurus dan normal adalah hal yang sama). Ort dari sumbu ini tidak lagi dilambangkan j, sebuah n. Sumbu ketiga (mantan Z) tegak lurus dengan dua sumbu sebelumnya. Ini adalah binormal dengan vektor b(Gbr. 12, kanan). Omong-omong, dalam hal ini sistem persegi panjang koordinat sering disebut sebagai “alami” atau natural.

Dalam pelajaran ini, kita akan melihat dua operasi lagi dengan vektor: perkalian silang vektor dan produk campuran vektor (link langsung bagi yang membutuhkan). Tidak apa-apa, terkadang itu terjadi untuk kebahagiaan penuh, di samping itu perkalian titik dari vektor, semakin banyak yang dibutuhkan. Begitulah kecanduan vektor. Sepertinya kita mendaki ke alam liar geometri analitik. Ini tidak benar. Di bagian matematika tingkat tinggi ini, biasanya hanya ada sedikit kayu bakar, kecuali mungkin cukup untuk Pinokio. Faktanya, materinya sangat umum dan sederhana - hampir tidak lebih sulit daripada yang sama produk skalar, bahkan tugas khas akan lebih sedikit. Hal utama dalam geometri analitik, seperti yang akan atau telah dilihat banyak orang, BUKAN KESALAHAN PERHITUNGAN. Ulangi seperti mantra, dan Anda akan bahagia =)

Jika vektor berkilau di suatu tempat yang jauh, seperti kilat di cakrawala, tidak masalah, mulailah dengan pelajaran Vektor untuk boneka untuk memulihkan atau membeli kembali pengetahuan dasar tentang vektor. Pembaca yang lebih siap dapat berkenalan dengan informasi secara selektif, saya mencoba mengumpulkan kumpulan contoh terlengkap yang sering ditemukan di kerja praktek

Apa yang akan membuatmu bahagia? Ketika saya masih kecil, saya bisa menyulap dua bahkan tiga bola. Itu berhasil dengan baik. Sekarang tidak perlu menyulap sama sekali, karena kami akan mempertimbangkan hanya vektor ruang, dan vektor datar dengan dua koordinat akan ditinggalkan. Mengapa? Beginilah cara tindakan ini lahir - vektor dan produk campuran vektor didefinisikan dan bekerja di ruang tiga dimensi. Sudah lebih mudah!

Dalam operasi ini, dengan cara yang sama seperti dalam produk skalar, dua vektor. Biarlah itu menjadi surat-surat yang tidak dapat binasa.

Tindakan itu sendiri dilambangkan dengan cara sebagai berikut: . Ada opsi lain, tetapi saya terbiasa menetapkan perkalian silang vektor dengan cara ini, dalam tanda kurung siku dengan salib.

Dan segera pertanyaan: jika dalam perkalian titik dari vektor dua vektor terlibat, dan di sini dua vektor juga dikalikan, maka Apa bedanya? Perbedaan yang jelas, pertama-tama, dalam HASIL:

Hasil perkalian skalar vektor adalah NOMOR:

Hasil perkalian silang vektor adalah VEKTOR: , yaitu, kita mengalikan vektor dan mendapatkan vektor lagi. Klub tertutup. Sebenarnya, itulah nama operasinya. dalam berbagai sastra pendidikan notasinya juga bisa bermacam-macam, saya akan menggunakan huruf .

Definisi produk silang

Pertama akan ada definisi dengan gambar, lalu komentar.

Definisi: perkalian silang non-kolinier vektor , diambil dalam urutan ini, disebut VEKTOR, panjang yang secara numerik sama dengan luas jajar genjang, dibangun di atas vektor-vektor ini; vektor ortogonal terhadap vektor, dan diarahkan agar dasar memiliki orientasi yang benar:

Kami menganalisis definisi dengan tulang, ada banyak hal menarik!

Jadi, kami dapat menyoroti poin penting berikut:

1) Vektor sumber , ditunjukkan oleh panah merah, menurut definisi tidak segaris. Kejadian vektor collinear itu akan tepat untuk dipertimbangkan nanti.

2) Vektor diambil dalam urutan yang ketat: – "a" dikalikan dengan "menjadi", bukan "menjadi" menjadi "a". Hasil perkalian vektor adalah VECTOR , yang dilambangkan dengan warna biru. Jika vektor dikalikan dengan urutan terbalik, maka kita mendapatkan vektor yang sama panjang dan berlawanan arah (warna merah). Artinya, persamaan .

3) Sekarang mari kita berkenalan dengan arti geometris dari produk vektor. Ini sangat poin penting! PANJANG vektor biru (dan, oleh karena itu, vektor merah ) secara numerik sama dengan AREA jajaran genjang yang dibangun di atas vektor . Pada gambar, jajaran genjang ini diarsir dalam warna hitam.

Catatan : gambarnya skematis, dan, tentu saja, panjang nominal produk silang tidak sama dengan luas jajaran genjang.

Kami ingat salah satu dari rumus geometris: luas jajar genjang sama dengan produk pihak yang berdekatan dengan sinus sudut di antara mereka. Oleh karena itu, berdasarkan hal tersebut di atas, rumus untuk menghitung PANJANG produk vektor adalah:

Saya tekankan bahwa dalam rumus kita berbicara tentang PANJANG vektor, dan bukan tentang vektor itu sendiri. Apa arti praktisnya? Dan artinya sedemikian rupa sehingga dalam masalah geometri analitik, luas jajaran genjang sering ditemukan melalui konsep produk vektor:

Mari kita luangkan waktu sebentar rumus penting. Diagonal jajar genjang (garis putus-putus merah) membaginya menjadi dua segitiga sama. Oleh karena itu, luas segitiga yang dibangun di atas vektor (arsir merah) dapat ditemukan dengan rumus:

4) Tidak kurang dari fakta penting adalah bahwa vektor adalah ortogonal terhadap vektor , yaitu, . Tentu saja, vektor yang berlawanan arah (panah merah) juga ortogonal terhadap vektor aslinya .

5) Vektor diarahkan sehingga dasar Memiliki Baik orientasi. Dalam pelajaran tentang transisi ke dasar baru Saya telah berbicara secara rinci tentang orientasi pesawat, dan sekarang kita akan mencari tahu apa itu orientasi ruang. Saya akan menjelaskan di jari Anda tangan kanan . Gabungkan mental jari telunjuk dengan vektor dan jari tengah dengan vektor. Jari manis dan jari kelingking tekan ke telapak tangan Anda. Hasil dari ibu jari - produk vektor akan terlihat. Ini adalah dasar berorientasi kanan (ada dalam gambar). Sekarang tukar vektor ( indeks dan jari tengah ) di beberapa tempat, sebagai hasilnya, ibu jari akan berbalik, dan produk vektor sudah akan melihat ke bawah. Ini juga merupakan dasar yang berorientasi pada hak. Mungkin Anda memiliki pertanyaan: dasar apa yang memiliki orientasi kiri? "Tugaskan" jari yang sama tangan kiri vektor , dan dapatkan basis kiri dan orientasi ruang kiri (dalam hal ini, ibu jari akan ditempatkan ke arah vektor yang lebih rendah). Secara kiasan, basis ini "memutar" atau mengorientasikan ruang di sisi yang berbeda. Dan konsep ini tidak boleh dianggap sebagai sesuatu yang dibuat-buat atau abstrak - misalnya, cermin paling biasa mengubah orientasi ruang, dan jika Anda "menarik objek yang dipantulkan dari cermin", maka itu kasus umum tidak bisa disamakan dengan aslinya. Omong-omong, bawa tiga jari ke cermin dan analisis pantulannya ;-)

... betapa bagusnya Anda sekarang tahu tentang berorientasi kanan dan kiri dasar, karena pernyataan beberapa dosen tentang perubahan orientasi mengerikan =)

Produk vektor dari vektor collinear

Definisi telah dikerjakan secara rinci, masih mencari tahu apa yang terjadi ketika vektor-vektornya kolinear. Jika vektor-vektor itu kolinear, maka mereka dapat ditempatkan pada satu garis lurus dan jajaran genjang kami juga "melipat" menjadi satu garis lurus. Area seperti itu, seperti yang dikatakan ahli matematika, merosot jajaran genjang adalah nol. Hal yang sama mengikuti dari rumus - sinus nol atau 180 derajat nol, dan karenanya luasnya nol

Jadi, jika , maka . Sebenarnya, produk vektor itu sendiri adalah vektor nol, tetapi dalam praktiknya ini sering diabaikan dan ditulis bahwa itu sama dengan nol.

kasus spesial adalah produk silang dari vektor dan dirinya sendiri:

Menggunakan produk silang, Anda dapat memeriksa kolinearitas vektor tiga dimensi, dan tugas ini antara lain, kami juga akan menganalisis.

Untuk solusi contoh praktis mungkin diperlukan tabel trigonometri untuk menemukan nilai sinus darinya.

Baiklah, mari kita nyalakan api:

Contoh 1

a) Tentukan panjang perkalian vektor dari vektor-vektor jika

b) Temukan luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Tidak, ini bukan salah ketik, saya sengaja membuat data awal dalam kondisi barang sama. Karena desain solusinya akan berbeda!

a) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan panjang vektor (produk vektor). Menurut rumus yang sesuai:

Menjawab:

Karena ditanya tentang panjangnya, maka dalam jawaban kami menunjukkan dimensi - satuan.

b) Menurut kondisinya, diperlukan untuk menemukan kotak jajaran genjang dibangun di atas vektor. Luas jajaran genjang ini secara numerik sama dengan panjang produk silang:

Menjawab:

Harap dicatat bahwa dalam jawaban tentang produk vektor tidak ada pembicaraan sama sekali, kami ditanya tentang bidang gambar, masing-masing, dimensinya adalah satuan persegi.

Kami selalu melihat APA yang diperlukan untuk ditemukan oleh kondisi, dan, berdasarkan ini, kami merumuskan bersih menjawab. Ini mungkin tampak seperti literalisme, tetapi ada cukup literalis di antara para guru, dan tugas dengan peluang bagus akan kembali untuk direvisi. Meskipun ini bukan berdalih yang terlalu tegang - jika jawabannya salah, maka orang mendapat kesan bahwa orang tersebut tidak mengerti hal-hal sederhana dan/atau tidak memahami esensi tugas. Momen ini harus selalu dijaga, menyelesaikan masalah apa pun matematika yang lebih tinggi dan juga pada mata pelajaran lainnya.

Ke mana perginya huruf besar "en"? Pada prinsipnya, itu bisa juga menempel pada solusi, tetapi untuk mempersingkat catatan, saya tidak melakukannya. Saya harap semua orang mengerti itu dan merupakan sebutan untuk hal yang sama.

Contoh Populer untuk keputusan independen:

Contoh 2

Temukan luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Rumus untuk menemukan luas segitiga melalui produk vektor diberikan dalam komentar untuk definisi. Solusi dan jawaban di akhir pelajaran.

Dalam praktiknya, tugas ini sangat umum, segitiga umumnya dapat disiksa.

Untuk menyelesaikan masalah lain, kita perlu:

Sifat-sifat perkalian silang vektor

Kami telah mempertimbangkan beberapa properti dari produk vektor, namun, saya akan memasukkannya ke dalam daftar ini.

Untuk vektor arbitrer dan bilangan arbitrer, sifat-sifat berikut ini benar:

1) Di sumber informasi lain, item ini biasanya tidak disorot di properti, tetapi sangat penting di secara praktis. Jadi biarkan saja.

2) - properti juga dibahas di atas, kadang-kadang disebut antikomutatif. Dengan kata lain, urutan vektor penting.

3) - kombinasi atau asosiatif hukum perkalian vektor. Konstanta dengan mudah dikeluarkan dari batas produk vektor. Sungguh, apa yang mereka lakukan di sana?

4) - distribusi atau distribusi hukum perkalian vektor. Tidak ada masalah dengan kurung buka juga.

Sebagai demonstrasi, pertimbangkan contoh singkat:

Contoh 3

Temukan jika

Keputusan: Dengan syarat, diperlukan lagi untuk mencari panjang produk vektor. Mari kita melukis miniatur kita:

(1) Menurut hukum asosiatif, kami mengambil konstanta di luar batas produk vektor.

(2) Kami mengeluarkan konstanta dari modul, sedangkan modul "memakan" tanda minus. Panjangnya tidak boleh negatif.

(3) Apa yang berikut ini jelas.

Menjawab:

Saatnya melempar kayu ke api:

Contoh 4

Hitung luas segitiga yang dibangun di atas vektor jika

Keputusan: Cari luas segitiga menggunakan rumus . Halangannya adalah bahwa vektor "ce" dan "te" sendiri direpresentasikan sebagai jumlah vektor. Algoritme di sini adalah standar dan agak mengingatkan pada contoh No. 3 dan 4 dari pelajaran. Hasil kali titik dari vektor. Mari kita uraikan menjadi tiga langkah untuk kejelasan:

1) Pada langkah pertama, kami mengekspresikan produk vektor melalui produk vektor, sebenarnya, nyatakan vektor dalam bentuk vektor. Belum ada kabar tentang panjangnya!

(1) Kami mengganti ekspresi vektor .

(2) Menggunakan hukum distributif, buka kurung sesuai dengan aturan perkalian polinomial.

(3) Menggunakan hukum asosiatif, kami mengambil semua konstanta di luar produk vektor. Dengan sedikit pengalaman, tindakan 2 dan 3 dapat dilakukan secara bersamaan.

(4) Suku pertama dan suku terakhir sama dengan nol (vektor nol) karena sifat menyenangkan . Pada suku kedua, kita menggunakan sifat antikomutatif dari produk vektor:

(5) Kami menyajikan istilah serupa.

Akibatnya, vektor ternyata diekspresikan melalui vektor, yang harus dicapai:

2) Pada langkah kedua, kami menemukan panjang produk vektor yang kami butuhkan. Aksi ini mengingatkan pada Contoh 3:

3) Temukan luas segitiga yang diperlukan:

Langkah 2-3 dari solusi dapat diatur dalam satu baris.

Menjawab:

Masalah yang dipertimbangkan cukup umum di pekerjaan kontrol, berikut adalah contoh untuk solusi do-it-yourself:

Contoh 5

Temukan jika

Solusi Cepat dan jawabannya di akhir pelajaran. Mari kita lihat seberapa perhatian Anda ketika mempelajari contoh-contoh sebelumnya ;-)

Perkalian silang vektor dalam koordinat

, diberikan dalam basis ortonormal , dinyatakan dengan rumus:

Rumusnya sangat sederhana: kami menulis vektor koordinat di garis atas determinan, kami "mengemas" koordinat vektor ke dalam baris kedua dan ketiga, dan kami menempatkan dalam urutan yang ketat- pertama, koordinat vektor "ve", lalu koordinat vektor "double-ve". Jika vektor perlu dikalikan dalam urutan yang berbeda, maka garis juga harus ditukar:

Contoh 10

Periksa apakah vektor-vektor ruang berikut ini kolinear:
sebuah)
b)

Keputusan: Validasi berdasarkan salah satu asersi pelajaran ini: jika vektor-vektornya kolinear, maka hasil kali vektornya adalah nol (vektor nol): .

a) Temukan produk vektor:

Jadi vektor-vektornya tidak kolinear.

b) Temukan produk vektor:

Menjawab: a) tidak kolinear, b)

Di sini, mungkin, adalah semua informasi dasar tentang produk vektor dari vektor.

Bagian ini tidak akan terlalu besar, karena ada beberapa masalah di mana produk campuran vektor digunakan. Faktanya, semuanya akan bertumpu pada definisi, makna geometris, dan beberapa rumus kerja.

Hasil kali campuran vektor adalah produk dari tiga vektor:

Beginilah cara mereka berbaris seperti kereta dan menunggu, mereka tidak bisa menunggu sampai dihitung.

Pertama lagi definisi dan gambarnya:

Definisi: Produk campuran non-koplanar vektor , diambil dalam urutan ini, disebut volume paralelepiped, dibangun di atas vektor-vektor ini, dilengkapi dengan tanda "+" jika basisnya benar, dan tanda "-" jika basisnya kiri.

Mari kita menggambar. Garis yang tidak terlihat oleh kita digambarkan oleh garis putus-putus:

Mari selami definisinya:

2) Vektor diambil dalam urutan tertentu, yaitu, permutasi vektor dalam produk, seperti yang Anda duga, tidak berjalan tanpa konsekuensi.

3) Sebelum mengomentari makna geometris, saya perhatikan fakta yang jelas: produk campuran vektor adalah NUMBER: . Dalam literatur pendidikan, desainnya mungkin agak berbeda, saya biasa menunjuk produk campuran melalui, dan hasil perhitungan dengan huruf "pe".

Prioritas-A produk campuran adalah volume paralelepiped, dibangun di atas vektor (gambar digambar dengan vektor merah dan garis hitam). Artinya, jumlahnya sama dengan volume parallelepiped yang diberikan.

Catatan : Gambarnya skematis.

4) Jangan repot-repot lagi dengan konsep orientasi dasar dan ruang. Arti dari bagian terakhir adalah bahwa tanda minus dapat ditambahkan ke volume. Dengan kata sederhana, produk campuran bisa negatif: .

Rumus untuk menghitung volume paralelepiped yang dibangun di atas vektor mengikuti langsung dari definisi.

Definisi Himpunan terurut dari (x 1 , x 2 , ... , x n) n bilangan asli ditelepon vektor n-dimensi, dan bilangan x i (i = ) - komponen atau koordinat,

Contoh. Jika, misalnya, sebuah pabrik mobil tertentu harus memproduksi 50 mobil, 100 truk, 10 bus, 50 set suku cadang untuk mobil dan 150 set untuk truk dan bus, maka program produksi pabrik ini dapat ditulis sebagai vektor (50, 100, 10, 50, 150) dengan lima komponen.

Notasi. Vektor dilambangkan dengan huruf tebal huruf kecil atau huruf dengan bilah atau panah di bagian atas, misalnya, sebuah atau. Kedua vektor tersebut disebut setara jika mereka punya nomor yang sama komponen dan komponen yang bersesuaian adalah sama.

Komponen vektor tidak dapat dipertukarkan, misalnya (3, 2, 5, 0, 1) dan (2, 3, 5, 0, 1) vektor yang berbeda.
Operasi pada vektor. kerja x= (x 1 , x 2 , ... ,x n) ke bilangan realλ disebut vektorλ x= (λ x 1 , x 2 , ... , x n).

jumlahx= (x 1 , x 2 , ... ,x n) dan kamu= (y 1 , y 2 , ... ,y n) disebut vektor x+y= (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 , ... , x n + + y n).

Ruang vektor. N -ruang vektor dimensi R n didefinisikan sebagai himpunan semua vektor n-dimensi yang operasi perkaliannya dengan bilangan asli dan tambahan.

Ilustrasi ekonomi. Ilustrasi ekonomi ruang vektor n-dimensi: ruang barang (barang). Di bawah komoditas kami akan memahami beberapa barang atau jasa yang mulai dijual pada waktu tertentu di tempat tertentu. Asumsikan bahwa ada sejumlah barang yang tersedia n; jumlah masing-masing barang yang dibeli oleh konsumen dicirikan oleh sekumpulan barang

x= (x 1 , x 2 , ..., x n),

di mana x i menunjukkan jumlah barang ke-i yang dibeli oleh konsumen. Kami akan mengasumsikan bahwa semua barang memiliki sifat dapat dibagi secara sembarang, sehingga setiap kuantitas non-negatif dari masing-masing barang dapat dibeli. Maka semua himpunan barang yang mungkin adalah vektor dari ruang barang C = ( x= (x 1 , x 2 , ... , x n) x i 0, i = ).

kemerdekaan linier. Sistem e 1 , e 2 , ... , e m n-dimensi vektor disebut bergantung linier jika ada angka seperti itu 1 , 2 , ... , m , yang setidaknya satu bukan nol, yang memenuhi persamaan 1 e 1 + 2 e 2+...+m e m = 0; sebaliknya sistem ini vektor disebut bebas linier, yaitu, persamaan ini hanya mungkin dalam kasus ketika semua . pengertian geometris ketergantungan linier vektor dalam R 3 , diinterpretasikan sebagai segmen berarah, jelaskan teorema berikut.

Teorema 1. Suatu sistem yang terdiri dari satu vektor adalah bergantung linier jika dan hanya jika vektor ini nol.

Teorema 2. Agar dua vektor bergantung secara linier, perlu dan cukup bahwa keduanya kolinear (paralel).

Teorema 3 . Agar tiga vektor bergantung linier, perlu dan cukup bahwa mereka menjadi koplanar (berbaring di bidang yang sama).

Vektor tiga kali lipat kiri dan kanan. Triple dari vektor non-coplanar a, b, c ditelepon Baik, jika pengamat dari mereka awal yang sama melewati ujung vektor a, b, c dalam urutan itu tampaknya untuk melanjutkan searah jarum jam. Sebaliknya a, b, c -tiga kali lipat kiri. Semua vektor tiga kali lipat kanan (atau kiri) disebut sama berorientasi.

Dasar dan koordinat. Troika e 1, e 2 , e 3 vektor non-coplanar di R 3 disebut dasar, dan vektor itu sendiri e 1, e 2 , e 3 - dasar. Vektor apa saja sebuah dapat didekomposisi secara unik dalam hal vektor basis, yaitu, dapat direpresentasikan sebagai

sebuah= x 1 e 1 + x2 e 2 + x 3 e 3, (1.1)

bilangan x 1 , x 2 , x 3 pada pemuaian (1.1) disebut koordinatsebuah pada dasarnya e 1, e 2 , e 3 dan dilambangkan sebuah(x 1 , x 2 , x 3).

dasar ortonormal. Jika vektor e 1, e 2 , e 3 berpasangan tegak lurus dan panjangnya masing-masing sama dengan satu, maka alasnya disebut ortonormal, dan koordinat x 1 , x 2 , x 3 - persegi panjang. Vektor basis dari basis ortonormal akan dilambangkan saya, j, k.

Kami akan berasumsi bahwa di luar angkasa R 3 sistem kanan koordinat persegi panjang Cartesian (0, saya, j, k}.

produk vektor. seni vektor sebuah per vektor b disebut vektor c, yang ditentukan oleh tiga kondisi berikut:

1. Panjang vektor c secara numerik sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sebuah dan b, yaitu
c= |a||b| dosa( sebuah^b).

2. Vektor c tegak lurus masing-masing vektor sebuah dan b.

3. Vektor sebuah, b dan c, diambil dalam urutan itu, membentuk triple kanan.

Untuk produk vektor c sebutan diperkenalkan c=[ab] atau
c = × b.

Jika vektor sebuah dan b kolinear, maka sin( a^b) = 0 dan [ ab] = 0, khususnya, [ A A] = 0. Produk vektor dari ort: [ aku j]=k, [jk] = saya, [ki]=j.

Jika vektor sebuah dan b diberikan dalam dasar saya, j, k koordinat sebuah(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), maka

Pekerjaan campuran. Jika produk silang dari dua vektor sebuah dan b skalar dikalikan dengan vektor ketiga c, maka hasil kali tiga vektor tersebut disebut produk campuran dan dilambangkan dengan simbol sebuah SM

Jika vektor a, b dan c pada dasarnya saya, j, k diatur oleh koordinatnya
sebuah(a 1 , a 2 , a 3), b(b 1 , b 2 , b 3), c(c 1 , c 2 , c 3), maka

.

Produk campuran memiliki interpretasi geometris sederhana - itu adalah skalar, menurut nilai mutlak sama dengan volume parallelepiped dibangun di atas tiga vektor yang diberikan.

Jika vektor membentuk triple kanan, maka produk campurannya adalah bilangan positif yang sama dengan volume yang ditunjukkan; jika ketiganya a, b, c - kiri, lalu a b c<0 и V = - a b c, maka V =|a bc|.

Koordinat vektor-vektor yang ditemui dalam soal-soal bab pertama diasumsikan diberikan relatif terhadap basis ortonormal kanan. Vektor satuan searah ke vektor sebuah, dilambangkan dengan simbol sebuah tentang. Simbol r=om dilambangkan dengan vektor jari-jari titik M, simbol a, AB atau|a|, | AB |modul vektor dilambangkan sebuah dan AB.

Contoh 1.2. Tentukan sudut antara vektor sebuah= 2m+4n dan b= M N, di mana m dan n- vektor satuan dan sudut antara m dan n sama dengan 120

Keputusan. Kami memiliki: cos = ab/ab, ab=(2m+4n) (M N) = 2m 2 - 4n 2 +2M N=
= 2 - 4+2cos120 o = - 2 + 2(-0,5) = -3; a = ; sebuah 2 = (2m+4n) (2m+4n) =
= 4m 2 +16M N+16n 2 = 4+16(-0.5)+16=12, jadi a = . b= ; b 2 =
= (m-n)(M N) = m 2 -2M N+n 2 = 1-2(-0.5)+1 = 3, jadi b = . Akhirnya kita memiliki: cos\u003d -1/2, \u003d 120 o.

Contoh 1.3.Mengetahui vektor AB(-3,-2.6) dan SM(-2,4,4), hitung tinggi AD segitiga ABC.

Keputusan. Menyatakan luas segitiga ABC dengan S, kita mendapatkan:
S = 1/2 SM. Kemudian AD=2S/SM, SM== = 6,
S = 1/2| AB ×AC|. AC=AB+BC, jadi vektor AC memiliki koordinat
. .

Contoh 1.4 . Diberikan dua vektor sebuah(11,10,2) dan b(4,0,3). Temukan vektor satuan c, ortogonal terhadap vektor sebuah dan b dan diarahkan sehingga rangkap tiga vektor a, b, c itu benar.

Keputusan.Mari kita tunjukkan koordinat vektor c sehubungan dengan dasar ortonormal kanan yang diberikan dalam hal x, y, z.

Sejauh c ⊥ a, c ⊥b, kemudian ca= 0, cb= 0. Dengan kondisi masalah, diperlukan c = 1 dan a b c >0.

Kami memiliki sistem persamaan untuk mencari x,y,z: 11x +10y + 2z = 0, 4x+3z=0, x 2 + y 2 + z 2 = 0.

Dari persamaan pertama dan kedua dari sistem kita mendapatkan z = -4/3 x, y = -5/6 x. Substitusikan y dan z ke persamaan ketiga, kita akan mendapatkan: x 2 = 36/125, dari mana
x=± . Menggunakan kondisi a b c > 0, kita mendapatkan pertidaksamaan

Dengan mempertimbangkan persamaan untuk z dan y, kita tulis ulang pertidaksamaan yang dihasilkan dalam bentuk: 625/6 x > 0, sehingga x>0. Jadi x = , y = - , z = - .

7.1. Definisi produk silang

Tiga vektor non-sebidang a , b dan c , diambil dalam urutan yang ditunjukkan, membentuk rangkap tiga jika dari ujung vektor ketiga c belokan terpendek dari vektor pertama a ke vektor kedua b terlihat berlawanan arah jarum jam, dan satu kiri jika searah jarum jam (lihat Gambar. enam belas).

Produk vektor dari vektor a dan vektor b disebut vektor c, yang:

1. Tegak lurus terhadap vektor a dan b, yaitu c ^ a dan c ^ b;

2. Ini memiliki panjang numerik yang sama dengan luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor a danb seperti di sisi (lihat gambar 17), yaitu.

3. Vektor a , b dan c membentuk rangkap tiga.

Hasil kali vektor dilambangkan dengan a x b atau [a,b]. Dari definisi produk vektor, berikut hubungan antara orts yang saya ikuti secara langsung, j dan k(lihat gambar 18):

i x j \u003d k, j x k \u003d i, k x i \u003d j.
Mari kita buktikan, misalnya, bahwa saya xj \u003d k.

1) k ^ i , k ^ j;

2) |k =1, tapi | saya x j| = | saya | |J| dosa(90°)=1;

3) vektor i , j dan k membentuk triple kanan (lihat Gambar. 16).

7.2. Properti lintas produk

1. Ketika faktor-faktor tersebut disusun kembali, produk vektor berubah tanda, yaitu. dan xb \u003d (b xa) (lihat Gambar 19).

Vektor a xb dan b xa adalah collinear, memiliki modul yang sama (luas jajaran genjang tetap tidak berubah), tetapi berlawanan arah (tiga kali lipat a, b, dan xb dan a, b, b x a dengan orientasi yang berlawanan). Itu adalah axb = -(bxa).

2. Hasil kali vektor memiliki sifat asosiatif sehubungan dengan faktor skalar, yaitu l (a xb) \u003d (l a) x b \u003d a x (l b).

Misalkan l >0. Vektor l (a xb) tegak lurus terhadap vektor a dan b. Vektor ( aku kapak b juga tegak lurus terhadap vektor a dan b(vektor a, aku tetapi terletak pada bidang yang sama). Jadi vektor-vektornya aku(axb) dan ( aku kapak b kolinear. Jelas bahwa arah mereka bertepatan. Mereka memiliki panjang yang sama:

Jadi aku(axb)= aku sebuah xb. Hal ini terbukti sama untuk aku<0.

3. Dua vektor tak nol a dan b kolinear jika dan hanya jika hasil kali vektornya sama dengan vektor nol, yaitu, dan ||b<=>dan xb \u003d 0.

Secara khusus, i *i =j *j =k *k =0 .

4. Produk vektor memiliki sifat distribusi:

(a+b) xs = axs + b xs

Terima tanpa bukti.

7.3. Ekspresi produk silang dalam hal koordinat

Kita akan menggunakan tabel perkalian silang vektor i , j dan k :

jika arah jalur terpendek dari vektor pertama ke vektor kedua bertepatan dengan arah panah, maka produk sama dengan vektor ketiga, jika tidak cocok, vektor ketiga diambil dengan tanda minus.

Misalkan dua buah vektor a =a x i +a y j+az k dan b=bx saya+oleh j+ bz k. Mari kita cari produk vektor dari vektor-vektor ini dengan mengalikannya sebagai polinomial (sesuai dengan sifat-sifat produk vektor):

Rumus yang dihasilkan dapat ditulis lebih pendek lagi:

karena ruas kanan persamaan (7.1) sesuai dengan perluasan determinan orde ketiga dalam hal elemen baris pertama Persamaan (7.2) mudah diingat.

7.4. Beberapa aplikasi produk silang

Menentukan kolinearitas vektor

Mencari luas jajar genjang dan segitiga

Sesuai dengan definisi perkalian silang vektor sebuah dan B |a xb | =| sebuah | * |b |sin g , yaitu S par = |a x b |. Dan, oleh karena itu, D S \u003d 1/2 | a x b |.

Menentukan momen gaya terhadap suatu titik

Biarkan gaya diterapkan pada titik A F = AB biarkan saja HAI- beberapa titik dalam ruang (lihat Gambar 20).

Diketahui dari fisika bahwa torsi F relatif terhadap titik HAI disebut vektor M , yang melalui titik HAI dan:

1) tegak lurus bidang yang melalui titik-titik O, A, B;

2) secara numerik sama dengan produk gaya dan bahu

3) membentuk segitiga siku-siku dengan vektor OA dan A B .

Oleh karena itu, M \u003d OA x F.

Menemukan kecepatan linier rotasi

Kecepatan v titik M dari benda tegar yang berputar dengan kecepatan sudut w di sekitar sumbu tetap, ditentukan oleh rumus Euler v \u003d w x r, di mana r \u003d OM, di mana O adalah titik tetap dari sumbu (lihat Gambar 21).

Definisi. Hasil kali vektor dari suatu vektor a (pengganda) dengan suatu vektor (pengganda) yang tidak kolinear dengannya adalah vektor ketiga c (hasil kali), yang dikonstruksikan sebagai berikut:

1) modulusnya secara numerik sama dengan luas jajaran genjang pada gambar. 155), dibangun di atas vektor, yaitu sama dengan arah tegak lurus terhadap bidang jajaran genjang yang disebutkan;

3) dalam hal ini, arah vektor c dipilih (dari dua kemungkinan yang ada) sehingga vektor c membentuk sistem tangan kanan (§ 110).

sebutan: atau

Tambahan definisi. Jika vektor-vektornya kolinear, maka mempertimbangkan gambar sebagai jajar genjang (bersyarat), wajar untuk menetapkan area nol. Oleh karena itu, produk vektor dari vektor collinear dianggap sama dengan vektor nol.

Karena vektor nol dapat ditetapkan ke segala arah, konvensi ini tidak bertentangan dengan item 2 dan 3 dari definisi.

Catatan 1. Dalam istilah "perkalian vektor", kata pertama menunjukkan bahwa hasil dari suatu tindakan adalah vektor (berlawanan dengan produk skalar; lih. 104, komentar 1).

Contoh 1. Temukan produk vektor di mana vektor-vektor utama dari sistem koordinat kanan (Gbr. 156).

1. Karena panjang vektor utama sama dengan satuan skala, luas jajaran genjang (persegi) secara numerik sama dengan satu. Oleh karena itu, modulus produk vektor sama dengan satu.

2. Karena tegak lurus bidang adalah sumbu, produk vektor yang diinginkan adalah vektor collinear ke vektor k; dan karena keduanya memiliki modulus 1, hasil kali silang yang dibutuhkan adalah k atau -k.

3. Dari dua kemungkinan vektor ini, yang pertama harus dipilih, karena vektor-vektor k membentuk sistem kanan (dan vektor-vektor membentuk sistem kiri).

Contoh 2. Temukan hasil kali silang

Keputusan. Seperti pada contoh 1, kita simpulkan bahwa vektornya adalah k atau -k. Tapi sekarang kita perlu memilih -k, karena vektor membentuk sistem kanan (dan vektor membentuk kiri). Jadi,

Contoh 3 Vektor memiliki panjang masing-masing 80 dan 50 cm, dan membentuk sudut 30°. Dengan menggunakan meter sebagai satuan panjang, tentukan panjang hasil kali vektor a

Keputusan. Luas jajar genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan Panjang produk vektor yang diinginkan sama dengan

Contoh 4. Temukan panjang perkalian silang dari vektor-vektor yang sama, dengan menggunakan sentimeter sebagai satuan panjang.

Keputusan. Karena luas jajaran genjang yang dibangun di atas vektor sama dengan panjang produk vektor adalah 2000 cm, mis.

Perbandingan contoh 3 dan 4 menunjukkan bahwa panjang vektor tidak hanya bergantung pada panjang faktor, tetapi juga pada pilihan satuan panjang.

Arti fisik dari produk vektor. Dari banyak kuantitas fisik yang diwakili oleh produk vektor, kami hanya akan mempertimbangkan momen gaya.

Biarkan A menjadi titik penerapan gaya. Momen gaya relatif terhadap titik O disebut produk vektor. Karena modul produk vektor ini secara numerik sama dengan luas jajaran genjang (Gbr. 157), modul momen sama dengan produk alas dengan ketinggian, yaitu gaya dikalikan dengan jarak dari titik O ke garis lurus di mana gaya bekerja.

Dalam mekanika, terbukti bahwa untuk keseimbangan benda tegar, perlu tidak hanya jumlah vektor yang mewakili gaya yang diterapkan pada benda, tetapi juga jumlah momen gaya harus sama dengan nol. Dalam kasus ketika semua gaya sejajar dengan bidang yang sama, penambahan vektor yang mewakili momen dapat diganti dengan penambahan dan pengurangan modulusnya. Tetapi untuk arah gaya yang sewenang-wenang, penggantian seperti itu tidak mungkin. Sesuai dengan ini, produk silang didefinisikan secara tepat sebagai vektor, dan bukan sebagai angka.