ប្រសិនបើខ្ញុំ = f0g បន្ទាប់មក F = R ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

ប្រសិនបើខ្ញុំ = f0g បន្ទាប់មក F = R ។

ប្រសិនបើវិមាត្រ ចន្លោះរង Iស្មើនឹង 1 បន្ទាប់មក F = C ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

ប្រសិនបើខ្ញុំ = f0g បន្ទាប់មក F = R ។

ប្រសិនបើវិមាត្រ ចន្លោះរង Iស្មើ 1 បន្ទាប់មក F = C. អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យ i = p1 u ។ បន្ទាប់មក

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកតាមលីនេអ៊ែរ ប្រព័ន្ធឯករាជ្យវ៉ិចទ័រ ហ្វូ; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =
i2 =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

u 2 (u2) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

u 2 (u2) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យ i = p1 u ។ បន្ទាប់មក i2 = 1:

ដោយចូលទៅក្នុងផលបូក i v = + x ដែល 2 R, x 2 I ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =										យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
			Lemma ស្តីពីការបំបែកធាតុពី F
			i v = + x, កន្លែងណា				2 R, x 2 I ។ យោង​ទៅ​តាម
					(i + v) 2 ខ្ញុំ, ក្នុង		ជាពិសេស (i + v) ២< 0.
			(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =										យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
			Lemma ស្តីពីការបំបែកធាតុពី F
			i v = + x, កន្លែងណា				2 R, x 2 I ។ យោង​ទៅ​តាម
					(i + v) 2 ខ្ញុំ, ក្នុង		ជាពិសេស (i + v) ២< 0.
			(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

Lemma ស្តីពីការបំបែកធាតុពី F

i v = + x, កន្លែងណា

2 R, x 2 I ។

យោង​ទៅ​តាម

(i + v) ២ ខ្ញុំ ,

ជាពិសេស (i + v) ២< 0.

(i+v) ២

(i+v)!

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

Lemma ស្តីពីការបំបែកធាតុពី F

i v = + x, កន្លែងណា

2 R, x 2 I ។

យោង​ទៅ​តាម

(i + v) ២ ខ្ញុំ ,

ជាពិសេស (i + v) ២< 0.

(i+v) ២

(i+v)!

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =								យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
					អំពីការរលួយ				ធាតុពី
				i v = + x, កន្លែងណា					2 R, x 2 I ។
					(i + v) ។ យើងមាន j2 = 1,
		(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

អំពីការរលួយ

ធាតុពី

i v = + x, កន្លែងណា

2 R, x 2 I ។

(i1 + v) ។ យើងមាន j2 = 1,

(i+v) ២

ខ្ញុំ j = ខ្ញុំ

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

អំពីការបំបែកធាតុ

i v = + x, កន្លែងណា

x 2 ខ្ញុំ។

(i1 + v) ។ យើងមាន j2 = 1,

(i+v) ២

ខ្ញុំ j = ខ្ញុំ

(i+v) ២

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

អំពីការរលួយ

ធាតុ

i v = + x, កន្លែងណា

x 2 ខ្ញុំ។

(i1 + v) ។ យើងមាន j2 = 1,

(i+v) ២

ខ្ញុំ j = ខ្ញុំ

(i+v) ២

(i+v) ២

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =

យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:

អំពីការរលួយ

ធាតុ

i v = + x, កន្លែងណា

x 2 ខ្ញុំ។

(i1 + v) ។ យើងមាន j2 = 1,

(i+v) ២

ខ្ញុំ j = ខ្ញុំ

(i+v) ២

(i+v) ២

x 2 ខ្ញុំ៖

(i+v) ២

(i+v) ២

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =								យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
					អំពីការរលួយ				ធាតុពី
				i v = + x, កន្លែងណា					2 R, x 2 I ។

(i+v) ២

មានន័យថា ,

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =								យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
					អំពីការរលួយ				ធាតុពី
				i v = + x, កន្លែងណា					2 R, x 2 I ។
					(i + v) ។ យើងមាន j2 = 1, i j 2I:
		(i+v) ២

ខ្ញុំ + j + ខ្ញុំ j ; ; ; ២ រ

រាងកាយ quaternion ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

អនុញ្ញាតឱ្យវិមាត្រ ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 1 ។

យកប្រព័ន្ធឯករាជ្យលីនេអ៊ែរនៃវ៉ិចទ័រ fu; vg លីនេអ៊ែរ

ចន្លោះ I. អនុញ្ញាតឱ្យខ្ញុំ =								យូ បន្ទាប់មក i2 = 1:
					អំពីការរលួយ				ធាតុពី
				i v = + x, កន្លែងណា					2 R, x 2 I ។
					(i + v) ។ យើងមាន j2 = 1, i j 2I:
		(i+v) ២
អាស្រ័យហេតុនេះ តាមរយៈលេម៉ាស្តីពីការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions ក្នុង F ,

ខ្ញុំ + j + ខ្ញុំ j ; ; ; ២ រ

រាងកាយ quaternion ។

ដូច្នេះប្រសិនបើ ចន្លោះលីនេអ៊ែរខ្ញុំមានវិមាត្រ 3 បន្ទាប់មក F គឺជាតួនៃ quaternions ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

ចន្លោះរង Iច្រើនជាង 3 ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង I

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

ដោយគុណធម៌ subspace lemmas I t = m + i + j + k 2I ។ ពី ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg បន្ទាប់-

ផ្លុំថា t 6 = 0 ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

subspace lemma I

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

វាត្រូវបានបង្ហាញថា 0 6 = t = m + i + j + k 2 I ។ ដោយ subspace lemma I

ខ្ញុំ t = ខ្ញុំ m + k j =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

វាត្រូវបានបង្ហាញថា 0 6 = t = m + i + j + k 2 I ។ ដោយ subspace lemma I

i t = i m + k j = x + k j

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

							x; y; z 2 ខ្ញុំ៖

វាត្រូវបានបង្ហាញថា 0 6 = t = m + i + j + k 2 I ។ ដោយ subspace lemma I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

ដូចគ្នានេះដែរ យើងអាចបញ្ជាក់បានថា j t 2 I, k t 2 I ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

ដោយគុណធម៌នៃលេម៉ាលើការបំបែកធាតុពី F ទៅជាផលបូក

											x; y; z 2 ខ្ញុំ៖
បានបង្ហាញឱ្យឃើញ			0 6= t = m + i + j + k 2 I . Polemma នៅលើ subpro-
លំហ I			ខ្ញុំ t 2 ខ្ញុំ, j t 2 ខ្ញុំ,
យើងដាក់ n =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

N i j = ខ្ញុំ n j =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

VII.៦. ភស្តុតាង ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

វានៅសល់ដើម្បីពិចារណាករណីនៅពេលដែលវិមាត្រ ចន្លោះរង Iធំជាង 3. យើងបានបង្ហាញថាបន្ទាប់មក F រួមបញ្ចូលវាល skew នៃ quaternions ។

តោះយក ឯករាជ្យលីនេអ៊ែរប្រព័ន្ធនៃវ៉ិចទ័រ fi; j; k; mg, ដែល i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j ។

យើងបានរកឃើញ n 2 ខ្ញុំថា n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

ដោយលេម៉ានៅលើការបង្កប់វាលបញ្ឆោតនៃ quaternions នៅក្នុង F

ខ្ញុំ n = នី; j n = n j; k n = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

ដូច្នេះ 2k n = 0 ភាពផ្ទុយគ្នា។

VII. ទ្រឹស្តីបទ Frobenius

ទ្រឹស្តីបទ 2. ចូរឱ្យ F ជាតួ និង R F ,

9i1 ; i2 ; : : : ; ក្នុង		9 0 ;1 ;2 ; : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n ក្នុង :

បន្ទាប់មក F គឺជា R ឬ C ឬតួនៃ quaternions ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

យកចិត្តទុកដាក់!

អ៊ីមែល៖ [អ៊ីមែលការពារ]; [អ៊ីមែលការពារ]

គេហទំព័រ៖ http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

ទ្រឹស្តីបទ។ពិជគណិតលីនេអ៊ែរជំនួសណាមួយនៅលើវាលមួយ។ ចំនួនពិតជាមួយនឹងការបែងចែកត្រូវបានធ្វើធម្មតា។ ពិ​ជ​គណិត​លីនេអ៊ែរ.

សូមឱ្យជាជម្មើសជំនួសការបែងចែកលីនេអ៊ែរលើវាលនៃចំនួនពិត R. ចូរយើងណែនាំប្រតិបត្តិការផ្សំក្នុង A ដូចខាងក្រោមៈ ប្រសិនបើធាតុ a នៃ A គឺសមាមាត្រទៅនឹង 1 នោះ a = a; ប្រសិនបើ a មិនសមាមាត្រទៅនឹង 1 នោះវាមាននៅក្នុង subalgebra ស្មុគស្មាញ។ នៅក្នុង subalgebra នេះ សម្រាប់ធាតុ a មាន conjugate element a ដែលយើងនឹងយកជា element conjugate ទៅ a ក្នុងពិជគណិត។

វាធ្វើតាមដោយផ្ទាល់ពីនិយមន័យនៃ a that = a និង =ka ដែល k R ។

អនុញ្ញាតឱ្យ A មិនសមាមាត្រទៅនឹង 1. ពិចារណា quaternion subalgebra (K, +, . R , .) ដែលមាន a. នៅក្នុង subalgebra នេះសម្រាប់ A ក៏មានធាតុ conjugate a ។ ចូរ​យើង​បង្ហាញ​ថា​ការ​ស្រប​គ្នា​ជាមួយ​នឹង a.

ធាតុ a និង a ជាបន្សំនៅក្នុងពិជគណិតស្មុគស្មាញ បំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

a+a = 2a*1, ដែល a R, (14)

a* a = d*1, ដែល d R. (15)

ធាតុ a និង a ដូចផ្សំនៅក្នុងពិជគណិត quaternion បំពេញលក្ខខណ្ឌ៖

a + a \u003d 2a 1 * 1 ដែល a 1 R, (14 ")

a * a = d 1 *1 ដែល d 1 R. (15 /)

ដកពី (14) និង (15) រៀងគ្នា (14 /) និង (15") បន្ទាប់មក៖

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d- d 1)* 1 ។

a(a - a) បន្ទាប់មក a = *1,

ទាំងនោះ។ និងសមាមាត្រទៅនឹង 1 ដែលផ្ទុយនឹងការសន្មត់។

ដូច្នេះវាកើតឡើងថាធាតុដែលភ្ជាប់ទៅ a គឺដូចគ្នា ថាតើយើងចាត់ទុក a ជាធាតុនៃ subalgebra ស្មុគស្មាញ ឬជាធាតុនៃ quaternion subalgebra នៃពិជគណិតមួយ។

ដូចគ្នា |a| 2 = aa ទាំងនៅក្នុងករណីនៃ subalgebra ស្មុគស្មាញ និងនៅក្នុងករណីនៃ quaternion subalgebra នៃពិជគណិត ដូច្នេះម៉ូឌុលនៃធាតុ A មិនអាស្រ័យលើថាតើយើងចាត់ទុកវាជាធាតុនៃ subalgebra ស្មុគស្មាញ ឬ quaternion subalgebra នៃ ពិជគណិត។

បន្ទាប់មកសម្រាប់ a, b A ភាពស្មើគ្នាគឺពិត៖

A+ និង = a * ។ (ដប់ប្រាំមួយ)

ប្រសិនបើ a និង b ជាកម្មសិទ្ធិរបស់ subalgebra ស្មុគ្រស្មាញដូចគ្នានៃពិជគណិត នោះសមភាព (16) គឺជាលក្ខណៈសម្បត្តិ ការភ្ជាប់នៅក្នុង subalgebra នេះ។ ប្រសិនបើពួកវាជាកម្មសិទ្ធិរបស់ subalgebras ស្មុគ្រស្មាញផ្សេងគ្នា នោះពួកវានឹងមានសុពលភាពជាលក្ខណៈផ្សំនៅក្នុង quaternionic subalgebra នៃពិជគណិត។

ពី = b និងពីសមភាពទីពីរ (16) វាធ្វើតាមថា = បា, មកពីណា

a + ba = c * 1 ដែល c R ។

នៅក្នុង (A, +, . R , .) យើងកំណត់ផលិតផលមាត្រដ្ឋាន (a, b) ជា

a + ba = 2(a, b) * 1 ។

ចូរយើងបង្ហាញថា (a, b) បំពេញគ្រប់លក្ខណៈសម្បត្តិទាំងអស់។ ផលិតផលចំនុច:

1) (a, a) > 0 សម្រាប់ a? 0 និង (0, 0) = 0 ។

ជា​ការ​ពិត,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

ហើយម៉ូឌុលនៃចំនួនកុំផ្លិច ដូចជាម៉ូឌុលនៃ quaternion គឺវិជ្ជមានយ៉ាងតឹងរឹងសម្រាប់ a? 0 និងស្មើ 0 សម្រាប់ a = 0 ។

2) (a, b) = (b. a), ចាប់តាំងពី

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a បន្ទាប់មក (a, b) = (b, a) ។

3) (a, kb) = k(a, b) សម្រាប់ k R ។

ពិតជា

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b) ។

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

ធ្វើតាមនិយមន័យនៃផលិតផលមាត្រដ្ឋាន និងសមភាពទីមួយក្នុង (16)។

ពី (a, a) = |a| 2 1 នោះ = |a|, i.e., បទដ្ឋាននៃធាតុ A ស្របគ្នានឹងម៉ូឌុល a នៃចំនួនកុំផ្លិច និង quaternion ។

ដោយសារធាតុទាំងពីរ a និង b ពីពិជគណិតជាកម្មសិទ្ធិរបស់ស្មុគស្មាញមួយ ឬមួយ quaternion subalgebra បន្ទាប់មក

|ab| 2 = |a| ២ |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b) ។

ដូច្នេះរាល់លក្ខណៈសម្បត្តិនៃផលិតផលខាងក្នុងសម្រាប់ (a, b) ត្រូវបានពេញចិត្ត។ នេះបញ្ជាក់ថាពិជគណិតគឺជាពិជគណិតលីនេអ៊ែរធម្មតា។

ទ្រឹស្តីបទ Frobenius ទូទៅ។ ពិជគណិតលីនេអ៊ែរជំនួសណាមួយនៅលើវាលនៃចំនួនពិតជាមួយនឹងការបែងចែក និងឯកភាពគឺ isomorphic ទៅមួយនៃពិជគណិតទាំងបួន: វាលនៃចំនួនពិត, វាលនៃចំនួនកុំផ្លិច, វាល skew នៃ quaternions ឬពិជគណិតនៃ octaves ។

ចាប់តាំងពី, ដូចដែលបានបង្ហាញនៅក្នុង ទ្រឹស្តីបទមុន។ប្រសិនបើពិជគណិតលីនេអ៊ែរជំនួសលើវាលនៃចំនួនពិតដែលមានការបែងចែក និងឯកភាពគឺជាពិជគណិតលីនេអ៊ែរធម្មតា ហើយក្រោយមកទៀតដោយទ្រឹស្តីបទ Hurwitz គឺ isomorphic ទាំងផ្នែកនៃចំនួនពិត ឬទៅកាន់វាលនៃចំនួនកុំផ្លិច ឬទៅ វាល skew នៃ quaternions ឬទៅពិជគណិតនៃ octaves បន្ទាប់មកសេចក្តីថ្លែងការណ៍នៃទ្រឹស្តីបទបានមកពីនេះ។

:

សព្វវចនាធិប្បាយ YouTube

• 1 / 5

  ចូរ​ធ្វើ​ជា​រូបកាយ​ដែល​មាន​រូបកាយ​ជា​តួរង R (\displaystyle \mathbb (R))ចំនួនពិត ហើយលក្ខខណ្ឌពីរត្រូវបានបំពេញ៖

  ក្នុង​ន័យ​ផ្សេងទៀត, L (\displaystyle \mathbb (L))គឺ​ជា​ពិជគណិត​ចែក​វិមាត្រ​កំណត់​លើ​វាល​នៃ​ចំនួន​ពិត។

  ទ្រឹស្តីបទ Frobenius ចែងថា រូបកាយបែបនេះ L (\displaystyle \mathbb (L)):

  ចំណាំថាទ្រឹស្តីបទ Frobenius អនុវត្តតែចំពោះផ្នែកបន្ថែមវិមាត្រកំណត់ប៉ុណ្ណោះ។ R (\displaystyle \mathbb (R)). ឧទាហរណ៍ វាមិនគ្របដណ្តប់លើវាលនៃចំនួន hyperreal នៃការវិភាគមិនស្តង់ដារ ដែលជាផ្នែកបន្ថែមផងដែរ។ R (\displaystyle \mathbb (R))ប៉ុន្តែមិនកំណត់វិមាត្រទេ។ ឧទាហរណ៍មួយទៀតគឺពិជគណិតនៃអនុគមន៍សនិទាន។

  ផលវិបាក និងការកត់សម្គាល់

  សេចក្តីថ្លែងការណ៍បីចុងក្រោយបង្កើតបានជាអ្វីដែលគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទទូទៅ Frobenius.

  ចែកពិជគណិតលើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច

  ពិជគណិតនៃវិមាត្រ នលើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច គឺជាពិជគណិតនៃវិមាត្រ 2 នខាងលើ R (\displaystyle \mathbb (R)). តួ quaternion មិនមែនជាពិជគណិតលើវាលទេ។ C (\displaystyle \mathbb (C))ចាប់តាំងពីមជ្ឈមណ្ឌល H (\displaystyle \mathbb (H))គឺជាលំហពិតមួយវិមាត្រ។ ដូច្នេះ​ពិជគណិត​ផ្នែក​កំណត់​តែ​មួយ​គត់​ជាង C (\displaystyle \mathbb (C))គឺពិជគណិត C (\displaystyle \mathbb (C)).

  សម្មតិកម្ម Frobenius

  ទ្រឹស្តីបទមានលក្ខខណ្ឌសមាគម។ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើអ្នកបដិសេធលក្ខខណ្ឌនេះ? ការទស្សន៍ទាយរបស់ Frobenius ចែងថា ទោះបីជាមិនមានលក្ខខណ្ឌសមាគមសម្រាប់ n ខុសគ្នាពី 1, 2, 4, 8 នៅក្នុងការពិត ចន្លោះលីនេអ៊ែរ R នគេមិនអាចកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃពិជគណិតការបែងចែកបានទេ។ សម្មតិកម្ម Frobenius ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 60 ។ សតវត្សទី XX ។

  ប្រសិនបើនៅ n>1នៅក្នុងលំហ R នការគុណ bilinear ដោយគ្មានការបែងចែកសូន្យត្រូវបានកំណត់ បន្ទាប់មកនៅលើស្វ៊ែរ ស n-1 មាន n-1វាលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពីលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយ Adams លើលេខ វាលវ៉ិចទ័រនៅលើស្វ៊ែរវាដូចខាងក្រោមនេះអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់តែស្វ៊ែរប៉ុណ្ណោះ។ ស 1 , ស 3 , ស៧. នេះបង្ហាញពីការសន្និដ្ឋានរបស់ Frobenius ។

  សូម​មើល​ផង​ដែរ

  អក្សរសិល្ប៍

  • Bakhturin Yu.A.រចនាសម្ព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតទំនើប។ - M. : Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A.G.ការបង្រៀនអំពីពិជគណិតទូទៅ។ ទី 2 ed ។ - M. : Nauka, 1973. - 400 ទំ។
  • Pontryag នៅ L.S.ការធ្វើឱ្យទូទៅនៃលេខ។ - M. : Nauka, 1986. - 120 p. - (បណ្ណាល័យ "Quantum" លេខ 54) ។

  ការរាប់ សំណុំ
  លេខពិត និងផ្នែកបន្ថែមរបស់ពួកគេ។
  ឧបករណ៍បន្ថែម ប្រព័ន្ធលេខ
  ឋានានុក្រមនៃលេខ	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots)

  វាច្បាស់ណាស់ថាប្រសិនបើបន្ទាប់មកសម្រាប់។ លើសពីនេះទៅទៀតយើងនឹងបង្ហាញថាសម្រាប់ទំ

  Lemma លេខ 1. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនអវិជ្ជមាន និងមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះ

  ភស្តុតាង៖

  ប្រសិនបើយើងយកវ៉ិចទ័របំពាន ហើយបន្ទាប់មក។ ហើយអនុញ្ញាតឱ្យវ៉ិចទ័រកើតឡើងវាច្បាស់ណាស់ថា Z មាន យ៉ាងហោចណាស់ចំនួនដូចគ្នានៃធាតុវិជ្ជមានសូន្យដូច y ។ ជាការពិតណាស់ ប្រសិនបើយើងសន្មត់ថា Z មានសមាសធាតុសូន្យតិចជាងនោះ យើងសម្គាល់ បន្ទាប់មក ហើយបែងចែកម៉ាទ្រីស A ទៅជាប្លុកដូចខាងក្រោម។

  

  យើងនឹងមាន

  

  បានផ្តល់ឱ្យនោះ បន្ទាប់មក យើងទទួលបានវា ដែលផ្ទុយនឹងភាពមិនអាចកាត់ថ្លៃបាននៃម៉ាទ្រីស

  សម្រាប់វ៉ិចទ័របន្ទាប់ យើងនិយាយឡើងវិញនូវហេតុផល ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ជាលទ្ធផល យើងទទួលបានវាសម្រាប់វ៉ិចទ័រដែលមិនមែនជាសូន្យ y

  

  សម្រាប់ម៉ាទ្រីស A ដែលមិនអាចកាត់បន្ថយបាន សូមពិចារណា មុខងារពិត r(x) កំណត់សម្រាប់វ៉ិចទ័រមិនសូន្យដូចខាងក្រោម៖ , (Ax) i - i-th កូអរដោណេវ៉ិចទ័រ ah

  វាធ្វើតាមនិយមន័យដែល ហើយលើសពីនេះទៅទៀត r(x) គឺ តម្លៃតូចបំផុត។អ្វី

  វាច្បាស់ណាស់ថា r(x) គឺមិនប្រែប្រួលទាក់ទងនឹងការជំនួស x ដោយ ដូច្នេះនៅក្នុងអ្វីដែលខាងក្រោមយើងអាចពិចារណាសំណុំបិទដូចជា

  

  ទោះយ៉ាងណាក៏ដោយ r(x) អាចនឹងមានការឈប់ដំណើរការនៅចំណុចដែល x-coordinate ក្លាយជា 0 ដូច្នេះសូមពិចារណាសំណុំនៃវ៉ិចទ័រ និងសញ្ញាសម្គាល់។ ដោយលេមម៉ា 1 រាល់វ៉ិចទ័រនៅក្នុង N នឹងមានភាពវិជ្ជមាន ហើយដូច្នេះ

  បញ្ជាក់ដោយ ចំនួនធំបំផុត, សម្រាប់ការដែល, . - វិសាលគមកាំនៃម៉ាទ្រីស A. ប្រសិនបើវាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាមានវ៉ិចទ័រ y បែបនេះ

  មតិយោបល់។ វាអាចមានវ៉ិចទ័រផ្សេងទៀតនៅក្នុង L ដែល r(x) យកតម្លៃ r ដូច្នេះវ៉ិចទ័របែបនេះត្រូវបានគេហៅថាខ្លាំងបំផុតសម្រាប់ម៉ាទ្រីស A (Az=rz)

  ចំណាប់អារម្មណ៍លើលេខ r ត្រូវបានពន្យល់ដោយលទ្ធផលខាងក្រោម

  លេម៉ាទី 2. ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនអវិជ្ជមាន និងមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះលេខគឺជា eigenvalue នៃម៉ាទ្រីស A លើសពីនេះ វ៉ិចទ័រខ្លាំងនីមួយៗសម្រាប់ A គឺវិជ្ជមាន ហើយជា eigenvector ត្រឹមត្រូវសម្រាប់ A ដែលត្រូវគ្នានឹង eigenvalue r

  លទ្ធផលចម្បងគឺទ្រឹស្តីបទ Frobenius-Peron សម្រាប់ម៉ាទ្រីសបន្ត

  ទ្រឹស្តីបទ Frobenius-Peron ។ ប្រសិនបើម៉ាទ្រីសមិនអវិជ្ជមាន និងមិនអាចកាត់ថ្លៃបាន នោះ៖

  A មាន eigenvalue វិជ្ជមានស្មើនឹងកាំវិសាលគមនៃម៉ាទ្រីស A;

  មានសិទ្ធិវិជ្ជមាន eigenvectorដែលត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvalue r ។

  eigenvalue មានគុណពិជគណិតស្មើនឹង 1 ។

  ទ្រឹស្តីបទ Perón (Corollary) ។ វិជ្ជមាន ម៉ាទ្រីសការ៉េ A មាន eigenvalue r វិជ្ជមាន និងពិត ដែលមានគុណលេខពិជគណិត 1 និងលើសពីម៉ូឌុលទាំងអស់ផ្សេងទៀត eigenvaluesម៉ាទ្រីស A. r នេះត្រូវគ្នាទៅនឹង eigenvector វិជ្ជមាន

  ដោយប្រើទ្រឹស្តីបទ Frobenius-Peron មនុស្សម្នាក់អាចស្វែងរកតម្លៃពិតអតិបរមានៃម៉ាទ្រីសដោយមិនប្រើពហុនាមលក្ខណៈនៃម៉ាទ្រីស។

  ផលវិបាក និងការកត់សម្គាល់

  • ទ្រឹស្តីបទនេះគឺទាក់ទងយ៉ាងជិតស្និទ្ធទៅនឹងទ្រឹស្តីបទរបស់ Hurwitz លើពិជគណិតពិតប្រាកដ។ ពិជគណិតការបែងចែកធម្មតា - តែប៉ុណ្ណោះ $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$និង (មិនពាក់ព័ន្ធ) ពិជគណិតនៃលេខ Cayley ។
  • នៅពេលពង្រីកប្រព័ន្ធនៃចំនួនកុំផ្លិច យើងជៀសមិនរួចបាត់បង់មួយចំនួន លក្ខណៈសម្បត្តិនព្វន្ធ: commutativity (quaternions), associativity (Cayley algebra) ។ល។
  • មិនមាន analogue នៃប្រព័ន្ធ quaternion ដែលមានពីរ (ជាជាងបី) quaternion units ។
  • វាល $\backslash mathbb\; R$និង $\backslash mathbb\; C$គឺ​ជា​ការ​សហការ​គ្នា​ពិត​ប្រាកដ​ដែល​មាន​វិមាត្រ​កំណត់​និង​ពិជគណិត​ដែល​មិន​មាន​ការ​បែងចែក​សូន្យ។
  • រាងកាយ Quaternion $\backslash mathbb\; H$គឺ​ជា​ការ​សហការ​ពិត​ប្រាកដ​ដែល​មាន​វិមាត្រ​កំណត់​តែ​មួយ​គត់ ប៉ុន្តែ​មិន​មែន​ជា​ពិជគណិត​ដែល​មាន​ការ​ផ្លាស់​ប្តូរ​ដោយ​គ្មាន​ការ​បែងចែក​សូន្យ។
  • ពិជគណិត Cayley គឺជាជម្មើសជំនួសពិតប្រាកដវិមាត្រកំណត់តែមួយគត់ដែលមិនមែនជាពិជគណិតដោយគ្មានការបែងចែកសូន្យ។

  សេចក្តីថ្លែងការណ៍បីចុងក្រោយបង្កើតបានជាអ្វីដែលគេហៅថា ទ្រឹស្តីបទ Frobenius ទូទៅ.

  ចែកពិជគណិតលើវាលនៃចំនួនកុំផ្លិច

  ពិជគណិតនៃវិមាត្រ នលើវាល $\backslash mathbb\; C$ចំនួនកុំផ្លិច គឺជាពិជគណិតនៃវិមាត្រ 2 នខាងលើ $\backslash mathbb\; R$. រាងកាយ Quaternion $\backslash mathbb\; H$មិនមែនជាពិជគណិតលើវាលទេ។ $\backslash mathbb\; C$ចាប់តាំងពីមជ្ឈមណ្ឌល $\backslash mathbb\; H$គឺជាលំហពិតមួយវិមាត្រ។ ដូច្នេះ​ពិជគណិត​ផ្នែក​កំណត់​តែ​មួយ​គត់​ជាង $\backslash mathbb\; C$គឺពិជគណិត $\backslash mathbb\; C$.

  សម្មតិកម្ម Frobenius

  ទ្រឹស្តីបទមានលក្ខខណ្ឌសមាគម។ តើមានអ្វីកើតឡើងប្រសិនបើអ្នកបដិសេធលក្ខខណ្ឌនេះ? ការទស្សន៍ទាយ Frobenius ចែងថា ទោះបីជាមិនមានលក្ខខណ្ឌសមាគមសម្រាប់ n ខុសពី 1, 2, 4, 8 នៅក្នុងលំហលីនេអ៊ែរពិតប្រាកដ R នគេមិនអាចកំណត់រចនាសម្ព័ន្ធនៃពិជគណិតការបែងចែកបានទេ។ សម្មតិកម្ម Frobenius ត្រូវបានបង្ហាញនៅក្នុងទសវត្សរ៍ទី 60 ។ សតវត្សទី XX ។

  ប្រសិនបើនៅ n>1នៅក្នុងលំហ R នការគុណ bilinear ដោយគ្មានការបែងចែកសូន្យត្រូវបានកំណត់ បន្ទាប់មកនៅលើស្វ៊ែរ ស n-1 មាន n-1វាលវ៉ិចទ័រឯករាជ្យលីនេអ៊ែរ។ ពីលទ្ធផលដែលទទួលបានដោយ Adams លើលេខ វាលវ៉ិចទ័រនៅលើស្វ៊ែរវាដូចខាងក្រោមនេះអាចធ្វើទៅបានសម្រាប់តែស្វ៊ែរប៉ុណ្ណោះ។ ស 1 , ស 3 , ស៧. នេះបង្ហាញពីការសន្និដ្ឋានរបស់ Frobenius ។

  សូម​មើល​ផង​ដែរ

  សរសេរការពិនិត្យឡើងវិញលើអត្ថបទ "ទ្រឹស្តីបទ Frobenius"

  អក្សរសិល្ប៍

  • Bakhturin Yu.A.រចនាសម្ព័ន្ធមូលដ្ឋាននៃពិជគណិតទំនើប។ - M. : Nauka, 1990. - 320 ទំ។
  • Kurosh A.G.. - M. : Nauka, 1973. - 400 ទំ។
  • Pontryagin L.S.. - M. : Nauka, 1986. - 120 ទំ។ - (បណ្ណាល័យ "Quantum" លេខ 54) ។

  ការរាប់ សំណុំ

  ) Periods Computable Arithmetic |header2=ចំនួនពិត
  និងផ្នែកបន្ថែមរបស់ពួកគេ |header3= ឧបករណ៍បន្ថែម
  ប្រព័ន្ធលេខ |heading4= ឋានានុក្រមនៃលេខ |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ លេខទាំងមូល $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ លេខសនិទាន $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ លេខពិត
  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$	លេខស្មុគស្មាញ

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ ត្រីមាស $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; ចំណុច$ ត្រីងៀត $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash dots,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash \; ចំណុច$ sedenions |heading5= ផ្សេងៗ
  ប្រព័ន្ធលេខ

  |list5=លេខខាឌីណាល់ លេខលំដាប់ (ឆ្លងកាត់និរន្តរភាព) p-adic លេខអព្ភូតហេតុ អ្វីគ្រប់យ៉ាងត្រូវបានខ្ចាត់ខ្ចាយ។ ពូបានយក Natasha ចេញពីសេះ ហើយដឹកដៃនាងឡើងលើជណ្តើរនៃរានហាល។ នៅក្នុងផ្ទះមិនត្រូវបានលាបពណ៌ជាមួយនឹងជញ្ជាំងឈើវាមិនស្អាតខ្លាំងទេ - វាមិនច្បាស់ទេថាគោលដៅរបស់មនុស្សដែលរស់នៅនោះគឺថាមិនមានស្នាមប្រឡាក់ប៉ុន្តែមិនមានការធ្វេសប្រហែសគួរឱ្យកត់សម្គាល់ទេ។
  ច្រកផ្លូវមានក្លិនផ្លែប៉ោមស្រស់ ហើយស្បែកចចក និងកញ្ជ្រោងព្យួរ។ ពូបាននាំភ្ញៀវរបស់គាត់ឆ្លងកាត់សាលខាងមុខចូលទៅក្នុងបន្ទប់តូចមួយដែលមានតុបត់ និងកៅអីពណ៌ក្រហម បន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងបន្ទប់ទទួលភ្ញៀវមួយដែលមានដើមប៊ីច តុមូលនិងសាឡុង បន្ទាប់មកចូលទៅក្នុងការិយាល័យមួយដែលមានសាឡុងដែលរហែក កំរាលព្រំដែលពាក់អស់ ហើយជាមួយនឹងរូបរបស់ Suvorov ឪពុក និងម្តាយរបស់ម្ចាស់ និងខ្លួនគាត់ក្នុងឯកសណ្ឋានយោធា។ មានក្លិនថ្នាំជក់ និងឆ្កែខ្លាំងនៅក្នុងការិយាល័យ។ នៅ​ក្នុង​ការិយាល័យ ពូ​បាន​សុំ​ភ្ញៀវ​អង្គុយ​ធ្វើ​ខ្លួន​នៅ​ផ្ទះ ហើយ​គាត់​ក៏​ចេញ​ទៅ។ ការស្តីបន្ទោសដោយខ្នងរបស់គាត់មិនស្អាតបានចូលទៅក្នុងការិយាល័យហើយដេកលើសាឡុងដោយសម្អាតអណ្តាតនិងធ្មេញរបស់គាត់។ ពីការិយាល័យមានច្រករបៀងមួយដែលអេក្រង់ដែលមានវាំងននរហែកអាចមើលឃើញ។ សំណើច និងការខ្សឹបខ្សៀវរបស់ស្ត្រីអាចឮពីខាងក្រោយអេក្រង់។ Natasha, Nikolai និង Petya ដោះសំលៀកបំពាក់ ហើយអង្គុយលើសាឡុង។ Petya ផ្អៀងលើដៃរបស់គាត់ហើយដេកលក់ភ្លាមៗ។ Natasha និង Nikolai អង្គុយស្ងៀម។ មុខ​របស់​ពួក​គេ​ត្រូវ​ភ្លើង ពួក​គេ​ស្រេក​ឃ្លាន​យ៉ាង​ខ្លាំង ហើយ​រីករាយ​ខ្លាំង​ណាស់។ ពួកគេបានមើលគ្នាទៅវិញទៅមក (បន្ទាប់ពីការបរបាញ់នៅក្នុងបន្ទប់ Nikolai លែងគិតថាវាចាំបាច់ដើម្បីបង្ហាញឧត្តមភាពបុរសរបស់គាត់ចំពោះប្អូនស្រីរបស់គាត់); ណាតាសា ងក់ក្បាលដាក់ប្អូនប្រុស ហើយអ្នកទាំងពីរមិនទប់យូរទេ ហើយសើចខ្លាំងៗ ទាំងគ្មានពេលគិតលេសដើម្បីសើច។
  បន្តិចក្រោយមក ពូរបស់ខ្ញុំបានចូលមកដោយពាក់អាវ Cossack ខោពណ៌ខៀវ និងស្បែកជើងកវែងតូចៗ។ ហើយ Natasha មានអារម្មណ៍ថាឈុតនេះ ដែលនាងបានឃើញពូរបស់នាងនៅ Otradnoye ជាមួយនឹងការភ្ញាក់ផ្អើល និងចំអក គឺជាឈុតពិតដែលមិនអាក្រក់ជាងអាវក្រោះ និងអាវក្រោះនោះទេ។ ពូក៏សប្បាយចិត្តដែរ; គាត់មិនត្រឹមតែអាក់អន់ចិត្តចំពោះការសើចរបស់បងប្អូនប្រុសស្រីរបស់គាត់ទេ (វាមិនអាចចូលទៅក្នុងក្បាលរបស់គាត់ដែលពួកគេអាចសើចនឹងជីវិតរបស់គាត់បាន) ប៉ុន្តែគាត់ផ្ទាល់បានចូលរួមក្នុងការសើចដោយគ្មានហេតុផលរបស់ពួកគេ។
  "នោះហើយជារបៀបដែលអ្នកតំណាងវ័យក្មេងគឺ - ការហែក្បួនស្អាត - ខ្ញុំមិនបានឃើញអ្នកផ្សេងទៀតដូចវាទេ!" - គាត់បាននិយាយថាផ្តល់ឱ្យបំពង់មួយជាមួយនឹង shank វែងទៅ Rostov ហើយដាក់មួយទៀតកាត់ shank ខ្លី។ កាយវិការដែលធ្លាប់ស្គាល់រវាងម្រាមដៃបី។
  - ខ្ញុំបានចាកចេញមួយថ្ងៃទោះបីជាបុរសនោះមកទាន់ពេលហើយហាក់ដូចជាគ្មានអ្វីកើតឡើងក៏ដោយ!
  ភ្លាមនោះពូនាងក៏បើកទ្វារមក ជាក់ស្តែងក្មេងស្រីជើងទទេរដោយសំឡេងជើងរបស់នាង ហើយតាមមាត់ទ្វារមានថាសធំមួយនៅក្នុងដៃរបស់នាងចេញមក រាងធាត់ក្រហមក្រហម។ នារី​ស្រស់​ស្អាតអាយុ ៤០ ឆ្នាំ មានចង្កាពីរ និងបបូរមាត់ក្រហម។ នាងដោយមានភាពរួសរាយរាក់ទាក់ និងភាពទាក់ទាញនៅក្នុងក្រសែភ្នែក និងគ្រប់ចលនារបស់នាង បានក្រឡេកមើលភ្ញៀវជុំវិញខ្លួន ហើយឱនក្បាលដោយក្តីគោរពចំពោះពួកគេដោយស្នាមញញឹមប្រកបដោយក្តីស្រលាញ់។ ថ្វីត្បិតតែមានទម្ងន់ធ្ងន់ជាងធម្មតា ដោយបង្ខំនាងឱ្យលើកទ្រូង និងពោះ ហើយទប់ក្បាលរបស់នាងមកវិញ ស្ត្រីរូបនេះ (មេផ្ទះរបស់ពូ) បានបោះជំហានយ៉ាងស្រាលបំផុត។ នាងដើរទៅតុ រៀបចំថាស ហើយដោយដៃពណ៌ស ដ៏ក្រាស់របស់នាងបានយកចេញ ហើយរៀបចំដប អាហារសម្រន់ និងអាហារនៅលើតុ។ ចប់​ហើយ​នាង​ក៏​រើ​ចេញ​ទៅ​ឈរ​នៅ​មាត់​ទ្វារ​ទាំង​ញញឹម។ «នៅទីនេះនាងនិងខ្ញុំ! យល់​ពី​ពូ​ឯង​ឥឡូវ​នេះ​ទេ?» រូបរាងរបស់នាងបានប្រាប់ Rostov ។ តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីមិនយល់: មិនត្រឹមតែ Rostov ប៉ុណ្ណោះទេថែមទាំង Natasha យល់ពីពូនិងអត្ថន័យនៃចិញ្ចើមនិងស្នាមញញឹមរីករាយនិងពេញចិត្តខ្លួនឯងដែលធ្វើឱ្យបបូរមាត់របស់គាត់ជ្រួញបន្តិចខណៈពេលដែល Anisya Fyodorovna ចូល។ នៅលើថាសមានឱសថបុរាណ ស្រា ផ្សិត នំម្សៅខ្មៅនៅលើយូរ៉ាក ទឹកឃ្មុំ ទឹកឃ្មុំឆ្អិន និងឆ្ងាញ់ ផ្លែប៉ោម គ្រាប់ឆៅ និងអាំង និងទឹកឃ្មុំ។ បន្ទាប់មក Anisya Fyodorovna បាននាំយកយៈសាពូនមីជាមួយទឹកឃ្មុំនិងស្ករនិង Ham និងសាច់មាន់ចៀនថ្មីៗ។
  ទាំងអស់នេះគឺជាគ្រួសាររបស់ Anisya Fyodorovna ការប្រមូលនិងយៈសាពូនមី។ ទាំងអស់នេះមានក្លិន និងបន្លឺឡើង ហើយមានរសជាតិរបស់ Anisya Fyodorovna ។ គ្រប់​យ៉ាង​មាន​ភាព​ស្រស់​ស្អាត ភាព​បរិសុទ្ធ ភាព​ស និង​ស្នាមញញឹម​ដ៏​រីករាយ។
  “ញ៉ាំអី នារីវ័យក្មេង” នាងបន្តនិយាយដោយឲ្យ Natasha របស់មួយ បន្ទាប់មកមួយទៀត។ Natasha បានញ៉ាំអ្វីគ្រប់យ៉ាង ហើយមើលទៅនាងហាក់ដូចជាមិនដែលឃើញ ឬញ៉ាំនំបែបនេះនៅលើ Yuraga ជាមួយនឹងភួងនៃការកកស្ទះ គ្រាប់នៅលើទឹកឃ្មុំ និងមាន់បែបនេះ។ Anisya Fyodorovna បានចេញទៅក្រៅ។ Rostov និងពូរបស់គាត់ លាងចានអាហារពេលល្ងាចជាមួយ cherry liqueur និយាយអំពីការបរបាញ់អតីតកាល និងអនាគត អំពីសត្វឆ្កែ Rugai និង Ilaginsky ។ ណាតាសា ភ្នែកភ្លឺ អង្គុយត្រង់សាឡុង ស្តាប់ពួកគេ។ ជាច្រើនដងនាងបានព្យាយាមដាស់ Petya ឱ្យគាត់ញ៉ាំអ្វី ប៉ុន្តែគាត់និយាយអ្វីដែលមិនអាចយល់បាន ជាក់ស្តែងមិនភ្ញាក់ទេ។ Natasha រីករាយក្នុងចិត្ត រីករាយក្នុងបរិយាកាសថ្មីនេះសម្រាប់នាង ដែលនាងគ្រាន់តែខ្លាចថា droshky នឹងមករកនាងឆាប់ពេក។ បន្ទាប់ពីភាពស្ងៀមស្ងាត់ដោយចៃដន្យ ស្ទើរតែតែងតែកើតឡើងជាមួយមនុស្សដែលទទួលអ្នកស្គាល់គ្នាជាលើកដំបូងនៅក្នុងផ្ទះរបស់ពួកគេ ពូបាននិយាយដោយឆ្លើយនូវគំនិតដែលភ្ញៀវរបស់គាត់មាន៖
  "ដូច្នេះខ្ញុំរស់នៅក្រៅជីវិតរបស់ខ្ញុំ ... ប្រសិនបើអ្នកស្លាប់វាជាការដើរដ៏បរិសុទ្ធ - គ្មានអ្វីនឹងនៅសល់ទេ" ។ បាបកម្មអីហ្នឹង!
  មុខ​ពូ​ពិតជា​សំខាន់​ណាស់ ហើយ​ថែមទាំង​ស្អាត​ទៀតផង​ពេល​គាត់​និយាយ​បែបនេះ​។ ទន្ទឹមនឹងនេះ Rostov ចងចាំអ្វីៗគ្រប់យ៉ាងដោយអចេតនាដែលគាត់បានឮពីឪពុកនិងអ្នកជិតខាងរបស់គាត់អំពីពូរបស់គាត់។ ពូមានកេរ្ដិ៍ឈ្មោះពេញសង្កាត់ទាំងមូលនៃខេត្តថាជាអ្នកដ៏ថ្លៃថ្នូ និងមិនចាប់អារម្មណ៍បំផុត។ គាត់ត្រូវបានគេហៅឱ្យវិនិច្ឆ័យរឿងគ្រួសារ គាត់ត្រូវបានតែងតាំងជាប្រតិបត្តិករ អាថ៌កំបាំងត្រូវបានគេជឿជាក់លើគាត់ គាត់ត្រូវបានជ្រើសរើសឱ្យវិនិច្ឆ័យ និងមុខតំណែងផ្សេងទៀត ប៉ុន្តែមកពី សេវា​សាធារណៈគាត់បានបដិសេធដោយរឹងរូស ដោយចំណាយពេលរដូវស្លឹកឈើជ្រុះ និងរដូវផ្ការីកក្នុងវាលស្រែលើដើមត្នោតរបស់គាត់ អង្គុយនៅផ្ទះក្នុងរដូវរងារ ដេកក្នុងសួនដែលដុះពេញរបស់គាត់នៅរដូវក្តៅ។