វគ្គវីដេអូ "Get A" រួមបញ្ចូលប្រធានបទទាំងអស់ដែលអ្នកត្រូវការ ការចែកចាយជោគជ័យប្រើក្នុងគណិតវិទ្យាសម្រាប់ 60-65 ពិន្ទុ។ បញ្ចប់កិច្ចការទាំងអស់ 1-13 ការប្រឡងប្រវត្តិរូបគណិតវិទ្យា។ ក៏សមរម្យសម្រាប់ការឆ្លងកាត់ USE មូលដ្ឋានក្នុងគណិតវិទ្យា។ ប្រសិនបើអ្នកចង់ប្រឡងជាប់ដោយពិន្ទុ 90-100 អ្នកត្រូវដោះស្រាយផ្នែកទី 1 ក្នុងរយៈពេល 30 នាទីដោយគ្មានកំហុស!

វគ្គ​ត្រៀម​ប្រឡង​ថ្នាក់​ទី ១០ ដល់​ទី ១១ ព្រម​ទាំង​គ្រូ។ អ្វី​គ្រប់​យ៉ាង​ដែល​អ្នក​ត្រូវ​ការ​ដើម្បី​ដោះស្រាយ​ផ្នែក​ទី 1 នៃ​ការ​ប្រឡង​ក្នុង​គណិតវិទ្យា (បញ្ហា 12 ដំបូង​) និង​បញ្ហា 13 (ត្រីកោណមាត្រ​) ។ ហើយនេះគឺច្រើនជាង 70 ពិន្ទុនៅលើការប្រឡងរដ្ឋបង្រួបបង្រួម ហើយទាំងសិស្សមួយរយពិន្ទុ ឬមនុស្សធម៌មិនអាចធ្វើដោយគ្មានពួកគេ។

ទ្រឹស្តីចាំបាច់ទាំងអស់។ មធ្យោបាយរហ័សដំណោះស្រាយ អន្ទាក់ និង ប្រើអាថ៌កំបាំង. កិច្ចការពាក់ព័ន្ធទាំងអស់នៃផ្នែកទី 1 ពីកិច្ចការរបស់ធនាគារ FIPI ត្រូវបានវិភាគ។ វគ្គសិក្សាអនុលោមតាមតម្រូវការរបស់ USE-2018 យ៉ាងពេញលេញ។

វគ្គសិក្សាមាន 5 ប្រធានបទធំ, 2.5 ម៉ោងនីមួយៗ។ ប្រធានបទនីមួយៗត្រូវបានផ្តល់ឱ្យពីទទេ សាមញ្ញ និងច្បាស់លាស់។

កិច្ចការប្រឡងរាប់រយ។ កិច្ចការអត្ថបទនិងទ្រឹស្តីប្រូបាប៊ីលីតេ។ ក្បួនដោះស្រាយបញ្ហាសាមញ្ញ និងងាយស្រួលក្នុងការចងចាំ។ ធរណីមាត្រ។ ទ្រឹស្តី, ឯកសារយោង, ការវិភាគនៃគ្រប់ប្រភេទនៃភារកិច្ច USE ។ ស្តេរ៉េអូមេទ្រី។ ដំណោះស្រាយល្បិច, សន្លឹកបន្លំមានប្រយោជន៍, ការអភិវឌ្ឍន៍ ការស្រមើលស្រមៃនៃលំហ. ត្រីកោណមាត្រពីទទេ - ទៅភារកិច្ច 13. ការយល់ដឹងជំនួសឱ្យការ cramming ។ ការពន្យល់ដែលមើលឃើញ គំនិតស្មុគស្មាញ. ពិជគណិត។ ឫស អំណាច និងលោការីត មុខងារ និងដេរីវេ។ មូលដ្ឋានសម្រាប់ដំណោះស្រាយ កិច្ចការប្រឈម 2 ផ្នែកនៃការប្រឡង។

ទ្រឹស្តីបទ

បើត្រង់មិនមែនទេ។ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ, គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់មួយចំនួននៅក្នុងយន្តហោះនេះ បន្ទាប់មកវាក៏ស្របទៅនឹងយន្តហោះខ្លួនឯងផងដែរ។

ភស្តុតាង

អនុញ្ញាតឱ្យ α ជាយន្តហោះ បន្ទាត់មិនស្ថិតនៅលើវា ហើយ a1 បន្ទាត់នៅក្នុងយន្តហោះ α ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ a ។ ចូរយើងគូរប្លង់ α1 តាមបន្ទាត់ a និង a1 ។ ប្លង់ α និង α1 ប្រសព្វគ្នាតាមបន្ទាត់ a1 ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់មួយប្រសព្វគ្នាទៅនឹងយន្តហោះ α នោះចំនុចប្រសព្វនឹងជារបស់បន្ទាត់ a1 ។ ប៉ុន្តែ​នេះ​មិន​អាច​ទៅ​រួច​ទេ ព្រោះ​បន្ទាត់ a និង a1 គឺ​ស្រប​គ្នា។ ដូច្នេះ បន្ទាត់ a មិន​ប្រសព្វ​នឹង​យន្តហោះ α ទេ ដូច្នេះហើយ​គឺ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ α ។ ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

18. យន្តហោះ

ប្រសិនបើប្លង់ប៉ារ៉ាឡែលពីរប្រសព្វគ្នាជាមួយទីបី នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វគឺស្របគ្នា។(រូបភព ៣៣៣)។

ជាការពិតយោងទៅតាមនិយមន័យ បន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល គឺជាបន្ទាត់ដែលស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយ ហើយមិនប្រសព្វគ្នា។បន្ទាត់របស់យើងស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះតែមួយ - យន្តហោះឯកតា។ ពួកវាមិនប្រសព្វគ្នាទេ ព្រោះយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលដែលមានពួកវាមិនប្រសព្វគ្នា។

ដូច្នេះបន្ទាត់គឺស្របគ្នា ដែលជាអ្វីដែលយើងចង់បញ្ជាក់។

ទ្រព្យសម្បត្តិ

§ ប្រសិនបើយន្តហោះ α ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះផ្សេងទៀតβ នោះយន្តហោះទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

§ ប្រសិនបើប្លង់ប៉ារ៉ាឡែលពីរត្រូវបានប្រសព្វគ្នាដោយមួយភាគបី នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេគឺស្របគ្នា។

§ តាមរយៈចំណុចមួយនៅខាងក្រៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ វាគឺអាចធ្វើទៅបានដើម្បីគូរយន្តហោះស្របទៅនឹងមួយដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយប៉ុណ្ណោះ

§ ផ្នែកនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលចងដោយយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលពីរគឺស្មើគ្នា

§ មុំពីរដែលមានជ្រុងស្របគ្នា និងទិសស្មើគ្នាគឺស្មើគ្នា ហើយស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះស្របគ្នា។

19.

ប្រសិនបើបន្ទាត់ពីរស្ថិតនៅលើយន្តហោះតែមួយ នោះមុំរវាងពួកវាគឺងាយស្រួលក្នុងការវាស់វែង - ឧទាហរណ៍ ដោយប្រើ protractor ។ និងរបៀបវាស់វែង មុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះ?

សូម​ឲ្យ​ខ្សែបន្ទាត់​កាត់​យន្តហោះ ហើយ​មិន​នៅ​មុំ​ខាងស្តាំ​ទេ ប៉ុន្តែ​នៅ​មុំ​មួយ​ចំនួន​ទៀត។ បន្ទាត់បែបនេះត្រូវបានគេហៅថា oblique.

អនុញ្ញាតឱ្យយើងទម្លាក់ការកាត់កែងពីចំណុចខ្លះទំនោរទៅយន្តហោះរបស់យើង។ ភ្ជាប់មូលដ្ឋាននៃកាត់កែងទៅនឹងចំនុចប្រសព្វនៃទំនោរនិងយន្តហោះ។ យើងទទួលបាន ការព្យាករណ៍នៃយន្តហោះ oblique.

មុំរវាងបន្ទាត់ និងយន្តហោះ គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់មួយ និងការព្យាកររបស់វាទៅលើយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។.

សូមចំណាំ - យើងជ្រើសរើសមុំស្រួចជាមុំរវាងបន្ទាត់និងយន្តហោះ។

ប្រសិនបើបន្ទាត់មួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ នោះមុំរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់គឺ សូន្យ.

ប្រសិនបើបន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ការព្យាករណ៍របស់វាទៅលើយន្តហោះគឺជាចំនុចមួយ។ ជាក់ស្តែង ក្នុងករណីនេះ មុំរវាងបន្ទាត់ និងប្លង់គឺ 90°។

បន្ទាត់មួយគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ប្រសិនបើវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ណាមួយនៅក្នុងយន្តហោះនោះ។.

នេះគឺជានិយមន័យ។ ប៉ុន្តែរបៀបធ្វើការជាមួយគាត់? តើធ្វើដូចម្តេចដើម្បីពិនិត្យមើលថាបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យគឺកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ទាំងអស់ដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ? យ៉ាងណាមិញ មានចំនួនមិនកំណត់នៃពួកគេ។

នៅក្នុងការអនុវត្តវាត្រូវបានអនុវត្ត សញ្ញានៃការកាត់កែងនៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ:

បន្ទាត់មួយគឺកាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះ ប្រសិនបើវាកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះនោះ។

21. មុំ Dihedral- លំហ រូបធរណីមាត្របង្កើតឡើងដោយយន្តហោះពាក់កណ្តាលពីរដែលចេញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយ ក៏ដូចជាផ្នែកនៃលំហដែលជាប់នឹងយន្តហោះពាក់កណ្តាលទាំងនេះ។

យន្តហោះពីរត្រូវបានគេនិយាយថាកាត់កែងប្រសិនបើមុំ dihedral រវាងពួកវាគឺ 90 ដឺក្រេ។

§ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះផ្សេងទៀត នោះយន្តហោះទាំងនេះគឺកាត់កែង។

§ ប្រសិនបើពីចំណុចមួយ ជាកម្មសិទ្ធិរបស់មួយក្នុងចំណោមពីរ យន្តហោះកាត់កែងគូរកាត់កែងទៅប្លង់មួយទៀត បន្ទាប់មកកាត់កែងនេះទាំងស្រុងនៅក្នុងយន្តហោះទីមួយ។

§ ប្រសិនបើនៅក្នុងប្លង់កាត់កែងមួយក្នុងចំនោមប្លង់ទាំងពីរ យើងគូរកាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វរបស់វា នោះកាត់កែងនេះនឹងកាត់កែងទៅនឹងប្លង់ទីពីរ។

ប្លង់​ប្រសព្វ​គ្នា​ពីរ​បង្កើត​ជា​មុំ​បួន​ជ្រុង​ដែល​មាន​គែម​រួម៖ គូ មុំបញ្ឈរគឺស្មើគ្នា ហើយផលបូកនៃមុំជាប់គ្នាពីរគឺ 180°។ ប្រសិន​បើ​មុំ​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​មុំ​ទាំង​បួន​ត្រូវ នោះ​មុំ​បី​ទៀត​ក៏​ស្មើ​និង​ត្រូវ​ដែរ។ ប្លង់ពីរត្រូវបានគេហៅថាកាត់កែងប្រសិនបើមុំរវាងពួកវាត្រឹមត្រូវ។.

ទ្រឹស្តីបទ។ ប្រសិនបើយន្តហោះឆ្លងកាត់បន្ទាត់កាត់កែងទៅនឹងយន្តហោះមួយផ្សេងទៀត នោះយន្តហោះទាំងនោះគឺកាត់កែង។

អនុញ្ញាតឱ្យនិងជាយន្តហោះពីរដែលវាឆ្លងកាត់បន្ទាត់ AB កាត់កែងទៅនិងប្រសព្វជាមួយវានៅចំណុច A (រូបភាព 49) ។ សូមបញ្ជាក់ _|_ ។ យន្តហោះ និងប្រសព្វគ្នាតាមខ្សែបន្ទាត់មួយចំនួន AC និង AB _|_ AC ព្រោះ AB _|_ ។ ចូរយើងគូសបន្ទាត់ AD ក្នុងយន្តហោះ កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់ AC ។

បន្ទាប់មកមុំ BAD គឺជាមុំលីនេអ៊ែរ មុំ dihedral, អប់រំ និង . ប៉ុន្តែ< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.

22. ពហុកោណគឺជាតួដែលផ្ទៃរបស់វាមានចំនួនកំណត់នៃពហុកោណសំប៉ែត។

1. ពហុកោណណាដែលបង្កើតជាពហុកោណ អ្នកអាចទៅដល់ណាមួយនៃពួកវាដោយចូលទៅកាន់មួយជាប់នឹងវា ហើយពីនេះទៅមួយទៅមួយនៅជាប់នឹងវា ។ល។

ពហុកោណទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថា មុខភាគីរបស់ពួកគេ - ឆ្អឹងជំនីនិង​ចំណុច​កំពូល​របស់​ពួក​គេ​ កំពូល polyhedron ។ ឧទាហរណ៍សាមញ្ញបំផុតនៃ polyhedra គឺ polyhedra ប៉ោងនោះ​គឺ​ជា​ព្រំប្រទល់​នៃ​សំណុំ​រង​ដែល​មាន​ព្រំដែន​នៃ​លំហ Euclidean ដែល​ជា​ចំណុច​ប្រសព្វ​នៃ​ចំនួន​កំណត់​នៃ​ចន្លោះ​ពាក់កណ្តាល។

និយមន័យខាងលើនៃពហុកោណត្រូវចំណាយពេលលើអត្ថន័យផ្សេងគ្នាអាស្រ័យលើរបៀបដែលពហុកោណត្រូវបានកំណត់ ដែលជម្រើសពីរខាងក្រោមអាចធ្វើទៅបាន៖

§ បន្ទាត់ដែលខូចបិទជិត (ទោះបីជាពួកគេប្រសព្វគ្នាដោយខ្លួនឯង);

§ ផ្នែកខ្លះនៃយន្តហោះជាប់នឹងខ្សែដែលខូច។

ក្នុងករណីដំបូងយើងទទួលបានគំនិតនៃ polyhedron ផ្កាយ។ នៅក្នុងទីពីរ polyhedron គឺជាផ្ទៃដែលមានបំណែកពហុកោណ។ ប្រសិនបើផ្ទៃនេះមិនប្រសព្វគ្នាទេនោះ វាគឺជាផ្ទៃពេញនៃតួធរណីមាត្រមួយចំនួន ដែលត្រូវបានគេហៅថា polyhedron ផងដែរ។ ដូច្នេះនិយមន័យទីបីនៃ polyhedron កើតឡើងដូចជារាងកាយធរណីមាត្រខ្លួនឯង។

ព្រីសត្រង់

ព្រីសត្រូវបានគេហៅថា ត្រង់ប្រសិន​បើ​វា ឆ្អឹងជំនីរចំហៀងកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន។
ព្រីសត្រូវបានគេហៅថា obliqueប្រសិនបើគែមចំហៀងរបស់វាមិនកាត់កែងទៅនឹងមូលដ្ឋាន។
ព្រីសត្រង់មានមុខរាងបួនជ្រុង។

ព្រីសត្រូវបានគេហៅថា ត្រឹមត្រូវ។ប្រសិនបើមូលដ្ឋានរបស់វាគឺពហុកោណធម្មតា។
តំបន់នៃផ្ទៃក្រោយនៃព្រីសត្រូវបានគេហៅថាផលបូកនៃតំបន់នៃមុខចំហៀង។
ផ្ទៃពេញនៃព្រីសស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃក្រោយ និងផ្ទៃនៃមូលដ្ឋាន

ធាតុ Prism៖
ចំណុច - ហៅថាកំពូល
ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថាគែមចំហៀង
ពហុកោណ និង - ត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន។ យន្តហោះខ្លួនឯងត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋានផងដែរ។

24. Parallelepiped(មកពីភាសាក្រិច παράλλος - ប៉ារ៉ាឡែល និងក្រិក επιπεδον - យន្តហោះ) - ព្រីស មូលដ្ឋានដែលជាប្រលេឡូក្រាម ឬ (សមមូល) ពហុហ៊្វូដដែលមានមុខប្រាំមួយ ហើយពួកវានីមួយៗជាប្រលេឡូក្រាម។

§ parallelepiped គឺស៊ីមេទ្រីអំពីចំណុចកណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វា។

§ ផ្នែកណាមួយដែលមានចុងដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់ផ្ទៃនៃ parallelepiped និងឆ្លងកាត់ពាក់កណ្តាលនៃអង្កត់ទ្រូងរបស់វាត្រូវបានបែងចែកដោយវានៅក្នុងពាក់កណ្តាល; ជាពិសេស អង្កត់ទ្រូងទាំងអស់នៃ parallelepiped ប្រសព្វគ្នានៅចំណុចមួយ ហើយបំបែកវា។

§ មុខទល់មុខនៃ parallelepiped គឺស្រប និងស្មើគ្នា។

§ ការ៉េនៃប្រវែងអង្កត់ទ្រូង គូប គឺស្មើនឹងផលបូកការ៉េនៃទំហំបីរបស់វា។

ផ្ទៃនៃគូបមួយ។គឺស្មើនឹងពីរដងនៃផលបូកនៃផ្ទៃនៃមុខទាំងបីនៃ parallelepiped នេះ៖

1.	ស= 2(ស+ស+ស គ)= 2(ab+bc+អេក)

25 .ពីរ៉ាមីត និងធាតុរបស់វា។

ពិចារណាលើយន្តហោះ ពហុកោណមួយស្ថិតនៅលើវា និងចំណុច S មិនស្ថិតនៅក្នុងវា។ ភ្ជាប់ S ទៅនឹងចំនុចកំពូលទាំងអស់នៃពហុកោណ។ polyhedron លទ្ធផលត្រូវបានគេហៅថាពីរ៉ាមីត។ ផ្នែកត្រូវបានគេហៅថាគែមចំហៀង។ ពហុកោណត្រូវបានគេហៅថាមូលដ្ឋាន ហើយចំនុច S ត្រូវបានគេហៅថាកំពូលនៃពីរ៉ាមីត។ អាស្រ័យលើលេខ n ពីរ៉ាមីតត្រូវបានគេហៅថា ត្រីកោណ (n=3) ចតុកោណកែង (n=4) pentagonal (n=5) ហើយដូច្នេះនៅលើ។ ចំណងជើងជំនួស ពីរ៉ាមីតត្រីកោណ – tetrahedron. កម្ពស់​ពីរ៉ាមីត​គឺ​កាត់​កាត់​ពី​កំពូល​ទៅ​ប្លង់​គោល។

ពីរ៉ាមីតត្រូវបានគេហៅថាត្រឹមត្រូវប្រសិនបើ ពហុកោណធម្មតា។ហើយមូលដ្ឋាននៃកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីត (មូលដ្ឋានកាត់កែង) គឺជាចំណុចកណ្តាលរបស់វា។

កម្មវិធីនេះត្រូវបានរចនាឡើងដើម្បីគណនាផ្ទៃខាងមុខ ពីរ៉ាមីតត្រឹមត្រូវ។.
ពីរ៉ាមីតគឺជាពហុកោណដែលមានមូលដ្ឋានក្នុងទម្រង់ជាពហុកោណ ហើយមុខដែលនៅសល់គឺជាត្រីកោណដែលមានកំពូលរួម។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃក្រោយនៃពីរ៉ាមីតធម្មតាគឺ៖

ដែល p គឺជាបរិវេណនៃមូលដ្ឋាន (ពហុកោណ ABCDE)
a - apothem (OS);

apothem គឺជាកម្ពស់នៃមុខចំហៀងនៃពីរ៉ាមីតធម្មតា ដែលត្រូវបានដកចេញពីកំពូលរបស់វា។

ដើម្បី​ស្វែង​រក​ផ្ទៃ​ខាង​ក្រោយ​នៃ​ពីរ៉ាមីត​ធម្មតា សូម​បញ្ចូល​បរិវេណ​ពីរ៉ាមីត និង​តម្លៃ apothem បន្ទាប់​មក​ចុច​ប៊ូតុង "គណនា" កម្មវិធី​នឹង​កំណត់​ផ្ទៃ​ខាង​ក្រោយ​នៃ​ពីរ៉ាមីត​ធម្មតា ដែល​តម្លៃ​អាច​ជា បានដាក់នៅលើក្តារតម្បៀតខ្ទាស់។

កាត់​ពីរ៉ាមីត

ពីរ៉ាមីតកាត់ជាផ្នែកមួយ។ ពីរ៉ាមីតពេញលេញរុំព័ទ្ធរវាងមូលដ្ឋាន និងផ្នែកមួយស្របទៅនឹងវា។
ផ្នែកឆ្លងកាត់ត្រូវបានគេហៅថា មូលដ្ឋានខាងលើនៃសាជីជ្រុងកាត់ខ្លីហើយមូលដ្ឋាននៃសាជីជ្រុងពេញលេញគឺ មូលដ្ឋានខាងក្រោមសាជីជ្រុងកាត់ខ្លី (មូលដ្ឋានគឺស្រដៀងគ្នា។ ) មុខចំហៀងសាជីជ្រុងកាត់ខ្លី - រាងចតុកោណ។ ក្នុង​ប្រាសាទ​ពីរ៉ាមីត ៣ នឆ្អឹងជំនីរ, ២ នកំពូល, ន+ 2 មុខ ន(ន- 3) អង្កត់ទ្រូង។ ចម្ងាយរវាងមូលដ្ឋានខាងលើ និងខាងក្រោមគឺជាកម្ពស់នៃពីរ៉ាមីតដែលកាត់ឱ្យខ្លី (ផ្នែកដែលកាត់ចេញពីកម្ពស់នៃសាជីជ្រុងពេញ)។
ការ៉េ ផ្ទៃពេញពីរ៉ាមីតដែលកាត់ខ្លីគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃមុខរបស់វា។
បរិមាណនៃសាជីជ្រុងកាត់ ( សនិង ស- មូលដ្ឋាន, ហ- កម្ពស់)

តួនៃការបង្វិលហៅថារាងកាយដែលបង្កើតឡើងជាលទ្ធផលនៃការបង្វិលនៃបន្ទាត់ជុំវិញបន្ទាត់ត្រង់មួយ។

ស៊ីឡាំង​រាង​ជា​រង្វង់​ខាង​ស្ដាំ​ត្រូវ​បាន​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​មួយ ប្រសិន​បើ​រង្វង់​មូល​របស់​វា​ស្ថិត​នៅ​លើ​ស្វ៊ែរ។ មូលដ្ឋាននៃស៊ីឡាំងគឺជារង្វង់តូចៗនៃបាល់ដែលកណ្តាលនៃបាល់ស្របគ្នាជាមួយនឹងពាក់កណ្តាលអ័ក្សនៃស៊ីឡាំង។ [ 2 ]

ស៊ីឡាំង​រាង​ជា​រង្វង់​ខាង​ស្ដាំ​ត្រូវ​បាន​ចារឹក​ក្នុង​រង្វង់​មួយ ប្រសិន​បើ​រង្វង់​មូល​របស់​វា​ស្ថិត​នៅ​លើ​ស្វ៊ែរ។ ជាក់ស្តែង កណ្តាលនៃស្វ៊ែរមិនស្ថិតនៅចំកណ្តាលអ័ក្សនៃស៊ីឡាំងនោះទេ។ [ 3 ]

បរិមាណនៃស៊ីឡាំងណាមួយ។ គឺស្មើនឹងផលិតផលតំបន់​មូលដ្ឋាន​ដល់​កម្ពស់​:

1.	វ=π r 2 ម៉ោង

តំបន់ពេញផ្ទៃនៃស៊ីឡាំងគឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃក្រោយនៃស៊ីឡាំង និង ការ៉េទ្វេមូលដ្ឋាននៃស៊ីឡាំង។

រូបមន្តសម្រាប់គណនាផ្ទៃដីសរុបនៃស៊ីឡាំងគឺ៖

27. កោណរាងមូលអាចទទួលបានដោយការបង្វិល ត្រីកោណកែងជុំវិញជើងមួយរបស់វា ដូច្នេះកោណមូលក៏ត្រូវបានគេហៅថាកោណនៃបដិវត្តន៍ផងដែរ។ សូមមើលផងដែរ Volume of a round cone

ផ្ទៃដីសរុបនៃកោណរាងជារង្វង់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃនៃផ្ទៃក្រោយនៃកោណ និងមូលដ្ឋានរបស់វា។ មូលដ្ឋាននៃកោណគឺជារង្វង់មួយ ហើយផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃរង្វង់មួយ៖

2.	ស=π rl+π r 2=π r(r+លីត្រ)

28. Frustumទទួលបានដោយការគូរផ្នែកមួយស្របទៅនឹងមូលដ្ឋាននៃកោណមួយ។ រាងកាយជាប់នឹងផ្នែកនេះ មូលដ្ឋាន និងផ្ទៃចំហៀងនៃកោណត្រូវបានគេហៅថាកោណដែលកាត់។ សូមមើលផងដែរនូវបរិមាណនៃកោណដែលកាត់ឱ្យខ្លី

ផ្ទៃដីសរុបនៃកោណកាត់គឺស្មើនឹងផលបូកនៃផ្ទៃនៃផ្ទៃក្រោយនៃកោណដែលកាត់ និងមូលដ្ឋានរបស់វា។ មូលដ្ឋាននៃកោណដែលកាត់ជារង្វង់ ហើយផ្ទៃរបស់វាត្រូវបានគណនាដោយប្រើរូបមន្តសម្រាប់តំបន់នៃរង្វង់មួយ៖ ស= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)លីត្រ+ r 2 2)

29. បាល់ - រាងកាយធរណីមាត្រកំណត់ដោយផ្ទៃដែលចំណុចទាំងអស់ស្ថិតនៅលើ ចម្ងាយស្មើគ្នាពីកណ្តាល។ ចម្ងាយនេះត្រូវបានគេហៅថាកាំនៃស្វ៊ែរ។

ស្វ៊ែរ(ភាសាក្រិច σφαῖρα - បាល់) - ផ្ទៃបិទជិត, កន្លែងធរណីមាត្រចំណុចក្នុងលំហលំហ ពីចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហៅថាចំណុចកណ្តាលនៃស្វ៊ែរ។ ស្វ៊ែរ​ជា​ករណី​ពិសេស​នៃ​រាង​អេលីប ដែល​អ័ក្ស​ទាំង​បី (អ័ក្ស​ពាក់កណ្តាល រ៉ាឌី) គឺ​ស្មើគ្នា។ ស្វ៊ែរគឺជាផ្ទៃនៃបាល់មួយ។

តំបន់នៃផ្ទៃស្វ៊ែរនៃផ្នែកស្វ៊ែរ (ផ្នែកស្វ៊ែរ) និងស្រទាប់ស្វ៊ែរអាស្រ័យតែលើកម្ពស់ និងកាំនៃបាល់ ហើយស្មើនឹងបរិមាត្រនៃរង្វង់ដ៏អស្ចារ្យនៃបាល់ គុណនឹងកម្ពស់។

បរិមាណបាល់ស្មើនឹងបរិមាណនៃពីរ៉ាមីត ដែលមូលដ្ឋានមានផ្ទៃដូចគ្នាទៅនឹងផ្ទៃបាល់ ហើយកម្ពស់គឺជាកាំនៃបាល់។

បរិមាណនៃស្វ៊ែរមួយគឺតិចជាងមួយដងកន្លះនៃបរិមាណនៃស៊ីឡាំងដែលបានគូសរង្វង់ជុំវិញវា។

ធាតុបាល់

ចម្រៀកបាល់ យន្តហោះកាត់បំបែកបាល់ជាពីរផ្នែក។ ហ- កម្ពស់ផ្នែក, 0< ហ < 2 រ, r- កាំមូលដ្ឋានផ្នែក, បរិមាណផ្នែកបាល់ តំបន់នៃផ្ទៃស្វ៊ែរនៃផ្នែកស្វ៊ែរ
ស្រទាប់ស្វ៊ែរ ស្រទាប់ស្វ៊ែរ គឺជាផ្នែកនៃស្វ៊ែរដែលរុំព័ទ្ធរវាងផ្នែកប៉ារ៉ាឡែលពីរ។ ចម្ងាយ ( ហ) រវាងផ្នែកត្រូវបានគេហៅថា កម្ពស់ស្រទាប់និងផ្នែកខ្លួនឯង - មូលដ្ឋានស្រទាប់. ផ្ទៃ​រាង​ស្វ៊ែរ ( កម្រិតសំឡេង) នៃស្រទាប់ស្វ៊ែរអាចត្រូវបានរកឃើញថាជាភាពខុសគ្នានៅក្នុងតំបន់ ផ្ទៃរាងស្វ៊ែរ(បរិមាណ) នៃផ្នែកស្វ៊ែរ។

 1. គុណវ៉ិចទ័រដោយលេខ(រូបភាព 56) ។

ផលិតផលវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែក្នុងមួយលេខ λ ហៅថាវ៉ិចទ័រ អេដែលម៉ូឌុលគឺស្មើនឹងផលិតផលនៃម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែសម្រាប់លេខម៉ូឌុល λ :

ទិសដៅមិនផ្លាស់ប្តូរប្រសិនបើ λ > 0 ; ផ្លាស់ប្តូរទៅផ្ទុយប្រសិនបើ λ < 0 . ប្រសិនបើ ក λ = −1បន្ទាប់មក វ៉ិចទ័រ

ហៅថាវ៉ិចទ័រ វ៉ិចទ័រផ្ទុយ ប៉ុន្តែ, និងត្រូវបានតំណាង

 2. ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ. ដើម្បីរកផលបូកនៃវ៉ិចទ័រពីរ ប៉ុន្តែនិង អេវ៉ិចទ័រ

បន្ទាប់មកផលបូកនឹងជាវ៉ិចទ័រដែលជាការចាប់ផ្តើមដែលស្របគ្នានឹងការចាប់ផ្តើមនៃទីមួយនិងចុងបញ្ចប់ - ជាមួយចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ។ ក្បួនបន្ថែមវ៉ិចទ័រនេះត្រូវបានគេហៅថា "ច្បាប់ត្រីកោណ" (រូបភាព 57) ។ វាចាំបាច់ក្នុងការពណ៌នាវ៉ិចទ័រ summand ដូច្នេះការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីពីរស្របគ្នានឹងចុងបញ្ចប់នៃទីមួយ។

វាងាយស្រួលក្នុងការបង្ហាញថាសម្រាប់វ៉ិចទ័រ "ផលបូកមិនផ្លាស់ប្តូរពីការផ្លាស់ប្តូរកន្លែងនៃពាក្យ" ។
អនុញ្ញាតឱ្យយើងបង្ហាញច្បាប់មួយបន្ថែមទៀតសម្រាប់ការបន្ថែមវ៉ិចទ័រ - "ច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល" ។ ប្រសិនបើយើងបញ្ចូលគ្នានូវការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ summand ហើយបង្កើតប្រលេឡូក្រាមលើពួកវា នោះផលបូកនឹងជាវ៉ិចទ័រដែលស្របគ្នានឹងអង្កត់ទ្រូងនៃប្រលេឡូក្រាមនេះ (រូបភាព 58)។

វាច្បាស់ណាស់ថាការបន្ថែមយោងទៅតាម "ច្បាប់ប៉ារ៉ាឡែល" នាំឱ្យមានលទ្ធផលដូចគ្នានឹង "ច្បាប់ត្រីកោណ" ។
"ច្បាប់ត្រីកោណ" ងាយស្រួលធ្វើទូទៅ (ចំពោះលក្ខខណ្ឌជាច្រើន)។ ដើម្បីស្វែងរក ផលបូកនៃវ៉ិចទ័រ

វាចាំបាច់ក្នុងការផ្សំការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រទីពីរជាមួយចុងបញ្ចប់នៃទីមួយការចាប់ផ្តើមនៃទីបី - ជាមួយចុងបញ្ចប់នៃទីពីរ។ ល។ បន្ទាប់មកការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ ពីស្របពេលជាមួយនឹងការចាប់ផ្តើមដំបូង និងចុងបញ្ចប់ ពី- ជាមួយនឹងចុងបញ្ចប់នៃក្រោយ (រូបភាព 59) ។

 3. ការដកវ៉ិចទ័រ. ប្រតិបត្តិការដកត្រូវបានកាត់បន្ថយទៅជាប្រតិបត្តិការមុនពីរ៖ ភាពខុសគ្នានៃវ៉ិចទ័រពីរគឺផលបូកនៃទីមួយជាមួយវ៉ិចទ័រទល់មុខនឹងទីពីរ៖

អ្នកក៏អាចបង្កើត "ច្បាប់ត្រីកោណ" សម្រាប់ដកវ៉ិចទ័រ៖ វាចាំបាច់ក្នុងការបញ្ចូលគ្នានូវការចាប់ផ្តើមនៃវ៉ិចទ័រ។ ប៉ុន្តែនិង អេបន្ទាប់មកភាពខុសគ្នារបស់ពួកគេនឹងជាវ៉ិចទ័រ

គូរពីចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ អេទៅចុងបញ្ចប់នៃវ៉ិចទ័រ ប៉ុន្តែ(រូបភាព 60) ។

នៅក្នុងអ្វីដែលខាងក្រោមយើងនឹងនិយាយអំពីវ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ ចំណុចសម្ភារៈនោះគឺជាវ៉ិចទ័រដែលតភ្ជាប់ទីតាំងដំបូង និងចុងក្រោយនៃចំណុច។ យល់ស្របថាច្បាប់នៃសកម្មភាពដែលបានណែនាំនៅលើវ៉ិចទ័រគឺច្បាស់ណាស់សម្រាប់វ៉ិចទ័រផ្លាស់ទីលំនៅ។

 4. ផលិតផលចំនុចនៃវ៉ិចទ័រ. លទ្ធផល ផលិតផលចំនុចវ៉ិចទ័រពីរ ប៉ុន្តែនិង អេគឺជាលេខ c ស្មើនឹងផលគុណនៃម៉ូឌុលនៃវ៉ិចទ័រ និងកូស៊ីនុសនៃមុំ α រវាង

ផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រត្រូវបានប្រើប្រាស់យ៉ាងទូលំទូលាយក្នុងរូបវិទ្យា។ នៅពេលអនាគត យើងច្រើនតែត្រូវដោះស្រាយជាមួយប្រតិបត្តិការបែបនេះ។

អត្ថបទពិចារណាអំពីគោលគំនិតនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ និងប្លង់។ និយមន័យសំខាន់ៗនឹងត្រូវបានពិចារណា ហើយឧទាហរណ៍នឹងត្រូវបានផ្តល់ឱ្យ។ ពិចារណាពីសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ទៅនឹងយន្តហោះដែលមានលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នា យើងនឹងដោះស្រាយឧទាហរណ៍នៃភារកិច្ចឱ្យបានលម្អិត។

Yandex.RTB R-A-339285-1 និយមន័យ 1

បន្ទាត់និងយន្តហោះត្រូវបានគេហៅថា ប៉ារ៉ាឡែលប្រសិនបើពួកគេមិនមាន ចំណុចរួមនោះគឺពួកគេមិនប្រសព្វគ្នាទេ។

ភាពស្របគ្នាត្រូវបានចង្អុលបង្ហាញដោយ "∥" ។ ប្រសិនបើនៅក្នុងភារកិច្ចតាមលក្ខខណ្ឌ បន្ទាត់ a និងប្លង់ α គឺស្របគ្នានោះ សញ្ញាណគឺ a ∥ α ។ ពិចារណារូបភាពខាងក្រោម។

វាត្រូវបានគេជឿថាបន្ទាត់ a ស្របទៅនឹងយន្តហោះ α និងយន្តហោះ α ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ a គឺសមមូល ពោលគឺបន្ទាត់ និងយន្តហោះគឺស្របគ្នាទៅវិញទៅមកនៅក្នុងករណីណាមួយ។

ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ - សញ្ញានិងលក្ខខណ្ឌនៃភាពស្របគ្នា។

វាមិនតែងតែច្បាស់ទេដែលបន្ទាត់មួយ និងយន្តហោះស្របគ្នា។ ជារឿយៗនេះត្រូវតែបញ្ជាក់។ ចាំបាច់ក្នុងការប្រើប្រាស់ លក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់ដែលនឹងធានាភាពស្របគ្នា។ សញ្ញាបែបនេះត្រូវបានគេហៅថាសញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។ វាត្រូវបានណែនាំឱ្យសិក្សានិយមន័យនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលជាមុនសិន។

ទ្រឹស្តីបទ ១

ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a មិនដេកនៅក្នុងយន្តហោះ α គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ b ដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ α នោះបន្ទាត់ a គឺស្របទៅនឹងយន្តហោះ α ។

ពិចារណាទ្រឹស្តីបទដែលប្រើដើម្បីបង្កើតភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ២

ប្រសិនបើ​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​មួយ​ក្នុង​ចំណោម​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​ពីរ​គឺ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ នោះ​ខ្សែ​ផ្សេង​ទៀត​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង ឬ​ស្រប​នឹង​យន្តហោះ​នោះ។

ភ័ស្តុតាងលម្អិតត្រូវបានពិចារណានៅក្នុងសៀវភៅសិក្សានៃថ្នាក់ទី 10 - 11 ស្តីពីធរណីមាត្រ។ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់ជាមួយយន្តហោះគឺអាចធ្វើទៅបានប្រសិនបើមាននិយមន័យនៃវ៉ិចទ័រនៃបន្ទាត់ត្រង់ និងវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ។

ទ្រឹស្តីបទ ៣

សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ a ដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះ α និងយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់គឺការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំទៅបន្ទាត់ជាមួយ វ៉ិចទ័រធម្មតា។ យន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ.

លក្ខខណ្ឌអាចអនុវត្តបាន នៅពេលដែលវាចាំបាច់ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៅក្នុង ប្រព័ន្ធចតុកោណកូអរដោនេ លំហបីវិមាត្រ. សូមក្រឡេកមើលភស្តុតាងលម្អិត។

ភស្តុតាង

ឧបមាថាបន្ទាត់ a នៅក្នុងប្រព័ន្ធកូអរដោណេ O x y ត្រូវបានផ្តល់ដោយសមីការ Canonical នៃបន្ទាត់ក្នុងលំហ ដែលមានទម្រង់ x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z ឬ សមីការប៉ារ៉ាម៉ែត្របន្ទាត់ក្នុងលំហ x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , ប្លង់ α ជាមួយសមីការទូទៅនៃយន្តហោះ A x + B y + C z + D = 0 ។

ដូច្នេះ a → = (a x, a y, a z) គឺជាវ៉ិចទ័រដឹកនាំដែលមានកូអរដោណេនៃបន្ទាត់ត្រង់ a, n → = (A, B, C) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃអាល់ហ្វាយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពកាត់កែងនៃ n → = (A , B , C) និង a → = (a x , a y , a z) អ្នកត្រូវប្រើគោលគំនិតនៃផលិតផលចំនុច។ នោះគឺជាមួយនឹងផលិតផល a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C លទ្ធផលត្រូវតែស្មើនឹងសូន្យពីលក្ខខណ្ឌនៃការកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ។

នេះមានន័យថាលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងប្លង់ត្រូវបានសរសេរដូចខាងក្រោមៈ a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C ។ ដូច្នេះ a → = (a x , a y , a z) គឺជាវ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ a ដែលមានកូអរដោណេ ហើយ n → = (A , B , C) គឺជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះ α ។

ឧទាហរណ៍ ១

កំណត់ថាតើបន្ទាត់ x = 1 + 2 λ y = − 2 + 3 λ z = 2 − 4 λ គឺស្របទៅនឹងប្លង់ x + 6 y + 5 z + 4 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

យើង​ទទួល​បាន​ថា​បន្ទាត់​ដែល​បាន​ផ្តល់​ឱ្យ​មិន​មែន​ជា​របស់​យន្តហោះ​ទេ​ព្រោះ​កូអរដោនេ​នៃ​បន្ទាត់ M (1, - 2, 2) មិន​សម។ នៅពេលជំនួស យើងទទួលបាន 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 ។

វាចាំបាច់ក្នុងការពិនិត្យមើលលទ្ធភាពនៃលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។ យើងទទួលបានថាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រដឹកនាំនៃបន្ទាត់ x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ មានតម្លៃ a → = (2 , 3 , - 4) ។

វ៉ិចទ័រធម្មតាសម្រាប់ប្លង់ x + 6 y + 5 z + 4 = 0 គឺ n → = (1 , 6 , 5) ។ ចូរបន្តទៅការគណនាផលិតផលមាត្រដ្ឋាននៃវ៉ិចទ័រ a → និង n → ។ យើងទទួលបាន a → , n → = 2 1 + 3 6 + ( − 4 ) 5 = 0 ។

ដូច្នេះ ភាពកាត់កែងនៃវ៉ិចទ័រ a → និង n → គឺជាក់ស្តែង។ វាធ្វើតាមដែលបន្ទាត់និងយន្តហោះស្របគ្នា។

ចម្លើយ៖បន្ទាត់និងយន្តហោះគឺស្របគ្នា។

ឧទាហរណ៍ ២

កំណត់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ A B ក្នុងយន្តហោះកូអរដោនេ O y z នៅពេលដែលកូអរដោនេត្រូវបានផ្តល់ A (2, 3, 0), B (4, - 1, - 7) ។

ដំណោះស្រាយ

តាមលក្ខខណ្ឌ គេអាចមើលឃើញថាចំនុច A (2, 3, 0) មិនស្ថិតនៅលើអ័ក្ស O x ទេ ព្រោះតម្លៃនៃ x មិនស្មើនឹង 0 ។

សម្រាប់យន្តហោះ O x z វ៉ិចទ័រដែលមានកូអរដោនេ i → = (1 , 0 , 0) ត្រូវបានចាត់ទុកថាជាវ៉ិចទ័រធម្មតានៃយន្តហោះនេះ។ សម្គាល់វ៉ិចទ័រទិសដៅនៃបន្ទាត់ត្រង់ A B ជា A B → ។ ឥឡូវនេះដោយប្រើកូអរដោនេនៃការចាប់ផ្តើមនិងចុងបញ្ចប់យើងគណនាកូអរដោនេនៃវ៉ិចទ័រ A B ។ យើងទទួលបាន A B → = (2 , − 4 , − 7) ។ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលលទ្ធភាពនៃលក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់វ៉ិចទ័រ A B → = (2 , - 4 , - 7) និង i → = (1 , 0 , 0) ដើម្បីកំណត់កាត់កែងរបស់វា។

ចូរសរសេរ A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 ។

វាធ្វើតាមពីនេះថាបន្ទាត់ A B c សំរបសំរួលយន្តហោះ O y z មិនស្របគ្នាទេ។

ចម្លើយ៖មិនស្របគ្នា។

មិនតែងតែលក្ខខណ្ឌដែលបានបញ្ជាក់រួមចំណែក និយមន័យងាយស្រួលភស្តុតាងនៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ។ ចាំបាច់ត្រូវពិនិត្យមើលថាតើខ្សែ a ជាកម្មសិទ្ធិរបស់យន្តហោះ α ដែរឬទេ។ មានលក្ខខណ្ឌគ្រប់គ្រាន់មួយបន្ថែមទៀត តាមរយៈមធ្យោបាយដែលភាពស្របគ្នាត្រូវបានបង្ហាញ។

សម្រាប់បន្ទាត់ត្រង់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ a ដោយប្រើសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នា A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0 ដោយ យន្តហោះ α - សមីការទូទៅយន្តហោះ A x + B y + C z + D = 0 ។

ទ្រឹស្តីបទ ៤

លក្ខខណ្ឌចាំបាច់ និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ a និងប្លង់ α គឺជាអវត្ដមាននៃដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ សមីការលីនេអ៊ែរដែលមានទម្រង់ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 ។

ភស្តុតាង

វាធ្វើតាមនិយមន័យដែលបន្ទាត់ a ជាមួយប្លង់ α មិនគួរមានចំណុចរួមទេ ពោលគឺពួកគេមិនគួរប្រសព្វគ្នាទេ មានតែក្នុងករណីនេះទេ ពួកវានឹងត្រូវបានចាត់ទុកថាស្របគ្នា។ នេះមានន័យថា ប្រព័ន្ធសំរបសំរួល O x y z មិនគួរមានចំនុចដែលជាកម្មសិទ្ធិរបស់វាទេ ហើយបំពេញសមីការទាំងអស់៖

A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ក៏ដូចជាសមីការនៃយន្តហោះ A x + B y + C z + ឃ = 0 ។

ដូច្នេះប្រព័ន្ធនៃសមីការដែលមានទម្រង់ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z ។ + D = 0 ត្រូវបានគេហៅថាមិនស៊ីសង្វាក់គ្នា។

ផ្ទុយពីនេះពិត៖ ប្រសិនបើគ្មានដំណោះស្រាយចំពោះប្រព័ន្ធ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 មិនមានចំណុចណាមួយនៅក្នុង O x y z ដែលពេញចិត្តទាំងអស់។ សមីការដែលបានផ្តល់ឱ្យក្នុងពេលដំណាលគ្នា។ យើងទទួលបានថាមិនមានចំណុចបែបនេះជាមួយនឹងកូអរដោនេដែលអាចជាដំណោះស្រាយនៃសមីការទាំងអស់ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 ។ និងសមីការ A x + B y + C z + D = 0 ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​យើង​មាន​បន្ទាត់​ប៉ារ៉ាឡែល​និង​យន្តហោះ ព្រោះ​ចំណុច​ប្រសព្វ​របស់​វា​មិន​មាន។

ប្រព័ន្ធសមីការ A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 មិនមាន ដំណោះស្រាយ នៅពេលដែលចំណាត់ថ្នាក់នៃម៉ាទ្រីសចម្បងគឺតិចជាងចំណាត់ថ្នាក់នៃលេខដែលបានពង្រីក។ នេះត្រូវបានផ្ទៀងផ្ទាត់ដោយទ្រឹស្តីបទ Kronecker-Capelli សម្រាប់ដោះស្រាយសមីការលីនេអ៊ែរ។ អ្នកអាចអនុវត្តវិធីសាស្ត្រ Gauss ដើម្បីកំណត់ភាពមិនស៊ីគ្នារបស់វា។

ឧទាហរណ៍ ៣

បង្ហាញថាបន្ទាត់ x − 1 = y + 2 − 1 = z 3 គឺស្របទៅនឹងប្លង់ 6 x − 5 y + 1 3 z − 2 3 = 0 ។

ដំណោះស្រាយ

សម្រាប់ដំណោះស្រាយ ឧទាហរណ៍នេះ។គួរតែផ្លាស់ទីពី សមីការ Canonicalដោយផ្ទាល់ទៅនឹងទម្រង់នៃសមីការនៃយន្តហោះប្រសព្វគ្នាពីរ។ តោះសរសេរដូចនេះ៖

x − 1 = y + 2 − 1 = z 3 ⇔ − 1 x = − 1 (y + 2) 3 x = − 1 z 3 (y + 2) = − 1 z ⇔ x − y − 2 = 0 3 x + z = 0

ដើម្បីបញ្ជាក់ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 ជាមួយនឹងយន្តហោះ 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 វាចាំបាច់ក្នុងការបំប្លែងសមីការទៅជាប្រព័ន្ធនៃ សមីការ x − y − 2 = 0 3 x + z = 0 6 x − 5 y + 1 3 z − 2 3 = 0 ។

យើងឃើញថាវាមិនអាចដោះស្រាយបាន ដូច្នេះយើងនឹងងាកទៅរកវិធីសាស្ត្រ Gauss ។

ដោយសរសេរសមីការ យើងទទួលបានថា 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .

ពីនេះយើងសន្និដ្ឋានថាប្រព័ន្ធនៃសមីការគឺមិនស៊ីសង្វាក់គ្នាទេព្រោះបន្ទាត់និងយន្តហោះមិនប្រសព្វគ្នា ពោលគឺពួកគេមិនមានចំណុចរួមទេ។

យើងសន្និដ្ឋានថាបន្ទាត់ x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 និងយន្តហោះ 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 គឺស្របគ្នាចាប់តាំងពីលក្ខខណ្ឌចាំបាច់និងគ្រប់គ្រាន់សម្រាប់ភាពស្របគ្នានៃ យន្តហោះដែលមានបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យត្រូវបានជួប។

ចម្លើយ៖បន្ទាត់និងយន្តហោះគឺស្របគ្នា។

ប្រសិនបើអ្នកសម្គាល់ឃើញមានកំហុសនៅក្នុងអត្ថបទ សូមបន្លិចវា ហើយចុច Ctrl+Enter

ផលវិបាកមួយចំនួននៃ axioms

ទ្រឹស្តីបទ ១៖

តាមរយៈបន្ទាត់មួយ និងចំណុចដែលមិនស្ថិតនៅលើវាឆ្លងកាត់យន្តហោះ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយប៉ុណ្ណោះ។.

បានផ្តល់ឱ្យ៖ M ₵ a

បញ្ជាក់៖ ១) មាន α: ក∈ α , М ∈ b ∈ α

2) αគឺតែមួយគត់

ភស្តុតាង៖

1) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់និង ជ្រើសរើសពិន្ទុ ទំនិង សំណួរបន្ទាប់មកយើងមាន 3 ពិន្ទុ - រ, សំណួរ, មដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។

2) យោងតាម ​​axiom A1 យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់ចំនុចបីដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ត្រង់មួយ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែចំនុចមួយប៉ុណ្ណោះ i.e. ប្លង់ α ដែលមានបន្ទាត់ a និងចំណុច ម, មាន។

3) ឥឡូវ​សូម​បញ្ជាក់​ថាα តែមួយគត់។ ឧបមាថាមានយន្តហោះ β ដែលឆ្លងកាត់ទាំងចំនុច M និងតាមរយៈបន្ទាត់ a ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកយន្តហោះនេះឆ្លងកាត់ចំនុចP, Q, M ។ហើយបន្ទាប់ពីបីពិន្ទុ P, Q, Mមិន​កុហក​ត្រង់​ត្រង់​មួយ​ទេ ដោយ​គុណធម៌​១ មាន​តែ​យន្តហោះ​មួយ​ប៉ុណ្ណោះ​ឆ្លង​កាត់ ។

4) ដូច្នេះ យន្តហោះនេះស្របគ្នានឹងយន្តហោះ α ។ដូច្នេះ ១) នៅលើបន្ទាត់ត្រង់ប៉ុន្តែជ្រើសរើសចំណុច ទំនិង សំណួរ. បន្ទាប់មកយើងមាន 3 ពិន្ទុ - P, Q, M,ដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់តែមួយ។ដូច្នេះ α គឺមានតែមួយគត់។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

1) នៅលើបន្ទាត់ b យកចំនុច N ដែលមិនស្របនឹងចំនុច M នោះគឺ N ∈ b, N≠M

2) បន្ទាប់មកយើងមានចំនុច N ដែលមិនមែនជារបស់បន្ទាត់ a ។ យោងតាមទ្រឹស្តីបទមុន យន្តហោះមួយឆ្លងកាត់បន្ទាត់មួយ ហើយចំនុចមិនស្ថិតនៅលើវាទេ។ ចូរហៅវាថាយន្តហោះ α ។ នេះ​មាន​ន័យ​ថា​យន្តហោះ​បែប​នេះ​ដែល​ឆ្លង​កាត់​ខ្សែ A ហើយ​ចំណុច N មាន។

3) ចូរយើងបង្ហាញពីភាពប្លែកនៃយន្តហោះនេះ។ ចូរសន្មតថាផ្ទុយ។ អនុញ្ញាតឱ្យមានយន្តហោះ β ដែលវាឆ្លងកាត់ទាំងបន្ទាត់ a និងបន្ទាត់ b ។ ប៉ុន្តែបន្ទាប់មកវាក៏ឆ្លងកាត់បន្ទាត់ a និងចំណុច N. ប៉ុន្តែដោយទ្រឹស្តីបទមុន យន្តហោះនេះមានតែមួយគត់ពោលគឺឧ។ យន្តហោះ β ស្របគ្នានឹងយន្តហោះ α ។

៤) ដូច្នេះ យើង​បាន​បង្ហាញ​ពី​អត្ថិភាព​នៃ​យន្តហោះ​ពិសេស​មួយ​ដែល​ឆ្លង​កាត់​ពីរ​ខ្សែ​ប្រសព្វ។

ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

ទ្រឹស្តីបទបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល

ទ្រឹស្តីបទ៖

តាមរយៈចំណុចណាមួយក្នុងលំហដែលមិនស្ថិតនៅលើបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យនោះ វាឆ្លងកាត់បន្ទាត់ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។

ផ្តល់ឱ្យ៖ ត្រង់ a, M₵ ក

បញ្ជាក់៖មានតែមួយដោយផ្ទាល់b ∥ a, M ∈ ខ

ភស្តុតាង៖
1) តាមរយៈបន្ទាត់ a និងចំណុច M ដែលមិនស្ថិតនៅលើវា គេអាចគូរប្លង់តែមួយបាន (ខ្សែទី 1)។ នៅក្នុងយន្តហោះ α មួយអាចគូសបន្ទាត់ b ស្របទៅនឹង a ឆ្លងកាត់ M ។
2) សូម​បញ្ជាក់​ថា​មាន​តែ​មួយ​គត់។ ចូរយើងសន្មតថាមានបន្ទាត់ c មួយទៀតឆ្លងកាត់ចំណុច M ហើយស្របនឹងបន្ទាត់ a ។ អនុញ្ញាតឱ្យបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល a និង c ស្ថិតនៅក្នុងប្លង់ β ។ បន្ទាប់មក β ឆ្លងកាត់ M និងបន្ទាត់ a ។ ប៉ុន្តែតាមរយៈបន្ទាត់ a និងចំណុច M ឆ្លងកាត់យន្តហោះ α ។
3) ដូច្នេះ α និង β ស្របគ្នា។ តាម axiom នៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល វាធ្វើតាមដែលបន្ទាត់ b និង c ស្របគ្នា ព្រោះមានបន្ទាត់ពិសេសមួយនៅក្នុងយន្តហោះឆ្លងកាត់។ ចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យនិងស្របទៅនឹងបន្ទាត់ដែលបានផ្តល់ឱ្យ។
ទ្រឹស្តីបទត្រូវបានបញ្ជាក់។

និយមន័យនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែល និងលក្ខណៈសម្បត្តិរបស់វានៅក្នុងលំហគឺដូចគ្នាទៅនឹងយន្តហោះដែរ (សូមមើលធាតុទី 11)។

ក្នុងពេលជាមួយគ្នានេះករណីមួយទៀតនៃការរៀបចំបន្ទាត់គឺអាចធ្វើទៅបានក្នុងលំហ - បន្ទាត់ skew ។ បន្ទាត់​ដែល​មិន​ប្រសព្វ​គ្នា ហើយ​មិន​ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ប្លង់​តែមួយ​ហៅ​ថា​បន្ទាត់​ប្រសព្វ។

រូបភាពទី 121 បង្ហាញពីប្លង់នៃបន្ទប់ទទួលភ្ញៀវ។ អ្នក​ឃើញ​ថា​បន្ទាត់​ដែល​ផ្នែក AB និង BC ជា​កម្មសិទ្ធិ​គឺ​ខុស។

មុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា គឺជាមុំរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វស្របនឹងពួកវា។ មុំ​នេះ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​បន្ទាត់​ប្រសព្វ​មួយ​ណា​ត្រូវ​បាន​គេ​យក​ទេ។

រង្វាស់ដឺក្រេនៃមុំរវាងបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលត្រូវបានសន្មត់ថាជាសូន្យ។

កាត់កែងធម្មតានៃបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាពីរគឺជាផ្នែកដែលមានចុងនៅលើបន្ទាត់ទាំងនេះ ដែលកាត់កែងទៅនឹងពួកវានីមួយៗ។ វាអាចត្រូវបានបង្ហាញថាបន្ទាត់ប្រសព្វពីរមានកាត់កែងធម្មតា ហើយលើសពីនេះទៅទៀតមានតែមួយ។ វាគឺជាការកាត់កែងធម្មតានៃយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលដែលឆ្លងកាត់បន្ទាត់ទាំងនេះ។

ចម្ងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នាគឺជាប្រវែងនៃកាត់កែងធម្មតារបស់ពួកគេ។ វាស្មើនឹងចម្ងាយរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលដែលឆ្លងកាត់ខ្សែទាំងនេះ។

ដូច្នេះ ដើម្បីស្វែងរកចំងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b (រូបភាព 122) ចាំបាច់ត្រូវគូរប្លង់ប៉ារ៉ាឡែល a និងកាត់តាមបន្ទាត់នីមួយៗ។ ចម្ងាយរវាងយន្តហោះទាំងនេះនឹងជាចំងាយរវាងបន្ទាត់ប្រសព្វ a និង b ។ នៅក្នុងរូបភាព 122 ចម្ងាយនេះគឺឧទាហរណ៍ ចម្ងាយ AB ។

ឧទាហរណ៍។ បន្ទាត់ a និង b គឺស្របគ្នា ហើយបន្ទាត់ c និង d ប្រសព្វគ្នា។ តើ​បន្ទាត់​នីមួយៗ​អាច a និង​ប្រសព្វ​បន្ទាត់​ទាំងពីរ​បាន​ដែរ​ឬទេ?

ដំណោះស្រាយ។ បន្ទាត់ a និង b ស្ថិត​នៅ​ក្នុង​ប្លង់​តែមួយ ហើយ​ដូច្នេះ​ខ្សែ​ណា​មួយ​ដែល​ប្រសព្វ​ពួកវា​នីមួយៗ​ស្ថិត​ក្នុង​ប្លង់​តែមួយ។ ដូច្នេះប្រសិនបើបន្ទាត់នីមួយៗ a, b ប្រសព្វគ្នារវាងបន្ទាត់ c និង d នោះបន្ទាត់នឹងស្ថិតនៅក្នុងប្លង់តែមួយជាមួយបន្ទាត់ a និង b ហើយនេះមិនអាចទេព្រោះបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា។

42. ភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ត្រង់និងយន្តហោះ។

បន្ទាត់ និង​យន្តហោះ​ត្រូវ​បាន​គេ​ហៅ​ថា​ប៉ារ៉ាឡែល ប្រសិន​បើ​ពួក​វា​មិន​ប្រសព្វ​គ្នា នោះ​គឺ​វា​មិន​មាន​ចំណុច​រួម​ទេ។ ប្រសិនបើបន្ទាត់ a ស្របទៅនឹងយន្តហោះ a នោះគេសរសេរថា ៖ ។

រូបភាពទី 123 បង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់មួយស្របទៅនឹងយន្តហោះ ក។

ប្រសិនបើបន្ទាត់ដែលមិនមែនជារបស់យន្តហោះគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ខ្លះនៅក្នុងយន្តហោះនេះ នោះវាក៏ស្របទៅនឹងយន្តហោះខ្លួនឯងដែរ (សញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃបន្ទាត់ និងយន្តហោះ)។

ទ្រឹស្តីបទនេះអនុញ្ញាត ស្ថានភាពជាក់លាក់បញ្ជាក់​ថា​បន្ទាត់​មួយ​និង​យន្តហោះ​ស្រប​គ្នា។ រូបភាពទី 124 បង្ហាញពីបន្ទាត់ត្រង់ b ស្របទៅនឹងបន្ទាត់ត្រង់មួយ ដេកនៅក្នុងយន្តហោះ a, ពោលគឺ តាមបណ្តោយបន្ទាត់ត្រង់ b ស្របទៅនឹងយន្តហោះ a, i.e.

ឧទាហរណ៍។ តាមរយៈកំពូល មុំខាងស្តាំពីចតុកោណ ត្រីកោណ ABCយន្តហោះមួយត្រូវបានគូរស្របទៅនឹងអ៊ីប៉ូតេនុសនៅចម្ងាយ 10 សង់ទីម៉ែត្រពីវា។ ការព្យាករណ៍នៃជើងនៅលើយន្តហោះនេះគឺ 30 និង 50 សង់ទីម៉ែត្រ។ ស្វែងរកការព្យាករណ៍នៃអ៊ីប៉ូតេនុសនៅលើយន្តហោះដូចគ្នា។

ដំណោះស្រាយ។ ពីត្រីកោណខាងស្តាំ BBVC និង (រូបភាព 125) យើងរកឃើញ៖

ពីត្រីកោណ ABC យើងរកឃើញ៖

ការព្យាករណ៍នៃអ៊ីប៉ូតេនុស AB នៅលើយន្តហោះ a គឺ . ចាប់តាំងពី AB ស្របទៅនឹងយន្តហោះ a, ដូច្នេះ, ។

43. យន្តហោះប៉ារ៉ាឡែល។

យន្តហោះពីរត្រូវបានគេហៅថាប៉ារ៉ាឡែល។ ប្រសិនបើពួកគេមិនប្រសព្វគ្នា។

យន្តហោះពីរគឺស្របគ្នា" ប្រសិនបើមួយក្នុងចំណោមពួកវាគឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វពីរដែលស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះមួយទៀត (សញ្ញានៃភាពស្របគ្នានៃយន្តហោះពីរ)។

នៅក្នុងរូបភាពទី 126 យន្តហោះ a គឺស្របទៅនឹងបន្ទាត់ប្រសព្វគ្នា a និង b ស្ថិតនៅក្នុងយន្តហោះ បន្ទាប់មកតាមបណ្តោយយន្តហោះទាំងនេះគឺស្របគ្នា។

តាមរយៈចំណុចមួយនៅខាងក្រៅយន្តហោះដែលបានផ្តល់ឱ្យ មនុស្សម្នាក់អាចគូរប្លង់ស្របទៅនឹងចំណុចដែលបានផ្តល់ឱ្យ ហើយលើសពីនេះទៅទៀត មានតែមួយ។

ប្រសិនបើប្លង់ប៉ារ៉ាឡែលពីរប្រសព្វគ្នាជាមួយទីបី នោះបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វគឺស្របគ្នា។

រូបភាពទី 127 បង្ហាញប្លង់ស្របគ្នាពីរ ហើយយន្តហោះ y កាត់ពួកវាតាមបន្ទាត់ត្រង់ a និង b ។ បន្ទាប់មក តាមទ្រឹស្តីបទ ២.៧ យើងអាចអះអាងថា បន្ទាត់ a និង b គឺស្របគ្នា។

ផ្នែកនៃបន្ទាត់ប៉ារ៉ាឡែលដែលរុំព័ទ្ធរវាងយន្តហោះប៉ារ៉ាឡែលពីរគឺស្មើគ្នា។

យោងតាម ​​T.2.8 ផ្នែក AB និងបង្ហាញក្នុងរូបភាព 128 គឺស្មើគ្នា ចាប់តាំងពី

អនុញ្ញាតឱ្យយន្តហោះទាំងនេះប្រសព្វគ្នា។ គូរប្លង់កាត់កែងទៅនឹងបន្ទាត់នៃចំនុចប្រសព្វរបស់ពួកគេ។ វាកាត់ប្លង់ទាំងនេះតាមបន្ទាត់ត្រង់ពីរ។ មុំរវាងបន្ទាត់ទាំងនេះត្រូវបានគេហៅថាមុំរវាងយន្តហោះទាំងនេះ (រូបភាព 129) ។ មុំ​រវាង​យន្តហោះ​ដែល​កំណត់​តាម​វិធី​នេះ​មិន​អាស្រ័យ​លើ​ជម្រើស​នៃ​យន្តហោះ​ដែល​ស្ថិត​នៅ​ក្រោម​នោះ​ទេ។