Se I = f0g, então F = R.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Se I = f0g, então F = R.

Se a dimensão subespaços I igual a 1, então F = C.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Se I = f0g, então F = R.

Se a dimensão subespaços Ié igual a 1, então F = C. Seja a dimensão subespaços I mais de 1.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

espaços I. Seja i = p1u. Então

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome linearmente sistema independente vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =
i2 =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

u2 (u2) =

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

u 2 (u2 ) = 1:

i2 = p1 u 2 u

p 1 u 2 u =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i = p1u. Então i2 = 1:

Por na soma i v = + x, onde 2 R, x 2 I.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =										você. Então i2 = 1:
			Lema sobre a decomposição de elementos de F
			i v = + x, onde				2R, x 2I. De acordo com
					(i + v) 2 I , em		em particular, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =										você. Então i2 = 1:
			Lema sobre a decomposição de elementos de F
			i v = + x, onde				2R, x 2I. De acordo com
					(i + v) 2 I , em		em particular, (i + v)2< 0.
			(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

Lema sobre a decomposição de elementos de F

i v = + x, onde

2R, x 2I.

De acordo com

(i + v) 2 I ,

em particular, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

Lema sobre a decomposição de elementos de F

i v = + x, onde

2R, x 2I.

De acordo com

(i + v) 2 I ,

em particular, (i + v)2< 0.

(i+v)2

(i+v)!

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =								você. Então i2 = 1:
					sobre decomposição				elementos de
				i v = + x, onde					2R, x 2I.
					(eu + v). Temos j2 = 1,
		(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

sobre decomposição

elementos de

i v = + x, onde

2R, x 2I.

(i1 + v). Temos j2 = 1,

(i+v)2

eu j = eu

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

sobre decomposição de elementos

i v = + x, onde

x 2 Eu.

(i1 + v). Temos j2 = 1,

(i+v)2

eu j = eu

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

sobre decomposição

elementos

i v = + x, onde

x 2 Eu.

(i1 + v). Temos j2 = 1,

(i+v)2

eu j = eu

(i+v)2

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =

você. Então i2 = 1:

sobre decomposição

elementos

i v = + x, onde

x 2 Eu.

(i1 + v). Temos j2 = 1,

(i+v)2

eu j = eu

(i+v)2

(i+v)2

x 2 Eu:

(i+v)2

(i+v)2

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =								você. Então i2 = 1:
					sobre decomposição				elementos de
				i v = + x, onde					2R, x 2I.

(i+v)2

Meios, ,

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =								você. Então i2 = 1:
					sobre decomposição				elementos de
				i v = + x, onde					2R, x 2I.
					(eu + v). Temos j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2

I + j + i j ; ; ; 2R

corpo quaternário.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Deixe a dimensão subespaços I mais de 1.

Tome um sistema linearmente independente de vetores fu; vg linear

espaços I. Seja i =								você. Então i2 = 1:
					sobre decomposição				elementos de
				i v = + x, onde					2R, x 2I.
					(eu + v). Temos j2 = 1, i j 2I :
		(i+v)2
Assim, pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F ,

I + j + i j ; ; ; 2R

corpo quaternário.

Assim, se espaço linear I tem dimensão 3, então F é um corpo de quatérnios.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

subespaços I mais de 3.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I

Vamos levar Linearmente independente

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

							x; y; z2I:

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

							x; y; z2I:

Em virtude de lemas do subespaço I t = m + i + j + k 2I . A partir de independência linear sistemas de vetores fi; j; k; mg próximo-

sopra que t 6 = 0.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

							x; y; z2I:

lema do subespaço I

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

							x; y; z2I:

Está provado que 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema do subespaço I

i t = i m + k j =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

							x; y; z2I:

Está provado que 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema do subespaço I

i t = i m + k j = x + k j

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

							x; y; z2I:

Está provado que 0 6= t = m + i + j + k 2 I . De lema do subespaço I

i t = i m + k j = x + k j 2 I:

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

Da mesma forma, podemos provar que j t 2 I, k t 2 I.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Em virtude do lema da decomposição de elementos de F em uma soma

											x; y; z2I:
Provou que			0 6 = t = m + i + j + k 2 I . Polemma sobre subpro-
espaço eu			i t 2 I, j t 2 I,
Colocamos n =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

N i j = i n j =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

N k = n i j = i n j =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; k n = n k: k n = n k = n i j = i n j =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) =

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

VII.6. Prova Teoremas de Frobenius

Resta considerar o caso em que a dimensão subespaços I maior que 3. Provamos que então F inclui o campo oblíquo dos quatérnions.

Vamos levar Linearmente independente um sistema de vetores fi; j; k; mg, onde i2 = j2 = k2 = 1, i j = j i = k, j k = k j = i, k i = i k = j.

Encontramos n 2 I tal que n2 = 1, 0 6= i n 2 I, 0 6= j n 2 I,

Pelo lema da incorporação do campo oblíquo de quatérnions em F

i n = ni; jn = nj; kn = nk:

k n = n k = n i j = i n j = i (j n) = k n:

Portanto, 2k n = 0, uma contradição.

VII. Teorema de Frobenius

Teorema 2. Seja F um corpo , e R F ,

9i1; i2; : : : ; dentro		9 0 ;1 ;2 ; : : : ;n 2 R
z = 0 +1 i1 +2 i2 + : : : +n em:

Então F é R, ou C, ou o corpo dos quatérnions.

O teorema foi provado.

Atenção!

o email: [e-mail protegido]; [e-mail protegido]

sites: http://melnikov.k66.ru; http://melnikov.web.ur.ru

Teorema. Qualquer álgebra linear alternativa sobre um corpo numeros reais com divisão é normalizado álgebra Linear.

Seja uma álgebra de divisão linear alternativa sobre o corpo de números reais R. Vamos introduzir a operação de conjugação em A da seguinte forma: se o elemento a de A é proporcional a 1, então a = a; se a não é proporcional a 1, então está contido na subálgebra complexa. Nesta subálgebra, para o elemento a, existe um elemento conjugado a, que tomaremos como o elemento conjugado a a na álgebra.

Segue diretamente da definição de a que = a e também =ka, onde k R.

Seja a A não proporcional a 1. Considere uma subálgebra quaternion (K, +, . R , .) contendo a. Nesta subálgebra, para a A, existe também um elemento conjugado a. Vamos mostrar que a coincide com a.

Os elementos a e a, como conjugados em álgebra complexa, satisfazem as condições:

a+a = 2a* 1, onde a R, (14)

a* a = d*1, onde d R. (15)

Os elementos a e a, como conjugados na álgebra quaternion, satisfazem as condições:

a + a \u003d 2a 1 * 1, onde a 1 R, (14 ")

a * a = d 1 * 1, onde d 1 R. (15 /)

Subtraia de (14) e (15) respectivamente (14 /) e (15"). Então:

a - a = 2(a - a1)*1.

a (a - a) = (d- d 1)* 1 2(a - a 1)a*1.= (d-d 1)* 1.

a(a - a), então a = *1,

Essa. e é proporcional a 1, o que contradiz a suposição.

Portanto, segue-se que o elemento conjugado a a é o mesmo, quer consideremos a como um elemento de uma subálgebra complexa ou como um elemento de uma subálgebra quaternion de uma álgebra.

Da mesma forma |a| 2 = aa tanto no caso da subálgebra complexa quanto no caso da subálgebra quaternion da álgebra, de modo que o módulo do elemento a A não depende de se considerá-lo como um elemento da subálgebra complexa ou quaternion de a álgebra.

Então para qualquer a, b A as igualdades são verdadeiras:

A+ e = a*. (dezesseis)

Se a e b pertencem à mesma subálgebra complexa da álgebra, então as igualdades (16) são propriedades, conjugações nesta subálgebra. Se eles pertencem a diferentes subálgebras complexas, então eles serão válidos como propriedades de conjugação na subálgebra quaterniônica da álgebra.

De = b e da segunda igualdade (16) segue que = ba, de onde

a + ba = c* 1, onde c R.

Em (A, +, . R , .) definimos o produto escalar (a, b) como

a + ba = 2(a, b) * 1.

Vamos mostrar que (a, b) satisfaz todas as propriedades produto escalar:

1) (a, a) > 0 para a? 0 e (0, 0) = 0.

De fato,

(a, a) * 1 = (aa + aa) = aa = |a|* 1,

e o módulo de um número complexo, como o módulo de um quatérnion, é estritamente positivo para a? 0 e igual a 0 para a = 0.

2) (a, b) = (b. a), uma vez que

a + ba = 2(a, b)* 1, ba + a = 2(b, a)* 1,

a + ba = ba + a, então (a, b) = (b, a).

3) (a, kb) = k(a, b) para k R.

Sério,

(a, kb) = (a() + kba) = (a(k) + kba) = k(a + ba) = k(a, b).

4) (a, b 1 + b 2) = (a, b 1) + (a, b 2)

segue da definição do produto escalar e da primeira igualdade em (16).

De (a,a) = |a| 2 1 que = |a|, ou seja, a norma do elemento a A coincide com o módulo a do número complexo e do quaternion.

Como quaisquer dois elementos a e b da álgebra pertencem a uma subálgebra complexa ou a um quatérnion, então

|ab| 2 = |a| 2 |b| 2 (ab, ab) = (a, a)(b, b).

Portanto, todas as propriedades do produto interno para (a, b) são satisfeitas. Isso implica que a álgebra é uma álgebra linear normalizada.

Teorema de Frobenius generalizado. Qualquer álgebra linear alternativa sobre o corpo dos números reais com divisão e unidade é isomórfica a uma das quatro álgebras: o corpo dos números reais, o corpo dos números complexos, o campo oblíquo dos quatérnios ou a álgebra das oitavas.

Uma vez que, como comprovado em teorema anterior Se uma álgebra linear alternativa sobre o corpo dos números reais com divisão e unidade é uma álgebra linear normalizada, e esta última, pelo teorema de Hurwitz, é isomórfica ao corpo dos números reais, ou ao corpo dos números complexos, ou a o campo oblíquo de quatérnions, ou para a álgebra de oitavas, então a afirmação do teorema segue disso.

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  Let Ser um corpo contendo um corpo como um subcorpo R (\displaystyle \mathbb (R) ) números reais, e duas condições são satisfeitas:

  Em outras palavras, L (\displaystyle \mathbb (L) )é uma álgebra de divisão de dimensão finita sobre o corpo de números reais.

  O teorema de Frobenius afirma que qualquer corpo L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Observe que o teorema de Frobenius se aplica apenas a extensões de dimensão finita R (\displaystyle \mathbb (R) ). Por exemplo, não abrange o campo de números hiper-reais de análise não padronizada, que também é uma extensão R (\displaystyle \mathbb (R) ), mas não de dimensão finita. Outro exemplo é a álgebra de funções racionais.

  Consequências e observações

  As três últimas declarações formam o chamado teorema generalizado Frobenius.

  Álgebras de divisão sobre o corpo de números complexos

  Álgebra de dimensão n sobre o corpo dos números complexos é uma álgebra de dimensão 2n acima de R (\displaystyle \mathbb (R) ). O corpo quaternion não é uma álgebra sobre um corpo C (\displaystyle \mathbb (C) ), já que o centro H (\displaystyle \mathbb (H) )é um espaço real unidimensional. Portanto, a única álgebra de divisão de dimensão finita sobre C (\displaystyle \mathbb (C) )é álgebra C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Hipótese de Frobenius

  O teorema contém a condição de associatividade. O que acontece se você recusar esta condição? A conjectura de Frobenius afirma que mesmo sem a condição de associatividade para n diferente de 1, 2, 4, 8, em espaço linear R n não se pode definir a estrutura de uma álgebra de divisão. A hipótese de Frobenius foi comprovada na década de 60. Século XX.

  Se em n>1 no espaço R n multiplicação bilinear sem divisores de zero é definida, então na esfera S n-1 existe n-1 campos vetoriais linearmente independentes. A partir dos resultados obtidos por Adams sobre o número campos vetoriais na esfera, segue que isso só é possível para esferas S 1 , S 3 , S 7. Isso prova a conjectura de Frobenius.

  Veja também

  Literatura

  • Bakhturin Yu. A. Estruturas básicas da álgebra moderna. - M. : Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A. G. Palestras sobre geral álgebra. 2ª edição. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L. S. Generalizações de números. - M. : Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca "Quantum", edição 54).

  Contando conjuntos
  Numeros reais e suas extensões
  Ferramentas de extensão sistemas numéricos
  Hierarquia de números	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  É óbvio que se, então para. Além disso, mostraremos que para p suficientemente grande

  Lema nº 1. Se a matriz é não negativa e irredutível, então

  Prova:

  Se tomarmos um vetor arbitrário e, então. E deixe o vetor ocorrer, é óbvio que Z tem pelo menos o mesmo número de zero elementos positivos que y. De fato, se assumirmos que Z tem menos componentes zero, denotamos, então, e dividindo a matriz A em blocos como segue

  

  nós teremos

  

  Dado que, então, obtemos isso, o que contradiz a irredutibilidade da matriz

  Para o próximo vetor, repetimos o raciocínio e assim sucessivamente. Como resultado, obtemos que para algum vetor diferente de zero y

  

  Para uma matriz irredutível A diferente de zero, considere função real r(x) definido para vetores diferentes de zero como segue: , (Ax) i - i-ésima coordenada vetor ah

  Segue da definição que, além disso, r(x) é menor valor, que

  É óbvio que r(x) é invariante em relação à substituição de x por, então no que se segue podemos considerar um conjunto fechado tal como

  

  No entanto, r(x) pode ter descontinuidades em pontos onde a coordenada x se torna 0, então considere um conjunto de vetores e denote. Pelo Lema 1, todo vetor em N será positivo e, portanto,

  Denotado por maior número, para qual, . - raio espectral da matriz A. Se puder ser mostrado que existe um vetor y tal que

  Comente. Pode haver outros vetores em L para os quais r(x) assume o valor r, então qualquer vetor desse tipo é chamado de extremal para a matriz A (Az = rz)

  O interesse no número r é explicado pelo seguinte resultado

  Lema nº 2. Se a matriz for não negativa e irredutível, então o número é um autovalor da matriz A, além disso, cada vetor extremal para A é positivo e é o autovetor certo para A correspondente ao autovalor r

  O resultado principal é o teorema de Frobenius-Peron para matrizes contínuas

  O teorema de Frobenius-Peron. Se a matriz for não negativa e irredutível, então:

  A tem um autovalor positivo igual ao raio espectral da matriz A;

  existe um direito positivo autovetor correspondente ao autovalor r.

  o autovalor tem multiplicidade algébrica igual a 1.

  Teorema de Perón (corolário). Positivo matriz quadrada A tem um autovalor r positivo e real, que tem multiplicidade algébrica 1 e excede os módulos de todos os outros autovalores matriz A. Este r corresponde a um autovetor positivo

  Usando o teorema de Frobenius-Peron, pode-se encontrar o valor real máximo de uma matriz sem usar o polinômio característico da matriz.

  Consequências e observações

  • Este teorema está intimamente relacionado com o teorema de Hurwitz sobre álgebras reais normalizadas. Álgebras de divisão normatizadas - apenas $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ e álgebra (não associativa) de números de Cayley.
  • Ao expandir o sistema de números complexos, inevitavelmente perdemos alguns propriedades aritméticas: comutatividade (quatérnios), associatividade (álgebra de Cayley), etc.
  • Não há análogo do sistema quaternion com duas (em vez de três) unidades quaternion.
  • Campos $\backslash mathbb\; R$ e $\backslash mathbb\; C$ são as únicas álgebras associativas e comutativas reais de dimensão finita sem divisores de zero.
  • Corpo Quaternion $\backslash mathbb\; H$é a única álgebra associativa real mas não comutativa de dimensão finita sem divisores de zero.
  • A álgebra de Cayley é a única álgebra não associativa real de dimensão finita sem divisores de zero.

  As três últimas declarações formam o chamado Teorema de Frobenius generalizado.

  Álgebras de divisão sobre o corpo de números complexos

  Álgebra de dimensão n sobre o campo $\backslash mathbb\; C$ números complexos é uma álgebra de dimensão 2n acima de $\backslash mathbb\; R$. Corpo Quaternion $\backslash mathbb\; H$ não é uma álgebra sobre um corpo $\backslash mathbb\; C$, já que o centro $\backslash mathbb\; H$é um espaço real unidimensional. Portanto, a única álgebra de divisão de dimensão finita sobre $\backslash mathbb\; C$é álgebra $\backslash mathbb\; C$.

  Hipótese de Frobenius

  O teorema contém a condição de associatividade. O que acontece se você recusar esta condição? A conjectura de Frobenius afirma que mesmo sem a condição de associatividade para n diferente de 1, 2, 4, 8, em um espaço linear real R n não se pode definir a estrutura de uma álgebra de divisão. A hipótese de Frobenius foi comprovada na década de 60. Século XX.

  Se em n>1 no espaço R n multiplicação bilinear sem divisores de zero é definida, então na esfera S n-1 existe n-1 campos vetoriais linearmente independentes. A partir dos resultados obtidos por Adams sobre o número campos vetoriais na esfera, segue que isso só é possível para esferas S 1 , S 3 , S 7. Isso prova a conjectura de Frobenius.

  Veja também

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  Literatura

  • Bakhturin Yu. A. Estruturas básicas da álgebra moderna. - M.: Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A.G.. - M.: Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L. S.. - M.: Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca "Quantum", edição 54).

  Contando conjuntos

  ) Períodos Aritmética Computável |header2= Números reais
  e suas extensões |header3= Ferramentas de extensão
  sistemas numéricos |heading4= Hierarquia de números |list4=

  $-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Números inteiros $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Números racionais $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Numeros reais

  $-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

  Números complexos

  $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; pontos$ Octônio $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash pontos,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash pontos$ sedenions |título5= Outros
  sistemas numéricos

  |list5=Números cardinais Números ordinais (transfinitos, ordinais) p-ádicos Números sobrenaturais Tudo está disperso. Tio tirou Natasha do cavalo e a levou pela mão até os degraus da varanda. Na casa, não rebocada, com paredes de madeira, não estava muito limpa - não estava claro que o objetivo das pessoas que moravam era que não houvesse manchas, mas não houvesse negligência perceptível.
  O corredor cheirava a maçãs frescas, e peles de lobo e raposa pendiam. O tio conduziu seus convidados pelo saguão da frente para uma pequena sala com uma mesa dobrável e cadeiras vermelhas, depois para uma sala de estar com uma bétula. mesa redonda e um sofá, depois em um escritório com um sofá esfarrapado, um tapete gasto e com retratos de Suvorov, o pai e a mãe do proprietário, e ele mesmo em uniforme militar. Havia um forte cheiro de tabaco e cachorros no escritório. No escritório, o tio pediu aos convidados que se sentassem e se sentissem em casa, e ele foi embora. O rabugento, com as costas sujas, entrou no escritório e deitou-se no sofá, limpando-se com a língua e os dentes. Do escritório havia um corredor no qual se viam telas com cortinas rasgadas. Risos e sussurros de mulheres podiam ser ouvidos por trás das telas. Natasha, Nikolai e Petya se despiram e se sentaram no sofá. Petya apoiou-se em seu braço e imediatamente adormeceu; Natasha e Nikolai ficaram em silêncio. Seus rostos estavam em chamas, eles estavam com muita fome e muito alegres. Eles se entreolharam (depois da caçada, na sala, Nikolai não considerou mais necessário mostrar sua superioridade masculina em relação à irmã); Natasha piscou para o irmão, e ambos não se seguraram por muito tempo e riram alto, não tendo tempo de pensar em uma desculpa para a risada.
  Um pouco mais tarde, meu tio entrou vestindo um casaco cossaco, calça azul e botas pequenas. E Natasha sentiu que esse mesmo terno, no qual ela viu seu tio em Otradnoye com surpresa e zombaria, era um terno real, que não era pior do que sobrecasaca e fraque. O tio também estava alegre; não só ele não se ofendeu com o riso de seu irmão e irmã (não poderia ter entrado em sua cabeça que eles pudessem rir de sua vida), mas ele mesmo se juntou ao riso sem causa.
  "É assim que a jovem condessa é - uma marcha limpa - não vi outra igual!" - disse ele, dando um cachimbo com um longo chibouk para Rostov, e colocando o outro curto, chibouk cortado gesto familiar entre três dedos.
  - Saí por um dia, embora o homem estivesse na hora e como se nada tivesse acontecido!
  Logo depois do tio, ela abriu a porta, obviamente uma menina descalça pelo som de seus pés, e pela porta com uma grande bandeja nas mãos veio um gordo, corado, mulher bonita 40 anos, queixo duplo e lábios carnudos e corados. Ela, com representatividade hospitaleira e atratividade em seus olhos e em cada movimento, olhou para os convidados e curvou-se respeitosamente para eles com um sorriso afetuoso. Apesar da espessura de mais do que o habitual, forçando-a a colocar o peito e a barriga para frente e manter a cabeça para trás, essa mulher (a governanta do tio) deu um passo extremamente leve. Ela caminhou até a mesa, colocou a bandeja e com suas mãos brancas e gordinhas habilmente removeu e arrumou garrafas, salgadinhos e guloseimas na mesa. Tendo terminado isso, ela se afastou e ficou na porta com um sorriso no rosto. “Aqui está ela e eu! Você entende seu tio agora? sua aparência disse a Rostov. Como não entender: não apenas Rostov, mas também Natasha entenderam o tio e o significado das sobrancelhas franzidas e o sorriso feliz e satisfeito que enrugou um pouco os lábios quando Anisya Fyodorovna entrou. Na bandeja havia ervanário, licores, cogumelos, bolos de farinha preta em yurag, favo de mel, mel fervido e efervescente, maçãs, nozes cruas e torradas e nozes em mel. Então Anisya Fyodorovna trouxe geléia com mel e açúcar, presunto e frango, fritos na hora.
  Tudo isso era a casa, a coleção e a geléia de Anisya Fyodorovna. Tudo isso cheirava e ressoava e tinha o sabor de Anisya Fyodorovna. Tudo ressoava com suculência, pureza, brancura e um sorriso agradável.
  “Coma, jovem condessa,” ela continuou dizendo, dando a Natasha uma coisa, depois outra. Natasha comeu de tudo, e parecia-lhe que nunca tinha visto ou comido bolos assim no yuraga, com aquele buquê de geléias, nozes com mel e aquele frango. Anisya Fiodorovna saiu. Rostov e seu tio, lavando o jantar com licor de cereja, conversaram sobre caças passadas e futuras, sobre Rugai e os cães Ilaginsky. Natasha, com olhos brilhantes, sentou-se no sofá, ouvindo-os. Várias vezes ela tentou acordar Petya para lhe dar algo para comer, mas ele disse algo incompreensível, obviamente não acordando. Natasha estava tão alegre no coração, tão feliz neste novo ambiente para ela, que ela só estava com medo de que o droshky viesse buscá-la cedo demais. Depois de um silêncio acidental, como quase sempre acontece com as pessoas que se conhecem pela primeira vez em sua casa, o tio disse, respondendo ao pensamento que seus convidados tinham:
  "Então, estou vivendo minha vida... Se você morrer, é uma marcha pura - nada restará." Que pecado então!
  O rosto do tio era muito significativo e até bonito quando ele disse isso. Ao mesmo tempo, Rostov lembrou-se involuntariamente de tudo o que ouvira de seu pai e vizinhos sobre seu tio. Meu tio tinha fama em toda a vizinhança da província como o excêntrico mais nobre e desinteressado. Ele foi chamado para julgar casos de família, foi feito testamenteiro, segredos foram confiados a ele, foi eleito juiz e outros cargos, mas de serviço público ele recusou teimosamente, passando o outono e a primavera nos campos em seu cavalo castrado marrom, sentado em casa no inverno, deitado em seu jardim coberto de mato no verão.