Consequências e observações

• Este teorema está intimamente relacionado com o teorema de Hurwitz sobre álgebras reais normalizadas. Álgebras de divisão normatizadas - apenas $\backslash mathbb\; R,\; \backslash mathbb\; C,\; \backslash mathbb\; H$ e álgebra (não associativa) de números de Cayley.
• Ao expandir o sistema números complexos inevitavelmente perdemos alguns propriedades aritméticas: comutatividade (quatérnios), associatividade (álgebra de Cayley), etc.
• Não há análogo do sistema quaternion com duas (em vez de três) unidades quaternion.
• Campos $\backslash mathbb\; R$ e $\backslash mathbb\; C$ são as únicas álgebras associativas e comutativas reais de dimensão finita sem divisores de zero.
• Corpo Quaternion $\backslash mathbb\; H$é a única álgebra associativa real mas não comutativa de dimensão finita sem divisores de zero.
• A álgebra de Cayley é a única álgebra não associativa real de dimensão finita sem divisores de zero.

As três últimas declarações formam o chamado teorema generalizado Frobenius.

Álgebras de divisão sobre o corpo de números complexos

Álgebra de dimensão n sobre o campo $\backslash mathbb\; C$ números complexos é uma álgebra de dimensão 2n acima de $\backslash mathbb\; R$. Corpo Quaternion $\backslash mathbb\; H$ não é uma álgebra sobre um corpo $\backslash mathbb\; C$, já que o centro $\backslash mathbb\; H$é um espaço real unidimensional. Portanto, a única álgebra de divisão de dimensão finita sobre $\backslash mathbb\; C$é álgebra $\backslash mathbb\; C$.

Hipótese de Frobenius

O teorema contém a condição de associatividade. O que acontece se você recusar esta condição? A conjectura de Frobenius afirma que mesmo sem a condição de associatividade para n diferente de 1, 2, 4, 8, em espaço linear R n não se pode definir a estrutura de uma álgebra de divisão. A hipótese de Frobenius foi comprovada na década de 60. Século XX.

Se em n>1 no espaço R n multiplicação bilinear sem divisores de zero é definida, então na esfera S n-1 existe n-1 campos vetoriais linearmente independentes. A partir dos resultados obtidos por Adams sobre o número campos vetoriais na esfera, segue que isso só é possível para esferas S 1 , S 3 , S 7. Isso prova a conjectura de Frobenius.

Veja também

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Literatura

• Bakhturin Yu. A. Estruturas básicas da álgebra moderna. - M.: Nauka, 1990. - 320 p.
• Kurosh A.G.. - M.: Nauka, 1973. - 400 p.
• Pontryagin L. S.. - M.: Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca "Quantum", edição 54).

Contando conjuntos

) Períodos Aritmética Computável |header2= Números reais
e suas extensões |header3= Ferramentas de extensão
sistemas numéricos |heading4= Hierarquia de números |list4=

$-1,\backslash ;0,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ldots$ Números inteiros $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(2)(3),\backslash ;\backslash ldots$ Números racionais $-1,\backslash ;1,\backslash ;\backslash ;0(,)12,\backslash frac(1)(2),\backslash ;\backslash pi,\backslash ;\backslash sqrt(2),\backslash ;\backslash ldots$ Numeros reais

$-1,\backslash ;\backslash frac(1)(2),\backslash ;0(,)12,\backslash ;\backslash pi,\backslash ;3i+2,\backslash ;e^(i\backslash pi/3),\backslash ;\backslash ldots$

Números complexos

$1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;2i\; +\; \backslash pi\; j-\backslash frac(1)(2)k,\backslash ;\backslash dots$ Quaternions $1,\backslash ;i,\backslash ;j,\backslash ;k,\backslash ;l,\backslash ;m,\backslash ;n,\backslash ;o,\backslash ;2\; -\; 5l\; +\; \backslash frac(\backslash pi)(3)m,\backslash ;\backslash \; pontos$ Octônio $1,\backslash ;e\_1,\backslash ;e\_2,\backslash ;\backslash pontos,\backslash ;e\_(15),\backslash ;7e\_2\; +\; \backslash frac(2)(5)e\_7\; -\; \backslash frac(1)(3)e\_(15),\backslash \; ;\backslash pontos$ sedenions |título5= Outros
sistemas numéricos

|list5=Números cardinais Números ordinais (transfinitos, ordinais) p-ádicos Números sobrenaturais Tudo está disperso. Tio tirou Natasha do cavalo e a levou pela mão até os degraus da varanda. Na casa, não rebocada, com paredes de madeira, não estava muito limpa - não estava claro que o objetivo das pessoas que moravam era que não houvesse manchas, mas não houvesse negligência perceptível.
O corredor cheirava a maçãs frescas, e peles de lobo e raposa pendiam. O tio conduziu seus convidados pelo saguão da frente até um pequeno salão com uma mesa dobrável e cadeiras vermelhas, depois para uma sala de estar com uma bétula mesa redonda e um sofá, depois em um escritório com um sofá esfarrapado, um tapete gasto e com retratos de Suvorov, o pai e a mãe do proprietário, e ele mesmo em uniforme militar. Havia um forte cheiro de tabaco e cachorros no escritório. No escritório, o tio pediu aos convidados que se sentassem e se sentissem em casa, e ele foi embora. O rabugento, com as costas sujas, entrou no escritório e deitou-se no sofá, limpando-se com a língua e os dentes. Do escritório havia um corredor no qual se viam telas com cortinas rasgadas. Risos e sussurros de mulheres podiam ser ouvidos por trás das telas. Natasha, Nikolai e Petya se despiram e se sentaram no sofá. Petya apoiou-se em seu braço e imediatamente adormeceu; Natasha e Nikolai ficaram em silêncio. Seus rostos estavam em chamas, eles estavam com muita fome e muito alegres. Eles se entreolharam (depois da caçada, na sala, Nikolai não considerou mais necessário mostrar sua superioridade masculina em relação à irmã); Natasha piscou para o irmão, e ambos não se seguraram por muito tempo e caíram na gargalhada, sem ainda ter tido tempo de pensar em uma desculpa para a risada.
Um pouco mais tarde, meu tio entrou vestindo um casaco cossaco, calça azul e botas pequenas. E Natasha sentiu que esse mesmo terno, no qual ela viu seu tio em Otradnoye com surpresa e zombaria, era um terno real, que não era pior do que sobrecasaca e fraque. O tio também estava alegre; não só ele não se ofendeu com o riso de seu irmão e irmã (não poderia ter entrado em sua cabeça que eles pudessem rir de sua vida), mas ele mesmo se juntou ao riso sem causa.
"É assim que a jovem condessa é - uma marcha limpa - não vi outra igual!" - disse ele, dando um cachimbo com um longo chibouk para Rostov, e colocando o outro curto, chibouk cortado gesto familiar entre três dedos.
- Saí por um dia, embora o homem estivesse na hora e como se nada tivesse acontecido!
Logo depois do tio, ela abriu a porta, obviamente uma menina descalça pelo som de seus pés, e pela porta com uma grande bandeja nas mãos veio um gordo, corado, mulher bonita 40 anos, queixo duplo e lábios carnudos e corados. Ela, com representatividade hospitaleira e atratividade em seus olhos e em cada movimento, olhou para os convidados e se curvou respeitosamente para eles com um sorriso afetuoso. Apesar da espessura de mais do que o habitual, forçando-a a colocar o peito e a barriga para frente e manter a cabeça para trás, essa mulher (a governanta do tio) deu um passo extremamente leve. Ela caminhou até a mesa, largou a bandeja e com suas mãos brancas e gordinhas habilmente removeu e arrumou as garrafas, salgadinhos e guloseimas na mesa. Tendo terminado isso, ela se afastou e ficou na porta com um sorriso no rosto. “Aqui está ela e eu! Você entende seu tio agora?" sua aparência disse a Rostov. Como não entender: não apenas Rostov, mas também Natasha entenderam o tio e o significado das sobrancelhas franzidas e o sorriso feliz e satisfeito que enrugou um pouco os lábios quando Anisya Fyodorovna entrou. Na bandeja havia um herbalista, licores, cogumelos, bolos de farinha preta em yurag, favo de mel, mel fervido e efervescente, maçãs, nozes cruas e torradas e nozes com mel. Então Anisya Fyodorovna trouxe geléia com mel e açúcar, presunto e frango, fritos na hora.
Tudo isso era a casa, a coleção e a geléia de Anisya Fyodorovna. Tudo isso cheirava e ressoava e tinha o sabor de Anisya Fyodorovna. Tudo ressoava com suculência, pureza, brancura e um sorriso agradável.
“Coma, jovem condessa,” ela continuou dizendo, dando a Natasha uma coisa, depois outra. Natasha comeu de tudo, e parecia-lhe que nunca tinha visto ou comido bolos assim no yuraga, com aquele buquê de geléias, nozes com mel e aquele frango. Anisya Fiodorovna saiu. Rostov e seu tio, lavando o jantar com licor de cereja, conversaram sobre caças passadas e futuras, sobre Rugai e os cães Ilaginsky. Natasha, com olhos brilhantes, sentou-se no sofá, ouvindo-os. Várias vezes ela tentou acordar Petya para lhe dar algo para comer, mas ele disse algo incompreensível, obviamente não acordando. Natasha estava tão alegre no coração, tão feliz neste novo ambiente para ela, que ela só estava com medo de que o droshky viesse buscá-la cedo demais. Depois de um silêncio acidental, como quase sempre acontece com as pessoas que se conhecem pela primeira vez em sua casa, o tio disse, respondendo ao pensamento que seus convidados tinham:
"Então, estou vivendo minha vida... Se você morrer, é uma marcha pura - nada restará." Que pecado então!
O rosto do tio era muito significativo e até bonito quando ele disse isso. Ao mesmo tempo, Rostov lembrou-se involuntariamente de tudo o que ouvira de seu pai e vizinhos sobre seu tio. Meu tio tinha fama em toda a vizinhança da província como o excêntrico mais nobre e desinteressado. Foi chamado para julgar casos de família, foi feito testamenteiro, confiou-se-lhe segredos, foi eleito juiz e outros cargos, mas de serviço público ele recusou teimosamente, passando o outono e a primavera nos campos em seu cavalo castrado marrom, sentado em casa no inverno, deitado em seu jardim coberto de mato no verão.

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O teorema de Frobenius dá uma caracterização de grafos bipartidos que têm um emparelhamento perfeito. O teorema de Hall contém uma caracterização de grafos bipartidos que têm uma correspondência de A a B. O teorema de Koenig fornece uma fórmula para o número de correspondência em um grafo bipartido.

O teorema de Frobenius estabelece uma conexão entre a involutividade e a integrabilidade de um sistema de vetores linearmente independentes.

O teorema de Frobenius está completamente provado.

O teorema de Frobenius, neste caso, o campo fundamental / C desempenha o papel de unidade, pois A K - A para qualquer álgebra A. Por fim, o Teorema 3.1 mostra que álgebra reversa A, de fato, até matrizes, é o inverso da álgebra A no sentido desta operação.Tudo isso nos permite definir a estrutura de grupo no conjunto de classes de isomorfismo de anéis de divisão central como segue.

O teorema 1.43 de Frobenius apareceu originalmente como um teorema sobre a natureza das soluções de certos sistemas de equações lineares com derivadas parciais de primeira ordem; veja Fro-benius e a discussão de invariantes no § 2.1. Sua transformação em um teorema em geometria diferencial ocorreu pela primeira vez no importante livro de Chevalley sobre grupos de Lie. Este livro foi reunido pela primeira vez o máximo de definições modernas e teoremas sobre este assunto. Posteriormente, foi mais generalizado - ver Sussmann - mas ainda há muito trabalho, em particular, na elucidação da estrutura dos conjuntos singulares. Nestas e em outras obras, os termos distribuição ou sistema diferencial aplicam-se ao que chamamos simplesmente de sistema de campos vetoriais.

Os teoremas de Frobenius e Schur têm uma prova combinatória complexa.

O teorema de Frobenius implica a divisão de grupos de Frobenius. Se n- multiplicador adicional do grupo Frobenius, então o normalizador de qualquer subgrupo Xx de H está contido no último. Como o mesmo vale para qualquer subgrupo conjugado com H, o fator invariante do grupo Frobenius é fortemente isolado. Consequentemente, qualquer elemento não trivial não contido em um fator invariante induz nele um automorfismo regular.

De acordo com o teorema de Frobenius-Perron, qualquer matriz positiva (ou não negativa, mas indecomponível) tem um valor real positivo autovalor Um mas, que corresponde ao único (até um fator) autovetor com componentes positivos. Assim, a existência de um vetor de prioridades (pesos dos elementos) é assegurada em todos os casos em que existam apenas elementos positivos na matriz de julgamentos.

Pelo teorema de Frobenius, todos os números (129) são diferentes de zero e têm o mesmo sinal.

De acordo com o teorema de Frobenius [1, § 10, 9J, o caso aparentemente mais geral dwj i /, A Wk é reduzido ao caso apenas considerado com a ajuda de combinações lineares, e essas condições são necessárias e suficientes para a integrabilidade local. Eles garantem que um elemento de superfície possa ser estendido do nível infinitesimal ao local; a questão da possibilidade de continuar nível global permanece aberto. Neste caso, N é caracterizado por um campo vetorial X T 1 e, como mostrado na Seção 2.3, sempre existem localmente curvas integrais em X. NO caso Geral Subvariedades n-dimensionais são invariantes sob fluxos locais Фх gerados por um campo vetorial X satisfazendo a condição (wj X) 0, e mesmo gerados localmente se Фх puder atuar em um ponto.

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  Let Ser um corpo contendo um corpo como um subcorpo R (\displaystyle \mathbb (R) ) numeros reais, e duas condições são atendidas:

  Em outras palavras, L (\displaystyle \mathbb (L) )é uma álgebra de divisão de dimensão finita sobre o corpo de números reais.

  O teorema de Frobenius afirma que qualquer corpo L (\displaystyle \mathbb (L) ):

  Observe que o teorema de Frobenius se aplica apenas a extensões de dimensão finita R (\displaystyle \mathbb (R) ). Por exemplo, não abrange o campo de números hiper-reais de análise não padronizada, que também é uma extensão R (\displaystyle \mathbb (R) ), mas não de dimensão finita. Outro exemplo é a álgebra de funções racionais.

  Consequências e observações

  As três últimas declarações formam o chamado Teorema de Frobenius generalizado.

  Álgebras de divisão sobre o corpo de números complexos

  Álgebra de dimensão n sobre o corpo dos números complexos é uma álgebra de dimensão 2n acima de R (\displaystyle \mathbb (R) ). O corpo quaternion não é uma álgebra sobre um corpo C (\displaystyle \mathbb (C) ), já que o centro H (\displaystyle \mathbb (H) )é um espaço real unidimensional. Portanto, a única álgebra de divisão de dimensão finita sobre C (\displaystyle \mathbb (C) )é álgebra C (\displaystyle \mathbb (C) ).

  Hipótese de Frobenius

  O teorema contém a condição de associatividade. O que acontece se você recusar esta condição? A conjectura de Frobenius afirma que mesmo sem a condição de associatividade para n diferente de 1, 2, 4, 8, em um espaço linear real R n não se pode definir a estrutura de uma álgebra de divisão. A hipótese de Frobenius foi comprovada na década de 60. Século XX.

  Se em n>1 no espaço R n multiplicação bilinear sem divisores de zero é definida, então na esfera S n-1 existe n-1 campos vetoriais linearmente independentes. A partir dos resultados obtidos por Adams sobre o número campos vetoriais na esfera, segue que isso só é possível para esferas S 1 , S 3 , S 7. Isso prova a conjectura de Frobenius.

  Veja também

  Literatura

  • Bakhturin Yu. A. Estruturas básicas da álgebra moderna. - M. : Nauka, 1990. - 320 p.
  • Kurosh A. G. Palestras sobre geral álgebra. 2ª edição. - M. : Nauka, 1973. - 400 p.
  • Pontryagin L. S. Generalizações de números. - M. : Nauka, 1986. - 120 p. - (Biblioteca "Quantum", edição 54).

  Contando conjuntos
  Numeros reais e suas extensões
  Ferramentas de extensão sistemas numéricos
  Hierarquia de números	− 1 , 0 , 1 , … (\displaystyle -1,\;0,\;1,\;\ldots )

  Um teorema descrevendo todas as álgebras reais associativas de dimensão finita sem divisores de zero foi provado por G. Frobenius. F. t. afirma que:
  1) Campo numeros reais e o corpo dos números complexos são as únicas álgebras comutativas associativas reais de dimensão finita sem divisores de zero.
  2) O corpo de quatérnions é a única álgebra associativa real de dimensão finita, mas não comutativa, sem divisores de zero.
  Há também uma descrição de álgebras de dimensão finita alternativas sem divisores de zero:
  3) A álgebra de Cayley é a única alternativa real de dimensão finita, mas não a álgebra associativa sem divisores de zero.
  Combinando essas três demonstrações em dinheiro. Teorema de Frobenius generalizado. Todas as álgebras envolvidas na formulação do teorema são álgebras com divisão inequívoca e com uma unidade. F. t. não pode ser generalizado para os casos de álgebras não alternativas. Está provado, no entanto, que a dimensão de qualquer dimensão finita álgebra real sem divisores de zero só pode assumir valores iguais a 1, 2, 4 ou 8.

  Aceso.: Frobenius F., "J. reine und angew. Math.", 1877, Bd 82, S. 230-315; Kurosh A. G., Palestras sobre álgebra geral, 2ª ed., M., 1973.
  O. A. Ivanova.
  

  "TEOREM DE FROBENIUS" em livros

  Teorema de Pontryagin

  Do livro Estrelas e um pouco nervoso autor Zholkovsky Alexander Konstantinovich

  Teorema de Pontryagin Simultaneamente com o Conservatório, o pai estudou na Universidade Estadual de Moscou, na Mecânica e Matemática. Ele se formou com sucesso e até hesitou por algum tempo em escolher uma profissão. A musicologia ganhou, como resultado, beneficiando-se de sua armazém matemático mente. Um dos colegas de classe do meu pai

  Teorema

  Do livro Com Seus Olhos autor Adelheim Pavel

  Teorema Teorema da lei associação religiosa escolher um padre precisa de provas. Diz assim: "Uma comunidade ortodoxa está sendo criada... sob a liderança espiritual de um sacerdote escolhido pela comunidade e tendo recebido a bênção do bispo diocesano".

  3.3. Teorema de Coase

  Do livro Economia institucional autor Odintsova Marina Igorevna

  3.3. Teorema de Coase 3.3.1. Externalidades O uso da propriedade por uma pessoa pode ter efeitos negativos ou benéficos sobre outras pessoas. Se as ações de uma parte afetam ou são susceptíveis de afetar a mudança

  12.4.3. Teorema de Coase

  Do livro Teoria econômica: livro didático autor Makhovikova Galina Afanasievna

  12.4.3. Teorema de Coase Outra maneira de eliminar efeitos externos- Estabelecer a propriedade dos recursos. Uma vez estabelecidos, os direitos de propriedade podem ser vendidos. É claro que o preço que uma pessoa está disposta a pagar para obter direitos de propriedade depende

  Teorema de Gödel

  Do livro The New Mind of the King [Sobre computadores, pensamento e as leis da física] autor Penrose Roger

  Teorema de Gödel Parte da prova dada por Gödel continha uma peça muito complexa e detalhada. No entanto, não precisamos entender todas as suas sutilezas. A ideia principal, ao mesmo tempo, era simples, bonita e profunda. E podemos avaliá-lo por

  Teorema (Teorema)

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  II. teorema de Descartes

  Do livro Sobre o Começo história humana(Problemas de paleopsicologia) [ed. 1974, abr.] autor Porshnev Boris Fedorovich

  II. Teorema de Descartes Algumas palavras devem ser ditas aqui sobre a lacuna cartesiana, pois isso ajudará o leitor a entender toda a ideia deste livro. Embora Descartes tivesse precursores gigantes - Copérnico e Bruno, Bacon e Galileu, Vesalius e Harvey, foi Descartes quem lançou as bases

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  Teorema da Crimeia Canato da Crimeia fornece uma excelente base para análise comparativa. Tendo entrado, de acordo com a definição de Gumilyov, no estágio de "homeostase", um estado de equilíbrio com o meio ambiente, o Canato da Crimeia é notável por mais de 200 anos ter definido a tarefa para a Rússia com alguns e

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  Capítulo 2. O Teorema de Pitágoras e o Teorema de Fermat Em aparente contradição com a insistência de que neste ensaio é o aspecto não prático e não aplicado da matemática que nos interessa, assumimos que é muito, muito instrutivo incluir no " conjunto de cavalheiros"

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