O curso em vídeo "Get an A" inclui todos os tópicos que você precisa para entrega bem sucedida USE em matemática para 60-65 pontos. Completamente todas as tarefas 1-13 exame de perfil matemática. Também adequado para passar o Basic USE em matemática. Se você quer passar no exame com 90-100 pontos, você precisa resolver a parte 1 em 30 minutos e sem erros!
Curso de preparação para o exame do 10º ao 11º ano, bem como para professores. Tudo o que você precisa para resolver a parte 1 do exame de matemática (os primeiros 12 problemas) e o problema 13 (trigonometria). E isso são mais de 70 pontos no Exame Estadual Unificado, e nem um estudante de cem pontos nem um humanista podem prescindir deles.
Toda a teoria necessária. Maneiras Rápidas soluções, armadilhas e USE segredos. Todas as tarefas relevantes da parte 1 das tarefas do Banco de FIPI foram analisadas. O curso está em total conformidade com os requisitos do USE-2018.
O curso contém 5 grandes tópicos, 2,5 horas cada. Cada tópico é dado do zero, de forma simples e clara.
Centenas de tarefas de exame. Tarefas de texto e teoria das probabilidades. Algoritmos de resolução de problemas simples e fáceis de lembrar. Geometria. Teoria, material de referência, análise de todos os tipos de tarefas USE. Estereometria. Soluções complicadas, dicas úteis, desenvolvimento imaginação espacial. Trigonometria do zero - à tarefa 13. Compreender em vez de estudar. Explicação visual conceitos complexos. Álgebra. Raízes, potências e logaritmos, função e derivada. Base para solução Tarefas desafiantes 2 partes do exame.
Teorema
Se direto, não pertencente ao avião, é paralelo a alguma linha neste plano, então também é paralelo ao próprio plano.
Prova
Seja α um plano, a uma linha que não está nele e a1 uma linha no plano α paralela à linha a. Tracemos o plano α1 pelas retas a e a1. Os planos α e α1 se cruzam ao longo da linha a1. Se a reta a cruzasse o plano α, então o ponto de interseção pertenceria à reta a1. Mas isso é impossível, pois as linhas a e a1 são paralelas. Portanto, a linha a não intercepta o plano α e, portanto, é paralela ao plano α. O teorema foi provado.
18. PLANOS
Se dois planos paralelos se cruzam com um terceiro, então as linhas de interseção são paralelas.(Fig. 333).
De fato, de acordo com a definição Retas paralelas são retas que estão no mesmo plano e não se cruzam. Nossas linhas estão no mesmo plano - o plano secante. Eles não se cruzam, pois os planos paralelos que os contêm não se cruzam.
Então as linhas são paralelas, que é o que queríamos provar.
Propriedades
§ Se o plano α é paralelo a cada uma das duas linhas de interseção situadas no outro plano β, então esses planos são paralelos
§ Se dois planos paralelos são interceptados por um terceiro, então as linhas de sua interseção são paralelas
§ Por um ponto fora de um plano dado, é possível traçar um plano paralelo a um plano dado e, além disso, apenas um
§ Segmentos de retas paralelas delimitados por dois planos paralelos são iguais
§ Dois ângulos com lados respectivamente paralelos e igualmente direcionados são iguais e estão em planos paralelos
19.
Se duas linhas estiverem no mesmo plano, o ângulo entre elas é fácil de medir - por exemplo, usando um transferidor. E como medir ângulo entre a linha e o plano?
Deixe a linha cruzar o plano, e não em um ângulo reto, mas em algum outro ângulo. Tal linha é chamada oblíquo.
Vamos soltar uma perpendicular de algum ponto inclinado ao nosso plano. Conecte a base da perpendicular ao ponto de interseção da inclinada e do plano. Obtemos projeção de um plano oblíquo.
O ângulo entre uma linha e um plano é o ângulo entre uma linha e sua projeção em um determinado plano..
Observe - escolhemos um ângulo agudo como o ângulo entre a linha e o plano.
Se uma reta é paralela a um plano, então o ângulo entre a reta e o plano é zero.
Se uma linha é perpendicular a um plano, sua projeção no plano é um ponto. Obviamente, neste caso, o ângulo entre a linha e o plano é de 90°.
Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a qualquer reta desse plano..
Esta é a definição. Mas como trabalhar com ele? Como verificar se uma dada reta é perpendicular a todas as retas do plano? Afinal, há um número infinito deles.
Na prática, é aplicado sinal de perpendicularidade de uma linha e um plano:
Uma reta é perpendicular a um plano se for perpendicular a duas retas que se cruzam nesse plano.
21. Ângulo diedro- espacial figura geométrica, formado por dois semiplanos que emanam de uma linha reta, bem como uma parte do espaço delimitada por esses semiplanos.
Dois planos são ditos perpendiculares se o ângulo diedro entre eles é de 90 graus.
§ Se um plano passa por uma reta perpendicular a outro plano, então esses planos são perpendiculares.
§ Se de um ponto pertencente a um dos dois planos perpendiculares, desenhe uma perpendicular a outro plano, então esta perpendicular encontra-se completamente no primeiro plano.
§ Se em um dos dois planos perpendiculares traçarmos uma perpendicular à sua linha de interseção, então essa perpendicular será perpendicular ao segundo plano.
Dois planos que se cruzam formam quatro ângulos diedros com uma aresta comum: pares ângulos verticais são iguais e a soma de dois ângulos adjacentes é 180°. Se um dos quatro ângulos é reto, então os outros três também são iguais e retos. Dois planos são ditos perpendiculares se o ângulo entre eles for reto.
Teorema. Se um plano passa por uma linha perpendicular a outro plano, então esses planos são perpendiculares.
Sejam e dois planos tais que ele passa pela linha AB, perpendicular a ela e intersectando-se com ela no ponto A (Fig. 49). Vamos provar que _|_ . Os planos e se cruzam ao longo de alguma linha AC, e AB _|_ AC, porque AB _|_ . Tracemos uma linha AD no plano, perpendicular à linha AC.
Então o ângulo BAD é um ângulo linear ângulo diedro, educado e . Mas< ВАD - 90° (ибо AB _|_ ), а тогда, по определению, _|_ . Теорема доказана.
22. Um poliedro é um corpo cuja superfície consiste em um número finito de polígonos planos.
1. qualquer um dos polígonos que compõem o poliedro, você pode chegar a qualquer um deles indo para o adjacente a ele e deste, por sua vez, para o adjacente, etc.
Esses polígonos são chamados rostos, seus lados - costelas, e seus vértices são picos poliedro. Os exemplos mais simples de poliedros são poliedros convexos, ou seja, o limite de um subconjunto limitado do espaço euclidiano, que é a interseção de um número finito de meios-espaços.
A definição acima de um poliedro assume um significado diferente dependendo de como o polígono é definido, para o qual as duas opções a seguir são possíveis:
§ Linhas tracejadas fechadas planas (mesmo que se auto-intersectam);
§ Partes do plano delimitadas por linhas tracejadas.
No primeiro caso, temos o conceito de um poliedro estrelado. No segundo, um poliedro é uma superfície composta por peças poligonais. Se esta superfície não se cruza, então é a superfície completa de algum corpo geométrico, que também é chamado de poliedro. Daí surge a terceira definição do poliedro, como o próprio corpo geométrico.
prisma reto
O prisma é chamado Em linha reta Se isso costelas laterais perpendiculares às bases.
O prisma é chamado oblíquo se suas arestas laterais não forem perpendiculares às bases.
Um prisma reto tem faces que são retângulos.
O prisma é chamado correto se suas bases são polígonos regulares.
A área da superfície lateral do prismaé chamada de soma das áreas das faces laterais.
Superfície completa do prisma igual à soma da superfície lateral e as áreas das bases
Elementos de prisma:
Pontos - chamados vértices
Os segmentos são chamados de arestas laterais
Polígonos e - são chamados de bases. Os próprios planos também são chamados de bases.
24. Paralelepípedo(do grego παράλλος - paralelo e grego επιπεδον - plano) - um prisma, cuja base é um paralelogramo, ou (equivalentemente) um poliedro, que tem seis faces e cada uma delas é um paralelogramo.
§ O paralelepípedo é simétrico em relação ao ponto médio de sua diagonal.
§ Qualquer segmento com extremidades pertencentes à superfície do paralelepípedo e passando pelo meio de sua diagonal é dividido por ele ao meio; em particular, todas as diagonais do paralelepípedo se cruzam em um ponto e o cortam ao meio.
§ As faces opostas de um paralelepípedo são paralelas e iguais.
§ Quadrado de comprimento diagonal cubóide é igual à soma quadrados de suas três dimensões.
Área de superfície de um paralelepípedoé igual a duas vezes a soma das áreas das três faces deste paralelepípedo:
| 1. | S= 2(S a+Sb+S c)= 2(ab+bc+ac) |
25 .Pirâmide e seus elementos
Considere um plano , um polígono que está nele e um ponto S que não está nele. Conecte S a todos os vértices do polígono. O poliedro resultante é chamado de pirâmide. Os segmentos são chamados de arestas laterais. 
O polígono é chamado de base e o ponto S é chamado de topo da pirâmide. Dependendo do número n, a pirâmide é chamada de triangular (n=3), quadrangular (n=4), pentagonal (n=5) e assim por diante. Título alternativo pirâmide triangular – tetraedro. A altura de uma pirâmide é a perpendicular traçada de seu vértice ao plano de base. 
Uma pirâmide é dita correta se polígono regular, e a base da altura da pirâmide (a base da perpendicular) é o seu centro.
O programa é projetado para calcular a área de superfície lateral pirâmide correta.
A pirâmide é um poliedro com uma base em forma de polígono, e as faces restantes são triângulos com um vértice comum. 
A fórmula para calcular a área de superfície lateral de uma pirâmide regular é:
onde p é o perímetro da base (polígono ABCDE),
a - apótema (OS);
O apótema é a altura da face lateral de uma pirâmide regular, que é desenhada de seu topo.
Para encontrar a área de superfície lateral de uma pirâmide regular, insira os valores de perímetro e apótema da pirâmide e clique no botão "CALCULAR". O programa determinará a área de superfície lateral de uma pirâmide regular, cujo valor pode ser colocado na prancheta.
Pirâmide truncada
| Uma pirâmide truncada é uma parte pirâmide completa fechado entre a base e uma seção paralela a ela. | |
| A seção transversal é chamada base superior de uma pirâmide truncada, e a base da pirâmide completa é base inferior pirâmide truncada. (As bases são semelhantes.) Faces laterais pirâmide truncada - trapézio. Em uma pirâmide truncada 3 n costelas, 2 n picos, n+ 2 rostos, n(n- 3) diagonais. A distância entre as bases superior e inferior é a altura da pirâmide truncada (o segmento cortado da altura da pirâmide completa). |  |
| Quadrado superfície cheia pirâmide truncada é igual à soma das áreas de suas faces. | |
| O volume da pirâmide truncada ( S e s- área de base, H- altura) |  |
Corpo de rotação chamado de corpo formado como resultado da rotação de uma linha em torno de uma linha reta.
Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera se os círculos de suas bases estiverem sobre a esfera. As bases do cilindro são pequenos círculos da bola, o centro da bola coincide com o meio do eixo do cilindro. [ 2 ]
Um cilindro circular reto está inscrito em uma esfera se os círculos de suas bases estiverem sobre a esfera. Obviamente, o centro da esfera não está no meio do eixo do cilindro. [ 3 ]
Volume de qualquer cilindro é igual ao produtoárea da base em altura:
| 1. | V=π r 2 h |
Área completa superfície do cilindro é igual à soma da superfície lateral do cilindro e quadrado duplo base do cilindro.
A fórmula para calcular a área total da superfície de um cilindro é:
27. Um cone redondo pode ser obtido por rotação triângulo retângulo em torno de uma de suas pernas, então o cone redondo também é chamado de cone de revolução. Veja também Volume de um cone redondo
Área total da superfície de um cone circularé igual à soma das áreas da superfície lateral do cone e sua base. A base de um cone é um círculo e sua área é calculada usando a fórmula para a área de um círculo:
| 2. | S=π rl+π r 2=π r(r+eu) |
28. Tronco obtido traçando uma seção paralela à base de um cone. O corpo delimitado por esta seção, a base e a superfície lateral do cone é chamado de cone truncado. Veja também Volume de um cone truncado
Área total da superfície de um cone truncadoé igual à soma das áreas da superfície lateral do cone truncado e suas bases. As bases de um cone truncado são círculos e sua área é calculada usando a fórmula para a área de um círculo: S= π (r 1 2 + (r 1 + r 2)eu+ r 2 2)
29. Bola - corpo geométrico limitada por uma superfície cujos pontos estão em distância igual do centro. Essa distância é chamada de raio da esfera.
Esfera(grego σφαῖρα - bola) - uma superfície fechada, lugar geométrico pontos no espaço equidistantes de um dado ponto, chamado centro da esfera. Uma esfera é um caso especial de um elipsóide, no qual todos os três eixos (meios eixos, raios) são iguais. Uma esfera é a superfície de uma bola.
A área da superfície esférica do segmento esférico (setor esférico) e da camada esférica depende apenas de sua altura e do raio da bola e é igual à circunferência do grande círculo da bola, multiplicada pela altura
Volume da bola igual ao volume da pirâmide, cuja base tem a mesma área que a superfície da bola, e a altura é o raio da bola
O volume de uma esfera é uma vez e meia menor que o volume de um cilindro circunscrito ao seu redor.
elementos de bola
Segmento de bola O plano de corte divide a bola em dois segmentos de bola. H- altura do segmento, 0< H < 2 R,
r- raio da base do segmento,  Volume do segmento de bola  A área da superfície esférica do segmento esférico |  |
| Camada esférica Uma camada esférica é uma parte de uma esfera encerrada entre duas seções paralelas. Distância ( H) entre as seções é chamado altura da camada, e as próprias seções - bases de camada. Área de superfície esférica ( volume) da camada esférica pode ser encontrado como a diferença de áreas superfícies esféricas(volumes) de segmentos esféricos. |  |
1. Multiplicando um vetor por um número(Fig. 56).
Produto vetorial MAS por número λ chamado vetor NO, cujo módulo é igual ao produto do módulo do vetor MAS por número de módulo λ :
A direção não muda se λ > 0 ; muda para o oposto se λ < 0 . Se um λ = -1, então o vetor
chamado de vetor, vetor oposto MAS, e é denotado
2. Adição de vetores. Para encontrar a soma de dois vetores MAS e NO vetor
Então a soma será um vetor, cujo início coincide com o início do primeiro e o final - com o final do segundo. Esta regra de adição de vetores é chamada de “regra do triângulo” (Fig. 57). é necessário representar os vetores de soma de modo que o início do segundo vetor coincida com o final do primeiro.
É fácil provar que para vetores "a soma não muda a partir de uma mudança nas posições dos termos".
Vamos indicar mais uma regra para adição de vetores - a “regra do paralelogramo”. Se combinarmos os inícios dos vetores soma e construirmos um paralelogramo sobre eles, então a soma será um vetor que coincide com a diagonal desse paralelogramo (Fig. 58).
É claro que a adição de acordo com a “regra do paralelogramo” leva ao mesmo resultado que de acordo com a “regra do triângulo”.
A "regra do triângulo" é fácil de generalizar (para o caso de vários termos). A fim de encontrar soma de vetores
É necessário combinar o início do segundo vetor com o final do primeiro, o início do terceiro - com o final do segundo, etc. Com coincide com o início do primeiro, e o fim Com- com a extremidade deste último (Fig. 59).
3. Subtração de vetores. A operação de subtração é reduzida às duas operações anteriores: a diferença de dois vetores é a soma do primeiro com o vetor oposto ao segundo:
Você também pode formular a "regra do triângulo" para subtrair vetores: é necessário combinar os inícios dos vetores MAS e NO, então sua diferença será o vetor
Desenhado a partir do final do vetor NO no final do vetor MAS(Fig. 60).
A seguir, falaremos sobre o vetor deslocamento ponto material, ou seja, um vetor conectando as posições inicial e final do ponto. Concordo que as regras de ação introduzidas em vetores são bastante óbvias para vetores de deslocamento.
4. Produto escalar de vetores. resultado produto escalar dois vetores MAS e NOé o número c igual ao produto dos módulos dos vetores e o cosseno do ângulo α entre
O produto escalar de vetores é muito usado em física. No futuro, muitas vezes teremos que lidar com essa operação.
O artigo considera os conceitos de paralelismo de uma linha reta e de um plano, as principais definições serão consideradas e exemplos serão dados. Considere o sinal de paralelismo de uma linha reta a um plano com condições necessárias e suficientes para o paralelismo, resolveremos exemplos de tarefas em detalhes.
Yandex.RTB R-A-339285-1 Definição 1
Linha e plano são chamados paralelo se eles não têm pontos comuns, ou seja, eles não se cruzam.
O paralelismo é indicado por "∥". Se na tarefa por condição a reta a e o plano α são paralelos, então a notação é a ∥ α . Considere a figura abaixo.
Acredita-se que a linha a, paralela ao plano α e o plano α, paralelo à linha a, são equivalentes, ou seja, a linha e o plano são paralelos entre si em qualquer caso.
Paralelismo de uma linha reta e um plano - um sinal e condições de paralelismo
Nem sempre é óbvio que uma linha e um plano são paralelos. Muitas vezes isso precisa ser comprovado. Nessesário para usar condição suficiente, o que garantirá o paralelismo. Tal sinal é chamado de sinal de paralelismo de uma linha e um plano. Recomenda-se estudar primeiro a definição de linhas paralelas.
Teorema 1
Se uma dada linha a, que não está no plano α, é paralela à linha b, que pertence ao plano α, então a linha a é paralela ao plano α.
Considere o teorema usado para estabelecer o paralelismo de uma linha reta com um plano.
Teorema 2
Se uma das duas linhas paralelas é paralela a um plano, então a outra linha está nesse plano ou é paralela a esse plano.
Uma prova detalhada é considerada no livro didático das séries 10-11 em geometria. Uma condição necessária e suficiente para o paralelismo de uma reta com um plano é possível se houver uma definição do vetor diretor da reta e do vetor normal do plano.
Teorema 3
Para o paralelismo da linha a, que não pertence ao plano α, e o plano dado, uma condição necessária e suficiente é a perpendicularidade do vetor diretor à linha com vetor normal dado avião.
A condição é aplicável quando é necessário provar o paralelismo em sistema retangular coordenadas espaço tridimensional. Vejamos a prova detalhada.
Prova
Suponha que a linha a no sistema de coordenadas O x y seja dada pelas equações canônicas da linha no espaço, que têm a forma x - x 1 a x \u003d y - y 1 a y \u003d z - z 1 a z ou equações paramétricas linha no espaço x = x 1 + a x λ y = y 1 + a y λ z = z 1 + a z λ , plano α com equações gerais do plano A x + B y + C z + D = 0 .
Portanto, a → = (a x, a y, a z) é um vetor diretor com coordenadas da linha reta a, n → = (A, B, C) é o vetor normal do plano alfa dado.
Para provar a perpendicularidade de n → = (A , B , C) e a → = (a x , a y , a z) , você precisa usar o conceito de produto escalar. Ou seja, com o produto a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C, o resultado deve ser igual a zero a partir da condição de perpendicularidade dos vetores.
Isso significa que a condição necessária e suficiente para o paralelismo da linha e do plano é escrita da seguinte forma: a → , n → = a x · A + a y · B + a z · C . Assim, a → = (a x , a y , a z) é o vetor direcional da reta a com coordenadas, e n → = (A , B , C) é o vetor normal do plano α .
Exemplo 1
Determine se a reta x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ é paralela ao plano x + 6 y + 5 z + 4 = 0 .
Decisão
Obtemos que a linha fornecida não pertence ao plano, pois as coordenadas da linha M (1 , - 2 , 2) não se encaixam. Ao substituir, obtemos que 1 + 6 (- 2) + 5 2 + 4 = 0 ⇔ 3 = 0 .
É necessário verificar a viabilidade da condição necessária e suficiente para o paralelismo de uma reta e de um plano. Obtemos que as coordenadas do vetor diretor da reta x = 1 + 2 λ y = - 2 + 3 λ z = 2 - 4 λ têm os valores a → = (2 , 3 , - 4).
O vetor normal para o plano x + 6 y + 5 z + 4 = 0 é n → = (1 , 6 , 5) . Vamos proceder ao cálculo do produto escalar dos vetores a → e n → . Obtemos que a → , n → = 2 1 + 3 6 + (- 4) 5 = 0 .
Portanto, a perpendicularidade dos vetores a → e n → é óbvia. Segue-se que a linha e o plano são paralelos.
Responda: reta e o plano são paralelos.
Exemplo 2
Determine o paralelismo da reta A B no plano coordenado O y z quando as coordenadas são dadas A (2, 3, 0) , B (4, - 1, - 7) .
Decisão
Pela condição, pode-se ver que o ponto A (2, 3, 0) não está no eixo O x, pois o valor de x não é igual a 0.
Para o plano O x z, o vetor de coordenadas i → = (1 , 0 , 0) é considerado um vetor normal desse plano. Denote o vetor de direção da linha reta A B como A B → . Agora, usando as coordenadas do início e do fim, calculamos as coordenadas do vetor A B . Obtemos que A B → = (2 , - 4 , - 7) . É necessário verificar a viabilidade das condições necessárias e suficientes para os vetores A B → = (2 , - 4 , - 7) ei → = (1 , 0 , 0) para determinar sua perpendicularidade.
Vamos escrever A B → , i → = 2 1 + (- 4) 0 + (- 7) 0 = 2 ≠ 0 .
Segue-se daí que a linha A B c plano de coordenadas O y z não são paralelos.
Responda: não são paralelos.
Nem sempre a condição especificada contribui definição fácil prova do paralelismo de uma linha e um plano. Há necessidade de verificar se a linha a pertence ao plano α. Há mais uma condição suficiente por meio da qual o paralelismo é provado.
Para uma determinada linha reta a usando a equação de dois planos de interseção A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 \u003d 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 \u003d 0, pelo plano α - equação geral plano A x + B y + C z + D = 0 .
Teorema 4
Uma condição necessária e suficiente para o paralelismo da linha a e do plano α é a ausência de soluções para o sistema equações lineares, tendo a forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 .
Prova
Decorre da definição que a reta a com o plano α não deve ter pontos comuns, ou seja, não devem se cruzar, somente neste caso serão consideradas paralelas. Isso significa que o sistema de coordenadas O x y z não deve ter pontos pertencentes a ele e que satisfaçam todas as equações:
A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 , bem como a equação do plano A x + B y + C z + D = 0 .
Portanto, um sistema de equações que tem a forma A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 , é chamado de inconsistente.
O oposto é verdadeiro: se não houver soluções para o sistema A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 não há pontos em O x y z que satisfaçam todos equações dadas simultaneamente. Obtemos que não existe tal ponto com coordenadas que possam ser imediatamente soluções de todas as equações A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 e equações A x + B y + C z + D = 0 . Isso significa que temos uma linha paralela e um plano, pois seus pontos de interseção estão ausentes.
O sistema de equações A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 A x + B y + C z + D = 0 não tem solução, quando o posto da matriz principal é menor que o posto da matriz estendida. Isto é verificado pelo teorema de Kronecker-Capelli para resolver equações lineares. Você pode aplicar o método de Gauss para determinar sua incompatibilidade.
Exemplo 3
Prove que a reta x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 é paralela ao plano 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Decisão
Para soluções este exemplo deve passar de equação canônica direto para a forma da equação de dois planos que se cruzam. Vamos escrever assim:
x - 1 = y + 2 - 1 = z 3 ⇔ - 1 x = - 1 (y + 2) 3 x = - 1 z 3 (y + 2) = - 1 z ⇔ x - y - 2 = 0 3 x + z = 0
Para provar o paralelismo da reta dada x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 com o plano 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 , é necessário transformar as equações em um sistema de equações x - y - 2 = 0 3 x + z = 0 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 = 0 .
Vemos que não é solúvel, então vamos recorrer ao método de Gauss.
Tendo escrito as equações, obtemos que 1 - 1 0 2 3 0 1 0 6 - 5 1 3 2 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 1 1 3 - 11 1 3 ~ 1 - 1 0 2 0 3 1 - 6 0 0 0 - 9 1 3 .
Disso concluímos que o sistema de equações é inconsistente, pois a reta e o plano não se cruzam, ou seja, não possuem pontos em comum.
Concluímos que a linha x - 1 \u003d y + 2 - 1 \u003d z 3 e o plano 6 x - 5 y + 1 3 z - 2 3 \u003d 0 são paralelos, pois a condição necessária e suficiente para o paralelismo do plano com uma determinada linha foi atendido.
Responda: reta e o plano são paralelos.
Se você notar um erro no texto, destaque-o e pressione Ctrl+Enter
Algumas consequências dos axiomas
Teorema 1:
Por uma linha e um ponto não pertencente a ela passa um plano e, além disso, apenas um.
Dado: M ₵ a
Prove: 1) Existe α: a∈ α , М ∈ b ∈ α
2)
α é o único
Prova:
1) Em linha reta e selecionar pontos P e Q. Então temos 3 pontos - R, Q, M que não estão na mesma linha.
2) De acordo com o axioma A1, um plano passa por três pontos que não estão em uma linha reta e, além disso, apenas um, ou seja, plano α, que contém a linha a e o ponto M, existir.
3) Agora vamos provar queα o único. Suponha que exista um plano β que passa tanto pelo ponto M quanto pela reta a, mas então esse plano passa pelos pontosP, Q, M. E depois de três pontos P, Q, M, não estando em uma linha reta, em virtude do axioma 1, apenas um plano passa.
4) Portanto, este plano coincide com o plano α.Daí 1) Em uma linha reta, mas escolha pontos P e Q. Então temos 3 pontos - P, Q, M, que não estão na mesma linha.Portanto, α é único.
O teorema foi provado.
1) Na reta b, tome um ponto N, que não coincide com o ponto M, ou seja, N ∈ b, N≠M
2) Então temos um ponto N, que não pertence à reta a. De acordo com o teorema anterior, um plano passa por uma linha e um ponto que não está sobre ela. Vamos chamá-lo de plano α. Isso significa que existe um tal plano que passa pela linha a e pelo ponto N.
3) Vamos provar a unicidade deste plano. Vamos supor o contrário. Seja um plano β tal que passe pela reta a e pela reta b. Mas então ele também passa pela linha a e pelo ponto N. Mas pelo teorema anterior, este plano é único, ou seja. o plano β coincide com o plano α.
4) Assim, provamos a existência de um único plano passando por duas linhas que se cruzam.
O teorema foi provado.
Teorema das linhas paralelas
Teorema:
Por qualquer ponto no espaço que não esteja em uma linha dada, passa uma linha paralela à linha dada.
Dado: direto sou₵ um
Provar:Há apenas um diretob ∥ a, M ∈ b
Prova:
1) Pela reta a e pelo ponto M, que não está sobre ela, pode-se traçar um único plano (1º corolário). No plano α pode-se traçar uma linha b, paralela a a, passando por M.
2) Vamos provar que é o único. Suponhamos que existe outra reta c passando pelo ponto M e paralela à reta a. Sejam as linhas paralelas a e c no plano β. Então β passa por M e pela linha a. Mas pela reta a e pelo ponto M passa o plano α.
3) Portanto, α e β coincidem. Do axioma das retas paralelas segue-se que as retas b e c coincidem, pois existe uma única reta no plano que passa por ela. dado ponto e paralela a uma dada reta.
O teorema foi provado.
A definição de retas paralelas e suas propriedades no espaço são as mesmas do plano (ver item 11).
Ao mesmo tempo, mais um caso de arranjo de linhas é possível no espaço - linhas enviesadas. As linhas que não se cruzam e não estão no mesmo plano são chamadas de linhas de interseção.
A Figura 121 mostra o layout da sala de estar. Você vê que as linhas às quais os segmentos AB e BC pertencem são enviesadas.
O ângulo entre as linhas de interseção é o ângulo entre as linhas de interseção paralelas a elas. Este ângulo não depende de quais linhas de interseção são tomadas.
A medida em graus do ângulo entre linhas paralelas é assumida como sendo zero.
Uma perpendicular comum de duas linhas que se cruzam é um segmento com extremidades nessas linhas, que é uma perpendicular a cada uma delas. Pode-se provar que duas linhas que se cruzam têm uma perpendicular comum e, além disso, apenas uma. É uma perpendicular comum dos planos paralelos que passam por essas linhas.
A distância entre as linhas que se cruzam é o comprimento de sua perpendicular comum. É igual à distância entre os planos paralelos que passam por essas linhas.
Assim, para encontrar a distância entre as linhas de interseção aeb (Fig. 122), é necessário traçar planos paralelos a e através de cada uma dessas linhas. A distância entre esses planos será a distância entre as linhas de interseção a e b. Na figura 122, esta distância é, por exemplo, a distância AB.
Exemplo. As linhas a e b são paralelas e as linhas c e d se cruzam. Cada uma das linhas a e pode cruzar ambas as linhas
Decisão. As linhas a e b estão no mesmo plano e, portanto, qualquer linha que cruze cada uma delas está no mesmo plano. Portanto, se cada uma das linhas a, b intercepta ambas as linhas c e d, então as linhas estariam no mesmo plano com as linhas a e b, e isso não pode acontecer, pois as linhas se cruzam.
42. Paralelismo de uma reta e um plano.
Uma reta e um plano são chamados de paralelos se não se cruzam, ou seja, não possuem pontos em comum. Se a linha a é paralela ao plano a, então eles escrevem:.
A Figura 123 mostra uma linha reta a paralela ao plano a.
Se uma linha que não pertence a um plano é paralela a alguma linha neste plano, então também é paralela ao próprio plano (um sinal de paralelismo da linha e do plano).
Este teorema permite situação específica Prove que uma reta e um plano são paralelos. A Figura 124 mostra uma linha reta b paralela a uma linha reta a situada no plano a, isto é, ao longo da linha reta b paralela ao plano a, ou seja.
Exemplo. Através do topo ângulo certo De retangular triângulo ABC Traça-se um plano paralelo à hipotenusa a uma distância de 10 cm dela. As projeções dos catetos neste plano são 30 e 50 cm Encontre a projeção da hipotenusa no mesmo plano.
Decisão. Dos triângulos retângulos BBVC e (Fig. 125) encontramos:
Do triângulo ABC encontramos:
A projeção da hipotenusa AB no plano a é . Como AB é paralelo ao plano a, então So,.
43. Planos paralelos.
Dois planos são chamados de paralelos. se eles não se cruzam.
Dois planos são paralelos" se um deles é paralelo a duas linhas que se cruzam em outro plano (um sinal de paralelismo de dois planos).
Na Figura 126, o plano a é paralelo às linhas de interseção a e b situadas no plano, então ao longo desses planos são paralelos.
Por um ponto fora de um plano dado, pode-se traçar um plano paralelo ao dado e, além disso, apenas um.
Se dois planos paralelos se cruzam com um terceiro, então as linhas de interseção são paralelas.
A Figura 127 mostra dois planos paralelos, e o plano y os intercepta ao longo das linhas retas a e b. Então, pelo Teorema 2.7, podemos afirmar que as retas a e b são paralelas.
Os segmentos de retas paralelas entre dois planos paralelos são iguais.
De acordo com T.2.8, os segmentos AB e mostrados na Figura 128 são iguais, pois
Deixe esses planos se cruzarem. Desenhe um plano perpendicular à linha de sua interseção. Ele cruza esses planos ao longo de duas linhas retas. O ângulo entre essas linhas é chamado de ângulo entre esses planos (Fig. 129). O ângulo entre os planos assim definidos não depende da escolha do plano secante.
