Equações quadráticas são usados ​​para resolver muitos problemas. Uma parte significativa dos problemas que são facilmente resolvidos por meio de equações de primeiro grau podem ser resolvidos de forma puramente aritmética, embora às vezes de uma forma muito mais difícil, demorada e muitas vezes artificial. Problemas que levam a equações quadráticas, via de regra, não são de todo passíveis de solução aritmética. E tais problemas levam a inúmeras e variadas questões de física, mecânica, mecânica dos fluidos, aerodinâmica e muitas outras ciências aplicadas.

As principais etapas da composição de equações quadráticas de acordo com as condições do problema são as mesmas da resolução de problemas que conduzem a equações de primeiro grau. Vamos dar exemplos.

Tarefa. 1. Dois digitadores digitaram o manuscrito em 6 horas. 40 minutos. Quanto tempo cada datilógrafo, trabalhando sozinho, poderia redigitar o manuscrito se o primeiro gastasse 3 horas a mais neste trabalho do que o segundo?

Solução. Deixe o segundo digitador passar x horas digitando o manuscrito. Isso significa que o primeiro digitador passará horas fazendo o mesmo trabalho.

Vamos descobrir que parte do trabalho total cada digitador faz em uma hora e que parte - ambos juntos.

O primeiro digitador completa a peça em uma hora

Segunda parte.

Ambos os digitadores fazem a parte.

A partir daqui temos:

De acordo com o significado da tarefa número positivo

Multiplique ambos os lados da equação por Após a simplificação, obtemos uma equação quadrática:

Desde então, a equação tem duas raízes. Usando a fórmula (B), encontramos:

Mas como deveria ser, esse valor não é válido para esta tarefa.

Responder. O primeiro digitador gastará horas trabalhando, o segundo 12 horas.

Tarefa 2. Velocidade própria quilômetros de avião por hora. O avião voou duas vezes uma distância de 1 km: primeiro com o vento, depois contra o vento e no segundo vôo passou mais horas. Calcule a velocidade do vento.

O progresso da solução será representado na forma de um diagrama.

As equações quadráticas são estudadas na 8ª série, então não há nada complicado aqui. A capacidade de resolvê-los é absolutamente necessária.

Uma equação quadrática é uma equação da forma ax 2 + bx + c = 0, onde os coeficientes a, b e c são números arbitrários e a ≠ 0.

Antes de estudar métodos específicos soluções, observe que todas as equações quadráticas podem ser divididas em três classes:

1. Não têm raízes;
2. Tenha exatamente uma raiz;
3. Eles têm duas raízes diferentes.

Isso é diferença importante equações quadráticas de equações lineares, onde a raiz sempre existe e é única. Como determinar quantas raízes uma equação tem? Há uma coisa maravilhosa para isso - discriminante.

Discriminante

Seja dada a equação quadrática ax 2 + bx + c = 0. Então o discriminante é simplesmente o número D = b 2 − 4ac.

Você precisa saber esta fórmula de cor. De onde vem não é importante agora. Outra coisa é importante: pelo sinal do discriminante você pode determinar quantas raízes uma equação quadrática possui. Nomeadamente:

1. Se D< 0, корней нет;
2. Se D = 0, existe exatamente uma raiz;
3. Se D > 0, haverá duas raízes.

Atenção: o discriminante indica o número de raízes, e não seus sinais, como por algum motivo muitas pessoas acreditam. Dê uma olhada nos exemplos e você entenderá tudo sozinho:

Tarefa. Quantas raízes as equações quadráticas têm:

1. x 2 − 8x + 12 = 0;
2. 5x 2 + 3x + 7 = 0;
3. x 2 − 6x + 9 = 0.

Vamos escrever os coeficientes da primeira equação e encontrar o discriminante:
a = 1, b = −8, c = 12;
D = (−8) 2 − 4 1 12 = 64 − 48 = 16

Portanto, o discriminante é positivo, portanto a equação tem duas raízes diferentes. Analisamos a segunda equação de maneira semelhante:
uma = 5; b = 3; c = 7;
D = 3 2 − 4 5 7 = 9 − 140 = −131.

O discriminante é negativo, não há raízes. A última equação restante é:
uma = 1; b = −6; c = 9;
D = (−6) 2 − 4 1 9 = 36 − 36 = 0.

Discriminante igual a zero- haverá uma raiz.

Observe que os coeficientes foram escritos para cada equação. Sim, é longo, sim, é tedioso, mas você não vai confundir as probabilidades e cometer erros estúpidos. Escolha você mesmo: velocidade ou qualidade.

A propósito, se você pegar o jeito, depois de um tempo não precisará anotar todos os coeficientes. Você realizará essas operações em sua cabeça. A maioria das pessoas começa a fazer isso depois de 50-70 equações resolvidas - em geral, não tanto.

Raízes de uma equação quadrática

Agora vamos passar para a solução em si. Se o discriminante D > 0, as raízes podem ser encontradas usando as fórmulas:

Fórmula básica para as raízes de uma equação quadrática

Quando D = 0, você pode usar qualquer uma dessas fórmulas - você obterá o mesmo número, que será a resposta. Finalmente, se D< 0, корней нет — ничего считать не надо.

1. x 2 − 2x − 3 = 0;
2. 15 − 2x − x 2 = 0;
3. x 2 + 12x + 36 = 0.

Primeira equação:
x 2 − 2x − 3 = 0 ⇒ uma = 1; b = −2; c = −3;
D = (−2) 2 − 4 1 (−3) = 16.

D > 0 ⇒ a equação tem duas raízes. Vamos encontrá-los:

Segunda equação:
15 − 2x − x 2 = 0 ⇒ a = −1; b = −2; c = 15;
D = (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.

D > 0 ⇒ a equação novamente tem duas raízes. Vamos encontrá-los

\[\begin(align) & ((x)_(1))=\frac(2+\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=-5; \\ & ((x)_(2))=\frac(2-\sqrt(64))(2\cdot \left(-1 \right))=3. \\ \fim(alinhar)\]

Finalmente, a terceira equação:
x 2 + 12x + 36 = 0 ⇒ uma = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 1 36 = 0.

D = 0 ⇒ a equação tem uma raiz. Qualquer fórmula pode ser usada. Por exemplo, o primeiro:

Como você pode ver nos exemplos, tudo é muito simples. Se você conhece as fórmulas e sabe contar, não haverá problemas. Na maioria das vezes, ocorrem erros ao substituir na fórmula coeficientes negativos. Aqui, novamente, a técnica descrita acima ajudará: observe a fórmula literalmente, anote cada passo - e muito em breve você se livrará dos erros.

Equações quadráticas incompletas

Acontece que uma equação quadrática é ligeiramente diferente daquela dada na definição. Por exemplo:

1. x 2 + 9x = 0;
2. x 2 − 16 = 0.

É fácil notar que falta um dos termos nessas equações. Essas equações quadráticas são ainda mais fáceis de resolver do que as padrão: elas nem exigem o cálculo do discriminante. Então, vamos apresentar um novo conceito:

A equação ax 2 + bx + c = 0 é chamada de equação quadrática incompleta se b = 0 ou c = 0, ou seja, o coeficiente da variável x ou do elemento livre é igual a zero.

Claro, um caso muito difícil é possível quando ambos os coeficientes são iguais a zero: b = c = 0. Neste caso, a equação assume a forma ax 2 = 0. Obviamente, tal equação tem uma única raiz: x = 0.

Vamos considerar os casos restantes. Seja b = 0, então obtemos uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0. Vamos transformá-la um pouco:

Desde aritmética Raiz quadrada existe apenas a partir número não negativo, a última igualdade só faz sentido para (−c /a) ≥ 0. Conclusão:

1. Se em uma equação quadrática incompleta da forma ax 2 + c = 0 a desigualdade (−c /a) ≥ 0 for satisfeita, haverá duas raízes. A fórmula é fornecida acima;
2. Se (−c /uma)< 0, корней нет.

Como você pode ver, não foi necessário um discriminante – não há cálculos complexos em equações quadráticas incompletas. Na verdade, nem é necessário lembrar a desigualdade (−c /a) ≥ 0. Basta expressar o valor x 2 e ver o que está do outro lado do sinal de igual. Se houver um número positivo, haverá duas raízes. Se for negativo, não haverá raízes.

Agora vejamos equações da forma ax 2 + bx = 0, nas quais o elemento livre é igual a zero. Tudo é simples aqui: sempre haverá duas raízes. Basta fatorar o polinômio:

Remoção multiplicador comum fora do colchete

O produto é zero quando pelo menos um dos fatores é zero. É daí que vêm as raízes. Concluindo, vejamos algumas dessas equações:

Tarefa. Resolva equações quadráticas:

1. x 2 − 7x = 0;
2. 5x2 + 30 = 0;
3. 4x2 − 9 = 0.

x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.

5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Não há raízes, porque um quadrado não pode ser igual a um número negativo.

4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x2 = −1,5.

QUADRADO TRIPLO III

§ 50 Equações quadráticas

Equações da forma

machado 2 + bx + c = 0, (1)

Onde X - quantidade desconhecida, a, b, c- dados números ( A =/= 0), são chamados de quadrados.

Ao isolar no lado esquerdo da equação quadrática quadrado perfeito(ver fórmula (1) § 49), obtemos:

Obviamente, a equação (2) é equivalente à equação (1) (ver § 2). A equação (2) pode ter raízes reais somente quando ou b 2 - 4ac > 0 (desde 4 A 2 > 0).

Devido ao papel especial desempenhado pela expressão D = b 2 - 4ac ao resolver a equação (1), esta expressão recebe um nome especial - discriminante Equação quadrática machado 2 + bx + c = 0 (ou discriminante trinômio quadrático machado 2 + bx + c ). Então, se o discriminante de uma equação quadrática for negativo, então a equação não tem raízes reais.

Se D = b 2 - 4ac > 0, então de (2) obtemos:

Se o discriminante de uma equação quadrática for não negativo, então esta equação terá raízes reais. Eles são escritos como uma fração, cujo numerador contém o coeficiente da equação em X , Tirado de sinal oposto, mais ou menos a raiz quadrada do discriminante, e no denominador - o dobro do coeficiente em X 2 .

Se o discriminante de uma equação quadrática for positivo, então a equação terá duas raízes reais diferentes:

Se o discriminante de uma equação quadrática for zero, então a equação terá um raiz real:

X = - b / 2 a

(Neste caso, às vezes se diz que a equação tem dois raízes iguais: x 1 = x 2 = - b / 2 a )

Exemplos.

1) Para equação 2 X 2 - X - 3 = 0 discriminante D = (- 1) 2 - 4 2 (- 3) = 25 > 0. A equação tem duas raízes diferentes:

2) Para a equação 3 X 2 - 6X + 3 = 0 D = (- 6) 2 - 4 3 3 = 0. Esta equação tem uma raiz real

3) Para a equação 5 X 2 + 4X + 7 = 0 D = 4 2 - 4 5 7 = - 124< 0. Это уравнение не имеет действительных корней.

4) Descubra em quais valores A Equação quadrática X 2 + Oh + 1 = 0:

a) tem uma raiz;

b) tem dois raízes diferentes;

c) não tem nenhuma raiz,

O discriminante desta equação quadrática é igual a

D = A 2 - 4.

Se | uma | = 2, então D = 0; neste caso, a equação tem uma raiz.

Se | uma | > 2, então D > 0; neste caso, a equação tem duas raízes diferentes.

Finalmente, se | uma | < 2, то dada equação não tem raízes.

Exercícios

Resolva equações (nº 364-369):

364. 6X 2 - X - 1 = 0. 367. - X 2 + 8X - 16 = 0.

365. 3X 2 - 5X + 1 = 0. 368. 2X 2 - 12X + 12 == 0.

366. X 2 - X + 1 = 0. 369. 2X - X 2 - 6 = 0.

370. O número 15 pode ser representado como a soma de dois números de modo que seu produto seja igual a 70?

371. Em que valores A a equação

X 2 - 2Oh + A (1 + A ) = 0

a) tem duas raízes diferentes;

b) possui apenas uma raiz;

c) não tem raízes?

372. Em que valores A a equação

(1 - A ) X 2 - 4Oh + 4 (1 - A ) = 0

a) não tem raízes;

b) não possui mais de uma raiz;

c) tem pelo menos uma raiz?

373. A que valor A a equação X 2 + Oh + 1 = 0 tem uma única raiz? A que é igual?

374. Dentro de que limites está contido um número? A , se for conhecido que as equações

X 2 + x + uma = 0 e X 2 + x-uma = 0

375. O que você pode dizer sobre o tamanho A , se as equações

4A (X 2 + X ) = A - 2,5 e X (X - 1) = 1,25 - A

ter mesmo número raízes?

376. O trem atrasou na estação em t min. Para recuperar o atraso Tempo perdido, o motorista aumentou a velocidade em A km/h e na próxima etapa em b km eliminou o atraso. A que velocidade o trem estava viajando antes do atraso na estação?

377. Dois guindastes, trabalhando juntos, descarregaram a barcaça atrás t h. Quanto tempo cada guindaste pode descarregar individualmente uma barcaça se um deles gastar A h menos que o outro?

378. Uma das fábricas atende um determinado pedido 4 dias mais rápido que outra. Em quanto tempo cada fábrica pode concluir um pedido, trabalhando separadamente, se for sabido que quando trabalhando juntos em 24 dias concluíram um pedido 5 vezes maior?

Resolva equações (nº 379, 380).

(Observe que nessas equações a incógnita está contida nos denominadores das frações. As raízes resultantes precisarão ser verificadas!)

381*. Em que valores A equações

X 2 + Oh + 1 = 0 e X 2 + X + A = 0

tem pelo menos uma raiz comum?

Farafonova Natalya Igorevna

Assunto: Equações quadráticas incompletas.

Lições objetivas:- Introduzir o conceito de equação quadrática incompleta;

Aprenda a resolver equações quadráticas incompletas.

Lições objetivas:- Ser capaz de determinar o tipo de equação quadrática;

Resolva equações quadráticas incompletas.

Weblivro:Álgebra: livro didático. para a 8ª série. Educação geral instituições / Sh. A. Alimov, Yu. M. Kolyagin, Yu. V. Sidorov, etc. - M.: Educação, 2010.

Durante as aulas.

1. Lembre aos alunos que antes de resolver qualquer equação quadrática, é necessário reduzi-la a modo de exibição padrão. Lembre-se da definição equação quadrática completa:machado 2 +bx +c = 0,uma ≠ 0.

Nessas equações quadráticas, nomeie os coeficientes a, b, c:

a) 2x 2 - x + 3 = 0; b) x 2 + 4x - 1 = 0; c) x 2 - 4 = 0; d) 5x 2 + 3x = 0.

2. Defina uma equação quadrática incompleta:

A equação quadrática ax 2 + bx + c = 0 é chamada incompleto, se pelo menos um dos coeficientes, b ou c, for igual a 0. Observe que o coeficiente a ≠ 0. Das equações apresentadas acima, selecione equações quadráticas incompletas.

3. É mais conveniente apresentar os tipos de equações quadráticas incompletas com exemplos de soluções em forma de tabela:

1. Sem resolver, determine o número de raízes para cada equação quadrática incompleta:

a) 2x 2 - 3 = 0; b) 3x 2 + 4 = 0; c) 5x 2 - x = 0; d) 0,6x2 = 0; e) -8x 2 - 4 = 0.

1. Resolva equações quadráticas incompletas (resolvendo equações, com verificação no quadro, 2 opções):

c) 2x 2 + 15 = 0

d) 3x 2 + 2x = 0

e) 2x 2 - 16 = 0

e) 5(x 2 + 2) = 2(x 2 + 5)

g) (x + 1) 2 - 4 = 0

c) 2x 2 + 7 = 0

d) x 2 + 9x = 0

e) 81x 2 - 64 = 0

f) 2(x 2 + 4) = 4(x 2 + 2)

g) (x - 2) 2 - 8 = 0.

6. Trabalho independente de acordo com as opções:

1 opção

a) 3x 2 - 12 = 0

b) 2x 2 + 6x = 0

e) 7x 2 - 14 = 0

opção 2

b) 6x 2 + 24 = 0

c) 9y 2 - 4 = 0

d) -y 2 + 5 = 0

e) 1 - 4y 2 = 0

e) 8y 2 + y = 0

Opção 3

a) 6y - y 2 = 0

b) 0,1y 2 - 0,5y = 0

c) (x + 1)(x -2) = 0

d) x(x + 0,5) = 0

e) x 2 - 2x = 0

e) x 2 - 16 = 0

Opção 4

a) 9x 2 - 1 = 0

b) 3x - 2x 2 = 0

d) x 2 + 2x - 3 = 2x + 6

e) 3x 2 + 7 = 12x+ 7

Opção 5

a) 2x 2 - 18 = 0

b) 3x 2 - 12x = 0

d) x 2 + 16 = 0

e) 6x 2 - 18 = 0

e) x 2 - 5x = 0

Opção 6

b) 4x 2 + 36 = 0

c) 25y 2 - 1 = 0

d) -y 2 + 2 = 0

e) 9 - 16 anos 2 = 0

e) 7y 2 + y = 0

Opção 7

a) 4y - y 2 = 0

b) 0,2y 2 - y = 0

c) (x + 2)(x - 1) = 0

d) (x - 0,3)x = 0

e) x 2 + 4x = 0

e) x 2 - 36 = 0

Opção 8

a) 16x 2 - 1 = 0

b) 4x - 5x 2 = 0

d) x 2 - 3x - 5 = 11 - 3x

e) 5x 2 - 6 = 15x - 6

Respostas para trabalho independente:

Opção 1: a)2, b)0;-3; c)0; d) sem raízes; d);

Opção 2 a)0; b) raízes; V); G); d); e)0;- ;

Opção 3 a)0;6; b)0;5; c)-1;2; d)0;-0,5; d)0;2; e)4

4 opção a); b)0;1,5; c)0;3; d)3; d)0;4 f)5

5 opção a)3; b)0;4; c)0; d) sem raízes; e)f)0;5

6 opção a)0; b) não há raízes; c) d) e) f)0;-

7 opção a)0;4; b)0;5; c)-2;1; d)0;0,03; d)0;-4; e)6

8 opção a) b)0; c)0;7; d)4; d)0;3; e)

Resumo da lição: O conceito de “equação quadrática incompleta” é formulado; soluções são mostradas tipos diferentes equações quadráticas incompletas. Em andamento várias tarefas habilidades para resolver equações quadráticas incompletas foram desenvolvidas.

7. Trabalho de casa: №№ 421(2), 422(2), 423(2,4), 425.

Tarefa adicional:

Para quais valores de a a equação é uma equação quadrática incompleta? Resolva a equação para os valores obtidos de a:

a) x 2 + 3ax + a - 1 = 0

b) (a - 2)x 2 + machado = 4 - a 2 = 0