O tipo mais simples de vibrações são vibrações harmônicas- flutuações nas quais o deslocamento do ponto oscilante da posição de equilíbrio muda ao longo do tempo de acordo com a lei do seno ou cosseno.

Assim, com uma rotação uniforme da bola ao redor da circunferência, sua projeção (sombra em raios de luz paralelos) realiza um movimento oscilatório harmônico em uma tela vertical (Fig. 1).

O deslocamento da posição de equilíbrio durante vibrações harmônicas é descrito pela equação (é chamada de lei cinemática movimento harmônico) do formulário:

onde x - deslocamento - um valor que caracteriza a posição do ponto oscilante no tempo t em relação à posição de equilíbrio e é medido pela distância da posição de equilíbrio até a posição do ponto em este momento Tempo; A - amplitude de oscilação - o deslocamento máximo do corpo da posição de equilíbrio; T - período de oscilação - o tempo de uma oscilação completa; Essa. o menor período de tempo após o qual os valores das quantidades físicas que caracterizam a oscilação são repetidos; - fase inicial;

A fase da oscilação no tempo t. A fase de oscilação é o argumento função periódica, que em uma determinada amplitude de oscilação determina o estado do sistema oscilatório (deslocamento, velocidade, aceleração) do corpo a qualquer momento.

Se em momento inicial tempo, o ponto oscilante é deslocado ao máximo da posição de equilíbrio, então , e o deslocamento do ponto da posição de equilíbrio muda de acordo com a lei

Se o ponto oscilante em está em uma posição de equilíbrio estável, então o deslocamento do ponto da posição de equilíbrio muda de acordo com a lei

O valor de V, o recíproco do período e igual ao número oscilações completas feitas em 1 s é chamada de frequência de oscilações:

Se no tempo t o corpo faz N oscilações completas, então

O valor que , mostrando quantas oscilações o corpo faz em s, é chamado frequência cíclica (circular).

A lei cinemática do movimento harmônico pode ser escrita como:

Graficamente, a dependência do deslocamento de um ponto oscilante no tempo é representada por um cosseno (ou senóide).

A Figura 2, a mostra a dependência temporal do deslocamento do ponto oscilante da posição de equilíbrio para o caso .

Vamos descobrir como a velocidade de um ponto oscilante muda com o tempo. Para fazer isso, encontramos a derivada no tempo desta expressão:

onde é a amplitude da projeção da velocidade no eixo x.

Esta fórmula mostra que durante as oscilações harmônicas, a projeção da velocidade do corpo no eixo x também muda de acordo com a lei harmônica com a mesma frequência, com uma amplitude diferente, e está à frente da fase de mistura por (Fig. 2, b) .

Para descobrir a dependência da aceleração, encontramos a derivada no tempo da projeção da velocidade:

onde é a amplitude da projeção da aceleração no eixo x.

Para oscilações harmônicas, a projeção da aceleração lidera o deslocamento de fase em k (Fig. 2, c).

Da mesma forma, você pode criar gráficos de dependência

Considerando que , a fórmula da aceleração pode ser escrita

Essa. para oscilações harmônicas, a projeção da aceleração é diretamente proporcional ao deslocamento e de sinal oposto, ou seja, aceleração é direcionada na direção oposta ao deslocamento.

Assim, a projeção da aceleração é a segunda derivada do deslocamento, então a razão resultante pode ser escrita como:

A última igualdade é chamada equação das oscilações harmônicas.

Um sistema físico no qual podem existir oscilações harmônicas é chamado oscilador harmônico, e a equação das oscilações harmônicas - equação do oscilador harmônico.

Equação de onda harmônica

A equação de oscilação harmônica estabelece a dependência da coordenada do corpo no tempo

O gráfico do cosseno tem um valor máximo no momento inicial, e o gráfico do seno tem um valor zero no momento inicial. Se começarmos a investigar a oscilação a partir da posição de equilíbrio, a oscilação repetirá a senóide. Se começarmos a considerar a oscilação a partir da posição do desvio máximo, a oscilação descreverá o cosseno. Ou tal oscilação pode ser descrita pela fórmula do seno com a fase inicial.

Mudança na velocidade e aceleração durante a oscilação harmônica

Não apenas a coordenada do corpo muda com o tempo de acordo com a lei do seno ou cosseno. Mas quantidades como força, velocidade e aceleração também mudam de maneira semelhante. A força e a aceleração são máximas quando o corpo oscilante está em posições extremas, onde o deslocamento é máximo, e são iguais a zero quando o corpo passa pela posição de equilíbrio. A velocidade, ao contrário, nas posições extremas é igual a zero, e quando o corpo passa da posição de equilíbrio, atinge seu valor máximo.

Se a oscilação é descrita de acordo com a lei do cosseno

Se a oscilação é descrita de acordo com a lei do seno

Valores máximos de velocidade e aceleração

Depois de analisar as equações de dependência v(t) e a(t), pode-se adivinhar que os valores máximos de velocidade e aceleração assumem quando fator trigonométricoé 1 ou -1. Determinado pela fórmula

Mudanças no tempo de acordo com uma lei senoidal:

Onde X- o valor da quantidade flutuante no momento t, MAS- amplitude, ω - frequência circular, φ é a fase inicial das oscilações, ( φt + φ ) é a fase total das oscilações. Ao mesmo tempo, os valores MAS, ω e φ - permanente.

Para vibrações mecânicas com valor oscilante X são, em particular, deslocamento e velocidade, para oscilações elétricas- tensão e corrente.

As vibrações harmônicas levam lugar especial entre todos os tipos de oscilações, pois este é o único tipo de oscilação, cuja forma não é distorcida ao passar por qualquer ambiente homogêneo, ou seja, ondas que se propagam de uma fonte de oscilações harmônicas também serão harmônicas. Qualquer vibração não harmônica pode ser representada como uma soma (integral) de várias vibrações harmônicas (na forma de um espectro de vibrações harmônicas).

Transformações de energia durante vibrações harmônicas.

No processo de oscilações, há uma transição de energia potencial Wp em cinética Semana e vice versa. Na posição de desvio máximo da posição de equilíbrio, a energia potencial é máxima, a energia cinética é zero. Ao retornar à posição de equilíbrio, a velocidade do corpo oscilante aumenta e, com ela, também aumenta. energia cinética, atingindo um máximo na posição de equilíbrio. A energia potencial então cai para zero. O movimento do pescoço posterior ocorre com uma diminuição da velocidade, que cai para zero quando a deflexão atinge seu segundo máximo. A energia potencial aqui aumenta para seu valor inicial (máximo) (na ausência de atrito). Assim, as oscilações das energias cinética e potencial ocorrem com frequência dobrada (em comparação com as oscilações do próprio pêndulo) e estão em antifase (ou seja, há um deslocamento de fase entre elas igual a π ). Energia total de vibração C permanece inalterado. Para um corpo oscilando sob a ação de uma força elástica, é igual a:

Onde vm- a velocidade máxima do corpo (na posição de equilíbrio), xm = MAS- amplitude.

Devido à presença de atrito e resistência do meio vibrações livres decaimento: sua energia e amplitude diminuem com o tempo. Portanto, na prática, oscilações não livres, mas forçadas, são usadas com mais frequência.

Junto com progressiva e movimentos rotacionais corpos em mecânica, os movimentos oscilatórios também são de interesse considerável. Vibrações mecânicas chamados de movimentos de corpos que se repetem exatamente (ou aproximadamente) em intervalos regulares. A lei do movimento de um corpo oscilante é dada por alguma função periódica do tempo x = f (t). Imagem gráfica Esta função dá uma representação visual do curso do processo oscilatório no tempo.

Exemplos de sistemas oscilatórios simples são uma carga em uma mola ou pêndulo matemático(Fig. 2.1.1).

Vibrações mecânicas, como processos oscilatórios qualquer outra natureza física, pode ser gratuitamente e forçado. Vibrações livres são feitos sob a influência forças internas sistema após o sistema ter sido trazido para fora do equilíbrio. As oscilações de um peso sobre uma mola ou as oscilações de um pêndulo são oscilações livres. vibrações sob a ação externo forças que mudam periodicamente são chamadas forçado .

O tipo mais simples de processo oscilatório são simples vibrações harmônicas , que são descritos pela equação

x = x mcos (ω t + φ 0).

Aqui x- deslocamento do corpo da posição de equilíbrio, x m - amplitude de oscilação, ou seja, o deslocamento máximo da posição de equilíbrio, ω - frequência cíclica ou circular hesitação, t- Tempo. O valor sob o sinal do cosseno φ = ω t+ φ 0 é chamado Estágio processo harmônico. No t= 0 φ = φ 0 , então φ 0 é chamado fase inicial. O intervalo de tempo mínimo após o qual o movimento do corpo é repetido é chamado de período de oscilação T. Quantidade física, o recíproco do período de oscilação, é chamado frequência de oscilação:

Frequência de oscilação f mostra quantas vibrações são feitas em 1 s. Unidade de frequência - hertz(Hz). Frequência de oscilação f está relacionado com a frequência cíclica ω e o período de oscilação Tíndices:

Na fig. 2.1.2 mostra as posições do corpo em intervalos regulares com vibrações harmônicas. Tal imagem pode ser obtida experimentalmente iluminando um corpo oscilante com curtos flashes periódicos de luz ( iluminação estroboscópica). As setas representam os vetores de velocidade do corpo em diferentes pontos no tempo.

Arroz. 2.1.3 ilustra as mudanças que ocorrem no gráfico de um processo harmônico se a amplitude das oscilações mudar x m, ou período T(ou frequência f), ou a fase inicial φ 0 .

No movimento oscilatório corpos ao longo de uma linha reta (eixo BOI) o vetor velocidade é sempre direcionado ao longo dessa linha reta. Velocidade υ = υ x movimento do corpo é determinado pela expressão

Em matemática, o procedimento para encontrar o limite da razão em Δ t→ 0 é chamado de cálculo da derivada da função x (t) por tempo t e denotado como ou como x"(t) ou finalmente como . Para a lei harmônica do movimento O cálculo da derivada leva ao seguinte resultado:

O aparecimento do termo + π / 2 no argumento do cosseno significa uma mudança na fase inicial. Valores máximos do módulo de velocidade υ = ω x m são alcançados naqueles momentos de tempo em que o corpo passa pelas posições de equilíbrio ( x= 0). Aceleração é definida de forma semelhante uma = umax corpos com vibrações harmônicas:

daí a aceleração umaé igual à derivada da função υ ( t) por tempo t, ou a segunda derivada da função x (t). Os cálculos dão:

O sinal de menos nesta expressão significa que a aceleração uma (t) sempre tem um sinal, sinal oposto tendência x (t), e, portanto, de acordo com a segunda lei de Newton, a força que faz o corpo realizar oscilações harmônicas é sempre direcionada para a posição de equilíbrio ( x = 0).

flutuações chamados movimentos ou processos que se caracterizam por uma certa repetição no tempo. Os processos oscilatórios são difundidos na natureza e na tecnologia, por exemplo, a oscilação de um pêndulo de relógio, variável eletricidade etc. Quando o pêndulo oscila, a coordenada do seu centro de massa muda, no caso corrente alternada tensão e corrente flutuam no circuito. natureza física oscilações podem ser diferentes, portanto, oscilações mecânicas, eletromagnéticas, etc. as mesmas equações. Daí vem a viabilidade abordagem unificada para o estudo das vibrações natureza física diferente.

As oscilações são chamadas gratuitamente, se eles são feitos apenas sob a influência de forças internas que atuam entre os elementos do sistema, após o sistema ser removido da posição de equilíbrio forças externas e deixado a si mesmo. Vibrações livres sempre oscilações amortecidas , porque em sistemas reais perdas de energia são inevitáveis. No caso idealizado de um sistema sem perda de energia, as oscilações livres (continuando o tempo desejado) são chamadas ter.

O tipo mais simples de oscilações livres não amortecidas são oscilações harmônicas - flutuações nas quais o valor flutuante muda com o tempo de acordo com a lei do seno (coseno). As oscilações encontradas na natureza e na tecnologia costumam ter um caráter próximo ao harmônico.

As vibrações harmônicas são descritas por uma equação chamada equação das vibrações harmônicas:

Onde MAS- amplitude das flutuações, o valor máximo do valor flutuante X; - frequência circular (cíclica) das oscilações naturais; - a fase inicial da oscilação em um momento de tempo t= 0; - a fase da oscilação no momento do tempo t. A fase da oscilação determina o valor da grandeza oscilante em um determinado momento. Como o cosseno varia de +1 a -1, então X pode receber valores de + UMA antes da - MAS.

Tempo T, para o qual o sistema completa uma oscilação completa, é chamado período de oscilação. Durante T fase de oscilação é incrementada em 2 π , ou seja

Onde . (14.2)

O recíproco do período de oscilação

isto é, o número de oscilações completas por unidade de tempo é chamado de frequência de oscilação. Comparando (14.2) e (14.3) obtemos

A unidade de frequência é hertz (Hz): 1 Hz é a frequência na qual uma oscilação completa ocorre em 1 s.

Sistemas em que vibrações livres podem ocorrer são chamados de osciladores . Que propriedades um sistema deve ter para que ocorram oscilações livres nele? sistema mecânico deve ter posição de equilíbrio estável, ao sair que aparece restaurando a força para o equilíbrio. Esta posição corresponde, como se sabe, a um mínimo energia potencial sistemas. Vamos considerar vários sistemas oscilatórios que satisfazem as propriedades listadas.