Propriedade distributiva da adição e multiplicação. Propriedades básicas da multiplicação de inteiros

Lições objetivas:

Obtenha igualdades que expressem a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração.
Ensine os alunos a aplicar essa propriedade da esquerda para a direita.
Mostrar importante valor prático está Propriedade.
Desenvolva nos alunos pensamento lógico. Fortaleça suas habilidades em informática.

Equipamento: computadores, cartazes com propriedades de multiplicação, com imagens de carros e maçãs, cartas.

Durante as aulas

1. Discurso introdutório do professor.

Hoje, na lição, consideraremos outra propriedade da multiplicação, que é de grande importância prática, ajuda a multiplicar rapidamente números com vários dígitos. Vamos repetir as propriedades da multiplicação estudadas anteriormente. À medida que estudamos um novo tópico, verificamos nosso dever de casa.

2. Resolução de exercícios orais.

EU. Escreva no quadro:

1 - segunda-feira
2 - terça-feira
3 - Quarta-feira
4 - quinta-feira
5 - Sexta-feira
6 - Sábado
7 – Domingo

Exercício. Considere o dia da semana. Multiplique o número do dia planejado por 2. Adicione 5 ao produto. Multiplique a soma por 5. Aumente o produto em 10 vezes. nomeie o resultado. Você adivinhou... um dia.

(№ * 2 + 5) * 5 * 10

II. Tarefa de livro eletrônico"Matemática 5-11kl. Novas oportunidades para dominar o curso de matemática. Estágio". Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. Seção “Matemática. inteiros". Tarefa número 8. Controle expresso. Preencha as células vazias na cadeia. Opção 1.

III. Na mesa:

a+b
(a+b)*c
m-n
m * c – n * c

2) Simplifique:

5*x*6*a
3*2*a
um * 8 * 7
3*a*b

3) Para quais valores de x a igualdade se torna verdadeira:

x + 3 = 3 + x
407 * x = x * 407? Por quê?

Que propriedades de multiplicação foram usadas?

3. Aprendendo novos materiais.

No quadro há um pôster com fotos de carros.

Imagem 1.

Tarefa para 1 grupo de alunos (meninos).

Na garagem em 2 filas há caminhões e carros. Escreva expressões.

Quão caminhões na 1ª fila? Quantos carros?
Quantos caminhões estão na 2ª fila? Quantos carros?
Quantos carros estão na garagem?
Quantos caminhões estão na pista 1? Quantos caminhões estão em duas fileiras?
Quantos carros estão na 1ª fila? Quantos carros estão em duas filas?
Quantos carros estão na garagem?

Encontre os valores das expressões 3 e 6. Compare esses valores. Escreva expressões em um caderno. Leia igualdade.

Tarefa para 2 grupos de alunos (meninos).

Na garagem em 2 filas há caminhões e carros. O que significam as expressões:

4 – 3
4 * 2
3 * 2
(4 – 3) * 2
4 * 2 – 3 * 2

Encontre os valores das duas últimas expressões.

Então, entre essas expressões, você pode colocar o sinal =.

Vamos ler a igualdade: (4 - 3) * 2 = 4 * 2 - 3 * 2.

Cartaz com imagens de vermelho e maçãs verdes.

Figura 2.

Tarefa para o 3º grupo de alunos (meninas).

Compor expressões.

Qual é a massa de uma maçã vermelha e uma verde juntas?
Qual é a massa de todas as maçãs juntas?
Qual é a massa de todas as maçãs vermelhas juntas?
Qual é a massa de todas as maçãs verdes juntas?
Qual é a massa de todas as maçãs?

Encontre os valores das expressões 2 e 5 e compare-os. Escreva essa expressão em seu caderno. Ler.

Tarefa para 4 grupos de alunos (meninas).

A massa de uma maçã vermelha é 100 g, uma maçã verde é 80 g.

Compor expressões.

Quantos g a massa de uma maçã vermelha é maior que a de uma verde?
Qual é a massa de todas as maçãs vermelhas?
Qual é a massa de todas as maçãs verdes?
Em quantos g a massa de todas as maçãs vermelhas é maior que a das verdes?

Encontre os valores das expressões 2 e 5. Compare-os. Leia igualdade. As igualdades são verdadeiras apenas para esses números?

4. Verificando a lição de casa.

Exercício. Por abreviação condições do problema para colocar a questão principal, compor uma expressão e encontrar seu valor para os valores dados das variáveis.

1 grupo

Encontre o valor da expressão para a = 82, b = 21, c = 2.

2 grupo

Encontre o valor da expressão em a = 82, b = 21, c = 2.

3 grupo

Encontre o valor da expressão para a = 60, b = 40, c = 3.

4 grupo

Encontre o valor da expressão em a = 60, b = 40, c = 3.

Trabalho de classe.

Compare os valores da expressão.

Para os grupos 1 e 2: (a + b) * c e a * c + b * c

Para os grupos 3 e 4: (a - b) * c e a * c - b * c

(a + b) * c = a * c + b * c
(a - b) * c \u003d a * c - b * c

Então, para quaisquer números a, b, c, é verdade:

Ao multiplicar uma soma por um número, você pode multiplicar cada termo por esse número e adicionar os produtos resultantes.
Ao multiplicar a diferença por um número, você pode multiplicar o minuendo e subtrair por esse número e subtrair o segundo do primeiro produto.
Ao multiplicar a soma ou diferença por um número, a multiplicação é distribuída sobre cada número entre parênteses. Portanto, essa propriedade da multiplicação é chamada de propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração.

Vamos ler a declaração de propriedade do livro.

5. Consolidação de novo material.

Complete o nº 548. Aplique a propriedade distributiva da multiplicação.

(68 + a) * 2
17 * (14 - x)
(b-7) * 5
13*(2+ano)

1) Escolha tarefas para avaliação.

Atribuições para a avaliação de "5".

Exemplo 1. Vamos encontrar o valor do produto 42 * 50. Vamos representar o número 42 como a soma dos números 40 e 2.

Obtemos: 42 * 50 = (40 + 2) * 50. Agora aplicamos a propriedade de distribuição:

42 * 50 = (40 + 2) * 50 = 40 * 50 + 2 * 50 = 2 000 +100 = 2 100.

Da mesma forma, resolva o nº 546:

a) 91 * 8
c) 6 * 52
e) 202 * 3
g) 24 * 11
h) 35 * 12
e) 4 * 505

Represente os números 91,52, 202, 11, 12, 505 como uma soma de dezenas e unidades e aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Exemplo 2. Encontre o valor do produto 39 * 80.

Vamos representar o número 39 como a diferença entre 40 e 1.

Obtemos: 39 * 80 \u003d (40 - 1) \u003d 40 * 80 - 1 * 80 \u003d 3200 - 80 \u003d 3120.

Resolva a partir de #546:

b) 7 * 59
e) 397 * 5
d) 198 * 4
j) 25 * 399

Represente os números 59, 397, 198, 399 como a diferença entre dezenas e unidades e aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração.

Tarefas para a avaliação de "4".

Resolva do No. 546 (a, c, e, g, h, i). Aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Resolva do No. 546 (b, d, f, j). Aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração.

Tarefas para a avaliação "3".

Resolução No. 546 (a, c, e, g, h, i). Aplique a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Resolução No. 546 (b, d, f, j).

Para resolver o problema nº 552, faça uma expressão e faça um desenho.

A distância entre as duas aldeias é de 18 km. Deles foi para lados diferentes dois ciclistas. Um percorre m km por hora e o outro n km. Qual a distância entre eles após 4 horas?

(Oral. Exemplos são registrados em lado reverso Pranchas.)

Substitua pelos números que faltam:

Tarefa do livro eletrônico "Matemática 5-11kl. Novas oportunidades para dominar o curso de matemática. Estágio". Drofa LLC 2004, DOS LLC 2004, CD-ROM, NFPK. Seção “Matemática. inteiros". Tarefa número 7. Controle expresso. Restaurar números ausentes.

6. Resumindo a lição.

Assim, consideramos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição e subtração. Vamos repetir a formulação da propriedade, leia as igualdades que expressam a propriedade. A aplicação da propriedade distributiva da multiplicação da esquerda para a direita pode ser expressa pela condição “colchetes abertos”, uma vez que a expressão foi colocada entre colchetes do lado esquerdo da igualdade, mas não há colchetes à direita. Ao resolver exercícios orais para adivinhar o dia da semana, também usamos a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

(Nº * 2 + 5) * 5 * 10 = 100 * Não. + 250 e, em seguida, resolva uma equação da forma:
100 * não + 250 = um

Definimos adição, multiplicação, subtração e divisão de inteiros. Essas ações (operações) têm uma série de resultados característicos, que são chamados de propriedades. Neste artigo, consideraremos as propriedades básicas de adição e multiplicação de inteiros, das quais decorrem todas as outras propriedades dessas operações, bem como as propriedades de subtração e divisão de inteiros.

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A adição de inteiros tem várias outras propriedades muito importantes.

Um deles está relacionado à existência do zero. Esta propriedade da adição de inteiros afirma que adicionar zero a qualquer número inteiro não altera esse número. Vamos escrever dada propriedade adição usando letras: a+0=a e 0+a=a (esta igualdade é válida devido à propriedade comutativa da adição), a é qualquer número inteiro. Você pode ouvir que o inteiro zero também é chamado de elemento neutro. Vamos dar alguns exemplos. A soma de um inteiro −78 e zero é −78 ; se você adicionar um inteiro a zero número positivo 999 , então como resultado obtemos o número 999 .

Vamos agora formular outra propriedade da adição de inteiros, que está relacionada à existência de um número oposto para qualquer inteiro. A soma de qualquer número inteiro com seu número oposto é zero. Aqui está a forma literal desta propriedade: a+(−a)=0 , onde a e −a são inteiros opostos. Por exemplo, a soma 901+(−901) é zero; da mesma forma, a soma dos inteiros opostos -97 e 97 é zero.

Propriedades básicas da multiplicação de inteiros

A multiplicação de números inteiros tem todas as propriedades da multiplicação de números naturais. Listamos as principais dessas propriedades.

Assim como zero é um número inteiro neutro em relação à adição, um é um número inteiro neutro em relação à multiplicação de números inteiros. Aquilo é, multiplicar qualquer número inteiro por um não altera o número que está sendo multiplicado. Então 1·a=a , onde a é qualquer número inteiro. A última igualdade pode ser reescrita como a 1=a , isso nos permite fazer a propriedade comutativa da multiplicação. Vamos dar dois exemplos. O produto do inteiro 556 por 1 é 556; produto de uma unidade e um todo número negativo−78 é igual a −78 .

A próxima propriedade da multiplicação de inteiros está relacionada à multiplicação por zero. O resultado da multiplicação de qualquer inteiro a por zero zero , ou seja, a 0 = 0 . A igualdade 0·a=0 também é verdadeira devido à propriedade comutativa da multiplicação de inteiros. Em um caso particular, quando a=0, o produto de zero e zero é igual a zero.

Para a multiplicação de inteiros, a propriedade oposta à anterior também é verdadeira. Ele afirma que o produto de dois inteiros é igual a zero se pelo menos um dos fatores for igual a zero. Na forma literal, esta propriedade pode ser escrita da seguinte forma: a·b=0 , se a=0 , ou b=0 , ou ambos a e b são iguais a zero ao mesmo tempo.

Propriedade distributiva da multiplicação de inteiros em relação à adição

Juntas, a adição e a multiplicação de inteiros nos permite considerar a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, que conecta as duas ações indicadas. Usar adição e multiplicação juntas abre características adicionais, que estaríamos privados de considerar a adição separadamente da multiplicação.

Assim, a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição diz que o produto de um inteiro a e a soma de dois inteiros a e b é igual à soma dos produtos de a b e a c , ou seja, a (b+c)=a b+a c. A mesma propriedade pode ser escrita de outra forma: (a+b) c=a c+bc .

propriedade de distribuição multiplicação de inteiros em relação à adição, juntamente com a propriedade associativa da adição, nos permite determinar a multiplicação de um inteiro pela soma de três e mais inteiros, e então - e a multiplicação da soma dos inteiros pela soma.

Observe também que todas as outras propriedades de adição e multiplicação de inteiros podem ser obtidas a partir das propriedades que indicamos, ou seja, são consequências das propriedades acima.

Propriedades de subtração de inteiros

Da igualdade obtida, bem como das propriedades de adição e multiplicação de inteiros, seguem as seguintes propriedades de subtração de inteiros (a, b e c são inteiros arbitrários):

Subtração de inteiros em caso Geral NÃO tem a propriedade comutativa: a−b≠b−a .
A diferença de inteiros iguais é igual a zero: a−a=0 .
A propriedade de subtrair a soma de dois inteiros de um dado inteiro: a−(b+c)=(a−b)−c .
A propriedade de subtrair um inteiro da soma de dois inteiros: (a+b)−c=(a−c)+b=a+(b−c) .
A propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração: a (b−c)=a b−a c e (a−b) c=a c−b c.
E todas as outras propriedades da subtração de inteiros.

Propriedades da divisão inteira

Discutindo sobre o significado da divisão de inteiros, descobrimos que a divisão de inteiros é uma ação, recíproco da multiplicação. Demos a seguinte definição: divisão de inteiros é encontrar multiplicador desconhecido sobre trabalho famoso e um multiplicador conhecido. Ou seja, chamamos o inteiro c o quociente do inteiro a dividido pelo inteiro b quando o produto c·b é igual a a .

Esta definição, assim como todas as propriedades das operações sobre inteiros consideradas acima, permitem estabelecer a validade das seguintes propriedades de divisão de inteiros:

Nenhum inteiro pode ser dividido por zero.
A propriedade de dividir zero por um inteiro arbitrário diferente de zero a : 0:a=0 .
Propriedade de dividir números inteiros iguais: a:a=1 , onde a é qualquer número inteiro diferente de zero.
A propriedade de dividir um inteiro arbitrário a por um: a:1=a .
Em geral, a divisão de inteiros NÃO possui a propriedade comutativa: a:b≠b:a .
As propriedades de dividir a soma e a diferença de dois inteiros por um inteiro são: (a+b):c=a:c+b:ce (a−b):c=a:c−b:c , onde a , b e c são inteiros tais que tanto a como b são divisíveis por c e c é diferente de zero.
A propriedade de dividir o produto de dois inteiros a e b por um inteiro diferente de zero c : (a b):c=(a:c) b se a for divisível por c ; (a b):c=a (b:c) se b é divisível por c ; (a b):c=(a:c) b=a (b:c) se a e b são divisíveis por c .
A propriedade de dividir um inteiro a pelo produto de dois inteiros b e c (números a , b e c tais que é possível dividir a por b c): a:(b c)=(a:b) c=(a :c ) B.
Qualquer outra propriedade da divisão inteira.

Considere um exemplo que confirma a validade da propriedade comutativa da multiplicação de dois números naturais. Com base no significado da multiplicação de dois números naturais, calculamos o produto dos números 2 e 6, bem como o produto dos números 6 e 2, e verificamos a igualdade dos resultados da multiplicação. O produto dos números 6 e 2 é igual à soma 6+6, da tabela de adição encontramos 6+6=12. E o produto dos números 2 e 6 é igual à soma de 2+2+2+2+2+2, que é igual a 12 (se necessário, veja o material do artigo somando três ou mais números). Portanto, 6 2=2 6 .

Aqui está uma imagem que ilustra a propriedade comutativa de multiplicar dois números naturais.

Propriedade associativa da multiplicação de números naturais.

Vamos expressar a propriedade associativa da multiplicação de números naturais: multiplique um determinado número por Este trabalho dois números é o mesmo que multiplicar o número dado pelo primeiro fator e multiplicar o resultado pelo segundo fator. Aquilo é, a (b c) = (a b) c, onde a , b e c podem ser quaisquer números naturais (em colchetes contêm expressões cujos valores são avaliados primeiro).

Vamos dar um exemplo para confirmar a propriedade associativa da multiplicação de números naturais. Calcule o produto 4·(3·2) . Pelo significado de multiplicação, temos 3 2=3+3=6 , então 4 (3 2)=4 6=4+4+4+4+4+4=24 . Agora vamos fazer a multiplicação (4 3) 2 . Como 4 3=4+4+4=12 , então (4 3) 2=12 2=12+12=24 . Assim, a igualdade 4·(3·2)=(4·3)·2 é verdadeira, o que confirma a validade da propriedade considerada.

Vamos mostrar uma figura que ilustra a propriedade associativa da multiplicação de números naturais.

Concluindo este parágrafo, notamos que a propriedade associativa da multiplicação nos permite determinar de forma única a multiplicação de três ou mais números naturais.

Propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

A próxima propriedade relaciona adição e multiplicação. É formulado da seguinte forma: multiplicar uma dada soma de dois números por um dado número é o mesmo que somar o produto do primeiro termo e determinado número com o produto do segundo termo e o número dado . Esta é a chamada propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Usando letras, a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição é escrita como (a+b) c=a c+bc(na expressão a c + b c, a multiplicação é realizada primeiro, após a qual a adição é realizada, mais sobre isso está escrito no artigo), onde a, b e c são números naturais arbitrários. Observe que a força da propriedade comutativa da multiplicação, a propriedade distributiva da multiplicação pode ser escrita em seguinte formulário: a (b+c)=a b+a c.

Vamos dar um exemplo confirmando a propriedade distributiva da multiplicação de números naturais. Vamos verificar a igualdade (3+4) 2=3 2+4 2 . Temos (3+4) 2=7 2=7+7=14 , e 3 2+4 2=(3+3)+(4+4)=6+8=14 , daí a igualdade ( 3+4 ) 2=3 2+4 2 está correto.

Vamos mostrar uma figura correspondente à propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

A propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração.

Se aderirmos ao significado de multiplicação, então o produto 0 n, onde n é um número natural arbitrário maior que um, é a soma de n termos, cada um dos quais é igual a zero. Nesse caminho, . As propriedades da adição nos permitem afirmar que a última soma é zero.

Assim, para qualquer número natural n, a igualdade 0 n=0 é válida.

Para que a propriedade comutativa da multiplicação permaneça válida, também aceitamos a validade da igualdade n·0=0 para qualquer número natural n.

Então, o produto de zero e um número natural é zero, isso é 0 n = 0 e n 0 = 0, onde n é um número natural arbitrário. A última afirmação é uma formulação da propriedade de multiplicação de um número natural e zero.

Em conclusão, damos alguns exemplos relacionados à propriedade da multiplicação discutida nesta subseção. O produto dos números 45 e 0 é zero. Se multiplicarmos 0 por 45970, também obtemos zero.

Agora você pode começar a estudar com segurança as regras pelas quais a multiplicação de números naturais é realizada.

Bibliografia.

Matemáticas. Quaisquer livros didáticos para as séries 1, 2, 3, 4 de instituições educacionais.
Matemáticas. Quaisquer livros didáticos para 5 classes de instituições de ensino.

Vamos desenhar um retângulo em um pedaço de papel em uma gaiola com lados de 5 cm e 3 cm, vamos dividi-lo em quadrados com um lado de 1 cm ( fig. 143). Vamos contar o número de células localizadas no retângulo. Isso pode ser feito, por exemplo, assim.

O número de quadrados com um lado de 1 cm é 5 * 3. Cada um desses quadrados consiste em quatro células. É por isso número total células é (5 * 3 ) * 4 .

O mesmo problema pode ser resolvido de forma diferente. Cada uma das cinco colunas do retângulo consiste em três quadrados com 1 cm de lado, portanto, uma coluna contém 3 * 4 células. Portanto, haverá 5 * (3 * 4) células no total.

A contagem de células na Figura 143 ilustra de duas maneiras propriedade associativa da multiplicação para os números 5, 3 e 4 . Temos: (5 * 3 ) * 4 = 5 * (3 * 4 ).

Para multiplicar o produto de dois números por um terceiro número, você pode multiplicar o primeiro número pelo produto do segundo e terceiro números.

(ab)c = a(bc)

Segue-se das propriedades comutativas e associativas da multiplicação que, ao multiplicar vários números, os fatores podem ser trocados e colocados entre colchetes, determinando assim a ordem dos cálculos.

Por exemplo, as igualdades são verdadeiras:

abc=cba

17 * 2 * 3 * 5 = (17 * 3 ) * (2 * 5 ).

Na figura 144, o segmento AB divide o retângulo considerado acima em um retângulo e um quadrado.

Contamos o número de quadrados com um lado de 1 cm de duas maneiras.

Por um lado, existem 3 * 3 deles no quadrado resultante e 3 * 2 no retângulo. No total, obtemos 3 * 3 + 3 * 2 quadrados. Por outro lado, em cada uma das três linhas retângulo dado existem 3 + 2 quadrados. Então eles totalé igual a 3 * (3 + 2).

Igual a 3 * (3 + 2 ) = 3 * 3 + 3 * 2 ilustra propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição.

Para multiplicar um número pela soma de dois números, você pode multiplicar esse número por cada termo e somar os produtos resultantes.

Na forma literal, esta propriedade é escrita da seguinte forma:

a(b + c) = ab + ac

Segue da propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição que

ab + ac = a(b + c).

Essa igualdade permite que a fórmula P = 2 a + 2 b encontre o perímetro de um retângulo a ser escrito da seguinte forma:

P = 2 (a + b).

Observe que a propriedade de distribuição é válida para três ou mais termos. Por exemplo:

a(m + n + p + q) = am + an + ap + aq.

A propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração também vale: se b > c ou b = c, então

a(b − c) = ab − ac

Exemplo 1 . Calcular forma conveniente:

1 ) 25 * 867 * 4 ;

2 ) 329 * 75 + 329 * 246 .

1) Usamos a comutativa e o eclipse propriedades associativas multiplicações:

25 * 867 * 4 = 867 * (25 * 4 ) = 867 * 100 = 86 700 .

2) Temos:

329 * 754 + 329 * 246 = 329 * (754 + 246 ) = 329 * 1 000 = 329 000 .

Exemplo 2 . Simplifique a expressão:

1) 4a * 3b;

2 ) 18m − 13m.

1) Usando as propriedades comutativas e associativas da multiplicação, temos:

4 a * 3 b \u003d (4 * 3) * ab \u003d 12 ab.

2) Usando a propriedade distributiva da multiplicação em relação à subtração, temos:

18m - 13m = m(18 - 13) = m * 5 = 5m.

Exemplo 3 . Escreva a expressão 5 (2 m + 7) de modo que não contenha colchetes.

De acordo com a propriedade distributiva da multiplicação em relação à adição, temos:

5 (2 m + 7 ) = 5 * 2 m + 5 * 7 = 10 m + 35 .

Tal transformação é chamada abertura de colchetes.

Exemplo 4 . Calcule o valor da expressão 125 * 24 * 283 de maneira conveniente.

Solução. Nós temos:

125 * 24 * 283 = 125 * 8 * 3 * 283 = (125 * 8 ) * (3 * 283 ) = 1 000 * 849 = 849 000 .

Exemplo 5 . Realize a multiplicação: 3 dias 18 horas * 6.