Triplă capotaie iahturi maritime balastul este plasat jos, ceea ce nu le permite să se încline puternic și, în general, să se răstoarne. Cu toate acestea, se întâmplă că iahtul încă mai zboară capriole, ca un iol fără balast, iar acest lucru se întâmplă doar aici - în marele Ocean de Sud. Știu

Printre sarcinile din două acțiuni, există un grup de sarcini care sunt rezolvate unitate. Rezolvând astfel de probleme, copiii ar trebui să învețe practic proprietățile cantităților care sunt direct proporționale.

Să luăm de exemplu problema: un vapor cu aburi a parcurs 40 km în 2 ore. Câți kilometri va parcurge nava în 4 ore cu aceeași viteză? În această problemă, sunt cunoscute două valori de timp și o valoare de distanță, corespunzătoare primei valori de timp; se știe că viteza de deplasare nu se modifică, se cere să se găsească o altă valoare a distanței.

Să luăm în considerare diferite moduri de a rezolva această problemă, notând soluția în stânga și justificarea acesteia în dreapta.

I metoda soluției - o metodă de reducere directă la unitate

soluție orală

2 ore - 40 km
1 oră – 20 km
4 ore - 80 km

Decizie scrisă

1) 40km: 2 = 20km
2)20km x 4 = 80km

Valoarea numerică a timpului, dintre care două valori sunt cunoscute, se reduce la una.

La viteza constanta dacă timpul este redus de 2 ori, distanța se va micșora de 2 ori, dacă apoi este mărită de 4 ori, distanța va crește de 4 ori.

A doua metodă de rezolvare este metoda reducerii inverse la unitate.

soluție orală

40 km - 2 ore = 120 min.
1 km - 3 min.
4 ore (240 min.) – 80 km

Decizie scrisă

1) 120 min. : 40 = 3 min.
2) 240 min. : 3 min. = 80 (km)

Valoarea numerică a distanței se reduce la una, dintre care o valoare este cunoscută, iar cealaltă necunoscută.

La o viteză constantă, va dura de 40 de ori mai puțin timp pentru a parcurge 1 km de cale decât pentru a parcurge 40 de km de potecă, adică 3 minute, iar în 4 ore (240 de minute) vaporul va parcurge de atâtea ori mai mult. kilometri ca 240 de minute. mai mult de 3 min.

Al treilea mod de rezolvare este modul de găsire a relației.

O scurtă înregistrare a condiției sarcinii:

2 ore - 40 km
4 ore - x

1) 4 ore: 2 ore = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

La o viteză constantă de mișcare, de câte ori crește timpul, distanța parcursă crește cu aceeași cantitate

IV metoda de rezolvare - metoda de găsire valoare numerică valoare constantă.

Scurtă declarație a condiției sarcinii

2 ore - 40 km
4 ore -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

La rezolvarea acestei probleme, metoda IV coincide cu metoda I.

Pentru a afla distanța parcursă în 4 ore, trebuie să înmulțiți viteza, care se găsește împărțind distanța la valoarea corespunzătoare a timpului, la noua valoare a timpului.

Să aplicăm metoda de găsire a valorii numerice a unei constante unei alte probleme:

Nava a parcurs 40 km cu o viteză de 20 km pe oră. Câți kilometri va parcurge nava în același timp cu o viteză de 30 km pe oră?

Soluţie.În funcție de starea acestei probleme, timpul este o valoare constantă.

1) Câte ore i-a luat nava să parcurgă 40 km?

40 km: 20 km = 2 (ore)

2) Câți kilometri va parcurge vaporul în 2 ore la noua viteză?

30 km x 2 – 60 km

Raspuns: 60 km.

La rezolvarea acestei probleme, metoda de găsire a valorii numerice a unei constante diferă de metoda reducerii directe la unitate. Acest lucru poate fi văzut dintr-o comparație a metodei de mai sus cu metoda reducerea directă la unitate.

Posibilitatea de a aplica una sau alta metodă de rezolvare a problemelor pe o regulă triplă simplă în cadrul operațiilor cu numere întregi depinde de caracteristicile datelor numerice. Deci, de exemplu, metoda de a găsi un raport poate fi aplicată numai dacă numerele exprimă doi sensuri diferite de aceeași mărime, sunt multipli unul celuilalt.

Metoda reducerii înapoi la unitate este convenabil de utilizat la rezolvarea problemelor în care se cere să se găsească o valoare necunoscută a cantității sau timpului. Prin urmare, în manualele de aritmetică pentru clasele elementare, sarcinile pentru o regulă triplă simplă sunt selectate în grupuri în funcție de metodele de rezolvare a acestora. Totodată, conform programului actual, problemele rezolvate prin metode de reducere directă și inversă la unitate sunt încadrate în clasa a II-a, iar problemele rezolvate prin metoda găsirii raportului sunt încadrate în clasa a IV-a.

Există motive să credem că sarcinile mai ușoare, rezolvate prin metoda găsirii raportului, pot fi introduse în clasa a II-a, unde elevii rezolvă deja sarcini simple pentru comparație multiplă. Nu există probleme rezolvate prin metoda găsirii valorii numerice a unei constante în manualele de aritmetică existente și este util să le oferim spre rezolvare deja în clasa a II-a.

Atunci când se preda rezolvarea acestor probleme, trebuie să se bazeze pe capacitatea dobândită anterior de elevi de a rezolva probleme simple de înmulțire și împărțire, în care se cere să se afle valoarea uneia dintre cele trei mărimi legate între ele, de exemplu , aflați costul după preț și cantitatea articolelor, cantitatea după preț și cost, prețul în termeni de cost și cantitate.

Buna cunoaștere de către copii a relației dintre cantități servește drept bază, pe baza căreia stăpânesc rezolvarea problemelor prin metoda reducerii la unitate.

Pentru a explica elevilor cum să găsească o relație, puteți folosi ajutoare vizuale(Fig. 22). Să fie necesar să se rezolve problema: 2 plicuri cu timbre costă 9 copeici. Cât costă 6 din aceste plicuri?

Privirea imaginii acestor plicuri grupate în perechi îi va ajuta pe elevi să înțeleagă că creșterea numărului de perechi de plicuri de mai multe ori presupune o creștere a valorii lor cu aceeași cantitate.

orez. 22

Elevii pun întrebarea: de câte ori 6 plicuri sunt mai mult de 2 plicuri? - Găsesc răspunsul, care este de 3 ori mai mult, și află costul a 6 plicuri, înmulțind 9 copeici. pe 3.

Analiza comună a sarcinilor și muncă independentă copiii de a transforma sarcinile directe în sarcini inverse contribuie la o mai bună înțelegere a modului de rezolvare a acestora.

De exemplu, sarcina a 3 căni costă 6 ruble. Cât costă 5 dintre aceste căni? prin înlocuirea numărului dorit cu numărul găsit, iar una dintre date cu numărul dorit, se poate transforma în următoarele probleme inverse:

1. 5 căni costă 10 ruble. Cât costă 3 dintre aceste căni?
2. 3 căni costă 6 ruble. Câte dintre aceste căni puteți cumpăra pentru 10 ruble?
3. 5 căni costă 10 ruble. Câte dintre aceste căni puteți cumpăra pentru 6 ruble?

Se realizează rezolvarea problemei inițiale și a primei dintre cele transformate metoda reducerii directe la unitate, soluția celei de-a doua și a treia - înapoi la unitate.

Partea a treia

RELAȚII ȘI PROPORȚII.

SARCINI REZOLVATE CU AJUTORUL PROPORȚIILOR ȘI
PRIN METODĂ DE REDUCERE LA UNUL.

SECȚIUNEA VIII..

§ 50. Regulă triplă complicată.

2661. 45 de zidari au fost plătiți cu 216 ruble pentru șase zile de muncă; Cât ar trebui să lucreze 30 de zidari timp de 8 zile?

2662. 5 pompe au pompat 1800 de găleți de apă în 3 ore. Câtă apă va fi pompată de 4 pompe similare în 4 ore?

2663. 25 de muncitori au săpat un canal în 12 zile, lung de 36 de brazi. Ce lungime de canal ar putea fi săpată de 15 muncitori similari în 10 zile?

2664. Un capital de 100 de ruble în 12 luni aduce 6 ruble de profit. Cât profit va aduce capitalul de 8600 de ruble în 4 luni?

2665. Dintr-un câmp dreptunghiular, 40 de sazhens lungime și 30 de sazhens lățime, s-au recoltat 6 sferturi 2 sferturi de ovăz. Cât ovăz s-a recoltat dintr-un alt câmp, care are 96 de brazi lungime și 50 de brazi lățime, dacă condițiile de semănat și de recoltare pentru ambele câmpuri ar fi aceleași?

2666. Pentru 15 perechi de rochii s-au folosit 45 de arshine de pânză de 1 arshin lățime. 14 inci. Ce lățime avea cealaltă pânză, dacă mergea 60 de arshin pentru 10 din aceleași perechi de rochii?

2667 .18 muncitori, care lucrează 7 ore pe zi, au terminat unele lucrări în 30 de zile și au primit 201 de ruble pentru aceasta. 60 cop. 14 angajați, care lucrează zilnic timp de 4 ore, au primit 67,2 ruble pentru efectuarea altor lucrări. Presupunând că salariul orar pentru lucrătorul ambelor părți a fost același, stabiliți câte zile a lucrat al doilea grup de lucrători.

2668. Pentru transportul a 420 puds de mărfuri pe calea ferată pe o distanță de 24 verste, s-au plătit 2 ruble. 52 de copeici. Conform acestui calcul, pentru transportul a 50 de lire sterline de mărfuri de-a lungul căii ferate Nikolaev, de la Sankt Petersburg la Moscova, ar fi trebuit plătite 7 ruble. 61 1/4 kop. Găsiți lungimea acestui drum.

2669. 155 de bilete de pasageri de clasa a doua, luate cu trenul de la Paris la Rouen, au costat 1488 de franci. Știind că prețul a 10 bilete de clasa a doua luate pentru o călătorie de 4 kilometri este egal cu 3 franci, iar că 16 kilometri sunt 15 verste, exprimă în verste lungimea căii ferate dintre Paris și Rouen.

2670. Dacă roata unei mașini care produce sârmă de fier se rotește cu 60 de rotații pe minut, atunci această mașină va produce 240 de arsh. sârmă timp de 3 ore și 20 de minute. Cât timp îi va lua să facă 33 1/8 brazi de sârmă dacă roata face 41 2/3 rotații pe minut?

2671. Dintr-un câmp dreptunghiular, care are 125 sazhens lungime și 0,08 verste lățime, s-au recoltat 12 1/2 sferturi de grâu; astfel, calculul a arătat un randament de auto-sase. Din alt câmp dreptunghiular, a cărui lungime este de 0,3 (9) verste, s-au recoltat 8 1/3 sferturi de grâu, ceea ce a însumat o recoltă de cinci. Presupunând că condițiile de semănat ale ambelor câmpuri au fost aceleași, determinați lățimea celui de-al doilea câmp.

2672. Placa de piatră, lungă de 5,3 picioare, lățime de 0,8 picioare și grosime de 2 5/8 inci, cântărește 4,2 kilograme. O altă lespede din aceeași piatră ca prima cântărește 7 puds 35 de lire și are 15 inci lățime și 2 inci grosime. Cât de lungă este a doua farfurie?

2673 . O bandă de fier, 2 arshins lungime, 1 1/2 inci lățime și 2/3 inci grosime, cântărește 0,4375 de lire sterline. Cât de mult va cântări o bandă de fier, care are 2 picioare lungime, 1 3/7 inci lățime și 0,16666 .... picioare grosime?

2674. 36 de muncitori, care lucrează zilnic 12 ore și 30 de minute, au construit o casă de lemn în 30 de zile. Câte ore pe zi trebuie să lucreze 27 de muncitori pentru a construi aceeași casă în 50 de zile?

2675. Lungimea coridorului este de 6 sazhens. 2 arsh. 9 1/7 inch, lățime 1.4(9) sazhens. și înălțimea 5, (3) yarzi (yard-măsură engleză a lungimii). Aerul atmosferic conținut în coridor cântărește 17 kilograme. 34 lbs. Aerul care umple camera adiacentă coridorului cântărește 11,9 kilograme. Știind că 0,58 (3) yarzi = 0,75 ars. și că înălțimea camerei este de 5 5/7 ars., iar lățimea ei este de 0,945 din înălțime, calculați lungimea acestei încăperi.

2676. Pentru iluminarea scărilor casei cu 6 jeturi de gaz care au ars timp de 40 de seri, timp de 6 ore și 12 minute în fiecare seară, s-au plătit 22 de ruble companiei de gaze. 32 de copeici. Pe o altă scară, 5 coarne similare au ars timp de 60 de seri, pentru care s-au plătit 27 de ruble. Câte ore în fiecare seară ardea gazul pe a doua scară?

2677 . Pentru 4 lămpi, care au fost aprinse în fiecare seară timp de 7 ore și jumătate, s-au consumat 2,25 puds de kerosen pe parcursul a 30 de seri. În câte seri se vor consuma 1,8 puds de kerosen dacă se aprind 5 astfel de lămpi în fiecare seară timp de 4 ore și 30 de minute?

2678 . 32 de zidari, lucrând zilnic timp de 8 ore și jumătate, în 42 de zile au pus un zid de cărămidă lung de 10 sazhen, grosime de 7 1/2 inci și 1 sazhen înalt de 3,5 picioare. În câte zile 40 de zidari, de aceeași rezistență ca primul, lucrând zilnic timp de 6,8 ore, vor așeza un zid de cărămidă de 15 sazhens lungime, 0,9375 arshins grosime și 2 1/2 arshins înălțime?

2679. Lungime drumul poștaleiîntre Vitebsk și Orel este de 483 de verste; un călător a parcurs această distanță în 7 zile, fiind în oraș 10 ore în fiecare zi și parcurgând același număr de mile pe oră. Un alt călător a plecat din Vitebsk spre Mogilev și, fiind pe drum în fiecare zi timp de 12 ore, și-a făcut drum în 4 zile. Câte verste de la Witsbsk la Mogilev, dacă se știe că al doilea călător a călătorit 10 verste în același timp cu primul călător a călătorit 23 de verste?

2680. Caramida (clincher), 0,375 arshins lungime, 3 inci lățime și 1 1/2 inci grosime, cântărește 10 lire 38,4 bobine. Cât de mult va cântări o bucată de marmură în formă pătrată, care are 8,75 inci lungime, 2 1/4 inci lățime și 2 inci grosime, iar marmura este cunoscută a fi de 1 1/2 ori mai grea decât cărămida?

2681. 25 de țesători, lucrând 8 1/3 ore pe zi, au țesut în 32 de zile 120 de arshine de in, 1 arshin lat. 5 1/3 inci. În câte zile 40 de țesători, lucrând zilnic timp de 4 ore și 10 minute, vor țese 320 de arshine de in cu o lățime de 0,75 arshine?

2682. Capitalul de 1200 de ruble în 8 luni a adus 40 de ruble de profit; la ce ora 100 de rub. va aduce 5 ruble. a sosit?

2683. Un capital de 30.000 de ruble în 7 luni și jumătate a adus 1.125 de ruble de profit. Cât profit aduce fiecare 100 de ruble din acest capital într-un an?

2684. Capitalul de 24.400 de ruble timp de 10 luni a adus profit de 1.525 de ruble. Ce fel de capital trebuie să aibă pentru ca acesta, fiind în circulație în aceleași condiții ca primul, să realizeze 1.250 de ruble de profit în 2 luni și jumătate?

2685. 54 de săpători, lucrând 10 ore pe zi, au făcut o movilă în 33 de zile, lungă de 124 de brazi, lățime de 1 bradă, 2 1/2 arshins și 6 3/4 picioare înălțime. Câți excavatori trebuie angajați pentru ca, lucrând zilnic 7 1/2 ore, să facă în 30 de zile un terasament de 0,31 verste, 7 1/3 sprin arsh. și o înălțime de 3 6/7 arshins?

2686. 48 de sapatori, muncind zilnic 9 ore si 20 de minute, au facut in 55 de zile un metereze de pamant, lung de 40 1/3 brazi, lat de 4 1/2 arshini si inaltime de 7 arshini. Ce înălțime vor face 40 de săpători în 64 de zile, lucrând zilnic timp de 6 ore și 45 de minute, dacă lungimea puțului este de 44 de brațe și lățimea de 1 brață?

2687 . 14 sazhens de lemn de foc de pin au fost cheltuiți pentru încălzirea apartamentului cu 6 sobe timp de 2 luni și 10 zile. Cât timp vor dura 10 sazhens de lemn de foc de mesteacăn pentru a încălzi un apartament cu 8 sobe, dacă cantitatea de căldură emisă de fiecare sobă ar trebui să fie aceeași ca pentru primul apartament și dacă 9 sazhens de lemn de foc de pin dau căldură cât 7 1/2 brazi de mesteacan?

2688. Dintr-un câmp dreptunghiular, având lungimea de 2 verste și lățimea de 1 1/2 verste, cu o recoltă de sam-27, s-a recoltat atâta sfeclă de zahăr încât din el s-au extras 937 1/2 puds de zahăr la fabrică. . Din alt câmp, care avea o lățime de 400 de sazhens, cu o recoltă de 18 sam, se recolta sfecla de zahăr din care se extrageau 250 de kilograme de zahăr. Presupunând că condițiile de semănat și calitatea sfeclei pentru ambele câmpuri au fost aceleași, găsiți lungimea celui de-al doilea câmp.

2689. 4 scribi, lucrând zilnic timp de 7 ore și jumătate, au copiat 225 de foi în 15 zile, cu o medie de 32 de rânduri pe fiecare pagină. Câți cărturari trebuie angajați pentru ca, lucrând zilnic timp de 5 ore și 20 de minute, să copieze 64 de foi în 9 zile, plasând în medie 36 de rânduri pe fiecare pagină?

2690. 3 țevi în decurs de 4 1 / 2 ore au umplut rezervorul, lungime de 1 funingine. 2 arshins, 1,5 arshins lățime și 3 2/3 picioare adâncime. Până la ce adâncime vor umple 4 conducte un alt rezervor în 5,4 ore, dacă lungimea acestui rezervor este de 1 funingine. 2 5/8 picioare, 1,2 ars lățime și dacă fiecare dintre primele țevi toarnă 16 găleți de apă în același timp, în care dintre ultimele țevi toarnă 9 găleți?

2691 . 22 de țesători, lucrând 10 ore pe zi, au pregătit 120 de bucăți de lenjerie în 30 de zile. Câți astfel de țesători trebuie angajați astfel încât, lucrând pe zi timp de 7 ore și jumătate, în 40 de zile să poată pregăti 300 de bucăți de in, iar lungimea fiecăreia dintre aceste piese să fie de 1 1/10 ori lungimea primul, iar lățimea ar trebui să fie de 0,8(3) lățimea primului?

2692. Pentru hrana pentru un anumit numar de soldati, se va obtine o rezerva de cereale pentru 60 de zile daca fiecarui soldat i se da 2 1/2 lire zilnic. Câte zile vor dura 3/4 din această rezervă dacă numărul de soldați este redus cu 3/8 din numărul anterior, iar rația zilnică a fiecăruia este mărită cu 1,25 lire?

2693. Cincisprezece muncitori și 12 muncitori, care lucrează zilnic timp de 10 ore și 30 de minute, au scos pâinea de pe câmp în 12 zile. Câte zile vor scoate pâinea de pe câmp 21 de muncitori și 8 muncitori, lucrând 8,4 ore pe zi, a cărei lungime este raportată la lungimea primului, ca 0,3: 1 / 5, și a cărei lățime este raportată la lățimea din primul, ca 0, 51: 0,5(6) - dacă se știe că forța unui bărbat este legată de forța unei femei, cum 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Pentru a pompa apa din piscină, au fost furnizate 3 pompe mari și 5 mici, care, acționând împreună, puteau turna toată apa în 6 ore. După 2 ore și jumătate de acțiune combinată, două pompe mari s-au deteriorat și au fost imediat înlocuite cu 5 mici. Știind că puterea fiecărei pompe mici este legată de puterea fiecărei pompe mari, cum 2 1 / 2: 4 1 / 6 determină câte ore a fost nevoie pentru a pompa apa din piscină.

2695. Pentru a construi zidul casei au fost folosite 4215 cărămizi, fiecare având 10 1/2 inci lungime și 5,25 inci lățime. și 2 5/8 inci grosime. Pentru a construi un alt zid, s-au folosit cărămizi, fiecare având 5 1/2 inci lungime, 3 1/3 inci lățime și 1 1/4 inci grosime. Câte dintre aceste cărămizi vor fi folosite pentru a construi al doilea perete, dacă lungimea lui este de 0,8 (3) lungimea primului, grosimea este de 1,1 ori grosimea primului și înălțimea este 0. (5) înălțimea a primului perete?

2696. Douăzeci și cinci de oameni, care lucrează în fiecare zi timp de 5 ore, au reușit să facă 0,27 din unele lucrări în 15 zile. Câți oameni mai trebuie angajați, pentru ca ei, studiind împreună cu primul timp de 8 1/3 ore pe zi, să poată finaliza restul aceleiași lucrări în 20 de zile?

Nu există o expresie suficient de puternică cu care compilatorii aritmeticii medievale să fie zgârciți pentru a lăuda regula triplă. „Această replică este triplu lăudabilă și cea mai bună replică dintre toate celelalte.” „Filozofii o numesc linia de aur”. În manualele germane, el a fost menționat drept unul care este „mai presus de orice laudă”, este „cheia comercianților”. La fel, printre francezi, era cunoscut sub numele de règle dorée - regula de aur. Era opus întregii științe algebrei.

De ce, atunci, laudele atât de nemoderate se dau unui departament, care în vremea noastră obișnuiește să ocupe un loc mai modest? Este foarte interesant să aflăm acest lucru și ne permitem să ne întoarcem puțin și să dăm o scurtă descriere a scopurilor urmărite de aritmetică încă din cele mai vechi timpuri.

Orice știință aflată în stadiul inițial de dezvoltare este cauzată de nevoi practice și se străduiește, la rândul său, să le satisfacă. Apoi, în funcție de condițiile în care se dezvoltă, știința uneori destul de repede, alteori mai încet capătă o colorare teoretică și acționează educativ asupra celor care o studiază, adică le îmbunătățește abilitățile spirituale: mintea, sentimentul și voința: cu o creștere lentă, știința rămâne pentru o lungă perioadă de timp liderul priceperii, conferă numai pricepere, conferă persoanei abilități mecanice și îi conferă trăsăturile mecanicității. Ambele direcții au fost testate prin aritmetică. Pe de o parte, savanții greci au văzut în aritmetică, mai ales, un element educațional; au pus în mod constant întrebări „de ce?”. și „de ce?”, căutând mereu motive și concluzii; elevii școlilor grecești s-au adâncit în esența științei, s-au gândit la ea și, prin urmare, studiul a acționat asupra lor într-un mod educativ și în curs de dezvoltare. Pe de altă parte, hindușii au privit aritmetica mai degrabă din partea artei, nu le-a plăcut întrebarea „de ce?”, dar întrebarea lor principală a fost întotdeauna: „cum se face?” Direcția hindușilor a trecut la arabi, iar de acolo la Europa medievală. În ea, a primit o primire extrem de cordială, iar solul pentru ea s-a dovedit a fi destul de recunoscător: după marea migrație a popoarelor și cu războaie necontenite în desfășurare, nu a fost nimic de gândit măcar la dezvoltarea unei exacte, frecvente, știință abstractă și, la vremea aceea, era necesar să se limiteze la partea sa aplicată, era suficient să se învețe doar „cum să faci” mai degrabă decât „de ce să faci asta”. Și astfel colorația practică a rămas multă vreme în urma aritmeticii, aproape până în zilele noastre, în același timp, studiul ei a fost îngust mecanic: fără concluzii, explicații, fără aprofundare în fundamente; peste tot în manuale era „fă asta”, „trebuie să faci asta”, iar studentul nu trebuia decât să confirme și să se adreseze cazului; Magnitsky nostru are, de asemenea, o serie de expresii caracteristice „vezi vedea”, „vezi invenția”; să presupunem că printre aceste expresii are „gândește și vino”, dar cum să gândești exact, se dau foarte puține indicii. În conformitate cu semnificația practică a aritmeticii, tot ceea ce putea aduce beneficii directe, aduce câștiguri, a fost deosebit de distins și apreciat în ea.

„Cine cunoaște această înțelepciune”, spune aritmetica rusă a secolului al XVII-lea, „poate fi alături de suveran cu mare onoare și cu salariu; după această înțelepciune, oaspeții fac comerț în state și cu tot felul de mărfuri și meserii, cunosc puterea și în tot felul de greutăți și măsuri, iar în aranjamentul pământesc și în curentul marin, sunt diabolic pricepuți și cunosc cont din orice număr din listă.

Dar ce parte a aritmeticii poate oferi mai multe abilități practice, aplicabile direct decât rezolvarea problemelor? Prin urmare, toate eforturile autorilor medievali au fost îndreptate spre a culege cât mai multe probleme și, în același timp, a conținutului cotidian cât mai divers. Aici au fost probleme despre vânzare și cumpărare, despre cambii și despre dobânzi, despre amestecare, despre schimb; diversitatea era teribilă și nu exista nicio modalitate de a rezolva întreaga masă de probleme. Pentru a grupa măcar puțin și a introduce ceva sistem și ordine, au încercat să distribuie toate sarcinile pe departamente sau tipuri. Această idee, desigur, este una bună, dar de obicei a fost realizată fără succes, iar sarcinile au fost distribuite nu în funcție de metodele de soluție, așa cum ar trebui, ci în funcție de conținutul lor, adică în funcție de aspectul lor. ; de exemplu, a fost o problemă specială despre câinii care urmăreau un iepure, despre copaci, despre fete etc.

Rezolvarea problemelor cu împărțirea în funcție de conținutul lor nu a adus aproape niciun beneficiu, pentru că nu a ajutat deloc la înțelegerea mai bună a soluției. Și, în opinia autorilor antici, a fost greu de înțeles.

„Nu-i nimic”, obișnuia mentorul să-și consoleze elevii: „că nu înțelegi nimic, nici nu vei înțelege prea multe înainte”.

În loc să înțelegi, s-a recomandat să nu te lași dus, ci să memorezi tot ce s-a cerut și apoi să încerci să-l aplici în cazul cazului, adică la exemple, iar toată puterea înțelegerii s-a concentrat nu pe înțelegerea concluziei. a regulii, dar pe una mai modestă, despre modul în care se aplică regula generală la exemple.

Și astfel tripla regulă a fost remarcabilă și demnă de o atenție specială în multe privințe. În primul rând, gama sarcinilor sale este destul de extinsă, în al doilea rând, regula în sine este exprimată destul de simplu și clar și, în al treilea rând, a fost relativ ușor să se aplice această regulă. Pentru toate aceste merite i s-a dat numele de „aur”, „cheia negustorilor” etc.

Tripla regulă își are originea la hinduși, unde sarcinile sale erau rezolvate în cea mai mare parte prin reducerea la unitate. Savantul arab Alkhvarizmi (secolul al IX-lea d.Hr.) a atribuit-o algebrei. Leonardo Fibonacci, italian din secolul al XIII-lea potrivit lui R. X., consacră o secțiune specială triplei reguli sub titlul: ad majorem guisam, unde se dau sarcini pentru calcularea valorii mărfurilor. Exemplu: 100 de rotuli (greutate Pisan) costa 40 de lire, cat costa 5 rotuli? Condiția a fost scrisă astfel:

Regula prescrisă pentru a rezolva această problemă în următoarea ordine: produsul lui 40 la 5 împărțit la 100.

O atenție deosebită a fost acordată triplei reguli încă din secolul al XVI-lea, adică din vremea în care comerțul și industria europeană au mers imediat înainte, grație unor invenții importante și descoperirii de noi țări. Dar acest lucru nu ne-a împiedicat să dezvoltăm acest capitol într-un mod complet nesatisfăcător, cel puțin din punctul nostru de vedere. În primul rând, regula a fost determinată pur extern: „problema constă din trei numere și își dă un al patrulea număr, la fel ca și cum ai pune trei colțuri ale unei case, atunci aceasta va determina al 4-lea colț; al doilea număr trebuie înmulțit cu al treilea și ce se întâmplă, apoi împărțit la primul număr. O astfel de definiție nu putea decât să ducă la inconsecvență și, mai presus de toate, întrebarea a fost: ce ar trebui considerat primul număr și orice problemă cu trei numere date poate fi rezolvată prin regula triplă? Manualele nu au considerat necesar să clarifice această neînțelegere. În plus, problemele au fost rezolvate nu numai cu numere întregi, ci și cu fracții, iar în altă aritmetică au fost aranjate atât de inconsecvent încât problemele cu numere fracționare pe regula triplei, capitolele despre fracții au fost plasate mai devreme, deoarece întreaga regulă triplă mergea înaintea aritmeticii numerelor fracționale.

După regula triplă cu numere întregi și fracții, regula speciala„reducerea”, în care s-a explicat cum este posibilă reducerea unor numere date, iar apoi a trecut deja regula „reflexivă”; era un departament foarte confuz, căruia îi aparțineau întrebările cu proporție inversă, iar autorii manualelor nu puteau distinge în niciun fel care probleme aparțineau acestui grup; ucenicii trebuiau să se bazeze pe propriile bănuieli și să se mulțumească cu ingeniozitate. În secolele XV și XXII. explicația a fost dată astfel: „Dacă o măsură de cereale costă 1 ½ marcă, atunci se dau două puduri de pâine la 1 marcă; câți puds de pâine se vor da pe marcă dacă o măsură de cereale costă 1¾ de mărci; rezolva cu regula triplă, se dovedește

dar cel înțelegător își va da seama că atunci când cerealele vor crește prețul, atunci vor da mai puțină pâine, nu mai mult, așa că întrebarea trebuie să fie întoarsă, va fi

Magnitsky (1703) interpretează într-un spirit asemănător

„Există o regulă de întoarcere, când în repartizare este necesar să se pună a treia listă în locul primei: este necesar în cazurile civile frecvente, parcă vorbind pe fund: un anume domn a chemat un tâmplar și a ordonat curtea. să fie zidit, dându-i douăzeci de muncitori: și întrebat în câte zile își va zidi curtea, a răspuns, în treizeci de zile; dar stăpânul trebuie să construiască toată treaba în 5 zile, iar pentru asta a întrebat pachetele tâmplarului, câți oameni merită să ai, ca să faci o curte cu ei în 5 zile, iar tâmplarul acela, nedumerit, te întreabă. aritmetic: cati oameni merita sa aiba pentru a-i construi acea curte in 5 zile, si daca incepi sa creezi dupa ordinea triplei reguli pur si simplu; atunci greșește cu adevărat; dar nu este potrivit pentru tine: 30-20-5, dar transformându-l într-un sit: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120".

Regula triplă a fost urmată de cei cinci, urmați de cei șapte. Este ușor de ghicit că acestea sunt cazuri speciale de regulă triplă complexă, tocmai atunci când, conform a 5 sau 7 date, care sunt proporțional dependente unele de altele, al 6-lea sau al 8-lea, se găsește numărul corespunzător, cu alte cuvinte: regula de cinci ori necesită 2 proporții, iar a șaptea este trei. Regula lui cinci a fost explicată în secolul al XVIII-lea după cum urmează:

fac asemenea calcule care nu pot fi făcute după o altă regulă; În ea sunt date 5 numere, iar din ele se găsește al șaselea număr dorit; de exemplu, cineva a pus în circulație o sută de ruble și i-a adus un profit de 7 ruble, întrebarea este cât profit ar primi cu 100 de ruble. pentru 5 ani;

rezolvat astfel: 100-1-7-1000-5, înmulțiți cele două numere din stânga și, de asemenea, înmulțiți cele 3 numere din dreapta și împărțiți ultimul produs la primul, răspunsul va fi 350, așa că multe ruble de profit vor da 1000 ruble. în termen de 5 ani.

O regulă triplă simplă și complexă a fost de obicei distribuită în secolele XVI-XVIII. într-o masă de departamente mici, care purtau nume foarte complicate, în funcție de conținutul sarcinilor. Iată aceste nume conform lui Magnitsky: o „regulă de tranzacționare triplă”, adică calculul costului mărfurilor achiziționate; b „trading triplu despre cumpărături și vânzări”, - la fel ca și precedentul, dar doar mai complicat; c „tripla comerț cu legume comercializabile și cu semn”, când trebuie să faceți o deducere pentru feluri de mâncare și înveliș în general; d „pe profit și pierdere”; e „un articol de întrebare în regulă triplă”, în el sarcinile cu un conținut foarte divers, în cea mai mare parte cu proporție inversă; f „un articol îndoielnic cu timpul”, unde i se cere să se calculeze durata muncii, căi etc.

La începutul secolului al XIX-lea, Bazedov a propus o altă schimbare în tripla regulă și din nou în aceeași direcție a obiceiului mecanic, inconștient. Acest profesor de germană și-a propus să simplifice și mai mult rezolvarea problemelor pe regulă triplă, reducând și mai mult raționamentul în rezolvarea lor și înlocuindu-l cu scrierea unei formule gata făcute. El sfătuiește să aranjezi numerele date în 2 coloane: în cea din stânga este scrisă o sumă necunoscută și toate acele numere care ar trebui incluse în numărătorii formulei, iar în cea din dreapta - toți factorii care alcătuiesc numitorul. Exemplu: pentru hrana a 1200 de persoane timp de 4 luni sunt necesare 2400 de cenți de făină; cati oameni vor iesi 4000 de centuri in 3 luni? Scriem 2 coloane:

și obțineți formula răspunsului

De ce sunt incluse numerele 1200, 4000 și 4 la numărător și 2400 și 3 la numitor? La aceasta se poate răspunde cu următoarea regulă: numărătorul include un număr omogen cu cel dorit, adică, în cazul nostru, numărul 1200; în plus, include și toate acele numere din a doua condiție (4000 4), care sunt direct proporționale cu cea dorită; dacă sunt invers proporționale, ca în exemplul nostru 3, atunci ele sunt înlocuite cu numerele corespunzătoare din prima condiție (a patra).

Este tot ce putem spune despre dezvoltarea istorică a triplei reguli. Din tot ce s-a spus, se poate trage o concluzie potrivită timpului nostru. Aritmetica medievală, cu tendința ei de a da doar reguli și de a omite concluzii, cu soluția sa mecanică a întrebărilor, a avut o influență prea mare asupra întregului ulterioară viata de scoala, și atât de mare încât urme ale acesteia apar la fiecare pas chiar și în timpul nostru. Oricât am încerca să ne scuturăm de tradiție, să ne eliberăm de obișnuință, dar ei ne apucă prea mult și sunt atrași de noi prea puternic pentru a fi aruncați fără urmă. Școala noastră este încă vinovată de învățarea prin memorie a aritmeticii, fără participarea suficientă a conștiinței. Regula triplă este o bună dovadă în acest sens. Adesea uită media noastră și scoala inferioară că se urmărește să dea o educație generală, și nu să formeze contabili, funcționari, contabili etc. Între timp, metodele meșteșugărești ale italienilor și germanilor, care nu au căutat să dezvolte o persoană, ci să facă din el o mașină de calcul. , sunt adesea folosite chiar și acum. De ce toate aceste reguli: triplu, amestecuri etc.? Ce scop ar trebui să servească? Ele ar trebui să fie o concluzie a problemelor rezolvate și să nu precedă rezolvarea problemelor; este dăunător să rezolvi problemele după o regulă învățată anterior, dar trebuie să încerci să ajungi la un răspuns prin considerație personală liberă. Într-un cuvânt, regula nu trebuie înțeleasă sub forma unei rețete, care este suficient de memorat pentru a pregăti diverse soluții complicate conform acesteia; dar ar trebui apreciate doar ca o concluzie la care ajunge elevul: dacă elevul nu poate trage această concluzie, atunci aceasta înseamnă că problemele sunt luate puțin, sau nu sunt aranjate sistematic, iar această eroare trebuie corectată printr-un mod mai sistematic. aranjarea problemelor; dacă elevul nu trage o concluzie atât de completă și detaliată pe cât și-ar dori profesorul, atunci este mai bine să fii mulțumit de el decât să-l obligi să învețe regula impusă de manual: în curând va fi uitată și nu va avea un efect de dezvoltare, deoarece calitatea necesară a unei concluzii matematice ar trebui să fie independența, dar o condiție necesară a conștiinței trebuie să existe o legătură strânsă a tuturor părților cursului, motiv pentru care nu poate exista loc pentru inserarea mecanică în capul piese separate asimilate de memorie.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
MANUAL DE MATEMATICĂ ELEMENTARĂ
ARITMETICA, ALGEBRA, 1965


1. Regulă triplă simplă. Dintre problemele privind mărimile proporționale, cele mai frecvente sunt problemele cu așa-numita regulă simplă a triplei. În aceste sarcini, sunt date trei numere și este necesar să se determine al patrulea, proporțional cu acestea.

Problema 1. 10 șuruburi cântăresc 4 kg. Cât cântăresc 25 dintre aceste șuruburi? Astfel de sarcini pot fi rezolvate în mai multe moduri.

Soluția I (prin reducere la unitate).

1) Cât cântărește un șurub?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Cât cântăresc 25 de șuruburi?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Soluția II (metoda proporțiilor). Deoarece greutatea șuruburilor este direct proporțională cu numărul lor, raportul greutăților este egal cu raportul pieselor (șuruburilor). Indicând greutatea dorită cu litera x, obținem proporția:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Puteți argumenta astfel: 25 de șuruburi sunt de 2,5 ori mai mult decât 10 șuruburi. Prin urmare, sunt și de 2,5 ori mai grele decât 4 kg:

4 kg 2,5 = 10 kg.

Răspuns. 25 de șuruburi cântăresc 10 kg.

Problema 2. Prima treaptă de viteză face 50 rpm. A doua treaptă de viteză, cuplată cu prima, face 75 rpm. Aflați numărul de dinți ai celei de-a doua roți dacă numărul de dinți ai primei roți este 30.

Rezolvare (prin reducere la unitate). Ambele roți dințate se vor deplasa într-un minut cu același număr de dinți, astfel încât numărul de rotații al roților este invers proporțional cu numărul dinților acestora.

50 rev. - 30 de dinti

75 rev. - X dinte.

X : 30 = 50: 75; (dinții).

De asemenea, puteți argumenta astfel: a doua roată face revoluții de 1,5 ori mai multe decât prima (75: 50 \u003d 1,5). Prin urmare, are dinți de 1,5 ori mai mici decât primii:

30: 1,5 = 20 (dinți).

Răspuns. 20 de dinti.

2. Regulă triplă complicată. Sarcini în care, pentru o serie dată de valori corespunzătoare a mai multor (mai mult de două) mărimi proporționale, este necesar să se găsească valoarea uneia dintre ele corespunzătoare unei alte serii de valori date ale cantităților rămase, acestea sunt numite sarcini pentru o regulă triplă complexă.

O sarcină. 5 pompe au pompat 1800 de găleți de apă în 3 ore. Câtă apă va fi pompată de 4 astfel de pompe în 4 ore?

5 noi. 3 ore - 1800 ved.

4 noi. 4 ore - X ved.

1) Câte găleți de apă a pompat o pompă în 3 ore?

1800: 5 = 360 (găleți).

2) Câte găleți de apă a pompat o pompă într-o oră?

360: 3 = 120 (găleți).

3) Câtă apă va fi pompată de 4 pompe într-o oră?

120 4 = 480 (găleți).

4) Câtă apă va fi pompată de 4 pompe în 4 ore?

480 4 = 1920 (găleți).

Răspuns. 1920 găleți

Soluție prescurtată prin formula numerică:

(găleți).

O sarcină. Împărțiți numărul 100 în două părți direct proporțional cu numerele 2 și 3,

Această sarcină ar trebui înțeleasă după cum urmează: împărțiți 100 în două părți, astfel încât prima să se raporteze la a doua ca de la 2 la 3. Dacă notăm numerele dorite cu litere X 1 și X 2, această problemă poate fi formulată după cum urmează. Găsi X 1 și X 2 astfel încât

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.