Exemplu

1,6 / 2 = 0,8; 4/5 = 0,8; 5,6 / 7 = 0,8 etc.

Factorul de proporționalitate

Raportul constant al mărimilor proporționale se numește coeficient de proporționalitate. Coeficientul de proporționalitate arată câte unități dintr-o cantitate cad pe o unitate a alteia.

Proporționalitate directă

Proporționalitate directă- dependenta functionala, in care o cantitate depinde de o alta marime in asa fel incat raportul lor sa ramana constant. Cu alte cuvinte, aceste variabile se schimbă proporțional, în părți egale, adică dacă argumentul s-a schimbat de două ori în orice direcție, atunci și funcția se schimbă de două ori în aceeași direcție.

Matematic, proporționalitatea directă este scrisă ca o formulă:

f(X) = AX,A = const

Proporționalitate inversă

Proporție inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o creștere a valorii independente (argumentului) determină o scădere proporțională a valorii dependente (funcției).

Din punct de vedere matematic proporționalitate inversă se scrie ca formula:

Proprietățile funcției:

Surse

Fundația Wikimedia. 2010 .

• A doua lege a lui Newton
• Bariera Coulomb

Vedeți ce înseamnă „Proporționalitate directă” în alte dicționare:

proporționalitate directă- - [A.S. Goldberg. Dicţionar de energie engleză rusă. 2006] Subiecte energie în general EN direct ratio … Manualul Traducătorului Tehnic

proporționalitate directă- tiesioginis proporcingumas statusas T sritis fizika atitikmenys: angl. proporţionalitate directă vok. direkte Proporţionalitate, f rus. proporţionalitate directă, f pranc. proportionnalité direct, f … Fizikos terminų žodynas

PROPORȚIONALITATE- (din lat. proportionalis proportionate, proportional). Proporționalitate. Vocabular cuvinte străine incluse în limba rusă. Chudinov A.N., 1910. PROPORIONALITATE otlat. proportionalis, proportional. Proporționalitate. Explicația pentru 25000…… Dicționar de cuvinte străine ale limbii ruse

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE, proporționalitate, pl. nu, femeie (carte). 1. distragere substantiv la proporţional. Proporționalitatea pieselor. Proporționalitatea corpului. 2. O astfel de relație între cantități atunci când acestea sunt proporționale (vezi proporțional ... Dicţionar Uşakov

Proporționalitate- Două mărimi dependente reciproc se numesc proporționale dacă raportul dintre valorile lor rămâne neschimbat .. Cuprins 1 Exemplu 2 Coeficient de proporționalitate ... Wikipedia

PROPORȚIONALITATE- PROPORȚIONALITATE și, soții. 1. vezi proporțional. 2. La matematică: o astfel de relație între cantități, când o creștere a uneia dintre ele atrage după sine modificarea celeilalte cu aceeași valoare. P. directă (când tăiați cu o creștere a unei valori ... ... Dicționar explicativ al lui Ozhegov

proporționalitatea- și; bine. 1. la Proporțional (1 cifră); proporționalitatea. P. piese. P. fizic. P. reprezentare în parlament. 2. Matematică. Dependența dintre cantitățile care se schimbă proporțional. Factorul de proporționalitate. Direct p. (În care cu ...... Dicţionar enciclopedic

Proporționalitatea este relația dintre două mărimi, în care o modificare a uneia dintre ele atrage după sine o modificare a celeilalte cu aceeași valoare.

Proporționalitatea este directă și inversă. LA această lecție ne vom uita la fiecare dintre ele.

Conținutul lecției

Proporționalitate directă

Să presupunem că o mașină se deplasează cu o viteză de 50 km/h. Ne amintim că viteza este distanța parcursă pe unitatea de timp (1 oră, 1 minut sau 1 secundă). În exemplul nostru, mașina se mișcă cu o viteză de 50 km/h, adică într-o oră va parcurge o distanță egală cu cincizeci de kilometri.

Să înregistrăm distanța parcursă de mașină în 1 oră.

Lasă mașina să conducă încă o oră cu aceeași viteză de cincizeci de kilometri pe oră. Apoi se dovedește că mașina va parcurge 100 km

După cum se poate observa din exemplu, dublarea timpului a dus la o creștere a distanței parcurse cu aceeași sumă, adică de două ori.

Se spune că cantități precum timpul și distanța sunt direct proporționale. Relația dintre aceste mărimi se numește proporționalitate directă.

Proporționalitatea directă este relația dintre două mărimi, în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o creștere a celeilalte cu aceeași sumă.

și invers, dacă o valoare scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă scade cu aceeași valoare.

Să presupunem că inițial a fost planificat să conducă o mașină 100 km în 2 ore, dar după ce a condus 50 km, șoferul a decis să ia o pauză. Apoi se dovedește că prin reducerea distanței la jumătate, timpul va scădea cu aceeași cantitate. Cu alte cuvinte, o scădere a distanței parcurse va duce la o scădere a timpului cu același factor.

O caracteristică interesantă a mărimilor direct proporționale este că raportul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se schimbă valorile cantităților direct proporționale, raportul acestora rămâne neschimbat.

În exemplul luat în considerare, distanța a fost la început egală cu 50 km, iar timpul a fost de o oră. Raportul dintre distanță și timp este numărul 50.

Dar am mărit timpul de mișcare de 2 ori, făcându-l egal cu două ore. Ca urmare, distanța parcursă a crescut cu aceeași sumă, adică a devenit egală cu 100 km. Raportul dintre o sută de kilometri și două ore este din nou numărul 50

Se numește numărul 50 coeficient de proporționalitate directă. Arată câtă distanță există pe oră de mișcare. LA acest caz coeficientul joacă rolul vitezei de mișcare, deoarece viteza este raportul dintre distanța parcursă și timpul.

Proporțiile pot fi făcute din cantități direct proporționale. De exemplu, rapoartele și alcătuiesc proporția:

Cincizeci de kilometri sunt raportați la o oră, așa cum o sută de kilometri sunt raportați la două ore.

Exemplul 2. Costul și cantitatea bunurilor achiziționate sunt direct proporționale. Dacă 1 kg de dulciuri costă 30 de ruble, atunci 2 kg din aceleași dulciuri vor costa 60 de ruble, 3 kg - 90 de ruble. Odată cu creșterea costului mărfurilor achiziționate, cantitatea acestuia crește cu aceeași sumă.

Deoarece valoarea unei mărfuri și cantitatea acesteia sunt direct proporționale, raportul lor este întotdeauna constant.

Să notăm raportul dintre treizeci de ruble la un kilogram

Acum să scriem cu ce este egal raportul dintre șaizeci de ruble la două kilograme. Acest raport va fi din nou egal cu treizeci:

Aici, coeficientul de proporționalitate directă este numărul 30. Acest coeficient arată câte ruble pe kilogram de dulciuri. LA acest exemplu coeficientul joacă rolul prețului unui kilogram de mărfuri, deoarece prețul este raportul dintre costul mărfurilor și cantitatea acesteia.

Proporționalitate inversă

Considera exemplul următor. Distanța dintre cele două orașe este de 80 km. Motociclistul a părăsit primul oraș, iar cu o viteză de 20 km/h a ajuns în al doilea oraș în 4 ore.

Dacă viteza unui motociclist era de 20 km/h, înseamnă că în fiecare oră a parcurs o distanță egală cu douăzeci de kilometri. Să descriem în figură distanța parcursă de motociclist și timpul deplasării acestuia:

Pe drumul inapoi viteza motociclistului era de 40 km/h, iar acesta a petrecut 2 ore pe aceeași călătorie.

Este ușor de observat că atunci când viteza se schimbă, timpul de mișcare s-a schimbat cu aceeași valoare. Și s-a schimbat în reversul- adică viteza a crescut, iar timpul, dimpotrivă, a scăzut.

Mărimi precum viteza și timpul sunt numite invers proporționale. Relația dintre aceste mărimi se numește proporționalitate inversă.

Proporționalitatea inversă este relația dintre două mărimi, în care o creștere a uneia dintre ele atrage după sine o scădere a celeilalte cu aceeași valoare.

și invers, dacă o valoare scade de un anumit număr de ori, atunci cealaltă crește cu aceeași valoare.

De exemplu, dacă la întoarcere viteza unui motociclist era de 10 km/h, atunci ar parcurge aceiași 80 km în 8 ore:

După cum se poate observa din exemplu, o scădere a vitezei a dus la o creștere a timpului de călătorie cu același factor.

Particularitatea cantităților invers proporționale este că produsul lor este întotdeauna constant. Adică, atunci când se schimbă valorile cantităților invers proporționale, produsul lor rămâne neschimbat.

În exemplul luat în considerare, distanța dintre orașe a fost de 80 km. La modificarea vitezei și a timpului motociclistului, această distanță a rămas întotdeauna neschimbată.

Un motociclist ar putea parcurge această distanță cu o viteză de 20 km/h în 4 ore, și cu o viteză de 40 km/h în 2 ore și cu o viteză de 10 km/h în 8 ore. În toate cazurile, produsul dintre viteză și timp a fost egal cu 80 km

Ți-a plăcut lecția?
Alăturați-vă noastre grup nou Vkontakte și începeți să primiți notificări despre noile lecții

§ 129. Precizări preliminare.

Omul se ocupă în mod constant cu o mare varietate de cantități. Un angajat și un muncitor încearcă să ajungă la serviciu, să lucreze până la o anumită oră, pietonul se grăbește să ajungă loc faimosîn cel mai scurt mod posibil, sursa de încălzire cu abur se îngrijorează că temperatura din cazan crește încet, managerul de afaceri face planuri pentru reducerea costului de producție etc.

Orice număr de astfel de exemple ar putea fi citate. Timp, distanță, temperatură, cost - toate acestea sunt cantități variate. În prima și a doua parte a acestei cărți ne-am familiarizat cu câteva cantități deosebit de comune: suprafață, volum, greutate. Întâlnim multe cantități în studiul fizicii și al altor științe.

Imaginează-ți că ești într-un tren. Din când în când te uiți la ceas și observi cât de mult ai fost deja pe drum. Spuneți, de exemplu, că de la plecarea trenului dvs. au trecut 2, 3, 5, 10, 15 ore etc.. Aceste numere indică perioade diferite de timp; se numesc valori ale acestei marimi (timp). Sau te uiți pe fereastră și urmărești stâlpii drumului pentru distanța pe care o parcurge trenul tău. Numerele 110, 111, 112, 113, 114 km clipesc în fața ta. Aceste numere indică diferitele distanțe pe care le-a parcurs trenul de la punctul de plecare. Se mai numesc si valori, de data aceasta cu o valoare diferita (cale sau distanta intre doua puncte). Astfel, o valoare, de exemplu, timp, distanță, temperatură, poate lua orice sensuri diferite.

Acordați atenție faptului că o persoană aproape niciodată nu ia în considerare o singură valoare, ci o conectează întotdeauna cu alte valori. Are de-a face cu doi, trei și un numar mare cantități. Imaginează-ți că trebuie să ajungi la școală până la ora 9. Te uiți la ceas și vezi că ai 20 de minute. Apoi te hotărăști rapid dacă trebuie să iei tramvaiul sau vei avea timp să mergi pe jos până la școală. După ce te gândești, te hotărăști să mergi pe jos. Rețineți că în momentul în care vă gândiți, rezolvați o problemă. Această sarcină a devenit simplă și familiară, deoarece rezolvi astfel de probleme în fiecare zi. În ea, ai comparat rapid mai multe valori. Tu ai fost cel care te-ai uitat la ceas, ceea ce inseamna ca ai luat in calcul ora, apoi ti-ai imaginat mental distanta de la casa ta la scoala; în cele din urmă, ai comparat două cantități: viteza pasului tău și viteza tramvaiului și ai concluzionat că pt timp oferit(20 min.) Veți avea timp să mergeți. Din acest exemplu simplu, puteți vedea că în practica noastră, unele cantități sunt interconectate, adică depind una de alta

În capitolul doisprezece s-a vorbit despre raportul cantităților omogene. De exemplu, dacă un segment are 12 m și celălalt 4 m, atunci raportul acestor segmente va fi 12: 4.

Am spus că este raportul a două mărimi omogene. Cu alte cuvinte, este raportul dintre două numere un singur nume.

Acum că ne-am familiarizat mai mult cu cantitățile și am introdus conceptul de valoare a unei cantități, putem afirma definirea unei relații într-un mod nou. Într-adevăr, când am luat în considerare două segmente de 12 m și 4 m, vorbeam despre o singură valoare - lungime și 12 m și 4 m - acestea erau doar două sensuri diferite această valoare.

Prin urmare, în viitor, când vom începe să vorbim despre un raport, vom lua în considerare două valori ale uneia dintre unele cantități, iar raportul dintre o valoare a unei cantități și o altă valoare a aceleiași cantități va fi numit coeficient de împărțire. prima valoare cu a doua.

§ 130. Cantitatile sunt direct proportionale.

Luați în considerare o problemă a cărei condiție include două mărimi: distanța și timpul.

Sarcina 1. Un corp care se deplasează în linie dreaptă și trece uniform 12 cm în fiecare secundă.Determină traseul parcurs de corp în 2, 3, 4, ..., 10 secunde.

Să facem un tabel prin care să fie posibilă monitorizarea schimbării în timp și distanță.

Tabelul ne oferă posibilitatea de a compara aceste două serii de valori. Vedem din aceasta că atunci când valorile primei mărimi (timp) cresc treptat cu 2, 3, ..., de 10 ori, atunci și valorile celei de-a doua mărimi (distanță) cresc și cu 2, 3, ..., 10 ori. Astfel, atunci când valorile unei cantități cresc de mai multe ori, valorile unei alte cantități cresc cu aceeași cantitate, iar când valorile unei cantități scad de mai multe ori, valorile celeilalte cantități scad cu aceeasi cantitate.

Luați în considerare acum o problemă care include două astfel de cantități: cantitatea de materie și costul acesteia.

Sarcina 2. 15 m de țesătură costă 120 de ruble. Calculați costul acestei țesături pentru alte câteva cantități de metri indicate în tabel.

Din acest tabel, putem vedea cum valoarea unei mărfuri crește treptat, în funcție de creșterea cantității acesteia. În ciuda faptului că în această problemă apar cantități complet diferite (în prima problemă - timp și distanță, iar aici - cantitatea de mărfuri și costul acesteia), cu toate acestea, o mare similitudine poate fi găsită în comportamentul acestor cantități.

Într-adevăr, în linia de sus a tabelului sunt numere care indică numărul de metri de țesătură, sub fiecare dintre ele este scris un număr care exprimă costul cantității corespunzătoare de mărfuri. Chiar și o privire scurtă asupra acestui tabel arată că numerele din rândurile de sus și de jos sunt în creștere; la o examinare mai atentă a tabelului și la compararea coloanelor individuale, se dovedește că, în toate cazurile, valorile celei de-a doua cantități cresc cu același factor ca și valorile primei creșteri, adică dacă valoarea primei cantități a crescut, să zicem, de 10 ori, apoi valoarea celei de-a doua valori a crescut și ea de 10 ori.

Dacă ne uităm la tabel de la dreapta la stânga, vom constata că valorile indicate ale cantităților vor scădea în acelasi numar o singura data. În acest sens, există o asemănare necondiționată între prima sarcină și a doua.

Se numesc perechile de mărimi pe care le-am întâlnit în prima și a doua problemă direct proportional.

Astfel, dacă două mărimi sunt interconectate în așa fel încât odată cu creșterea (scăderea) a valorii uneia dintre ele de mai multe ori, valoarea celeilalte crește (scade) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc direct proporționale.

Ei spun, de asemenea, despre astfel de cantități că sunt interconectate printr-o dependență direct proporțională.

În natură și în viața din jurul nostru, există multe astfel de cantități. Aici sunt cateva exemple:

1. Timp munca (o zi, doua zile, trei zile etc.) si castigurile primite în această perioadă la salarii de zi.

2. Volum orice articol fabricat din material omogen, și greutatea Acest obiect.

§ 131. Proprietatea mărimilor direct proporţionale.

Să luăm o problemă care include următoarele două cantități: timp de lucru si castigurile. Dacă câștigurile zilnice sunt de 20 de ruble, atunci câștigurile pentru 2 zile vor fi de 40 de ruble etc. Cel mai convenabil este să faceți un tabel în care un anumit număr zilele vor corespunde unui anumit câștig.

Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat 10 valori diferite. Fiecare valoare a primei valori corespunde unei anumite valori a celei de-a doua valori, de exemplu, 40 de ruble corespund la 2 zile; 5 zile corespund la 100 de ruble. În tabel, aceste numere sunt scrise una sub alta.

Știm deja că, dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci fiecare dintre ele, în procesul schimbării sale, crește cu aceeași cantitate cu ce crește cealaltă. Rezultă imediat din aceasta: dacă luăm raportul dintre oricare două valori ale primei mărimi, atunci acesta va fi egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi. Într-adevăr:

De ce se întâmplă asta? Dar pentru că aceste valori sunt direct proporționale, adică atunci când una dintre ele (timpul) a crescut de 3 ori, apoi cealaltă (castigul) a crescut de 3 ori.

Prin urmare, am ajuns la următoarea concluzie: dacă luăm oricare două valori ale primei mărimi și le împărțim una la alta, apoi împărțim una la alta valorile celei de-a doua mărimi corespunzătoare acestora, atunci în ambele cazuri se va obține unul și același număr, adică aceeași relație. Aceasta înseamnă că cele două relații pe care le-am scris mai sus pot fi conectate cu un semn egal, i.e.

Fără îndoială că dacă am lua nu aceste relații, ci altele, și în ordine greșită, ci în direcția opusă, am obține și egalitatea relațiilor. Într-adevăr, vom lua în considerare valorile cantităților noastre de la stânga la dreapta și vom lua a treia și a noua valoare:

60:180 = 1 / 3 .

Deci putem scrie:

Aceasta implică următoarea concluzie: dacă două mărimi sunt direct proporționale, atunci raportul dintre două valori luate în mod arbitrar ale primei mărimi este egal cu raportul dintre cele două valori corespunzătoare ale celei de-a doua mărimi.

§ 132. Formula de proporţionalitate directă.

Creați un tabel de costuri diverse cantitati dulciuri, dacă 1 kg dintre ele costă 10,4 ruble.

Acum hai să o facem așa. Să luăm orice număr din al doilea rând și să-l împărțim la numărul corespunzător din primul rând. De exemplu:

Vedeți că în coeficient se obține tot timpul același număr. Prin urmare, pentru o pereche dată de mărimi direct proporționale, câtul de împărțire a oricărei valori a unei mărimi la valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică neschimbător). În exemplul nostru, acest coeficient este 10,4. Aceasta este număr constant numit factor de proporționalitate. În acest caz, exprimă prețul unei unități de măsură, adică un kilogram de mărfuri.

Cum se găsește sau se calculează factorul de proporționalitate? Pentru a face acest lucru, trebuie să luați orice valoare a unei cantități și să o împărțiți la valoarea corespunzătoare a alteia.

Să notăm această valoare arbitrară a unei cantități cu literă la , și valoarea corespunzătoare a unei alte cantități - litera X , apoi coeficientul de proporționalitate (îl notăm La) găsiți prin împărțirea:

În această egalitate la - divizibil X - divizor și La- cât, și întrucât, prin proprietatea împărțirii, dividendul este egal cu divizorul înmulțit cu cât, putem scrie:

y= K X

Egalitatea rezultată se numește formula de proporționalitate directă. Folosind această formulă, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile direct proporționale, dacă cunoaștem valorile corespunzătoare celeilalte mărimi și coeficientul de proporționalitate.

Exemplu. Din fizică știm că greutatea R a oricărui corp este egală cu greutatea sa specifică d înmulțit cu volumul acestui corp V, adică R = d V.

Luați cinci lingouri de fier de diferite dimensiuni; știind gravitație specifică fier (7,8), putem calcula greutățile acestor semifabricate folosind formula:

R = 7,8 V.

Comparând această formulă cu formula la = La X , vedem asta y= R, x = V, și coeficientul de proporționalitate La= 7,8. Formula este aceeași, doar literele sunt diferite.

Folosind această formulă, să facem un tabel: lasă volumul primului gol să fie de 8 metri cubi. cm, atunci greutatea sa este de 7,8 8 \u003d 62,4 (g). Volumul celui de-al doilea semifabricat este de 27 de metri cubi. cm. Greutatea sa este de 7,8 27 \u003d 210,6 (g). Tabelul va arăta astfel:

Calculați singur numerele care lipsesc în acest tabel folosind formula R= d V.

§ 133. Alte modalităţi de rezolvare a problemelor cu mărimi direct proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat problema, a cărei condiție includea cantități direct proporționale. În acest scop, am derivat anterior formula de proporționalitate directă și apoi am aplicat această formulă. Acum vom arăta alte două moduri de a rezolva probleme similare.

Să facem o problemă conform datelor numerice date în tabelul din paragraful precedent.

Sarcină. Blank cu un volum de 8 metri cubi. cm cântărește 62,4 g. Cât va cântări un semifabricat cu un volum de 64 de metri cubi? cm?

Decizie. Greutatea fierului, după cum știți, este proporțională cu volumul său. Dacă 8 cu. cm cântăresc 62,4 g, apoi 1 cu. cm vor cântări de 8 ori mai puțin, adică

62,4: 8 = 7,8 (g).

Un semifabricat cu un volum de 64 de metri cubi. cm va cântări de 64 de ori mai mult decât un semifabricat de 1 cu. cm, adică

7,8 64 = 499,2(g).

Ne-am rezolvat problema reducându-ne la unitate. Semnificația acestui nume este justificată de faptul că, pentru a-l rezolva, a trebuit să găsim greutatea unei unități de volum în prima întrebare.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă folosind metoda proporției.

Deoarece greutatea fierului și volumul său sunt cantități direct proporționale, raportul dintre două valori ale unei cantități (volum) este egal cu raportul a două valori corespunzătoare unei alte cantități (greutate), adică

(scrisoare R am notat greutatea necunoscută a semifabricatului). De aici:

(G).

Problema este rezolvată prin metoda proporțiilor. Aceasta înseamnă că pentru a o rezolva s-a alcătuit o proporție din numerele incluse în condiție.

§ 134. Cantitatile sunt invers proportionale.

Luați în considerare următoarea problemă: „Cinci zidari pot așeza pereții de cărămidă ai unei case în 168 de zile. Stabiliți în câte zile 10, 8, 6 etc zidari ar putea face aceeași muncă.

Dacă 5 zidari dă jos pereții unei case în 168 de zile, atunci (cu aceeași productivitate a muncii) 10 zidari ar putea să o facă de două ori mai repede, deoarece în medie 10 oameni lucrează de două ori mai mult decât 5 persoane.

Să facem un tabel conform căruia ar fi posibilă monitorizarea modificării numărului de ore de lucru și a orelor de lucru.

De exemplu, pentru a afla câte zile durează 6 lucrători, mai întâi trebuie să calculați câte zile durează un lucrător (168 5 = 840), apoi șase lucrători (840: 6 = 140). Privind acest tabel, vedem că ambele cantități au luat șase valori diferite. Fiecare valoare a primei mărimi corespunde mai clar; valoarea celei de-a doua valori, de exemplu, 10 corespunde cu 84, numărul 8 - numărul 105 etc.

Dacă luăm în considerare valorile ambelor valori de la stânga la dreapta, vom vedea că valorile valorii superioare cresc, iar valorile valorii inferioare scad. Crescarea si descendenta sunt subiecte următoarea lege: valorile numărului de lucrători cresc cu același factor cu cât scad valorile timpului de lucru petrecut. Și mai simplu, această idee poate fi exprimată astfel: cu cât sunt mai mulți lucrători angajați în orice afacere, cu atât mai puțin timp au nevoie pentru a finaliza. anumită muncă. Cele două mărimi pe care le-am întâlnit în această problemă se numesc invers proporțională.

Astfel, dacă două mărimi sunt interconectate astfel încât, odată cu creșterea (scăderea) a valorii uneia dintre ele de mai multe ori, valoarea celeilalte scade (crește) cu aceeași cantitate, atunci astfel de mărimi se numesc invers proporționale.

Există multe astfel de lucruri în viață. Să dăm exemple.

1. Dacă pentru 150 de ruble. trebuie să cumpărați mai multe kilograme de dulciuri, apoi numărul de dulciuri va depinde de prețul unui kilogram. Cu cât prețul este mai mare, cu atât se pot cumpăra mai puține bunuri cu acești bani; asta se vede din tabel:

Odată cu creșterea de mai multe ori a prețului dulciurilor, numărul de kilograme de dulciuri care pot fi cumpărate cu 150 de ruble scade cu aceeași sumă. În acest caz, cele două cantități (greutatea produsului și prețul acestuia) sunt invers proporționale.

2. Dacă distanța dintre două orașe este de 1.200 km, atunci poate fi parcursă timpuri diferite in functie de viteza de miscare. Exista căi diferite transport: pe jos, călare, cu bicicleta, cu barca, cu mașina, cu trenul, cu avionul. Cu cât viteza este mai mică, cu atât este nevoie de mai mult timp pentru deplasare. Acest lucru se poate observa din tabel:

Cu o creștere a vitezei de mai multe ori, timpul de mișcare scade cu aceeași cantitate. Prin urmare, în condiții date, viteza și timpul sunt invers proporționale.

§ 135. Proprietatea mărimilor invers proporționale.

Să luăm al doilea exemplu, pe care l-am luat în considerare în paragraful anterior. Acolo aveam de-a face cu două mărimi - viteza mișcării și timpul. Dacă luăm în considerare valorile acestor mărimi de la stânga la dreapta în tabel, vom vedea că valorile primei mărimi (viteza) cresc, iar valorile celei de-a doua (timp) scad și viteza crește cu același factor pe măsură ce timpul scade. Este ușor să vă dați seama că, dacă scrieți raportul dintre unele valori ale unei cantități, atunci acesta nu va fi egal cu raportul valorilor corespunzătoare unei alte cantități. Într-adevăr, dacă luăm raportul dintre a patra valoare a valorii superioare și a șaptea valoare (40: 80), atunci nu va fi egal cu raportul dintre a patra și a șaptea valori ale valorii inferioare (30: 15). ). Se poate scrie asa:

40:80 nu este egal cu 30:15 sau 40:80 =/= 30:15.

Dar dacă în loc de unul dintre aceste rapoarte luăm opusul, atunci obținem egalitate, adică din aceste rapoarte va fi posibil să facem o proporție. De exemplu:

80: 40 = 30: 15,

40: 80 = 15: 30."

Pe baza celor de mai sus, putem trage următoarea concluzie: dacă două mărimi sunt invers proporționale, atunci raportul a două valori arbitrare ale unei mărimi este egal cu relație inversă valorile corespunzătoare ale unei alte mărimi.

§ 136. Formula de proporţionalitate inversă.

Luați în considerare problema: „Sunt 6 bucăți de material de mătase marimi diferite si diverse soiuri. Toate piesele au același preț. Într-o singură bucată 100 m de țesătură la prețul de 20 de ruble. pe metru. Câți metri sunt în fiecare dintre celelalte cinci piese, dacă un metru de țesătură din aceste piese costă 25, 40, 50, 80, respectiv 100 de ruble? Să creăm un tabel pentru a rezolva această problemă:

Trebuie să completăm celulele goale din rândul de sus al acestui tabel. Să încercăm mai întâi să determinăm câți metri sunt în a doua bucată. Acest lucru se poate face în felul următor. Din starea problemei se știe că costul tuturor pieselor este același. Costul primei piese este ușor de determinat: are 100 m și fiecare metru costă 20 de ruble, ceea ce înseamnă că în prima bucată de mătase pentru 2.000 de ruble. Deoarece a doua bucată de mătase conține același număr de ruble, împărțind 2.000 de ruble. la prețul unui metru, adică la 25, aflăm valoarea celei de-a doua piese: 2.000: 25 = 80 (m). În același mod, vom găsi dimensiunea tuturor celorlalte piese. Tabelul va arăta astfel:

Este ușor de observat că între numărul de metri și preț există un invers dependență proporțională.

Dacă faci singur calculele necesare, vei observa că de fiecare dată trebuie să împărțiți numărul 2.000 la prețul de 1 m. Dimpotrivă, dacă începi acum să înmulți dimensiunea unei piese în metri cu prețul de 1 m, vei va primi întotdeauna numărul 2000. și era de așteptat, deoarece fiecare piesă costă 2000 de ruble.

Din aceasta putem trage următoarea concluzie: pentru o pereche dată de mărimi invers proporționale, produsul oricărei valori a unei mărimi cu valoarea corespunzătoare a unei alte mărimi este un număr constant (adică neschimbător).

În problema noastră, acest produs este egal cu 2 000. Verificați că în problema anterioară, în care se vorbea despre viteza de mișcare și timpul necesar deplasării dintr-un oraș în altul, a existat și un număr constant pentru problema respectivă (1.200).

Ținând cont de tot ce s-a spus, este ușor de derivat formula de proporționalitate inversă. Indicați cu literă o valoare a unei cantități X , și valoarea corespunzătoare a unei alte valori - litera la . Apoi, pe baza lucrării de mai sus X pe la trebuie să fie egal cu unii valoare constantă, care va fi notat cu litera La, adică

X y = La.

În această egalitate X - multiplicator, la - multiplicator și K- muncă. Prin proprietatea înmulțirii, multiplicatorul este egal cu produsulîmpărțit la multiplicator. Mijloace,

Aceasta este formula de proporționalitate inversă. Folosind-o, putem calcula orice număr de valori ale uneia dintre mărimile invers proporționale, cunoscând valorile celeilalte și un număr constant La.

Luați în considerare o altă problemă: „Autorul unui eseu a calculat că, dacă cartea lui ar fi în formatul obișnuit, atunci ar avea 96 de pagini, dar dacă ar fi un format de buzunar, atunci ar avea 300 de pagini. El a încercat diferite variante, a început cu 96 de pagini, apoi a primit 2.500 de litere pe pagină. Apoi a luat numărul de pagini indicat în tabelul de mai jos și a calculat din nou câte litere ar fi pe pagină.

Să încercăm să calculăm câte litere vor fi pe o pagină dacă cartea are 100 de pagini.

Există 240.000 de litere în toată cartea, deoarece 2.500 96 = 240.000.

Ținând cont de acest lucru, folosim formula de proporționalitate inversă ( la - numărul de litere pe pagină X - număr de pagini):

În exemplul nostru La= 240.000, prin urmare,

Deci, există 2.400 de litere pe o pagină.

În mod similar, aflăm că dacă cartea are 120 de pagini, atunci numărul de litere de pe pagină va fi:

Tabelul nostru va arăta astfel:

Completați singur restul celulelor.

§ 137. Alte modalităţi de rezolvare a problemelor cu mărimi invers proporţionale.

În paragraful anterior, am rezolvat probleme care includeau mărimi invers proporționale. Am derivat anterior formula de proporționalitate inversă și apoi am aplicat această formulă. Acum vom arăta alte două moduri de a rezolva astfel de probleme.

1. Metoda reducerii la unitate.

Sarcină. 5 strunjitori pot lucra în 16 zile. În câte zile pot finaliza această lucrare 8 strunjitori?

Decizie. Există o relație inversă între numărul de strunjitori și timpul de lucru. Dacă 5 strunjitori fac munca în 16 zile, atunci o persoană va avea nevoie de 5 ori mai mult timp pentru aceasta, adică.

5 strungari fac treaba în 16 zile,

1 strungar îl va finaliza în 16 5 = 80 de zile.

Problema se întreabă, în câte zile vor finaliza lucrarea 8 strungăritori. Evident, vor face treaba de 8 ori mai repede decât 1 strunjător, adică pt

80: 8 = 10 (zile).

Aceasta este rezolvarea problemei prin metoda reducerii la unitate. Aici, în primul rând, a fost necesar să se determine timpul pentru efectuarea muncii de către un lucrător.

2. Metoda proporției. Să rezolvăm aceeași problemă în al doilea mod.

Întrucât există o relație inversă între numărul de muncitori și timpul de lucru, se poate scrie: durata muncii a 5 strunjitori noul număr de strunjitori (8) durata muncii a 8 strunjitori numărul anterior de strunjitori (5). ) Să notăm cu literă durata dorită de muncă X și înlocuiți în proporție exprimată în cuvinte, numere necesare:

Aceeași problemă este rezolvată prin metoda proporțiilor. Pentru a o rezolva, a trebuit să facem o proporție din numerele incluse în starea problemei.

Notă.În paragrafele precedente, am luat în considerare problema proporționalității directe și inverse. Natura și viața ne oferă multe exemple de proporții directe și inverse ale cantităților. Cu toate acestea, trebuie remarcat faptul că aceste două tipuri de dependență sunt doar cele mai simple. Alături de acestea, există și alte relații, mai complexe, între cantități. În plus, nu ar trebui să ne gândim că dacă oricare două cantități cresc simultan, atunci există neapărat o proporționalitate directă între ele. Acest lucru este departe de a fi adevărat. De exemplu, tariful pentru calea ferata crește cu distanța: cu cât mergem mai departe, cu atât plătim mai mult, dar asta nu înseamnă că plata este proporțională cu distanța.

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată graficul de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara zidurilor școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. Prin urmare, relația dintre cantități descrie proporționalitatea directă și inversă.

Proporționalitate directă- aceasta este o astfel de relație între două cantități, în care o creștere sau scădere a uneia dintre ele duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Acestea. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort în pregătirea pentru examene, cu atât vor fi notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât este mai greu să-ți duci rucsacul. Acestea. efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele primite. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o scădere sau creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică cu aceeași cantitate) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Ilustra exemplu simplu. Vrei să cumperi mere din piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers legate. Acestea. cu cât cumperi mai multe mere, cu atât mai puțini bani îți rămân.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. în care X≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Gama este totul numere reale, În afară de y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu traversează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. În cazul în care un k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. În cazul în care un k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valori negative funcțiile sunt în intervalul (-∞; 0) și pozitive - (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul funcției de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Înfățișat după cum urmează:

Probleme proporționale inverse

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la câteva sarcini. Nu sunt prea complicate, iar soluția lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporția inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina numărul 1. Mașina se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut mașina pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care, prin condiție, este de 2 ori mai mare: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ni se cere în funcție de starea problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: cu o viteză de 2 ori mai mare decât cea originală, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. De ce creăm o diagramă ca aceasta:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație inversă. De asemenea, ei sugerează că atunci când se întocmește o proporție partea dreaptaînregistrările trebuie inversate: 60/120 = x/6. De unde obținem x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ore.

Sarcina numărul 2. Atelierul angajează 6 muncitori care fac față unui anumit volum de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura lucrătorilor rămași să finalizeze aceeași cantitate de muncă?

Scriem condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori - 4 ore

↓ 3 muncitori - x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ore. Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, restul va petrece de 2 ori mai mult timp pentru a finaliza toată munca.

Sarcina numărul 3. Două conducte duc la piscină. Printr-o singură conductă apa intră cu un debit de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cât de repede intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, vom aduce toate cantitățile care ne sunt date în funcție de starea problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm rata de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să fie umplută mai încet prin a doua țeavă, înseamnă că rata de intrare a apei este mai mică. Pe fața proporției inverse. Să exprimăm viteza necunoscută nouă în termeni de x și să întocmim următoarea schemă:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi vom face o proporție: 120 / x \u003d 75/45, de unde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să aducem răspunsul nostru la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina numărul 4. Cărțile de vizită sunt tipărite într-o mică tipografie privată. Un angajat al tipografiei lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează cu normă întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită pe oră, cu cât mai devreme ar putea să plece acasă?

Mergem într-un mod dovedit și elaborăm o schemă în funcție de starea problemei, notând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/h – 8 h

↓ 48 cărți de vizită/h – xh

În fața noastră este o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, aceeași perioadă de timp îi va lua pentru a finaliza aceeași lucrare. Știind acest lucru, putem stabili proporția:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că și acum le considerați așa. Și cel mai important, cunoașterea dependenței invers proporționale a cantităților vă poate fi cu adevărat utilă de mai multe ori.

Nu numai la orele de matematică și la examene. Dar chiar și atunci, când ai de gând să pleci într-o excursie, mergi la cumpărături, decizi să câștigi niște bani în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de proporționalitate inversă și directă observi în jurul tău. Să fie un joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să distribuiți acest articol retele sociale ca să se poată juca și prietenii și colegii tăi.

blog.site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesar un link către sursă.

Astăzi ne vom uita la ce cantități sunt numite invers proporționale, cum arată graficul de proporționalitate inversă și cum toate acestea vă pot fi utile nu numai la lecțiile de matematică, ci și în afara zidurilor școlii.

Proporții atât de diferite

Proporționalitate numiți două cantități care sunt reciproc dependente una de cealaltă.

Dependența poate fi directă și inversă. Prin urmare, relația dintre cantități descrie proporționalitatea directă și inversă.

Proporționalitate directă- aceasta este o astfel de relație între două cantități, în care o creștere sau scădere a uneia dintre ele duce la o creștere sau scădere a celeilalte. Acestea. atitudinea lor nu se schimbă.

De exemplu, cu cât depui mai mult efort în pregătirea pentru examene, cu atât vor fi notele mai mari. Sau cu cât iei mai multe lucruri cu tine în drumeție, cu atât este mai greu să-ți duci rucsacul. Acestea. efortul depus pentru pregătirea examenelor este direct proporțional cu notele primite. Iar numărul de lucruri ambalate într-un rucsac este direct proporțional cu greutatea acestuia.

Proporționalitate inversă- aceasta este o dependență funcțională, în care o scădere sau creștere de mai multe ori a unei valori independente (se numește argument) determină o creștere sau scădere proporțională (adică cu aceeași cantitate) a unei valori dependente (se numește un funcţie).

Să ilustrăm cu un exemplu simplu. Vrei să cumperi mere din piață. Merele de pe blat și suma de bani din portofel sunt invers legate. Acestea. cu cât cumperi mai multe mere, cu atât mai puțini bani îți rămân.

Funcția și graficul acesteia

Funcția de proporționalitate inversă poate fi descrisă ca y = k/x. în care X≠ 0 și k≠ 0.

Această funcție are următoarele proprietăți:

1. Domeniul său de definiție este mulțimea tuturor numerelor reale, cu excepția X = 0. D(y): (-∞; 0) U (0; +∞).
2. Intervalul sunt toate numerele reale, cu excepția y= 0. E(y): (-∞; 0) U (0; +∞) .
3. Nu are valori maxime sau minime.
4. Este impar și graficul său este simetric față de origine.
5. Neperiodică.
6. Graficul său nu traversează axele de coordonate.
7. Nu are zerouri.
8. În cazul în care un k> 0 (adică argumentul crește), funcția scade proporțional pe fiecare dintre intervalele sale. În cazul în care un k< 0 (т.е. аргумент убывает), функция пропорционально возрастает на каждом из своих промежутков.
9. Pe măsură ce argumentul crește ( k> 0) valorile negative ale funcției sunt în intervalul (-∞; 0), iar valorile pozitive sunt în intervalul (0; +∞). Când argumentul scade ( k< 0) отрицательные значения расположены на промежутке (0; +∞), положительные – (-∞; 0).

Graficul funcției de proporționalitate inversă se numește hiperbolă. Înfățișat după cum urmează:

Probleme proporționale inverse

Pentru a fi mai clar, să ne uităm la câteva sarcini. Nu sunt prea complicate, iar soluția lor vă va ajuta să vizualizați ce este proporția inversă și cum aceste cunoștințe vă pot fi utile în viața de zi cu zi.

Sarcina numărul 1. Mașina se deplasează cu o viteză de 60 km/h. I-a luat 6 ore să ajungă la destinație. Cât timp îi va lua să parcurgă aceeași distanță dacă se mișcă cu o viteză de două ori mai mare?

Putem începe prin a scrie o formulă care descrie relația dintre timp, distanță și viteză: t = S/V. De acord, ne amintește foarte mult de funcția de proporționalitate inversă. Și indică faptul că timpul petrecut mașina pe drum și viteza cu care se deplasează sunt invers proporționale.

Pentru a verifica acest lucru, să găsim V 2, care, prin condiție, este de 2 ori mai mare: V 2 \u003d 60 * 2 \u003d 120 km / h. Apoi calculăm distanța folosind formula S = V * t = 60 * 6 = 360 km. Acum nu este greu să aflăm timpul t 2 care ni se cere în funcție de starea problemei: t 2 = 360/120 = 3 ore.

După cum puteți vedea, timpul de călătorie și viteza sunt într-adevăr invers proporționale: cu o viteză de 2 ori mai mare decât cea originală, mașina va petrece de 2 ori mai puțin timp pe drum.

Soluția la această problemă poate fi scrisă și ca proporție. De ce creăm o diagramă ca aceasta:

↓ 60 km/h – 6 h

↓120 km/h – x h

Săgețile indică o relație inversă. Și, de asemenea, sugerează că, atunci când se elaborează proporția, partea dreaptă a înregistrării trebuie să fie răsturnată: 60/120 \u003d x / 6. De unde obținem x \u003d 60 * 6/120 \u003d 3 ore.

Sarcina numărul 2. Atelierul angajează 6 muncitori care fac față unui anumit volum de muncă în 4 ore. Dacă numărul de lucrători se reduce la jumătate, cât timp va dura lucrătorilor rămași să finalizeze aceeași cantitate de muncă?

Scriem condițiile problemei sub forma unei diagrame vizuale:

↓ 6 muncitori - 4 ore

↓ 3 muncitori - x h

Să scriem asta ca proporție: 6/3 = x/4. Și obținem x \u003d 6 * 4/3 \u003d 8 ore. Dacă sunt de 2 ori mai puțini lucrători, restul va petrece de 2 ori mai mult timp pentru a finaliza toată munca.

Sarcina numărul 3. Două conducte duc la piscină. Printr-o singură conductă apa intră cu un debit de 2 l/s și umple piscina în 45 de minute. Printr-o altă conductă, piscina se va umple în 75 de minute. Cât de repede intră apa în piscină prin această conductă?

Pentru început, vom aduce toate cantitățile care ne sunt date în funcție de starea problemei la aceleași unități de măsură. Pentru a face acest lucru, exprimăm rata de umplere a piscinei în litri pe minut: 2 l / s \u003d 2 * 60 \u003d 120 l / min.

Deoarece rezultă din condiția ca piscina să fie umplută mai încet prin a doua țeavă, înseamnă că rata de intrare a apei este mai mică. Pe fața proporției inverse. Să exprimăm viteza necunoscută nouă în termeni de x și să întocmim următoarea schemă:

↓ 120 l/min - 45 min

↓ x l/min – 75 min

Și apoi vom face o proporție: 120 / x \u003d 75/45, de unde x \u003d 120 * 45/75 \u003d 72 l / min.

În problemă, viteza de umplere a piscinei este exprimată în litri pe secundă, să aducem răspunsul nostru la aceeași formă: 72/60 = 1,2 l/s.

Sarcina numărul 4. Cărțile de vizită sunt tipărite într-o mică tipografie privată. Un angajat al tipografiei lucrează cu o viteză de 42 de cărți de vizită pe oră și lucrează cu normă întreagă - 8 ore. Dacă ar lucra mai repede și ar tipări 48 de cărți de vizită pe oră, cu cât mai devreme ar putea să plece acasă?

Mergem într-un mod dovedit și elaborăm o schemă în funcție de starea problemei, notând valoarea dorită ca x:

↓ 42 cărți de vizită/h – 8 h

↓ 48 cărți de vizită/h – xh

În fața noastră este o relație invers proporțională: de câte ori mai multe cărți de vizită tipărește un angajat al unei tipografii pe oră, aceeași perioadă de timp îi va lua pentru a finaliza aceeași lucrare. Știind acest lucru, putem stabili proporția:

42/48 \u003d x / 8, x \u003d 42 * 8/48 \u003d 7 ore.

Astfel, după ce a finalizat lucrarea în 7 ore, angajatul tipografiei putea pleca acasă cu o oră mai devreme.

Concluzie

Ni se pare că aceste probleme de proporționalitate inversă sunt cu adevărat simple. Sperăm că și acum le considerați așa. Și cel mai important, cunoașterea dependenței invers proporționale a cantităților vă poate fi cu adevărat utilă de mai multe ori.

Nu numai la orele de matematică și la examene. Dar chiar și atunci, când ai de gând să pleci într-o excursie, mergi la cumpărături, decizi să câștigi niște bani în vacanță etc.

Spune-ne în comentarii ce exemple de proporționalitate inversă și directă observi în jurul tău. Să fie un joc. Vei vedea cât de interesant este. Nu uitați să „distribuiți” acest articol pe rețelele de socializare pentru ca și prietenii și colegii tăi să se poată juca.

site, cu copierea integrală sau parțială a materialului, este necesară un link către sursă.