Definícia 3. Rotačné teleso je teleso získané otáčaním plochého útvaru okolo osi, ktorá nepretína útvar a leží s ním v rovnakej rovine.

Os otáčania môže pretínať aj obrazec, ak je osou symetrie obrazca.

Veta 2.
, os
a priame úsečky
a

otáča sa okolo osi
. Potom sa objem výsledného rotačného telesa môže vypočítať podľa vzorca

(2)

Dôkaz. Pre takéto telo je sekcia s úsečkou je kruh s polomerom
, znamená
a vzorec (1) poskytuje požadovaný výsledok.

Ak je obrázok obmedzený grafmi dvoch spojitých funkcií
a
a úsečky
a
, navyše
a
, potom pri otáčaní okolo osi x dostaneme teleso, ktorého objem

Príklad 3 Vypočítajte objem torusu získaného otáčaním kružnice ohraničenej kružnicou

okolo osi x.

R Riešenie. Zadaný kruh je zdola ohraničený grafom funkcie
, a nad -
. Rozdiel druhých mocnín týchto funkcií:

Požadovaný objem

(graf integrandu je horný polkruh, takže integrál napísaný vyššie je oblasť polkruhu).

Príklad 4 Parabolický segment so základňou
a výška , sa točí okolo základne. Vypočítajte objem výsledného tela ("citrón" od Cavalieriho).

R Riešenie. Umiestnite parabolu tak, ako je znázornené na obrázku. Potom jeho rovnica
a
. Poďme zistiť hodnotu parametra :
. Takže požadovaný objem:

Veta 3. Nech je krivočiary lichobežník ohraničený grafom spojitej nezápornej funkcie
, os
a priame úsečky
a
, navyše
, otáča sa okolo osi
. Potom objem výsledného rotačného telesa možno nájsť podľa vzorca

(3)

dôkazový nápad. Rozdelenie segmentu
bodky

, na časti a nakreslite rovné čiary
. Celý lichobežník sa rozloží na pásy, ktoré možno považovať približne za obdĺžniky so základňou
a výška
.

Valec, ktorý je výsledkom rotácie takéhoto obdĺžnika, sa rozreže pozdĺž tvoriacej čiary a rozloží sa. Dostaneme „takmer“ rovnobežnosten s rozmermi:
,
a
. Jeho objem
. Takže pre objem rotačného telesa budeme mať približnú rovnosť

Aby sme dosiahli presnú rovnosť, musíme prejsť na limit pri
. Vyššie napísaný súčet je celočíselným súčtom funkcie
, teda v limite dostaneme integrál zo vzorca (3). Veta bola dokázaná.

Poznámka 1. Vo vete 2 a 3 podmienka
možno vynechať: vzorec (2) je vo všeobecnosti necitlivý na znamienko
a vo vzorci (3) to stačí
nahradený
.

Príklad 5 Parabolický segment (základňa
, výška ) sa točí okolo výšky. Nájdite objem výsledného telesa.

rozhodnutie. Usporiadajte parabolu tak, ako je znázornené na obrázku. A hoci os rotácie pretína postavu, ona – os – je osou symetrie. Preto by sa mala brať do úvahy iba pravá polovica segmentu. Parabolická rovnica
a
, znamená
. Pre objem máme:

Poznámka 2. Ak je krivočiara hranica krivočiareho lichobežníka daná parametrickými rovnicami
,
,
a
,
potom je možné s náhradou použiť vzorce (2) a (3). na
a
na
keď sa zmení t od
predtým .

Príklad 6 Obrazec je ohraničený prvým oblúkom cykloidy
,
,
a os x. Nájdite objem telesa získaný otočením tohto čísla okolo: 1) osi
; 2) nápravy
.

rozhodnutie. 1) Všeobecný vzorec
V našom prípade:

2) Všeobecný vzorec
Pre našu postavu:

Odporúčame študentom, aby si všetky výpočty robili sami.

Poznámka 3. Nech je krivočiary sektor ohraničený súvislou čiarou
a lúče
,

, sa otáča okolo polárnej osi. Objem výsledného telesa možno vypočítať podľa vzorca.

Príklad 7 Časť postavy ohraničená kardioidom
, ležiaci mimo kruhu
, sa otáča okolo polárnej osi. Nájdite objem výsledného telesa.

rozhodnutie. Obe čiary, a teda aj číslo, ktoré obmedzujú, sú symetrické okolo polárnej osi. Preto je potrebné brať do úvahy iba časť, pre ktorú
. Krivky sa pretínajú v
a

pri
. Ďalej, údaj možno považovať za rozdiel dvoch sektorov, a teda objem možno vypočítať ako rozdiel dvoch integrálov. Máme:

Úlohy na nezávislé riešenie.

1. Kruhový segment, ktorého základňa
, výška , sa točí okolo základne. Nájdite objem rotačného telesa.

2. Nájdite objem rotačného paraboloidu, ktorého základňa , a výška je .

3. Postava ohraničená astroidom
,
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem tela, ktorý sa získa v tomto prípade.

4. Obrázok ohraničený čiarami
a
sa otáča okolo osi x. Nájdite objem rotačného telesa.

Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu konkrétnej osoby alebo jej kontaktovanie.

Môžete byť požiadaní, aby ste poskytli svoje osobné informácie kedykoľvek, keď nás kontaktujete.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné pre bezpečnosť, presadzovanie práva alebo inú verejnosť dôležité príležitosti.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušného nástupcu tretej strany.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

revolučné orgány volajte telesá ohraničené buď rotačnou plochou, alebo rotačnou plochou a rovinou (obrázok 134). Pod rotačnou plochou sa rozumie plocha získaná rotáciou priamky ( A B C D E ), ploché alebo priestorové, nazývané tvoriaca čiara, okolo pevnej čiary ( i ) - osí otáčania.

Obrázok 134

Akýkoľvek bod na tvoriacej priamke rotačnej plochy opisuje kružnicu umiestnenú v rovine kolmej na os rotácie - paralelný preto rovina kolmá na os otáčania vždy pretína rotačnú plochu v kruhu. Najväčšia paralela - rovník. Najmenšia paralela - hrdla(krk).

Roviny prechádzajúce osou rotácie sa nazývajú poludníkové roviny.

V zložitom výkrese sa znázornenie rotačných telies uskutočňuje pomocou znázornenia hrán podstav a čiar obrysov povrchu.

Priamky priesečníkov poludníkových rovín s povrchom sa nazývajú meridiány.

Poledníková rovina rovnobežná s premietacou rovinou sa nazýva hlavná poludníková rovina. Čiara jej priesečníka s povrchom - nultý poludník.

Rovný kruhový valec. Pravý kruhový valec (obrázok 135) je teleso ohraničené valcovou rotačnou plochou a dvoma kruhmi - základňami valca umiestnenými v rovinách kolmých na os valca. Valcová rotačná plocha nazývaný povrch získaný rotáciou priamočiarej tvoriacej čiary AA 1 okolo pevnej priamky rovnobežnej s ňou - i (os otáčania). Rozmery charakterizujúce pravý kruhový valec sú jeho priemerom Dc a výška l (vzdialenosť medzi základňami valca).

Obrázok 135

Pravý kruhový valec možno považovať aj za teleso získané otáčaním obdĺžnika. A B C D okolo jednej z jeho strán, napr. slnko (Obrázok 136). Side slnko je os otáčania a strana AD - tvoriaca čiara valca. Ďalšie dve strany označia základne valca.

Obrázok 136

Obdĺžnik AB a CD pri otáčaní tvoria kruhy - základne valca.

Konštrukcia výbežkov valcov.

Konštrukcia horizontálnych a čelných projekcií valca začína obrazom základne valca, t.j. dvoch projekcií kruhu (pozri obrázok 135, b). Keďže kruh je v rovine H , potom sa premietne do tejto roviny bez skreslenia. Čelný priemet kruhu je úsek vodorovnej priamky rovnajúci sa priemeru základného kruhu.

Po postavení základne na čelnej projekcii dve generátory skic(extrémne generátory) a na nich je vynesená výška valca. Nakreslí sa segment vodorovnej čiary, ktorá je čelným priemetom hornej základne valca (obrázok 135, c).

Určenie chýbajúcich priemetov bodov A a B umiestnených na povrchu valca podľa daných čelných priemetov v tento prípad nespôsobuje ťažkosti, pretože celý horizontálny priemet bočného povrchu valca je kruh (obrázok 137, a). Preto vodorovné priemety bodov ALE a AT nájdete potiahnutím prstom z daných bodov A"" a B"" vertikálne komunikačné čiary, kým sa nepretnú s kružnicou v požadovaných bodoch A" a B".

Profilové projekcie bodov ALE a AT Sú tiež postavené pomocou vertikálnych a horizontálnych komunikačných línií.

Izometrický pohľad na valec kresliť, ako je znázornené na obrázku 137, b.

V izometrickom bode ALE a AT postavené podľa ich súradníc. Napríklad postaviť bod AT od pôvodu O pozdĺž osi X odložiť súradnicu ∆x a potom sa cez jeho koniec nakreslí priamka rovnobežná s osou pri , kým sa v bode nepretína so základným obrysom 2 . Od tohto bodu sa nakreslí priamka rovnobežná s osou z, na ktorej je vynesená súradnica Z B , body AT .

Obrázok 137

Rovno kruhový kužeľ . Pravý kruhový kužeľ (obrázok 138) je teleso ohraničené rotačnou kužeľovou plochou a kružnicou umiestnenou v rovine kolmej na os kužeľa. kužeľová plocha získané rotáciou priamočiarej tvoriacej priamky SA (Obrázok 138, a), prechádzajúci cez pevný bodS na osi otáčania i a zviera s touto osou nejaký konštantný uhol. Bodka S volal horná časť kužeľa a kužeľová plocha je bočná plocha kužeľa. Veľkosť pravého kruhového kužeľa charakterizuje priemer jeho základne D K a výška H .

Obrázok 138

Pravý kruhový kužeľ možno považovať aj za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka SAB okolo jeho nohy SB (Obrázok 139). S touto rotáciou opisuje prepona kužeľová plocha a nohu AB - kruh, teda základňa kužeľa.

Obrázok 139

Konštrukcia kužeľových výstupkov.

Postupnosť konštrukcie dvoch projekcií kužeľa je znázornená na obrázku 167, b a c. Najprv sa postavia dva projekcie základne. Vodorovný priemet základne je kruh. Čelná projekcia bude segmentom vodorovnej čiary rovnajúcej sa priemeru tohto kruhu (obrázok 138, b). Na čelnej projekcii je zo stredu základne postavená kolmica a na ňu je položená výška kužeľa (obrázok 138, c). Výsledný čelný priemet vrcholu kužeľa je spojený priamkami s koncami čelného priemetu základne a získa sa čelný priemet kužeľa.

Konštrukcia bodov na povrchu kužeľa

Ak je na povrchu kužeľa daný jeden bodový priemet ALE (napríklad čelná projekcia na obrázku 140), potom sa ďalšie dva priemety tohto bodu určia pomocou pomocných čiar - tvoriacej čiary umiestnenej na povrchu kužeľa a ťahanej cez bod. ALE , alebo kružnica umiestnená v rovine rovnobežnej so základňou kužeľa.

Obrázok 140

V prvom prípade (obrázok 140, a) cez bod A vykonať čelnú projekciu 1""S"" pomocná tvoriaca čiara. Použitie zvislej komunikačnej línie vedenej z bodu 1 , ktorý sa nachádza na čelnom priemete základného kruhu, nájdite vodorovný priemet 1" túto tvoriacu čiaru, na ktorej pomocou komunikačnej linky prechádzajúcej cez A" , Nájsť požadovaný bod A .

V druhom prípade (obrázok 140, b) pomocná čiara prechádzajúca bodom ALE , bude kruh umiestnený na kužeľovej ploche a rovnobežný s rovinou H - paralelný. Čelná projekcia tohto kruhu je znázornená ako segment 1""1"" vodorovná priamka, ktorej hodnota sa rovná priemeru pomocnej kružnice. Požadovaná horizontálna projekcia A" bodov ALE sa nachádza na križovatke komunikačnej línie, zníženej z bodu A" , s horizontálnym priemetom pomocného kruhu.

Ak je daná čelná projekcia 1"" bodov 1 nachádza sa na tvoriacej čiare obrysu, potom je horizontálny priemet bodu bez pomocných čiar.

AT izometrický pohľad bod ALE , ktorý sa nachádza na povrchu kužeľa, je postavený v troch súradniciach (pozri obrázok 140, c):  X ,  Y a Z ALE O pozdĺž osi X oneskorená súradnica  X  Y z Z ALE ALE .

Lopta. Guľa (obrázok 141) je teleso získané otáčaním polkruhu ABC (generujúci) okolo svojho priemeru AC (os rotácie) a povrch, ktorý oblúk v tomto prípade opisuje ABC , sa nazýva sférický alebo sférický. Guľa sa vzťahuje na telesá obmedzené iba rotačným povrchom.

Obrázok 141

Lopta(sférická) plocha je ťažisko bodov rovnako vzdialených od jedného bodu O volal guľový stred. Ak je loptička prerezaná vodorovnými rovinami, potom sa v sekcii získajú kruhy - paralely. Najväčšia z rovnobežiek má priemer rovný priemeru gule. Takýto kruh sa nazýva rovník. Kruhy získané v dôsledku rezov lopty rovinami prechádzajúcimi cez jej os rotácie sa nazývajú meridiány.

Konštrukcia výstupkov lopty a bodov na jej povrchu

Priemetne gule sú znázornené na obrázku 142, a. Horizontálne a čelné projekcie - kruhy s polomerom rovným polomeru gule.

Obrázok 142

Ak bod ALE lokalizované na guľový povrch, potom pomocná čiara 1"" 2"" , pretiahnutý týmto bodom rovnobežným s osou Oh (paralelný), sa premieta na vodorovnú premietaciu rovinu kružnicou. Na vodorovnom priemete pomocného kruhu sa pomocou komunikačnej linky nájde požadovaný vodorovný priemet A" bodov ALE .

Hodnota priemeru pomocnej kružnice sa rovná čelnej projekcii 1""2"" .

Axonometrický obraz gule (guľa) je vyrobená vo forme kruhu (obrázok 142 b), ktorého polomer je geometricky definovaný ako vzdialenosť od stredu gule k priemetu rovníka (elipsy) pozdĺž jeho hlavnej osi (kolmej na Oz ).

V axonometrickej projekcii bod ALE , ktorý sa nachádza na povrchu lopty, je postavený podľa troch súradníc: X ALE ,Y ALE a Z ALE . Tieto súradnice sú postupne zakreslené v smeroch rovnobežných s izometrickými osami. V uvažovanom príklade od bodu O pozdĺž osi X oneskorená súradnica X ALE ; od jeho konca sa vedie priamka rovnobežná s osou y, na ktorej je vynesená súradnica Y ALE ; od konca segmentu rovnobežne s osou z nakreslí sa priamka, na ktorej je vynesená súradnica Z ALE . V dôsledku konštrukcií získame požadovaný bod ALE .

Thor- teleso (obrázok 143) vytvorené rotáciou kruhu alebo jeho oblúka okolo osi umiestnenej v rovnakej rovine s ním, ale neprechádzajúcou stredom kruhu alebo jeho oblúka.

Obrázok 143

Ak os rotácie nepretína tvoriacu kružnicu, potom sa volá torus prsteň(otvorený torus) (Obrázok 143, a). Ak os rotácie pretína generujúci kruh, potom sa ukáže sudovitý torus(uzavretý torus alebo pretínajúci sa torus) (obrázok 143, b). V druhom prípade je tvoriacou čiarou povrchu torusu oblúk ABC kruhy.

Najväčší z kružníc, ktoré opisujú body tvoriacej čiary povrchu torusu, sa nazýva rovník, a najmenší hrdla, alebo krk.

Konštrukcia torusových projekcií

Kruhový krúžok (alebo otvorený torus) má horizontálnu projekciu vo forme dvoch sústredných kruhov, ktorých rozdiel v polomeroch sa rovná hrúbke krúžku alebo priemeru generujúceho kruhu (obrázok 145). Čelný priemet je ohraničený vpravo a vľavo oblúkmi polkruhov s priemerom tvoriacej kružnice.

Obrázok 144, aab ukazuje dva typy uzavretého torusu. V prvom prípade tvoriaci oblúk kruhu s polomerom R od osi otáčania vo vzdialenosti menšej ako je polomer R , av druhom prípade - viac. V oboch prípadoch sú čelné projekcie torusu skutočným pohľadom na dva vytvárajúce sa oblúky kruhu s polomerom R umiestnené symetricky vzhľadom na čelný priemet osi otáčania. Profilové projekcie torusu budú kruhy.

Obrázok 144

Vytváranie bodov na povrchu torusu

V prípade, že bod ALE leží na povrchu kruhového prstenca a je daný jeden z jeho priemetov, na nájdenie druhého priemetu tohto bodu sa používa pomocný kruh prechádzajúci cez daný bod ALE a nachádza sa na povrchu krúžku v rovine kolmej na os krúžku (obrázok 145).

Ak je nastavená predná projekcia A"" bodov ALE ležiace na povrchu krúžku, potom nájsť jeho druhú projekciu (v tomto prípade horizontálnu) cez A" vykonajte čelnú projekciu pomocného kruhu - segmentu vodorovnej priamky 2""2"" . Potom vytvorte horizontálnu projekciu 2"2" tento kruh a na ňom pomocou komunikačnej línie nájdite bod A" .

Ak je daná horizontálna projekcia B" bodov B umiestnený na povrchu tohto prstenca, potom nájsť čelný priemet tohto bodu cez 1" vykonajte horizontálnu projekciu pomocnej kružnice s polomerom R 1 . Potom cez ľavý a pravý bod 1" a 1" tejto kružnice sú nakreslené vertikálne komunikačné čiary, kým sa nepretínajú s čelnými priemetmi tvoriacej čiary náčrtu kruhu s polomerom R a získajte body 1"" a 1"" . Tieto body sú spojené vodorovnou priamkou, ktorá je čelným priemetom pomocnej kružnice (bude viditeľná). Kreslenie zvislej čiary z bodu B" ku križovatke s čiarou 1""1"" získať požadovaný bod B"" .

Rovnaké konštrukčné techniky sú použiteľné pre body umiestnené na povrchu torusu.

Obrázok 145

Vytvorenie axonometrického obrazu Torus možno rozdeliť do troch etáp (obrázok 146). Najprv sa zostrojí priemet radiálnej axiálnej priamky (trajektória stredu tvoriacej kružnice) vo forme elipsy. Potom určíme polomer gule dotýkajúcej sa torusu pozdĺž tvoriacej priamky (kruhu). Aby sme to dosiahli, zostrojíme projekciu čelnej náčrtovej tvoriacej čiary torusu vo forme menšej elipsy. Polomer gule je definovaný ako dĺžka segmentu O 1 F od stredu elipsy do bodu na tejto elipse, ktorý leží na hlavnej osi elipsy (kolmá Oj ). Ďalej postavíme veľké množstvo kruhov s polomerom R gule s centrami na projekcii radiálneho axiálneho torusu O 1 … O n (čím viac, tým presnejší je obrys budúceho torusu). Nakoniec nakreslíme obrysovú čiaru torusu ako čiaru dotýkajúcu sa každého kruhu gule.

Obrázok 146

AT axonometrická projekcia bod ALE , ktorý sa nachádza na povrchu torusu, je postavený podľa troch súradníc: X ALE ,Y ALE a Z ALE . Tieto súradnice sú postupne zakreslené v smeroch rovnobežných s izometrickými osami.

Rotačné plochy a nimi ohraničené telesá majú široké uplatnenie v mnohých oblastiach techniky: balón s katódovou trubicou (obr. 8.11, a), stred sústruhu (obr. 8.11, b) objemový mikrovlnný rezonátor elektromagnetické oscilácie(Obr. 8.11, v), skladovacia dewarova nádoba kvapalný vzduch(Obr. 8.11, G), kolektor elektrónov výkonného katódového zariadenia (obr. 8.11, e) atď.

V závislosti od typu tvoriacej čiary povrchu môžu byť rotácie riadené, nelineárne alebo môžu pozostávať z častí takýchto povrchov.

Rotačná plocha je plocha, ktorá je výsledkom rotácie tvoriacej čiary okolo pevnej čiary. priama os povrchy.

Na výkresoch je os znázornená prerušovanou čiarou. Generujúca linka môže všeobecný prípad majú zakrivené aj rovné časti. Plochu otáčania na výkrese je možné špecifikovať pomocou tvoriacej čiary a polohy osi. Obrázok 8.12 ukazuje rotačnú plochu, ktorá je tvorená rotáciou tvoriacej čiary AlCD (jej čelná projekcia a"b"c"d") okolo osi OO 1 (predná projekcia o"o 1" , kolmo na rovinu N. Počas rotácie každý bod tvoriacej priamky opisuje kružnicu, ktorej rovina je kolmá na os. V súlade s tým je priesečník rotačnej plochy akoukoľvek rovinou kolmou na os kruh. Takéto kruhy sa nazývajú paralely. Pohľad zhora (obr. 8.12) zobrazuje priemety kružníc popísaných bodmi A, B, C a D, prechádzanie cez projekcie a B C d. Najväčšia rovnobežka z dvoch rovnobežiek, ktoré k nej priliehajú na oboch stranách, sa nazýva rovník, rovnako najmenší hrdla.

Rovina prechádzajúca osou rotačnej plochy sa nazýva poludník čiara jej priesečníka s rotačnou plochou - poludník. Ak je os plochy rovnobežná s rovinou premietania, potom sa poludník ležiaci v rovine rovnobežnej s touto rovinou premietania nazývahlavný poludník.Do tejto roviny projekcií sa bez skreslenia premieta hlavný meridián. Ak je teda os rotačnej plochy rovnobežná s rovinou V, potom sa do roviny premietne nultý poludník V bez skreslenia, napr a"f"b"c"d". Ak je os rotačnej plochy kolmá na rovinu H, potom má horizontálny priemet povrchu obrys v tvare kruhu.

Najvhodnejšie na vytváranie obrazov rotačných plôch sú prípady, keď sú ich osi kolmé na rovinu H, do roviny V alebo do roviny W.

Niektoré rotačné povrchysú špeciálne prípady plôch uvažovaných v 8.1, napríklad rotačný valec, rotačný kužeľ. Pre valec a rotačný kužeľ sú meridiány rovné čiary. Sú rovnobežné s osou a v prípade valca sú od nej rovnako vzdialené alebo v prípade kužeľa pretínajú os v rovnakom bode pod rovnakým uhlom k osi. Valec a rotačný kužeľ sú plochy, ktoré sú v smere ich generátorov nekonečné; preto sú na obrázkoch obmedzené nejakými čiarami, napríklad priesečníkmi týchto plôch s rovinami premietania alebo niektorou z rovnobežiek. Z priestorovej geometrie je známe, že pravý kruhový valec a pravý kruhový kužeľ sú ohraničené rotačnou plochou a rovinami kolmými na os plochy. Meridián takého valca je obdĺžnik, poludník kužeľa je trojuholník.

Takáto rotačná plocha ako guľa je obmedzená a môže byť na výkrese znázornená v plnom rozsahu. Rovník a poludníky gule sú rovnaké kruhy. o ortogonálna projekcia na všetkých troch premietacích rovinách sa obrysy gule premietajú do kruhu.

Thor. Keď sa kružnica (alebo jej oblúk) otáča okolo osi, ktorá leží v rovine tejto kružnice, ale neprechádza jej stredom, získa sa povrch nazývaný torus. Obrázok 8.13 zobrazuje: otvorený prstenec alebo kruhový prstenec, - Obrázok 8.13, a, uzavretý torus - obrázok 8.13, b, samopretínajúci sa torus - obrázok 8.13, c, Tor (obr. 8.13, d) nazývaný aj citrón. Na obrázku 8.13 sú zobrazené v polohe, kde je os torusu kolmá na rovinu projekcií N. Gule môžu byť vpísané do otvorenej a uzavretej tori. Anuloid možno považovať za povrch obklopujúci rovnaké gule, ktorých stredy sú v kruhu.

V konštrukciách na výkresoch sú široko používané dva systémy kruhových rezov torusu: v rovinách kolmých na jeho os a v rovinách prechádzajúcich osou torusu. Zároveň v byte

V smeroch kolmých na os torusu sú zasa dve rodiny kružníc - priesečníky rovín s vonkajším povrchom torusu a priesečníky rovín s vnútorným povrchom torusu. Torus citrónového tvaru (obr. 8.13, d) má iba prvú rodinu kruhov.

Okrem toho má torus aj tretí systém kruhových sekcií, ktoré ležia v rovinách prechádzajúcich stredom torusu a dotýkajú sa k nemu. vnútorný povrch. Obrázok 8.14 ukazuje kruhové úseky s centrami o 1r a o 2r na dodatočnej projekčnej rovine R, tvorený prednou projekčnou rovinou Q(Qv), prechádzajúci stredom torusu s výbežkami oh" oh a dotyčnica k vnútornému povrchu torusu v bodoch s výčnelkami 1", 1, 2" 2. Bodové projekcie 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 a 10uľahčiť čítanie výkresu. Priemer d tieto kruhové úseky rovná dĺžke hlavné osi elipsy, do ktorých sa premietajú kruhové úseky horizontálna rovina projekcie: d = 2R.

Body na rotačnej ploche.Poloha bodu na rotačnej ploche je určená príslušnosťou bodu k priamke plošného rámu, t.j. pomocou kružnice prechádzajúcej týmto bodom na rotačnej ploche. V prípade riadkových plôch možno na tento účel použiť aj priamočiare generátory.

Použitie rovnobežnej a priamočiarej tvoriacej priamky na zostrojenie priemetov bodov patriacich k danej rotačnej ploche je znázornené na obrázku 8.12. Ak

vzhľadom na projekciu t", potom vykonajte čelnú projekciu f"f1" rovnobežky a potom polomer R nakreslite kruh - vodorovný priemet rovnobežky - a nájdite na ňom priemet t. Ak by bola daná horizontálna projekcia t, potom by bolo potrebné nakresliť polomer R=om kruh, postavte f "na bod f" a nakreslite f"f1"- čelný priemet rovnobežky - a vyznačiť na ňom bod v premietacom spojení t". Ak je daná projekcia P" na riadkovú (kužeľovú) časť rotačnej plochy, potom sa vykoná čelná projekcia d"s" načrtnúť tvoriacu čiaru a cez priemet n "- čelná priemet s "do" tvoriaca čiara na povrchu kužeľa. Potom v pôdoryse sk táto tvoriaca čiara vytvára projekciu n. Ak bola uvedená horizontálna projekcia n, potom by mala byť horizontálna projekcia nakreslená cez ňu sk generatrix, projekciou k" a s" (o jeho konštrukcii sme hovorili vyššie) postavte čelnú projekciu s"do" a na ňom v spojení projekcie označte projekciu n "

Obrázok 8.15 ukazuje konštrukciu bodových projekcií TO, patriace k povrchu torusu. Treba poznamenať, že konštrukcia je vyrobená pre viditeľné horizontálne projekcie do a predná projekcia do“.

Obrázok 8.16 ukazuje konštrukciu podľa daného čelného priemetu t" body na povrchu gule jej horizontály t a profil t " projekcie. Projekcia t postavená pomocou kruhu - rovnobežky prechádzajúcej projekciou m". Jej polomer je o-1. Projekcia m "" je vytvorený pomocou kruhu, ktorého rovina je rovnobežná s rovinou profilu výstupkov prechádzajúcich cez projekciu t". Jeho polomer je približne „2".

Konštrukciu priemetov priamok na rotačnú plochu je možné vykonať aj pomocou kružníc - rovnobežiek prechádzajúcich bodmi patriacimi k tejto priamke.

Obrázok 8.17 ukazuje konštrukciu vodorovnej projekcie a čiara definovaná čelnou projekciou a"b" na rotačnej ploche, pozostávajúcej z častí plôch gule, torusu, kužeľa. Pre presnejšie nakreslenie horizontálneho premietania čiary pokračujeme jej čelnou projekciou hore a dole a označíme priemety 6" a 5" extrémne body. Horizontálne projekcie 6, 1, 3, 4, 5 vybudované s komunikačnými linkami. Projekcie b, 2, 7, 8 a zostrojené pomocou rovnobežiek, ktorých čelné výbežky prechádzajú cez výbežky b"2", 7", 8", a" tieto body. Množstvo a umiestnenie medziľahlé body vyberajte na základe tvaru línie a požadovanej presnosti stavby. Horizontálna projekcia linka pozostáva z úsekov: b-1 - časti elipsy,

Príklady rotačných telies

• Gulička - tvorená polkruhom rotujúcim okolo priemeru rezu
• Valec - tvorený obdĺžnikom otáčajúcim sa okolo jednej zo strán

Pre oblasť bočného povrchu valca sa berie oblasť jeho vývoja: Sside = 2πrh.

• Kužeľ - vytvorený správny trojuholník, otáčajúci sa okolo jednej z nôh

Oblasť jeho rozvoja sa berie ako plocha bočného povrchu kužeľa: Sside = πrl Area celoplošný kužele: Scon = πr(l+ r)

Pri otáčaní obrysov obrazcov vzniká rotačná plocha (napríklad guľa tvorená kruhom), zatiaľ čo pri otáčaní vyplneného obrysu vznikajú telesá (ako guľa tvorená kruhom).

Objem a povrch rotačných telies

• Prvá Guldin-Pappova veta hovorí:

• Druhá Guldin-Pappova veta hovorí:

Literatúra

A.V. Pogorelov. "Geometria. Stupeň 10-11» § 21. Orgány rotácie. - 2011

Poznámky

Nadácia Wikimedia. 2010.

Pozrite sa, čo je „Body of revolution“ v iných slovníkoch:

detail s uzavretou rímsou - telesá revolúcie- Časť súčiastky, ktorej povrch je na oboch stranách ohraničený rotačnými plochami s väčším priemerom. Prítomnosť uzavretých krokov nemá vplyv na definíciu krokovania vonkajší povrch. Drážky pre výstup z nástroja sa neberú do úvahy ... ...

škrupina v tvare rotačného telesa-- [A.S. Goldberg. Anglický ruský energetický slovník. 2006] Energetické témy vo všeobecnosti EN shell of revolution ... Technická príručka prekladateľa

teória jemného tela Encyklopédia "Letenie"

teória jemného tela- Obtekajte tenké teleso pod nenulovým uhlom nábehu. teória tenkých telies - teória priestorového irotačného prúdenia ideálna tekutina blízko tenké telá[telesá, v ktorých je priečny rozmer l (hrúbka, rozsah) malý v porovnaní s ... ... Encyklopédia "Letenie"

Teória priestorového irotačného prúdenia ideálnej tekutiny v blízkosti tenkých telies (telies, v ktorých je priečny rozmer l (hrúbka, rozsah) malý v porovnaní s pozdĺžnym rozmerom L: (τ) = l / LEncyklopédia techniky

Uhlová rýchlosť (modrá šípka) jedna jednotka v smere hodinových ručičiek Uhlová rýchlosť (modrá šípka) jeden a pol jednotky v smere hodinových ručičiek Uhlová rýchlosť (modrá šípka) jedna jednotka proti smeru hodinových ručičiek Ug ... Wikipedia

Odbor fyziky, ktorý študuje štruktúru a vlastnosti pevných látok. Vedecké údaje o mikroštruktúre pevné látky a o fyzickom a chemické vlastnosti ich atómy sú nevyhnutné pre vývoj nových materiálov a technických zariadení. Fyzika...... Collierova encyklopédia

Pohyb telesa v gravitačnom poli Zeme od začiatku. rýchlosť, nula. P. t. nastáva vplyvom gravitačnej sily, ktorá závisí od vzdialenosti r od stredu Zeme, a odporovej sily prostredia (vzduchu alebo vody), ktorá závisí od rýchlosti pohybu v. Na…… Fyzická encyklopédia

Priamka, ktorá je stacionárna vzhľadom na to, že sa okolo nej otáča pevné telo. Pre pevné teleso s pevným bodom (napr detská kolovrátka), priamka prechádzajúca týmto bodom, otáčaním okolo ktorej sa teleso pohybuje z daného ... ... encyklopedický slovník

Pohyb telesa v gravitačnom poli Zeme počiatočná rýchlosť rovná nule. P. t. vzniká pôsobením gravitačnej sily v závislosti od vzdialenosti r od stredu Zeme a odporovej sily média (vzduchu alebo vody), ktorá závisí od rýchlosti ... ... Veľká sovietska encyklopédia

knihy

• Sada stolov. Matematika. Polyhedra. revolučné orgány. 11 tabuliek + 64 kariet + metodika,. Vzdelávací album 11 listov (formát 68 x 98 cm): - Paralelné prevedenie. - Obraz plochých postáv. - Postupná ilustrácia dôkazu viet. - Vzájomné usporiadanie línií a ...
• Integrácia rovníc rovnováhy elastického rotačného telesa so symetrickým rozložením objemových a povrchových síl okolo jeho osi, G.D. Grodsky. Reprodukované v pôvodnom autorskom pravopise vydania z roku 1934 (vydavateľstvo `Zborník Akadémie vied ZSSR`). AT…