Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.

Zhromažďovanie a používanie osobných údajov

Osobné údaje sú údaje, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.

Keď nás budete kontaktovať, môžete byť kedykoľvek požiadaní o poskytnutie svojich osobných údajov.

Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.

Aké osobné údaje zhromažďujeme:

• Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.

Ako používame vaše osobné údaje:

• Nami zozbierané osobné informácie nám umožňuje kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
• Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
• Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
• Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.

Sprístupnenie tretím stranám

Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.

Výnimky:

• V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné pre bezpečnosť, presadzovanie práva alebo inú verejnosť dôležité príležitosti.
• V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.

Ochrana osobných údajov

Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.

Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti

Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.

Inštrukcia

Nájdite rozsah funkcie. Napríklad funkcia sin(x) je definovaná na celom intervale od -∞ do +∞ a funkcia 1/x je definovaná od -∞ do +∞, okrem bodu x = 0.

Definujte oblasti kontinuity a body zlomu. Funkcia je zvyčajne spojitá v tej istej doméne, kde je definovaná. Ak chcete zistiť diskontinuity, musíte vypočítať, kedy sa argument približuje k izolovaným bodom v doméne definície. Napríklad funkcia 1/x má tendenciu k nekonečnu, keď x→0+, a k mínus nekonečnu, keď x→0-. To znamená, že v bode x = 0 má diskontinuitu druhého druhu.
Ak sú limity v bode diskontinuity konečné, ale nie rovnaké, potom ide o diskontinuitu prvého druhu. Ak sú rovnaké, potom sa funkcia považuje za spojitú, hoci nie je definovaná v izolovanom bode.

Nájsť vertikálne asymptoty, ak sú. Tu vám pomôžu výpočty z predchádzajúceho kroku, pretože vertikálna asymptota je takmer vždy v bode diskontinuity druhého druhu. Niekedy však z oblasti definície nie sú vylúčené jednotlivé body, ale celé intervaly bodov, a potom môžu byť vertikálne asymptoty umiestnené na okrajoch týchto intervalov.

Skontrolujte, či má funkcia špeciálne vlastnosti: párne, nepárne a periodické.
Funkcia bude párna, ak pre ľubovoľné x v obore f(x) = f(-x). Napríklad cos(x) a x^2 - dokonca funkcie.

Periodicita je vlastnosť, ktorá hovorí, že existuje určité číslo T nazývané perióda, ktoré pre ľubovoľné x f(x) = f(x + T). Napríklad všetky hlavné goniometrické funkcie(sínus, kosínus, dotyčnica) - periodické.

Nájdite body. Ak to chcete urobiť, vypočítajte deriváciu danú funkciu a nájdite tých x hodnôt, kde zmizne. Napríklad funkcia f(x) = x^3 + 9x^2 -15 má deriváciu g(x) = 3x^2 + 18x, ktorá zaniká pri x = 0 a x = -6.

Ak chcete určiť, ktoré extrémne body sú maximá a ktoré sú minimá, sledujte zmenu v znamienkach derivácie v nájdených nulách. g(x) zmení znamienko z plus pri x = -6 a späť z mínus na plus pri x = 0. Preto funkcia f(x) má minimum v prvom bode a minimum v druhom.

Našli ste teda aj oblasti monotónnosti: f(x) monotónne rastie na intervale -∞;-6, monotónne klesá na -6;0 a opäť rastie na 0;+∞.

Nájdite druhú deriváciu. Jeho korene ukážu, kde bude graf danej funkcie konvexný a kde konkávny. Napríklad druhá derivácia funkcie f(x) bude h(x) = 6x + 18. Zanikne pri x = -3 a zmení svoje znamienko z mínus na plus. Preto bude graf f (x) pred týmto bodom konvexný, za ním - konkávny a tento bod sám bude inflexným bodom.

Funkcia môže mať iné asymptoty, s výnimkou vertikálnych, ale iba ak jej definičný obor zahŕňa . Ak ich chcete nájsť, vypočítajte limit f(x), keď x→∞ alebo x→-∞. Ak je konečný, potom ste našli horizontálnu asymptotu.

Šikmá asymptota je priamka tvaru kx + b. Ak chcete nájsť k, vypočítajte limitu f(x)/x ako x→∞. Nájsť b - limitu (f(x) – kx) s rovnakým x→∞.

Jeden z kritických úloh diferenciálny počet je vývoj bežné príkladyštúdie správania funkcií.

Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na intervale a jej derivácia je kladná alebo rovná 0 na intervale (a, b), potom y \u003d f (x) sa zvýši o (f "(x) 0). Ak je funkcia y \u003d f (x) spojitá na segmente a jej derivácia je záporná alebo rovná 0 na intervale (a,b), potom y=f(x) klesá o (f"( x)0)

Intervaly, v ktorých funkcia neklesá alebo nerastie, sa nazývajú intervaly monotónnosti funkcie. Povaha monotónnosti funkcie sa môže meniť len v tých bodoch jej definičného oboru, v ktorých sa mení znamienko prvej derivácie. Body, v ktorých prvá derivácia funkcie zmizne alebo sa zlomí, sa nazývajú kritické body.

Veta 1 (1 dostatočný stav existencia extrému).

Nech je funkcia y=f(x) definovaná v bode x 0 a nech existuje okolie δ>0 také, že funkcia je spojitá na segmente , diferencovateľná na intervale (x 0 -δ,x 0)u( x 0 , x 0 +δ) , a jeho derivácia zachováva trvalé označenie v každom z týchto intervalov. Potom ak na x 0 -δ, x 0) a (x 0, x 0 + δ) sú znamienka derivácie rôzne, potom x 0 je extrémny bod a ak sa zhodujú, potom x 0 nie je extrémny bod . Navyše, ak pri prechode bodom x0 derivácia zmení znamienko z plus na mínus (naľavo od x 0 sa vykoná f "(x)> 0, potom x 0 je maximálny bod; ak derivácia zmení znamienko od mínus do plus (napravo od x 0 sa vykoná f"(x)<0, то х 0 - точка минимума.

Maximálne a minimálne body sa nazývajú extrémne body funkcie a maximá a minimá funkcie sa nazývajú jej extrémne hodnoty.

Veta 2 (nevyhnutné kritérium pre lokálny extrém).

Ak má funkcia y=f(x) extrém v aktuálnom x=x 0, potom buď f'(x 0)=0 alebo f'(x 0) neexistuje.
V extrémnych bodoch diferencovateľnej funkcie je dotyčnica k jej grafu rovnobežná s osou Ox.

Algoritmus na štúdium funkcie pre extrém:

1) Nájdite deriváciu funkcie.
2) Nájdite kritické body, t.j. body, kde je funkcia spojitá a derivácia je nulová alebo neexistuje.
3) Zvážte okolie každého z bodov a preskúmajte znamienko derivácie naľavo a napravo od tohto bodu.
4) Určte súradnice krajných bodov pre túto hodnotu kritických bodov zapojte do tejto funkcie. Pomocou dostatočných extrémnych podmienok vyvodzujte príslušné závery.

Príklad 18. Preskúmajte funkciu y=x 3 -9x 2 +24x

Riešenie.
1) y"=3x2-18x+24=3(x-2)(x-4).
2) Ak priradíme deriváciu k nule, zistíme, že x 1 = 2, x 2 = 4. V tomto prípade je derivát definovaný všade; teda okrem dvoch nájdených bodov neexistujú žiadne iné kritické body.
3) Znamienko derivácie y "=3(x-2)(x-4) sa mení v závislosti od intervalu, ako je znázornené na obrázku 1. Pri prechode bodom x=2 derivácia mení znamienko z plus na mínus, a pri prechode bodom x=4 - z mínusu do plusu.
4) V bode x=2 má funkcia maximum y max =20 a v bode x=4 - minimum y min =16.

Veta 3. (2. postačujúca podmienka existencie extrému).

Nech f "(x 0) a f "" (x 0) existujú v bode x 0. Potom ak f "" (x 0)> 0, potom x 0 je minimálny bod a ak f "" (x 0 )<0, то х 0 – точка максимума функции y=f(x).

Na segmente môže funkcia y \u003d f (x) dosiahnuť najmenšiu (aspoň) alebo najväčšiu (najviac) hodnotu buď v kritických bodoch funkcie ležiacich v intervale (a; b), alebo na koncoch segmentu.

Algoritmus na nájdenie najväčších a najmenších hodnôt spojitej funkcie y=f(x) na segmente:

1) Nájdite f "(x).
2) Nájdite body, v ktorých f "(x) = 0 alebo f" (x) - neexistuje, a vyberte z nich tie, ktoré ležia vo vnútri segmentu.
3) Vypočítajte hodnotu funkcie y \u003d f (x) v bodoch získaných v odseku 2, ako aj na koncoch segmentu a vyberte najväčší a najmenší z nich: sú najväčšie ( pre najväčšie) a najmenšie (pre najmenšie) funkčné hodnoty na intervale .

Príklad 19. Nájdite najväčšiu hodnotu spojitej funkcie y=x 3 -3x 2 -45+225 na segmente .

1) Na segmente máme y = 3x 2 -6x-45
2) Derivácia y" existuje pre všetky x. Nájdime body, kde y"=0; dostaneme:
3x2 -6x-45=0
x 2-2x-15=0
x 1 \u003d -3; x2 = 5
3) Vypočítajte hodnotu funkcie v bodoch x=0 y=225, x=5 y=50, x=6 y=63
Do segmentu patrí iba bod x=5. Najväčšia z nájdených hodnôt funkcie je 225 a najmenšia je číslo 50. Takže pri max = 225 pri max = 50.

Vyšetrovanie funkcie na konvexnosti

Na obrázku sú znázornené grafy dvoch funkcií. Prvý z nich je otočený s vydutím nahor, druhý - s vydutím nadol.

Funkcia y=f(x) je na úsečke spojitá a diferencovateľná v intervale (a;b), na tejto úsečke sa nazýva konvexná nahor (nadol), ak pre axb jej graf neleží vyššie (nie nižšie) ako dotyčnica nakreslený v ľubovoľnom bode M 0 (x 0 ;f(x 0)), kde axb.

Veta 4. Nech má funkcia y=f(x) druhú deriváciu v ľubovoľnom vnútornom bode x úsečky a na koncoch úsečky je spojitá. Potom, ak je nerovnosť f""(x)0 splnená na intervale (a;b), potom je funkcia na segmente klesajúca konvexná; ak je splnená nerovnosť f""(x)0 na intervale (а;b), potom je funkcia konvexná smerom nahor na .

Veta 5. Ak má funkcia y=f(x) druhú deriváciu na intervale (a;b) a ak mení znamienko pri prechode bodom x 0 , potom M(x 0 ;f(x 0)) je inflexný bod.

Pravidlo na nájdenie inflexných bodov:

1) Nájdite body, kde f""(x) neexistuje alebo zmizne.
2) Preskúmajte znamienko f""(x) vľavo a vpravo od každého bodu nájdeného v prvom kroku.
3) Na základe vety 4 urobte záver.

Príklad 20. Nájdite extrémne body a inflexné body grafu funkcií y=3x 4 -8x 3 +6x 2 +12.

Máme f"(x)=12x 3 -24x 2 +12x=12x(x-1) 2. Je zrejmé, že f"(x)=0 pre x 1 = 0, x 2 = 1. Derivácia pri prechode bodom x=0 mení znamienko z mínusu na plus a pri prechode cez bod x=1 znamienko nemení. To znamená, že x=0 je minimálny bod (y min =12) a v bode x=1 nie je žiadny extrém. Ďalej nájdeme . Druhá derivácia zaniká v bodoch x 1 = 1, x 2 = 1/3. Znamienka druhej derivácie sa menia takto: Na lúči (-∞;) máme f""(x)>0, na intervale (;1) máme f""(x)<0, на луче (1;+∞) имеем f""(x)>0. Preto x= je inflexný bod funkčného grafu (prechod z konvexnosti nadol ku konvexnosti nahor) a x=1 je tiež inflexný bod (prechod z konvexnosti nahor ku konvexnosti nadol). Ak x=, potom y= ; ak, potom x = 1, y = 13.

Algoritmus na nájdenie asymptoty grafu

I. Ak y=f(x) ako x → a , potom x=a je vertikálna asymptota.
II. Ak y=f(x) ako x → ∞ alebo x → -∞, potom y=A je horizontálna asymptota.
III. Na nájdenie šikmej asymptoty používame nasledujúci algoritmus:
1) Vypočítajte. Ak limita existuje a je rovná b, potom y=b je horizontálna asymptota; ak , prejdite na druhý krok.
2) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa k, prejdite na tretí krok.
3) Vypočítajte. Ak táto limita neexistuje, potom neexistuje žiadna asymptota; ak existuje a rovná sa b, prejdite na štvrtý krok.
4) Napíšte rovnicu šikmej asymptoty y=kx+b.

Príklad 21: Nájdite asymptotu funkcie

1)
2)
3)
4) Šikmá asymptotová rovnica má tvar

Schéma štúdia funkcie a zostrojenie jej grafu

I. Nájdite doménu funkcie.
II. Nájdite priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.
III. Nájdite asymptoty.
IV. Nájdite body možného extrému.
V. Nájdite kritické body.
VI. Pomocou pomocnej kresby preskúmajte znamienko prvej a druhej derivácie. Určte oblasti nárastu a poklesu funkcie, nájdite smer konvexnosti grafu, extrémne body a inflexné body.
VII. Vytvorte graf so zreteľom na štúdiu vykonanú v odsekoch 1-6.

Príklad 22: Nakreslite funkčný graf podľa vyššie uvedenej schémy

Riešenie.
I. Definičný obor funkcie je množina všetkých reálnych čísel okrem x=1.
II. Keďže rovnica x 2 +1=0 nemá reálne korene, tak graf funkcie nemá priesečníky s osou Ox, ale pretína os Oy v bode (0; -1).
III. Ujasnime si otázku existencie asymptot. Skúmame správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti x=1. Pretože y → ∞ pre x → -∞, y → +∞ pre x → 1+, potom priamka x=1 je zvislou asymptotou grafu funkcie.
Ak x → +∞(x → -∞), potom y → +∞(y → -∞); preto graf nemá vodorovnú asymptotu. Ďalej z existencie limitov

Vyriešením rovnice x 2 -2x-1=0 dostaneme dva body možného extrému:
x1=1-√2 a x2=1+√2

V. Aby sme našli kritické body, vypočítame druhú deriváciu:

Keďže f""(x) nezmizne, neexistujú žiadne kritické body.
VI. Skúmame znamienko prvej a druhej derivácie. Možné extrémne body, ktoré je potrebné zvážiť: x 1 =1-√2 a x 2 =1+√2, rozdeľte oblasť existencie funkcie na intervaly (-∞;1-√2),(1-√2 ;1+√2) a (1+√2;+∞).

V každom z týchto intervalov si derivát zachováva svoje znamienko: v prvom - plus, v druhom - mínus, v treťom - plus. Postupnosť znamienok prvej derivácie bude napísaná takto: +, -, +.
Dostaneme, že funkcia na (-∞;1-√2) rastie, na (1-√2;1+√2) klesá a na (1+√2;+∞) opäť rastie. Extrémne body: maximum pri x=1-√2, navyše f(1-√2)=2-2√2 minimum pri x=1+√2, navyše f(1+√2)=2+2√2. Na (-∞;1) je graf konvexný nahor a na (1;+∞) - nadol.
VII Zo získaných hodnôt urobme tabuľku

VIII Na základe získaných údajov zostavíme náčrt grafu funkcie

Ak si to úloha vyžaduje úplné štúdium funkcie f (x) \u003d x 2 4 x 2 - 1 s konštrukciou jeho grafu, potom tento princíp podrobne zvážime.

Na vyriešenie problému tohto typu by ste mali použiť vlastnosti a grafy hlavného elementárne funkcie. Algoritmus výskumu zahŕňa nasledujúce kroky:

Yandex.RTB R-A-339285-1

Nájdenie domény definície

Keďže výskum sa vykonáva na doméne funkcie, je potrebné začať týmto krokom.

Príklad 1

Za uvedený príklad zahŕňa nájdenie núl menovateľa s cieľom vylúčiť ich z DPV.

4 x 2 - 1 = 0 x = ± 1 2 ⇒ x ∈ - ∞ ; - 1 2 ∪ - 1 2; 1 2 ∪ 1 2; +∞

V dôsledku toho môžete získať korene, logaritmy atď. Potom možno ODZ hľadať pre koreň párneho stupňa typu g (x) 4 pomocou nerovnosti g (x) ≥ 0 , pre logaritmus log a g (x) pomocou nerovnosti g (x) > 0 .

Skúmanie hraníc ODZ a hľadanie vertikálnych asymptot

Na hraniciach funkcie sú vertikálne asymptoty, kedy sú jednostranné limity v takýchto bodoch nekonečné.

Príklad 2

Uvažujme napríklad hraničné body rovné x = ± 1 2 .

Potom je potrebné študovať funkciu na nájdenie jednostrannej limity. Potom dostaneme, že: lim x → - 1 2 - 0 f (x) = lim x → - 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = lim x → - 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1 ) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) - 0 = + ∞ lim x → - 1 2 + 0 f (x) = lim x → - 1 2 + 0 x 2 4 x - 1 = = lim x → - 1 2 + 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 2) (+ 0) = - ∞ lim x → 1 2 - 0 f (x) = lim x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 (- 0) 2 = - ∞ limit x → 1 2 - 0 f (x) = limit x → 1 2 - 0 x 2 4 x 2 - 1 = = limit x → 1 2 - 0 x 2 (2 x - 1) (2 x + 1) = 1 4 ( + 0) 2 = + ∞

To ukazuje, že jednostranné limity sú nekonečné, čo znamená, že čiary x = ± 1 2 sú zvislé asymptoty grafu.

Vyšetrenie funkcie a pre párne alebo nepárne

Keď je splnená podmienka y (- x) = y (x), funkcia sa považuje za párnu. To naznačuje, že graf je umiestnený symetricky vzhľadom na O y. Keď je splnená podmienka y (- x) = - y (x), funkcia sa považuje za nepárnu. To znamená, že symetria ide vzhľadom na pôvod súradníc. Ak zlyhá aspoň jedna nerovnosť, získame funkciu všeobecného tvaru.

Splnenie rovnosti y (- x) = y (x) znamená, že funkcia je párna. Pri konštrukcii je potrebné počítať s tým, že vzhľadom na O y bude symetria.

Na vyriešenie nerovnosti sa používajú intervaly nárastu a poklesu s podmienkami f "(x) ≥ 0 a f" (x) ≤ 0.

Definícia 1

Stacionárne body sú body, ktoré otočia deriváciu na nulu.

Kritické body sú vnútorné body z oblasti, kde sa derivácia funkcie rovná nule alebo neexistuje.

Pri rozhodovaní je potrebné vziať do úvahy nasledujúce body:

• pre existujúce intervaly nárastu a poklesu nerovnosti tvaru f "(x) > 0 nie sú kritické body zahrnuté do riešenia;
• body, v ktorých je funkcia definovaná bez konečnej derivácie, musia byť zahrnuté do intervalov nárastu a poklesu (napríklad y \u003d x 3, kde bod x \u003d 0 robí funkciu definovanú, derivácia má hodnotu nekonečna v tomto bode je y " \u003d 1 3 x 2 3, y " (0) = 1 0 = ∞, x = 0 zahrnuté do intervalu nárastu);
• aby sa predišlo nezhodám, odporúča sa používať matematickú literatúru, ktorú odporúča ministerstvo školstva.

Zahrnutie kritických bodov do intervalov zvyšovania a znižovania v prípade, že spĺňajú definičný obor funkcie.

Definícia 2

Pre určenie intervalov nárastu a poklesu funkcie, je potrebné nájsť:

• derivát;
• kritické body;
• rozdeliť oblasť definície pomocou kritických bodov na intervaly;
• určite znamienko derivácie v každom z intervalov, kde + je nárast a - je pokles.

Príklad 3

Nájdite deriváciu na doméne f "(x) = x 2" (4 x 2 - 1) - x 2 4 x 2 - 1 "(4 x 2 - 1) 2 = - 2 x (4 x 2 - 1) 2.

Riešenie

Na vyriešenie potrebujete:

• nájdite stacionárne body, tento príklad má x = 0 ;
• nájdite nuly menovateľa, príklad má hodnotu nula v x = ± 1 2 .

Vystavíme body na číselnej osi, aby sme určili deriváciu na každom intervale. Na to stačí zobrať ľubovoľný bod z intervalu a vykonať výpočet. Ak je výsledok kladný, nakreslíme do grafu +, čo znamená zvýšenie funkcie a - znamená jej pokles.

Napríklad f "(- 1) \u003d - 2 (- 1) 4 - 1 2 - 1 2 \u003d 2 9\u003e 0, čo znamená, že prvý interval vľavo má znamienko +. Zvážte číslo riadok.

odpoveď:

• dochádza k nárastu funkcie na intervale - ∞ ; -12 a (-12; 0];
• dochádza k poklesu na intervale [0; 12) a 12; +∞ .

V diagrame je pomocou + a - znázornená pozitivita a negativita funkcie a šípky označujú klesanie a zvyšovanie.

Extrémne body funkcie sú body, kde je funkcia definovaná a cez ktoré derivácia mení znamienko.

Príklad 4

Ak vezmeme do úvahy príklad, kde x \u003d 0, potom hodnota funkcie v ňom je f (0) \u003d 0 2 4 0 2 - 1 \u003d 0. Keď sa znamienko derivácie zmení z + na - a prechádza bodom x \u003d 0, za maximálny bod sa považuje bod so súradnicami (0; 0). Keď sa znamienko zmení z - na +, dostaneme minimálny bod.

Konvexnosť a konkávnosť sú určené riešením nerovníc tvaru f "" (x) ≥ 0 a f "" (x) ≤ 0 . Menej často používajú názov vydutie nadol namiesto konkávnosti a vydutie nahor namiesto vydutie.

Definícia 3

Pre určenie medzier konkávnosti a konvexnosti potrebné:

• nájsť druhú deriváciu;
• nájdite nuly funkcie druhej derivácie;
• zlomiť doménu definície bodmi, ktoré sa objavujú v intervaloch;
• určiť znamienko medzery.

Príklad 5

Nájdite druhú deriváciu z oblasti definície.

Riešenie

f "" (x) = - 2 x (4 x 2 - 1) 2 " = = (- 2 x) " (4 x 2 - 1) 2 - - 2 x 4 x 2 - 1 2" (4 x 2 - 1) 4 = 24 x 2 + 2 (4 x 2 - 1) 3

Nájdeme nuly čitateľa a menovateľa, kde pomocou nášho príkladu platí, že nuly menovateľa x = ± 1 2

Teraz musíte dať body číselná os a určiť znamienko druhej derivácie z každého intervalu. Chápeme to

odpoveď:

• funkcia je konvexná z intervalu - 1 2 ; 12;
• funkcia je konkávna z medzier - ∞ ; - 1 2 a 1 2; +∞ .

Definícia 4

inflexný bod je bod v tvare x 0 ; f(x0) . Keď má dotyčnicu ku grafu funkcie, potom keď prechádza cez x 0, funkcia zmení znamienko na opačné.

Inými slovami, toto je taký bod, cez ktorý prechádza druhá derivácia a mení znamienko a v samotných bodoch sa rovná nule alebo neexistuje. Všetky body sa považujú za doménu funkcie.

V príklade bolo vidieť, že neexistujú žiadne inflexné body, pretože druhá derivácia mení znamienko pri prechode cez body x = ± 1 2 . Na druhej strane nie sú zahrnuté do oblasti definície.

Hľadanie horizontálnych a šikmých asymptot

Pri definovaní funkcie v nekonečne treba hľadať vodorovné a šikmé asymptoty.

Definícia 5

Šikmé asymptoty reprezentované rovnými čiarami daný rovnicou y = k x + b, kde k = lim x → ∞ f (x) x a b = lim x → ∞ f (x) - k x.

Pre k = 0 a b sa nerovná nekonečnu, dostaneme to šikmá asymptota sa stáva horizontálne.

Inými slovami, asymptoty sú čiary, ku ktorým sa graf funkcie približuje v nekonečne. To prispieva k rýchlej konštrukcii grafu funkcie.

Ak neexistujú žiadne asymptoty, ale funkcia je definovaná v oboch nekonečnách, je potrebné vypočítať limitu funkcie v týchto nekonečnách, aby sme pochopili, ako sa bude graf funkcie správať.

Príklad 6

Zvážte to napríklad

k = lim x → ∞ f (x) x = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 x = 0 b = lim x → ∞ (f (x) - k x) = lim x → ∞ x 2 4 x 2 - 1 = 1 4 ⇒ y = 1 4

je horizontálna asymptota. Po preskúmaní funkcie ju môžete začať budovať.

Výpočet hodnoty funkcie v medziľahlých bodoch

Aby bolo vykresľovanie čo najpresnejšie, odporúča sa nájsť niekoľko hodnôt funkcie v medziľahlých bodoch.

Príklad 7

Z príkladu, ktorý sme zvážili, je potrebné nájsť hodnoty funkcie v bodoch x \u003d - 2, x \u003d - 1, x \u003d - 3 4, x \u003d - 1 4. Keďže funkcia je párna, dostaneme, že hodnoty sa zhodujú s hodnotami v týchto bodoch, to znamená, že dostaneme x \u003d 2, x \u003d 1, x \u003d 3 4, x \u003d 1 4.

Napíšeme a vyriešime:

F (- 2) = f (2) = 2 2 4 2 2 - 1 = 4 15 ≈ 0, 27 f (- 1) - f (1) = 1 2 4 1 2 - 1 = 1 3 ≈ 0 , 33 f - 3 4 = f 3 4 = 3 4 2 4 3 4 2 - 1 = 9 20 = 0 , 45 f - 1 4 = f 1 4 = 1 4 2 4 1 4 2 - 1 = - 1 12 ≈ - 0,08

Ak chcete určiť maximá a minimá funkcie, inflexné body, medziľahlé body je potrebné zostrojiť asymptoty. Pre pohodlné označenie sú stanovené intervaly nárastu, poklesu, konvexnosti, konkávnosti. Zvážte obrázok nižšie.

Cez označené body je potrebné nakresliť čiary grafu, ktoré vám umožnia priblížiť sa k asymptotám podľa šípok.

Týmto sa kompletná štúdia funkcie končí. Existujú prípady konštrukcie niektorých elementárnych funkcií, na ktoré sa používajú geometrické transformácie.

Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter

Vykonajte kompletnú štúdiu a nakreslite funkčný graf

y(x)=x2+81−x.y(x)=x2+81−x.

1) Rozsah funkcie. Keďže funkcia je zlomok, musíte nájsť nuly menovateľa.

1−x=0,⇒x=1,1−x=0,⇒x=1.

Vylúčime jediný bod x=1x=1 z oblasti definície funkcie a získame:

D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).D(y)=(−∞;1)∪(1;+∞).

2) Pozrime sa na správanie funkcie v blízkosti bodu nespojitosti. Nájdite jednostranné limity:

Keďže limity sa rovnajú nekonečnu, bod x=1x=1 je nespojitosť druhého druhu, priamka x=1x=1 je vertikálna asymptota.

3) Určme priesečníky grafu funkcie so súradnicovými osami.

Nájdite priesečníky so súradnicovou osou OyOy, pre ktoré dávame rovnítko x=0x=0:

Priesečník s osou OyOy má teda súradnice (0;8)(0;8).

Nájdite priesečníky s úsečkou OxOx, pre ktoré nastavíme y=0y=0:

Rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne priesečníky s osou OxOx.

Všimnite si, že x2+8>0x2+8>0 pre ľubovoľné xx. Preto pre x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) funkcia y>0y>0(trvá kladné hodnoty, graf je nad osou x), pre x∈(1;+∞)x∈(1;+∞) funkcia y<0y<0 (принимает отрицательные значения, график находится ниже оси абсцисс).

4) Funkcia nie je ani párna, ani nepárna, pretože:

5) Funkciu skúmame na periodicitu. Funkcia nie je periodická, pretože ide o zlomkovú racionálnu funkciu.

6) Skúmame funkciu pre extrémy a monotónnosť. Aby sme to dosiahli, nájdeme prvú deriváciu funkcie:

Prirovnajme prvú deriváciu k nule a nájdime stacionárne body (v ktorých y′=0y′=0):

Dostali sme tri kritické body: x=−2,x=1,x=4x=−2,x=1,x=4. Celý definičný obor funkcie rozdelíme na intervaly danými bodmi a v každom intervale určíme znamienka derivácie:

Pre x∈(−∞;−2),(4;+∞)x∈(−∞;−2),(4;+∞) je derivácia y′<0y′<0, поэтому функция убывает на данных промежутках.

Pre x∈(−2;1),(1;4)x∈(−2;1),(1;4) deriváciu y′>0y′>0 funkcia na týchto intervaloch rastie.

V tomto prípade je x=−2x=−2 bod lokálneho minima (funkcia klesá a potom rastie), x=4x=4 je bod lokálneho maxima (funkcia rastie a potom klesá).

Nájdite hodnoty funkcie v týchto bodoch:

Minimálny bod je teda (−2;4)(−2;4), maximálny bod je (4;−8)(4;−8).

7) Skúmame funkciu pre zlomy a konvexnosť. Nájdite druhú deriváciu funkcie:

Prirovnajte druhú deriváciu k nule:

Výsledná rovnica nemá korene, takže neexistujú žiadne inflexné body. Navyše, keď je splnené x∈(−∞;1)x∈(−∞;1) y′′>0y″>0, to znamená, že funkcia je konkávna, keď x∈(1;+∞)x∈(1 ;+ ∞) y′′<0y″<0, то есть функция выпуклая.

8) Skúmame správanie funkcie v nekonečne, teda v .

Keďže limity sú nekonečné, neexistujú žiadne horizontálne asymptoty.

Skúsme určiť šikmé asymptoty tvaru y=kx+by=kx+b. Hodnoty k,bk,b vypočítame podľa známych vzorcov:

Zistili sme, že funkcia má jednu šikmú asymptotu y=−x−1y=−x−1.

9) Ďalšie body. Poďme vypočítať hodnotu funkcie v niektorých iných bodoch, aby sme vytvorili graf presnejšie.

y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.y(-5)=5,5;y(2)=-12;y(7)=-9,5.

10) Na základe získaných údajov zostavíme graf, doplníme ho o asymptoty x=1x=1 (modrá), y=−x−1y=−x−1 (zelená) a označíme charakteristické body (priesečník s súradnicová os je fialová, extrémy sú oranžové, ďalšie body sú čierne):

Úloha 4: Geometrické, ekonomické úlohy (netuším aké, tu je približný výber úloh s riešením a vzorcami)

Príklad 3.23. a

Riešenie. X a r r
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24.

Riešenie.
R = 2, H = 16/4 = 4.

Príklad 3.22. Nájdite extrémy funkcie f(x) = 2x 3 - 15x 2 + 36x - 14.

Riešenie. Keďže f "(x) \u003d 6x 2 - 30x +36 \u003d 6 (x - 2) (x - 3), potom kritické body funkcie x 1 \u003d 2 a x 2 \u003d 3. Extrémne body môžu byť len v týchto bodoch. Takže ako pri prechode bodom x 1 \u003d 2 derivácia zmení znamienko plus na mínus, potom má funkcia v tomto bode maximum. Pri prechode bodom x 2 \u003d 3 derivácia zmení znamienko mínus na plus, preto má funkcia v bode x 2 \u003d 3 minimum. Výpočet hodnôt funkcie v bodoch
x 1 = 2 a x 2 = 3, nájdeme extrémy funkcie: maximum f(2) = 14 a minimum f(3) = 13.

Príklad 3.23. Pri kamennom múre je potrebné vybudovať obdĺžnikový priestor tak, aby bol z troch strán oplotený drôteným pletivom a zo štvrtej strany priliehal k múru. Pre toto existuje a lineárne metre siete. Pri akom pomere strán bude mať stránka najväčšiu plochu?

Riešenie. Označte strany stránky cez X a r. Plocha lokality je S = xy. Nechaj r je dĺžka strany priľahlej k stene. Potom podľa podmienky musí platiť rovnosť 2x + y = a. Preto y = a - 2x a S = x(a - 2x), kde
0 ≤ x ≤ a/2 (dĺžka a šírka oblasti nemôže byť záporná). S "= a - 4x, a - 4x = 0 pre x = a/4, odkiaľ
y \u003d a - 2 × a / 4 \u003d a / 2. Keďže x = a/4 je jediný kritický bod, skontrolujme, či sa pri prechode týmto bodom mení znamienko derivácie. Pre xa/4 S "> 0 a pre x >a/4 S "< 0, значит, в точке x=a/4 функция S имеет максимум. Значение функции S(a/4) = a/4(a - a/2) = a 2 /8 (кв. ед).Поскольку S непрерывна на и ее значения на концах S(0) и S(a/2) равны нулю, то найденное значение будет наибольшим значением функции. Таким образом, наиболее выгодным соотношением сторон площадки при данных условиях задачи является y = 2x.

Príklad 3.24. Je potrebné vyrobiť uzavretú valcovú nádrž s objemom V=16p ≈ 50 m 3 . Aké by mali byť rozmery nádrže (polomer R a výška H), aby sa na jej výrobu spotrebovalo čo najmenej materiálu?

Riešenie. Celková plocha valca je S = 2pR(R+H). Poznáme objem valca V = pR 2 H Þ H = V/pR 2 =16p/ pR 2 = 16/ R 2 . Preto S(R) = 2p(R2+16/R). Nájdeme deriváciu tejto funkcie:
S "(R) \u003d 2p (2R- 16 / R 2) \u003d 4p (R- 8 / R 2). S " (R) \u003d 0 pre R 3 \u003d 8, preto
R = 2, H = 16/4 = 4.

Podobné informácie.