Získané spojením všetkých lúčov vychádzajúcich z jedného bodu ( vrcholy kužeľ) a prechádza cez rovný povrch. Niekedy sa kužeľ nazýva časť takého telesa, ktorá sa získa spojením všetkých segmentov spájajúcich vrchol a body rovného povrchu (ten sa v tomto prípade nazýva základšišky, a šiška sa nazýva založené na daný pozemok). Tento prípad sa bude posudzovať nižšie, pokiaľ nie je uvedené inak. Ak je základňa kužeľa mnohouholník, z kužeľa sa stane pyramída.
"== Súvisiace definície ==
- Úsečka, ktorá spája vrchol a hranicu základne, sa nazýva tvoriaca čiara kužeľa.
- Spojenie generátorov kužeľa sa nazýva generatrix(alebo strane) kužeľový povrch. Tvoriaca čiara kužeľa je kužeľová plocha.
- Úsečka spadnutá kolmo z vrcholu na rovinu základne (a tiež dĺžka takého výseku) sa nazýva tzv. výška kužeľa.
- Ak má základňa kužeľa stred symetrie (napríklad kruh alebo elipsa) a ortogonálna projekcia vrchol kužeľa do roviny základne sa zhoduje s týmto stredom, potom sa kužeľ nazýva priamy. Čiara spájajúca vrchol a stred základne sa nazýva os kužeľa.
- šikmé (naklonený) kužeľ - kužeľ, v ktorom sa kolmý priemet vrcholu na základňu nezhoduje s jeho stredom súmernosti.
- kruhový kužeľ Kužeľ, ktorého základňou je kruh.
- Rovno kruhový kužeľ (často označovaný jednoducho ako kužeľ) možno získať otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo čiary obsahujúcej nohu (táto čiara predstavuje os kužeľa).
- Kužeľ založený na elipse, parabole alebo hyperbole sa nazýva resp eliptické, parabolický a hyperbolický kužeľ(posledné dve majú nekonečný objem).
- Časť kužeľa, ktorá leží medzi základňou a rovinou rovnobežnou so základňou a medzi vrcholom a základňou, sa nazýva zrezaný kužeľ.
Vlastnosti
- Ak je plocha základne konečná, potom je objem kužeľa tiež konečný a rovná sa jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Teda všetky kužele spočívajúce na danej základni a majúce vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou majú rovnaký objem pretože ich výška je rovnaká.
- Ťažisko každého kužeľa s konečným objemom leží v štvrtine výšky od základne.
- Priestorový uhol vo vrchole pravého kruhového kužeľa je rovný
- Bočný povrch takého kužeľa sa rovná
- Objem kruhového kužeľa je
- Priesečník roviny s pravým kruhovým kužeľom je jednou z kužeľosečiek (v nedegenerovaných prípadoch elipsa, parabola alebo hyperbola v závislosti od polohy sečnovej roviny).
Zovšeobecnenia
V algebraickej geometrii kužeľ je ľubovoľná podmnožina vektorového priestoru nad poľom, pre ktorú, pre ľubovoľné
pozri tiež
- Kužeľ (topológia)
Nadácia Wikimedia. 2010.
Pozrite sa, čo je „kužeľ (geometrický obrazec)“ v iných slovníkoch:
Kužeľ: Kužeľ z matematiky geometrický obrazec. Kužeľ nad topologickým priestorom. Kužeľ (teória kategórií). V technológii je kužeľ nástrojová metóda na párovanie nástroja a vretena v obrábacích strojoch. Uzol kužeľového zariadenia ... ... Wikipedia
Geometria je odvetvie matematiky úzko súvisiace s pojmom priestor; v závislosti od foriem opisu tohto pojmu existujú rôzne druhy geometria. Predpokladá sa, že čitateľ, ktorý začne čítať tento článok, má nejaké ... ... Collierova encyklopédia
Vizualizácia obrazu informácií na obrazovke displeja (monitor). Na rozdiel od reprodukcie obrazu na papieri alebo inom médiu je možné obraz vytvorený na obrazovke takmer okamžite vymazať a/alebo opraviť, skomprimovať alebo roztiahnuť,… … encyklopedický slovník
História vedy ... Wikipedia
Dejiny vedy Podľa predmetu Matematika Prírodné vedy... Wikipedia
- (grécka geodaisia, z ge Zem a daio delím, delím), náuka o určovaní polohy predmetov na zemského povrchu, o veľkosti, tvare a gravitačnom poli Zeme a iných planét. Toto je priemysel aplikovaná matematika, úzko súvisí s geometriou, ... ... Collierova encyklopédia
Definície:
Definícia 1. Kužeľ
Definícia 2. Kruhový kužeľ
Definícia 3. Výška kužeľa
Definícia 4. Rovný kužeľ
Definícia 5. Pravý kruhový kužeľ
Veta 1. Generátory kužeľa
Veta 1.1. Axiálny rez kužeľa
Objem a plocha:
Veta 2. Objem kužeľa
Veta 3. Plocha bočného povrchu kužeľa
Frustum:
Veta 4. Rez rovnobežný so základňou
Definícia 6. Zrezaný kužeľ
Veta 5. Objem zrezaného kužeľa
Veta 6. Plocha bočného povrchu zrezaného kužeľa
Definícia
Telo je bočne obmedzené kužeľová plocha, vzatý medzi jeho vrchol a rovinu vedenia, a plochá základňa vedenia, tvorená uzavretou krivkou, sa nazýva kužeľ.
Základné pojmy
Kruhový kužeľ je teleso, ktoré pozostáva z kruhu (základne), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne. 
Pravý kužeľ je kužeľ, ktorého výška obsahuje stred základne kužeľa ako jeho základňu.
Zvážte akúkoľvek čiaru (krivku, prerušovanú alebo zmiešanú) (napr. l) ležiace v nejakej rovine a ľubovoľný bod(napríklad M) neleží v tejto rovine. Všetky možné priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi danej priamky l, formulár povrch nazývaný kanonický. Bod M je vrcholom takejto plochy a daný riadok l - sprievodca. Všetky priamky spájajúce bod M so všetkými bodmi priamky l, volal generovanie. Kanonický povrch nie je obmedzený svojim vrcholom alebo vedením. Rozprestiera sa neobmedzene na oboch stranách vrcholu. Teraz nech je vodítkom uzavretá konvexná čiara. Ak je vodidlom prerušovaná čiara, potom sa teleso ohraničené zboku kánonickým povrchom medzi jeho vrcholom a rovinou vodidla a plochou základňou v rovine vodidla nazýva pyramída.
Ak je vedenie krivkou alebo zmiešanou čiarou, potom sa teleso ohraničené zboku kánonickou plochou medzi jeho vrcholom a rovinou vedenia a plochou základňou v rovine vedenia nazývame kužeľ alebo
Definícia 1
. Kužeľ je teleso pozostávajúce zo základne - plochá postava, ohraničený uzavretou čiarou (krivkou alebo zmiešanou), vrchol - bod, ktorý neleží v rovine základne, a všetky segmenty spájajúce vrchol so všetkými možnými bodmi základne.
Všetky priamky prechádzajúce vrcholom kužeľa a ktorýmkoľvek bodom krivky, ktorá ohraničuje obrazec základne kužeľa, sa nazývajú generátory kužeľa. Najčastejšie v geometrické problémy tvoriaca priamka priamka znamená úsek tejto priamky uzavretý medzi vrcholom a rovinou základne kužeľa.
Základ limitovanej zmiešanej línie je veľmi ojedinelý prípad. Je tu uvedený len preto, že sa s ním dá uvažovať v geometrii. Častejšie sa zvažuje prípad so zakriveným vedením. Aj keď, že puzdro s ľubovoľnou krivkou, že puzdro so zmiešaným vedením je málo užitočné a je ťažké z nich odvodiť nejaké zákonitosti. Z počtu kužeľov v elementárnej geometrii sa študuje pravý kruhový kužeľ.
Je známe, že kruh je špeciálny prípad uzavretá zakrivená čiara. Kruh je plochá postava ohraničená kruhom. Ak použijete kruh ako vodidlo, môžete definovať kruhový kužeľ.
Definícia 2
. Kruhový kužeľ je teleso, ktoré pozostáva z kruhu (základne), bodu, ktorý neleží v rovine základne (vrchol) a všetkých segmentov spájajúcich vrchol s bodmi základne.
Definícia 3
. Výška kužeľa je kolmica spadnutá zhora na rovinu základne kužeľa. Je možné vyčleniť kužeľ, ktorého výška spadá do stredu plochej postavy základne.
Definícia 4
. Pravý kužeľ je kužeľ, ktorého výška obsahuje stred základne kužeľa ako jeho základňu.
Ak tieto dve definície spojíme, dostaneme kužeľ, ktorého základňou je kruh a výška spadá do stredu tohto kruhu.
Definícia 5
. Pravý kruhový kužeľ je kužeľ, ktorého základňa je kruh a jeho výška spája hornú časť a stred základne tohto kužeľa. Takýto kužeľ sa získa otáčaním správny trojuholník okolo jednej nohy. Preto je pravý kruhový kužeľ rotačným telesom a nazýva sa aj rotačný kužeľ. Pokiaľ nie je uvedené inak, pre stručnosť v nasledujúcom povieme jednoducho kužeľ.
Takže tu sú niektoré vlastnosti kužeľa:
Veta 1.
Všetky generátory kužeľa sú rovnaké. Dôkaz. Výška MO je podľa definície kolmá na všetky čiary základne, kolmá na čiaru k rovine. Preto sú trojuholníky MOA, MOV a MOS pravouhlé a sú rovnaké v dvoch ramenách (MO - všeobecný, OA \u003d OB \u003d OS - polomery základne. Preto sú prepony, t. j. generátory, tiež rovnaké.
Polomer základne kužeľa sa niekedy nazýva polomer kužeľa. Výška kužeľa sa tiež nazýva os kužeľa, takže každý úsek prechádzajúci výškou sa nazýva axiálny rez. Akýkoľvek axiálny rez pretína základňu v priemere (pretože priamka, pozdĺž ktorej sa axiálny rez a rovina základne pretínajú, prechádza stredom kruhu) a tvorí rovnoramenný trojuholník.
Veta 1.1.
Axiálny rez kužeľa je rovnoramenný trojuholník. Trojuholník AMB je teda rovnoramenný, pretože. jeho dve strany MB a MA sú generátory. Uhol AMB je uhol vo vrchole axiálneho rezu.
Kužeľ (z gréckeho "konos")- Borovicová šiška. Kužeľ je ľuďom známy staroveku. V roku 1906 bola objavená kniha „O metóde“, ktorú napísal Archimedes (287-212 pred Kr.), v tejto knihe sa rieši problém objemu spoločnej časti pretínajúcich sa valcov. Archimedes hovorí, že tento objav patrí starogréckemu filozofovi Demokritovi (470-380 pred Kr.), ktorý na tomto princípe získal vzorce na výpočet objemu pyramídy a kužeľa.
Kužeľ (kruhový kužeľ) - teleso, ktoré sa skladá z kruhu - základňa kužeľa, body, nie patriaci lietadlu tento kruh, vrchol kužeľa a všetky segmenty spájajúce vrchol kužeľa a body obvodu základne. Segmenty, ktoré spájajú vrchol kužeľa s bodmi kruhu základne, sa nazývajú generátory kužeľa. Povrch kužeľa pozostáva zo základne a bočnej plochy.
Kužeľ sa nazýva rovný, ak čiara, ktorá spája vrchol kužeľa so stredom podstavy, je kolmá na rovinu podstavy. Pravý kruhový kužeľ možno považovať za teleso získané otáčaním pravouhlého trojuholníka okolo jeho nohy ako osi.
Výška kužeľa je kolmica vedená od jeho vrcholu k rovine jeho základne. o rovný kužeľ základňa výšky sa zhoduje so stredom základne. Os pravého kužeľa je priamka obsahujúca jeho výšku.
Úsek kužeľa rovinou prechádzajúcou cez tvoriacu čiaru kužeľa a kolmý na axiálny rez pretiahnutý touto tvoriacou čiarou sa nazýva dotyčnicová rovina kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa pretína kužeľ v kruhu a bočný povrch- po kružnici so stredom v osi kužeľa.
Rovina kolmá na os kužeľa z nej odreže menší kužeľ. Zvyšok sa nazýva zrezaný kužeľ.
Objem kužeľa sa rovná jednej tretine súčinu výšky a plochy základne. Všetky kužele, ktoré spočívajú na danej základni a majú vrchol umiestnený v danej rovine rovnobežnej so základňou, majú teda rovnaký objem, pretože ich výšky sú rovnaké.
Bočný povrch kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
Strana S \u003d πRl,
Celková plocha kužeľa sa zistí podľa vzorca:
S con \u003d πRl + πR 2,
kde R je polomer základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem kruhového kužeľa je
V = 1/3 πR 2 H,
kde R je polomer základne, H je výška kužeľa
Plochu bočného povrchu zrezaného kužeľa možno nájsť podľa vzorca:
strana S = π(R + r)l,
Celkový povrch zrezaného kužeľa možno nájsť pomocou vzorca:
S con \u003d πR 2 + πr 2 + π(R + r)l,
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, l je dĺžka tvoriacej čiary.
Objem zrezaného kužeľa možno nájsť takto:
V = 1/3 πH(R2 + Rr + r2),
kde R je polomer spodnej základne, r je polomer hornej základne, H je výška kužeľa.
stránky, s úplným alebo čiastočným kopírovaním materiálu, je potrebný odkaz na zdroj.
Vaše súkromie je pre nás dôležité. Z tohto dôvodu sme vyvinuli Zásady ochrany osobných údajov, ktoré popisujú, ako používame a uchovávame vaše informácie. Prečítajte si prosím naše zásady ochrany osobných údajov a ak máte nejaké otázky, dajte nám vedieť.
Zhromažďovanie a používanie osobných údajov
Osobné údaje sa týkajú údajov, ktoré možno použiť na identifikáciu alebo kontaktovanie konkrétnej osoby.
Môžete byť požiadaní, aby ste poskytli svoje osobné informácie kedykoľvek, keď nás kontaktujete.
Nasleduje niekoľko príkladov typov osobných údajov, ktoré môžeme zhromažďovať, a ako môžeme tieto informácie použiť.
Aké osobné údaje zhromažďujeme:
- Keď odošlete žiadosť na stránke, môžeme zhromažďovať rôzne informácie vrátane vášho mena, telefónneho čísla, adresy Email atď.
Ako používame vaše osobné údaje:
- Osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, nám umožňujú kontaktovať vás a informovať vás o jedinečné ponuky, propagačné akcie a iné udalosti a nadchádzajúce udalosti.
- Z času na čas môžeme použiť vaše osobné údaje na zasielanie dôležitých upozornení a správ.
- Osobné údaje môžeme použiť aj na interné účely, ako je audit, analýza údajov a rôzne štúdie na zlepšenie nami poskytovaných služieb a na poskytovanie odporúčaní týkajúcich sa našich služieb.
- Ak sa zúčastníte žrebovania o ceny, súťaže alebo podobného stimulu, môžeme použiť informácie, ktoré nám poskytnete, na spravovanie takýchto programov.
Sprístupnenie tretím stranám
Informácie, ktoré od vás dostaneme, nezverejňujeme tretím stranám.
Výnimky:
- V prípade potreby - v súlade so zákonom, súdnym poriadkom, v súdnom konaní a/alebo na základe žiadostí verejnosti alebo žiadostí od vládne agentúry na území Ruskej federácie - zverejnite svoje osobné údaje. Môžeme tiež zverejniť informácie o vás, ak zistíme, že takéto zverejnenie je potrebné alebo vhodné pre bezpečnosť, presadzovanie práva alebo inú verejnosť dôležité príležitosti.
- V prípade reorganizácie, zlúčenia alebo predaja môžeme osobné údaje, ktoré zhromažďujeme, preniesť na príslušnú tretiu stranu, nástupcu.
Ochrana osobných údajov
Prijímame opatrenia – vrátane administratívnych, technických a fyzických – na ochranu vašich osobných údajov pred stratou, krádežou a zneužitím, ako aj pred neoprávneným prístupom, zverejnením, zmenou a zničením.
Zachovanie vášho súkromia na úrovni spoločnosti
Aby sme zaistili bezpečnosť vašich osobných údajov, informujeme našich zamestnancov o postupoch ochrany osobných údajov a zabezpečenia a prísne presadzujeme postupy ochrany osobných údajov.
Zrezaný kužeľ sa získa, ak sa menší kužeľ odreže z kužeľa rovinou rovnobežnou so základňou (obr. 8.10). Zrezaný kužeľ má dve základne: "dolnú" - základňu pôvodného kužeľa - a "hornú" - základňu odrezaného kužeľa.Podľa vety o reze kužeľa sú základne zrezaného kužeľa podobné.
Výška zrezaného kužeľa je kolmica spadnutá z bodu jednej základne na rovinu druhej. Všetky takéto kolmice sú rovnaké (pozri odsek 3.5). Výška sa tiež nazýva ich dĺžka, t.j. vzdialenosť medzi rovinami podstavcov.
Zrezaný rotačný kužeľ sa získa z rotačného kužeľa (obr. 8.11). Preto sú jeho základne a všetky jeho časti rovnobežné s nimi kruhy so stredmi na jednej priamke - na osi. Otáčaním sa získa zrezaný rotačný kužeľ pravouhlý lichobežník okolo jej boku kolmo na základne, alebo rotácia
rovnoramenný lichobežník okolo osi symetrie (obr. 8.12).
Bočná plocha zrezaného rotačného kužeľa
Toto je časť bočného povrchu rotačného kužeľa, ktorá k nemu patrí, z ktorej sa získava. Povrch zrezaného rotačného kužeľa (alebo jeho celoplošný) pozostáva z jeho podstavcov a jeho bočného povrchu.
8.5. Obrázky kužeľov revolúcie a zrezaných kužeľov revolúcie.
Rovný kruhový kužeľ je nakreslený takto. Najprv sa nakreslí elipsa predstavujúca obvod základne (obr. 8.13). Potom nájdu stred základne - bod O a zvisle nakreslia segment RO, ktorý znázorňuje výšku kužeľa. Z bodu P sa nakreslia dotyčnice (referenčné) čiary k elipse (prakticky sa to robí okom pomocou pravítka) a segmenty RA a RV týchto čiar sa vyberú z bodu P do bodov dotyku A a B. Upozorňujeme, že segment AB nie je priemerom základného kužeľa a trojuholník ARV nie je axiálnym rezom kužeľa. Axiálnym rezom kužeľa je trojuholník APC: segment AC prechádza bodom O. Neviditeľné čiary sú nakreslené ťahmi; segment OP často nie je nakreslený, ale iba mentálne načrtnutý, aby sa zobrazil vrchol kužeľa P priamo nad stredom základne - bodom O.
Pri znázornení rotačného zrezaného kužeľa je vhodné najskôr nakresliť kužeľ, z ktorého sa získa zrezaný kužeľ (obr. 8.14).
8.6. Kužeľové rezy. Už sme povedali, že rovina pretína bočnú plochu rotačného valca pozdĺž elipsy (kapitola 6.4). Taktiež rez bočnou plochou rotačného kužeľa rovinou, ktorá nepretína jeho základňu, je elipsa (obr. 8.15). Preto sa elipsa nazýva kužeľosečka.
Kužeľosečky zahŕňajú aj ďalšie známe krivky – hyperboly a paraboly. Uvažujme neohraničený kužeľ získaný predĺžením bočnej plochy rotačného kužeľa (obr. 8.16). Pretínajme ho rovinou a neprechádzajúcou vrcholom. Ak a pretína všetky generátory kužeľa, tak v reze, ako už bolo spomenuté, dostaneme elipsu (obr. 8.15).
Otočením roviny OS je možné zabezpečiť, aby pretínala všetky generátory kužeľa K, okrem jedného (s ktorým je OS rovnobežný). Potom v reze dostaneme parabolu (obr. 8.17). Nakoniec, otáčajúc rovinu OS ďalej, prenesieme ju do takej polohy, aby sa a, prechádzajúce časťou generátorov kužeľa K, už nepretínalo nekonečná množina jeho ostatných generátorov a je paralelný s dvomi z nich (obr. 8.18). Potom v reze kužeľa K rovinou a získame krivku nazývanú hyperbola (presnejšie jednu z jej „vetví“). Takže hyperbola, ktorá je grafom funkcie, je špeciálnym prípadom hyperboly - rovnoramennej hyperboly, rovnako ako kruh je špeciálnym prípadom elipsy.
Akákoľvek hyperbola sa dá získať z rovnoramenných pomocou projekcie, podobne ako sa získava elipsa paralelný dizajn kruhy.
Na získanie oboch vetiev hyperboly je potrebné vziať časť kužeľa, ktorý má dve „dutiny“, to znamená kužeľ tvorený nie lúčmi, ale priamkami obsahujúcimi tvoriace čiary bočnej plochy rotačného kužeľa (obr. 8.19).
Kužeľosečky študovali starogrécki geometri a ich teória bola jedným z vrcholov starovekej geometrie. Väčšina úplné štúdium kužeľové rezy v staroveku vykonal Apollonius z Pergy (III. storočie pred Kristom).
Existuje množstvo dôležité vlastnosti kombinujúci elipsy, hyperboly a paraboly do jednej triedy. Vyčerpávajú napríklad „nedegenerované“, t. j. neredukovateľné na bod, priamku alebo dvojicu priamok, krivky, ktoré sú definované v rovine v Kartézske súradnice rovnice tvaru
Hrajú sa kužeľosečky dôležitá úloha v prírode: telesá sa pohybujú po eliptických, parabolických a hyperbolických dráhach v gravitačnom poli (spomeňte si na Keplerove zákony). Pozoruhodné vlastnosti kužeľosečiek sa často využívajú vo vede a technike, napríklad pri výrobe niektorých optické zariadenia alebo reflektory (povrch zrkadla v reflektore sa získa otáčaním oblúka paraboly okolo osi paraboly). Kužeľové rezy možno pozorovať ako hranice tieňa z okrúhlych tienidiel (obr. 8.20).
