Upang makuha ang equation ng Bernoulli, gumagamit kami ng isang kilalang teorama mula sa mechanics tungkol sa pagbabago. kinetic energy. Alalahanin na ang theorem na ito ay nagbabasa ng mga sumusunod: ang pagbabago sa kinetic energy 2 ng katawan na isinasaalang-alang sa ilang displacement nito ay katumbas ng kabuuan ng gawain ng lahat ng pwersa (panlabas at panloob) na inilapat sa binigay na katawan, sa parehong displacement.

Tingnan natin ang elementarya na patak ng batis (Larawan 3-20). Piliin ang mga seksyon 1-1 at 2-2 ilang kompartimento ng patak AB. Ipahiwatig sa pamamagitan ng z 1 at z 2 ang mga labis ng mga seksyon 1 -1 at 2 -2 sa itaas ng paghahambing na eroplano oh sa pamamagitan ng - mga lugar ng buhay na mga seksyon ng batis sa mga seksyon 1-1i 2 -2.

Ipinapalagay namin na sa panahon AB lilipat ang mga jet sa posisyon A"B" sa kasong ito, ang seksyon 1-1 ng stream ay lilipat sa isang distansya at ang seksyon 2 -2 tumutulo - sa malayo . pansinin mo yan

saan at 1 at at 2 - bilis sa mga seksyon 1-1i 2 -2.

Ang pagtatalo, tulad ng sa § 3-9, maaari nating ipakita na ang mga volume ng elementarya na mga kompartamento ng patak AA" at BB" ay pantay-pantay, i.e.

dami (AA")= dami (BB") =(pagtatalaga),

nasaan ang rate ng daloy ng likido para sa jet.

Tukuyin natin ang mass ng elementary volume sa pamamagitan ng:

nasaan ang density ng likido.

Hanapin natin ngayon ang pagbabago sa kinetic energy ng compartment AB kapag inilipat ito sa posisyon A"B" at ang gawain ng mga puwersa na inilapat sa kompartimento na ito sa tinukoy na displacement.

1°. Pagbabago sa kinetic energy ng compartment AB kapag inilipat ito sa posisyon A "B". Ipahiwatig natin ang nabanggit na pagbabago sa kinetic energy (CE) sa pamamagitan ng b (CE). Pagkatapos ay maaari kang sumulat (tingnan ang Larawan 3-20):

(KE) \u003d KE (A "B") - KE (AB) \u003d KE (A "B -f BB") -

KE (AA "+ A" B) \u003d KE (BB ") - KE (AA"),

o, ibinigay (3-55),

kanin. 3-20. Sa derivation ng equation (3-60)

2°. Ang gawain ng mga puwersa kapag inililipat ang kompartimento AB sa posisyon A "B". Sa ipinahiwatig na pag-aalis, nakukuha namin ang gawain ng mga sumusunod na puwersa.

1. Ang gawain ng grabidad. Tulad ng makikita, ang epekto ng pagkilos ng grabidad ay nagpakita mismo, kumbaga, sa katotohanan na ang kompartimento AA" inilipat sa posisyon BB" (a kompartamento Nanatili si A "B sa lugar). Gamit ang gayong kondisyong pamamaraan, ang gawain ng grabidad (PCT) nakukuha namin sa form

Ang hustisya (3-57) ay maaaring bigyang-katwiran nang mas mahigpit. Sinisira namin ang compartment A "B sa elementary compartments na may volume . Kung gayon ang nais na gawain ng grabidad ay maaaring katawanin bilang:

saan z", z", z",. . ., z(n) - mga elevation sa itaas ng eroplano 00 mga seksyon ng hangganan na naghihiwalay sa mga volume ng elementarya .

2. Ang gawain ng mga puwersa ng hydrodynamic pressure,
kumikilos sa mga huling seksyon 1 -1 at 2 -2 kompartamento
AB(mula sa gilid ng likidong nakapalibot dito). Ang gawaing ito

kung saan at ang mga hydrodynamic pressures, ayon sa pagkakabanggit, sa mga seksyon 1 -1 at 2-2.

3. Trabaho panlabas na pwersa ang presyon ng nakapaligid na likido sa buto ibabaw ng gilid kompartamento AB. Ang gawaing ito ay katumbas ng zero, dahil ang mga puwersa ay nakadirekta patayo sa mga displacement ng mga likidong particle na gumagalaw sa gilid ng ibabaw ng kompartimento AB.

4. Trabaho panloob na pwersa presyon ( normal na pwersa pakikipag-ugnayan ng mga indibidwal na particle ng fluid na bumubuo sa volume AB).

Ang mga puwersang ito ay ipinares (kabaligtaran ang direksyon) na may parehong mga displacement. Ang kabuuan ng kanilang trabaho ay zero.

5. Ang gawain ng panlabas at panloob na pwersa ng friction ay katumbas ng zero (friction forces sa perpektong likido wala).

3°. Pangwakas na konklusyon. Gamit ang kinetic energy change theorem, maaari nating isulat:

Hatiin natin ang ekspresyong ito sa , ibig sabihin, ire-refer namin ito sa unit weight ng volume ng likido na dumadaan sa oras b / through malinaw na seksyon tumutulo. Sa kasong ito, kinakatawan namin ang nagresultang equation sa form

Mula sa mga seksyon 1-1 at 2 -2 ay binalak nang arbitraryo, pagkatapos (3-59) ay maaari ding muling isulat sa anyo:

Ang equation (3-59) o (3-60) ay tinatawag na Bernoulli equation. Ito ay nakuha ni Daniil Bernoulli noong 1738. Ang equation na ito ay nalalapat lamang sa isang elementarya na stream ng isang perpektong likido.

Bigyan din natin ng pansin ang mga sumusunod:

1) iniuugnay ng Bernoulli equation ang mga dami z, p, at;

2) gaya ng makikita mula sa (3-60), sa kaso ng perpektong likido, ang kabuuan ng tatlong termino z,, ay isang pare-pareho sa kahabaan ng itinuturing na patak;

3) kung ang ipinahiwatig na pare-parehong halaga para sa isang naibigay na patak ay katumbas ng Alt pagkatapos para sa kalapit na patak ang kabuuan ng tatlong termino sa itaas ay katumbas ng A 2 , at sa " pangkalahatang kaso A 1 ≠ A 2 ;

4) alam para sa isang naibigay na patak pare-pareho ang halaga PERO, at pag-alam din para sa isang ibinigay na cross section ng isang jet ng tatlong dami ( z, ako, p) anumang dalawang dami, maaari nating, gamit ang Bernoulli equation, hanapin ang pangatlo hindi kilalang dami para sa isinasaalang-alang na seksyon ng jet.

Ang equation (3-60) ay maaari ding makuha sa pamamagitan ng pagsasama ng Euler differential equation (tingnan ang § 3-3) para sa anumang sistema ng mga puwersa ng katawan na kumikilos sa isang likido at may potensyal (tingnan ang § 9-2). Ang equation (3-60) ay tumutukoy sa isang tiyak na streamline (mas tiyak: sa isang elementarya na patak sa isang tiyak na streamline). Ang equation na ito ay madalas na tinatawag na Bernoulli integral.

Higit pa detalyadong pagsasaalang-alang ang isyung ito nagpapakita na ang Bernoulli equation (Bernoulli integral) ay lumalabas na wasto kapwa para sa irrotational (potensyal) steady motion at para sa vortex steady motion ng isang perpektong fluid, sa kondisyon, gayunpaman, na ang pwersa ng katawan na kumikilos sa fluid ay may potensyal ( sa partikular, gravity, na nasa isip namin sa itaas). Kung isasaalang-alang ang steady vortex motion ng isang perpektong fluid sa bilis at kasama sa Bernoulli equation, sumusunod ito maintindihan (kaya pareho tulad ng sa kaso ng irrotational motion) ang bilis na nauugnay sa isang tunay na patlang ng vector na sumasalamin sa paggalaw ng likido na isinasaalang-alang (ang agnas ng paggalaw sa tatlong uri nito, na ipinaliwanag sa § 3-4, ay hindi dapat tugunan dito).

Maaari din itong ipakita na sa kaso ng: a) walang vortex (potensyal) na paggalaw ng isang perpektong likido at b) mga puwersa ng katawan na kumikilos sa likido, na may potensyal, ang halaga PERO, na tinalakay sa itaas, ay pareho para sa lahat ng mga streamline na bumubuo ng daloy: A 1 \u003d A 2 \u003d A 3 \u003d --- Sa kasong ito, ang equation (3-60) ay lumalabas na wasto para sa buong lugar na inookupahan sa pamamagitan ng likido, at hindi lamang para sa isang partikular na kasalukuyang linya.

Sa itaas, ang mga differential equation ng paggalaw ng isang perpektong likido at ang equation ng pagpapatuloy ng paggalaw ay nakuha, na bumubuo ng isang saradong sistema ng mga equation. Upang malutas ang mga partikular na problema sa engineering, kinakailangan upang mahanap ang mga integral ng mga equation na ito.

Bago magpatuloy sa pagsasama ng mga equation ng paggalaw ng isang perpektong likido, tinatanggap namin ang mga sumusunod na karagdagang kondisyon:

Mga projection ng body force acceleration (in kasong ito gravity) ay kukuha sa mga sumusunod na halaga kapag pinili; direksyon ng coordinate axes:

X=0; Y=0; Z=-g.

Pagkatapos ng pagbabagong-anyo nakukuha natin:

Ang paghahati sa g, nakukuha natin:

Pagsasama ng differential equation na ito sa kabuuang pagkakaiba, dumating kami sa sumusunod na resulta:

Ang equation na ito ay tinatawag na D. Bernoulli equation, ito ay wasto para sa matatag na paggalaw ng isang perpektong likido.

Para sa dalawang arbitrary na seksyon ng isang elementarya stream:

Ito ang D. Bernoulli equation.

Geometric at masiglang kahuluganmga equation

D. Bernoulli

Ang lahat ng mga terminong kasama sa equation ng D. Bernoulli ay may linear na dimensyon, kaya karaniwang tinatawag silang mga taas. Alinsunod dito, ang mga sumusunod na pangalan para sa mga miyembrong ito ay karaniwang tinatanggap:

z - geometric o geodetic na taas;

Piezometric na taas o taas ng presyon;

- dynamic o bilis ng ulo;

Madaling makita ang susunod geometric na kahulugan D. Bernoulli's equation, which is that sa matatag na paggalaw ng isang perpektong likido, ang kabuuan ng tatloang mga taas (geometric, piezometric at bilis) ay hindinag-iiba-iba sa isang partikular na batis ng elementarya. Ang sitwasyong ito ay malinaw na inilalarawan sa Fig. isa.

Posibleng bigyang-kahulugan ang kahulugan ng mga indibidwal na termino ng equation

Iba si Bernoulli. Ipinakita sa itaas na ang kabuuan

Kinakatawan ang tiyak na enerhiya ng likido. Alinsunod dito, maaari nating ipagpalagay na:

z - ay ang tiyak na enerhiya ng posisyon;

lakas ng presyon;

Mayroong tiyak na kinetic energy.

Ang energetic na kahulugan ng Bernoulli equation ay iyon sa tuluy-tuloy na paggalaw ng isang perpektong likidoang kabuuan ng mga tiyak na enerhiya ng posisyon, presyon at kinetic ay hindi nagbabago kasama ang isang naibigay na elementary jet.

kanin. isa

Kabuuang tiyak na enerhiya (i.e. potensyal + kinetic) ay tinatawag na hydrodynamic na ulo at ipinapahiwatig . Kaya, ang Bernoulli equation ay nagpapakita na sa ilalim ng steady motion ng isang ideal na fluid para sa isang partikular na stream, ang hydrodynamic head ay isang pare-parehong halaga. Sa graph, ang hydrodynamic na head line ay inilalarawan bilang isang pahalang na linya.

D. Bernoulli's equation para sa elementary stream tunay na likido. Piezometric at haydrolikomga dalisdis.

Kapag ang isang tunay na likido ay gumagalaw sa pagitan ng mga katabing batis, ang mga puwersa ng alitan ay bumangon, upang madaig kung aling bahagi ng enerhiya ng likido ang ginugugol. Samakatuwid, ang tiyak na enerhiya ng likido sa cross section ng elementary jet 2 -2 ay magiging mas mababa kaysa sa tiyak na enerhiya ng likido sa cross section 1-1 sa ilang halaga , na tinatawag na nawalang taas o ang nawalang tiyak na enerhiya na ginugol sa pagtagumpayan ng hydraulic resistance. Analytically, ang sitwasyong ito ay maaaring isulat bilang mga sumusunod:

Kaya naman, sa tuluy-tuloy na paggalaw ng isang tunay na likidokabuuan ng buto ng apat na taas (geometric, piezometriclangit, mataas ang bilis at nawala) o, ano ang pareho, ang kabuuanapat na tiyak na energies (posisyon, presyon, kinetic at nawala) ay hindi nagbabago kasama ang ibinigay na elementarya stream.

Madaling irepresenta ang Bernoulli equation para sa kaso na isinasaalang-alang nang grapiko. Upang gawin ito, pagkatapos pumili ng isang di-makatwirang pahalang na paghahambing na eroplano, ilagay ito sa bawat seksyon ang taas ; ; ; at . Ang mga dulo ng mga segment na z, na konektado ng isang makinis na kurba, ay magpapakita ng posisyon ng axis ng trickle. Ang pagkonekta sa mga dulo ng mga segment ng isang makinis na curve, nakuha namin ang tinatawag na piezometric na linya. Ang paglalagay sa bawat seksyon mula sa mga segment ng linya ng piezometric na katumbas ng mga presyon ng bilis, at pagkonekta sa kanilang mga dulo na may isang makinis na curve, nakakakuha kami ng isang linya ng hydrodynamic na ulo o, bilang madalas na tinatawag na, isang hydraulic line (Fig. 2). mga segment, katumbas ng mga distansya patayo mula sa haydroliko na linya patungo sa isang pahalang na eroplano na dumadaan sa itaas ng paghahambing na eroplano sa taas na katumbas ng paunang tiyak na enerhiya, ay kumakatawan sa pagkawala ng enerhiya para sa hydraulic resistance sa seksyon mula sa una hanggang sa isinasaalang-alang na seksyon.

kanin. 2

Tawagan natin ang pagbagsak ng hydraulic line sa bawat yunit ng haba ng elementarya stream haydroliko na dalisdisako:

Ang haydroliko na slope (Larawan 3) ay palaging isang positibong halaga, dahil ang kabuuang tiyak na enerhiya ng gumagalaw na bahagi ng likido ay unti-unting bumababa habang ito ay gumagalaw sa kahabaan ng elementarya, na ginugugol sa pagtagumpayan ng mga puwersa ng friction, na nagiging thermal energy at nagkakalat.

kanin. 3

Ang konsepto ng maayos na pagbabago (dahan-dahang pagbabago) tuluy-tuloy na paggalaw

Sa pangkalahatang kaso, na may tuluy-tuloy na paggalaw, ang daloy ng likido ay maaaring katawanin bilang isang hanay ng mga elementary jet na mayroon iba't ibang kahulugan anggulo ng kanilang divergence at iba't ibang radii ng curvature. espesyal na kaso dvidaloy kung saan nakakaranas ito ng bahagyang pagpapapangition, upang ang mga elementarya na filament ay mananatiling magkatulado halos kahanay sa isa't isa (), at ang kanilang radii ng curvature ay napaka malalaking halaga (), tinatawag na smoothly change o dahan-dahang pagbabago ng paggalaw.

AT ang eroplano ng libreng seksyon ng daloy na may isang maayos na pagbabagoAng mga hydrodynamic pressure ay ipinamamahagi ayon sa mga batas ng hydrostatics, na ang ibig sabihin ay sa isang ibinigay na seksyon ng buhay, ang tiyak na potensyal na enerhiya ng anumang particle ay isang pare-parehong halaga:

D. Bernoulli's equation para sa daloy ng isang tunay na likido.

Mga kondisyon para sa applicability ng equation D. Bernoulli.

Palawakin natin ang equation ng Bernoulli sa tuluy-tuloy na daloy ng isang tunay na likido. Upang gawin ito, pumili kami ng isang libreng seksyon sa isang mahinang deformed na seksyon ng daloy, malapit sa kung saan ang paggalaw ay maaaring ituring na maayos na nagbabago.

Sa pamamagitan ng seksyong ito, bawat elementarya jet sa oras dt Ang enerhiya ay ipinakilala, na, alinsunod sa itaas, ay lumalabas na katumbas ng:

Inaalis sa mga bracket ang bigat ng likidong dumadaan nakahalang seksyon isang patak sa bawat oras dt, pantay , muling isulat ang ekspresyong ito sa sumusunod na anyo:

kanin. 4

Hanapin natin ang kabuuang enerhiya na dala ng daloy ng fluid sa libreng seksyon 1 - 1. Upang gawin ito, malinaw naman, kinakailangan na buuin ang resultang expression sa lahat ng mga stream ng isang ibinigay na libreng cross section. Pagkatapos makuha namin:

Kaya ang kabuuang enerhiya Kinalabasan katumbas ng kabuuan dalawang integral na kumakatawan, ayon sa pagkakabanggit, ang potensyal at kinetic na enerhiya ng daloy.

Isinulat namin ang pangalawang integral sa sumusunod na anyo:

Ang integral na ito ay kumakatawan, tulad ng nabanggit na, ang kinetic energy na dinadala ng daloy sa seksyon 1-1 sa panahon dt. Upang kalkulahin ito, kinakailangang malaman kung paano ipinamamahagi ang mga bilis ng mga particle ng likido sa seksyon ng buhay. Kung kalkulahin natin ang kinetic energy ng daloy sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga bilis na ito ay pare-pareho (sa madaling salita, ayon sa average na bilis ng daloy sa isang partikular na seksyon ng buhay. ), pagkatapos makuha namin:

Ang expression na ito ay palaging mas maliit sa magnitude kaysa sa aktwal na kinetic energy na kinakalkula mula sa aktwal na mga bilis. Tukuyin natin ang ratio ng dalawang dami na ito:

Dahil sa seksyon ng daloy sa pagitan ng mga seksyon 1-1 at 2-2 bahagi ng daloy ng enerhiya ay ginugugol sa pagtagumpayan ng haydroliko na resistensya at hindi na maibabalik sa thermal energy, . Obvious din naman na . Ang pagkakaiba sa pagitan ng mga tiyak na enerhiya na ito ay magpapahayag ng pagkawala ng tiyak na enerhiya ng daloy sa itinuturing na seksyon ng paggalaw:

Pagkatapos ng pagsasama at pagpapalit, nakukuha namin ang:

Coefficient ay tinatawag na koepisyent ng kinetikodaloy ng enerhiya at ang ratio ng tunaykinetic energy ng daloy sa kinetic energy, ikawnumerical sa ilalim ng pagpapalagay na ang mga bilis sa lahat ng mga punto ng libreng seksyon ay katumbas ng average na bilis ng daloy. Obvious naman yun ang koepisyent na ito ay palaging mas malaki kaysa sa isa.

Ang resultang equation ay ang D. Bernoulli equation para sa isang tuluy-tuloy na daloy ng isang tunay na likido.

Lektura bilang 8.

haydroliko na pagtutol.

Pag-uuri ng haydroliko na paglaban at pagkawala ng presyon.

Kapag gumagalaw ang isang tunay na likido, ang bahagi ng enerhiya ng daloy ay ginugugol sa pagtagumpayan ng mga hydraulic resistance, na nahahati sa dalawang uri:

1) paglaban sa haba ng daloy;

2) lokal na pagtutol.

Ang mga paglaban sa kahabaan ng daloy ay ang mga resistensya na sanhi ng mga puwersa ng friction at nakasalalay sa haba ng daloy.

Ang mga lokal na resistensya ay ang mga sanhi ng pagbabago sa direksyon o laki ng bilis sa iba't ibang seksyon ng daloy. Ang mga resistensyang ito ay sanhi ng mga gripo, mga balbula ng gate, mga balbula sa mga tubo, biglaang pagpapalawak o pag-urong ng daloy, atbp.

Ang bahagi ng daloy ng enerhiya na ginugugol upang mapagtagumpayan ang hydraulic resistance ay tinatawag na pagkawala ng ulo o pagkawala ng enerhiya.

Ang mga pagkawala ng presyon ay nahahati din sa dalawang uri:

1) pagkawala ng ulo sa kahabaan ng daloy, na sanhi ng hydraulic resistance sa haba ng daloy ( h f);

2) mga pagkalugi ng lokal na presyon, na sanhi ng lokal na hydraulic resistance ( h i). Kabuuang pagkalugi ulo:

h ω = . (1)

Ang pagkawala ng ulo ay mahalagang nakasalalay sa mode ng paggalaw ng likido.

Laminar at magulong rehimen s tuluy-tuloy na paggalaw.

Mayroong dalawang mga mode ng fluid motion: laminar at turbulent.

Sa laminar mode of motion, ang mga fluid particle ay gumagalaw sa magkahiwalay na jet na hindi naghahalo sa isa't isa. Mga halimbawa laminar na paggalaw ay: ang paggalaw ng tubig sa lupa, ang paggalaw ng mga likido na may mataas na lagkit sa pamamagitan ng mga pipeline (langis ng gasolina, langis, atbp.), Ang paggalaw ng dugo sa mga daluyan ng dugo.

Sa magulong mode ng paggalaw, ang mga indibidwal na batis ay pinaghalo sa isa't isa. Ang magulong paggalaw ay mas madalas na nakikita sa kalikasan kaysa sa laminar na paggalaw. Ang isang halimbawa ng magulong paggalaw ay ang paggalaw ng tubig sa mga ilog, kanal, tubo ng tubig, atbp.

Ang salitang "laminar" ay nagmula sa salitang Latin na lamina - plate, strip, layer; Ang salitang "turbulent" ay nagmula sa salitang Latin na turbulentus - mali-mali.

Ang pagkakaroon sa likas na katangian ng dalawang mga mode ng tuluy-tuloy na paggalaw ay unang itinuro ng natitirang Russian propesor ng siyentipiko D. I. Mendeleev noong 1880 sa kanyang gawain na "Sa fluid resistance at aeronautics".

Isang eksperimental na pag-aaral ng mga motion mode ang isinagawa ng English scientist na si O. Reynolds noong 1883.

Ang karanasan ay nagsisimula sa isang pipe pass D mga likido sa mababang bilis. Kasabay nito, ang pintura ay ibinibigay mula sa tangke SA. Sa kasong ito, ang sumusunod na larawan ay nakuha (Larawan 1b): ang tinted stream ay may anyo ng isang tuwid na pahalang na linya, habang ang natitirang bahagi ng masa ng gumagalaw na likido ay nananatiling walang kulay. Dahil dito, sa kasong ito, ang mga particle ng tinted stream ay hindi humahalo sa natitirang likido, at ang mode ng paggalaw ng likido sa pipe. D laminar.

Sa isang unti-unting pagtaas ng bilis sa pipe D darating ang isang sandali kapag ang tinted na batis ay nawawala at ang buong gumagalaw na likido ay nagiging pare-parehong kulay. Ito ay nagpapahiwatig na ang mga particle ng likido sa daloy ay halo-halong, i.e. sa pipe D nagaganap ang magulong rehimen (Larawan 1c).

kanin. isa

Ang bilis kung saan ang isang mode ng paggalaw ay nagbabago sa isa pa ay tinatawag mapanganib. Mayroong dalawang kritikal na bilis: ang itaas na kritikal na bilis V VK , kung saan ang laminar na rehimen ng paggalaw ay pumasa sa magulong, at ang mas mababang kritikal na bilis V nk - sa panahon ng reverse transition.

Sa batayan ng isang pang-eksperimentong pag-aaral ng mga mode ng paggalaw, nagbigay si O. Reynolds ng isang pamantayan para sa pagtatatag ng isa o ibang paraan ng paggalaw.

Ang criterion para sa pagtukoy ng mode ng fluid motion ay ang tinatawag na Reynolds number, na tinutukoy ng Re at ibinibigay ng formula:

Nasaan si V average na bilis paggalaw ng daloy;

Ang L ay ang katangiang geometrical na sukat ng bukas na seksyon ng daloy;

ay ang kinematic coefficient ng lagkit.

Ang Reynolds number na naaayon sa upper critical speed ay tinatawag na upper critical Reynolds number at tinutukoy ang Re vk , sa Reynolds number na ito, nagiging turbulent ang laminar flow.

Ang Reynolds number na tumutugma sa mas mababang kritikal na bilis ay tinatawag na mas mababang kritikal na Reynolds number at ito ay tinutukoy Re nk ; sa Reynolds number na ito, ang magulong rehimen ay nagiging laminar.

Para sa paggalaw ng presyon sa mga pipeline, ang mga sumusunod na eksperimento ay naitatag: mga numerong halaga kritikal na Reynolds number:

Re d (nk) = 2000 2320;

Re d (VK) = 10000 13000.

Ang isang tunay na likido ay may lagkit, at kapag ito ay gumagalaw, lumalaban sa paggalaw. Ang paglaban sa paggalaw ay dahil sa paglitaw ng mga puwersa panloob na alitan. Kapag ang isang stream ng isang tunay na likido ay gumagalaw, ang mekanikal na enerhiya na nakapaloob sa stream ay bababa sa kahabaan nito, dahil ang bahagi nito ay gagastusin sa pagtagumpayan ng paglaban, .

Ang enerhiya na ito ay ginugol sa ilang hindi maibabalik na gawain, i.e. sa gawain ng mga puwersa ng alitan, at ito ay nagiging init, na nawawala.

Kung mas mahaba ang stream, mas maraming enerhiya ang gugugol upang madaig ang paglaban sa paggalaw.

Enerhiya na ginugol sa gawain ng mga puwersa ng alitan, - pagkawala ng mekanikal na enerhiya batis na nagiging init. Ang mga pagkawala ng enerhiya na nauugnay sa bigat ng yunit ng likido kapag ito ay gumagalaw sa isang elementarya na batis ay tinatawag na haydroliko na pagkalugi (pagkawala ng partikular na enerhiya)

.

Isaalang-alang ang isang patak ng isang tunay na likido na may tuluy-tuloy na paggalaw (Larawan 3.8).

kanin. 3.8. Sa Bernoulli equation para sa isang patak ng isang tunay na likido

Ang kabuuang tiyak na mekanikal na enerhiya ng isang tunay na patak sa buhay na mga seksyon 1-1 at 2-2 ay magiging

Pagkawala ng tiyak na mekanikal na enerhiya dahil sa alitan sa lugar ng buhay na mga seksyon 1-1 at 2-2

(3.45)

Kaya, ang Bernoulli equation para sa isang elementarya na stream ng isang tunay na likido sa kaso ng steady motion ay maaaring katawanin bilang

(3.47)

Ang isang katangian ng tuluy-tuloy na paggalaw ay ang konsepto ng piezometric at hydraulic slope.

Sa fig. 3.8 ay nagpapakita ng mga kurba na nagpapakilala sa Bernoulli equation. Ang linyang dumadaan sa mga puntos na tumutugma sa halaga ng piezometric na taas sa mga live na seksyon 1-1 at 2-2 ay linyang piezometric.

Piezometric slope ay ang pagbabago sa hydrostatic head ng likido sa kahabaan ng stream, bawat yunit ng haba. Sa seksyon ng stream na may haba sa pagitan ng mga seksyon 1-1 at 2-2 piezometric slope

(3.48)

Piezometric slope na tumutugma sa isang infinitesimal na haba

(sa

), - slope sa punto:

(3.49)

Ang linya na dumadaan sa mga punto ng mga halaga ng mga tiyak na mekanikal na enerhiya sa buhay na mga seksyon ng filament ay presyonlinya(buong linya ng presyon). Hydraulic slope ay ang pagbaba sa kabuuang tiyak na mekanikal na enerhiya sa kahabaan ng filament bawat yunit ng haba:

(3.50)

Sa isang elementarya na pagbaba sa tiyak na enerhiya

sa isang napakaliit na lugar

haydroliko na dalisdis

(3.51)

Dahil ang kabuuang kurba ng ulo ay bumababa sa haba ng patak, ang sign in expression (3.51) ay binabawasan ng [

- nagpapababa ng function].

Sa kaso ng patuloy na buhay na mga seksyon sa kahabaan ng jet, ang linya ng piezometric at ang linya ng kabuuang presyon ay magkatulad.

3.9. Differential equation ng paggalaw ng isang perpektong likido (Euler equation)

Sa isang puwang na puno ng isang gumagalaw na perpektong density ng likido , pumili ng elementary parallelepiped na may mga gilid ang mga gilid

, ,

parallel sa coordinate axes (Larawan 3.9). Kapag ang isang perpektong likido ay gumagalaw, walang mga panloob na puwersa ng friction. Ang isang elementary volume na matatagpuan sa isang parallelepiped na gumagalaw na may ganap na bilis . Ang mga bahagi ng bilis na ito kasama ang mga coordinate axes ay magiging , , .

Ang mga puwersa ng masa at pang-ibabaw ay kikilos sa dami ng elementarya. Ang mga puwersa ng friction sa panahon ng paggalaw ng parallelepiped ay katumbas ng zero.

Masa ng likido sa elementarya na dami ng isang parallelepiped

(3.52)

kanin. 3.9. Sa derivation ng Euler's equation of motion

Mga projection ng mga pwersang masa sa direksyon coordinate axes:

(3.53)

saan

, , - mga bahagi ng pwersa ng katawan ng yunit na may paggalang sa mga palakol , , (projections ng acceleration ng mga pwersang ito).

Ang mga puwersa sa ibabaw ay tinutukoy ng presyon sa mga mukha ng parallelepiped.

Hayaang maging ang hydrostatic pressure sa gitna ng grabidad ng parallelepiped (point O). , ang mga coordinate ng puntong ito , , .Bilis ng paggalaw sa puntong ito . Ang mga bahagi ng tulin na ito kasama ang mga coordinate axes ay , , .

Gumuhit tayo sa t. Tungkol sa isang pahalang na linya na kahanay ng axis . Mga punto ng intersection sa mga mukha ng kahon A (mukha 1234), B (mukha 5678). Ang presyon sa mga puntong ito kasama ang axis

at

.

Sa isang likidong tuluy-tuloy na daluyan, ang presyon sa isang punto ay ipinahayag ng isang tuluy-tuloy na tuluy-tuloy na pag-andar ng mga coordinate ng lokasyon ng punto sa espasyo:

. Ang hydrostatic pressure ay patuloy na nagbabago nang linear, at ang pagtaas ng presyon sa bawat yunit ng elementarya

-

-



-

Dahil dito, ang mga presyon sa mga puntong A at B ay mag-iiba ayon sa

.

Ipinapahayag namin ang mga presyon sa mga punto A at B sa sumusunod na anyo:

(3.54)

Dahil sa maliit na lugar ng mga mukha, maaari nating ipagpalagay na ang mga panggigipit

at

ay ang average na hydrostatic pressure na kumikilos sa mga mukha 1234 at 5678. Surface pressure forces sa mga mukha na ito kasama ang axis katumbas ng produkto ng presyon sa lugar ng mga mukha:

(3.55)

Katulad nito, ang presyon sa ibabaw ay pumipilit sa mga mukha kasama ang z axis (mga mukha 1478 at 2365):

(3.56)

Maaari mo ring tukuyin ang mga puwersa sa ibabaw sa isang mukha sa kahabaan ng axis .

Isaalang-alang ang equilibrium ng isang parallelepiped sa isang gumagalaw na likido gamit prinsipyo ni d'Alembert.

Ayon sa prinsipyo ni d'Alembert, ang equation of motion ay maaaring ituring bilang isang equilibrium equation kung ipinakilala natin ang mga pwersa ng inertia. Ipinapalagay namin na ang isang parallelepiped na may masa

gumagalaw ng mabilis , ang mga bahagi ng bilis na ito , , .

inertia force

(- pagbilis).

Mga projection ng inertia force sa kaukulang coordinate axes:

(3.57)

saan ,,- mga projection ng acceleration sa axis , , .

Bumuo tayo ng equation ng equilibrium para sa mga puwersang kumikilos sa fluid parallelepiped na isinasaalang-alang, na isinasaalang-alang ang inertia force kasama ang mga axes at :

(3.58)

Ang pagpapalit sa (3.58) sa dating nakuhang mga dependence (3.53), (3.55), (3.56) at (3.57), nakuha namin ang mga sumusunod na equation

Pagbukas ng mga bracket at paghahati ng mga equation na nakuha sa itaas ng

, magsulat

(3.59)

Katulad nito, maaari mong makuha ang equation para sa y-axis:

(3.60)

Ang mga equation (3.59) at (3.60) ay maaaring isulat bilang isang sistema ng mga equation:

(3.61)

Sa pangkalahatang kaso, ang mga dami , , ay isang function ng mga coordinate , , , pati na rin ang oras . Samakatuwid, ang kabuuang pagkakaiba sa bilis kalooban

Pagpapabilis

;

(3.64)

Katulad nito, maaari mong makuha ang mga pagkakaiba sa bilis ,.

Matapos ipasok sa sistema ng mga equation (3.61) ang mga pagkakaiba sa bilis

,

at

titingnan niya

(3.65)

Sa kaso ng steady motion

;

;

. (3.66)

Ang mga equation (3.65) ay differential equation ng motion ng ideal (nonviscous) fluid - Euler's equation. Ang mga equation na ito ay nakuha ni Euler noong 1775.

Ang mga equation ng Euler ay nagpapahayag ng kaugnayan sa pagitan ng mga projection ng kumikilos na pwersa, bilis, presyon, at density ng likido. Ang mga equation ni Euler ay napakahalaga sa pag-aaral ng fluid motion.

Para sa isang likido sa pahinga, mayroon kami

Ang Euler differential equation ay may sumusunod na anyo:

(3.67)

Ang sistema ng differential equation ay ang equilibrium equation ng fluid.

Mula sa equation ng equilibrium, maaaring makuha ng isa ang pangunahing equation ng hydrostatics (2.2) (tingnan ang Appendix).

Pagsasama ng Euler's equation of motion. Bernoulli integral

Isaalang-alang ang tuluy-tuloy na paggalaw ng isang perpektong likido. Kinakatawan namin ang mga equation ng Euler sa anyo (3.61). I-multiply ang una sa mga equation sa pamamagitan ng

, ang pangalawa - sa at pangatlo sa

, nakukuha namin

(3.68)

Nagdaragdag kami ng termino sa pamamagitan ng termino lahat ng tatlong equation ng system:

(3.69)

Para sa steady motion, ang pressure sa isang punto ay isang function ng mga coordinate nito at hindi nakadepende sa oras. Samakatuwid, ang pagkakaiba ng presyon ay ipinahayag sa mga bahagyang derivatives:

.

Bilang

;

at

, pagkatapos ay ang huling termino ng equation (3.69)

Bukod sa

;

;

.

Dahil dito, ang kanang bahagi ng equation (3.69) ay kumukuha ng anyo

. (3.71)

Buong (ganap) bilis at ipinahayag sa pamamagitan ng , , :

.

. (3.72)

Ang equation (3.69) pagkatapos ng pagbabago ay maaaring muling isulat sa sumusunod na anyo:

. (3.73)

Ang unang tatlong expression sa equation na ito ay ang kabuuang pagkakaiba ng puwersa (potensyal) na function :

Kaya, ang equation (3.74) ay kumukuha ng anyo

. (3.75)

Pagsasama ng equation (3.75), nakuha namin

. (3.76)

Ang expression na ito ay tinatawag na Bernoulli-Euler integral.

Ang resultang trinomial - ang equation ay nananatiling hindi nagbabago kasama ang streamline.

Sa kaso kapag ang paggalaw ay nangyayari sa ilalim ng pagkilos ng isang mass force lamang - ang puwersa ng gravity, pagkatapos ay ang yunit ng mass forces

,

,

(aksis nakadirekta patayo pataas). Pagkakaiba ng pag-andar ng puwersa

. (3.77)

Ang equation (3.75) ay maaaring isulat sa sumusunod na anyo:

. (3.78)

Hinahati namin ang lahat ng mga tuntunin ng equation sa pamamagitan ng free fall acceleration , pagkatapos makuha namin

. (3 79)

Ang pagtaas ng kabuuan ng lahat ng tatlong termino ng equation na ito kapag gumagalaw sa streamline ay katumbas ng zero.

Ang pagsasama ng differential equation (3.79), nakuha namin

. (3.80)

Ang kabuuan ng lahat ng mga termino sa kahabaan ng streamline ng likido ay isang pare-parehong halaga, at, dahil dito, ito ay pare-pareho din sa isang perpektong batis ng elementarya.

Equation (3.80), nakuha gamit ang Euler equation of motion, para sa steady motion ay ang Bernoulli equation. Ang isang magkatulad na equation ay nakuha nang mas maaga sa ibang paraan gamit ang kinetic energy theorem (3.43).

Ang equation (3.80), na isinulat para sa dalawang buhay na seksyon ng isang patak, ay nakakuha ng dating kilalang anyo

.