So finden Sie LCM (kleinstes gemeinsames Vielfaches)

Das gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die ganze Zahl, die durch beide gegebenen Zahlen ohne Rest teilbar ist.

Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier ganzer Zahlen ist die kleinste aller ganzen Zahlen, die durch beide gegebenen Zahlen gerade und ohne Rest teilbar ist.

Methode 1. Sie können das LCM wiederum für jede der angegebenen Zahlen finden, indem Sie in aufsteigender Reihenfolge alle Zahlen ausschreiben, die sich ergeben, indem Sie sie mit 1, 2, 3, 4 usw. multiplizieren.

Beispiel für Nummer 6 und 9.
Wir multiplizieren die Zahl 6 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 6, 12, 18 , 24, 30
Wir multiplizieren die Zahl 9 nacheinander mit 1, 2, 3, 4, 5.
Wir bekommen: 9, 18 , 27, 36, 45
Wie Sie sehen können, ist das LCM für die Zahlen 6 und 9 18.

Diese Methode ist praktisch, wenn beide Zahlen klein sind und es einfach ist, sie mit einer Folge von ganzen Zahlen zu multiplizieren. Es gibt jedoch Zeiten, in denen Sie das LCM für zweistellige oder finden müssen dreistellige Zahlen, und auch wenn es drei oder sogar mehr Anfangszahlen gibt.

Methode 2. Sie finden das LCM, indem Sie die ursprünglichen Nummern in erweitern Hauptfaktoren.
Nach der Zerlegung ist es notwendig, aus der resultierenden Reihe von Primfaktoren zu streichen gleichen Nummern. Die restlichen Zahlen der ersten Zahl sind der Faktor für die zweite, und die restlichen Zahlen der zweiten Zahl sind der Faktor für die erste.

Beispiel für die Nummer 75 und 60.
Das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60 kann man finden, ohne ein Vielfaches dieser Zahlen hintereinander auszuschreiben. Dazu zerlegen wir 75 und 60 in Primfaktoren:
75 = 3 * 5 * 5 und
60 = 2 * 2 * 3 * 5 .
Wie Sie sehen, kommen die Faktoren 3 und 5 in beiden Zeilen vor. Wir „streichen“ sie gedanklich durch.
Lassen Sie uns die verbleibenden Faktoren aufschreiben, die in der Erweiterung jeder dieser Zahlen enthalten sind. Bei der Zerlegung der Zahl 75 haben wir die Zahl 5 belassen, und bei der Zerlegung der Zahl 60 haben wir 2 * 2 übrig gelassen
Um also das LCM für die Zahlen 75 und 60 zu bestimmen, müssen wir die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung von 75 (das ist 5) mit 60 multiplizieren, und die verbleibenden Zahlen aus der Erweiterung der Zahl 60 (das ist 2 * 2 ) mit 75 multiplizieren. Das heißt, zum leichteren Verständnis sagen wir, dass wir "kreuzweise" multiplizieren.
75 * 2 * 2 = 300
60 * 5 = 300
So haben wir das LCM für die Zahlen 60 und 75 gefunden. Das ist die Zahl 300.

Beispiel. Bestimmen Sie LCM für die Zahlen 12, 16, 24
BEIM dieser Fall, werden unsere Aktionen etwas komplizierter. Aber zuerst zerlegen wir wie immer alle Zahlen in Primfaktoren
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3
Um das LCM korrekt zu bestimmen, wählen wir die kleinste aller Zahlen (das ist die Zahl 12) und gehen deren Faktoren nacheinander durch, wobei wir sie streichen, wenn mindestens eine der anderen Zahlenreihen den gleichen Faktor hat, der noch nicht gekreuzt wurde aus.

Schritt 1 . Wir sehen, dass 2 * 2 in allen Zahlenreihen vorkommt. Wir streichen sie durch.
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Schritt 2. In den Primfaktoren der Zahl 12 bleibt nur die Zahl 3. Aber sie ist in den Primfaktoren der Zahl 24 vorhanden. Wir streichen die Zahl 3 aus beiden Zeilen, während für die Zahl 16 keine Aktion erwartet wird .
12 = 2 * 2 * 3
16 = 2 * 2 * 2 * 2
24 = 2 * 2 * 2 * 3

Wie Sie sehen können, haben wir bei der Zerlegung der Zahl 12 alle Zahlen "durchgestrichen". Damit ist die Feststellung des NOC abgeschlossen. Es bleibt nur, seinen Wert zu berechnen.
Für die Zahl 12 nehmen wir die restlichen Faktoren von der Zahl 16 (am nächsten in aufsteigender Reihenfolge)
12 * 2 * 2 = 48
Das ist das NOC

Wie Sie sehen können, war es in diesem Fall etwas schwieriger, das LCM zu finden, aber wenn Sie es für drei oder mehr Zahlen finden müssen, Hier entlang ermöglicht es Ihnen, es schneller zu tun. Allerdings sind beide Wege, das LCM zu finden, richtig.

Betrachten Sie drei Möglichkeiten, um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden.

Finden durch Factoring

Der erste Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem die gegebenen Zahlen in Primfaktoren zerlegt werden.

Angenommen, wir müssen das LCM von Zahlen finden: 99, 30 und 28. Dazu zerlegen wir jede dieser Zahlen in Primfaktoren:

Damit die gesuchte Zahl durch 99, 30 und 28 teilbar ist, ist es notwendig und ausreichend, dass sie alle Primfaktoren dieser Teiler enthält. Dazu müssen wir alle Primfaktoren dieser Zahlen mit der höchsten vorkommenden Potenz potenzieren und miteinander multiplizieren:

2 2 3 2 5 7 11 = 13 860

LCM (99, 30, 28) = 13 860. Keine andere Zahl kleiner als 13 860 ist ohne Rest durch 99, 30 oder 28 teilbar.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache gegebener Zahlen zu finden, musst du sie in Primfaktoren zerlegen, dann jeden Primfaktor mit dem größten Exponenten nehmen, mit dem er vorkommt, und diese Faktoren miteinander multiplizieren.

Da teilerfremde Zahlen keine gemeinsamen Primfaktoren haben, ist ihr kleinstes gemeinsames Vielfaches gleich dem Produkt dieser Zahlen. Zum Beispiel sind drei Zahlen: 20, 49 und 33 teilerfremd. So

LCM (20, 49, 33) = 20 49 33 = 32.340.

Dasselbe sollte getan werden, wenn nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen von verschiedenen gesucht wird Primzahlen. Zum Beispiel LCM (3, 7, 11) = 3 7 11 = 231.

Finden durch Auswahl

Die zweite Möglichkeit besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache durch Anpassen zu finden.

Beispiel 1. Wenn die größte der gegebenen Zahlen durch andere gegebene Zahlen ohne Rest teilbar ist, dann ist das LCM dieser Zahlen gleich der größeren von ihnen. Zum Beispiel vier Zahlen: 60, 30, 10 und 6. Jede von ihnen ist durch 60 teilbar, daher:

NOC(60, 30, 10, 6) = 60

In anderen Fällen wird zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen das folgende Verfahren verwendet:

1. Bestimme aus den gegebenen Zahlen die größte Zahl.
2. Als nächstes finden wir Zahlen, die Vielfache der größten Zahl sind, multiplizieren sie mit natürlichen Zahlen in aufsteigender Reihenfolge und prüfen, ob die verbleibenden gegebenen Zahlen durch das resultierende Produkt teilbar sind.

Beispiel 2. Gegeben drei Zahlen 24, 3 und 18. Bestimmen Sie die größte von ihnen - dies ist die Zahl 24. Als nächstes finden Sie die Vielfachen von 24 und prüfen, ob jede von ihnen durch 18 und durch 3 teilbar ist:

24 1 = 24 ist durch 3 teilbar, aber nicht durch 18 teilbar.

24 2 = 48 - teilbar durch 3, aber nicht teilbar durch 18.

24 3 \u003d 72 - teilbar durch 3 und 18.

Also LCM(24, 3, 18) = 72.

Finden durch sequentielles Finden LCM

Der dritte Weg besteht darin, das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, indem sukzessive das LCM gefunden wird.

Das LCM zweier gegebener Zahlen ist gleich dem Produkt dieser Zahlen dividiert durch ihren größten gemeinsamen Teiler.

Beispiel 1. Finden Sie das LCM von zwei gegebenen Zahlen: 12 und 8. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: GCD (12, 8) = 4. Multiplizieren Sie diese Zahlen:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8) = 24.

Um das LCM von drei oder mehr Zahlen zu finden, wird das folgende Verfahren verwendet:

1. Zuerst wird das LCM von zwei beliebigen der gegebenen Zahlen gefunden.
2. Dann das LCM des gefundenen kleinsten gemeinsamen Vielfachen und der dritten gegebenen Zahl.
3. Dann das LCM des resultierenden kleinsten gemeinsamen Vielfachen und die vierte Zahl und so weiter.
4. Somit wird die LCM-Suche fortgesetzt, solange Zahlen vorhanden sind.

Beispiel 2. Finden Sie das LCM drei Daten Zahlen: 12, 8 und 9. Das LCM der Zahlen 12 und 8 haben wir bereits im vorherigen Beispiel gefunden (das ist die Zahl 24). Es bleibt das kleinste gemeinsame Vielfache von 24 und der dritten gegebenen Zahl - 9 zu finden. Bestimmen Sie ihren größten gemeinsamen Teiler: ggT (24, 9) = 3. Multiplizieren Sie LCM mit der Zahl 9:

Wir unterteilen das Produkt in ihren GCD:

Also LCM(12, 8, 9) = 72.

Mathematische Ausdrücke und Aufgaben erfordern viel Zusatzwissen. NOC ist eines der wichtigsten, das in diesem Thema besonders häufig verwendet wird.Das Thema wird in der High School studiert, während es nicht besonders schwierig ist, Material zu verstehen, wird es für eine Person, die mit Potenzen und dem Einmaleins vertraut ist, nicht schwierig sein, es auszuwählen die notwendigen Zahlen und finden Sie das Ergebnis.

Definition

Ein gemeinsames Vielfaches ist eine Zahl, die gleichzeitig vollständig in zwei Zahlen (a und b) geteilt werden kann. Meistens wird diese Zahl durch Multiplizieren der ursprünglichen Zahlen a und b erhalten. Die Zahl muss ohne Abweichungen durch beide Zahlen gleichzeitig teilbar sein.

NOC ist der akzeptierte Begriff für Kurzer Titel, zusammengesetzt aus den Anfangsbuchstaben.

Möglichkeiten, eine Nummer zu bekommen

Um das LCM zu finden, ist die Methode des Multiplizierens von Zahlen nicht immer geeignet, sie eignet sich viel besser für einfache einstellige oder zweistellige Zahlen. Es ist üblich, in Faktoren zu unterteilen, je größer die Zahl, desto mehr Faktoren gibt es.

Beispiel 1

Als einfachstes Beispiel nehmen Schulen normalerweise einfache, einstellige oder zweistellige Zahlen. Zum Beispiel müssen Sie die folgende Aufgabe lösen, finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 7 und 3, die Lösung ist ganz einfach, multiplizieren Sie sie einfach. Als Ergebnis gibt es die Zahl 21, es gibt einfach keine kleinere Zahl.

Beispiel #2

Die zweite Option ist viel schwieriger. Die Nummern 300 und 1260 sind angegeben, das Auffinden des LCM ist Pflicht. Zur Lösung der Aufgabe werden folgende Aktionen angenommen:

Zerlegung der ersten und zweiten Zahl in die einfachsten Faktoren. 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 * 5 * 7. Die erste Etappe ist abgeschlossen.

In der zweiten Stufe wird mit den bereits gewonnenen Daten gearbeitet. Jede der erhaltenen Zahlen muss an der Berechnung teilnehmen Endergebnis. Für jeden Multiplikator am meisten große Nummer Vorkommnisse. NOK ist Gesamtzahl, also müssen die Faktoren aus den Zahlen darin bis zuletzt wiederholt werden, auch diejenigen, die in einer Kopie vorhanden sind. Beide Anfangszahlen haben in ihrer Zusammensetzung die Zahlen 2, 3 und 5, in unterschiedliche Grade, 7 ist nur in einem Fall vorhanden.

Um das Endergebnis zu berechnen, müssen Sie jede Zahl in der größten ihrer repräsentierten Potenzen in die Gleichung aufnehmen. Es bleibt nur zu multiplizieren und die Antwort zu erhalten, mit richtige Befüllung Die Aufgabe passt ohne Erklärung in zwei Schritte:

1) 300 = 2 2 * 3 * 5 2 ; 1260 = 2 2 * 3 2 *5 *7.

2) NOK = 6300.

Das ist die ganze Aufgabe, wenn Sie versuchen, die gewünschte Zahl durch Multiplikation zu berechnen, dann wird die Antwort definitiv nicht richtig sein, da 300 * 1260 = 378.000.

Untersuchung:

6300 / 300 = 21 - wahr;

6300 / 1260 = 5 ist richtig.

Die Korrektheit des erhaltenen Ergebnisses wird durch Überprüfung bestimmt - Teilen des LCM durch beide Anfangszahlen, wenn die Zahl in beiden Fällen eine ganze Zahl ist, dann ist die Antwort richtig.

Was bedeutet NOC in der Mathematik

Wie Sie wissen, gibt es in der Mathematik keine einzige nutzlose Funktion, diese ist keine Ausnahme. Der häufigste Zweck dieser Zahl ist es, Brüche zu kürzen gemeinsamer Nenner. Was normalerweise in den Klassen 5-6 gelernt wird weiterführende Schule. Es ist auch zusätzlich ein gemeinsamer Teiler für alle Vielfachen, wenn solche Bedingungen im Problem sind. Ähnlicher Ausdruck kann ein Vielfaches nicht nur von zwei Zahlen finden, sondern auch von viel mehr- drei, fünf und so weiter. Je mehr Zahlen - desto mehr Aktionen in der Aufgabe, aber die Komplexität nimmt nicht zu.

Bei den Zahlen 250, 600 und 1500 müssen Sie beispielsweise deren Gesamt-LCM ermitteln:

1) 250 = 25 * 10 = 5 2 * 5 * 2 = 5 3 * 2 - dieses Beispiel beschreibt die Faktorisierung im Detail, ohne Reduktion.

2) 600 = 60 * 10 = 3 * 2 3 *5 2 ;

3) 1500 = 15 * 100 = 33 * 5 3 *2 2 ;

Um einen Ausdruck zu bilden, müssen alle Faktoren angegeben werden, in diesem Fall sind 2, 5, 3 angegeben - für alle diese Zahlen ist es erforderlich, den maximalen Grad zu bestimmen.

Achtung: Alle Multiplikatoren müssen auf volle Vereinfachung gebracht werden, wenn möglich, Zerlegung auf das Niveau von einstelligen Zahlen.

Untersuchung:

1) 3000 / 250 = 12 - wahr;

2) 3000 / 600 = 5 - wahr;

3) 3000 / 1500 = 2 ist richtig.

Diese Methode erfordert keine Tricks oder genialen Fähigkeiten, alles ist einfach und klar.

Ein anderer Weg

In der Mathematik hängt vieles zusammen, vieles lässt sich auf zwei oder mehr Arten lösen, das gleiche gilt für das Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen, LCM. Die folgende Methode kann im Fall von einfachen zweistelligen und verwendet werden einzelne Ziffern. Es wird eine Tabelle erstellt, in der der Multiplikator vertikal, der Multiplikator horizontal eingetragen und das Produkt in den sich kreuzenden Zellen der Spalte angegeben wird. Sie können die Tabelle anhand einer Linie widerspiegeln, eine Zahl wird genommen und die Ergebnisse der Multiplikation dieser Zahl mit ganzen Zahlen werden in einer Reihe geschrieben, von 1 bis unendlich, manchmal reichen 3-5 Punkte aus, die zweite und die folgenden Zahlen werden unterzogen zum selben Rechenvorgang. Alles passiert, bis ein gemeinsames Vielfaches gefunden wird.

Angesichts der Zahlen 30, 35, 42 müssen Sie das LCM finden, das alle Zahlen verbindet:

1) Vielfache von 30: 60, 90, 120, 150, 180, 210, 250 usw.

2) Vielfache von 35: 70, 105, 140, 175, 210, 245 usw.

3) Vielfache von 42: 84, 126, 168, 210, 252 usw.

Es fällt auf, dass alle Nummern recht unterschiedlich sind, die einzige gemeinsame Nummer unter ihnen ist 210, also wird es die LCM sein. Unter den mit dieser Berechnung verbundenen Prozessen gibt es auch den größten gemeinsamen Teiler, der nach ähnlichen Prinzipien berechnet wird und häufig in benachbarten Problemen vorkommt. Der Unterschied ist klein, aber signifikant genug, das LCM beinhaltet die Berechnung einer Zahl, die durch alle Daten teilbar ist Anfangswerte, und GCD impliziert die Berechnung größten Wert durch die die ursprünglichen Zahlen teilbar sind.

Ein Vielfaches ist eine Zahl, durch die teilbar ist angegebene Nummer ohne jede Spur. Das kleinste gemeinsame Vielfache (LCM) einer Zahlengruppe ist die kleinste Zahl, die durch jede Zahl in der Gruppe ohne Rest teilbar ist. Um das kleinste gemeinsame Vielfache zu finden, müssen Sie die Primfaktoren der gegebenen Zahlen finden. LCM kann auch mit einer Reihe anderer Methoden berechnet werden, die auf Gruppen von zwei oder mehr Zahlen anwendbar sind.

Schritte

Eine Reihe von Vielfachen

Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die jeweils kleiner als 10 sind. Wenn angegeben große Zahlen, verwenden Sie eine andere Methode.

• Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8. Dies sind kleine Zahlen, daher kann diese Methode verwendet werden.

1. Ein Vielfaches einer Zahl ist eine Zahl, die ohne Rest durch eine gegebene Zahl teilbar ist. Mehrere Zahlen finden Sie im Einmaleins.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 5 sind, sind beispielsweise: 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40.

2. Schreiben Sie eine Reihe von Zahlen auf, die Vielfache der ersten Zahl sind. Tun Sie dies unter Vielfachen der ersten Zahl, um zwei Zahlenreihen zu vergleichen.

   • Zahlen, die ein Vielfaches von 8 sind, sind beispielsweise: 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56 und 64.

3. Finden Sie die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt. Möglicherweise müssen Sie lange Reihen von Vielfachen schreiben, um die Gesamtsumme zu finden. Die kleinste Zahl, die in beiden Reihen von Vielfachen vorkommt, ist das kleinste gemeinsame Vielfache.

   • Zum Beispiel, die kleinste Zahl, die in der Reihe der Vielfachen von 5 und 8 vorkommt, ist die Zahl 40. Daher ist 40 das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 5 und 8.

   Primfaktorzerlegung

   1. Sehen Sie sich diese Zahlen an. Die hier beschriebene Methode wird am besten verwendet, wenn zwei Zahlen angegeben werden, die beide größer als 10 sind. Wenn kleinere Zahlen angegeben werden, verwenden Sie eine andere Methode.

      • Finden Sie beispielsweise das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 20 und 84. Jede der Zahlen ist größer als 10, daher kann diese Methode verwendet werden.

   2. Faktorisiere die erste Zahl. Das heißt, Sie müssen solche Primzahlen finden, wenn Sie sie multiplizieren, erhalten Sie eine bestimmte Zahl. Nachdem Sie Primfaktoren gefunden haben, schreiben Sie sie als Gleichheit auf.

      • Zum Beispiel, 2 × 10 = 20 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 10=20) und 2 × 5 = 10 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times (\mathbf (5) )=10). Die Primfaktoren der Zahl 20 sind also die Zahlen 2, 2 und 5. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   3. Zerlege die zweite Zahl in Primfaktoren. Gehen Sie dabei genauso vor, wie Sie die erste Zahl faktorisiert haben, d. h. finden Sie solche Primzahlen, die multipliziert diese Zahl ergeben.

      • Zum Beispiel, 2 × 42 = 84 (\displaystyle (\mathbf (2) )\times 42=84), 7 × 6 = 42 (\displaystyle (\mathbf (7) )\times 6=42) und 3 × 2 = 6 (\displaystyle (\mathbf (3) )\times (\mathbf (2) )=6). Die Primfaktoren der Zahl 84 sind also die Zahlen 2, 7, 3 und 2. Schreiben Sie sie als Ausdruck auf: .

   4. Schreiben Sie die Faktoren auf, die beiden Zahlen gemeinsam sind. Schreiben Sie solche Faktoren als Multiplikationsoperation. Wenn Sie jeden Faktor aufschreiben, streichen Sie ihn in beiden Ausdrücken durch (Ausdrücke, die die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren beschreiben).

      • Zum Beispiel ist der gemeinsame Faktor für beide Zahlen 2, also schreibe 2 × (\displaystyle 2\times) und streichen Sie die 2 in beiden Ausdrücken durch.
      • Der gemeinsame Faktor für beide Zahlen ist ein weiterer Faktor von 2, also schreibe 2 × 2 (\displaystyle 2\times 2) und streiche die zweite 2 in beiden Ausdrücken.

   5. Addiere die restlichen Faktoren zur Multiplikationsoperation. Dies sind Faktoren, die in beiden Ausdrücken nicht durchgestrichen sind, also Faktoren, die nicht beiden Zahlen gemeinsam sind.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 20 = 2 × 2 × 5 (\displaystyle 20=2\times 2\times 5) beide Zweien (2) sind durchgestrichen, weil sie es sind übliche Faktoren. Der Faktor 5 ist nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 (\displaystyle 2\times 2\times 5)
      • Im Ausdruck 84 = 2 × 7 × 3 × 2 (\displaystyle 84=2\times 7\times 3\times 2) beide Zweien (2) sind ebenfalls durchgestrichen. Die Faktoren 7 und 3 sind nicht durchgestrichen, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 2 × 5 × 7 × 3 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3).

   6. Berechne das kleinste gemeinsame Vielfache. Multiplizieren Sie dazu die Zahlen in der schriftlichen Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel, 2 × 2 × 5 × 7 × 3 = 420 (\displaystyle 2\times 2\times 5\times 7\times 3=420). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 20 und 84 ist also 420.

   Gemeinsame Teiler finden

   1. Zeichne ein Gitter wie bei einem Tic-Tac-Toe-Spiel. Ein solches Gitter besteht aus zwei parallelen Linien, die sich (im rechten Winkel) mit zwei anderen parallelen Linien schneiden. Dies führt zu drei Zeilen und drei Spalten (das Raster sieht dem #-Zeichen sehr ähnlich). Schreiben Sie die erste Zahl in die erste Reihe und zweite Spalte. Schreiben Sie die zweite Zahl in die erste Zeile und dritte Spalte.

      • Finde zum Beispiel das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30. Schreibe 18 in die erste Zeile und zweite Spalte und 30 in die erste Zeile und dritte Spalte.

   2. Finden Sie den Teiler, der beiden Zahlen gemeinsam ist. Notieren Sie es in der ersten Zeile und der ersten Spalte. Besser suchen Primteiler, dies ist jedoch keine Voraussetzung.

      • Zum Beispiel sind 18 und 30 gerade Zahlen, also ist ihr gemeinsamer Teiler 2. Schreiben Sie also 2 in die erste Zeile und die erste Spalte.

   3. Teilen Sie jede Zahl durch den ersten Teiler. Schreiben Sie jeden Quotienten unter die entsprechende Zahl. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen.

      • Zum Beispiel, 18 ÷ 2 = 9 (\displaystyle 18\div 2=9), also schreibe 9 unter 18.
      • 30 ÷ 2 = 15 (\displaystyle 30\div 2=15), also schreibe 15 unter 30.

   4. Finden Sie einen Teiler, der beiden Quotienten gemeinsam ist. Wenn es keinen solchen Teiler gibt, überspringen Sie zwei Nächste Schritte. Schreibe andernfalls den Divisor in die zweite Zeile und die erste Spalte.

      • Zum Beispiel sind 9 und 15 durch 3 teilbar, also schreibe 3 in die zweite Zeile und erste Spalte.

   5. Teilen Sie jeden Quotienten durch den zweiten Teiler. Schreiben Sie jedes Divisionsergebnis unter den entsprechenden Quotienten.

      • Zum Beispiel, 9 ÷ 3 = 3 (\displaystyle 9\div 3=3), also schreibe 3 unter 9.
      • 15 ÷ 3 = 5 (\displaystyle 15\div 3=5), also schreibe 5 unter 15.

   6. Ergänzen Sie ggf. das Raster mit weiteren Zellen. Wiederholen Sie die obigen Schritte, bis die Quotienten einen gemeinsamen Teiler haben.

   7. Kreise die Zahlen in der ersten Spalte und der letzten Reihe des Rasters ein. Schreiben Sie dann die hervorgehobenen Zahlen als Multiplikationsoperation.

      • Zum Beispiel stehen die Zahlen 2 und 3 in der ersten Spalte und die Zahlen 3 und 5 in der letzten Reihe, also schreiben Sie die Multiplikationsoperation wie folgt: 2 × 3 × 3 × 5 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5).

   8. Finden Sie das Ergebnis der Multiplikation von Zahlen. Dadurch wird das kleinste gemeinsame Vielfache der beiden gegebenen Zahlen berechnet.

      • Zum Beispiel, 2 × 3 × 3 × 5 = 90 (\displaystyle 2\times 3\times 3\times 5=90). Das kleinste gemeinsame Vielfache von 18 und 30 ist also 90.

   Euklids Algorithmus

   1. Denken Sie an die mit der Divisionsoperation verbundene Terminologie. Der Dividend ist die Zahl, die geteilt wird. Der Divisor ist die Zahl, durch die geteilt werden soll. Der Quotient ist das Ergebnis der Division zweier Zahlen. Der Rest ist die Zahl, die übrig bleibt, wenn zwei Zahlen geteilt werden.

      • Zum Beispiel im Ausdruck 15 ÷ 6 = 2 (\displaystyle 15\div 6=2) sich ausruhen. 3:
        15 ist das Teilbare
        6 ist der Divisor
        2 ist privat
        3 ist der Rest.

Betrachten Sie die Lösung des folgenden Problems. Der Schritt des Jungen beträgt 75 cm und der Schritt des Mädchens 60 cm. Muss gefunden werden kürzeste Distanz, wobei beide eine ganzzahlige Anzahl von Schritten machen.

Entscheidung. Der gesamte Weg, den die Jungs durchlaufen werden, muss ohne Rest durch 60 und 70 teilbar sein, da sie jeweils eine ganzzahlige Anzahl von Schritten zurücklegen müssen. Mit anderen Worten, die Antwort muss ein Vielfaches von 75 und 60 sein.

Zuerst schreiben wir alle Vielfachen für die Zahl 75 aus. Wir erhalten:

• 75, 150, 225, 300, 375, 450, 525, 600, 675, … .

Lassen Sie uns nun die Zahlen aufschreiben, die ein Vielfaches von 60 sein werden. Wir erhalten:

• 60, 120, 180, 240, 300, 360, 420, 480, 540, 600, 660, … .

Jetzt finden wir die Zahlen, die in beiden Reihen stehen.

• Gemeinsame Vielfache von Zahlen sind Zahlen, 300, 600 usw.

Die kleinste von ihnen ist die Zahl 300. In diesem Fall wird sie das kleinste gemeinsame Vielfache der Zahlen 75 und 60 genannt.

Um auf den Zustand des Problems zurückzukommen, beträgt die kleinste Entfernung, bei der die Jungs eine ganze Zahl von Schritten machen, 300 cm. Der Junge geht diesen Weg in 4 Schritten und das Mädchen muss 5 Schritte machen.

Suche nach dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen

• Das kleinste gemeinsame Vielfache zweier natürlicher Zahlen a und b ist das kleinste natürliche Zahl, die ein Vielfaches von a und b ist.

Um das kleinste gemeinsame Vielfache zweier Zahlen zu finden, ist es nicht notwendig, alle Vielfachen dieser Zahlen hintereinander aufzuschreiben.

Sie können die folgende Methode verwenden.

So finden Sie das kleinste gemeinsame Vielfache

Zuerst müssen Sie diese Zahlen in Primfaktoren zerlegen.

• 60 = 2*2*3*5,
• 75=3*5*5.

Schreiben wir nun alle Faktoren auf, die in der Erweiterung der ersten Zahl (2,2,3,5) enthalten sind, und addieren alle fehlenden Faktoren aus der Erweiterung der zweiten Zahl (5).

Als Ergebnis erhalten wir eine Reihe von Primzahlen: 2,2,3,5,5. Das Produkt dieser Zahlen ist der kleinste gemeinsame Faktor für diese Zahlen. 2*2*3*5*5 = 300.

Allgemeines Schema zum Finden des kleinsten gemeinsamen Vielfachen

• 1. Zahlen in Primfaktoren zerlegen.
• 2. Schreiben Sie die Primfaktoren auf, die zu einem von ihnen gehören.
• 3. Füge zu diesen Faktoren alle diejenigen hinzu, die in der Zerlegung des Rests enthalten sind, aber nicht in der ausgewählten.
• 4. Finde das Produkt aller ausgeschriebenen Faktoren.

Diese Methode ist universell. Es kann verwendet werden, um das kleinste gemeinsame Vielfache einer beliebigen Anzahl natürlicher Zahlen zu finden.