Wir sind in der Schule auf Ungleichungen gestoßen, wo wir numerische Ungleichungen verwenden. In diesem Artikel betrachten wir die Eigenschaften numerischer Ungleichungen, von denen einige gebaute Prinzipien für die Arbeit mit ihnen sind.

Die Eigenschaften von Ungleichungen ähneln den Eigenschaften numerischer Ungleichungen. Eigenschaften, ihre Begründungen werden berücksichtigt, wir werden Beispiele geben.

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Numerische Ungleichungen: Definition, Beispiele

Bei der Einführung des Begriffs der Ungleichheit haben wir, dass ihre Definition nach der Art der Aufzeichnung erfolgt. Verfügbar algebraische Ausdrücke, die Vorzeichen ≠ haben,< , >, ≤ , ≥ . Lassen Sie uns eine Definition geben.

Bestimmung 1

Numerische Ungleichheit wird eine Ungleichung genannt, bei der beide Seiten Zahlen und numerische Ausdrücke haben.

Numerische Ungleichungen nach dem Studium wieder in die Schule gehen natürliche Zahlen. Solche Vergleichsoperationen werden Schritt für Schritt untersucht. Anfängliches Aussehen wie 1< 5 , 5 + 7 >3 . Danach werden die Regeln ergänzt, und die Ungleichungen werden komplizierter, dann erhalten wir Ungleichungen der Form 5 2 3 > 5 , 1 (2) , ln 0 . 73 - 17 2< 0 .

Eigenschaften numerischer Ungleichungen

Um korrekt mit Ungleichungen zu arbeiten, müssen Sie die Eigenschaften numerischer Ungleichungen verwenden. Sie stammen aus dem Konzept der Ungleichheit. Ein solches Konzept wird durch eine Aussage spezifiziert, die als "größer als" oder "kleiner als" bezeichnet wird.

Bestimmung 2

• die Zahl a ist größer als b, wenn die Differenz a - b eine positive Zahl ist;
• die Zahl a ist kleiner als b, wenn die Differenz a - b eine negative Zahl ist;
• die Zahl a ist gleich b, wenn die Differenz a - b gleich Null ist.

Die Definition wird verwendet, wenn Ungleichungen mit den Beziehungen "kleiner oder gleich", "größer als oder gleich" gelöst werden. Das verstehen wir

Bestimmung 3

• a ist größer oder gleich b, wenn a - b eine nicht negative Zahl ist;
• a ist kleiner oder gleich b, wenn a - b eine positive Zahl ist.

Die Definitionen werden beim Beweis der Eigenschaften numerischer Ungleichungen verwendet.

Grundeigenschaften

Betrachten Sie 3 Hauptungleichungen. Verwendung von Zeichen< и >Merkmal mit Eigenschaften:

Bestimmung 4

• Antireflexivität, was besagt, dass jede Zahl a aus den Ungleichungen a< a и a >a gilt als ungültig. Es ist bekannt, dass für jedes a die Gleichheit a − a = 0 gilt, also erhalten wir a = a. Also ein< a и a >a ist falsch. Zum Beispiel 3< 3 и - 4 14 15 >- 4 14 15 sind falsch.
• Asymmetrie. Wenn die Zahlen a und b so sind, dass a< b , то b >a , und wenn a > b , dann b< a . Используя определение отношений «больше», «меньше» обоснуем его. Так как в первой части имеем, что a < b , тогда a − b является отрицательным числом. А b − a = − (a − b) положительное число, потому как число противоположно отрицательному числу a − b . Отсюда следует, что b >a. Der zweite Teil wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Beispiel 1

Zum Beispiel angesichts der Ungleichung 5< 11 имеем, что 11 >5 , dann wird seine numerische Ungleichung − 0 , 27 > − 1 , 3 in die Form − 1 , 3 umgeschrieben< − 0 , 27 .

Bevor wir zur nächsten Eigenschaft übergehen, stellen wir fest, dass man mit Hilfe der Asymmetrie die Ungleichung von rechts nach links und umgekehrt ablesen kann. Somit kann die numerische Ungleichheit geändert und ausgetauscht werden.

Bestimmung 5

• Transitivität. Wenn die Zahlen a, b, c die Bedingung a erfüllen< b и b < c , тогда a < c , и если a >b und b > c , dann a > c .

Beweis 1

Die erste Behauptung kann bewiesen werden. Bedingung a< b и b < c означает, что a − b и b − c являются отрицательными, а разность а - с представляется в виде (a − b) + (b − c) , что является отрицательным числом, потому как имеем сумму двух отрицательных a − b и b − c . Отсюда получаем, что а - с является отрицательным числом, а значит, что a < c . Что и требовалось доказать.

Der zweite Teil mit der Transitivitätseigenschaft wird auf ähnliche Weise bewiesen.

Beispiel 2

Die analysierte Eigenschaft wird am Beispiel der Ungleichungen − 1 betrachtet< 5 и 5 < 8 . Отсюда имеем, что − 1 < 8 . Аналогичным образом из неравенств 1 2 >1 8 und 1 8 > 1 32 folgt, dass 1 2 > 1 32 .

Numerische Ungleichungen, die mit nicht strengen Ungleichheitszeichen geschrieben werden, haben die Eigenschaft der Reflexivität, weil a ≤ a und a ≥ a den Gleichheitsfall a = a haben können. sie sind durch Asymmetrie und Transitivität gekennzeichnet.

Bestimmung 6

Ungleichungen, die in der Schreibweise die Zeichen ≤ und ≥ haben, haben folgende Eigenschaften:

• Reflexivität a ≥ a und a ≤ a gelten als wahre Ungleichungen;
• Antisymmetrie wenn a ≤ b , dann b ≥ a , und wenn a ≥ b , dann b ≤ a .
• Transitivität, wenn a ≤ b und b ≤ c , dann a ≤ c , und auch, wenn a ≥ b und b ≥ c , dann a ≥ c .

Der Beweis wird auf ähnliche Weise geführt.

Andere wichtige Eigenschaften numerischer Ungleichungen

Um die Haupteigenschaften von Ungleichungen zu ergänzen, werden Ergebnisse verwendet, die haben praktischer Wert. Es wird das Prinzip der Methode zur Bewertung der Werte von Ausdrücken angewendet, auf dem die Prinzipien zur Lösung von Ungleichungen basieren.

Dieser Abschnitt zeigt die Eigenschaften von Ungleichungen für ein Zeichen strenger Ungleichheit. Dasselbe gilt für nicht strikte. Betrachten Sie ein Beispiel und formulieren Sie die Ungleichung, wenn a< b и c являются любыми числами, то a + c < b + c . Справедливыми окажутся свойства:

• wenn a > b , dann a + c > b + c ;
• wenn a ≤ b , dann a + c ≤ b + c ;
• wenn a ≥ b , dann a + c ≥ b + c .

Zur übersichtlichen Darstellung geben wir die entsprechende Aussage, die niedergeschrieben und mit Beweisen versehen wird, Anwendungsbeispiele werden gezeigt.

Bestimmung 7

Auf beiden Seiten eine Zahl addieren oder berechnen. Mit anderen Worten, wenn a und b der Ungleichung a entsprechen< b , тогда для любого такого числа имеет смысл неравенство вида a + c < b + c .

Beweis 2

Um dies zu beweisen, ist es notwendig, dass die Gleichung die Bedingung a erfüllt< b . Тогда (a + c) − (b + c) = a + c − b − c = a − b . Из условия a < b получим, что a − b < 0 . Значит, (a + c) − (b + c) < 0 , откуда a + c < b + c . Множество действительных числе могут быть изменены с помощью прибавления противоположного числа – с.

Beispiel 3

Wenn zum Beispiel beide Teile der Ungleichung 7 > 3 um 15 erhöht werden, dann erhalten wir 7 + 15 > 3 + 15 . Dies ist gleich 22 > 18 .

Bestimmung 8

Wenn beide Teile der Ungleichung mit derselben Zahl c multipliziert oder dividiert werden, erhalten wir die richtige Ungleichung. Wenn wir die Zahl c negativ nehmen, ändert sich das Vorzeichen ins Gegenteil. Ansonsten sieht es so aus: Für a und b gilt die Ungleichung, wenn a< b и c являются положительными числами, то a· c < b · c , а если v является отрицательным числом, тогда a · c >v. Chr.

Beweis 3

Wenn es einen Fall c > 0 gibt, ist es notwendig, den Unterschied zwischen dem linken und dem rechten Teil der Ungleichung zu machen. Dann erhalten wir, dass a · c − b · c = (a − b) · c . Aus Zustand a< b , то a − b < 0 , а c >0 , dann ist das Produkt (a − b) · c negativ. Dies impliziert, dass a c − b c< 0 , где a · c < b · c . Другая часть доказывается аналогичным образом.

Im Beweis kann die Division durch eine ganze Zahl ersetzt werden durch eine Multiplikation mit dem Kehrwert der gegebenen, also 1 c . Betrachten Sie ein Beispiel für eine Eigenschaft bei bestimmten Zahlen.

Beispiel 4

Beide Teile der Ungleichung sind erlaubt 4< 6 умножаем на положительное 0 , 5 , тогда получим неравенство вида − 4 · 0 , 5 < 6 · 0 , 5 , где − 2 < 3 . Когда обе части делим на - 4 , то необходимо изменить знак неравенства на противоположный. отсюда имеем, что неравенство примет вид − 8: (− 4) ≥ 12: (− 4) , где 2 ≥ − 3 .

Nun formulieren wir die beiden folgenden Resultate, die beim Lösen von Ungleichungen verwendet werden:

• Folge 1. Beim Ändern der Vorzeichen von Teilen einer numerischen Ungleichung ändert sich das Ungleichheitszeichen selbst in das Gegenteil, als a< b , как − a >-b. Dies entspricht der Regel, beide Teile mit -1 zu multiplizieren. Es gilt für den Übergang. Zum Beispiel − 6< − 2 , то 6 > 2 .
• Folge 2. Wenn Teile einer numerischen Ungleichung durch Kehrwerte ersetzt werden, ändert sich auch ihr Vorzeichen, und die Ungleichung bleibt wahr. Daher haben wir, dass a und b positive Zahlen sind, a< b , 1 a >1b.

Bei Division beider Teile der Ungleichung a< b разрешается на число a · b . Данное свойство используется при верном неравенстве 5 >3 2 wir haben das 1 5< 2 3 . При отрицательных a и b c условием, что a < b , неравенство 1 a >1 b kann falsch sein.

Beispiel 5

Zum Beispiel − 2< 3 , однако, - 1 2 >1 3 sind eine ungültige Gleichheit.

Alle Punkte eint die Tatsache, dass Aktionen auf Teile der Ungleichung am Ausgang die richtige Ungleichung ergeben. Betrachten Sie Eigenschaften, bei denen anfänglich mehrere numerische Ungleichungen vorhanden sind und deren Ergebnis durch Addieren oder Multiplizieren ihrer Teile erhalten wird.

Bestimmung 9

Wenn die Zahlen a , b , c , d für die Ungleichungen a gelten< b и c < d , тогда верным считается a + c < b + d . Свойство можно формировать таким образом: почленно складывать числа частей неравенства.

Beweis 4

Wir beweisen, dass (a + c) − (b + d) eine negative Zahl ist, dann erhalten wir, dass a + c< b + d . Из условия имеем, что a < b и c < d . Выше доказанное свойство позволяет прибавлять к обеим частям одинаковое число. Тогда увеличим неравенство a < b на число b , при c < d , получим неравенства вида a + c < b + c и b + c < b + d . Полученное неравенство говорит о том, что ему присуще свойство транзитивности.

Die Eigenschaft wird zur Term-für-Term-Addition von drei, vier oder mehr numerischen Ungleichungen verwendet. Die Zahlen a 1 , a 2 , … , a n und b 1 , b 2 , … , b n unterliegen den Ungleichungen a 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , можно доказать метод математической индукции, получив a 1 + a 2 + … + a n < b 1 + b 2 + … + b n .

Beispiel 6

Zum Beispiel bei drei numerischen Ungleichungen mit demselben Vorzeichen − 5< − 2 , − 1 < 12 и 3 < 4 . Свойство позволяет определять то, что − 5 + (− 1) + 3 < − 2 + 12 + 4 является верным.

Bestimmung 10

Termweise Multiplikation beider Teile ergibt eine positive Zahl. Für ein< b и c < d , где a , b , c и d являются положительными числами, тогда неравенство вида a · c < b · d считается справедливым.

Beweis 5

Um dies zu beweisen, benötigen wir beide Seiten der Ungleichung a< b умножить на число с, а обе части c < d на b . В итоге получим, что неравенства a · c < b · c и b · c < b · d верные, откуда получим свойство транизитивности a · c < b · d .

Diese Eigenschaft gilt als gültig für die Zahl der Zahlen, mit denen beide Seiten der Ungleichung multipliziert werden müssen. Dann a 1 , a 2 , … , ein n und b 1 , b 2 , … , b n sind positive Zahlen mi, wo eine 1< b 1 , a 2 < b 2 , … , a n < b n , то a 1 a 2 … ein n< b 1 · b 2 · … · b n .

Beachten Sie, dass es beim Schreiben von Ungleichungen nicht positive Zahlen gibt, deren Term-für-Term-Multiplikation dann zu falschen Ungleichungen führt.

Beispiel 7

Zum Beispiel Ungleichheit 1< 3 и − 5 < − 4 являются верными, а почленное их умножение даст результат в виде 1 · (− 5) < 3 · (− 4) , считается, что − 5 < − 12 это является неверным неравенством.

Folge: Termweise Multiplikation von Ungleichungen a< b с положительными с a и b , причем получается a n < b n .

Eigenschaften numerischer Ungleichungen

Betrachten Sie die folgenden Eigenschaften numerischer Ungleichungen.

1. a< a , a >a - falsche Ungleichungen,
   a ≤ a , a ≥ a sind gültige Ungleichungen.
2. Wenn ein< b , то b >a - Antisymmetrie.
3. Wenn ein< b и b < c то a < c - транзитивность.
4. Wenn ein< b и c - любоое число, то a + b < b + c .
5. Wenn ein< b и c - положительное число, то a · c < b · c ,
   Wenn ein< b и c - отрицательное число, то a · c >v. Chr.

Folge 1: wenn ein< b , то - a >-b.

Folge 2: wenn a und b positive Zahlen sind und a< b , то 1 a >1b.

1. Wenn eine 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 + a 2 + . . . + a n < b 1 + b 2 + . . . + b n .
2. Wenn eine 1 , eine 2 , . . . , ein n , b 1 , b 2 , . . . , b n sind positive Zahlen und a 1< b 1 , a 2 < b 2 , . . . , a n < b n , то a 1 · a 2 · . . . · a n < b 1 · b 2 · . . . b n .

Folge 1: wenn a< b , a und b positive Zahlen sind, dann ein n< b n .

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Seit der Antike ist es notwendig, Werte und Mengen zu vergleichen, um praktische Probleme zu lösen. Gleichzeitig erschienen Wörter wie mehr und weniger, höher und niedriger, leichter und schwerer, leiser und lauter, billiger und teurer usw., die die Ergebnisse des Vergleichs homogener Mengen bezeichnen.

Die Begriffe Mehr und Weniger entstanden im Zusammenhang mit dem Zählen von Gegenständen, dem Messen und Vergleichen von Mengen. Zum Beispiel wussten die Mathematiker des antiken Griechenlands, dass die Seite eines jeden Dreiecks kleiner ist als die Summe der beiden anderen Seiten und dass die größere Seite des Dreiecks dem größeren Winkel gegenüberliegt. Archimedes fand bei der Berechnung des Umfangs eines Kreises heraus, dass der Umfang jedes Kreises gleich dem Dreifachen des Durchmessers ist, mit einem Überschuss, der weniger als ein Siebtel des Durchmessers, aber mehr als zehn Einundsiebzigsten des Durchmessers beträgt.

Schreiben Sie Beziehungen zwischen Zahlen und Mengen symbolisch mit den Zeichen > und b. Einträge, bei denen zwei Zahlen durch eines der Zeichen: > (größer als) verbunden sind, stießen Sie auch in Grundschulnoten auf numerische Ungleichheiten. Sie wissen, dass Ungleichheiten wahr sein können oder nicht. Beispielsweise ist \(\frac(1)(2) > \frac(1)(3) \) eine gültige numerische Ungleichung, 0,23 > 0,235 ist eine ungültige numerische Ungleichung.

Ungleichungen, die Unbekannte enthalten, können für einige Werte der Unbekannten wahr und für andere falsch sein. Beispielsweise ist die Ungleichung 2x+1>5 wahr für x = 3, aber falsch für x = -3. Für eine Ungleichung mit einer Unbekannten können Sie die Aufgabe stellen: Lösen Sie die Ungleichung. Probleme der Lösung von Ungleichungen werden in der Praxis nicht weniger häufig gestellt und gelöst als Probleme der Lösung von Gleichungen. Beispielsweise werden viele ökonomische Probleme auf das Studium und die Lösung von Systemen linearer Ungleichungen reduziert. In vielen Zweigen der Mathematik sind Ungleichungen häufiger als Gleichungen.

Einige Ungleichungen dienen als einzige Hilfsmittel, um die Existenz eines bestimmten Objekts zu beweisen oder zu widerlegen, zum Beispiel die Wurzel einer Gleichung.

Numerische Ungleichungen

Sie können ganze Zahlen und Dezimalzahlen vergleichen. Kennen Sie die Regeln für den Vergleich gewöhnlicher Brüche mit denselben Nennern, aber unterschiedlichen Zählern; mit gleichen Zählern, aber unterschiedlichen Nennern. Hier lernst du, wie man zwei beliebige Zahlen vergleicht, indem man das Vorzeichen ihrer Differenz findet.

Der Vergleich von Zahlen ist in der Praxis weit verbreitet. Zum Beispiel vergleicht ein Ökonom geplante Indikatoren mit tatsächlichen, ein Arzt vergleicht die Temperatur eines Patienten mit der normalen, ein Dreher vergleicht die Abmessungen eines bearbeiteten Teils mit einem Standard. In all diesen Fällen werden einige Zahlen verglichen. Durch den Vergleich von Zahlen entstehen numerische Ungleichheiten.

Definition. Nummer a mehr Nummer b, wenn die Differenz a-b positiv ist. Nummer a weniger als Zahl b wenn die Differenz a-b negativ ist.

Wenn a größer als b ist, dann schreiben sie: a > b; ist a kleiner als b, dann schreiben sie: a Die Ungleichung a > b bedeutet also, dass die Differenz a - b positiv ist, d.h. a - b > 0. Ungleichung a Für zwei beliebige Zahlen a und b aus den folgenden drei Relationen a > b, a = b, a Satz. Wenn a > b und b > c, dann a > c.

Satz. Wird auf beiden Seiten der Ungleichung dieselbe Zahl addiert, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht.
Folge. Jeder Term kann von einem Teil der Ungleichung in einen anderen übertragen werden, indem das Vorzeichen dieses Terms in das Gegenteil geändert wird.

Satz. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben positiven Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Seiten der Ungleichung mit derselben negativen Zahl multipliziert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.
Folge. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe positive Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung nicht. Wenn beide Teile der Ungleichung durch dieselbe negative Zahl dividiert werden, ändert sich das Vorzeichen der Ungleichung ins Gegenteil.

Wissen Sie, dass numerische Gleichheiten Sie können Term für Term addieren und multiplizieren. Als Nächstes lernen Sie, wie Sie ähnliche Aktionen mit Ungleichungen ausführen. Die Möglichkeit, Ungleichungen Term für Term zu addieren und zu multiplizieren, wird in der Praxis häufig genutzt. Diese Aktionen helfen Ihnen, die Probleme beim Auswerten und Vergleichen von Ausdruckswerten zu lösen.

Bei der Entscheidung mehrere Aufgaben oft muss man Term für Term den linken und rechten Teil der Ungleichungen addieren oder multiplizieren. Es wird manchmal gesagt, dass Ungleichheiten addiert oder multipliziert werden. Wenn zum Beispiel ein Tourist am ersten Tag mehr als 20 km und am zweiten Tag mehr als 25 km gelaufen ist, dann kann man argumentieren, dass er in zwei Tagen mehr als 45 km gelaufen ist. Wenn die Länge eines Rechtecks ​​weniger als 13 cm und die Breite weniger als 5 cm beträgt, kann argumentiert werden, dass die Fläche dieses Rechtecks ​​weniger als 65 cm2 beträgt.

Bei der Betrachtung dieser Beispiele gilt Folgendes Sätze über Addition und Multiplikation von Ungleichungen:

Satz. Wenn wir Ungleichungen mit demselben Vorzeichen addieren, erhalten wir eine Ungleichung mit demselben Vorzeichen: Wenn a > b und c > d, dann a + c > b + d.

Satz. Beim Multiplizieren von Ungleichungen gleichen Vorzeichens, bei denen die linke und rechte Seite positiv sind, erhält man eine Ungleichung gleichen Vorzeichens: Wenn a > b, c > d und a, b, c, d positive Zahlen sind, dann ist ac > bd.

Ungleichungen mit dem Zeichen > (größer als) und 1/2, 3/4 b, c Zusammen mit den strengen Ungleichheitszeichen > und Ebenso bedeutet die Ungleichung \(a \geq b \), dass die Zahl a größer ist als oder gleich b, d.h. und nicht kleiner als b.

Ungleichungen, die das Vorzeichen \(\geq \) oder das Vorzeichen \(\leq \) enthalten, heißen nicht-strikt. Beispielsweise sind \(18 \geq 12 , \; 11 \leq 12 \) keine strikten Ungleichungen.

Alle Eigenschaften strenger Ungleichungen gelten auch für nicht strenge Ungleichungen. Außerdem, wenn für strenge Ungleichungen die Vorzeichen > entgegengesetzt betrachtet wurden und Sie das wissen, um die Reihe zu lösen angewandte Aufgaben Sie müssen ein mathematisches Modell in Form einer Gleichung oder eines Gleichungssystems erstellen. Als nächstes erfährst du das Mathematische Modelle Viele Probleme zu lösen sind Ungleichungen mit Unbekannten. Wir werden das Konzept der Lösung einer Ungleichung einführen und zeigen, wie man prüft, ob angegebene Nummer Lösung einer bestimmten Ungleichung.

Ungleichungen der Form
\(ax > b, \quad ax wobei a und b gegebene Zahlen sind und x unbekannt ist, heißt Lineare Ungleichungen mit einem Unbekannten.

Definition. Die Lösung einer Ungleichung mit einer Unbekannten ist der Wert der Unbekannten, für den diese Ungleichung zu einer echten numerischen Ungleichung wird. Eine Ungleichung zu lösen bedeutet, alle ihre Lösungen zu finden oder festzustellen, dass es keine gibt.

Sie haben die Gleichungen gelöst, indem Sie sie auf die einfachsten Gleichungen reduziert haben. Ebenso neigt man beim Lösen von Ungleichungen dazu, sie mit Hilfe von Eigenschaften auf die Form einfachster Ungleichungen zu reduzieren.

Lösung von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen

Ungleichungen der Form
\(ax^2+bx+c >0 \) und \(ax^2+bx+c wobei x eine Variable ist, a, b und c einige Zahlen sind und \(a \neq 0 \) aufgerufen werden Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen.

Lösen der Ungleichung
\(ax^2+bx+c >0 \) oder \(ax^2+bx+c \) kann als Finden von Lücken betrachtet werden, wo die Funktion \(y= ax^2+bx+c \) positiv wird oder negative Werte Dazu genügt es zu analysieren, wie sich der Graph der Funktion \ (y = ax ^ 2 + bx + c \) in der Koordinatenebene befindet: Wo die Zweige der Parabel gerichtet sind - nach oben oder unten , ob die Parabel die x-Achse schneidet und wenn sie sie schneidet, dann an welchen Punkten.

Algorithmus zum Lösen von Ungleichungen zweiten Grades mit einer Variablen:
1) Finden Sie die Diskriminante quadratisches Trinom\(ax^2+bx+c \) und finden Sie heraus, ob das Trinom Wurzeln hat;
2) wenn das Trinom Wurzeln hat, dann markiere diese auf der x-Achse und zeichne eine schematische Parabel durch die markierten Punkte, deren Äste bei a > 0 nach oben oder bei a 0 nach unten oder bei a nach unten gerichtet sind 3) finde Lücken auf die x-Achse, für die die Punkteparabeln oberhalb der x-Achse liegen (wenn sie die Ungleichung lösen \(ax^2+bx+c >0 \)) oder unterhalb der x-Achse (wenn sie die Ungleichung lösen
\(ax^2+bx+c Lösung von Ungleichungen nach der Methode der Intervalle

Betrachten Sie die Funktion
f(x) = (x + 2)(x - 3)(x - 5)

Definitionsbereich dieser Funktion ist die Menge aller Zahlen. Die Nullstellen der Funktion sind die Zahlen -2, 3, 5. Sie unterteilen den Definitionsbereich der Funktion in Intervalle \((-\infty; -2), \; (-2; 3), \; (3; 5 ) \) und \( (5; +\infty)\)

Lassen Sie uns herausfinden, was die Zeichen dieser Funktion in jedem der angegebenen Intervalle sind.

Der Ausdruck (x + 2)(x - 3)(x - 5) ist das Produkt aus drei Faktoren. Das Vorzeichen jedes dieser Faktoren in den betrachteten Intervallen ist in der Tabelle angegeben:

Im Allgemeinen sei die Funktion durch die Formel gegeben
f(x) = (x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n),
wobei x eine Variable ist und x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind. Die Zahlen x 1 , x 2 , ..., x n sind die Nullstellen der Funktion. In jedem der Intervalle, in die der Definitionsbereich durch die Nullstellen der Funktion unterteilt wird, bleibt das Vorzeichen der Funktion erhalten, und beim Nulldurchgang ändert sich ihr Vorzeichen.

Diese Eigenschaft wird verwendet, um Ungleichungen der Form zu lösen
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) > 0,
(x-x 1)(x-x 2) ... (x-x n) wobei x 1 , x 2 , ..., x n ungleiche Zahlen sind

Überlegte Methode Das Lösen von Ungleichungen wird Intervallmethode genannt.

Lassen Sie uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungen mit der Intervallmethode geben.

Lösen Sie die Ungleichung:

Gelten numerische Achse Nullen der Funktion und berechnen Sie das Vorzeichen für jedes Intervall:

Wir wählen die Intervalle aus, in denen die Funktion kleiner oder gleich Null ist, und schreiben das Ergebnis auf.

Antworten:
\(x \in \left(-\infty; \; 1 \right) \cup \left[ 4; \; +\infty \right) \)