Mathematische Biologie ist die Theorie der mathematischen Modelle biologische Prozesse und Phänomene. Die Mathematische Biologie ist der angewandten Mathematik zuzuordnen und nutzt ihre Methoden aktiv. Das Wahrheitskriterium darin ist ein mathematischer Beweis. kritische Rolle Es spielt mathematische Modellierung mit Computern. Anders als rein mathematische Wissenschaften In der mathematischen Biologie werden rein biologische Aufgaben und Probleme mit den Methoden der modernen Mathematik untersucht und die Ergebnisse biologisch interpretiert. Die Aufgaben der mathematischen Biologie sind die Beschreibung der Naturgesetze auf der Ebene der Biologie und die Hauptaufgabe ist die Interpretation der im Zuge der Forschung gewonnenen Ergebnisse, ein Beispiel ist das Hardy-Weinberg-Gesetz, das damit bereitgestellt wird aus irgendeinem Grund nicht existieren, aber es beweist, dass das Bevölkerungssystem auf der Grundlage dieses Gesetzes bestimmt und auch vorhergesagt werden kann. Basierend auf diesem Gesetz können wir sagen, dass eine Population eine Gruppe von sich selbst erhaltenden Allelen ist, in denen die natürliche Selektion die Grundlage bildet. Dann ist die natürliche Selektion aus mathematischer Sicht eine unabhängige Variable, und die Bevölkerung ist eine abhängige Variable, und unter der Bevölkerung wird eine bestimmte Anzahl von Variablen betrachtet, die sich gegenseitig beeinflussen. Dies ist die Anzahl der Individuen, die Anzahl der Allele, die Dichte der Allele, das Verhältnis der Dichte der dominanten Allele zur Dichte der rezessiven Allele usw. usw. Natürliche Selektion steht auch nicht zur Seite, und das erste, was das ist Hier zeichnet sich Stärke ab natürliche Selektion, was sich auf die Auswirkungen von Umweltbedingungen bezieht, die sich auf die Merkmale der Individuen der Population auswirken, die sich im Prozess der Phylogenese der Art entwickelt haben, zu der die Population gehört.

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Obwohl die Evolutionsgesetze auf Tatsachen beruhen, haben sie keine strenge mathematische Rechtfertigung. Das ermöglicht Wissenschaftlern verschiedene Richtungen interpretieren sie anders oder erkennen sie gar nicht. Aber all dies, bis die Mathematik zu diesen Gesetzen kam.

Die erste Anwendung der Mathematik in der Biologie ist mit der Verarbeitung von Beobachtungsergebnissen verbunden. So wurden die meisten experimentellen Regelmäßigkeiten festgestellt ... Dies ist jedoch in der höchste Grad die nützliche Anwendung der Mathematik auf die Biologie ist nicht nur nicht die einzige, aber nicht einmal die wichtigste.

Experimentelle Gesetzmäßigkeiten gibt es nicht nur in der Biologie. Es gibt viele von ihnen in Physik, Technik, Wirtschaft und anderen Bereichen des menschlichen Wissens. Aber egal welcher Wissenschaft ein solches Gesetz angehört, es hat immer einen gravierenden Fehler: Es beantwortet zwar die Frage „wie“, aber nicht die Frage „warum“.

Sogar Alchemisten wussten, wie sich Substanzen auflösen. Bei der Messung der Konzentration einer Lösung lässt sich leicht eine Kurve zeichnen, die deutlich zeigt, dass die Substanz zunächst in großen Dosen in Lösung geht, diese Dosen dann allmählich abnehmen, bis die Substanz sich nicht mehr vollständig auflöst.

Ähnliche Kurven finden sich in Forstbüchern. Sie werden als Ergebnis von Hunderten und Tausenden von Messungen erhalten und zeigen, dass der Baum zunächst schnell wächst, dann das Wachstum verlangsamt und vollständig zum Erliegen kommt.

Diese Gesetze sind experimentell. Sie beschreiben das Phänomen ziemlich genau - genug für die Praxis. Aber es ist schwer vorherzusagen, da wir nur sie kennen: Das können wir nur sagen gegebene Substanz wird sich auf diese Weise auflösen, wenn die Bedingungen, unter denen wir es studiert haben, wiederholt werden. Genauso ist es mit Bäumen. Ohne zu wissen, warum sie auf die eine oder andere Weise wachsen, ist es unmöglich vorherzusagen, was mit ihrem Wachstum unter anderen Bedingungen passieren wird.

„Die Wissenschaften unterscheiden sich stark im Grad der Vorhersagbarkeit der sie betreffenden Fakten, und einige argumentieren, dass die Biologie keine Wissenschaft ist. Weil biologische Phänomene nicht immer vorhergesagt werden können.“ Diese traurige Bemerkung des Wissenschaftlers K. Willy trifft genau ins Schwarze. Um den Rang einer modernen Wissenschaft zu erlangen, reicht es der Biologie nicht mehr aus, detaillierte Informationen über zahlreiche und unterschiedliche Sachverhalte zu haben. Wir brauchen Gesetze, die die Frage „Warum“ beantworten. Und hier liegt das eigentliche Wesen der mathematischen Biologie.

Genau wie in der Physik versucht man beim Studium eines biologischen Phänomens, seine mathematischen Eigenschaften aufzudecken. Wenn beispielsweise ein Patient untersucht wird, sind numerische Daten erforderlich, um seinen Zustand zu analysieren - Körpertemperatur, Druck und Blutzusammensetzung, Pulsfrequenz usw. usw.

Aber schließlich wird meist nur ein Aspekt untersucht, etwas ist die Hauptsache, und etwas kann vernachlässigt werden. In der Astronomie beispielsweise wird die gesamte Erdkugel als ein dimensionsloser Punkt dargestellt. Rauer, so scheint es, nirgends. Dennoch werden diese Berechnungen seit mehr als 300 Jahren regelmäßig zur Bestimmung des Zeitpunkts von Sonnenfinsternissen und in unseren Jahren - beim Start von Satelliten - verwendet.

Oft lehnen Biologen jedoch jede Vereinfachung ab. Bei einem sehr repräsentativen biologischen Seminar wurde das Modell des Baumwachstums diskutiert. Der Referent, ein ausgewiesener Spezialist auf seinem Gebiet, wurde vom Publikum positiv aufgenommen. Alles lief gut, bis er den Satz aussprach: "Da die Energie der Photosynthese proportional zur Fläche des Blattes ist, betrachten wir das Blatt der Einfachheit halber als flach und ohne Dicke." Sofort regnete es ratlose Fragen: „Wie das? Schließlich hat auch das dünnste Blech eine Dicke!“. Sie erinnerten sich auch an Nadelbäume, bei denen es im Allgemeinen schwierig ist, Dicke von Breite zu unterscheiden. Mit einiger Mühe ließ sich jedoch erklären, dass bei der Aufgabe, mit der sich der Sprecher beschäftigt, die Dicke des Blechs keine Rolle spielt und vernachlässigt werden kann. Aber statt eines lebenden Blattes mit all seinen endlosen Komplexitäten können wir ein einfaches Modell studieren.

Das mathematische Modell wird untersucht mathematische Mittel. Daher können wir für eine Weile vom biologischen Inhalt des Modells abschweifen und unsere Aufmerksamkeit auf seine mathematische Essenz richten.

Das alles natürlich harte Arbeit, die spezielle Kenntnisse erfordert, führt der Biologe in enger Zusammenarbeit mit dem Mathematiker durch, und einige Momente werden vollständig dem Mathematiker-Spezialisten anvertraut. Dadurch werden z gemeinsame Arbeit man erhält ein biologisches Gesetz, mathematisch geschrieben.

Im Gegensatz zum experimentellen beantwortet es die Frage „warum“, enthüllt interner Mechanismus der untersuchte Prozess. Dieser Mechanismus wird durch im Modell enthaltene mathematische Beziehungen beschrieben. Im Baumwachstumsmodell ist ein solcher Mechanismus zum Beispiel eine Differentialgleichung, die das Energieerhaltungsgesetz ausdrückt. Nachdem wir die Gleichung gelöst haben, erhalten wir die theoretische Wachstumskurve - sie stimmt mit erstaunlicher Genauigkeit mit der experimentellen überein.

Bereits 1931 wurde in Paris ein Buch des berühmten Mathematikers W. Volterra „Mathematische Theorie des Kampfes ums Dasein“ veröffentlicht. Darin wurde insbesondere auch das Problem „Räuber-Beute“ berücksichtigt. Der Mathematiker argumentierte wie folgt: „Die Zunahme der Beutetiere wird umso größer sein, je mehr Eltern, das heißt, je größer die Beutetiere sind dieser Moment. Aber je größer die Anzahl der Beutetiere ist, desto häufiger wird sie von Raubtieren angetroffen und zerstört. Somit ist die Abnahme der Beute proportional zu ihrer Anzahl. Darüber hinaus nimmt dieser Rückgang mit der Zunahme der Anzahl von Raubtieren zu.

Und was verändert die Zahl der Raubtiere? Ihr Rückgang erfolgt nur aufgrund der natürlichen Sterblichkeit und ist daher proportional zur Anzahl der Erwachsenen. Und sein Gewinn kann als proportional zur Ernährung angesehen werden, dh proportional zur Menge der von Raubtieren zerstörten Beute.

Das letzte dieser Probleme ist sehr interessant. Das ist seine Essenz chemische Methoden Die Kontrolle schädlicher Arten stellt Biologen oft nicht zufrieden. Einige Chemikalien sind so stark, dass sie zusammen mit schädlichen Tieren viele nützliche zerstören. Es passiert auch umgekehrt: Die unterdrückte Art passt sich sehr schnell an chemische Gifte an und wird unverwundbar. Experten versichern beispielsweise, dass DDT-Pulver, dessen Geruch allein die Wanzen der 30er Jahre tötete, von den heutigen Wanzen erfolgreich gefressen wird.

Und hier noch ein kleines Beispiel, wie ein mathematischer Ansatz eine verwirrende biologische Situation aufgeklärt hat. Bei einem der Experimente wurde etwas Erstaunliches beobachtet: Sobald ein Tropfen Zuckersirup in eine Kolonie der einfachsten im Wasser lebenden Mikroorganismen gegeben wurde, begannen sich alle Bewohner der Kolonie, selbst die am weitesten entfernten, zu bewegen der Fall. Die erstaunten Experimentatoren waren bereit zu behaupten, dass Mikroorganismen ein spezielles Organ haben, das den Köder auf große Entfernung wahrnimmt und ihnen hilft, sich ihm zu nähern. Ein bisschen mehr, und sie hätten sich beeilt, nach diesem unbekannten Organ zu suchen.

Glücklicherweise bot einer der mit Mathematik vertrauten Biologen eine andere Erklärung für das Phänomen. Seine Version war, dass sich die Bewegung von Mikroorganismen abseits des Köders nicht wesentlich von der üblichen Diffusionseigenschaft unbelebter Partikel unterscheidet. Die biologischen Eigenschaften lebender Organismen treten nur in unmittelbarer Nähe des Köders auf, wenn sie sich um ihn herum aufhalten. Aufgrund dieser Verzögerung wird die nächste Schicht vom Tropfen weniger mit Bewohnern gesättigt als gewöhnlich, und Mikroorganismen aus der benachbarten Schicht eilen gemäß den Gesetzen der Diffusion dorthin. Nach den gleichen Gesetzmäßigkeiten stürmen die Bewohner der nächsten, noch weiter entfernten Schicht in diese Schicht usw. usw. Dadurch wird der Fluss von Mikroorganismen zum Tropfen erhalten, den die Experimentatoren beobachteten.

Diese Hypothese war mathematisch leicht zu überprüfen, und es war nicht nötig, nach einem mysteriösen Organ zu suchen.

Mathematische Methoden ermöglichten es, Antworten auf viele spezifische Fragen der Biologie zu geben. Und diese Antworten bestechen manchmal durch ihre Tiefe und Eleganz. Es ist jedoch noch zu früh, von einer etablierten Wissenschaft der mathematischen Biologie zu sprechen.

Grundlagen der mathematischen Modellierung

In diesem Abschnitt der Vorlesung werden "Mathematische Modelle in der Biologie" betrachtet grundlegendes Konzept mathematische Modellierung. Am Beispiel einfachster Systeme werden die Hauptgesetzmäßigkeiten ihres Verhaltens analysiert. Dabei steht nicht das biologische System selbst im Vordergrund, sondern die Ansätze, mit denen sein Modell erstellt wird.

Siehe auch:

Thema 1: Integration von Daten und Wissen. Ziele der Modellierung. Grundlegendes Konzept

Modelle und Modellierung. Klassifizierung von Modellen. Qualitative (Basis-)Modelle. Simulationsmodelle spezifischer biologischer Systeme. Mathematischer Apparat. Das Konzept der Variablen und Parameter. Stationärer Zustand und seine Stabilität. Computerprogramme. Hierarchie der Skalen und Zeiten in biologischen Systemen. Regulierungsnetzwerke.

Thema 2: Modelle, die durch eine autonome Differentialgleichung beschrieben werden

Das Konzept der autonomen Lösung Differentialgleichung. Stationärer Zustand und seine Stabilität. Bevölkerungswachstumsmodelle. Kontinuierliche und diskrete Modelle. exponentielles Wachstumsmodell. Logistisches Wachstumsmodell. Das Modell mit der kleinsten kritischen Zahl. Wahrscheinlichkeitsmodelle.

Thema 3: Modelle, die durch Systeme zweier autonomer Differentialgleichungen beschrieben werden

Nachhaltigkeitsforschung stationäre Zustände. Arten des dynamischen Verhaltens: monotone Änderung, Multistationarität, Fluktuationen. Das Konzept einer Phasenebene. Modellablagen ( chemische Reaktion) und Volterra (Interaktion der Arten).

Thema 4: Zeithierarchie in biologischen Systemen. Schnelle und langsame Variablen

Satz von Tikhonov. Herleitung der Michaelis-Menten-Gleichung. Anwendung der Methode quasistationärer Konzentrationen.

Thema 5: Multistationäre Systeme

Auswahl Modelle. Anwendung der Methode quasistationärer Konzentrationen. Modellwechsel in biologischen Systemen. Abzug. Modell der Synthese zweier Enzyme Jacob und Monod.

Thema 6: Oszillationsprozesse

Das Konzept des Grenzzyklus und der Selbstoszillationen. Autokatalyse. Feedback-Typen. Beispiele. Brüsseler. Glykolyse. Zellzyklusmodelle.

Thema 7: Quasistochastische Prozesse. dynamisches Chaos

Das Konzept eines seltsamen Attraktors. Periodische Einflüsse und stochastische Faktoren. Unregelmäßige Schwankungen in der Glykolyse. Chaotische Dynamik in Artengemeinschaften.

Thema 8: Lebende Systeme und aktive kinetische Medien

Nichtlineare Wechselwirkungen und Transferprozesse in biologischen Systemen und ihre Rolle bei der Entstehung raumzeitlicher Dynamik. Gleichungen in partiellen Ableitungen vom Typ Reaktion-Diffusion-Konvektion. Wellenausbreitung in Systemen mit Diffusion.

Thema 9: Dissipative Strukturen

Stabilität homogener stationärer Lösungen eines Systems aus zwei Gleichungen vom Reaktions-Diffusions-Typ. Turing-Instabilität. Dissipative Strukturen nahe der Instabilitätsschwelle. Lokalisierte dissipative Strukturen. Arten von Raum-Zeit-Regimen.