Wir können uns vorstellen, wie wir die Zahl selbst beliebig oft mit sich selbst multiplizieren.

Die Division kann als Vielfaches dargestellt werden. Sehen wir uns dieses Problem genauer an.

Zahlenteilung

Schauen wir uns das Bild an.

Auf dem Bild sehen wir 12 Äpfel auf einer Platte. Äpfel werden in vier Gruppen von 3 Äpfeln eingeteilt. Du kannst es so schreiben:

12 ÷ 4 = 3

Die Zahl, durch die wir dividieren, heißt Dividende, die Zahl, durch die wir dividieren, heißt Divisor und das Ergebnis Aufteilung privat genannt. In unserem Beispiel Dividende 12, der Divisor ist 4 und der Quotient ist 3 .

Die Division kann durch Multiplikation überprüft werden:

3 x 4 = 12

Und auch die Division kann durch wiederholte Subtraktion überprüft werden:

12 – 3 – 3 – 3 – 3 = 0

Wir sehen, dass wir null erhalten, wenn wir 4 mal 3 von 12 subtrahieren. Also ist 12 mal 4 ohne Rest teilbar.

Betrachten Sie ein anderes Beispiel, dividieren Sie 13 durch 4 .

Die Abbildung zeigt, dass wir 3 und erhalten, wenn wir 13 Äpfel durch 4 teilen der Rest ist ein Apfel.

13 ÷ 4 = 3 (Rest.1)

Prüfen wir durch Subtraktion:

13 – 3 – 3 – 3 – 3 = 1

Wir sehen, wenn viermal die Zahl 3 von 13 subtrahiert wird, dann bleibt 1. Unser Beispiel heißt Division mit Rest. Hier ist 13 der Dividende, 4 der Divisor und 3 der unvollständiger Quotient, 1 – Rest der Teilung.

Überprüfen Sie nun durch Multiplikation:

3 x 4 + 1 = 13

Grundlegende Teilungsregeln

1. NICHT DURCH NULL TEILEN!

2. Wenn der Dividend und der Divisor gleich sind, dann ist der Quotient gleich 1:

a ÷ a = 1

Das heißt, wenn 5 Birnen auf fünf Jungen aufgeteilt werden, dann bekommt jeder eine Birne.

8÷8 = 1

12 ÷ 12 = 1

3. Wenn der Dividende Null und der Quotient Null ist:

0 ÷ a = 0

Das heißt, wenn Sie nichts durch irgendetwas teilen, erhalten Sie nichts.
Beispiel:

0 ÷ 9 = 0

0 ÷ 34 = 0

4. Wenn der Divisor 1 ist, dann ist der Quotient gleich dem Dividenden:

a ÷ 1 = a

Das heißt, wenn ein Junge fünf Birnen hat und er allein ist, bekommt er alle fünf Birnen.

6 ÷ 1 = 6

81 ÷ 1 = 81

In den folgenden Artikeln werden wir uns mit der Aufteilung großer Zahlen befassen und einige Aufgaben zur Festigung des Materials vorstellen.

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Zu bestimmen, wie oft man die kleinere Zahl 2 nehmen muss, um die größere Zahl 6 zu erhalten, bedeutet zu bestimmen, wie oft die Zahl 2 in 6 enthalten ist oder wie oft die Zahl 6 die 2 enthält.

Die Zahl 2 ist dreimal in 6 enthalten, denn um 6 zu erhalten, müssen Sie die Summe von drei gleichen Termen bilden:

Finden Sie dann heraus, wie oft die Zahl 2 in 6 enthalten ist Teilen 6 mal 2.

Definition. Division ist eine Operation, bei der zwei gegebene Zahlen bestimmen, wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten ist.

Diese Zahlen in der Division werden aufgerufen teilbar und Teiler, wird das Gewünschte aufgerufen Privat.

Der Dividende ist die Zahl, die den anderen enthält.

Der Divisor ist die Zahl, die im anderen enthalten ist.

Der Quotient gibt an, wie oft der Divisor im Dividenden vorkommt.

BEIM dieses Beispiel Dividende ist 6, Divisor 2, Quotient 3.

6 durch 2 zu teilen bedeutet auch, 6 in 2 gleiche Terme zu teilen und ihren Wert zu finden. Die Zahl 6 wird mit zwei gleichen Begriffen in der Form dargestellt:

Jeder der gleichen Terme wird als Teil der Dividende bezeichnet.

Durch die Division ganzer Zahlen erfährt man auch, wie groß jeder Term ist, wenn man den Dividenden in so viele gleiche Terme teilt, wie es Einheiten im Divisor gibt.

In diesem Fall das Teilbare ist die Zahl, die teilbar oder in gleiche Teile geteilt ist. Der Teiler zeigt, wie viel gleiche Teile teilbar ist geteilt. Der Quotient zeigt, wie viel für jeden Teil ist.

Divisionsmethoden

Bei zwei gegebenen Zahlen 12 und 4 können wir 12 auf verschiedene Arten durch 4 teilen.

Mit Zusatz wir können bestimmen, wie oft wir 4 Terme nehmen müssen, um insgesamt 12 zu erhalten. Wenn wir also 4 Terme 3 mal nehmen, finden wir in der Summe:

daher ist 4 dreimal in 12 enthalten.

Mit Subtraktion wir ermitteln, wie oft es möglich ist, die kleinere 4 von der größeren Zahl 12 zu subtrahieren. In diesem Fall subtrahieren wir den Divisor so lange wie möglich. Wenn wir also nacheinander von 12 bis 4 subtrahieren, haben wir:

12 - 4 = 8
8 - 4 = 4
4 - 4 = 0

Daraus ergibt sich, dass man genau dreimal 4 von 12 subtrahieren kann.

Division ist eine abgekürzte Subtraktion gleicher Subtrahenden.

Endlich, durch Multiplikation, können wir bestimmen, mit welcher Zahl wir 4 multiplizieren müssen, um 12 zu erhalten. Wenn wir 4 nacheinander mit 1, 2, 3 multiplizieren, stellen wir fest, dass wir, um 12 zu erhalten, 4 mit 3 multiplizieren müssen.

Unterschiedliche Fälle beim Teilen

Bei der Division von ganzen Zahlen gibt es zwei Fälle:

Teilen wir 12 durch 4, finden wir den Quotienten 3. Der Divisor 4 ist genau 3 Mal im Dividenden 12 enthalten. Indem wir nacheinander von 12 durch 4 subtrahieren, könnten wir die Zahl 4 genau 3 Mal subtrahieren und erhalten keinen Rest. In diesem Fall sagen sie das die Division war vollständig oder ohne Rest. Wenn wir den Quotienten 3 mit dem Divisor 4 multiplizieren, erhalten wir den Dividenden 12.

Wir teilen 26 durch 8 und subtrahieren nacheinander:

26 - 8 = 18
18 - 8 = 10
10 - 8 = 2

Der Rest ist immer weniger Teiler . In diesem Fall sagen sie das Teilung ist nicht abgeschlossen oder Die Division erfolgt mit einem Rest.

Indem wir 26 durch 8 dividieren, könnten wir den Teiler von 8 dreimal subtrahieren und erhalten den Rest 2. Wir nennen die Zahl 3 einen Quotienten. Der ganze Quotient ist kein vollständiger Quotient, weil er nicht vollständig ausdrückt, wie oft eine kleinere Zahl in einer größeren enthalten ist. Die Zahl 8 ist nicht genau 3 Mal in 26 enthalten. In diesem Fall heißt es: Die Zahl 8 ist dreimal in 26 enthalten und bekommt trotzdem den Rest. Durch Multiplizieren des Divisors 8 mit dem ganzzahligen Quotienten 3 erhalten wir nicht den Dividenden 26, und die Zahl 24 ist kleiner als der Dividende. Um die Dividende zu erhalten, müssen Sie zu diesem Produkt einen Rest von 2 addieren.

Der ganzzahlige Quotient wird manchmal einfach Quotient genannt.

Beim Dividieren haben wir also zwei Fälle:

Division ganz oder ohne Rest. Wenn der Divisor geradzahlig oft im Dividenden enthalten ist, dann ist die Division vollständig oder ohne Rest. Der Quotient drückt aus, wie oft der Divisor im Dividenden vorkommt. Der Dividende ist gleich dem Divisor multipliziert mit dem Quotienten. In diesem Fall ist Division eine Handlung, bei der diese Arbeit und einer der Hersteller ist ein anderer Hersteller.

Wenn ein Produkt und ein Multiplikand gegeben sind, wird der Multiplikator gefunden, dh die Anzahl der gleichen Terme; Wenn ein Produkt und ein Faktor gegeben sind, wird der Multiplikator gefunden, dh die Größe gleicher Terme.

Division mit Rest. Wenn der Divisor nicht gerade oft im Dividenden enthalten ist, wird die Division nicht vollständig oder die Division mit einem Rest durchgeführt. Der Rest ist immer kleiner als der Divisor, und der Dividende ist gleich dem Produkt aus dem Divisor und dem zum Rest addierten ganzzahligen Quotienten.

Bei der Division ganzer Zahlen verringert sich der Dividende also immer so oft wie beim Divisor von Einheiten Teilung ist Aktion, Kehrwert der Multiplikation .

Teilungszeichen

In unserem Beispiel wird die Teilung schriftlich dargestellt:

Das Divisionszeichen kam von alten Mathematikern zu uns.

Grundlegende Tricks zum Teilen

Dividieren bedeutet, den Divisor so lange wie möglich nacheinander vom Dividenden zu subtrahieren. Diese Teilungsmethode kann allgemein betrachtet werden. Diese Technik führt jedoch zu langen Berechnungen, wenn der Dividende sehr groß ist, daher gibt es verschiedene Abkürzungen für die Division.

Um den Quotienten in dem Fall zu bestimmen, in dem er in einer Ziffer ausgedrückt wird, greifen sie auf die Multiplikationstabelle zurück.

Um 27 durch 3 zu teilen, schreiben wir

Als Quotient wählen wir eine solche Zahl, dass wir durch Multiplikation des Divisors mit dem Quotienten den Dividenden erhalten. Um den Quotienten zu finden, versuchen wir, den Divisor mit zu multiplizieren verschiedene Nummern oder wie man gewöhnlich sagt, wir bekommen verschiedene Zahlen und vergleichen das Produkt des Divisors durch den Quotienten mit dem Dividenden.

Wenn wir 27 durch 3 dividieren und gedanklich alle Produkte von 3 nach verschiedenen Zahlen sortieren, die in der Multiplikationstabelle enthalten sind, stellen wir fest, dass das Produkt von 3 × 9 27 ist, und deshalb schreiben wir in den Quotienten 9. Subtrahieren Sie das Produkt des Divisors durch die Quotient aus dem Dividenden erhalten wir im Rest Null.

Die Berechnung selbst wird schriftlich ausgedrückt:

Die Teilung war abgeschlossen.

Manchmal ist der Divisor nicht gerade oft im Dividenden enthalten; Wenn wir also 27 durch 4 teilen, finden wir in der Tabelle keine ganze Zahl, die, wenn sie mit 4 multipliziert wird, 27 ergeben würde; dann ist die Teilung nicht vollständig.

Wenn wir insbesondere nach dem Ganzen suchen, haben wir drei Fälle:

Die Regel zur Bestimmung des Quotienten:

Ist beim Dividieren der Rest größer oder gleich dem Divisor, ist der Quotient klein und muss erhöht werden.

Ist das Produkt aus Divisor und Quotient größer als der Dividende, ist der Quotient groß und muss reduziert werden.

Ist der Rest kleiner als der Divisor, ist der Quotient richtig.

Das zeigt diese Regel Beim Dividieren müssen Sie für den Quotienten eine solche Zahl wählen, dass der Rest kleiner als der Divisor ist. Auf diese Weise zu fragen bedeutet, die größte ganze Zahl zu fragen.

In diesem Beispiel ist 27 nicht durch 4 teilbar, aber der Rest ist 3; die Zahl 6 ist ein ganzer Quotient und

27 = 4 × 6 + 3 = 24 + 3

Der Dividende 27 ist gleich dem Produkt aus dem Divisor 4 und dem ganzzahligen Quotienten 6, addiert mit dem Rest 3.

Division einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl

Quotient der Division mehrstellige Zahl in eine einzelne Ziffer wird manchmal als Zahl ausgedrückt, die auch aus mehreren Ziffern besteht. In diesem Fall zerfällt die Teilung in mehrere separate Aktionen.

Teilen Sie 702 durch 3. Der Quotient besteht aus drei Ziffern. Er ist größer als 100 und kleiner als 1000, da der Dividende größer als 300 (3 × 100) und kleiner als 3000 (3 × 1000) ist. Einschließlich dreier Ziffern enthält der Quotient Hunderter, Zehner und Einer. BEIM dieser Fall Teilen Sie die Teilung in drei auf einzelne Aktionen, das heißt, wir suchen nacheinander nach Hundertern, dann nach Zehnern und schließlich nach Einheiten des Quotienten. Wir beginnen die Aktion mit Hunderten.

Wenn Sie nicht jedes Mal zusätzliche Nullen schreiben und nur die Zahlen des Dividenden berücksichtigen, die sich auf den Quotienten auswirken, wird die Division schriftlich dargestellt:

mündlich:

Wir trennen 7 - eine Ziffer der Dividende; 3 in 7 ist 2 mal enthalten, - wir schreiben privat 2; Wenn wir den Divisor 3 damit multiplizieren und das Produkt 6 von 7 subtrahieren, erhalten wir den ersten Rest 1.

Wir zerstören 3 - die nächste Ziffer der Dividende; 3 von 13 ist 4 mal, 3 mal 4 ist 12; Wenn wir 12 von 13 abziehen, erhalten wir einen Rest von 1.

Wir brechen die nächste Ziffer der Dividende ab; 3 in 12 ist 4 mal enthalten, wir schreiben privat 4; 3 mal 4 ist 12. Wenn wir 12 subtrahieren, erhalten wir null als Rest und 244 als Quotient.

Beispiel. Teilen Sie 2417 durch 3. Der Berechnungsprozess wird schriftlich ausgedrückt:

mündlich:

Indem wir eine Ziffer 2 trennen, sehen wir, dass 3 in 2 keine ganze Zahl von Malen enthält, also müssen wir zwei Ziffern trennen; 3 in 24 enthält 8 Mal, - wir schreiben 8 privat. Wenn wir 8 mit einem Teiler von 3 multiplizieren und das Produkt von 24 subtrahieren, erhalten wir im Rest Null.

Wir reißen die nächste Nummer 1 ab; 3 in 1 ist nicht enthalten, - wir schreiben privat Null.

Wir reißen die nächste Nummer 7 ab; 3 in 17 enthält 5 Mal, - wir schreiben privat 5; 3 mal 5 ist 15; Wenn wir 15 von 17 subtrahieren, erhalten wir den Rest 2 und den ganzzahligen Quotienten 805.

Dividieren einer mehrstelligen Zahl durch eine mehrstellige Zahl

Bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine mehrstellige Zahl gehen wir genauso vor wie bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine einstellige Zahl.

Teilen wir die Zahl 37207 durch 47, ermitteln wir zunächst, aus wie vielen Stellen der Quotient besteht. Der Quotient ist kleiner als 1000 und größer als 100, da 37207 kleiner als 47000 (47 × 1000) und größer als 4700 (47 × 100) ist, daher besteht der Quotient aus Hundertern, Zehnern und Einerstellen. Beginnend mit Hundertern definieren wir jede Ziffer des Quotienten separat:

Nach dem Teilen haben wir also einen Quotienten von 791 als Ganzes und einen Rest von 30.

Wenn Sie nicht jedes Mal zusätzliche Nullen schreiben und nur die Zahlen des Dividenden berücksichtigen, die sich auf den Quotienten auswirken, wird der Berechnungsprozess schriftlich dargestellt:

mündlich:

Wir trennen im Dividenden von links nach rechts so viele Ziffern, dass der Divisor im abgetrennten Teil des Dividenden enthalten sein kann. In diesem Fall trennen wir 3 Ziffern, 47 ist siebenmal in 372 enthalten; wir multiplizieren den Divisor von 47 mit 7, der Quotientenziffer, und subtrahieren das Produkt 47 × 7 = 329 von 372, wir erhalten 43 als Rest.

Auf den Rest von 43 streichen wir 0, die nächste Ziffer des Dividenden; 430 enthält neun mal 430, wir schreiben in den Quotienten 9. Multiplizieren wir 47 mit 9 und subtrahieren das Produkt von 423 von 430, erhalten wir den Rest 7.

Wir brechen die nächste Ziffer der privaten 7 auf den Rest ab; 47 ist einmal in 77 enthalten. Wir schreiben die Einheit privat.

Wenn wir den Divisor damit multiplizieren und 47 von 77 subtrahieren, erhalten wir 30 im Rest und 791 im Allgemeinen.

Beispiel. Teile 671064 durch 335. Die Division wird schriftlich angezeigt:

mündlich:

Wir trennen 671 in der Dividende; 335 ist zweimal in 671 enthalten, wir schreiben in den Quotienten 2. Multiplizieren wir 335 mit 2 und subtrahieren das Produkt von 670, erhalten wir im Rest 1.

Wir streichen 0, die nächste Ziffer des Dividenden; 335 ist nicht in 10 enthalten - wir schreiben private 0 für die zweite Ziffer.

Wir brechen 6 ab, die nächste Ziffer der Dividende; 335 ist nicht in 106 enthalten - wir schreiben privat 0 für die dritte Ziffer.

Wir brechen die nächste Ziffer des Dividenden 4 ab; 335 ist dreimal in 1064 enthalten – wir schreiben in Quotient 3. Multipliziert man den Divisor mit 3 und subtrahiert das Produkt, erhält man im Rest 59 und im Allgemeinen 2003.

Aus den gegebenen Beispielen leiten wir die folgende Regel ab:

Um eine mehrstellige Zahl in eine ein- oder mehrstellige Zahl zu teilen, musst du im Dividenden von links nach rechts so viele Ziffern trennen, wie der Divisor hat. Wenn der Divisor nicht enthalten ist, trennen Sie den Dividenden um eine weitere Ziffer. Durch Teilen der getrennten Zahl durch den Divisor erhält man die erste Ziffer des Quotienten, multipliziert den Divisor damit und subtrahiert das resultierende Produkt vom getrennten Teil des Dividenden.

Die nächste Ziffer des Dividenden wird auf den Rest heruntergerechnet und erneut gesetzt.

Wenn dies eine Zahl kleiner als der Divisor ergibt, schreiben sie privat Null, brechen die nächste Ziffer ab und setzen erneut.

Nachdem sie eine neue Ziffer des Privaten erhalten haben, verhalten sie sich damit genauso wie mit der ersten Ziffer.

Die Division wird fortgesetzt, bis alle Ziffern des Dividenden entfernt sind und somit alle Ziffern des Privaten erhalten sind.

Immer wenn Sie dividieren müssen, müssen Sie im Quotienten eine solche Zahl angeben, dass der Rest kleiner als der Divisor ist. Um das Auffinden einer solchen Quotientenziffer zu erleichtern, werden bei der Division einer mehrstelligen Zahl durch eine mehrstellige eine oder zwei führende Ziffern des Divisors beachtet und nur von ihnen in den entsprechenden Teil des Dividenden gesetzt. Gleichzeitig werden sie im Dividenden und im Divisor getrennt rechte Hand Nach links die gleiche Nummer Ziffern. Wenn wir also bestimmen, wie oft 6373 in 27302 enthalten ist, fragen wir uns vier, denn 6 von 27 enthält 4 Mal.

Der resultierende Quotient ist entweder gleich oder größer als die tatsächliche Zahl. BEIM letzter Fall es muss reduziert werden.

Manchmal signieren sie beim Dividieren nicht das Produkt der Quotientenziffer durch den Divisor, sondern signieren einen Rest. Reduzieren Sie die Teilung auf diese Weise und stellen Sie sie schriftlich dar:

mündlich:

8 in 43 ist 5 Mal enthalten; 5. 8 - vierzig. Indem wir 40 von 43 subtrahieren, erhalten wir einen Rest von 3.

Abbruch 2; 8 in 32 ist 4 Mal enthalten; 4 mal 8 ist 32. Subtrahieren wir 32, erhalten wir null als Rest.

Abbruch 8; 8 in 8 enthält 1 mal, 1 mal 8 ist 8. Wenn wir 8 subtrahieren, erhalten wir null als Rest und 541 als Quotient.

Division durch 10, 100, 1000 usw.

Wenn wir eine Zahl durch 10 teilen, wandeln wir Zehner der Dividende in Einheiten um, Hunderte in Zehner, Tausender in Hunderter, im Allgemeinen verringern wir alle Ordnungen der Dividende um eins. Dies erreichen wir, indem wir die Einerstelle mit einem Komma trennen. Die Zahl vor dem Komma drückt den Quotienten aus, die Zahl nach dem Komma den Rest.

Bei der Division durch 100 erniedrigen wir alle Ordnungen des Teilbaren durch zwei Einheiten, wofür wir zwei Ziffern von der rechten zur linken Hand durch ein Komma trennen usw. Daher die Regel:

Um eine beliebige Zahl mit Nullen durch Eins zu dividieren, müssen Sie so viele Ziffern von rechts nach links trennen, wie Nullen im Divisor vorhanden sind; dann drückt die Zahl vor dem Dezimalkomma den ganzen Quotienten aus und nach dem Dezimalkomma - den Rest.

Beispiel. Teilen Sie 30207 durch 100. Trennen Sie 2 Ziffern auf der rechten Seite, finden wir 302.07. Der ganzzahlige Quotient ist 302 und der Rest ist 7.

Division durch eine Zahl, die auf Nullen endet

Teilen Sie die Zahl 27057 durch 400 und tun Sie dies als allgemeine Regel

Wir stellen fest, dass die letzten beiden Ziffern des Dividenden keine Auswirkung auf den Quotienten haben. Sie sind im Überrest ohne jegliche Veränderung. Woher kommt die Regel:

Endet der Divisor auf Nullen, trenne im Dividenden mit einem Komma von rechts nach links so viele Ziffern, wie durchgestrichene Nullen im Divisor stehen, und dividiere den Teil des Dividenden bis zum Komma durch bedeutende Zahlen Teiler. Die abgetrennten Ziffern des Dividenden werden zum Rest addiert.

In diesem Beispiel wird die Teilung dargestellt als

Wenn der Dividende und der Divisor auf Nullen enden, werden sie im Dividenden gleichmäßig durchgestrichen, es wird ein Divisor und eine Division durchgeführt; die durchgestrichenen Nullen des Dividenden werden zum Rest addiert.

Um 27300 durch 4100 zu teilen, teilen Sie 273 durch 41:

Der Quotient ist 6 und der Rest 2700.

Die Anzahl der Stellen des Quotienten. Beim Dividieren trennen sie im Dividenden von links nach rechts so viele Ziffern, wie der Divisor hat, oder eine mehr. Jede verbleibende Ziffer des Dividenden entspricht besondere Figur also privat Die Anzahl der Stellen des Quotienten ist entweder gleich der Differenz zwischen der Anzahl der Stellen des Dividenden und des Divisors oder um eins größer als diese Differenz.

Beziehung zwischen Daten und erforderlichen Abteilungen

Bei der Division von ganzen Zahlen haben wir zwei Fälle: a) ganze Division oder kein Rest, und B) Division mit Rest.

Jeder dieser Fälle entspricht einer besonderen Beziehung zwischen den Daten und den erforderlichen Abteilungen.

Division ganz oder ohne Rest

Beim Teilen durch eine ganze Zahl

Der Quotient ist gleich dem Dividenden dividiert durch den Divisor.

Wenn wir 42 durch 7 teilen, haben wir eine private 6; somit,

42 ÷ 7 = 6 oder 6 = 42 ÷ 7

Der Dividende ist gleich dem Divisor multipliziert mit dem Quotienten.

Da der Divisor und der Quotient zwei Faktoren sind, deren Produkt gleich der Teilbaren ist, dann Der Divisor ist gleich dem Dividenden dividiert durch den Quotienten.

Division mit Rest

Beim Teilen mit Rest

Der Dividende ist gleich dem Produkt aus dem Divisor und dem ganzzahligen Quotienten, addiert zum Rest.

Wenn wir 47 durch 6 teilen, haben wir einen Quotienten von 7 als Ganzes mit einem Rest von 5.

Teilbar 47 = 6 × 7 + 5.

Dividende ohne Rest ist teilbar durch den Divisor und den ganzen Quotienten.

Die Differenz des Dividenden ohne Rest ist gleich dem Produkt des Divisors und des ganzzahligen Quotienten, das heißt, diese Differenz ergibt bei Division durch den Divisor den ganzzahligen Quotienten, bei Division durch die ganze Zahl ergibt der Quotient den Divisor.

Diese Lektion widmet sich dem Studium des Themas "Der Name der Komponenten und das Ergebnis der Division". Wir können herausfinden, wie die Zahlen beim Teilen heißen. Wir werden auch darüber sprechen, wie man die Division richtig liest und welche Namen die Komponenten und das Ergebnis der Division haben.

Sehen Sie sich diesen Ausdruck an.

Dieser Ausdruck verwendet das Divisionszeichen. Lass es uns lesen.

21: 7 = 3 (21 geteilt durch 7, wir bekommen 3).

Beim Teilen, wie in einem anderen mathematische Aktion, jede Nummer hat einen eigenen Namen.

Die Zahl, die dividiert wird, heißt Dividende.

Die Zahl, durch die geteilt wird, heißt Divisor.

Das Ergebnis der Division wird Quotient genannt. (Abb. 1)

Reis. 1. Namen von Zahlen beim Teilen

Lassen Sie uns denselben Ausdruck mit den neuen Begriffen lesen.

21: 7 = 3 (Dividende ist 21, Divisor ist 7, Quotient ist 3).

Dieselbe Gleichheit kann auch anders geschrieben werden. Der Quotient aus 21 und 7 ist 3.

Lassen Sie uns den Quotienten anhand von Bildern ermitteln.

Finde heraus, wie oft 3 in der Zahl 9 vorkommt.

Lassen Sie uns die Zahl 9 der Einfachheit halber in Form eines Bildes darstellen. (Abb. 2)

Reis. 2. Nummer 9

Wie oft sind 3 Erdbeeren in der Zahl 9 enthalten. Teilen Sie die Erdbeeren durch 3. (Abb. 3).

Reis. 3. Teilen Sie die Erdbeeren durch 3

Wir sehen, dass die Zahl 9 mal 3 3 Mal enthält. Lassen Sie uns dies als Ausdruck schreiben.

Lesen Sie unsere Gleichung.

9 geteilt durch 3 ergibt 3; Dividende - 9, Divisor - 3, Quotient - 3; der Quotient aus 9 und 3 ist 3.

Lassen Sie uns herausfinden, wie oft 4 in der Zahl 8 enthalten ist. Um es bequemer zu machen, werden wir die Zahl 8 in Form eines Bildes darstellen. (Abb. 4).

Reis. 4. Nummer 8

Wie oft ist 4 in 8?

Teilen Sie die Zahl 8 in 4er-Gruppen auf. (Abb. 5)

Reis. 5. Teilen Sie die Zahl 8 in 4er-Gruppen

Schreiben wir mit Hilfe des Ausdrucks auf, was wir getan haben.

Lesen wir unsere Gleichheit.

Dividende - 8, Divisor - 4, Quotient - 2; der Quotient aus 8 und 4 ist 2.

Lassen Sie uns üben, Gleichheit mit den neuen Begriffen zu schreiben.

Quotient 10 und 2 ist gleich 5.

Wir erinnern uns, dass der Quotient das Ergebnis der Division ist. Also schreiben wir die Gleichung wie folgt:

Der Dividende ist 12, der Divisor ist 2, der Quotient ist 6.

Der Dividende, der Divisor und der Quotient sind die Komponenten der Division. Die Gleichung sieht also so aus:

Versuchen Sie nun, Ihre eigenen Gleichungen zu schreiben:

Quotient 15 und 3 ist gleich 5.

Der Dividende ist 20, der Divisor ist 5 und der Quotient ist 4.

Richtige Antwort:

In dieser Lektion haben wir die Namen der Divisionskomponenten und das Ergebnis der Division gelernt. Wir haben auch gelernt, Gleichheiten auf unterschiedliche Weise zu zählen.

Referenzliste

1. Alexandrova E.I. Mathematik. Note 2 - M.: Trappe, 2004.
2. Bashmakov M.I., Nefyodova M.G. Mathematik. Note 2 - M.: Astrel, 2006.
3. Dorofeev G. V., Mirakova T. I. Mathematik. Note 2 -M.: Bildung, 2012.

1. Festival.1september.ru ().
2. Nsportal.ru ().
3. Irina-se.com ().

Hausaufgaben

Verfassen Sie Ausdrücke und finden Sie ihre Ergebnisse:

a) Dividende - 24, Divisor - 6 b) Dividende - 10, Divisor - 2 in) Dividende - 18, Divisor - 6.

Ausdrücke lösen:

a) 14:7 b) 28:4 c) 30:6

Ergänzen Sie die Gleichungen mit den fehlenden Zahlen:

a) 16: * = 4 b) 21: 3 = * c) 25: * = 5

Aufteilung- Dies ist die zur Multiplikation umgekehrte arithmetische Operation, durch die bekannt ist, wie oft eine Zahl in einer anderen enthalten ist.

Die Zahl, die geteilt wird, wird gerufen teilbar, die Zahl, durch die sie geteilt wird, heißt Teiler, wird das Ergebnis der Division aufgerufen Privat.

So wie die Multiplikation die wiederholte Addition ersetzt, ersetzt die Division die wiederholte Subtraktion. Zum Beispiel die Zahl 10 geteilt durch 2 bedeutet herauszufinden, wie oft die Zahl 2 in 10 enthalten ist:

10 - 2 - 2 - 2 - 2 - 2 = 0

Indem wir die Operation des Subtrahierens von 2 von 10 wiederholen, finden wir, dass 2 fünfmal in 10 enthalten ist. Dies kann leicht überprüft werden, indem man 2 fünfmal addiert oder 2 mit 5 multipliziert:

10 = 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 2 5

Um die Division zu schreiben, wird ein Zeichen verwendet: (Doppelpunkt), ÷ (Obelus) oder / (Schrägstrich). Es wird zwischen dem Dividenden und dem Divisor platziert, wobei der Dividende links vom Divisionszeichen steht und der Divisor rechts. Zum Beispiel bedeutet die Eingabe 10: 5, dass die Zahl 10 durch die Zahl 5 teilbar ist. Setzen Sie rechts neben dem Divisionseintrag das Zeichen = (gleich), danach wird das Ergebnis der Division aufgezeichnet. Somit sieht der vollständige Teilungsdatensatz folgendermaßen aus:

Dieser Eintrag lautet wie folgt: Der Quotient von zehn und fünf ist gleich zwei, oder zehn dividiert durch fünf ist gleich zwei.

Die Division kann auch als eine Aktion betrachtet werden, bei der eine Zahl in so viele gleiche Teile geteilt wird, wie es Einheiten in einer anderen Zahl gibt (durch die sie geteilt wird). Dieser legt fest, wie viele Einheiten in jedem einzelnen Teil enthalten sind.

Zum Beispiel haben wir 10 Äpfel, wenn wir 10 durch 2 teilen, erhalten wir zwei gleiche Teile, von denen jeder 5 Äpfel enthält:

Teilungsprüfung

Um die Division zu überprüfen, kannst du den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren (oder umgekehrt). Wenn das Ergebnis der Multiplikation eine Zahl gleich dem Dividenden ist, dann ist die Division richtig.

Betrachten Sie den Ausdruck:

wobei 12 der Dividende, 4 der Divisor und 3 der Quotient ist. Überprüfen wir nun die Division, indem wir den Quotienten mit dem Divisor multiplizieren:

oder Divisor durch Quotient:

Division kann auch durch Division geprüft werden, dazu ist es notwendig, den Dividenden durch den Quotienten zu teilen. Wenn das Ergebnis der Division eine Zahl gleich dem Divisor ist, dann ist die Division richtig:

Das Haupteigentum von privat

Privat hat einen wichtige Eigenschaft:

Der Quotient ändert sich nicht, wenn der Dividend und der Divisor mit derselben natürlichen Zahl multipliziert oder dividiert werden.

Zum Beispiel,

32: 4 = 8, (32 3) : (4 3) = 96: 12 = 8 32: 4 = 8, (32: 2) : (4: 2) = 16: 2 = 8

Division einer Zahl durch sich selbst und eins

Für jede natürliche Zahl a Gleichheiten sind richtig:

a : 1 = a
a : a = 1

Nummer 0 in der Division

Die Division von Null durch eine beliebige natürliche Zahl ergibt Null:

0: a = 0

Du kannst nicht durch Null teilen.

Mal sehen, warum wir nicht durch Null teilen können. Wenn der Dividende nicht Null ist, sondern irgendeine andere Zahl, zum Beispiel 4, dann würde eine Division durch Null bedeuten, eine Zahl zu finden, die nach Multiplikation mit Null die Zahl 4 ergibt. Aber eine solche Zahl gibt es nicht, weil jede Zahl nach Multiplikation mit Null ergibt sich wieder Null.

Wenn der Dividenden auch gleich Null ist, dann ist eine Division möglich, aber jede Zahl kann als Privatzahl dienen, denn in diesem Fall ergibt jede Zahl nach Multiplikation mit dem Divisor (0) den Dividenden (also wieder 0) . Somit führt eine Teilung, obwohl möglich, nicht zu einem eindeutigen Ergebnis.

Division (Mathematik)

Aufteilung(Divisionsoperation) - eine der vier einfachsten Rechenoperationen, die Umkehrung der Multiplikation. Die Division ist eine solche Operation, bei der eine Zahl (Quotient) erhalten wird, die, wenn sie mit einem Divisor multipliziert wird, den Dividenden ergibt. Es gibt mehrere Symbole, die verwendet werden, um den Divisionsoperator darzustellen.

Betrachten Sie zum Beispiel diese Frage:

Wie oft ist 3 in 14?

Indem wir die Operation des Subtrahierens von 3 von 14 wiederholen, finden wir, dass 3 viermal in 14 „eingeht“ und immer noch die Zahl 2 „bleibt“.

In diesem Fall wird die Nummer 14 angerufen teilbar, Nummer 3 - Teiler, Nummer 4 - (unvollständig) privat und Nummer 2 - Rest (von der Division).

Das Ergebnis der Division wird auch genannt Attitüde.

Division natürlicher Zahlen

Normalerweise werden dem Rest folgende Einschränkungen auferlegt (damit er richtig, dh eindeutig definiert ist):

, ,

wo ist der Dividende, ist der Divisor, ist der Quotient und ist der Rest.

Division ganzer Zahlen

Die Division beliebiger ganzer Zahlen unterscheidet sich nicht wesentlich von der Division natürliche Zahlen- Es reicht aus, ihre Module zu teilen und die Zeichenregel zu berücksichtigen.

Die Division ganzer Zahlen mit Rest ist jedoch nicht eindeutig definiert. In einem Fall (sowie ohne Rest) werden die Module zuerst betrachtet und dadurch erhält der Rest das gleiche Vorzeichen wie der Divisor oder Dividende (z. B. mit Rest (-1)); in einem anderen Fall wird der Restbegriff direkt verallgemeinert und die Restriktionen den natürlichen Zahlen entlehnt:

.

Division rationaler Zahlen

Der Unterschied liegt darin, dass bei der Division von Polynomen das Hauptaugenmerk auf den Graden des Dividenden und des Divisors liegt und nicht auf den Koeffizienten. Daher wird üblicherweise davon ausgegangen, dass Quotient und Divisor (und damit der Rest) bis auf einen konstanten Faktor definiert sind.

Durch Null teilen

Nach den Regeln der Standardarithmetik ist die Division durch 0 verboten.

Eine andere Sache ist die Division durch eine unendlich kleine Funktion oder Folge. Die Teilung endlicher Funktionen in Infinitesimale führt zum Auftreten von Infinitesimalen, und das Verhältnis von zwei Infinitesimalen wird aufgerufen Unsicherheit 0/0, die transformiert werden kann (siehe Offenlegung von Unsicherheiten), um ein bestimmtes Ergebnis zu erhalten.

Wie aus der Definition der Divisionsoperation hervorgeht, kann das Ergebnis der Operation 0:0 eine beliebige reelle Zahl sein, also der Wert der Operation 0:0 unbegrenzt und das Problem der Division von Null durch Null hat unendlich viele Lösungen. . Das passt nicht zusammen Standarddefinition binäre Operation, wonach das Ergebnis einer Operation mit zwei Zahlen nur ein einziger Wert sein kann.

Die Operation, eine Zahl ungleich Null durch Null zu dividieren, entspricht keiner reellen Zahl.

Das Ergebnis dieser Operation wird als unendlich groß und gleich unendlich betrachtet:
, wo
Die Bedeutung dieses Ausdrucks ist, dass, wenn sich der Divisor Null nähert, der Dividende gleich bleibt a oder nähert sich ihm, dann steigt der Quotient unendlich (modulo).

Da Unendlich keine reelle Zahl ist, liegt eine solche Operation außerhalb der Grenzen der Algebra reale Nummern, wenn die darin enthaltene Binäroperation als definiert ist. .

siehe auch

Anmerkungen

Wikimedia-Stiftung. 2010 .

Sehen Sie, was "Division (Mathematik)" in anderen Wörterbüchern ist:

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Wiktionary hat einen Artikel über Kernspaltung Zellteilung Teilung (Mathematik) mathematische Operation. Division mit Rest ... Wikipedia

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I. Definition des Faches Mathematik, Verbindung mit anderen Naturwissenschaften und Technik. Mathematik (griech. mathematike, von máthema wissen, Wissenschaft), die Wissenschaft von quantitative Beziehungen und Raumformen der realen Welt. "Rein... Große sowjetische Enzyklopädie

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