Dreifacher Salto Meer Yachten Der Ballast ist niedrig platziert, was ein starkes Krängen und im Allgemeinen ein Kentern verhindert. Es kommt jedoch vor, dass die Yacht immer noch Purzelbäume fliegt, wie ein ballastloser Iol, und dies geschieht nur hier - im großen Südlichen Ozean. Ich weiss

Unter den Aufgaben in zwei Aktionen gibt es eine Gruppe von Aufgaben, die gelöst werden Einheit. Bei der Lösung solcher Probleme sollten Kinder praktisch die Eigenschaften von Größen lernen, die in direktem Verhältnis stehen.

Nehmen wir zum Beispiel das Problem: Ein Dampfschiff hat in 2 Stunden 40 km zurückgelegt. Wie viele Kilometer legt das Schiff in 4 Stunden bei gleicher Geschwindigkeit zurück? Bei diesem Problem sind zwei Zeitwerte und ein Distanzwert bekannt, der dem ersten Zeitwert entspricht; Es ist bekannt, dass sich die Bewegungsgeschwindigkeit nicht ändert, es ist erforderlich, einen anderen Wert für die Entfernung zu finden.

Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten zur Lösung dieses Problems, indem wir die Lösung links und ihre Begründung rechts notieren.

Ich Lösungsmethode - eine Methode der direkten Reduktion auf Einheit

mündliche Lösung

2 Stunden - 40 km
1 Stunde – 20 km
4 Stunden - 80 km

Schriftliche Entscheidung

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Der Zahlenwert der Zeit, von dem zwei Werte bekannt sind, wird auf eins reduziert.

Bei konstante Geschwindigkeit Wenn die Zeit um das 2-fache verkürzt wird, verringert sich die Entfernung um das 2-fache, wenn sie dann um das 4-fache erhöht wird, erhöht sich die Entfernung um das 4-fache.

Die zweite Lösungsmethode ist die Methode der inversen Reduktion auf Eins.

mündliche Lösung

40 km - 2 Stunden = 120 Minuten.
1 km - 3 min.
4 Stunden (240 Min.) – 80 km

Schriftliche Entscheidung

1) 120min. : 40 = 3 Min.
2) 240min. : 3 Minuten. = 80 (km)

Der numerische Wert des Abstands wird auf eins reduziert, von dem ein Wert bekannt und der andere unbekannt ist.

Bei konstanter Geschwindigkeit dauert es 40-mal weniger Zeit, 1 km des Weges zurückzulegen als 40 km des Weges, dh 3 Minuten, und in 4 Stunden (240 Minuten) legt der Dampfer so viele Male zurück wie viele Kilometer als 240 Minuten. mehr als 3 min.

Der dritte Lösungsweg ist der Weg, die Beziehung zu finden.

Eine kurze Aufzeichnung der Aufgabenbedingung:

2 Stunden - 40 km
4 Stunden - x

1) 4 Stunden: 2 Stunden = 2
2) 40 km x 2 = 80 km

Bei konstanter Bewegungsgeschwindigkeit, wie oft die Zeit zunimmt, erhöht sich die zurückgelegte Strecke um den gleichen Betrag

IV Lösungsmethode - die Methode des Findens numerischer Wert konstanter Wert.

Kurze Angabe der Aufgabenstellung

2 Stunden - 40 km
4 Stunden -?

1) 40 km: 2 = 20 km
2) 20 km x 4 = 80 km

Bei der Lösung dieses Problems stimmt Methode IV mit Methode I überein.

Um die in 4 Stunden zurückgelegte Strecke zu ermitteln, müssen Sie die Geschwindigkeit, die sich ergibt, indem Sie die Strecke durch den entsprechenden Zeitwert dividieren, mit dem neuen Zeitwert multiplizieren.

Wenden wir die Methode zum Ermitteln des numerischen Werts eines konstanten Werts auf ein anderes Problem an:

Das Schiff legte 40 km mit einer Geschwindigkeit von 20 km/h zurück. Wie viele Kilometer legt das Schiff in derselben Zeit bei einer Geschwindigkeit von 30 km/h zurück?

Lösung. Entsprechend der Bedingung dieses Problems ist die Zeit ein konstanter Wert.

1) Wie viele Stunden brauchte das Schiff für 40 km?

40 km: 20 km = 2 (Stunden)

2) Wie viele Kilometer legt der Dampfer in 2 Stunden mit der neuen Geschwindigkeit zurück?

30 km x 2 – 60 km

Antwort: 60 km.

Bei der Lösung dieses Problems unterscheidet sich die Methode zum Ermitteln des numerischen Werts einer Konstanten von der Methode der direkten Reduktion auf Eins. Dies geht aus einem Vergleich des obigen Verfahrens mit dem Verfahren hervor direkte Reduktion auf Einheit.

Die Möglichkeit, die eine oder andere Methode zur Lösung von Problemen auf eine einfache Tripelregel im Rahmen von Operationen mit ganzen Zahlen anzuwenden, hängt von den Eigenschaften numerischer Daten ab. So kann beispielsweise die Methode zur Verhältnisfindung nur dann angewendet werden, wenn die Zahlen zwei ausdrücken unterschiedliche Bedeutungen von gleicher Größe sind Vielfache voneinander.

Methode der Rückreduktion auf Einheit Es ist bequem zu verwenden, wenn Probleme gelöst werden, bei denen es erforderlich ist, einen unbekannten Wert für Menge oder Zeit zu finden. Daher werden in Rechenbüchern für Grundschulklassen Aufgaben für eine einfache Tripelregel in Gruppen nach den Methoden zu ihrer Lösung ausgewählt. Gleichzeitig werden gemäß dem aktuellen Programm Probleme, die durch Methoden der direkten und inversen Reduktion auf Eins gelöst werden, der Klasse II zugeordnet, und Probleme, die durch die Methode der Verhältnisfindung gelöst werden, der Klasse IV zugeordnet.

Es besteht Grund zu der Annahme, dass die einfacheren Aufgaben, die mit der Methode der Verhältnisfindung gelöst werden, in die Klasse II eingeführt werden können, in der die Schüler bereits lösen einfache Aufgaben zum Mehrfachvergleich. Durch die Methode, den Zahlenwert eines konstanten Wertes zu finden, werden keine Probleme in bestehenden Rechenbüchern gelöst, und es ist sinnvoll, sie bereits in der Klasse II zur Lösung anzubieten.

Bei der Vermittlung der Lösung dieser Aufgaben sollte man sich auf die zuvor erworbene Fähigkeit der Schüler verlassen, einfache Aufgaben der Multiplikation und Division zu lösen, bei denen es beispielsweise darum geht, den Wert einer der drei zueinander in Beziehung stehenden Größen zu ermitteln , finden Sie die Kosten nach Preis und Menge der Artikel, Menge nach Preis und Wert, Preis in Bezug auf Kosten und Menge.

Als Grundlage dient den Kindern eine gute Kenntnis der Zusammenhänge von Größen, auf deren Grundlage sie die Problemlösung nach der Methode der Reduktion auf Einheit beherrschen.

Um den Schülern zu erklären, wie man eine Beziehung findet, können Sie verwenden visuelle Hilfen(Abb. 22). Lassen Sie es notwendig sein, das Problem zu lösen: 2 Umschläge mit Briefmarken kosten 9 Kopeken. Wie viel kosten 6 dieser Umschläge?

Das Betrachten des Bildes dieser paarweise gruppierten Umschläge hilft den Schülern zu verstehen, dass eine Erhöhung der Anzahl der Umschläge um ein Vielfaches eine Wertsteigerung um den gleichen Betrag nach sich zieht.

Reis. 22

Die Schüler stellen die Frage: Wie oft sind 6 Umschläge mehr als 2 Umschläge? - Sie finden die Antwort, die dreimal so hoch ist, und ermitteln die Kosten von 6 Umschlägen, multipliziert mit 9 Kopeken. auf 3.

Gemeinsame Betrachtung von Aufgaben u selbstständige Arbeit Kinder direkte Aufgaben in umgekehrte umzuwandeln, tragen zu einem besseren Verständnis ihrer Lösung bei.

Zum Beispiel kostet die Aufgabe von 3 Tassen 6 Rubel. Wie viel kosten 5 dieser Tassen? durch Ersetzen der gesuchten Zahl durch die gefundene Zahl und einer der Daten durch die gewünschte Zahl, kann in die folgenden inversen Probleme umgewandelt werden:

1. 5 Tassen kosten 10 Rubel. Wie viel kosten 3 dieser Tassen?
2. 3 Tassen kosten 6 Rubel. Wie viele dieser Tassen können Sie für 10 Rubel kaufen?
3. 5 Tassen kosten 10 Rubel. Wie viele dieser Tassen können Sie für 6 Rubel kaufen?

Die Lösung des ursprünglichen Problems und des ersten der transformierten wird durchgeführt Methode der direkten Reduktion auf Eins, die Lösung der zweiten und dritten - zurück zur Einheit.

Teil drei

BEZIEHUNGEN UND PROPORTIONEN.

AUFGABEN LÖSEN MIT HILFE VON PROPORTIONEN UND
DURCH DIE METHODE DER REDUZIERUNG AUF EINS.

ABSCHNITT VIII..

§ 50. Komplizierte Dreierregel.

2661. 45 Maurer erhielten 216 Rubel für sechs Arbeitstage; Wie viel sollten 30 Maurer 8 Tage lang arbeiten?

2662. 5 Pumpen pumpten innerhalb von 3 Stunden 1800 Eimer Wasser ab. Wie viel Wasser wird von 4 ähnlichen Pumpen in 4 Stunden abgepumpt?

2663. 25 Arbeiter gruben in 12 Tagen einen 36 Faden langen Kanal. Welche Kanallänge könnte von 15 ähnlichen Arbeitern in 10 Tagen gegraben werden?

2664. Ein Kapital von 100 Rubel in 12 Monaten bringt 6 Rubel Gewinn. Wie viel Gewinn bringt das Kapital von 8600 Rubel in 4 Monaten?

2665. Von einem rechteckigen Feld, 40 Sazhen lang und 30 Sazhen breit, wurden 6 Viertel und 2 Viertel Hafer geerntet. Wie viel Hafer wurde auf einem anderen Feld geerntet, das 96 Faden lang und 50 Faden breit ist, wenn die Aussaat- und Erntebedingungen für beide Felder gleich waren?

2666. Für 15 Paar Kleider wurden 45 Arshins Stoff mit einer Breite von 1 Arshin verwendet. 14 Zoll. Welche Breite hatte das andere Tuch, wenn es 60 Arshins für 10 gleiche Kleiderpaare kostete?

2667 .18 Arbeiter, die 7 Stunden am Tag arbeiteten, erledigten einige Arbeiten in 30 Tagen und erhielten dafür 201 Rubel. 60 Kop. 14 Mitarbeiter, die täglich 4 Stunden arbeiteten, erhielten 67,2 Rubel für die Verrichtung anderer Arbeiten. Unter der Annahme, dass der Stundenlohn für den Arbeiter beider Parteien gleich war, bestimmen Sie, wie viele Tage die zweite Arbeiterpartei gearbeitet hat.

2668. Für den Transport von 420 Pud Gütern auf der Schiene über eine Entfernung von 24 Werst wurden 2 Rubel bezahlt. 52 Kopeken. Nach dieser Berechnung hätten für den Transport von 50 Pfund Waren entlang der Nikolaev-Eisenbahn von St. Petersburg nach Moskau 7 Rubel gezahlt werden müssen. 61 1/4 Kop. Berechne die Länge dieser Straße.

2669. 155 Personenbillette 2. Klasse, mit der Bahn von Paris nach Rouen, kosten 1488 Franken. Wenn Sie wissen, dass der Preis von 10 Fahrkarten zweiter Klasse für eine Strecke von 4 Kilometern 3 Franken entspricht und dass 16 Kilometer 15 Werst sind, drücken Sie die Länge der Eisenbahnstrecke zwischen Paris und Rouen in Werst aus.

2670. Wenn sich das Rad einer Maschine, die Eisendraht herstellt, mit 60 Umdrehungen pro Minute dreht, dann produziert diese Maschine 240 Arsh. Draht für 3 Stunden 20 Minuten. Wie lange wird sie brauchen, um 33 1/8 Faden Draht herzustellen, wenn das Rad 41 2/3 Umdrehungen pro Minute macht?

2671. Von einem rechteckigen Feld, das 125 Saschen lang und 0,08 Werst breit ist, wurden 12 1/2 Weizen geerntet; somit ergab die Berechnung eine Ausbeute von selbst sechs. Von einem anderen rechteckigen Feld, dessen Länge 0,3 (9) Werst beträgt, wurden 8 1/3 Weizenviertel geerntet, was einer Ernte von fünf entsprach. Unter der Annahme, dass die Aussaatbedingungen beider Felder gleich waren, bestimmen Sie die Breite des zweiten Feldes.

2672. Die Steinplatte, 5,3 Fuß lang, 0,8 Fuß breit und 2 5/8 Zoll dick, wiegt 4,2 Pfund. Eine andere Platte aus demselben Stein wie die erste wiegt 7 Pud 35 Pfund und ist 15 Zoll breit und 2 Zoll dick. Wie lang ist die zweite Platte?

2673 . Ein Eisenstreifen, 2 Arshin lang, 1 1/2 Zoll breit und 2/3 Zoll dick, wiegt 0,4375 Pfund. Wie viel wiegt ein Eisenstreifen, der 2 Fuß lang, 1 3/7 Zoll breit und 0,16666 ... Fuß dick ist?

2674. 36 Arbeiter, die täglich 12 Stunden und 30 Minuten arbeiteten, bauten in 30 Tagen ein Holzhaus. Wie viele Stunden am Tag müssen 27 Arbeiter arbeiten, um das gleiche Haus in 50 Tagen zu bauen?

2675. Die Länge des Korridors beträgt 6 Sazhens. 2 arsch. 9 1/7 Zoll, Breite 1,4 (9) Sazhens. und Höhe 5, (3) Yards (Yard-englisches Längenmaß). Die im Korridor enthaltene atmosphärische Luft wiegt 17 Pfund. 34 Pfund. Die Luft, die den Raum neben dem Korridor füllt, wiegt 11,9 Pfund. Wenn Sie wissen, dass 0,58 (3) Yards = 0,75 Ar sind und dass die Höhe des Raums 5 5/7 Ar beträgt und seine Breite 0,945 der Höhe beträgt, berechnen Sie die Länge dieses Raums.

2676. Für die Beleuchtung der Treppe des Hauses mit 6 Gasdüsen, die 40 Abende lang jeden Abend 6 Stunden und 12 Minuten lang brannten, wurden 22 Rubel an die Gasgesellschaft gezahlt. 32 Kopeken. Auf einer anderen Treppe brannten 60 Abende lang 5 ähnliche Hörner, für die 27 Rubel bezahlt wurden. Wie viele Stunden brannte das Gas jeden Abend im zweiten Treppenhaus?

2677 . Für 4 Lampen, die jeden Abend 7 1/2 Stunden lang brannten, wurden an 30 Abenden 2,25 Pud Kerosin verbraucht. An wie vielen Abenden werden 1,8 Pud Kerosin verbraucht, wenn 5 solcher Lampen jeden Abend 4 Stunden und 30 Minuten lang brennen?

2678 . 32 Maurer, die täglich 8 1/2 Stunden arbeiteten, errichteten in 42 Tagen eine Ziegelmauer, die 10 Sazhen lang, 7 1/2 Zoll dick und 1 Sazhen 3,5 Fuß hoch war. In wie vielen Tagen werden 40 Maurer mit der gleichen Stärke wie der erste, die täglich 6,8 Stunden arbeiten, eine Ziegelmauer errichten, die 15 Sazhen lang, 0,9375 Arshin dick und 2 1/2 Arshin hoch ist?

2679. Länge Poststraße zwischen Vitebsk und Orel sind es 483 Werst; Ein Reisender legte diese Strecke in 7 Tagen zurück, war jeden Tag 10 Stunden in der Stadt und legte die gleiche Anzahl von Meilen pro Stunde zurück. Ein anderer Reisender verließ Vitebsk nach Mogilev und machte sich, nachdem er jeden Tag 12 Stunden unterwegs war, in 4 Tagen auf den Weg. Wie viele Werst von Witsbsk nach Mahiljow, wenn bekannt ist, dass der zweite Reisende 10 Werst zur gleichen Zeit zurückgelegt hat wie der erste Reisende 23 Werst?

2680. Ziegel (Klinker), 0,375 Arshin lang, 3 Zoll breit und 1 1/2 Zoll dick, wiegt 10 Pfund 38,4 Spulen. Wie viel wiegt ein quadratisches Stück Marmor, das 8,75 Zoll lang, 2 1/4 Zoll breit und 2 Zoll dick ist, und Marmor ist bekanntlich 1 1/2 mal schwerer als Ziegel?

2681. 25 Weber, die 8 1/3 Stunden am Tag arbeiteten, webten in 32 Tagen 120 Arsen Leinen, 1 Arshin breit. 5 1/3 Zoll. In wie vielen Tagen werden 40 Weber, die täglich 4 Stunden und 10 Minuten arbeiten, 320 Arsen Leinen mit einer Breite von 0,75 Arsen weben?

2682. Das Kapital von 1200 Rubel in 8 Monaten brachte 40 Rubel Gewinn; wann 100 reiben. wird 5 Rubel bringen. angekommen?

2683. Ein Kapital von 30.000 Rubel in 7 1/2 Monaten brachte 1.125 Rubel Gewinn. Wie viel Gewinn bringen je 100 Rubel dieses Kapitals innerhalb eines Jahres?

2684. Das Kapital von 24.400 Rubel für 10 Monate brachte 1.525 Rubel Gewinn. Was für Kapital muss man haben, damit es unter den gleichen Bedingungen wie das erste im Umlauf ist und innerhalb von 2 1/2 Monaten 1.250 Rubel Gewinn macht?

2685. 54 Bagger, die 10 Stunden am Tag arbeiteten, schufen in 33 Tagen einen Hügel, 124 Faden lang, 1 Faden breit, 2 1/2 Arshins und 6 3/4 Fuß hoch. Wie viele Bagger müssen angeheuert werden, damit sie bei täglicher Arbeit von 7 1 / 2 Stunden in 30 Tagen eine 0,31 Werst lange Böschung von 7 1 / 3 Arsh Sprin schaffen. und einer Höhe von 3 6/7 Arshins?

2686. 48 Bagger, die täglich 9 Stunden und 20 Minuten arbeiteten, schufen in 55 Tagen einen Erdwall, 40 1/3 Klafter lang, 4 1/2 Arshin breit und 7 Arshin hoch. Welche Höhe schaffen 40 Bagger in 64 Tagen bei einer täglichen Arbeit von 6 Stunden und 45 Minuten, wenn der Schacht 44 Faden lang und 1 Faden breit ist?

2687 . 14 Saschen Kiefernholz wurden für die Beheizung der Wohnung mit 6 Öfen für 2 Monate und 10 Tage ausgegeben. Wie lange brauchen 10 Saschen Birkenholz, um eine Wohnung mit 8 Öfen zu heizen, wenn die von jedem Ofen abgegebene Wärmemenge die gleiche sein soll wie in der ersten Wohnung, und wenn 9 Saschen Kiefernholz so viel Wärme abgeben wie 7 1/2 Klafter Birke?

2688. Auf einem rechteckigen Feld mit einer Länge von 2 Werst und einer Breite von 1 1/2 Werst wurde mit einer Ernte von Sam-27 so viel Zuckerrübe geerntet, dass in der Fabrik 937 1/2 Pud Zucker daraus gewonnen wurden . Auf einem anderen Feld mit einer Breite von 400 Sazhen und einer Ernte von 18 Sam wurden Zuckerrüben geerntet, aus denen 250 Pfund Zucker gewonnen wurden. Unter der Annahme, dass die Aussaatbedingungen und die Qualität der Rüben für beide Felder gleich waren, ermitteln Sie die Länge des zweiten Feldes.

2689. 4 Schreiber, die täglich 7 1/2 Stunden arbeiteten, kopierten in 15 Tagen 225 Blätter mit durchschnittlich 32 Zeilen auf jeder Seite. Wie viele Schreiber müssen eingestellt werden, damit sie bei einer täglichen Arbeitszeit von 5 Stunden und 20 Minuten in 9 Tagen 64 Blätter abschreiben und dabei durchschnittlich 36 Zeilen auf jede Seite setzen können?

2690. 3 Rohre im Laufe von 4 1/2 Stunden füllten den Vorratsbehälter, 1 Ruß lang. 2 Arshins, 1,5 Arshins breit und 3 2/3 Fuß tief. Bis zu welcher Tiefe füllen 4 Rohre ein anderes Reservoir innerhalb von 5,4 Stunden, wenn die Länge dieses Reservoirs 1 Ruß beträgt. 2 5/8 Fuß, 1,2 Ar breit, und wenn jedes der ersten Rohre gleichzeitig 16 Eimer Wasser ergießt, in welches der letzten Rohre ergießt sich 9 Eimer?

2691 . 22 Weber, die 10 Stunden am Tag arbeiteten, stellten in 30 Tagen 120 Leinenstücke her. Wie viele solcher Weber müssen angestellt werden, damit sie bei 7 1/2 Stunden täglicher Arbeit in 40 Tagen 300 Stück Leinen herstellen können, und die Länge jedes dieser Stücke sollte 1 1/10 mal so lang sein wie die Länge der zuerst, und die Breite sollte 0,8 (3) die Breite des ersten sein?

2692. Für die Ernährung einer bestimmten Anzahl von Soldaten erhält man einen Getreidevorrat für 60 Tage, wenn jedem Soldaten täglich 2 1/2 Pfund gegeben werden. Wie viele Tage reichen 3/4 dieses Vorrats, wenn die Zahl der Soldaten um 3/8 der vorherigen Zahl reduziert und die Tagesration jedes einzelnen um 1,25 Pfund erhöht wird?

2693. Fünfzehn Arbeiter und 12 Arbeiter, die täglich 10 Stunden und 30 Minuten arbeiteten, entfernten in 12 Tagen Brot vom Feld. Wie viele Tage werden 21 Arbeiter und 8 Arbeiter, die 8,4 Stunden am Tag arbeiten, Brot vom Feld entfernen, dessen Länge sich auf die Länge des ersten bezieht, wie 0,3: 1 / 5, und dessen Breite sich auf die Breite bezieht der ersten als 0,51: 0,5(6) - wenn bekannt ist, dass die Stärke eines Mannes mit der Stärke einer Frau zusammenhängt, wie 0,2(6) : 0,1(9)?

2694. Um das Wasser aus dem Pool abzupumpen, wurden 3 große und 5 kleine Pumpen geliefert, die zusammen das gesamte Wasser in 6 Stunden abpumpen konnten. Nach 2 1/2 Stunden ihrer kombinierten Wirkung verschlechterten sich zwei große Pumpen und wurden sofort durch 5 kleine ersetzt. In dem Wissen, dass die Stärke jeder kleinen Pumpe mit der Stärke jeder großen Pumpe zusammenhängt, wie 2 1 / 2: 4 1 / 6 bestimmen, wie viele Stunden es gedauert hat, Wasser aus dem Pool zu pumpen.

2695. 4215 Ziegel wurden verwendet, um die Mauer des Hauses zu bauen, von denen jeder 10 1/2 Zoll lang und 5,25 Zoll breit war. und 2 5/8 Zoll dick. Um eine weitere Mauer zu bauen, wurden Ziegel verwendet, von denen jeder 5 1/2 Zoll lang, 3 1/3 Zoll breit und 1 1/4 Zoll dick war. Wie viele dieser Steine ​​​​werden zum Bau der zweiten Mauer verwendet, wenn ihre Länge 0,8 (3) die Länge der ersten beträgt, die Dicke das 1,1-fache der Dicke der ersten beträgt und die Höhe 0 beträgt. (5) die Höhe der ersten Wand?

2696. 25 Personen, die jeden Tag 5 Stunden arbeiteten, schafften es, 0,27 einer Arbeit in 15 Tagen zu erledigen. Wie viele Leute müssen noch eingestellt werden, damit sie zusammen mit den ersten 8 1 / 3 Stunden am Tag lernen und den Rest der gleichen Arbeit in 20 Tagen erledigen können?

Es gibt keinen Ausdruck, der stark genug wäre, mit dem die Bearbeiter der mittelalterlichen Arithmetik geizen würden, um die Tripelregel zu preisen. „Diese Linie ist dreifach lobenswert und die beste Linie aller anderen Linien.“ "Philosophen nennen es die goldene Linie." In deutschen Lehrbüchern wird er als einer bezeichnet, der „über allem lobt“, er ist der „Schlüssel der Kaufleute“. Ebenso war es bei den Franzosen unter dem Namen règle dorée - die goldene Regel - bekannt. Sie stand im Gegensatz zur gesamten Wissenschaft der Algebra.

Warum also wird eine Abteilung, die in unserer Zeit einen bescheideneren Platz einzunehmen pflegt, so übertrieben gelobt? Es ist sehr interessant, dies herauszufinden, und wir erlauben uns, ein wenig zurückzugehen und eine kurze Beschreibung der Ziele zu geben, die die Arithmetik seit der Antike verfolgt.

Jede Wissenschaft im Anfangsstadium ihrer Entwicklung ist durch praktische Bedürfnisse bedingt und strebt ihrerseits danach, diese zu befriedigen. Dann nimmt die Wissenschaft, je nach den Bedingungen, unter denen sie sich entwickelt, mal ganz schnell, mal langsamer eine theoretische Färbung an und wirkt pädagogisch auf die, die sie studieren, d.h. verbessert ihre geistigen Fähigkeiten: Verstand, Gefühl und Wille: Bei langsamem Wachstum bleibt die Wissenschaft lange Zeit der Führer der Fähigkeiten, vermittelt nur Fähigkeiten, verleiht einem Menschen mechanische Fähigkeiten und verleiht ihm die Eigenschaften der Mechanik. Beide Richtungen wurden rechnerisch getestet. Einerseits sahen die griechischen Gelehrten in der Arithmetik vor allem ein erzieherisches Element; Sie stellten ständig „Warum?“-Fragen. und „warum?“, immer auf der Suche nach Gründen und Schlussfolgerungen; Die Schüler der griechischen Schulen vertieften sich in das Wesen der Wissenschaft, dachten darüber nach, und daher wirkte das Studium auf lehrreiche und entwickelnde Weise auf sie ein. Andererseits betrachteten die Hindus die Arithmetik eher von der Seite der Kunst, sie mochten die Frage "warum?" nicht, aber ihre Hauptfrage war immer: "wie geht das?" Die Richtung der Hindus ging auf die Araber über und von dort auf das mittelalterliche Europa. Darin fand sie eine überaus herzliche Aufnahme, und der Boden dafür erwies sich als recht dankbar: Nach der großen Völkerwanderung und den unaufhörlich andauernden Kriegen war an die Entwicklung einer genauen, häufigen auch nicht zu denken , abstrakte Wissenschaft, und zu der Zeit, als es notwendig war, sich auf ihren angewandten Teil zu beschränken, reichte es aus, nur zu lehren, "wie man es tut" und nicht "warum man es tut". Und so blieb die praktische Färbung lange, fast bis auf den heutigen Tag hinter der Arithmetik zurück, gleichzeitig war ihr Studium eng mechanisch: ohne Schlussfolgerungen, Erklärungen, ohne Vertiefung in die Grundlagen; überall in den Lehrbüchern stand „tu dies“, „du musst das tun“, und der Student musste nur bestätigen und sich auf den Fall bewerben; unser Magnitsky hat auch eine Reihe charakteristischer Ausdrücke „sehen Sie das Meer“, „sehen Sie die Erfindung“; nehmen Sie an, dass er unter diesen Ausdrücken "denken und kommen" hat, aber wie genau zu denken ist, werden nur sehr wenige Hinweise gegeben. Entsprechend der praktischen Bedeutung der Arithmetik wurde in ihr alles besonders ausgezeichnet und geschätzt, was einen unmittelbaren Nutzen, Ertrag bringen konnte.

„Wer diese Weisheit kennt“, sagt die russische Arithmetik des 17. Jahrhunderts, „kann in großer Ehre und Gehalt beim Souverän sein; nach dieser weisheit handeln gäste in staaten und in allen möglichen waren und gewerben sie kennen stärke und in allen möglichen gewichten und maßen und in irdischer anlage und in der meeresströmung sind sie übel geschickt, und sie kennen das konto von jeder zahl der Liste.

Aber welcher Teil der Arithmetik kann praktischere, direkt anwendbare Fähigkeiten vermitteln als Problemlösung? Alle Bemühungen mittelalterlicher Autoren waren daher darauf gerichtet, möglichst viele Probleme und gleichzeitig verschiedenste Alltagsinhalte zu sammeln. Hier ging es um Kauf und Verkauf, um Wechsel und um Zinsen, um Vermischung, um Tausch; Die Vielfalt war schrecklich und es gab keine Möglichkeit, die ganze Masse der Probleme zu lösen. Um zumindest ein wenig zu gruppieren und ein gewisses System und Ordnung einzuführen, versuchte man, alle Aufgaben nach Abteilungen oder Typen zu verteilen. Diese Idee ist natürlich gut, aber sie wurde meist sehr erfolglos durchgeführt, und Aufgaben wurden nicht wie vorgesehen nach den Methoden ihrer Lösung verteilt, sondern nach ihrem Inhalt, also ihrem Aussehen ; Zum Beispiel gab es ein spezielles Problem mit Hunden, die einen Hasen jagen, mit Bäumen, mit Mädchen usw.

Die Lösung von Aufgaben mit inhaltlicher Einteilung brachte fast keinen Nutzen, weil es nicht im Geringsten zum besseren Verständnis der Lösung beitrug. Und nach Meinung antiker Autoren war es kaum notwendig zu verstehen.

„Das ist nichts“, pflegte der Mentor seine Schüler zu trösten, „dass ihr nichts versteht, ihr werdet auch noch nicht viel verstehen.“

Anstatt zu verstehen, wurde empfohlen, sich nicht hinreißen zu lassen, sondern alles, was gefragt wurde, auswendig zu lernen und dann zu versuchen, es auf den Fall, dh auf Beispiele, anzuwenden, und alle Kraft des Verständnisses konzentrierte sich nicht darauf, die Schlussfolgerung zu verstehen der Regel, aber auf einer bescheideneren, darauf, wie man die allgemeine Regel auf Beispiele anwendet.

Und so war die Dreierregel in vielerlei Hinsicht herausragend und verdient besondere Aufmerksamkeit. Erstens ist das Spektrum seiner Aufgaben ziemlich umfangreich, zweitens ist die Regel selbst recht einfach und klar formuliert und drittens war es relativ einfach, diese Regel anzuwenden. Für all diese Verdienste erhielt er den Namen "Gold", "Schlüssel der Kaufleute" usw.

Die Dreierregel hat ihren Ursprung bei den Hindus, wo ihre Aufgaben größtenteils durch Reduktion auf Einheit gelöst wurden. Der arabische Gelehrte Alkhvarizmi (9. Jahrhundert n. Chr.) schrieb es der Algebra zu. Leonardo Fibonacci, Italiener des 13. Jahrhunderts widmet nach R. X. der Tripelregel einen eigenen Abschnitt unter dem Titel: ad majorem guisam, wo Aufgaben zur Berechnung des Warenwertes gestellt werden. Beispiel: 100 Rotuli (pisanisches Gewicht) kosten 40 Lire, was kosten 5 Rotuli? Die Bedingung wurde so geschrieben:

Die vorgeschriebene Regel, um dieses Problem in der folgenden Reihenfolge zu lösen: das Produkt von 40 mal 5 dividiert durch 100.

Besondere Beachtung findet die Dreierregel seit dem 16. Jahrhundert, also seit der Zeit, als sich der europäische Handel und die Industrie dank bedeutender Erfindungen und der Entdeckung neuer Länder sofort nach vorne bewegten. Das hat uns aber nicht daran gehindert, dieses Kapitel zumindest aus unserer Sicht völlig unbefriedigend zu entwickeln. Zunächst einmal wurde die Regel rein äußerlich bestimmt: „Die Aufgabe besteht aus drei Zahlen und gibt sich eine vierte Zahl, so wie wenn man drei Ecken eines Hauses setzt, dann bestimmt diese die 4. Ecke; die zweite Zahl muss mit der 3. multipliziert werden, und was passiert, wird dann durch die 1. Zahl dividiert. Eine solche Definition musste unweigerlich zu Widersprüchen führen, und vor allem stellte sich die Frage: Was ist als erste Zahl zu betrachten, und können eventuelle Probleme mit drei gegebenen Zahlen durch die Tripelregel gelöst werden? Die Lehrbücher hielten es nicht für notwendig, dieses Missverständnis aufzuklären. Außerdem wurden Probleme nicht nur mit ganzen Zahlen, sondern auch mit Brüchen gelöst, und in anderer Arithmetik waren sie so inkonsistent angeordnet, dass Probleme mit Bruchzahlen zur Tripelregel wurden die Kapitel über Brüche früher platziert, weil die gesamte Tripelregel vor der Arithmetik der Bruchzahlen stand.

Nach der Tripelregel mit ganzen Zahlen und Brüchen, Sonderregel"Reduzieren", in dem erklärt wurde, wie es möglich ist, bestimmte Zahlen zu reduzieren, und dann ging die "reflexive" Regel bereits; es war eine sehr verwirrte Abteilung, zu der Fragen mit umgekehrtem Verhältnis gehörten, und die Autoren der Lehrbücher konnten in keiner Weise unterscheiden, welche Probleme zu dieser Gruppe gehörten; die Schüler mussten sich auf ihre eigenen Ahnungen verlassen und sich mit Einfallsreichtum begnügen. Im XV und XXII Jahrhundert. die Erklärung lautete wie folgt: „Kostet ein Maß Getreide 1½ Mark, so gibt man für 1 Mark zwei Pud Brot; wie viel Pud Brot gibt es pro Mark, wenn ein Maß Getreide 1¾ Mark kostet; mit der Tripelregel lösen, stellt sich heraus

aber der Verständige wird erkennen, dass, wenn das Getreide im Preis steigt, sie weniger Brot geben werden, nicht mehr, also muss die Frage umgedreht werden, es wird sein

Magnitsky (1703) interpretiert in einem ähnlichen Sinne

„Es gibt eine Rückgaberegel, wenn es im Auftrag erforderlich ist, die dritte Liste anstelle der ersten zu setzen: Es ist in zivilrechtlichen Fällen erforderlich, als würde man auf dem Hintern sprechen: Ein gewisser Herr hat einen Zimmermann gerufen und den Hof bestellt zu bauen, indem er ihm zwanzig Arbeiter gab: und fragte, wie viele Tage er dann seinen Hof bauen werde, antwortete er, in dreißig Tagen; aber der meister muss das ganze in 5 tagen bauen, und dafür hat er die zimmermannspakete gefragt, wie viele leute es wert sind, damit du in 5 tagen einen hof damit bauen kannst, und dieser zimmermann fragt dich ratlos rechnerisch: wie viele Leute er verdient, um ihm diesen Hof in 5 Tagen zu bauen, und wenn Sie anfangen, nach der Reihenfolge der Dreierregel einfach zu erstellen; dann irre dich wirklich; aber es ist nicht für Sie geeignet: 30-20-5, aber es in eine Sitzposition umwandeln: 5-20-30; 30X20=600; 600: 5=120".

Die Dreierregel wurde von der Fünf befolgt, gefolgt von der Sieben. Es ist leicht zu erraten, dass es sich hier um Sonderfälle einer komplexen Tripelregel handelt, nämlich dann, wenn nach 5 oder 7 Angaben, die proportional voneinander abhängig sind, die 6. oder 8., die entsprechende Zahl, gefunden wird, also: Die fünffache Regel erfordert 2 Proportionen und die siebte ist drei. Die Fünferregel wurde im 18. Jahrhundert wie folgt erklärt:

sie führen solche Berechnungen durch, die nicht nach einer anderen Regel durchgeführt werden können; 5 Zahlen sind darin angegeben, und die sechste gewünschte Zahl wird daraus gefunden; Zum Beispiel hat jemand hundert Rubel in Umlauf gebracht und sie haben ihm einen Gewinn von 7 Rubel eingebracht. Die Frage ist, wie viel Gewinn er mit 100 Rubel erhalten würde. seit 5 Jahren;

So gelöst: 100-1-7-1000-5, multipliziere die beiden linken Zahlen und multipliziere auch die 3 rechten Zahlen und dividiere das letzte Produkt durch das erste, die Antwort ist 350, so viele Rubel Gewinn ergeben 1000 Rubel. innerhalb von 5 Jahren.

Eine einfache und komplexe Dreifachregel wurde normalerweise im 16. bis 18. Jahrhundert verbreitet. in eine Masse kleiner Abteilungen, die je nach Inhalt der Aufgaben sehr verschlungene Namen trugen. Hier sind diese Namen nach Magnitsky: eine „dreifache Handelsregel“, dh die Berechnung der Kosten der gekauften Waren; b „Dreifachhandel über Käufe und Verkäufe“, - das gleiche wie das vorherige, aber nur komplizierter; c „dreifacher Handel mit marktfähigem Gemüse und mit einem Schild“, wenn Sie für Schalen und Hüllen im Allgemeinen einen Abzug machen müssen; d „auf Gewinn und Verlust“; e „Frageartikel in der Tripelregel“, darin inhaltlich sehr vielfältige Aufgaben, meist mit umgekehrtem Verhältnis; f „ein fragwürdiger Artikel mit Zeit“, wo es darum geht, Arbeitsdauer, Wege etc. zu berechnen.

Zu Beginn des 19. Jahrhunderts schlug Bazedov eine weitere Änderung der Dreierregel vor und wieder in die gleiche Richtung der mechanischen, unbewussten Gewohnheit. Dieser Deutschlehrer hat sich zum Ziel gesetzt, das Lösen von Problemen nach der Tripelregel noch weiter zu vereinfachen, indem er die Argumentation bei der Lösung weiter reduziert und durch das Schreiben einer vorgefertigten Formel ersetzt. Er rät, die angegebenen Zahlen in 2 Spalten anzuordnen: In der linken steht ein unbekannter Betrag und alle Zahlen, die in den Zählern der Formel enthalten sein sollen, und in der rechten - alle Faktoren, die den Nenner bilden. Beispiel: Für die Ernährung von 1200 Personen für 4 Monate werden 2400 Zentner Mehl benötigt; Wie viele Leute werden 4000 Zentner in 3 Monaten herausbringen? Wir schreiben 2 Spalten:

und erhalte die Antwortformel

Warum sind die Zahlen 1200, 4000 und 4 im Zähler und 2400 und 3 im Nenner enthalten? Dies kann mit folgender Regel beantwortet werden: Der Zähler enthält eine Zahl, die mit der gesuchten homogen ist, also in unserem Fall die Zahl 1200; außerdem enthält es auch alle jene Zahlen der zweiten Bedingung (4000 4), die direkt proportional zu der gewünschten sind; sind sie umgekehrt proportional, wie in unserem Beispiel 3, dann werden sie durch die entsprechenden Zahlen der 1. Bedingung (4.) ersetzt.

Das ist alles, was wir über die historische Entwicklung der Dreierregel sagen können. Aus allem bisher Gesagten lässt sich ein zeitgemäßes Fazit ziehen. Die mittelalterliche Arithmetik mit ihrer Tendenz, nur Regeln zu geben und Schlüsse wegzulassen, mit ihrer mechanischen Lösung von Fragen, hatte einen zu großen Einfluss auf das Ganze Nachfolgende Schulleben, und so groß, dass Spuren davon auch in unserer Zeit auf Schritt und Tritt zu sehen sind. Egal wie sehr wir versuchen, Traditionen abzuschütteln, uns von Gewohnheiten zu befreien, aber sie ergreifen uns zu sehr und fühlen sich zu stark von uns angezogen, um vollständig abgelegt zu werden. Unsere Schule ist immer noch des Auswendiglernens von Arithmetik schuldig, ohne ausreichende Beteiligung des Bewusstseins. Die Dreierregel ist ein guter Beweis dafür. Vergisst oft unseren Durchschnitt und Unterstufe dass es dazu bestimmt ist, eine allgemeine Bildung zu vermitteln, und nicht Buchhalter, Büroangestellte, Buchhalter usw. auszubilden. Inzwischen die handwerklichen Methoden von Italienern und Deutschen, die nicht danach strebten, einen Menschen zu entwickeln, sondern aus ihm eine Rechenmaschine zu machen , werden auch heute noch oft verwendet. Warum all diese Regeln: Dreier, Mischungen usw.? Welchem ​​Zweck sollen sie dienen? Sie sollten eine Schlussfolgerung aus den gelösten Problemen sein und nicht der Lösung von Problemen vorausgehen; es ist schädlich, Probleme nach einer zuvor erlernten Regel zu lösen, aber man muss versuchen, durch freie persönliche Betrachtung zu einer Antwort zu kommen. Mit einem Wort, die Regel sollte nicht in Form eines Rezepts verstanden werden, das zum Auswendiglernen ausreicht, um danach verschiedene komplizierte Lösungen vorzubereiten; aber sie sollten nur als Schlussfolgerung gewertet werden, zu der der Schüler kommt: Wenn der Schüler diese Schlussfolgerung nicht ziehen kann, dann bedeutet dies, dass die Probleme wenig genommen werden oder sie nicht systematisch angeordnet sind und dieser Fehler durch eine systematischere Korrektur korrigiert werden muss Anordnung von Problemen; Wenn der Schüler nicht so vollständig und detailliert schlussfolgert, wie der Lehrer es gerne hätte, dann ist es besser, mit ihm zufrieden zu sein, als ihn zu zwingen, die vom Lehrbuch auferlegte Regel zu lernen: Es wird bald vergessen sein und keine haben entfaltende Wirkung, da Unabhängigkeit eine notwendige Qualität der mathematischen Ableitung sein sollte, aber eine notwendige Bedingung des Bewusstseins muss eine enge Verbindung aller Teile des Kurses bestehen, weshalb für das mechanische Einfügen in den Kopf des Einzelnen kein Platz sein kann Stücke, die von der Erinnerung aufgenommen wurden.

Shvetsov K.I., BEVZ G.P.
HANDBUCH DER GRUNDMATHEMATIK
ARITHMETIK, ALGEBRA, 1965


1. Einfache Dreierregel. Von den Problemen mit proportionalen Größen sind die häufigsten Probleme mit der sogenannten einfachen Tripelregel. Bei diesen Aufgaben werden drei Zahlen angegeben und es ist erforderlich, die vierte proportional zu ihnen zu bestimmen.

Aufgabe 1. 10 Schrauben wiegen 4 kg. Wie viel wiegen 25 dieser Schrauben? Solche Aufgaben können auf verschiedene Weise gelöst werden.

Lösung I (durch Reduktion auf Eins).

1) Wie viel wiegt eine Schraube?

4 kg: 10 = 0,4 kg.

2) Wie viel wiegen 25 Schrauben?

0,4 kg 25 = 10 kg.

Lösung II (Methode der Proportionen). Da das Gewicht der Schrauben direkt proportional zu ihrer Anzahl ist, ist das Verhältnis der Gewichte gleich dem Verhältnis der Teile (Schrauben). Wenn wir das gewünschte Gewicht mit dem Buchstaben x bezeichnen, erhalten wir das Verhältnis:

X : 4 = 25: 10,

(kg)

Sie können so argumentieren: 25 Schrauben sind 2,5-mal mehr als 10 Schrauben. Daher sind sie auch 2,5-mal schwerer als 4 kg:

4 kg 2,5 = 10 kg.

Antworten. 25 Bolzen wiegen 10 kg.

Problem 2. Der erste Gang macht 50 U / min. Das zweite Zahnrad, das mit dem ersten kämmt, macht 75 U / min. Finde die Zähnezahl des zweiten Rades, wenn die Zähnezahl des ersten 30 ist.

Lösung (durch Reduktion auf Eins). Beide ineinandergreifenden Zahnräder bewegen sich in einer Minute um die gleiche Anzahl von Zähnen, sodass die Anzahl der Umdrehungen der Räder umgekehrt proportional zur Anzahl ihrer Zähne ist.

50 Umdrehungen. - 30 Zähne

75 Umdrehungen. - X Zahn.

X : 30 = 50: 75; (Zähne).

Sie können auch so argumentieren: Das zweite Rad dreht 1,5-mal mehr als das erste (75: 50 \u003d 1,5). Daher hat es 1,5-mal kleinere Zähne als das erste:

30: 1,5 = 20 (Zähne).

Antworten. 20 Zähne.

2. Komplizierte Dreierregel. Aufgaben, bei denen für eine gegebene Reihe von entsprechenden Werten mehrerer (mehr als zwei) proportionaler Größen der Wert einer von ihnen ermittelt werden muss, der einer anderen Reihe von gegebenen Werten der verbleibenden Größen entspricht, sind sie genannte Aufgaben für eine komplexe Tripelregel.

Eine Aufgabe. 5 Pumpen pumpten innerhalb von 3 Stunden 1800 Eimer Wasser ab. Wie viel Wasser wird von 4 solcher Pumpen in 4 Stunden abgepumpt?

5 uns. 3 Stunden - 1800 ved.

4 uns. 4 Std. - X ved.

1) Wie viele Eimer Wasser hat 1 Pumpe in 3 Stunden abgepumpt?

1800: 5 = 360 (Eimer).

2) Wie viele Eimer Wasser hat 1 Pumpe in 1 Stunde gepumpt?

360: 3 = 120 (Eimer).

3) Wie viel Wasser wird von 4 Pumpen in 1 Stunde abgepumpt?

120 4 = 480 (Eimer).

4) Wie viel Wasser wird von 4 Pumpen in 4 Stunden abgepumpt?

480 4 = 1920 (Eimer).

Antworten. 1920 Eimer

Abgekürzte Lösung durch Zahlenformel:

(Eimer).

Eine Aufgabe. Teilen Sie die Zahl 100 in zwei Teile im direkten Verhältnis zu den Zahlen 2 und 3,

Diese Aufgabe ist wie folgt zu verstehen: Teilen Sie 100 in zwei Teile, so dass sich der erste auf den zweiten wie 2 bis 3 bezieht. Wenn wir die gewünschten Zahlen mit Buchstaben bezeichnen X 1 und X 2 lässt sich dieses Problem wie folgt formulieren. Finden X 1 und X 2 so dass

X 1 + X 2 = 100,

X 1: X 2 = 2: 3.