Schon als Student im ersten Jahr hatte ich einen heftigen Streit mit einem meiner Klassenkameraden. Er sagte, dass ein vierdimensionaler Würfel in keiner Form dargestellt werden könne, und ich versicherte, dass er ganz klar dargestellt werden könne. Dann habe ich sogar aus Büroklammern eine Projektion eines Hyperwürfels auf unseren dreidimensionalen Raum gemacht ... Aber reden wir über alles der Reihe nach.
Was ist ein Hyperwürfel (Tesserakt) und ein vierdimensionaler Raum?
Es gibt drei Dimensionen in unserem gewohnten Raum. Mit geometrischer Punkt Sichtweise bedeutet dies, dass darin drei senkrecht zueinander stehende Linien angedeutet werden können. Das heißt, für jede Linie können Sie eine zweite Linie senkrecht zur ersten finden, und für ein Paar können Sie eine dritte Linie senkrecht zu den ersten beiden finden. Es wird nicht mehr möglich sein, die vierte Gerade senkrecht zu den drei vorhandenen zu finden.
Der vierdimensionale Raum unterscheidet sich von unserem nur dadurch, dass er einen mehr hat zusätzliche Richtung. Wenn Sie bereits drei zueinander senkrechte Linien haben, können Sie die vierte finden, sodass sie zu allen drei senkrecht ist.
Ein Hyperwürfel ist nur ein Würfel in vier Dimensionen.
Kann man sich einen vierdimensionalen Raum und einen Hyperwürfel vorstellen?
Diese Frage ähnelt der Frage: „Kannst du dir das vorstellen? Das letzte Abendmahl beim Betrachten des gleichnamigen Gemäldes (1495-1498) von Leonardo da Vinci (1452-1519)?”
Einerseits werden Sie sich natürlich nicht vorstellen, was Jesus gesehen hat (er sitzt dem Betrachter gegenüber), zumal Sie den Garten vor dem Fenster und den Geschmack von Essen auf dem Tisch nicht riechen, Sie werden die Vögel nicht hören singen ... Sie werden nicht bekommen Vollansichtüber das, was an diesem Abend passiert ist, aber es kann nicht gesagt werden, dass Sie nichts Neues erfahren werden und dass das Bild uninteressant ist.
Ähnlich verhält es sich mit der Frage nach dem Hyperwürfel. Es ist unmöglich, es sich vollständig vorzustellen, aber Sie können näher daran kommen, zu verstehen, was es ist.
Raumzeit und euklidischer vierdimensionaler Raum
Ich hoffe, Sie haben es geschafft, sich den Hyperwürfel vorzustellen. Aber haben Sie es geschafft, dem Verständnis näher zu kommen, wie die vierdimensionale Raumzeit funktioniert, in der wir leben? Leider nicht wirklich.
Wir haben hier über den euklidischen vierdimensionalen Raum gesprochen, aber die Raumzeit hat ganz andere Eigenschaften. Insbesondere bleiben die Segmente bei jeder Drehung immer geneigt zur Zeitachse, entweder in einem Winkel von weniger als 45 Grad oder in einem Winkel von mehr als 45 Grad.
Projektionen und Vision eines Bewohners des vierdimensionalen Raums
Ein paar Worte zum Sehen
Wir leben in einer dreidimensionalen Welt, aber wir sehen sie als zweidimensional. Dies liegt daran, dass sich die Netzhaut unserer Augen in einer Ebene befindet, die nur zwei Dimensionen hat. Deshalb sind wir in der Lage, zweidimensionale Bilder wahrzunehmen und sie der Realität ähnlich zu finden. (Natürlich kann das Auge dank der Akkommodation die Entfernung zu einem Objekt abschätzen, aber das ist schon ein Nebeneffekt der in unserem Auge verbauten Optik.)
Die Augen eines Bewohners des vierdimensionalen Raums müssen eine dreidimensionale Netzhaut haben. Eine solche Kreatur kann eine dreidimensionale Figur sofort vollständig sehen: alle ihre Gesichter und ihr Inneres. (Auf die gleiche Weise können wir eine zweidimensionale Figur mit all ihren Gesichtern und ihrem Inneren sehen.)
Wir sind also mit Hilfe unserer Sehorgane nicht in der Lage, einen vierdimensionalen Würfel so wahrzunehmen, wie ihn ein Bewohner eines vierdimensionalen Raums wahrnehmen würde. Ach. Es bleibt nur, sich auf das geistige Auge und die Fantasie zu verlassen, die glücklicherweise keine physischen Grenzen haben.
Wenn ich jedoch einen Hyperwürfel auf einer Ebene abbilde, muss ich ihn einfach darauf projizieren zweidimensionaler Raum. Denken Sie daran, wenn Sie Zeichnungen studieren.
Kantenüberschneidungen
Natürlich schneiden sich die Kanten des Hyperwürfels nicht. Schnittpunkte erscheinen nur in Zahlen. Dies sollte jedoch nicht überraschen, da sich die Kanten eines gewöhnlichen Würfels in den Figuren auch schneiden.
Rippenlängen
Es ist erwähnenswert, dass alle Flächen und Kanten eines vierdimensionalen Würfels gleich sind. In der Figur sind sie nur deshalb nicht gleich, weil sie darunter angeordnet sind verschiedene Winkel zur Blickrichtung. Es ist jedoch möglich, den Hyperwürfel so aufzufalten, dass alle Projektionen die gleiche Länge haben.
Tesseract - ein vierdimensionaler Hyperwürfel - ein Würfel im vierdimensionalen Raum.
Laut dem Oxford Dictionary wurde das Wort Tesseract 1888 von Charles Howard Hinton (1853-1907) in seinem Buch " neue Ära Gedanken". Später nannten einige Leute dieselbe Figur einen Tetrawürfel (griechisch τετρα - vier) - einen vierdimensionalen Würfel.
Ein gewöhnlicher Tesserakt im euklidischen vierdimensionalen Raum ist definiert als die konvexe Hülle von Punkten (±1, ±1, ±1, ±1). Mit anderen Worten, es kann als die folgende Menge dargestellt werden:
[-1, 1]^4 = ((x_1,x_2,x_3,x_4) : -1 = Ein Tesserakt wird von acht Hyperebenen begrenzt x_i= +- 1, i=1,2,3,4 , deren Schnittpunkt mit der Tesserakt selbst definiert seine 3D-Flächen (die regelmäßige Würfel sind). Jedes Paar nicht paralleler 3D-Flächen schneidet sich, um 2D-Flächen (Quadrate) usw. zu bilden. Schließlich hat ein Tesserakt 8 3D-Flächen, 24 2D, 32 Kanten und 16 Scheitelpunkte.
Beliebte Beschreibung
Versuchen wir uns vorzustellen, wie der Hyperwürfel aussehen wird, ohne ihn zu verlassen dreidimensionaler Raum.
Im eindimensionalen "Raum" - auf einer Linie - wählen wir ein Segment AB der Länge L. Auf einer zweidimensionalen Ebene im Abstand L von AB zeichnen wir ein Segment DC parallel dazu und verbinden ihre Enden. Sie erhalten einen quadratischen CDBA. Wenn wir diese Operation mit einem Flugzeug wiederholen, erhalten wir einen dreidimensionalen Würfel CDBAGHFE. Und indem wir den Würfel in der vierten Dimension (senkrecht zu den ersten drei) um eine Distanz L verschieben, erhalten wir den CDBAGHFEKLJIOPNM-Hyperwürfel.
Das eindimensionale Segment AB dient als Seite des zweidimensionalen Quadrats CDBA, das Quadrat ist die Seite des Würfels CDBAGHFE, der wiederum die Seite des vierdimensionalen Hyperwürfels sein wird. Ein gerades Liniensegment hat zwei Grenzpunkte, ein Quadrat hat vier Ecken und ein Würfel hat acht. Somit gibt es in einem vierdimensionalen Hyperwürfel 16 Scheitel: 8 Scheitel des ursprünglichen Würfels und 8 Scheitel, die in die vierte Dimension verschoben sind. Er hat 32 Kanten – 12 geben jeweils die Anfangs- und Endposition des ursprünglichen Würfels an, und 8 weitere Kanten „zeichnen“ acht seiner Eckpunkte, die sich in die vierte Dimension bewegt haben. Die gleiche Überlegung gilt für die Flächen des Hyperwürfels. Im zweidimensionalen Raum ist es eins (das Quadrat selbst), der Würfel hat 6 davon (zwei Flächen aus dem verschobenen Quadrat und vier weitere beschreiben seine Seiten). Ein vierdimensionaler Hyperwürfel hat 24 quadratische Flächen – 12 Quadrate des ursprünglichen Würfels an zwei Positionen und 12 Quadrate von zwölf seiner Kanten.
Da die Seiten eines Quadrats 4 eindimensionale Segmente und die Seiten (Flächen) eines Würfels 6 zweidimensionale Quadrate sind, sind die Seiten für den „vierdimensionalen Würfel“ (Tesserakt) 8 dreidimensionale Würfel. Die Räume von gegenüberliegenden Paaren von Tesseract-Würfeln (dh die dreidimensionalen Räume, zu denen diese Würfel gehören) sind parallel. In der Figur sind dies Würfel: CDBAGHFE und KLJIOPNM, CDBAKLJI und GHFEOPNM, EFBAMNJI und GHDCOPLK, CKIAGOME und DLJBHPNF.
In ähnlicher Weise können wir die Argumentation für Hyperwürfel fortsetzen mehr Dimensionen, aber es ist viel interessanter zu sehen, wie ein vierdimensionaler Hyperwürfel für uns, die Bewohner des dreidimensionalen Raums, aussehen wird. Verwenden wir dazu die bereits bekannte Methode der Analogien.
Nehmen wir den Drahtwürfel ABCDHEFG und betrachten ihn mit einem Auge von der Seite des Gesichts. Wir werden zwei Quadrate auf der Ebene sehen und zeichnen können (seine nahen und fernen Seiten), die durch vier Linien verbunden sind - Seitenkanten. In ähnlicher Weise sieht ein vierdimensionaler Hyperwürfel im dreidimensionalen Raum wie zwei kubische "Kästen" aus, die ineinander gesteckt und durch acht Kanten verbunden sind. In diesem Fall werden die "Boxen" selbst - dreidimensionale Gesichter - auf "unseren" Raum projiziert und die sie verbindenden Linien werden in Richtung der vierten Achse gestreckt. Sie können auch versuchen, sich einen Würfel nicht in Projektion, sondern in einem räumlichen Bild vorzustellen.
So wie ein dreidimensionaler Würfel durch ein um die Länge einer Fläche verschobenes Quadrat entsteht, bildet ein in die vierte Dimension verschobener Würfel einen Hyperwürfel. Es wird von acht Würfeln begrenzt, die in Zukunft wie eine ziemlich komplexe Figur aussehen werden. Der vierdimensionale Hyperwürfel selbst besteht aus unendlich vielen Würfeln, genauso wie ein dreidimensionaler Würfel in unendlich viele flache Quadrate „geschnitten“ werden kann.
Indem man sechs Flächen eines dreidimensionalen Würfels schneidet, kann man ihn zerlegen flache Figur- ein Sweep. Es wird ein Quadrat auf jeder Seite des ursprünglichen Gesichts haben, plus ein weiteres - das Gesicht gegenüber. Eine dreidimensionale Entwicklung eines vierdimensionalen Hyperwürfels wird aus dem ursprünglichen Würfel, sechs daraus „wachsenden“ Würfeln und einem weiteren – der endgültigen „Hyperfläche“ – bestehen.
Die Eigenschaften des Tesserakts sind eine Erweiterung der Eigenschaften geometrische Formen untere Dimension in einen vierdimensionalen Raum.
In der Geometrie Hyperwürfel- Das n-dimensionale Analogie eines Quadrats ( n= 2) und Würfel ( n= 3). Dies ist eine geschlossene konvexe Figur, die aus Gruppen paralleler Linien besteht, die sich an gegenüberliegenden Kanten der Figur befinden und rechtwinklig miteinander verbunden sind.
Diese Zahl wird auch als bezeichnet Tesseract(Tesserakt). Der Tesserakt verhält sich zum Würfel wie der Würfel zum Quadrat. Formaler kann ein Tesserakt als ein regelmäßiges konvexes vierdimensionales Polytop (Polytop) beschrieben werden, dessen Grenze aus acht kubischen Zellen besteht.
Laut dem Oxford English Dictionary wurde das Wort „Tesseract“ 1888 von Charles Howard Hinton geprägt und in seinem Buch A New Era of Thought verwendet. Das Wort wurde aus dem Griechischen „τεσσερες ακτινες“ („vier Strahlen“) gebildet, hat die Form von vier Koordinatenachsen. Darüber hinaus wurde in einigen Quellen dieselbe Figur genannt Tetrawürfel(Tetrawürfel).
n-dimensionaler Hyperwürfel wird auch genannt n-Würfel.
Ein Punkt ist ein Hyperwürfel der Dimension 0. Wenn Sie einen Punkt um eine Längeneinheit verschieben, erhalten Sie ein Segment der Längeneinheit - einen Hyperwürfel der Dimension 1. Außerdem, wenn Sie ein Segment um eine Längeneinheit in einer senkrechten Richtung verschieben In Richtung des Segments erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 2. Wenn Sie das Quadrat um eine Längeneinheit in der Richtung senkrecht zur Ebene des Quadrats verschieben, erhalten Sie einen Würfel - einen Hyperwürfel der Dimension 3. Dieser Vorgang kann auf beliebig viele Dimensionen verallgemeinert werden. Verschiebt man beispielsweise einen Würfel um eine Längeneinheit in der vierten Dimension, erhält man einen Tesserakt.
Die Familie der Hyperwürfel ist eines der wenigen regulären Polyeder, die in jeder Dimension dargestellt werden können.
Hypercube-Elemente
Dimension Hyperwürfel n hat 2 n"Seiten" (eindimensionale Linie hat 2 Punkte; zweidimensionales Quadrat - 4 Seiten; dreidimensionaler Würfel - 6 Flächen; vierdimensionaler Tesserakt - 8 Zellen). Die Anzahl der Ecken (Punkte) des Hyperwürfels ist 2 n(zum Beispiel für einen Würfel - 2 3 Eckpunkte).
Menge m-dimensionale Hyperwürfel am Rand n-Würfel gleich
Zum Beispiel gibt es am Rand eines Hyperwürfels 8 Würfel, 24 Quadrate, 32 Kanten und 16 Ecken.
| n-Würfel | Name | Scheitel (0-Gesicht) |
Kante (1-seitig) |
Kante (2-seitig) |
Zelle (3-seitig) |
(4-seitig) | (5-flächig) | (6-fach) | (7-fach) | (8-fach) |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0-Würfel | Punkt | 1 | ||||||||
| 1 Würfel | Liniensegment | 2 | 1 | |||||||
| 2-Würfel | Quadrat | 4 | 4 | 1 | ||||||
| 3-Würfel | Würfel | 8 | 12 | 6 | 1 | |||||
| 4-Würfel | Tesseract | 16 | 32 | 24 | 8 | 1 | ||||
| 5-Würfel | Penterakt | 32 | 80 | 80 | 40 | 10 | 1 | |||
| 6-Würfel | Hexerakt | 64 | 192 | 240 | 160 | 60 | 12 | 1 | ||
| 7-Würfel | Hepterakt | 128 | 448 | 672 | 560 | 280 | 84 | 14 | 1 | |
| 8-Würfel | Okterakt | 256 | 1024 | 1792 | 1792 | 1120 | 448 | 112 | 16 | 1 |
| 9-Würfel | Energet | 512 | 2304 | 4608 | 5376 | 4032 | 2016 | 672 | 144 | 18 |
Ebene Projektion
Die Bildung eines Hyperwürfels kann wie folgt dargestellt werden:
- Zwei Punkte A und B können zu einer Strecke AB verbunden werden.
- Zwei Parallelsegment AB und CD lassen sich zum Quadrat ABCD verbinden.
- Zwei parallele Quadrate ABCD und EFGH können zum Würfel ABCDEFGH verbunden werden.
- Zwei parallele Würfel ABCDEFGH und IJKLMNOP können zu einem Hyperwürfel ABCDEFGHIJKLMNOP verbunden werden.
Letztere Struktur ist nicht leicht vorstellbar, aber es ist möglich, ihre Projektion auf zwei oder drei Dimensionen darzustellen. Darüber hinaus können Projektionen auf eine 2D-Ebene nützlicher sein, indem die Positionen der projizierten Eckpunkte neu angeordnet werden. In diesem Fall können Bilder erhalten werden, die nicht mehr die räumlichen Beziehungen der Elemente innerhalb des Tesserakts widerspiegeln, sondern die Struktur der Scheitelpunktverbindungen veranschaulichen, wie in den folgenden Beispielen.
Die erste Abbildung zeigt, wie ein Tesserakt im Prinzip durch Zusammenfügen zweier Würfel entsteht. Dieses Schema ähnelt dem Schema zum Erstellen eines Würfels aus zwei Quadraten. Das zweite Diagramm zeigt, dass alle Kanten des Tesserakts gleich lang sind. Dieses Schema ist auch gezwungen, nach miteinander verbundenen Würfeln zu suchen. Im dritten Diagramm sind die Scheitelpunkte des Tesserakts in Übereinstimmung mit den Abständen entlang der Flächen relativ zum unteren Punkt angeordnet. Dieses Schema ist insofern interessant, als es als verwendet wird Grundschaltung für die Netzwerktopologie der Verbindung von Prozessoren bei der Organisation paralleler Datenverarbeitung: Der Abstand zwischen zwei beliebigen Knoten überschreitet nicht 4 Kantenlängen, und es gibt viele verschiedene Möglichkeiten, die Last auszugleichen.
Hyperwürfel in der Kunst
Der Hyperwürfel taucht seit 1940 in der Science-Fiction auf, als Robert Heinlein in der Geschichte „The House That Teal Built“ („And He Built a Crooked House“) ein Haus beschrieb, das in Form eines Tesserakts gebaut wurde. In der Geschichte dieses Weiters wird dieses Haus zusammengefaltet und verwandelt sich in einen vierdimensionalen Tesseract. Danach taucht der Hyperwürfel in vielen Büchern und Romanen auf.
Cube 2: Hypercube besteht aus ungefähr acht Personen, die in einem Netzwerk von Hypercubes gefangen sind.
Das Gemälde Crucifixion (Corpus Hypercubus), 1954 von Salvador Dali, zeigt den gekreuzigten Jesus auf einem Tesseract-Scan. Dieses Gemälde ist im Museum of Art (Metropolitan Museum of Art) in New York zu sehen.
Fazit
Der Hyperwürfel ist eines der einfachsten vierdimensionalen Objekte, an dessen Beispiel Sie die ganze Komplexität und Ungewöhnlichkeit sehen können vierte Dimension. Und was in drei Dimensionen unmöglich erscheint, ist zum Beispiel in vier unmöglichen Figuren möglich. So werden zum Beispiel die Stäbe eines unmöglichen Dreiecks in vier Dimensionen rechtwinklig verbunden. Und diese Figur wird aus allen Blickwinkeln so aussehen und nicht verzerrt sein, im Gegensatz zu den Implementierungen des unmöglichen Dreiecks im dreidimensionalen Raum (siehe Abb.
Lehren über Mehrdimensionale Räume begann in zu erscheinen Mitte des neunzehnten Jahrhundert in den Arbeiten von G. Grassmann, A. Cayley, B. Riemann, W. Clifford, L. Schläfli und anderen Mathematikern. Zu Beginn des 20. Jahrhunderts begann die Physik mit dem Aufkommen der Relativitätstheorie von A. Einstein und den Ideen von G. Minkowski, ein vierdimensionales Raum-Zeit-Koordinatensystem zu verwenden.
Dann entlehnten Science-Fiction-Autoren die Idee des vierdimensionalen Raums von Wissenschaftlern. In ihren Werken erzählten sie der Welt davon erstaunliche Wunder vierte Dimension. Die Helden ihrer Werke, die die Eigenschaften des vierdimensionalen Raums nutzten, konnten den Inhalt des Eies essen, ohne die Schale zu beschädigen, ein Getränk trinken, ohne den Korken der Flasche zu öffnen. Die Entführer holten den Schatz aus dem Safe durch die vierte Dimension. Die Glieder der Kette können leicht getrennt werden, und der Knoten am Seil kann gelöst werden, ohne seine Enden zu berühren. Chirurgen führten Operationen durch innere Organe ohne das Gewebe des Körpers des Patienten zu schneiden. Die Mystiker platzierten die Seelen der Toten in der vierten Dimension. Für gewöhnlicher Mensch Die Idee eines vierdimensionalen Raums ist unverständlich und mysteriös geblieben, und viele halten den vierdimensionalen Raum im Allgemeinen für die Frucht der Vorstellungskraft von Wissenschaftlern und Science-Fiction-Autoren, die nichts mit der Realität zu tun hat.
Wahrnehmungsproblem
Es wird traditionell angenommen, dass ein Mensch vierdimensionale Figuren nicht wahrnehmen und darstellen kann, da er ein dreidimensionales Wesen ist. Das Subjekt nimmt dreidimensionale Figuren mit Hilfe der Netzhaut wahr, die zweidimensional ist. Um vierdimensionale Figuren wahrzunehmen, wird eine dreidimensionale Netzhaut benötigt, aber eine Person hat keine solche Möglichkeit.
Um eine visuelle Darstellung von vierdimensionalen Figuren zu erhalten, werden wir Analogien von Räumen niedrigerer Dimension zur Extrapolation auf Figuren höherer Dimension verwenden, die Modellierungsmethode verwenden, Methoden anwenden Systemanalyse nach Mustern zwischen Elementen vierdimensionaler Figuren zu suchen. Die vorgeschlagenen Modelle sollten die Eigenschaften von vierdimensionalen Figuren angemessen beschreiben, sich nicht widersprechen und eine ausreichende Vorstellung von einer vierdimensionalen Figur und vor allem von ihr geben Geometrische Figur. Da es in der Literatur keine systematische und visuelle Beschreibung vierdimensionaler Figuren gibt, sondern nur ihre Namen, die auf einige Eigenschaften hinweisen, schlagen wir vor, das Studium vierdimensionaler Figuren mit den einfachsten zu beginnen - vierdimensionaler Würfel, der als Hyperwürfel bezeichnet wird.
Hypercube-Definition
Hyperwürfelwird ein regelmäßiges Polytop genannt, dessen Zelle ein Würfel ist.
Polytop ist eine vierdimensionale Figur, deren Begrenzung aus Polyedern besteht. Ein Analogon einer Zelle eines Polytops ist eine Fläche eines Polyeders. Der Hyperwürfel ist analog zu einem dreidimensionalen Würfel.
Wir werden eine Vorstellung vom Hyperwürfel haben, wenn wir seine Eigenschaften kennen. Das Subjekt nimmt ein Objekt wahr und repräsentiert es in Form eines Modells. Wenden wir diese Methode an und stellen die Idee eines Hyperwürfels in Form verschiedener Modelle vor.
Analytisches Modell
Wir betrachten einen eindimensionalen Raum (Gerade) als eine geordnete Menge von PunktenM(x), wo x- Koordinate beliebiger Punkt gerade. Dann ist das Einheitssegment durch Angabe von zwei Punkten gegeben:EIN(0) und B(1).
Eine Ebene (zweidimensionaler Raum) kann als eine geordnete Menge von Punkten betrachtet werden M(x; j). Das Einheitsquadrat wird vollständig durch seine vier Eckpunkte definiert: EIN(0; 0), B(1; 0), C(1; 1), D(0; 1). Die Koordinaten der Eckpunkte des Quadrats werden erhalten, indem Null zu den Koordinaten des Segments und dann Eins addiert werden.
Dreidimensionaler Raum - eine geordnete Menge von Punkten M(x; j; z). Acht Punkte sind erforderlich, um einen 3D-Würfel zu definieren:
EIN(0; 0; 0), B(1; 0; 0), C(1; 1; 0), D(0; 1; 0),
E(0; 0; 1), F(1; 0; 1), G(1; 1; 1), H(0; 1; 1).
Die Würfelkoordinaten erhält man aus den Quadratkoordinaten, indem man Null und dann Eins addiert.
Der vierdimensionale Raum ist eine geordnete Menge von Punkten M(x; j; z; t). Um einen Hyperwürfel anzugeben, müssen Sie die Koordinaten seiner sechzehn Ecken bestimmen:
EIN(0; 0; 0; 0), B(1; 0; 0; 0), C(1; 1; 0; 0), D(0; 1; 0; 0),
E(0; 0; 1; 0), F(1; 0; 1; 0), G(1; 1; 1; 0), H(0; 1; 1; 0),
K(0; 0; 0; 1), L(1; 0; 0; 1), M(1; 1; 0; 1), N(0; 1; 0; 1),
Ö(0; 0; 1; 1), P(1; 0; 1; 1), R(1; 1; 1; 1), S(0; 1; 1; 1).
Die Hyperwürfelkoordinaten ergeben sich aus den Koordinaten des 3D-Würfels durch Hinzufügen einer vierten Koordinate, Null, und dann Einheit.
Formeln verwenden Analytische Geometrie für einen vierdimensionalen euklidischen Raum kann man die Eigenschaften eines Hyperwürfels erhalten.
Betrachten Sie als Beispiel die Berechnung der Länge der Hauptdiagonale eines Hyperwürfels. Lassen Sie es erforderlich sein, den Abstand zwischen Punkten zu finden EIN(0, 0, 0, 0) und R(1, 1, 1, 1). Dazu verwenden wir die Abstandsformel im vierdimensionalen euklidischen Raum.
Im zweidimensionalen Raum (auf einer Ebene) der Abstand zwischen Punkten EIN(x 1 , j 1) und B(x 2 , j 2) wird nach der Formel berechnet
Diese Formel folgt aus dem Satz des Pythagoras.
Die entsprechende Formel für den Abstand zwischen Punkten EIN(x 1 , j 1 , z 1) und B(x 2 , j 2 , z 2) im dreidimensionalen Raum hat die Form
Und im eindimensionalen Raum (auf einer Geraden) zwischen den Punkten A( x 1) und B( x 2) Sie können die entsprechende Entfernungsformel schreiben:
Ebenso der Abstand zwischen den Punkten EIN(x 1 , j 1 , z 1 , t 1) und B(x 2 , j 2 , z 2 , t 2) im vierdimensionalen Raum wird nach folgender Formel berechnet:
Für das vorgeschlagene Beispiel finden wir
Der Hyperwürfel existiert also analytisch, und seine Eigenschaften lassen sich nicht schlechter beschreiben als die Eigenschaften eines dreidimensionalen Würfels.
Dynamisches Modell
Das analytische Modell des Hyperwürfels ist sehr abstrakt, also betrachten wir ein anderes Modell – das dynamische.
Ein Punkt (eine nulldimensionale Figur), der sich in eine Richtung bewegt, erzeugt ein Segment (eine eindimensionale Figur). Das Segment, das sich senkrecht zu sich selbst bewegt, erzeugt ein Quadrat (zweidimensionale Figur). Das Quadrat, das sich in einer Richtung senkrecht zur Ebene des Quadrats bewegt, erzeugt einen Würfel (dreidimensionale Figur).
Der Würfel, der sich senkrecht zu dem dreidimensionalen Raum bewegt, in dem er sich ursprünglich befand, erzeugt einen Hyperwürfel (vierdimensionale Figur).
Die Hyperwürfelgrenze ist dreidimensional, endlich und geschlossen. Es besteht aus einem dreidimensionalen Würfel in Ausgangsposition, ein dreidimensionaler Würfel in seiner endgültigen Position, und sechs Würfel, die durch Bewegen der Quadrate des ursprünglichen Würfels in Richtung der vierten Dimension gebildet werden. Die gesamte Begrenzung des Hyperwürfels besteht aus 8 dreidimensionalen Würfeln (Zellen).
Beim Bewegen in der Ausgangsposition hatte der Würfel 8 Ecken und in der Endposition ebenfalls 8 Ecken. Daher hat der Hyperwürfel gesamt 16 Spitzen.
Von jedem Scheitel gehen vier zueinander senkrechte Kanten aus. Insgesamt hat der Hyperwürfel 32 Kanten, in der Ausgangslage 12 Kanten, in der Endlage ebenfalls 12 Kanten und 8 Kanten bildeten bei der Bewegung in der vierten Dimension die Würfelspitzen.
Somit besteht der Rand des Hyperwürfels aus 8 Würfeln, die aus 24 Quadraten bestehen. Nämlich 6 Quadrate in der Anfangsposition, 6 in der Endposition und 12 Quadrate, die durch Bewegen von 12 Kanten in Richtung der vierten Dimension gebildet werden.
geometrisches Modell
Das dynamische Modell eines Hyperwürfels mag unzureichend klar erscheinen. Betrachten Sie daher das geometrische Modell des Hyperwürfels. Wie erhalten wir das geometrische Modell eines 3D-Würfels? Wir entfalten es und „kleben“ das Würfelmodell aus der Entfaltung. Die Entwicklung eines dreidimensionalen Würfels besteht aus einem Quadrat, an dessen Seiten ein Quadrat plus ein weiteres Quadrat angebracht ist. 
Wir drehen benachbarte Quadrate um die Seiten des Quadrats und verbinden die benachbarten Seiten der Quadrate miteinander. Und wir schließen die restlichen vier Seiten mit dem letzten Quadrat (Abb. 1).
Betrachten Sie in ähnlicher Weise die Entfaltung des Hyperwürfels. Seine Entwicklung wird eine dreidimensionale Figur sein, die aus dem ursprünglichen dreidimensionalen Würfel, sechs Würfeln neben jeder Seite des ursprünglichen Würfels und einem weiteren Würfel besteht. Insgesamt gibt es acht dreidimensionale Würfel (Abb. 2). Um aus dieser Entfaltung einen vierdimensionalen Würfel (Hyperwürfel) zu erhalten, müssen die benachbarten Würfel jeweils um 90 Grad gedreht werden. Diese angrenzenden Würfel befinden sich in einem anderen 3D-Raum. Verbinde benachbarte Flächen (Quadrate) von Würfeln miteinander. Betten Sie den achten Würfel mit seinen Flächen in den verbleibenden ungefüllten Raum ein. Wir erhalten eine vierdimensionale Figur - einen Hyperwürfel, dessen Grenze aus acht dreidimensionalen Würfeln besteht.
Hypercube-Bild
Oben wurde gezeigt, wie man ein Hypercube-Modell aus einem dreidimensionalen Sweep „klebt“. Wir erhalten Bilder durch Projektion. Die Zentralprojektion eines dreidimensionalen Würfels (sein Bild auf einer Ebene) sieht so aus (Abb. 3). Innerhalb des Quadrats ist ein weiteres Quadrat. Die entsprechenden Eckpunkte des Quadrats sind durch Segmente verbunden. Benachbarte Quadrate werden als Trapeze dargestellt, obwohl sie im 3D-Raum Quadrate sind. Die inneren und äußeren Quadrate haben unterschiedliche Größen, aber im realen 3D-Raum sind sie gleiche Quadrate.
In ähnlicher Weise sieht die zentrale Projektion eines vierdimensionalen Würfels auf den dreidimensionalen Raum so aus: In einem Würfel befindet sich ein anderer Würfel. Die entsprechenden Ecken der Würfel sind durch Segmente verbunden. Die inneren und äußeren Würfel haben verschiedene Größen in drei Dimensionen, aber in vier Dimensionen schon gleiche Würfel(Abb. 4).
Sechs Pyramidenstümpfe sind Bilder von gleich sechs Zellen (Würfeln) eines vierdimensionalen Würfels.
Diese dreidimensionale Projektion kann auf eine Ebene gezeichnet werden, und Sie können die Wahrheit der Eigenschaften des Hyperwürfels überprüfen, der unter Verwendung des dynamischen Modells erhalten wird.
Der Hyperwürfel hat 16 Ecken, 32 Kanten, 24 Flächen (Quadrate), 8 Zellen (Würfel). Von jedem Scheitel gehen vier zueinander senkrechte Kanten aus. Die Grenze des Hyperwürfels ist eine dreidimensionale geschlossene konvexe Figur, deren Volumen (das Seitenvolumen des Hyperwürfels) gleich acht dreidimensionalen Einheitswürfeln ist. In sich selbst enthält diese Figur einen Einheits-Hyperwürfel, dessen Hypervolumen gleich dem Hypervolumen des Einheits-Hyperwürfels ist.
Fazit
Ziel dieser Arbeit war es, eine erste Bekanntschaft mit dem vierdimensionalen Raum zu machen. Dies geschah am Beispiel der einfachsten Figur - dem Hyperwürfel.
Die Welt des vierdimensionalen Raums ist erstaunlich! Darin gibt es neben ähnlichen Figuren im dreidimensionalen Raum auch Figuren, die im dreidimensionalen Raum keine Entsprechungen haben.
Viele Phänomene materielle Welt, der Makrokosmos und die Megawelt sind trotz der grandiosen Erfolge in Physik, Chemie und Astronomie unerklärlich geblieben.
Nein Einheitliche Theorie das erklärt alle Kräfte der Natur. Es gibt kein zufriedenstellendes Modell des Universums, das seine Struktur erklärt und Paradoxien ausschließt.
Indem man die Eigenschaften des vierdimensionalen Raums kennt und einige Ideen aus der vierdimensionalen Geometrie entlehnt, wird es möglich sein, nicht nur strengere Theorien und Modelle der materiellen Welt zu erstellen, sondern auch Werkzeuge und Systeme zu schaffen, die gemäß den Gesetzen funktionieren der vierdimensionalen Welt, dann werden die menschlichen Fähigkeiten noch beeindruckender sein.
Beginnen wir damit, zu erklären, was ein vierdimensionaler Raum ist.
Dies ist ein eindimensionaler Raum, also einfach die OX-Achse. Jeder Punkt darauf ist durch eine Koordinate gekennzeichnet.
Lassen Sie uns nun die OY-Achse senkrecht zur OX-Achse zeichnen. Wir haben also einen zweidimensionalen Raum, das heißt die XOY-Ebene. Jeder Punkt darauf ist durch zwei Koordinaten gekennzeichnet - die Abszisse und die Ordinate.
Lassen Sie uns die OZ-Achse senkrecht zu den Achsen OX und OY zeichnen. Sie erhalten einen dreidimensionalen Raum, in dem jeder Punkt eine Abszisse, eine Ordinate und eine Applikate hat.
Es ist logisch, dass die vierte Achse, OQ, gleichzeitig senkrecht zu den Achsen OX, OY und OZ sein sollte. Aber wir können eine solche Achse nicht genau konstruieren, und daher bleibt nur der Versuch, sie uns vorzustellen. Jeder Punkt im vierdimensionalen Raum hat vier Koordinaten: x, y, z und q.
Sehen wir uns nun an, wie der vierdimensionale Würfel aussah.
Das Bild zeigt eine Figur des eindimensionalen Raums - eine Linie.
Wenn fertig parallele Übertragung diese Linie entlang der OY-Achse, und dann die entsprechenden Enden der beiden resultierenden Linien verbinden, erhalten Sie ein Quadrat.
In ähnlicher Weise erhalten wir einen Würfel, wenn wir das Quadrat entlang der OZ-Achse parallel verschieben und die entsprechenden Eckpunkte verbinden.
Und wenn wir den Würfel entlang der OQ-Achse parallel verschieben und die Eckpunkte dieser beiden Würfel verbinden, erhalten wir einen vierdimensionalen Würfel. Es heißt übrigens Tesseract.
Um einen Würfel auf einer Ebene zu zeichnen, brauchen Sie ihn Projekt. Optisch sieht es so aus: 
Stellen Sie sich vor, dass in der Luft über der Oberfläche hängt Wireframe-Modell Würfel, das heißt, als ob "aus Draht" und darüber - eine Glühbirne. Wenn Sie die Glühbirne einschalten, den Schatten des Würfels mit einem Bleistift nachzeichnen und dann die Glühbirne ausschalten, wird eine Projektion des Würfels auf der Oberfläche angezeigt.
Kommen wir zu etwas Komplizierterem. Schauen Sie sich noch einmal die Zeichnung mit der Glühbirne an: Wie Sie sehen können, laufen alle Strahlen an einem Punkt zusammen. Es wird genannt Fluchtpunkt und wird zum Bauen verwendet perspektivische Projektion(und manchmal parallel, wenn alle Strahlen parallel zueinander sind. Das Ergebnis ist, dass es kein Volumengefühl gibt, aber es ist heller, und wenn der Fluchtpunkt weit genug vom projizierten Objekt entfernt ist, dann der Unterschied zwischen diesen zwei Vorsprünge kaum wahrnehmbar). Zu projizieren gegebener Punkt auf der Flugzeug gegeben, müssen Sie unter Verwendung des Fluchtpunkts eine Linie durch den Fluchtpunkt und den angegebenen Punkt ziehen und dann den Schnittpunkt der resultierenden Linie und der Ebene finden. Und um mehr zu projizieren komplexe Figur B. eines Würfels, müssen Sie jeden seiner Eckpunkte projizieren und dann die entsprechenden Punkte verbinden. Es ist darauf hinzuweisen, dass Raum-zu-Unterraum-Projektionsalgorithmus kann auf 4D->3D verallgemeinert werden, nicht nur 3D->2D.
Wie gesagt, wir können uns nicht genau vorstellen, wie die OQ-Achse aussieht, und der Tesseract kann es auch nicht. Aber wir können uns eine begrenzte Vorstellung davon machen, wenn wir es auf ein Volumen projizieren und es dann auf einem Computerbildschirm zeichnen!
Lassen Sie uns nun über die Projektion des Tesserakts sprechen.
Links ist die Projektion des Würfels auf die Ebene und rechts der Tesserakt auf das Volumen. Sie sind ziemlich ähnlich: Die Projektion eines Würfels sieht aus wie zwei Quadrate, ein kleines und ein großes, eines in dem anderen, mit entsprechenden Ecken, die durch Linien verbunden sind. Und die Projektion des Tesserakts sieht aus wie zwei Würfel, klein und groß, einer ineinander und mit den entsprechenden Ecken verbunden. Aber wir haben alle den Würfel gesehen, und wir können mit Zuversicht sagen, dass sowohl das kleine Quadrat als auch das große und die vier Trapeze oben, unten, rechts und links davon sind kleines Quadrat, in der Tat sind Quadrate, außerdem sind sie gleich. Dasselbe gilt für den Tesserakt. Und einen großen Würfel und einen kleinen Würfel und sechs abgestumpfte Pyramiden an den Seiten eines kleinen Würfels - das sind alles Würfel, und sie sind gleich.
Mein Programm kann die Projektion des Tesserakts nicht nur auf das Volumen zeichnen, sondern auch rotieren. Mal sehen, wie das gemacht wird.
Zuerst werde ich Ihnen sagen, was ist Drehung parallel zur Ebene.
Stellen Sie sich vor, der Würfel dreht sich um die OZ-Achse. Dann beschreibt jeder seiner Eckpunkte einen Kreis um die OZ-Achse. 
Ein Kreis ist eine flache Figur. Und die Ebenen jedes dieser Kreise sind parallel zueinander und ineinander dieser Fall sind parallel zur XOY-Ebene. Das heißt, wir können nicht nur von Rotation um die OZ-Achse sprechen, sondern auch von Rotation parallel zur XOY-Ebene.Wie Sie sehen können, ändern sich bei Punkten, die parallel zur XOY-Achse rotieren, nur die Abszisse und die Ordinate, während die Anwendung erfolgt bleibt unverändert Und tatsächlich können wir nur dann von Rotation um eine gerade Linie sprechen, wenn wir es mit dem dreidimensionalen Raum zu tun haben. In 2D dreht sich alles um einen Punkt, in 4D dreht sich alles um eine Ebene, im 5D-Raum sprechen wir von Rotation um ein Volumen. Und wenn wir uns die Drehung um einen Punkt vorstellen können, dann ist die Drehung um die Ebene und das Volumen etwas Undenkbares. Und wenn wir von Rotation parallel zur Ebene sprechen, dann kann sich in jedem n-dimensionalen Raum ein Punkt parallel zur Ebene drehen.
Viele von Ihnen haben wahrscheinlich schon von der Rotationsmatrix gehört. Wenn wir einen Punkt damit multiplizieren, erhalten wir einen Punkt, der um den Winkel Phi parallel zur Ebene gedreht ist. Für einen zweidimensionalen Raum sieht das so aus: 
So wird multipliziert: x eines um den Winkel phi gedrehten Punktes = Kosinus des Winkels phi*x des Ursprungspunktes minus Sinus des Winkels phi*y des Ursprungspunktes;
y des um den Winkel phi gedrehten Punktes = Sinus des Winkels phi*x des Ursprungspunktes plus Kosinus des Winkels phi*y des Ursprungspunktes.
Xa`=cosÄ*Xa - sinÄ*Ya
Ya`=sinÄ*Xa + cosÄ*Ya
, wobei Xa und Ya Abszisse und Ordinate des zu drehenden Punktes sind, Xa` und Ya` Abszisse und Ordinate des bereits gedrehten Punktes sind
Für einen dreidimensionalen Raum wird diese Matrix wie folgt verallgemeinert: 
Drehung parallel zur XOY-Ebene. Wie Sie sehen, ändert sich die Z-Koordinate nicht, sondern nur X und Y.
Xa`=cosÄ*Xa - sinÄ*Ya + Za*0
Ya`=sinÄ*Xa + cosÄ*Ya + Za*0
Za`=Xa*0 + Ya*0 + Za*1 (im Wesentlichen Za`=Za)
Drehung parallel zur XOZ-Ebene. Nichts Neues,
Xa`=cosÄ*Xa + Ya*0 - sinÄ*Za
Ya`=Xa*0 + Ya*1 + Za*0 (eigentlich Ya`=Ya)
Za`=sinÄ*Xa + Ya*0 + cosÄ*Za
Und die dritte Matrix.
Xa`=Xa*1 + Ya*0 + Za*0 (im Wesentlichen Xa`=Xa)
Ya`=Xa*0 + cosÄ*Ya - sinÄ*Za
Za`=Xa*0 + sinÄ*Ya + cosÄ*Za
Und für die vierte Dimension sehen sie so aus: 
Ich denke, Sie haben bereits verstanden, womit Sie multiplizieren müssen, also werde ich es nicht noch einmal malen. Aber ich stelle fest, dass es dasselbe tut wie die Matrix zum Drehen parallel zur Ebene im dreidimensionalen Raum! Sowohl diese als auch diese ändern nur die Ordinate und die Anwendung, und der Rest der Koordinaten wird nicht berührt, daher kann sie im dreidimensionalen Fall verwendet werden, indem einfach die vierte Koordinate ignoriert wird.
Aber mit der Projektionsformel ist nicht alles so einfach. Egal wie viel ich die Foren lese, keine der Projektionsmethoden passte zu mir. Parallel hat mir nicht gepasst, da die Projektion nicht dreidimensional aussehen wird. In einigen Projektionsformeln muss man, um einen Punkt zu finden, ein Gleichungssystem lösen (und ich weiß nicht, wie man einem Computer beibringt, sie zu lösen), ich habe andere einfach nicht verstanden ... Im Allgemeinen habe ich entschieden meinen eigenen Weg zu finden. Betrachten Sie dazu die Projektion 2D->1D.
pov bedeutet "Point of view" (Blickwinkel), ptp bedeutet "Point to project" (zu projizierender Punkt) und ptp` ist angestrebte Stelle auf der OX-Achse.
Die Winkel povptpB und ptpptp`A sind entsprechend gleich (gestrichelte Linie ist parallel zur Achse OX, Linie povptp ist sekant).
Das x von ptp` ist gleich dem x von ptp minus der Länge des Segments ptp`A. Dieses Segment kann aus dem Dreieck ptpptp`A gefunden werden: ptp`A = ptpA/Tangens des Winkels ptpptp`A. Wir können diese Tangente aus dem Dreieck povptpB finden: Tangente des Winkels ptpptp`A = (Ypov-Yptp)(Xpov-Xptp).
Antwort: Xptp`=Xptp-Yptp/Tangens des Winkels ptpptp`A.
Ich habe diesen Algorithmus hier nicht im Detail beschrieben, da es viele Sonderfälle gibt, in denen sich die Formel etwas ändert. Wen interessiert - schauen Sie in den Quellcode des Programms, alles steht in den Kommentaren.
Um einen Punkt im dreidimensionalen Raum auf eine Ebene zu projizieren, betrachten wir einfach zwei Ebenen – XOZ und YOZ – und lösen dieses Problem für jede von ihnen. Im Fall eines vierdimensionalen Raums müssen bereits drei Ebenen betrachtet werden: XOQ, YOQ und ZOQ.
Und schließlich zum Programm. Es funktioniert so: sechzehn Eckpunkte des Tesserakts initialisieren -> abhängig von den vom Benutzer eingegebenen Befehlen drehen -> auf das Volumen projizieren -> abhängig von den vom Benutzer eingegebenen Befehlen seine Projektion drehen -> auf eine Ebene projizieren -> zeichnen.
Projektionen und Drehungen habe ich selbst geschrieben. Sie arbeiten nach den Formeln, die ich gerade beschrieben habe. Die OpenGL-Bibliothek zeichnet Linien und mischt auch Farben. Und die Koordinaten der Scheitelpunkte des Tesserakts werden auf diese Weise berechnet:
Linienscheitelkoordinaten zentriert am Ursprung und Länge 2 - (1) und (-1);
- "-" - ein Quadrat - "-" - und eine Kante der Länge 2:
(1; 1), (-1; 1), (1; -1) und (-1; -1);
- " - " - Würfel - " - " -:
(1; 1; 1), (-1; 1; 1), (1; -1; 1), (-1; -1; 1), (1; 1; -1), (-1; 1; -1), (1; -1; -1), (-1; -1; -1);
Wie Sie sehen können, befindet sich das Quadrat eine Linie über der OY-Achse und eine Linie unter der OY-Achse; ein Würfel ist ein Quadrat vor der XOY-Ebene und eins dahinter; Ein Tesserakt ist ein Würfel auf der anderen Seite des XOYZ-Volumens und einer auf dieser Seite. Aber es ist viel einfacher, diesen Wechsel von Einheiten und Minuseinheiten wahrzunehmen, wenn sie in einer Spalte geschrieben werden
1; 1; 1
-1; 1; 1
1; -1; 1
-1; -1; 1
1; 1; -1
-1; 1; -1
1; -1; -1
-1; -1; -1
In der ersten Spalte wechseln sich eins und minus eins ab. In der zweiten Spalte stehen zuerst zwei Pluspunkte, dann zwei Minuspunkte. Im dritten - vier plus eins und dann vier minus eins. Dies waren die Spitzen des Würfels. Der Tesserakt hat doppelt so viele davon, und deshalb war es notwendig, einen Zyklus zu schreiben, um sie zu deklarieren, sonst ist es sehr leicht, verwirrt zu werden.
Mein Programm kann auch Anaglyphen zeichnen. Glückliche Besitzer einer 3D-Brille können ein stereoskopisches Bild betrachten. Es ist nicht schwierig, ein Bild zu zeichnen, es zeichnet nur zwei Projektionen auf einer Ebene für das rechte und das linke Auge. Aber das Programm wird viel visueller und interessanter, und vor allem - gibt beste Leistungüber die vierdimensionale Welt.
Weniger wichtige Funktionen - Hervorheben eines der Gesichter in Rot, damit Sie die Kurven besser sehen können, sowie kleinere Annehmlichkeiten - Anpassen der Koordinaten der "Augen" -Punkte, Erhöhen und Verringern der Rotationsgeschwindigkeit.
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