irrationale Zahl- Das reelle Zahl, was nicht rational ist, das heißt, kann nicht als Bruch dargestellt werden, wobei ganze Zahlen sind, . Eine irrationale Zahl kann als unendliche, sich nicht wiederholende Dezimalzahl dargestellt werden.

Viele Ir Rationale Zahlen normalerweise großgeschrieben Lateinischer Buchstabe fett ohne Füllung. Also: , d.h. Menge irrationaler Zahlen ist Unterschied von Mengen reeller und rationaler Zahlen.

Genauer gesagt über die Existenz irrationaler Zahlen Segmente, inkommensurabel mit einem Segment der Einheitslänge, waren bereits den alten Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was gleichbedeutend mit der Irrationalität der Zahl ist.

Eigenschaften

• Jede reelle Zahl kann als unendlicher Dezimalbruch geschrieben werden, während irrationale Zahlen und nur sie als nicht periodische unendliche Dezimalbrüche geschrieben werden.
• Irrationale Zahlen Dedekind-Abschnitte in der Menge der rationalen Zahlen definieren, die keine größte Zahl in der unteren Klasse und keine kleinste Zahl in der oberen Klasse haben.
• Jede reelle transzendente Zahl ist irrational.
• Jede irrationale Zahl ist entweder algebraisch oder transzendent.
• Die Menge der irrationalen Zahlen ist überall auf der reellen Geraden dicht: Zwischen zwei beliebigen Zahlen gibt es eine irrationale Zahl.
• Die Ordnung auf der Menge der irrationalen Zahlen ist isomorph zur Ordnung auf der Menge der reellen transzendenten Zahlen.
• Die Menge der irrationalen Zahlen ist unabzählbar, ist eine Menge der zweiten Kategorie.

Beispiele

Irrational sind:

Beispiele für Irrationalitätsbeweise

Wurzel von 2

Nehmen Sie das Gegenteil an: rational , das heißt, es wird in der Form dargestellt irreduzibler Bruch, wobei eine ganze Zahl und eine natürliche Zahl ist. Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren:

Daraus folgt, dass sogar, also sogar und . Lassen Sie das Ganze. Dann

Also sogar, also sogar und . Wir haben das erhalten und sind gerade, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Daher war die ursprüngliche Annahme falsch und ist eine irrationale Zahl.

Binärer Logarithmus der Zahl 3

Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Seit , und sind positiv zu bewerten. Dann

Aber es ist klar, es ist seltsam. Wir bekommen einen Widerspruch.

e

Geschichte

Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. stillschweigend übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) dies herausfand Quadratwurzeln etwas natürliche Zahlen, wie 2 und 61, können nicht explizit ausgedrückt werden.

Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird normalerweise Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.) Zugeschrieben, einem Pythagoräer, der diesen Beweis fand, indem er die Seitenlängen eines Pentagramms untersuchte. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man das dort Einheit Länge, ausreichend klein und unteilbar, was eine ganzzahlige Anzahl von Malen in jedem Segment ist. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gibt, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führt. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse einer gleichschenkligen rechtwinkliges Dreieck eine ganzzahlige Anzahl von Einheitssegmenten enthält, muss diese Anzahl gleichzeitig gerade und ungerade sein. Der Beweis sah so aus:

• Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Schenkellänge eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks kann ausgedrückt werden als: a:b, wo a und b so klein wie möglich gewählt.
• Nach dem Satz des Pythagoras: a² = 2 b².
• Als a² sogar, a muss gerade sein (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade wäre).
• Weil die a:b irreduzibel b muss seltsam sein.
• Als a sogar bezeichnen a = 2j.
• Dann a² = 4 j² = 2 b².
• b² = 2 j² also b ist dann eben b eben.
• Allerdings ist das bewiesen b seltsam. Widerspruch.

Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung gemacht hat, während er dort war Seereise, und wurde von anderen Pythagoräern über Bord geworfen, "weil sie ein Element des Universums geschaffen haben, das die Doktrin leugnet, dass alle Entitäten im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können". Die Entdeckung des Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernsthaftes Problem, indem sie die der ganzen Theorie zugrunde liegende Annahme zerstörte, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

Was sind irrationale Zahlen? Warum heißen sie so? Wo werden sie verwendet und was sind sie? Nur wenige können diese Fragen ohne Zögern beantworten. Tatsächlich sind die Antworten darauf ziemlich einfach, obwohl nicht jeder sie braucht und in sehr seltenen Situationen.

Wesen und Bezeichnung

Irrationale Zahlen sind unendlich nicht periodisch. Die Notwendigkeit, dieses Konzept einzuführen, ergibt sich aus der Tatsache, dass zur Lösung neu auftretender Probleme die zuvor existierenden Konzepte reeller oder reeller, ganzzahliger, natürlicher und rationaler Zahlen nicht mehr ausreichten. Um zum Beispiel zu berechnen, was das Quadrat von 2 ist, muss man nichtperiodisch unendlich verwenden Dezimalstellen. Darüber hinaus haben viele der einfachsten Gleichungen auch keine Lösung, ohne das Konzept einer irrationalen Zahl einzuführen.

Diese Menge wird als I bezeichnet. Und wie bereits klar ist, können diese Werte nicht als einfacher Bruch dargestellt werden, in dessen Zähler sich eine ganze Zahl befindet, und im Nenner -

Auf die eine oder andere Weise stießen indische Mathematiker zum ersten Mal auf dieses Phänomen im 7. Jahrhundert, als entdeckt wurde, dass die Quadratwurzeln einiger Größen nicht explizit angegeben werden können. Und der erste Beweis für die Existenz solcher Zahlen wird dem Pythagoreer Hippasus zugeschrieben, der dies bei der Untersuchung eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks tat. Einen ernsthaften Beitrag zum Studium dieses Satzes leisteten einige andere Wissenschaftler, die vor unserer Zeitrechnung lebten. Die Einführung des Begriffs der irrationalen Zahlen führte zu einer Revision des Bestehenden mathematisches System, deshalb sind sie so wichtig.

Herkunft des Namens

Wenn das lateinische Verhältnis "Bruch", "Verhältnis" ist, dann ist die Vorsilbe "ir"
gibt dieses Wort entgegengesetzte Bedeutung. Daher zeigt der Name der Menge dieser Zahlen an, dass sie nicht mit einer ganzen Zahl oder einem Bruch korreliert werden können, sie haben einen separaten Platz. Dies ergibt sich aus ihrer Natur.

Platz in der Gesamtwertung

Irrationale Zahlen gehören zusammen mit rationalen Zahlen zur Gruppe der reellen oder reellen Zahlen, die wiederum komplex sind. Es gibt keine Teilmengen, jedoch algebraische und transzendente Varietäten, die weiter unten besprochen werden.

Eigenschaften

Da irrationale Zahlen Teil der Menge der reellen Zahlen sind, gelten für sie alle ihre Eigenschaften, die in der Arithmetik untersucht werden (sie werden auch als algebraische Grundgesetze bezeichnet).

a + b = b + a (Kommutativität);

(a + b) + c = a + (b + c) (Assoziativität);

a + (-a) = 0 (die Existenz der Gegenzahl);

ab = ba (Verschiebungsgesetz);

(ab)c = a(bc) (Distributivität);

a(b+c) = ab + ac (Distributivgesetz);

a x 1/a = 1 (die Existenz einer inversen Zahl);

Der Vergleich erfolgt auch gem allgemeine Muster und Prinzipien:

Wenn a > b und b > c, dann a > c (Transitivität der Relation) und. usw.

Natürlich lassen sich alle irrationalen Zahlen mit der Basis transformieren Rechenoperationen. Keiner besondere Regeln während nicht.

Darüber hinaus erstreckt sich die Wirkung des Axioms von Archimedes auf irrationale Zahlen. Es besagt, dass für zwei beliebige Größen a und b die Aussage wahr ist, dass man b schlagen kann, wenn man a oft genug als Term nimmt.

Verwendungszweck

Trotz der Tatsache, dass in gewöhnliches Leben nicht so oft hat man damit zu tun, irrationale Zahlen sind nicht zählbar. Sie große Menge aber sie sind fast unsichtbar. Wir sind überall von irrationalen Zahlen umgeben. Allen bekannte Beispiele sind pi, was 3,1415926 ist... oder e, was im Wesentlichen die Basis ist natürlicher Logarithmus, 2.718281828... In Algebra, Trigonometrie und Geometrie müssen Sie sie ständig verwenden. Übrigens, berühmte bedeutung„Goldener Schnitt“, also das Verhältnis des größeren Teils zum kleineren und umgekehrt

gehört zu diesem Satz. Weniger bekanntes "Silber" - auch.

Auf dem Zahlenstrahl liegen sie sehr dicht beieinander, so dass zwischen je zwei Größen, die mit der Menge der rationalen zusammenhängen, mit Sicherheit eine irrationale auftritt.

Es gibt noch viele ungelöste Probleme diesem Satz zugeordnet. Es gibt solche Kriterien wie das Maß der Irrationalität und die Normalität einer Zahl. Mathematiker untersuchen weiterhin die wichtigsten Beispiele auf ihre Zugehörigkeit zu der einen oder anderen Gruppe. Beispielsweise wird davon ausgegangen, dass e eine normale Zahl ist, dh die Wahrscheinlichkeit, dass verschiedene Ziffern in ihrer Eingabe erscheinen, gleich ist. Was Pi anbelangt, so wird noch geforscht. Ein Maß für die Irrationalität ist ein Wert, der angibt, wie gut eine bestimmte Zahl durch rationale Zahlen angenähert werden kann.

Algebraisch und transzendental

Wie bereits erwähnt, werden irrationale Zahlen bedingt in algebraische und transzendente unterteilt. Bedingt, da diese Klassifikation streng genommen dazu dient, die Menge C zu teilen.

Versteckt unter dieser Bezeichnung komplexe Zahlen, die real oder real enthalten.

Ein algebraischer Wert ist also ein Wert, der die Wurzel eines Polynoms ist, das nicht identisch gleich Null ist. Zum Beispiel würde die Quadratwurzel von 2 in diese Kategorie fallen, weil sie die Lösung der Gleichung x 2 - 2 = 0 ist.

Doch der Rest reale Nummern, die diese Bedingung nicht erfüllen, heißen transzendental. Diese Vielfalt enthält die bekanntesten und bereits erwähnten Beispiele - die Zahl Pi und die Basis des natürlichen Logarithmus e.

Interessanterweise wurde weder das eine noch das zweite ursprünglich von Mathematikern in dieser Eigenschaft abgeleitet, ihre Irrationalität und Transzendenz wurden viele Jahre nach ihrer Entdeckung bewiesen. Für pi wurde der Beweis 1882 geführt und 1894 vereinfacht, womit die 2500-jährige Kontroverse um das Problem der Quadratur des Kreises beendet wurde. Es ist immer noch nicht vollständig verstanden, also haben moderne Mathematiker etwas zu tun. Die erste hinreichend genaue Berechnung dieses Wertes wurde übrigens von Archimedes durchgeführt. Vor ihm waren alle Berechnungen zu ungefähr.

Für e (die Euler- oder Napier-Zahl) wurde 1873 ein Beweis für ihre Transzendenz gefunden. Es wird zum Lösen von logarithmischen Gleichungen verwendet.

Andere Beispiele sind Sinus-, Cosinus- und Tangens-Werte für beliebige algebraische Werte ungleich Null.

Die Menge der irrationalen Zahlen wird normalerweise mit einem lateinischen Großbuchstaben bezeichnet Ich (\displaystyle \mathbb (I) ) fett ohne Füllung. Auf diese Weise: Ich = R ∖ Q (\displaystyle \mathbb (I) =\mathbb (R) \backslash \mathbb (Q) ), das heißt, die Menge der irrationalen Zahlen ist die Differenz zwischen der Menge der reellen und der rationalen Zahlen.

Die Existenz irrationaler Zahlen, genauer gesagt Segmente, die mit einem Segment der Einheitslänge inkommensurabel sind, war bereits den alten Mathematikern bekannt: Sie kannten beispielsweise die Inkommensurabilität der Diagonalen und der Seite des Quadrats, was der Irrationalität entspricht der Nummer.

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  Irrational sind:

  Beispiele für Irrationalitätsbeweise

  Wurzel von 2

  Sagen wir das Gegenteil: 2 (\displaystyle (\sqrt (2))) rational, das heißt als Bruch dargestellt mn (\displaystyle (\frac (m)(n))), wo m (\displaystyle m) ist eine ganze Zahl, und n (\displaystyle n)- natürliche Zahl .

  Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren:

  2 = m n ⇒ 2 = m 2 n 2 ⇒ m 2 = 2 n 2 (\displaystyle (\sqrt (2))=(\frac (m)(n))\Rightarrow 2=(\frac (m^(2 ))(n^(2)))\Rechtspfeil m^(2)=2n^(2)).

  Geschichte

  Antike

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können [ ] .

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird gewöhnlich Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.), einem Pythagoräer, zugeschrieben. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die ausreichend klein und unteilbar ist und eine ganzzahlige Anzahl von Malen in jedem Segment enthalten ist [ ] .

  Es gibt keine genauen Daten über die Irrationalität dieser Zahl, die von Hippasus bewiesen wurde. Der Legende nach fand er es, indem er die Seitenlängen des Pentagramms studierte. Daher ist es vernünftig anzunehmen, dass dies der goldene Schnitt war [ ] .

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung während einer Seereise machte und von anderen Pythagoräern über Bord geworfen wurde, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Doktrin leugnet, dass alle Wesen im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können. " Die Entdeckung des Hippas stellte die pythagoreische Mathematik vor ernstes Problem, was die Annahme zerstört, die der ganzen Theorie zugrunde liegt, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

  Mit einem Segment der Einheitslänge wussten schon die alten Mathematiker: Sie kannten zum Beispiel die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was gleichbedeutend mit der Irrationalität der Zahl ist.

  Irrational sind:

  Beispiele für Irrationalitätsbeweise

  Wurzel von 2

  Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als irreduzibler Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren:

  .

  Daraus folgt, dass sogar, also sogar und . Lassen Sie das Ganze. Dann

  Also sogar, also sogar und . Wir haben das erhalten und sind gerade, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Daher war die ursprüngliche Annahme falsch und ist eine irrationale Zahl.

  Binärer Logarithmus der Zahl 3

  Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Seit , und sind positiv zu bewerten. Dann

  Aber es ist klar, es ist seltsam. Wir bekommen einen Widerspruch.

  e

  Geschichte

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können.

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird normalerweise Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.) Zugeschrieben, einem Pythagoräer, der diesen Beweis fand, indem er die Seitenlängen eines Pentagramms untersuchte. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die ausreichend klein und unteilbar ist und in jedem Segment eine ganze Zahl von Malen enthalten ist. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gibt, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führt. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks eine ganze Zahl von Einheitssegmenten enthält, diese Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein muss. Der Beweis sah so aus:

  • Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Schenkellänge eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks kann ausgedrückt werden als: a:b, wo a und b so klein wie möglich gewählt.
  • Nach dem Satz des Pythagoras: a² = 2 b².
  • Als a² sogar, a muss gerade sein (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade wäre).
  • Weil die a:b irreduzibel b muss seltsam sein.
  • Als a sogar bezeichnen a = 2j.
  • Dann a² = 4 j² = 2 b².
  • b² = 2 j² also b ist dann eben b eben.
  • Allerdings ist das bewiesen b seltsam. Widerspruch.

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung während einer Seereise machte und von anderen Pythagoräern über Bord geworfen wurde, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Doktrin leugnet, dass alle Wesen im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können. " Die Entdeckung des Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernsthaftes Problem, indem sie die der ganzen Theorie zugrunde liegende Annahme zerstörte, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

  siehe auch

  Anmerkungen

  Numerische Systeme
  Zählen setzt	Natürliche Zahlen () Ganzzahlen ()

  Mit einem Segment der Einheitslänge wussten schon die alten Mathematiker: Sie kannten zum Beispiel die Inkommensurabilität der Diagonale und der Seite des Quadrats, was gleichbedeutend mit der Irrationalität der Zahl ist.

  Irrational sind:

  Beispiele für Irrationalitätsbeweise

  Wurzel von 2

  Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als irreduzibler Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Lassen Sie uns die vermeintliche Gleichheit quadrieren:

  .

  Daraus folgt, dass sogar, also sogar und . Lassen Sie das Ganze. Dann

  Also sogar, also sogar und . Wir haben das erhalten und sind gerade, was der Irreduzibilität des Bruchs widerspricht. Daher war die ursprüngliche Annahme falsch und ist eine irrationale Zahl.

  Binärer Logarithmus der Zahl 3

  Nehmen Sie das Gegenteil an: Es ist rational, das heißt, es wird als Bruch dargestellt, wobei und ganze Zahlen sind. Seit , und sind positiv zu bewerten. Dann

  Aber es ist klar, es ist seltsam. Wir bekommen einen Widerspruch.

  e

  Geschichte

  Das Konzept der irrationalen Zahlen wurde von indischen Mathematikern im 7. Jahrhundert v. Chr. implizit übernommen, als Manawa (ca. 750 v. Chr. - ca. 690 v. Chr.) herausfand, dass die Quadratwurzeln einiger natürlicher Zahlen wie 2 und 61 nicht explizit ausgedrückt werden können.

  Der erste Beweis für die Existenz irrationaler Zahlen wird normalerweise Hippasus von Metapontus (ca. 500 v. Chr.) Zugeschrieben, einem Pythagoräer, der diesen Beweis fand, indem er die Seitenlängen eines Pentagramms untersuchte. Zur Zeit der Pythagoräer glaubte man, dass es eine einzige Längeneinheit gibt, die ausreichend klein und unteilbar ist und in jedem Segment eine ganze Zahl von Malen enthalten ist. Hippasus argumentierte jedoch, dass es keine einzelne Längeneinheit gibt, da die Annahme ihrer Existenz zu einem Widerspruch führt. Er zeigte, dass, wenn die Hypotenuse eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks eine ganze Zahl von Einheitssegmenten enthält, diese Zahl gleichzeitig gerade und ungerade sein muss. Der Beweis sah so aus:

  • Das Verhältnis der Länge der Hypotenuse zur Schenkellänge eines gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecks kann ausgedrückt werden als: a:b, wo a und b so klein wie möglich gewählt.
  • Nach dem Satz des Pythagoras: a² = 2 b².
  • Als a² sogar, a muss gerade sein (da das Quadrat einer ungeraden Zahl ungerade wäre).
  • Weil die a:b irreduzibel b muss seltsam sein.
  • Als a sogar bezeichnen a = 2j.
  • Dann a² = 4 j² = 2 b².
  • b² = 2 j² also b ist dann eben b eben.
  • Allerdings ist das bewiesen b seltsam. Widerspruch.

  Griechische Mathematiker nannten dieses Verhältnis inkommensurabler Größen Alogos(unaussprechlich), aber den Legenden nach wurde Hippasus nicht der gebührende Respekt gezollt. Es gibt eine Legende, dass Hippasus die Entdeckung während einer Seereise machte und von anderen Pythagoräern über Bord geworfen wurde, „weil er ein Element des Universums erschaffen hatte, das die Doktrin leugnet, dass alle Wesen im Universum auf ganze Zahlen und ihre Verhältnisse reduziert werden können. " Die Entdeckung des Hippasus stellte die pythagoräische Mathematik vor ein ernsthaftes Problem, indem sie die der ganzen Theorie zugrunde liegende Annahme zerstörte, dass Zahlen und geometrische Objekte eins und untrennbar sind.

  siehe auch

  Anmerkungen

  Numerische Systeme
  Zählen setzt	Natürliche Zahlen () Ganzzahlen ()