Dieser Artikel setzt das Thema Transformation fort algebraische Brüche: Betrachten Sie eine solche Aktion als die Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns den Begriff selbst definieren, die Abkürzungsregel formulieren und praktische Beispiele analysieren.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Bedeutung der Abkürzung für algebraische Brüche

In Materialien über gemeinsamer Bruchteil Wir haben seine Reduzierung in Betracht gezogen. Wir haben die Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs als Division seines Zählers und Nenners durch definiert gemeinsamer Faktor.

Das Kürzen eines algebraischen Bruchs ist eine ähnliche Operation.

Bestimmung 1

Algebraische Bruchreduktion ist die Division von Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler. Dabei kann im Gegensatz zur Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs (nur eine Zahl kann ein gemeinsamer Nenner sein) ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl, als gemeinsamer Faktor für Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs dienen.

Beispielsweise kann der algebraische Bruch 3 x 2 + 6 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 um die Zahl 3 gekürzt werden, als Ergebnis erhalten wir: x 2 + 2 x y 6 x 3 y + 12 x 2 y 2 . Wir können denselben Bruch durch die Variable x kürzen, und das ergibt den Ausdruck 3 x + 6 y 6 x 2 y + 12 x y 2 . Es ist auch möglich, einen gegebenen Bruch durch ein Monom zu kürzen 3x oder eines der Polynome x + 2 j, 3 x + 6 y , x 2 + 2 x y oder 3 x 2 + 6 x y.

Das ultimative Ziel, einen algebraischen Bruch zu kürzen, ist ein Bruch größer als einfache Form, in I'm besten fall ist ein irreduzibler Bruch.

Unterliegen alle algebraischen Brüche der Kürzung?

Auch hier wissen wir aus den Materialien über gewöhnliche Brüche, dass es reduzierbare und irreduzible Brüche gibt. Nicht reduzierbar - Dies sind Brüche, die keine gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner außer 1 haben.

Bei algebraischen Brüchen ist alles gleich: Sie können gemeinsame Faktoren von Zähler und Nenner haben oder nicht. Das Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ermöglicht es Ihnen, den ursprünglichen Bruch durch Reduktion zu vereinfachen. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist es unmöglich, einen gegebenen Bruch durch das Reduktionsverfahren zu optimieren.

In allgemeinen Fällen gegebene Form Fraktionen ist ziemlich schwer zu verstehen, ob sie einer Kürzung unterliegen. Natürlich ist in einigen Fällen das Vorhandensein eines gemeinsamen Teilers von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist beim algebraischen Bruch 3 · x 2 3 · y ziemlich klar, dass der gemeinsame Teiler die Zahl 3 ist.

Bei einem Bruch - x · y 5 · x · y · z 3 verstehen wir auch sofort, dass es möglich ist, ihn um x, oder y, oder um x · y zu kürzen. Und doch sind Beispiele für algebraische Brüche viel häufiger, wenn der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht so leicht zu erkennen ist, und noch häufiger - er fehlt einfach.

Beispielsweise können wir den Bruch x 3 - 1 x 2 - 1 um x - 1 kürzen, während der angegebene gemeinsame Teiler nicht im Datensatz steht. Aber der Bruch x 3 - x 2 + x - 1 x 3 + x 2 + 4 x + 4 lässt sich nicht kürzen, da Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler haben.

Daher ist die Frage, die Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs herauszufinden, nicht so einfach, und es ist oft einfacher, mit einem Bruch einer gegebenen Form zu arbeiten, als herauszufinden, ob er kontrahierbar ist. Dabei finden solche Transformationen statt, die uns im Einzelfall erlauben, den gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner zu bestimmen oder auf irreduzible Brüche zu schließen. Lassen Sie uns dieses Problem im Detail untersuchen in nächsten Absatz Artikel.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Algebraische Bruchreduktionsregel besteht aus zwei aufeinanderfolgenden Schritten:

• Finden der gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner;
• im Falle einer solchen Feststellung die Durchführung der direkten Aktion zur Reduzierung des Anteils.

Die bequemste Methode zum Finden gemeinsamer Nenner besteht darin, die Polynome zu faktorisieren, die im Zähler und Nenner eines gegebenen algebraischen Bruchs vorhanden sind. Auf diese Weise können Sie das Vorhandensein oder Fehlen gemeinsamer Faktoren sofort visuell erkennen.

Die eigentliche Aktion des Reduzierens eines algebraischen Bruchs basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, ausgedrückt durch die Gleichheit undefined , wobei a , b , c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Der erste Schritt besteht darin, den Bruch auf die Form a c b c zu kürzen, wobei wir sofort den gemeinsamen Teiler c bemerken. Der zweite Schritt besteht darin, die Reduktion durchzuführen, d.h. Übergang zu einem Bruch der Form a b .

Typische Beispiele

Lassen Sie uns trotz einiger Offensichtlichkeiten klären besonderer Fall wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gleich sind. Ähnliche Brüche auf der gesamten ODZ der Variablen dieses Bruchteils identisch gleich 1 sind:

5 5 = 1; - 2 3 - 2 3 = 1; x x = 1 ; - 3, 2 x 3 - 3, 2 x 3 = 1; 1 2 x - x 2 j 1 2 x - x 2 j ;

Da gewöhnliche Brüche ein Spezialfall von algebraischen Brüchen sind, erinnern wir uns, wie sie gekürzt werden. Die in Zähler und Nenner geschriebenen natürlichen Zahlen werden in Primfaktoren zerlegt, dann werden die gemeinsamen Faktoren (falls vorhanden) reduziert.

Beispiel: 24 1260 = 2 2 2 3 2 2 3 3 5 7 = 2 3 5 7 = 2 105

Das Produkt einfacher identischer Faktoren kann als Grade geschrieben werden, und bei der Bruchkürzung die Eigenschaft der Division von Graden mit verwenden die gleichen Gründe. Dann wäre die obige Lösung:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 - 2 3 2 - 1 5 7 = 2 105

(Zähler und Nenner dividiert durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3). Oder wir geben der Klarheit halber, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, der Lösung die folgende Form:

24 1260 = 2 3 3 2 2 3 2 5 7 = 2 3 2 2 3 3 2 1 5 7 = 2 1 1 3 1 35 = 2 105

Analog erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, bei denen Zähler und Nenner Monome mit ganzzahligen Koeffizienten haben.

Beispiel 1

Gegeben sei ein algebraischer Bruch -27 · a 5 · b 2 · c · z 6 · a 2 · b 2 · c 7 · z . Es muss reduziert werden.

Entscheidung

Es ist möglich, Zähler und Nenner eines gegebenen Bruchs als Produkt zu schreiben Hauptfaktoren und Variablen, und reduzieren Sie dann:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 3 a a a a a a b b c z 2 3 a a b b c c c c c c c c z = = - 3 3 a a a 2 c c c c c c c = - 9 a 3 2 c 6

Allerdings mehr auf rationale Weise die Lösung wird als Ausdruck mit Potenzen geschrieben:

27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 a 5 b 2 c z 2 3 a 2 b 2 c 7 z = - 3 3 2 3 a 5 a 2 b 2 b 2 c c 7 z z = = - 3 3 - 1 2 ein 5 - 2 1 1 1 c 7 - 1 1 = - 3 2 ein 3 2 c 6 = - 9 ein 3 2 c 6 .

Antworten:- 27 a 5 b 2 c z 6 a 2 b 2 c 7 z = - 9 a 3 2 c 6

Wenn im Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs gebrochene numerische Koeffizienten vorhanden sind, gibt es zwei Möglichkeiten weitere Maßnahmen: Teilen Sie diese Bruchkoeffizienten entweder separat, oder entfernen Sie zuerst die Bruchkoeffizienten, indem Sie Zähler und Nenner mit einigen multiplizieren natürliche Zahl. Die letzte Transformation wird aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt (Sie können darüber im Artikel „Reduzieren eines algebraischen Bruchs auf einen neuen Nenner“ nachlesen).

Beispiel 2

Gegeben sei ein Bruch 2 5 x 0 , 3 x 3 . Es muss reduziert werden.

Entscheidung

Man kann den Bruch wie folgt kürzen:

2 5 x 0, 3 x 3 = 2 5 3 10 x x 3 = 4 3 1 x 2 = 4 3 x 2

Versuchen wir, das Problem anders zu lösen, nachdem wir zuvor die Bruchkoeffizienten beseitigt haben - wir multiplizieren Zähler und Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner dieser Koeffizienten, d.h. pro LCM(5, 10) = 10. Dann bekommen wir:

2 5 x 0, 3 x 3 = 10 2 5 x 10 0, 3 x 3 = 4 x 3 x 3 = 4 3 x 2.

Antwort: 2 5 x 0, 3 x 3 = 4 3 x 2

Wenn wir algebraische Brüche kürzen Gesamtansicht, bei denen Zähler und Nenner sowohl Monome als auch Polynome sein können, ist ein Problem möglich, wenn der gemeinsame Teiler nicht immer sofort sichtbar ist. Oder mehr noch, es existiert einfach nicht. Dann werden Zähler und Nenner des algebraischen Bruchs faktorisiert, um den gemeinsamen Teiler zu bestimmen oder die Tatsache seines Fehlens zu beheben.

Beispiel 3

Gegeben sei ein rationaler Bruch 2 · a 2 · b 2 + 28 · a · b 2 + 98 · b 2 a 2 · b 3 - 49 · b 3 . Es muss gekürzt werden.

Entscheidung

Zerlegen wir die Polynome in Zähler und Nenner. Machen wir die Klammern:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49)

Wir sehen, dass der Ausdruck in Klammern mit den abgekürzten Multiplikationsformeln umgewandelt werden kann:

2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7)

Es ist deutlich zu sehen, dass es möglich ist, den Bruch um einen gemeinsamen Faktor zu reduzieren b 2 (a + 7). Nehmen wir eine Kürzung vor:

2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Schnelle Lösung ohne Erklärung schreiben wir als Gleichheitskette:

2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 b 2 (a 2 + 14 a + 49) b 3 (a 2 - 49) = = 2 b 2 (a + 7) 2 b 3 (a - 7) (a + 7) = 2 (a + 7) b (a - 7) = 2 a + 14 a b - 7 b

Antworten: 2 a 2 b 2 + 28 a b 2 + 98 b 2 a 2 b 3 - 49 b 3 = 2 a + 14 a b - 7 b .

Es kommt vor, dass die gemeinsamen Faktoren durch numerische Koeffizienten verdeckt werden. Dann ist es beim Kürzen von Brüchen optimal, die Zahlenfaktoren bei höheren Potenzen von Zähler und Nenner herauszunehmen.

Beispiel 4

Gegeben sei ein algebraischer Bruch 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 . Es sollte nach Möglichkeit reduziert werden.

Entscheidung

Zähler und Nenner existieren auf den ersten Blick nicht gemeinsamer Nenner. Versuchen wir jedoch, den angegebenen Bruch umzuwandeln. Nehmen wir den Faktor x im Zähler heraus:

1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2

Jetzt können Sie aufgrund von x 2 y eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Ausdruck in Klammern und dem Ausdruck im Nenner erkennen . Nehmen wir die numerischen Koeffizienten bei höheren Potenzen dieser Polynome heraus:

x 1 5 - 2 7 x 2 y 5 x 2 y - 3 1 2 = x - 2 7 - 7 2 1 5 + x 2 y 5 x 2 y - 1 5 3 1 2 = = - 2 7 x - 7 10 + x 2 j 5 x 2 j - 7 10

Jetzt wird der gemeinsame Multiplikator sichtbar, wir führen die Reduktion durch:

2 7 x - 7 10 + x 2 y 5 x 2 y - 7 10 = - 2 7 x 5 = - 2 35 x

Antworten: 1 5 x - 2 7 x 3 y 5 x 2 y - 3 1 2 = - 2 35 x .

Lassen Sie uns betonen, dass die Fähigkeit, rationale Brüche zu kürzen, von der Fähigkeit abhängt, Polynome zu faktorisieren.

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Enter

In diesem Artikel werden wir uns ansehen Grundoperationen mit algebraischen Brüchen:

• Fraktionsreduktion
• Multiplikation von Brüchen
• Division von Brüchen

Lass uns beginnen mit Abkürzungen für algebraische Brüche.

Scheinbar, Algorithmus klar.

Zu algebraische Brüche reduzieren, brauchen

1. Faktorisiere Zähler und Nenner eines Bruchs.

2. Reduzieren Sie dieselben Multiplikatoren.

Allerdings machen Schüler oft den Fehler, nicht die Faktoren, sondern die Begriffe zu „kürzen“. Es gibt zum Beispiel Laien, die in Bruchteilen „durch“ „reduzieren“ und als Ergebnis kommen, was natürlich nicht stimmt.

Betrachten Sie Beispiele:

1. Bruchteil kürzen:

1. Wir zerlegen den Zähler nach der Summenquadratformel und den Nenner nach der Quadratdifferenzformel

2. Teilen Sie Zähler und Nenner durch

2. Bruchteil kürzen:

1. Faktorisiere den Zähler. Da der Zähler vier Terme enthält, wenden wir die Gruppierung an.

2. Faktorisiere den Nenner. Gleiches gilt für die Gruppierung.

3. Schreiben wir den Bruch auf, den wir erhalten haben, und reduzieren wir dieselben Faktoren:

Multiplikation algebraischer Brüche.

Bei der Multiplikation algebraischer Brüche multiplizieren wir den Zähler mit dem Zähler und den Nenner mit dem Nenner.

Wichtig! Sie müssen sich nicht beeilen, um eine Multiplikation im Zähler und Nenner eines Bruchs durchzuführen. Nachdem wir das Produkt der Zähler von Brüchen in den Zähler und das Produkt der Nenner in den Nenner geschrieben haben, müssen wir jeden Faktor faktorisieren und den Bruch kürzen.

Betrachten Sie Beispiele:

3. Den Ausdruck vereinfachen:

1. Schreiben wir das Produkt von Brüchen: im Zähler das Produkt der Zähler und im Nenner das Produkt der Nenner:

2. Wir faktorisieren jede Klammer:

Jetzt müssen wir dieselben Multiplikatoren reduzieren. Beachten Sie, dass sich die Ausdrücke und nur im Vorzeichen unterscheiden: und als Ergebnis der Division des ersten Ausdrucks durch den zweiten erhalten wir -1.

So,

Wir führen die Division algebraischer Brüche nach folgender Regel durch:

Also Um durch einen Bruch zu dividieren, musst du mit dem "umgekehrten" multiplizieren.

Wir sehen, dass die Division von Brüchen auf Multiplikation reduziert wird, und Multiplikation läuft letztlich auf die Kürzung von Brüchen hinaus.

Betrachten Sie ein Beispiel:

4. Den Ausdruck vereinfachen:

Bevor Sie mit dem Studium algebraischer Brüche fortfahren, empfehlen wir Ihnen, sich daran zu erinnern, wie man mit gewöhnlichen Brüchen arbeitet.

Jeder Bruch, der einen Buchstabenfaktor hat, wird als algebraischer Bruch bezeichnet.

Beispiele algebraische Brüche.

Wie ein gewöhnlicher Bruch hat ein algebraischer Bruch einen Zähler (oben) und einen Nenner (unten).

Algebraische Bruchreduktion

Der algebraische Bruch kann gekürzt werden. Verwenden Sie beim Kürzen die Regeln zum Kürzen gewöhnlicher Brüche.

Wir erinnern Sie daran, dass wir beim Kürzen eines gewöhnlichen Bruchs sowohl den Zähler als auch den Nenner durch dieselbe Zahl dividiert haben.

Ein algebraischer Bruch wird auf die gleiche Weise gekürzt, aber nur Zähler und Nenner werden durch dasselbe Polynom dividiert.

Prüfen Beispiel für die Reduktion von algebraischen Brüchen.

Lassen Sie uns die definieren geringeren Grades, die das Monom " a " enthält . Geringster Grad denn das Monom „a“ steht im Nenner – das ist der zweite Grad.

Teilen Sie sowohl den Zähler als auch den Nenner durch „ a 2 “. Beim Dividieren von Monomen verwenden wir die Eigenschaft des Quotientengrads.

Wir erinnern Sie daran, dass jeder Buchstabe oder jede Zahl in Null Grad ist eine Einheit.

Es ist nicht nötig, jedes Mal im Detail aufzuschreiben, worauf der algebraische Bruch reduziert wurde. Es reicht aus, sich den Grad der Reduzierung zu merken und nur das Ergebnis aufzuschreiben.

Eine kurze Notation für die Reduktion eines algebraischen Bruchs ist wie folgt.

Sie können nur dieselben Buchstabenmultiplikatoren reduzieren.

Kann nicht geschnitten werden

Kann gekürzt werden

Weitere Beispiele für die Kürzung algebraischer Brüche.

Wie man einen Bruch mit Polynomen kürzt

Betrachten Sie ein weiteres Beispiel für einen algebraischen Bruch. Es ist erforderlich, einen algebraischen Bruch zu kürzen, der ein Polynom im Zähler hat.

Sie können ein Polynom in Klammern nur mit genau demselben Polynom in Klammern reduzieren!

Auf keinen Fall kann kein Teil schneiden Polynom in Klammern!

Nicht in Ordnung

Es ist sehr einfach zu bestimmen, wo ein Polynom endet. Zwischen Polynomen darf nur ein Multiplikationszeichen stehen. Das gesamte Polynom steht in Klammern.

Nachdem wir die Polynome eines algebraischen Bruchs definiert haben, kürzen wir das Polynom „(m − n)“ im Zähler durch das Polynom „(m − n)“ im Nenner.

Beispiele zur Reduktion algebraischer Brüche mit Polynomen.

Herausnehmen eines gemeinsamen Faktors beim Kürzen von Brüchen

Damit identische Polynome in algebraischen Brüchen erscheinen, ist es manchmal notwendig, den gemeinsamen Teiler aus Klammern herauszunehmen.

In dieser Form ist es unmöglich, den algebraischen Bruch zu reduzieren, da das Polynom
"(3f + k)" kann nur mit dem Polynom "(3f + k)" reduziert werden.

Um also „(3f + k)“ im Zähler zu erhalten, nehmen wir den gemeinsamen Faktor „5“ heraus.

Brüche kürzen mit abgekürzten Multiplikationsformeln

In anderen Beispielen erfordert das Reduzieren von algebraischen Brüchen
Anwendung abgekürzter Multiplikationsformeln.

In seiner ursprünglichen Form ist es unmöglich, einen algebraischen Bruch zu kürzen, da es keine identischen Polynome gibt.

Aber wenn wir die Differenz-der-Quadrate-Formel auf das Polynom „(a 2 − b 2)“ anwenden, dann werden die gleichen Polynome erscheinen.

Weitere Beispiele für die Reduzierung algebraischer Brüche mit abgekürzten Multiplikationsformeln.

Die Reduktion algebraischer (rationaler) Brüche basiert auf ihrer Haupteigenschaft: Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch dasselbe Polynom ungleich Null geteilt werden, wird ein gleicher Bruch erhalten.

Sie können nur Multiplikatoren reduzieren!

Mitglieder von Polynomen können nicht reduziert werden!

Um einen algebraischen Bruch zu kürzen, müssen zunächst die Polynome in Zähler und Nenner faktorisiert werden.

Betrachten Sie Beispiele für die Bruchreduktion.

Zähler und Nenner eines Bruchs sind Monome. Sie repräsentieren Arbeit(Zahlen, Variablen und ihre Grade), Multiplikatoren wir können reduzieren.

Wir reduzieren die Zahlen um ihre größten gemeinsamer Teiler, das heißt, auf größte Zahl, durch die jede der gegebenen Zahlen teilbar ist. Bei 24 und 36 ist dies 12. Nach der Reduzierung von 24 bleibt 2 übrig, von 36 - 3.

Wir reduzieren die Grade um den Grad mit dem kleinsten Indikator. Einen Bruch zu kürzen bedeutet, Zähler und Nenner durch denselben Divisor zu dividieren, und beim Dividieren der Potenzen subtrahieren wir die Indikatoren.

a² und a⁷ werden um a² reduziert. Gleichzeitig bleibt eins im Zähler von a² (wir schreiben 1 nur, wenn nach der Reduktion keine anderen Faktoren mehr übrig sind. Von 24 bleibt 2 übrig, also schreiben wir die 1, die von a² übrig bleibt, nicht). Aus a⁷ bleibt nach Reduktion a⁵.

b und b werden mit b abgekürzt, die resultierenden Einheiten werden nicht geschrieben.

c³º und c⁵ werden um c⁵ reduziert. Aus c³º bleibt c²⁵, aus c⁵ - Einheit (schreiben wir nicht). Auf diese Weise,

Zähler und Nenner eines gegebenen algebraischen Bruchs sind Polynome. Es ist unmöglich, die Terme von Polynomen zu reduzieren! (nicht kürzbar, z. B. 8x² und 2x!). Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen die Polynome faktorisiert werden. Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 4x. Nehmen wir es aus der Klammer:

Sowohl der Zähler als auch der Nenner haben denselben Faktor (2x-3). Wir reduzieren den Bruch um diesen Faktor. Wir haben im Zähler 4x, im Nenner 1. Gemäß 1-Eigenschaft algebraischer Brüche ist der Bruch 4x.

Sie können nur Faktoren kürzen (Sie können einen bestimmten Bruch nicht um 25x² kürzen!). Daher müssen die Polynome im Zähler und Nenner eines Bruchs faktorisiert werden.

Im Zähler - volles Quadrat Summen im Nenner - die Differenz der Quadrate. Nach Erweiterung mit den Formeln der abgekürzten Multiplikation erhalten wir:

Wir kürzen den Bruch um (5x + 1) (dazu die beiden im Zähler als Exponent streichen, aus (5x + 1) ² bleibt (5x + 1)):

Der Zähler hat einen gemeinsamen Faktor von 2, nehmen wir ihn aus der Klammer. Im Nenner - die Formel für die Differenz von Kubikzahlen:

Durch Erweiterung in Zähler und Nenner erhalten wir denselben Faktor (9 + 3a + a²). Wir kürzen den Bruch darauf:

Das Polynom im Zähler besteht aus 4 Gliedern. Wir gruppieren den ersten Term mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten und nehmen den gemeinsamen Faktor x² aus der ersten Klammer heraus. Wir zerlegen den Nenner nach der Formel für die Kubiksumme:

Im Zähler nehmen wir den gemeinsamen Teiler (x + 2) aus Klammern heraus:

Wir kürzen den Bruch um (x + 2):

Wir können nur Multiplikatoren reduzieren! Um diesen Bruch zu kürzen, müssen Sie die Polynome in Zähler und Nenner faktorisieren. Im Zähler ist der gemeinsame Faktor a³, im Nenner - a⁵. Nehmen wir sie aus den Klammern:

Multiplikatoren - Potenzen mit gleicher Basis a³ und a⁵ - werden um a³ reduziert. Aus a³ bleibt 1, wir schreiben es nicht, aus a⁵ bleibt a². Im Zähler kann der Klammerausdruck als Differenz von Quadraten erweitert werden:

Wir kürzen den Bruch um einen gemeinsamen Teiler (1 + a):

Wie man Brüche des Formulars kürzt

bei dem sich die Ausdrücke in Zähler und Nenner nur in Vorzeichen unterscheiden?

Wir werden uns beim nächsten Mal Beispiele für die Reduzierung solcher Brüche ansehen.

2 Kommentare

Sehr gute Seite, ich benutze sie jeden Tag und sie hilft.
Bevor ich auf diese Seite gestoßen bin, wusste ich nicht, wie man viel in Algebra, Geometrie löst, aber dank dieser Seite sind meine Noten a 3 um 4-5 gestiegen.
Jetzt kann ich sicher die OGE machen und habe keine Angst, dass ich sie nicht bestehe!
Lerne und du wirst erfolgreich sein!

Vitya, ich wünsche dir viel Erfolg in deinem Studium und hohe Ergebnisse bei Prüfungen!

www.algebraclass.ru

Regel zur Kürzung algebraischer Brüche

Reduktion algebraischer Brüche

Ein neuer Begriff in der Mathematik entsteht selten „aus dem Nichts“, „auf leerer Ort". Es erscheint, wenn es gefühlt wird objektive Notwendigkeit. So erschienen sie in der Mathematik negative Zahlen, also gewöhnlich und dezimal algebraischer Bruch.

Wir haben die Voraussetzungen für die Einführung des neuen Begriffs „algebraischer Bruch“. Kehren wir zu § 12 zurück. Als wir dort die Division eines Monoms durch ein Monom besprachen, betrachteten wir eine Reihe von Beispielen. Lassen Sie uns zwei davon hervorheben.

1. Dividiere das Monom 36a 3 b 5 durch das Monom 4ab 2 (siehe Beispiel 1c) aus §12).
Wir haben es so gelöst. Statt 36a 3 b 5: 4ab 2 zu schreiben, wurde ein Bruchstrich verwendet:

Dadurch konnte statt der Eingaben 36: 4, a 3: a, b 5: b 2 auch der Bruchstrich verwendet werden, was die Lösung des Beispiels anschaulicher machte:

2. Dividiere das Monom 4x 3 durch das Monom 2xy (siehe Beispiel 1 e) aus § 12). Nach dem gleichen Muster erhalten wir:

In § 12 haben wir festgestellt, dass das Monom 4x 3 nicht durch das Monom 2xy geteilt werden kann, so dass wir erhalten Monom. Aber Mathematische Modelle reale Situationen kann die Divisionsoperation beliebiger Monome enthalten, nicht unbedingt so, dass eines durch ein anderes teilbar ist. Um dies vorwegzunehmen, führten Mathematiker ein neues Konzept ein – das Konzept eines algebraischen Bruchs. Insbesondere der algebraische Bruch. Kehren wir nun zu § 18 zurück. Als wir dort die Operation der Division eines Polynoms durch ein Monom diskutierten, stellten wir fest, dass dies nicht immer durchführbar ist. In Beispiel 2 aus § 18 ging es also darum, das Binom 6x 3 - 24x 2 durch das Monom 6x 2 zu dividieren. Diese Operation erwies sich als durchführbar, und als Ergebnis erhielten wir die Binomialzahl x - 4. Daher Mit anderen Worten, Algebraischer Ausdruck geschafft, mehr zu ersetzen einfacher Ausdruck- Polynom x - 4.

Gleichzeitig war es in Beispiel 3 aus § 18 nicht möglich, das Polynom 8a 3 + ba 2b - b durch 2a 2 zu dividieren, d.h. der Ausdruck konnte nicht durch einen einfacheren Ausdruck ersetzt werden und musste belassen werden als algebraischer Bruch.

Wie für die Operation der Division eines Polynoms durch Polynom wir haben eigentlich nichts darüber gesagt. Das einzige, was wir jetzt sagen können, ist, dass ein Polynom durch ein anderes dividiert werden kann, wenn dieses andere Polynom einer der Faktoren bei der Faktorisierung des ersten Polynoms ist.

Zum Beispiel x 3 - 1 \u003d (x - 1) (x 2 + x + 1). Also kann x 3 - 1 durch x 2 + x + 1 geteilt werden, Sie erhalten x - 1; x 3 - 1 kann durch x - 1 geteilt werden,

Sie erhalten x 2 + x + 1.
Polynome P und Q. In diesem Fall die Notation
wobei P der Zähler ist, Q der Nenner des algebraischen Bruchs ist.
Beispiele für algebraische Brüche:

Manchmal kann ein algebraischer Bruch durch ein Polynom ersetzt werden. Zum Beispiel, wie wir bereits festgestellt haben,

(das Polynom 6x 3 - 24x 2 könnte durch 6x 2 geteilt werden, während im Quotienten x - 4 erhalten wird); das haben wir auch gemerkt

Aber das ist relativ selten.

Sie sind jedoch bereits auf eine ähnliche Situation gestoßen - beim Studium gewöhnlicher Brüche. Zum Beispiel kann ein Bruch - durch eine ganze Zahl 4 und ein Bruch - durch eine ganze Zahl 5 ersetzt werden. Ein Bruch - kann jedoch nicht durch eine ganze Zahl ersetzt werden, obwohl dieser Bruch reduziert werden kann, indem Zähler und Nenner durch die Zahl dividiert werden 8 - der gemeinsame Faktor von Zähler und Nenner:
Auf die gleiche Weise können algebraische Brüche gekürzt werden, indem Zähler und Nenner des Bruchs gleichzeitig durch ihren gemeinsamen Nenner dividiert werden Multiplikator. Und dazu ist es notwendig, sowohl den Zähler als auch den Nenner des Bruchs in Faktoren zu zerlegen. Hier brauchen wir alles, was wir in diesem Kapitel so lange besprochen haben.

Beispiel. Einen algebraischen Bruch kürzen:

Lösung, a) Finden Sie einen gemeinsamen Teiler für Monome
12x 3 y 4 und 8x 2 y 5 wie in § 20. Wir erhalten 4x 2 y 4 . Dann ist 12x 3 y 4 = 4x 2 y 4 Zx; 8x 2 Jahre 5 = 4x 2 Jahre 4 2 Jahre.
Meint,

Zähler u Nenner ein gegebener algebraischer Bruch wurde um einen gemeinsamen Faktor 4x 2 y 4 reduziert.
Die Lösung für dieses Beispiel kann auch anders geschrieben werden:

b) Um einen Bruch zu kürzen, zerlegen wir Zähler und Nenner in Faktoren. Wir bekommen:

(der Bruch wurde um den gemeinsamen Faktor a + b gekürzt).

Und nun zurück zu Bemerkung 2 von § 1. Sie sehen, wir konnten das dort gegebene Versprechen endlich einlösen.
c) Wir haben:

(Sie haben den Bruch um den gemeinsamen Faktor von Zähler und Nenner gekürzt, also um x (x - y))

Um also einen algebraischen Bruch auf zu reduzieren, müssen wir zunächst Zähler und Nenner faktorisieren. Ihr Erfolg bei diesem neuen Unterfangen (Kürzen von algebraischen Brüchen) hängt also weitgehend davon ab, wie gut Sie den Stoff aus den vorangegangenen Abschnitten dieses Kapitels aufgenommen haben.

A. V. Pogorelov, Geometrie für die Klassen 7-11, Lehrbuch für Bildungseinrichtungen

Wenn Sie Korrekturen oder Vorschläge für haben diese Lektion Schreib uns.

Wenn Sie andere Korrekturen und Vorschläge für den Unterricht sehen möchten, sehen Sie hier - Bildungsforum.

Reduktion algebraischer Brüche: Regel, Beispiele.

Wir beschäftigen uns weiterhin mit dem Thema der Transformation algebraischer Brüche. In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, was mit dem Begriff "Reduktion eines algebraischen Bruchs" gemeint ist, und herausfinden, ob ein algebraischer Bruch immer reduzierbar ist. Als nächstes geben wir eine Regel an, die es uns erlaubt, diese Transformation durchzuführen. Denken Sie abschließend über Lösungen nach charakteristische Beispiele Dadurch können Sie alle Feinheiten des Prozesses verstehen.

Seitennavigation.

Was bedeutet es, einen algebraischen Bruch zu kürzen?

Beim Studium gewöhnlicher Brüche sprachen wir über ihre Reduzierung. Wir nannten die Kürzung eines gewöhnlichen Bruchs die Division seines Zählers und Nenners durch einen gemeinsamen Teiler. Zum Beispiel kann der gemeinsame Bruch 30/54 um 6 gekürzt werden (d. h. durch 6 seinen Zähler und Nenner dividieren), was uns zum Bruch 5/9 führt.

Als eine ähnliche Aktion wird die Kürzung eines algebraischen Bruchs verstanden. Reduzieren Sie den algebraischen Bruch ist, Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Wenn aber der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nur eine Zahl sein kann, dann kann der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl sein.

Zum Beispiel ein algebraischer Bruch kann um 3 zu einem Bruch gekürzt werden . Es ist auch möglich, die Variable x zu reduzieren, was zu dem Ausdruck führt . Der ursprüngliche algebraische Bruch kann durch das Monom 3 x sowie durch jedes der Polynome x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y oder 3 x 2 +6 x y reduziert werden.

Letztes Ziel Die Reduktion eines algebraischen Bruchs besteht darin, einen Bruch einer einfacheren Form zu erhalten, bestenfalls einen irreduziblen Bruch.

Kann jeder algebraische Bruch gekürzt werden?

Wir wissen, dass gewöhnliche Brüche in reduzierbare und irreduzible Brüche unterteilt werden. Nicht reduzierbare Brüche haben keine anderen gemeinsamen Faktoren als Eins im Zähler und Nenner, daher unterliegen sie keiner Reduktion.

Algebraische Brüche können gemeinsame Zähler- und Nennerfaktoren haben oder nicht. Bei Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ist es möglich, den algebraischen Bruch zu reduzieren. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist die Vereinfachung des algebraischen Bruchs durch seine Reduktion unmöglich.

BEIM Allgemeiner Fall An Aussehen algebraischer Bruch, ist es ziemlich schwierig zu bestimmen, ob es möglich ist, seine Reduktion durchzuführen. Zweifellos sind in manchen Fällen die Gemeinsamkeiten von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist deutlich zu sehen, dass Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs einen gemeinsamen Faktor von 3 haben. Es ist auch leicht zu sehen, dass ein algebraischer Bruch um x, um y oder direkt um x·y gekürzt werden kann. Aber viel häufiger ist der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs nicht sofort sichtbar, und noch häufiger existiert er einfach nicht. Beispielsweise kann ein Bruch um x−1 gekürzt werden, aber dieser gemeinsame Teiler ist in der Notation offensichtlich nicht vorhanden. Und ein algebraischer Bruch kann nicht gekürzt werden, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler haben.

Im Allgemeinen ist die Frage der Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs sehr schwierig. Und manchmal ist es einfacher, ein Problem zu lösen, indem man mit einem algebraischen Bruch in seiner ursprünglichen Form arbeitet, als herauszufinden, ob dieser Bruch vorläufig gekürzt werden kann. Dennoch gibt es Transformationen, die es in einigen Fällen mit relativ geringem Aufwand ermöglichen, die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner zu finden, falls vorhanden, oder zu schließen, dass der ursprüngliche algebraische Bruch irreduzibel ist. Diese Informationen werden im nächsten Absatz offengelegt.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Die Informationen der vorangegangenen Absätze ermöglichen es Ihnen, das Folgende auf natürliche Weise wahrzunehmen algebraische Bruchreduktionsregel, die aus zwei Schritten besteht:

• zuerst werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs gefunden;
• falls vorhanden, wird um diese Faktoren reduziert.

Diese Schritte der angekündigten Regel bedürfen der Klärung.

Die meisten bequeme Weise Gemeinsame zu finden besteht darin, die Polynome in Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs zu faktorisieren. In diesem Fall werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner sofort sichtbar, oder es wird deutlich, dass es keine gemeinsamen Teiler gibt.

Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, können wir schlussfolgern, dass der algebraische Bruch irreduzibel ist. Sind die gemeinsamen Faktoren gefunden, werden sie im zweiten Schritt reduziert. Das Ergebnis ist ein neuer Bruchteil einer einfacheren Form.

Die Regel der Reduktion algebraischer Brüche basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, die durch die Gleichheit ausgedrückt wird, wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Im ersten Schritt wird der ursprüngliche algebraische Bruch auf die Form reduziert, woraus der gemeinsame Faktor c sichtbar wird, und im zweiten Schritt wird die Reduktion durchgeführt - der Übergang zum Bruch .

Fahren wir mit dem Lösen von Beispielen fort diese Regel. Auf ihnen werden wir alle möglichen Nuancen analysieren, die sich ergeben, wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs in Faktoren zerlegt und anschließend reduziert werden.

Typische Beispiele

Zuerst müssen Sie über die Reduktion von algebraischen Brüchen sprechen, deren Zähler und Nenner gleich sind. Solche Brüche sind identisch gleich eins auf der gesamten ODZ der darin enthaltenen Variablen, zum Beispiel,
usw.

Jetzt schadet es nicht, sich daran zu erinnern, wie die Kürzung gewöhnlicher Brüche durchgeführt wird - schließlich handelt es sich um einen Sonderfall algebraischer Brüche. Die natürlichen Zahlen im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs werden in Primfaktoren zerlegt, wonach die gemeinsamen Faktoren (falls vorhanden) reduziert werden. Zum Beispiel, . Das Produkt identischer Primfaktoren kann in Form von Potenzen geschrieben werden, und wenn es reduziert wird, kann die Eigenschaft verwendet werden, Potenzen mit denselben Basen zu teilen. In diesem Fall sähe die Lösung so aus: , hier haben wir Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3 geteilt. Oder, zur besseren Übersichtlichkeit, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, wird die Lösung in der Form dargestellt.

Nach absolut ähnlichen Prinzipien erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, in deren Zähler und Nenner sich Monome mit ganzzahligen Koeffizienten befinden.

Reduzieren Sie den algebraischen Bruch .

Sie können Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs als Produkt einfacher Faktoren und Variablen darstellen und dann die Reduktion durchführen:

Aber es ist rationaler, die Lösung als Ausdruck mit Potenzen zu schreiben:

.

Was die Reduktion von algebraischen Brüchen betrifft, die gebrochene numerische Koeffizienten im Zähler und Nenner haben, können Sie zwei Dinge tun: entweder diese gebrochenen Koeffizienten separat dividieren oder zuerst die gebrochenen Koeffizienten loswerden, indem Sie den Zähler und den Nenner mit einer natürlichen Zahl multiplizieren. Wir haben in dem Artikel über die letzte Transformation gesprochen, die einen algebraischen Bruch auf einen neuen Nenner bringt. Sie kann aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt werden. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Fraktionsreduktion durchführen.

Du kannst den Bruch wie folgt kürzen: .

Und es war möglich, gebrochene Koeffizienten zuerst loszuwerden, indem Zähler und Nenner mit dem kleinsten gemeinsamen Vielfachen der Nenner dieser Koeffizienten multipliziert wurden, also mit LCM(5, 10)=10 . In diesem Fall haben wir .

.

Sie können zu algebraischen Brüchen allgemeiner Form übergehen, bei denen Zähler und Nenner sowohl Zahlen als auch Monome sowie Polynome enthalten können.

Beim Kürzen solcher Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs faktorisieren.

Reduzieren rationaler Bruch .

Dazu faktorisieren wir die Polynome in Zähler und Nenner. Beginnen wir mit Klammern: . Offensichtlich können Ausdrücke in Klammern mit kurzen Multiplikationsformeln umgewandelt werden: . Nun sieht man deutlich, dass es möglich ist, den Bruch um einen gemeinsamen Faktor b 2 ·(a+7) zu reduzieren. Machen wir das .

Eine kurze Lösung ohne Erklärung wird normalerweise als Gleichungskette geschrieben:

.

Manchmal können gängige Multiplikatoren durch numerische Koeffizienten verdeckt werden. Daher ist es bei der Kürzung rationaler Brüche ratsam, die Zahlenfaktoren bei höheren Potenzen von Zähler und Nenner aus Klammern zu setzen.

Reduziere den Bruch , wenn möglich.

Auf den ersten Blick haben Zähler und Nenner keinen gemeinsamen Teiler. Aber versuchen wir trotzdem, einige Transformationen durchzuführen. Zunächst können Sie den x-Faktor im Zähler einklammern: .

Nun gibt es eine gewisse Ähnlichkeit zwischen dem Ausdruck in Klammern und dem Ausdruck im Nenner aufgrund von x 2 ·y. Nehmen wir die numerischen Koeffizienten bei höheren Potenzen dieser Polynome heraus:

Nach den durchgeführten Transformationen ist der gemeinsame Faktor sichtbar, um den wir die Reduktion durchführen. Wir haben

.

Zum Abschluss des Gesprächs über die Reduktion rationaler Brüche stellen wir fest, dass der Erfolg weitgehend von der Fähigkeit abhängt, Polynome zu faktorisieren.

www.cleverstudents.ru

Mathematik

Navigationsleiste

Reduktion algebraischer Brüche

Basierend auf der obigen Eigenschaft können wir algebraische Brüche auf die gleiche Weise wie mit vereinfachen arithmetische Brüche indem Sie sie kürzen.

Brüche kürzen bedeutet, dass Zähler und Nenner des Bruchs durch dieselbe Zahl geteilt werden.

Wenn der algebraische Bruch eingliedrig ist, dann werden Zähler und Nenner als Produkt mehrerer Faktoren dargestellt, und es ist sofort klar, welcher gleichen Nummern Sie können sie trennen:

Wir können denselben Bruch detaillierter schreiben:. Wir sehen, dass man sowohl den Zähler als auch den Nenner konsequent 4 mal durch a teilen kann, also am Ende beide durch a 4 teilt. So ; auch usw. Also, wenn es im Zähler und Nenner Faktoren gibt verschiedene Abschlüsse denselben Buchstaben, dann kannst du diesen Bruch auf eine kleinere Potenz dieses Buchstabens reduzieren.

Wenn der Bruch ein Polynom ist, dann müssen diese Polynome, wenn möglich, zuerst in Faktoren zerlegt werden, und dann wird es möglich sein, zu sehen, durch welche identischen Faktoren sowohl Zähler als auch Nenner geteilt werden können.

…. der Zähler lässt sich leicht „nach der Formel“ faktorisieren – er ist das Quadrat der Differenz zweier Zahlen, nämlich (x - 3) 2 . Der Nenner passt nicht zu den Formeln und muss durch die verwendete Technik zerlegt werden quadratisches Trinom: Finden Sie 2 Zahlen, so dass ihre Summe -1 und ihr Produkt = -6 ist, - diese Zahlen sind -3 und + 2; dann x 2 - x - 6 \u003d x 2 - 3x + 2x - 6 \u003d x (x - 3) + 2 (x - 3) \u003d (x - 3) (x + 2).

Beliebt:

• Kurze Regeln Schachspiele SCHACHBRETT UND NOTATION Schach ist ein Spiel für zwei. Ein Spieler (Weiß) verwendet Stücke weiße Farbe, und der zweite Spieler (Schwarz) spielt normalerweise mit schwarzen Steinen. Das Brett ist in 64 kleine […]
• Vereinfachen von Ausdrücken Die Eigenschaften von Addition, Subtraktion, Multiplikation und Division sind nützlich, da sie es Ihnen ermöglichen, Summen und Produkte in praktische Ausdrücke für Berechnungen umzuwandeln. Lassen Sie uns lernen, wie Sie diese Eigenschaften verwenden, um […]
• Trägheitsregel Die Dynamik ist ein Teilgebiet der Mechanik, das die Bewegung von Körpern unter Einwirkung von auf sie einwirkenden Kräften untersucht. Die Biomechanik betrachtet auch die Interaktion zwischen dem menschlichen Körper und Außenumgebung, zwischen den Gliedern des Körpers, […]
• Die Buchstaben e (e), o nach den Wörtern zischen an der Wurzel. Regel und Beispiele Wir wählen die Schreibweise der Buchstaben „e“ (ё) oder „o“ nach den Wörtern, die an der Wurzel zischen, unter Verwendung der entsprechenden Regel der russischen Rechtschreibung. Mal sehen, wie […]
• Mechanische und elektromagnetische Schwingungen 4. Schwingungen und Wellen 1. Harmonische Schwingungen die Werte von s werden durch die Gleichung beschrieben s = 0,02 cos (6πt + π/3), m. Bestimmen Sie: 1) die Amplitude der Schwingungen; 2) zyklische Frequenz; 3) Häufigkeit […]
• Ostwald-Verdünnungsgesetz 4.6 Ostwald-Verdünnungsgesetz Dissoziationsgrad (αdis) und Dissoziationskonstante (Kdis) schwacher Elektrolyt quantitativ zusammenhängen. Leiten wir die Gleichung dieses Zusammenhangs am Beispiel eines schwachen [...]
• Wortlaut und Inhalt der Verordnung des Verteidigungsministeriums der Russischen Föderation Nr. 365 von 2002 Diese Verordnung enthält Informationen zum Recht auf zusätzliche Urlaubstage, je nachdem verschiedene Bedingungen und Serviceaspekte. Dieser Auftrag schweigt [...]
• Auferlegen disziplinarische Maßnahmen Kapitel 3. DISZIPLINARSTRAFE Das Recht der Kommandeure (Chiefs), Disziplinarmaßnahmen gegen ihnen unterstellte Warrant Officers und Midshipmen zu verhängen 63. Zug- (Gruppen-) Kommandant und […]

Die Kürzung von Brüchen ist notwendig, um den Bruch in eine einfachere Form zu bringen, beispielsweise in der Antwort, die man als Ergebnis der Lösung des Ausdrucks erhält.

Kürzung von Brüchen, Definition und Formel.

Was ist Fraktionsreduktion? Was bedeutet es, einen Bruch zu kürzen?

Definition:
Fraktionsreduktion ist die Teilung von Zähler und Nenner in denselben Bruch positive Zahl nicht Null und Einheit. Als Ergebnis der Kürzung erhält man einen Bruch mit kleinerem Zähler und Nenner, gleich dem vorherigen Bruch gem.

Formel zur Fraktionsreduktion Haupteigentum Rationale Zahlen.

\(\frac(p \times n)(q \times n)=\frac(p)(q)\)

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(9)(15)\)

Entscheidung:
Wir können einen Bruch in Primfaktoren zerlegen und die gemeinsamen Faktoren reduzieren.

\(\frac(9)(15)=\frac(3 \times 3)(5 \times 3)=\frac(3)(5) \times \color(red) (\frac(3)(3) )=\frac(3)(5) \times 1=\frac(3)(5)\)

Antwort: Nach Kürzung erhalten wir den Bruch \(\frac(3)(5)\). Gemäß der Haupteigenschaft rationaler Zahlen sind Anfangs- und Ergebnisbruch gleich.

\(\frac(9)(15)=\frac(3)(5)\)

Wie kürzt man Brüche? Reduktion eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

Damit wir als Ergebnis einen irreduziblen Bruch erhalten, brauchen wir Finde den größten gemeinsamen Teiler (ggT) für Zähler und Nenner eines Bruches.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, den ggT zu finden, wir verwenden im Beispiel die Zerlegung von Zahlen in Primfaktoren.

Erhalten Sie den irreduziblen Bruch \(\frac(48)(136)\).

Entscheidung:
Finde GCD(48, 136). Schreiben wir die Zahlen 48 und 136 in Primfaktoren.
48=2⋅2⋅2⋅2⋅3
136=2⋅2⋅2⋅17
ggT(48, 136)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(48)(136)=\frac(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 2 \times 3)(\color(red) (2 \times 2 \times 2) \times 17)=\frac(\color(red) (6) \times 2 \times 3)(\color(red) (6) \times 17)=\frac(2 \times 3)(17)=\ frac(6)(17)\)

Die Regel zum Kürzen eines Bruchs auf eine irreduzible Form.

1. Finde den größten gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner.
2. Sie müssen Zähler und Nenner durch den größten gemeinsamen Teiler als Ergebnis der Division dividieren, um einen irreduziblen Bruch zu erhalten.

Beispiel:
Kürze den Bruch \(\frac(152)(168)\).

Entscheidung:
Finden Sie GCD(152, 168). Schreiben wir die Zahlen 152 und 168 in Primfaktoren.
152=2⋅2⋅2⋅19
168=2⋅2⋅2⋅3⋅7
ggT(152, 168)= 2⋅2⋅2=6

\(\frac(152)(168)=\frac(\color(red) (6) \times 19)(\color(red) (6) \times 21)=\frac(19)(21)\)

Antwort: \(\frac(19)(21)\) ist ein irreduzibler Bruch.

Abkürzung für einen unechten Bruch.

Wie man schneidet unechter Bruch?
Die Regeln zum Kürzen von Brüchen für echte und unechte Brüche sind gleich.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den unechten Bruch \(\frac(44)(32)\).

Entscheidung:
Schreiben wir Zähler und Nenner in Primfaktoren. Und dann reduzieren wir die gemeinsamen Faktoren.

\(\frac(44)(32)=\frac(\color(red) (2 \times 2 ) \times 11)(\color(red) (2 \times 2 ) \times 2 \times 2 \times 2 )=\frac(11)(2 \times 2 \times 2)=\frac(11)(8)\)

Kürzung gemischter Fraktionen.

Für gemischte Brüche gelten die gleichen Regeln wie für gewöhnliche Brüche. Der einzige Unterschied ist, dass wir es können berühren Sie nicht den ganzen Teil, sondern reduzieren Sie den Bruchteil oder gemischte Fraktion in einen unechten Bruch umwandeln, kürzen und wieder in einen echten Bruch umwandeln.

Betrachten Sie ein Beispiel:
Kürze den gemischten Bruch \(2\frac(30)(45)\).

Entscheidung:
Lösen wir es auf zwei Arten:
Erster Weg:
Wir werden den Bruchteil in Primfaktoren schreiben und den ganzzahligen Teil nicht berühren.

\(2\frac(30)(45)=2\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3))(3 \times \color(red) (5 \times 3))=2\ frac(2)(3)\)

Zweiter Weg:
Zuerst übersetzen wir in einen unechten Bruch, und dann schreiben wir ihn in Primfaktoren und kürzen ihn. Wandle den resultierenden unechten Bruch in einen echten Bruch um.

\(2\frac(30)(45)=\frac(45 \times 2 + 30)(45)=\frac(120)(45)=\frac(2 \times \color(red) (5 \times 3) \times 2 \times 2)(3 \times \color(red) (3 \times 5))=\frac(2 \times 2 \times 2)(3)=\frac(8)(3)= 2\frac(2)(3)\)

Verwandte Fragen:
Können Brüche beim Addieren oder Subtrahieren gekürzt werden?
Antwort: Nein, Sie müssen Brüche zuerst gemäß den Regeln addieren oder subtrahieren und erst dann kürzen. Betrachten Sie ein Beispiel:

Werten Sie den Ausdruck \(\frac(50+20-10)(20)\) aus.

Entscheidung:
Sie machen oft den Fehler, dieselben Zahlen im Zähler und Nenner zu reduzieren, in unserem Fall die Zahl 20, aber sie können nicht reduziert werden, bis Sie Addition und Subtraktion durchführen.

\(\frac(50+\color(red) (20)-10)(\color(red) (20))=\frac(60)(20)=\frac(3 \times 20)(20)= \frac(3)(1)=3\)

Um welche Zahl kann man einen Bruch kürzen?
Antwort: Sie können einen Bruch durch den größten gemeinsamen Teiler oder den üblichen Teiler von Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(100)(150)\).

Schreiben wir die Zahlen 100 und 150 in Primfaktoren.
100=2⋅2⋅5⋅5
150=2⋅5⋅5⋅3
Der größte gemeinsame Teiler ist die Zahl ggT(100, 150)= 2⋅5⋅5=50

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(3 \times 50)=\frac(2)(3)\)

Wir haben den irreduziblen Bruch \(\frac(2)(3)\).

Aber es ist nicht notwendig, immer durch ggT zu dividieren, ein irreduzibler Bruch wird nicht immer benötigt, Sie können den Bruch durch einen einfachen Divisor aus Zähler und Nenner kürzen. Zum Beispiel haben die Zahlen 100 und 150 einen gemeinsamen Teiler 2. Lassen Sie uns den Bruch \(\frac(100)(150)\) um 2 reduzieren.

\(\frac(100)(150)=\frac(2 \times 50)(2 \times 75)=\frac(50)(75)\)

Wir haben den gekürzten Bruch \(\frac(50)(75)\).

Welche Brüche können gekürzt werden?
Antwort: Du kannst Brüche kürzen, bei denen Zähler und Nenner einen gemeinsamen Teiler haben. Zum Beispiel der Bruch \(\frac(4)(8)\). Die Zahlen 4 und 8 haben eine Zahl, durch die sie beide durch diese Zahl 2 teilbar sind. Daher kann ein solcher Bruch durch die Zahl 2 gekürzt werden.

Beispiel:
Vergleiche zwei Brüche \(\frac(2)(3)\) und \(\frac(8)(12)\).

Diese beiden Brüche sind gleich. Betrachten Sie den Bruch \(\frac(8)(12)\) im Detail:

\(\frac(8)(12)=\frac(2 \times 4)(3 \times 4)=\frac(2)(3) \times \frac(4)(4)=\frac(2) (3) \times 1=\frac(2)(3)\)

Von hier erhalten wir \(\frac(8)(12)=\frac(2)(3)\)

Zwei Brüche sind genau dann gleich, wenn einer von ihnen erhalten wird, indem der andere Bruch um einen gemeinsamen Faktor aus Zähler und Nenner gekürzt wird.

Beispiel:
Kürzen Sie wenn möglich folgende Brüche: a) \(\frac(90)(65)\) b) \(\frac(27)(63)\) c) \(\frac(17)(100)\) d ) \(\frac(100)(250)\)

Entscheidung:
a) \(\frac(90)(65)=\frac(2 \times \color(red) (5) \times 3 \times 3)(\color(red) (5) \times 13)=\frac (2 \times 3 \times 3)(13)=\frac(18)(13)\)
b) \(\frac(27)(63)=\frac(\color(red) (3 \times 3) \times 3)(\color(red) (3 \times 3) \times 7)=\frac (3)(7)\)
c) \(\frac(17)(100)\) irreduzibler Bruch
d) \(\frac(100)(250)=\frac(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \times 2)(\color(red) (2 \times 5 \times 5) \ mal 5)=\frac(2)(5)\)

In diesem Artikel konzentrieren wir uns auf Reduktion algebraischer Brüche. Lassen Sie uns zuerst herausfinden, was mit dem Begriff "Reduktion eines algebraischen Bruchs" gemeint ist, und herausfinden, ob ein algebraischer Bruch immer reduzierbar ist. Als nächstes geben wir eine Regel an, die es uns erlaubt, diese Transformation durchzuführen. Betrachten Sie abschließend die Lösungen typischer Beispiele, die es ermöglichen, alle Feinheiten des Prozesses zu verstehen.

Seitennavigation.

Was bedeutet es, einen algebraischen Bruch zu kürzen?

Während des Studiums sprachen wir über ihre Reduzierung. wir nannten die Division ihres Zählers und Nenners durch den gemeinsamen Teiler. Zum Beispiel kann der gemeinsame Bruch 30/54 um 6 gekürzt werden (d. h. durch 6 seinen Zähler und Nenner dividieren), was uns zum Bruch 5/9 führt.

Als eine ähnliche Aktion wird die Kürzung eines algebraischen Bruchs verstanden. Reduzieren Sie den algebraischen Bruch ist, Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Teiler zu dividieren. Wenn aber der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs nur eine Zahl sein kann, dann kann der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs ein Polynom, insbesondere ein Monom oder eine Zahl sein.

Beispielsweise kann ein algebraischer Bruch um die Zahl 3 gekürzt werden, was den Bruch ergibt . Es ist auch möglich, die Variable x zu reduzieren, was zu dem Ausdruck führt . Der ursprüngliche algebraische Bruch kann durch das Monom 3 x sowie durch jedes der Polynome x+2 y, 3 x+6 y, x 2 +2 x y oder 3 x 2 +6 x y reduziert werden.

Das ultimative Ziel der Reduktion eines algebraischen Bruchs ist es, einen Bruch einer einfacheren Form zu erhalten, bestenfalls einen irreduziblen Bruch.

Kann jeder algebraische Bruch gekürzt werden?

Wir wissen, dass gewöhnliche Brüche unterteilt werden in . Nicht reduzierbare Brüche haben keine gemeinsamen Faktoren außer Eins im Zähler und Nenner, daher können sie nicht gekürzt werden.

Algebraische Brüche können gemeinsame Zähler- und Nennerfaktoren haben oder nicht. Bei Vorhandensein gemeinsamer Faktoren ist es möglich, den algebraischen Bruch zu reduzieren. Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, ist die Vereinfachung des algebraischen Bruchs durch seine Reduktion unmöglich.

Im allgemeinen Fall ist es durch das Auftreten eines algebraischen Bruchs ziemlich schwierig festzustellen, ob es möglich ist, seine Reduktion durchzuführen. Zweifellos sind in manchen Fällen die Gemeinsamkeiten von Zähler und Nenner offensichtlich. Zum Beispiel ist deutlich zu sehen, dass Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs einen gemeinsamen Faktor von 3 haben. Es ist auch leicht zu sehen, dass ein algebraischer Bruch um x, um y oder direkt um x·y gekürzt werden kann. Aber viel häufiger ist der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs nicht sofort sichtbar, und noch häufiger existiert er einfach nicht. Beispielsweise kann ein Bruch um x−1 gekürzt werden, aber dieser gemeinsame Teiler ist in der Notation offensichtlich nicht vorhanden. Und ein algebraischer Bruch kann nicht gekürzt werden, da Zähler und Nenner keine gemeinsamen Teiler haben.

Im Allgemeinen ist die Frage der Kontraktionsfähigkeit eines algebraischen Bruchs sehr schwierig. Und manchmal ist es einfacher, ein Problem zu lösen, indem man mit einem algebraischen Bruch in seiner ursprünglichen Form arbeitet, als herauszufinden, ob dieser Bruch vorläufig gekürzt werden kann. Dennoch gibt es Transformationen, die es in einigen Fällen mit relativ geringem Aufwand ermöglichen, die gemeinsamen Faktoren von Zähler und Nenner zu finden, falls vorhanden, oder zu schließen, dass der ursprüngliche algebraische Bruch irreduzibel ist. Diese Informationen werden im nächsten Absatz offengelegt.

Algebraische Bruchreduktionsregel

Die Informationen der vorangegangenen Absätze ermöglichen es Ihnen, das Folgende auf natürliche Weise wahrzunehmen algebraische Bruchreduktionsregel, die aus zwei Schritten besteht:

• zuerst werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner des ursprünglichen Bruchs gefunden;
• falls vorhanden, wird um diese Faktoren reduziert.

Diese Schritte der angekündigten Regel bedürfen der Klärung.

Der bequemste Weg, gemeinsame zu finden, besteht darin, die Polynome zu faktorisieren, die sich im Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs befinden. In diesem Fall werden die gemeinsamen Teiler von Zähler und Nenner sofort sichtbar, oder es wird deutlich, dass es keine gemeinsamen Teiler gibt.

Wenn es keine gemeinsamen Faktoren gibt, können wir schlussfolgern, dass der algebraische Bruch irreduzibel ist. Sind die gemeinsamen Faktoren gefunden, werden sie im zweiten Schritt reduziert. Das Ergebnis ist ein neuer Bruchteil einer einfacheren Form.

Die Regel der Reduktion algebraischer Brüche basiert auf der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs, die durch die Gleichheit ausgedrückt wird, wobei a , b und c einige Polynome sind und b und c nicht Null sind. Im ersten Schritt wird der ursprüngliche algebraische Bruch auf die Form reduziert, woraus der gemeinsame Faktor c sichtbar wird, und im zweiten Schritt wird die Reduktion durchgeführt - der Übergang zum Bruch .

Fahren wir mit dem Lösen von Beispielen mit dieser Regel fort. Auf ihnen werden wir alle möglichen Nuancen analysieren, die sich ergeben, wenn Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs in Faktoren zerlegt und anschließend reduziert werden.

Typische Beispiele

Zuerst müssen Sie über die Reduktion von algebraischen Brüchen sprechen, deren Zähler und Nenner gleich sind. Solche Brüche sind identisch gleich eins auf der gesamten ODZ der darin enthaltenen Variablen, zum Beispiel,
usw.

Jetzt schadet es nicht, sich daran zu erinnern, wie die Kürzung gewöhnlicher Brüche durchgeführt wird - schließlich handelt es sich um einen Sonderfall algebraischer Brüche. Natürliche Zahlen im Zähler und Nenner eines gewöhnlichen Bruchs, danach werden die gemeinsamen Teiler (falls vorhanden) reduziert. Zum Beispiel, . Das Produkt identischer Primfaktoren kann in Form von Graden geschrieben und, wenn reduziert, verwendet werden. In diesem Fall sähe die Lösung so aus: , hier haben wir Zähler und Nenner durch einen gemeinsamen Faktor 2 2 3 geteilt. Oder, zur besseren Übersichtlichkeit, basierend auf den Eigenschaften von Multiplikation und Division, wird die Lösung in der Form dargestellt.

Nach absolut ähnlichen Prinzipien erfolgt die Reduktion algebraischer Brüche, in deren Zähler und Nenner sich Monome mit ganzzahligen Koeffizienten befinden.

Beispiel.

Reduzieren Sie den algebraischen Bruch .

Entscheidung.

Sie können Zähler und Nenner des ursprünglichen algebraischen Bruchs als Produkt einfacher Faktoren und Variablen darstellen und dann die Reduktion durchführen:

Aber es ist rationaler, die Lösung als Ausdruck mit Potenzen zu schreiben:

Antworten:

.

Was die Kürzung von algebraischen Brüchen betrifft, die gebrochene numerische Koeffizienten im Zähler und Nenner haben, können Sie zwei Dinge tun: entweder diese gebrochenen Koeffizienten separat dividieren oder zuerst die gebrochenen Koeffizienten loswerden, indem Sie den Zähler und den Nenner mit einer natürlichen Zahl multiplizieren. Wir haben in dem Artikel über die letzte Transformation gesprochen, die einen algebraischen Bruch auf einen neuen Nenner bringt. Sie kann aufgrund der Haupteigenschaft eines algebraischen Bruchs durchgeführt werden. Lassen Sie uns dies an einem Beispiel behandeln.

Beispiel.

Fraktionsreduktion durchführen.

Entscheidung.

Du kannst den Bruch wie folgt kürzen: .

Und es war möglich, gebrochene Koeffizienten zuerst loszuwerden, indem Zähler und Nenner mit den Nennern dieser Koeffizienten multipliziert wurden, also mit LCM(5, 10)=10 . In diesem Fall haben wir .

Antworten:

.

Sie können zu algebraischen Brüchen allgemeiner Form übergehen, bei denen Zähler und Nenner sowohl Zahlen als auch Monome sowie Polynome enthalten können.

Beim Kürzen solcher Brüche besteht das Hauptproblem darin, dass der gemeinsame Teiler von Zähler und Nenner nicht immer sichtbar ist. Außerdem ist es nicht immer vorhanden. Um einen gemeinsamen Teiler zu finden oder sicherzustellen, dass er nicht existiert, musst du Zähler und Nenner eines algebraischen Bruchs faktorisieren.

Beispiel.

Reduzieren Sie den rationalen Bruch .

Entscheidung.

Dazu faktorisieren wir die Polynome in Zähler und Nenner. Beginnen wir mit Klammern: . Offensichtlich können Klammerausdrücke mit konvertiert werden