Tässä artikkelissa puhumme lisäys negatiivisia lukuja . Ensin annetaan sääntö negatiivisten lukujen lisäämiselle ja todistetaan se. Sen jälkeen analysoimme tunnusomaisia ​​esimerkkejä negatiivisten lukujen lisääminen.

Sivulla navigointi.

Negatiivinen lisäyssääntö

Ennen kuin annat negatiivisten lukujen lisäämissäännön muotoilun, siirrytään artikkelin materiaaliin positiiviset ja negatiiviset luvut. Mainitsimme siellä, että negatiiviset luvut voidaan nähdä velana, ja tässä tapauksessa se määrittää tämän velan määrän. Siksi kahden negatiivisen luvun yhteenlasku on kahden velan yhteenlasku.

Tämä johtopäätös mahdollistaa sen ymmärtämisen negatiivinen lisäyssääntö. Kahden negatiivisen luvun lisäämiseksi tarvitset:

• pinoa niiden moduulit;
• laita miinusmerkki vastaanotetun summan eteen.

Kirjoita muistiin sääntö negatiivisten lukujen −a ja −b lisäämiseksi kirjaimelliseen muotoon: (−a)+(−b)=−(a+b).

On selvää, että soinnillinen sääntö vähentää negatiivisten lukujen yhteenlaskua positiivisten lukujen lisäämiseen (negatiivisen luvun moduuli on positiivinen luku). On myös selvää, että kahden negatiivisen luvun yhteenlaskettu tulos on negatiivinen luku, mistä on osoituksena miinusmerkki, joka on asetettu moduulien summan eteen.

Negatiivisten lukujen lisäämissääntö voidaan todistaa perustuen reaalilukujen toimintojen ominaisuuksia(tai rationaali- tai kokonaislukujen operaatioiden samat ominaisuudet). Tätä varten riittää, kun osoitetaan, että ero vasemman ja oikeat osat yhtälö (−a)+(−b)=−(a+b) on yhtä suuri kuin nolla.

Koska luvun vähentäminen on sama kuin vastakkaisen luvun lisääminen (katso kokonaislukujen vähentämissääntö), niin (−a)+(−b)−(−(a+b))=(−a)+(−b)+(a+b). Johtuen siirtymisestä ja assosiatiiviset ominaisuudet meillä on lisäys (−a)+(−b)+(a+b)=(−a+a)+(−b+b). Koska vastakkaisten lukujen summa on nolla, niin (−a+a)+(−b+b)=0+0 ja 0+0=0 johtuen ominaisuudesta lisätä luku nollaan. Tämä todistaa yhtälön (−a)+(−b)=−(a+b) , ja siten negatiivisten lukujen yhteenlaskusäännön.

On vain opittava soveltamaan negatiivisten lukujen lisäämissääntöä käytännössä, minkä teemme seuraavassa kappaleessa.

Esimerkkejä negatiivisten lukujen lisäämisestä

Analysoidaan esimerkkejä negatiivisten lukujen lisäämisestä. Aloitetaan aivan alusta yksinkertainen tapaus– negatiivisten kokonaislukujen lisääminen, summaus suoritetaan edellisessä kappaleessa esitetyn säännön mukaisesti.

Esimerkki.

Lisää negatiiviset luvut -304 ja -18007 .

Ratkaisu.

Noudatetaan kaikkia negatiivisten lukujen lisäämissäännön vaiheita.

Ensin löydämme lisättyjen numeroiden moduulit: ja . Nyt sinun on lisättävä saadut numerot, tässä on kätevää suorittaa sarakkeiden lisääminen:

Nyt laitamme miinusmerkin tuloksena olevan luvun eteen, tuloksena meillä on −18 311 .

Kirjoitamme koko ratkaisun lyhyt muoto: (−304)+(−18 007)= −(304+18 007)=−18 311 .

Vastaus:

−18 311 .

Negatiivisen lisäys rationaalisia lukuja itse luvuista riippuen voidaan pelkistää joko luonnollisten lukujen yhteenlaskuksi tai tavallisten murtolukujen yhteenlaskuksi tai desimaalimurtolukujen yhteenlaskuksi.

Esimerkki.

Lisää negatiivinen luku ja negatiivinen luku −4,(12) .

Ratkaisu.

Negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaan sinun on ensin laskettava moduulien summa. Lisättyjen negatiivisten lukujen moduulit ovat 2/5 ja 4,(12). Saatujen lukujen yhteenlasku voidaan vähentää summaksi tavallisia murtolukuja. Tätä varten käännämme jaksollisen desimaaliluvun tavalliseksi murtoluvuksi:. Joten 2/5+4,(12)=2/5+136/33. Nyt toteutetaan

Negatiivinen lisäyssääntö

Jos muistat matematiikan oppitunnin ja aiheen "Lukujen yhteenlasku ja vähennys erilaisia ​​merkkejä”, niin kahden negatiivisen luvun lisäämiseksi tarvitset:

• suorittaa moduuliensa lisääminen;
• lisää merkki "-" saatuun summaan.

Lisäyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:

$(−a)+(−b)=−(a+b)$.

Negatiivinen summaussääntö koskee negatiivisia kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja.

Esimerkki 1

Lisää negatiiviset luvut $−185$ ja $−23 \ 789.$

Ratkaisu.

Käytetään negatiivisten lukujen summaussääntöä.

Etsitään näiden numeroiden moduulit:

$|-23 \ 789|=23 \ 789$.

Lisätään tuloksena saadut luvut:

$185+23 \ 789=23 \ 974$.

Laitamme merkin $"–"$ löydetyn numeron eteen ja saamme $−23 \ 974$.

Lyhyt ratkaisu: $(−185)+(−23 \ 789)=−(185+23 \ 789)=−23 \ 974$.

Vastaus: $−23 \ 974$.

Kun lisäät negatiivisia rationaalilukuja, ne on muunnettava muotoon luonnolliset luvut, tavallinen tai desimaalilukuja.

Esimerkki 2

Lisää negatiiviset luvut $-\frac(1)(4)$ ja $−7.15$.

Ratkaisu.

Negatiivisten lukujen lisäämissäännön mukaan sinun on ensin löydettävä moduulien summa:

$|-\frac(1)(4)|=\frac(1)(4)$;

Saadut arvot on kätevä pienentää desimaalimurtoiksi ja suorittaa niiden yhteenlasku:

$\frac(1)(4)=0,25$;

$0,25+7,15=7,40$.

Laitetaan merkki $"-"$ vastaanotetun arvon eteen ja saadaan $-7.4$.

Yhteenveto ratkaisusta:

$(-\frac(1)(4))+(−7.15)=−(\frac(1)(4)+7.15)=–(0.25+7.15)=−7, 4$.

Positiivisten ja negatiivisten lukujen lisääminen:

1. laskea numeromoduulit;

vertaa saatuja lukuja:

• jos ne ovat samanarvoisia, niin alkuperäiset numerot ovat vastakkaisia ​​ja niiden summa on nolla;
• jos ne eivät ole yhtä suuret, sinun on muistettava sen luvun merkki, jonka moduuli on suurempi;

2. vähennä pienempi suuresta;

3. ennen vastaanotettua arvoa laita sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.

Numeroiden lisääminen kanssa vastakkaisia ​​merkkejä pelkistetään vähentämään suuremmasta positiivisesta luvusta pienempi negatiivinen luku.

Vastakkaisten etumerkkien lukujen lisäämissääntö suoritetaan kokonaisluvuille, rationaalisille ja todellisia lukuja.

Esimerkki 3

Lisää numerot $4$ ja $−8$.

Ratkaisu.

Sinun on lisättävä numeroita, joissa on vastakkaiset merkit. Käytetään sopivaa lisäyssääntöä.

Etsitään näiden numeroiden moduulit:

Luvun $−8$ moduuli on suurempi kuin luvun $4$ moduuli, ts. muista merkki $"-"$.

Laitamme tuloksena olevan luvun eteen merkin $"–"$, jonka muistimme, ja saamme $−4.$

Yhteenveto ratkaisusta:

$4+(–8) = –(8–4) = –4$.

Vastaus: $4+(−8)=−4$.

Jos haluat lisätä rationaalilukuja, joissa on vastakkaiset merkit, on kätevää esittää ne tavallisina tai desimaalilukuina.

Eri- ja negatiivimerkkisten lukujen vähentäminen

Sääntö negatiivisten lukujen vähentämiseksi:

Negatiivisen luvun $b$ vähentämiseksi luvusta $a$ on tarpeen lisätä lopputulokseen $a$ luku $−b$, joka on vähennetyn $b$ vastakohta.

Vähennyssäännön mukaan voimme kirjoittaa:

$a−b=a+(−b)$.

Tämä sääntö koskee kokonaislukuja, rationaalilukuja ja reaalilukuja. Sääntöä voidaan käyttää vähennettäessä negatiivinen luku positiivisesta luvusta, negatiivisesta luvusta ja nollasta.

Esimerkki 4

Vähennä negatiivisesta luvusta $−28$ negatiivinen luku $−5$.

Ratkaisu.

Lukulle $–5$ vastakkainen luku on numero $5$.

Negatiivisten lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:

$(−28)−(−5)=(−28)+5$.

Lisätään numerot, joissa on vastakkaiset merkit:

$(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Vastaus: $(−28)−(−5)=−23$.

Kun vähennetään negatiivinen murtolukuja on tarpeen muuntaa luvut tavallisten murtolukujen muotoon, sekalaisia ​​numeroita tai desimaalit.

Erimerkkisten lukujen yhteen- ja vähennyslasku

Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissääntö on sama kuin negatiivisten lukujen vähentämisen sääntö.

Esimerkki 5

Vähentää positiivinen luku$7$ negatiivisesta luvusta $−11$.

Ratkaisu.

Vastakkainen luku numerolle $7$ on numero $–7$.

Vastakkaisten etumerkkien lukujen vähentämissäännön mukaan saamme:

$(−11)−7=(–11)+(−7)$.

Lisätään negatiiviset luvut:

$(−11)+(–7)=−(11+7)=−18$.

Lyhyt ratkaisu: $(−28)−(−5)=(−28)+5=−(28−5)=−23$.

Vastaus: $(−11)−7=−18$.

Kun vähennetään murto-osia eri etumerkeillä, luvut on muutettava tavallisiksi tai desimaalimurtoiksi.

Negatiiviset luvut ovat numeroita, joissa on miinusmerkki (-), esimerkiksi -1, -2, -3. Lukee näin: miinus yksi, miinus kaksi, miinus kolme.

Sovellusesimerkki negatiivisia lukuja on lämpömittari, joka näyttää kehon, ilman, maaperän tai veden lämpötilan. AT talviaika kun ulkona on erittäin kylmä, lämpötila on negatiivinen (tai, kuten ihmiset sanovat, "miinus").

Esimerkiksi -10 astetta pakkasta:

Tavallisia lukuja, joita tarkastelimme aiemmin, kuten 1, 2, 3, kutsutaan positiivisiksi. Positiiviset luvut ovat numeroita, joissa on plusmerkki (+).

Positiivisia lukuja kirjoitettaessa +-merkkiä ei kirjoiteta muistiin, minkä vuoksi näemme meille tutut luvut 1, 2, 3. Mutta on syytä muistaa, että nämä positiiviset luvut näyttävät tältä: +1, + 2, +3.

Oppitunnin sisältö

Tämä on suora viiva, jolla kaikki luvut sijaitsevat: sekä negatiiviset että positiiviset. Seuraavasti:

Tässä näytetään numeroita -5:stä 5:een. Itse asiassa koordinaattiviiva on ääretön. Kuvassa näkyy vain pieni osa siitä.

Koordinaattiviivalla olevat numerot on merkitty pisteinä. Kuvassa öljyinen musta piste on lähtökohta. Lähtölaskenta alkaa nollasta. Vertailupisteen vasemmalle puolelle on merkitty negatiiviset luvut ja oikealle positiiviset luvut.

Koordinaattiviiva jatkuu loputtomasti molemmilla puolilla. Matematiikan ääretöntä merkitään symbolilla ∞. Negatiivinen suunta merkitään symbolilla −∞ ja positiivinen symbolilla +∞. Sitten voidaan sanoa, että kaikki luvut miinus äärettömyydestä plus äärettömyyteen sijaitsevat koordinaattiviivalla:

Jokaisella koordinaattiviivan pisteellä on oma nimi ja koordinaatti. Nimi on mikä tahansa latinalainen kirjain. Koordinoi on numero, joka ilmaisee pisteen sijainnin tällä viivalla. Yksinkertaisesti sanottuna koordinaatti on sama numero, jonka haluamme merkitä koordinaattiviivalle.

Esimerkiksi piste A(2) kuuluu seuraavasti "piste A koordinaatilla 2" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä A on pisteen nimi, 2 on pisteen koordinaatti A.

Esimerkki 2 Kohta B(4) kuuluu seuraavasti "piste B koordinaatissa 4"

Tässä B on pisteen nimi, 4 on pisteen koordinaatti b.

Esimerkki 3 Piste M(−3) luetaan muotoon "piste M koordinaatilla miinus kolme" ja se merkitään koordinaattiviivalla seuraavasti:

Tässä M on pisteen nimi, −3 on pisteen M koordinaatti .

Pisteet voidaan merkitä millä tahansa kirjaimella. Mutta on yleisesti hyväksyttyä merkitä ne isoilla latinalaisilla kirjaimilla. Lisäksi raportin alku, jota muuten kutsutaan alkuperä kutsutaan yleisesti isoksi Latinalainen kirjain O

On helppo nähdä, että negatiiviset luvut ovat origon vasemmalla puolella ja positiiviset luvut oikealla.

On lauseita, kuten "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" ja "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän". Luultavasti arvasit jo, mistä puhumme. Jokaisella vasemmalla olevalla askeleella numero pienenee pienempi puoli. Ja jokaisella askeleella oikealle, määrä kasvaa. Oikealle osoittava nuoli osoittaa laskennan positiivisen suunnan.

Negatiivisten ja positiivisten lukujen vertailu

Sääntö 1 Mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi kahta lukua: −5 ja 3. Miinus viisi Vähemmän kuin kolme, huolimatta siitä, että viisi kiinnittää huomion ensiksikin, koska luku on suurempi kuin kolme.

Tämä johtuu siitä, että −5 on negatiivinen ja 3 on positiivinen. Koordinaattiviivalla näet, missä numerot −5 ja 3 sijaitsevat

Voidaan nähdä, että −5 on vasemmalla ja 3 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että mikä tahansa negatiivinen luku on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

−5 < 3

"Miinus viisi on vähemmän kuin kolme"

Sääntö 2 Kahdesta negatiivisesta luvusta pienempi on koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva.

Verrataan esimerkiksi lukuja -4 ja -1. miinus neljä Vähemmän kuin miinus yksi.

Tämä taas johtuu siitä, että koordinaattiviivalla −4 sijaitsee enemmän vasemmalla kuin −1

Voidaan nähdä, että -4 on vasemmalla ja -1 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että kahdesta negatiivisesta luvusta koordinaattiviivan vasemmalla puolella oleva on pienempi. Tästä seuraa siis

Miinus neljä on pienempi kuin miinus yksi

Sääntö 3 Nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku.

Verrataan esimerkiksi arvoja 0 ja −3. Nolla lisää kuin miinus kolme. Tämä johtuu siitä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee oikealla kuin −3

Voidaan nähdä, että 0 on oikealla ja −3 vasemmalla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän oikealle, sitä enemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on suurempi kuin mikä tahansa negatiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on suurempi kuin miinus kolme

Sääntö 4 Nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku.

Vertaa esimerkiksi 0 ja 4. Nolla Vähemmän kuin 4. Periaatteessa tämä on selvää ja totta. Mutta yritämme nähdä sen omin silmin, jälleen koordinaattiviivalla:

Voidaan nähdä, että koordinaattiviivalla 0 sijaitsee vasemmalla ja 4 oikealla. Ja me sanoimme sen "mitä enemmän vasemmalle, sitä vähemmän" . Ja sääntö sanoo, että nolla on pienempi kuin mikä tahansa positiivinen luku. Tästä seuraa siis

Nolla on pienempi kuin neljä

Piditkö oppitunnista?
Liity joukkoomme uusi ryhmä Vkontakte ja ala vastaanottaa ilmoituksia uusista oppitunneista

Käytännössä koko matematiikan kurssi perustuu operaatioihin positiivisilla ja negatiivisilla luvuilla. Loppujen lopuksi heti kun alamme tutkia koordinaattiviivaa, plus- ja miinusmerkeillä varustetut numerot alkavat kohdata meitä kaikkialla, jokaisessa uusi aihe. Mikään ei ole helpompaa kuin tavallisten positiivisten lukujen lisääminen yhteen, ei ole vaikeaa vähentää toisiaan. Jopa aritmeettiset operaatiot kahden negatiivisen luvun kanssa on harvoin ongelma.

Monet ihmiset kuitenkin hämmentyvät lukujen lisäämisessä ja vähentämisessä eri etumerkeillä. Muista säännöt, joiden mukaan nämä toimet tapahtuvat.

Numeroiden lisääminen eri merkillä

Jos ongelman ratkaisemiseksi meidän on lisättävä negatiivinen luku "-b" tiettyyn numeroon "a", meidän on toimittava seuraavasti.

• Otetaan molempien lukujen moduulit - |a| ja |b| - ja vertaa näitä absoluuttiset arvot keskenään.
• Huomaa, kumpi moduuleista on suurempi ja mikä pienempi, ja vähennä niistä suurempi arvo vähemmän.
• Laitamme tuloksena olevan luvun eteen sen luvun etumerkki, jonka moduuli on suurempi.

Tämä on vastaus. Se voidaan ilmaista yksinkertaisemmin: jos lausekkeessa a + (-b) luvun "b" moduuli on suurempi kuin "a":n moduuli, vähennämme "b":stä "a" ja laitamme "miinus". "tuloksen edessä. Jos lisää moduulia"a", sitten "b" vähennetään "a":sta - ja ratkaisu saadaan "plus"-merkillä.

Sattuu myös niin, että moduulit ovat samanarvoisia. Jos näin on, voit pysähtyä tässä paikassa - me puhumme noin vastakkaiset numerot, ja niiden summa on aina nolla.

Erimerkkisten lukujen vähentäminen

Selvitimme yhteenlaskun, harkitse nyt vähennyssääntöä. Se on myös melko yksinkertainen - ja lisäksi se toistaa täysin samanlaisen säännön kahden negatiivisen luvun vähentämiseksi.

Vähentääksesi tietystä luvusta "a" - mielivaltainen, eli millä tahansa merkillä - negatiivinen luku "c", sinun on lisättävä mielivaltaiseen numeroomme "a" vastakkainen luku "c". Esimerkiksi:

• Jos "a" on positiivinen luku ja "c" on negatiivinen ja "c" on vähennettävä "a":sta, kirjoitamme sen seuraavasti: a - (-c) \u003d a + c.
• Jos "a" on negatiivinen luku ja "c" on positiivinen ja "c" on vähennettävä "a":sta, kirjoitamme seuraavasti: (- a) - c \u003d - a + (-c).

Näin ollen erimerkkisiä lukuja vähennettäessä palataan lopulta yhteenlaskusäännöihin ja erimerkkisiä lukuja laskettaessa takaisin vähennyssääntöihin. Kun muistat nämä säännöt, voit ratkaista ongelmat nopeasti ja helposti.

Nyt käsitellään kertominen ja jako.

Oletetaan, että meidän on kerrottava +3:lla -4. Kuinka tehdä se?

Mietitäänpä tällaista tapausta. Kolme ihmistä joutui velkaan, ja jokaisella on 4 dollaria velkaa. Mikä on kokonaisvelka? Löytääksesi sen, sinun on laskettava yhteen kaikki kolme velkaa: $4 + $4 + $4 = $12. Olemme päättäneet, että kolmen luvun 4 yhteenlaskua merkitään 3 × 4. Koska sisään Tämä tapaus puhumme velasta, ennen numeroa 4 on "-"-merkki. Tiedämme, että kokonaisvelka on 12 dollaria, joten nyt ongelmamme on 3x(-4)=-12.

Saamme saman tuloksen, jos jokaisella neljällä henkilöllä on ongelman tilanteen mukaan 3 dollarin velkaa. Toisin sanoen (+4)x(-3)=-12. Ja koska tekijöiden järjestyksellä ei ole väliä, saamme (-4)x(+3)=-12 ja (+4)x(-3)=-12.

Tehdään yhteenveto tuloksista. Kun kerrotaan yksi positiivinen ja yksi negatiivinen luku, tulos on aina negatiivinen luku. Vastauksen numeerinen arvo on sama kuin positiivisten lukujen tapauksessa. Tuote (+4)x(+3)=+12. "-"-merkin läsnäolo vaikuttaa vain etumerkkiin, mutta ei numeeriseen arvoon.

Kuinka kerrot kaksi negatiivista lukua?

Valitettavasti tästä aiheesta on hyvin vaikeaa löytää sopivaa esimerkkiä elämästä. On helppo kuvitella 3 tai 4 dollarin velkaa, mutta on täysin mahdotonta kuvitella, että -4 tai -3 ihmistä joutuisi velkaan.

Ehkä mennään toisin päin. Kertolaskussa yhden tekijän etumerkin muuttaminen muuttaa tulon etumerkkiä. Jos muutamme molempien tekijöiden merkkejä, meidän on vaihdettava merkit kahdesti tuotteen merkki, ensin positiivisesta negatiiviseen ja sitten päinvastoin negatiivisesta positiiviseen, eli tuotteella on alkuperäinen merkki.

Siksi on varsin loogista, vaikkakin hieman outoa, että (-3)x(-4)=+12.

Merkin asema kerrottuna muuttuu näin:

• positiivinen luku x positiivinen luku = positiivinen luku;
• negatiivinen luku x positiivinen luku = negatiivinen luku;
• positiivinen luku x negatiivinen luku = negatiivinen luku;
• negatiivinen luku x negatiivinen luku = positiivinen luku.

Toisin sanoen, kertomalla kaksi lukua samat merkit, saamme positiivisen luvun. Kerrotaan kaksi lukua eri etumerkillä, saadaan negatiivinen luku.

Sama sääntö pätee kertolaskua vastakkaiseen toimintoon - for.

Voit tarkistaa tämän helposti suorittamalla käänteis kertolaskuoperaatiot. Jos jokaisessa yllä olevissa esimerkeissä kerrot osamäärän jakajalla, saat osingon ja varmista, että sillä on sama merkki, kuten (-3)x(-4)=(+12).

Talven tullen on aika miettiä, millaisiin kengät vaihdettaisiin. rautahevonen, joka ei liukuisi jäällä ja olisi itsevarma talviteitä. Voit esimerkiksi ottaa Yokohama-renkaat sivustolta: mvo.ru tai jotkut muut, pääasia, että laatu, lisää tietoa ja hinnat löydät sivustolta Mvo.ru.